Serie di funzioni
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Definizione Sia ๐๐(๐ฅ) ๐โ๐ una successione di funzioni reali definite in un intervallo ๐ โ ๐ . Sia ๐๐ ๐โ๐ la successione delle somme parziali:
๐1(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ);
๐2(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ); ๐3(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ) + ๐3(๐ฅ);
โฆโฆ ๐๐(๐ฅ) = ๐1(๐ฅ) + ๐2(๐ฅ) + ๐3(๐ฅ) + โฏ+ ๐๐(๐ฅ);
Tale successione di funzioni si chiama ยซserie di funzioni di termine generale ๐๐(๐ฅ) e si indica come
๐๐(๐ฅ)
โ
๐=1
Convergenza puntuale e convergenza uniforme
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Definizione La serie di funzioni ๐๐(๐ฅ)
โ๐=1 converge puntualmente (in X) se
๐๐(๐ฅ) โ ๐๐(๐ฅ)
โ
๐=1
converge puntualmente (in X), il che equivale a dire che โ๐(๐ฅ) (detta domma della serie) tale che:
โ๐ฅ โ ๐, โ๐ > 0, โ๐ = ๐ ๐, ๐ฅ โ ๐: ๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ < ๐, โ๐ > ๐
Definizione La serie di funzioni ๐๐(๐ฅ)
โ๐=1 converge uniformemente (in X) se
๐๐(๐ฅ) โ ๐๐(๐ฅ)
โ
๐=1
converge uniformemente (in X), il che equivale a dire che โ๐(๐ฅ) (detta domma della serie) tale che:
โ๐ > 0, โ๐ = ๐ ๐ โ ๐: ๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ < ๐, โ๐ > ๐
Convergenza totale
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Definizione La serie di funzioni ๐๐(๐ฅ)
โ๐=1 converge totalmente (in X) se esiste una successione
numerica ๐๐ ๐โ๐ positiva ๐๐ > 0 tale che: 1. ๐๐(๐ฅ) โค ๐๐, โ๐ฅ โ ๐, โ๐ โ ๐; 2. La serie numerica ๐๐
โ๐=1 converge
Ciรฒ equivale a richiedere che
sup๐ฅโ๐๐๐(๐ฅ)
โ
๐=1
converga.
Criteri per la convergenza
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Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale La serie di funzioni ๐๐(๐ฅ)
โ๐=1 converge puntualmente in ๐ โ ๐ se e solo se:
โ๐ฅ โ ๐, โ๐ > 0, โ๐ = ๐ ๐, ๐ฅ โ ๐: ๐๐ ๐ฅ
๐
๐=๐+1
< ๐, โ๐ > ๐, โ๐ > ๐
Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme La serie di funzioni ๐๐(๐ฅ)
โ๐=1 converge uniformemente in ๐ โ ๐ se e solo se:
โ๐ฅ โ ๐, โ๐ > 0, โ๐ = ๐ ๐ โ ๐: ๐๐ ๐ฅ
๐
๐=๐+1
< ๐, โ๐ > ๐, โ๐ > ๐
Criterio di Weierstrass Sia ๐๐(๐ฅ)
โ๐=1 una serie convergente totalmente in X, allora essa converge anche
uniformemente in X (ma non viceversa)
Serie di funzioni note
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Serie geometrica
๐๐โ
๐=๐
๐ซ = ๐น; ๐ฐ =] โ ๐; ๐[ ๐บ ๐ =
๐๐
๐ โ ๐
Serie esponenziale
๐
๐!
๐โ
๐=0
๐ซ = ๐น; ๐ฐ = ๐น ๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ
Serie di Leibnitz
1
(๐ฅ + ๐)(๐ฅ + ๐ + 1)
โ
๐=1
๐ท = ๐ \๐โ; ๐ผ = ๐ท ๐ ๐ฅ =
1
๐ฅ + 1
Serie di Mc Laurin del coseno
โ1 ๐๐
(2๐)!
๐๐โ
๐=0
๐ซ = ๐น; ๐ฐ = ๐ซ
๐ ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ฅ
7
Serie di Mc Laurin del seno
โ1 ๐๐
(๐๐ + 1)!
2๐+๐โ
๐=0
๐ซ = ๐น; ๐ฐ = ๐ซ ๐บ ๐ = ๐๐๐๐
Serie di Mc Laurin del coseno iperbolico
๐
(2๐)!
2๐โ
๐=0
๐ซ = ๐น; ๐ฐ = ๐ซ ๐ ๐ฅ = ๐๐๐ โ๐ฅ
Serie di Mc Laurin del seno iperbolico
๐
(๐๐ + 1)!
2๐+๐โ
๐=0
๐ซ = ๐น; ๐ฐ = ๐ซ
๐ ๐ฅ = ๐ ๐๐โ๐ฅ
Serie logaritmica
โ1 ๐โ1๐
๐
๐โ
๐=1
๐ซ = ๐น; ๐ฐ =] โ ๐, ๐[
๐ ๐ฅ = log (1 + ๐ฅ)
Serie dellโarcotangente
๐
(2๐ + 1)
2๐+๐โ
๐=0
๐ซ = ๐น; ๐ฐ =] โ ๐, ๐[
๐ ๐ฅ = ๐๐๐ก๐๐ฅ
Serie di potenze
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Definizione Si definisce serie di potenze la serie di funzioni
๐๐ ๐ฅ โ ๐ฅ0๐ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ โ ๐ฅ0 + ๐2 ๐ฅ โ ๐ฅ0
2 +โฏ
โ
๐=0
๐๐ ๐ฅ โ ๐ฅ0๐
dove โข ๐๐ ๐โ๐ รจ una successione numerica reale โข ๐ฅ รจ una variabile reale; โข ๐๐ ๐ฅ โ ๐ฅ0
๐ prende il nome di termine generale della serie โข ๐๐ prende il nome di coefficiente n-esimo della serie โข Il numero reale ๐ฅ0 รจ detto centro della serie di potenze suddetta
Poichรฉ si puรฒ pensare di cambiare variabile tramite una traslazione ponendo ๐ฆ = ๐ฅ โ ๐ฅ0
Si potrร anche scrivere
๐๐๐ฅ โ ๐ฅ0
๐ = ๐๐ โ ๐ฆ๐
โ
๐=0
โ
๐=0
supponendo che il centro sia ๐ฅ0 = 0
Raggio di convergenza
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Definizione Si definisce raggio di convergenza di una serie di potenze, lโestremo superiore ๐ โ 0,+โ dellโinsieme in cui la serie converge puntualmente
Definizione Lโinsieme di convergenza รจ un intervallo detto intervallo di convergenza della serie
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La serie di potenze converge solo in 0, ovvero la serie converge solo nel centro
๐ = 0
La serie di potenze converge โ๐ฅ โ ๐
๐ = +โ
La serie di potenze converge per ๐ฅ < ๐ e non converge per ๐ฅ > ๐
๐ = ๐
Criterio di convergenza della radice
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Criterio di convergenza di Cauchy-Hadamard o della radice La serie di potenze ๐๐ โ ๐ฆ
๐โ๐=0 converge nellโintervallo di convergenza di raggio ๐
tale che:
๐ =
0 ๐ ๐ ๐ฟ = +โ1
๐ฟ ๐ ๐ 0 < ๐ฟ < +โ
+โ ๐ ๐ ๐ฟ = 0
dove
๐ฟ = lim๐โโ
๐๐๐
se tale limite esiste
Criterio di convergenza del rapporto
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Criterio di convergenza di DโAlembert o del rapporto La serie di potenze ๐๐ โ ๐ฆ
๐โ๐=0 converge nellโintervallo di convergenza di raggio ๐
tale che:
๐ =
0 ๐ ๐ ๐ฟ = +โ1
๐ฟ ๐ ๐ 0 < ๐ฟ < +โ
+โ ๐ ๐ ๐ฟ = 0
dove
๐ฟ = lim๐โโ
๐๐+1๐๐
se tale limite esiste
La serie di Taylor di una funzione
Definizione Data una funzione f(x) indefinitamente derivabile in un intorno I di x0, chiamiamo serie di Taylor relativa a f(x) e al punto iniziale x0 la serie di potenze di (x โ x0):
Esempio
Consideriamo la funzione f(x) = 2x .
f (x) รจ derivabile indefinitamente in ogni punto. Scegliamo x0 = 1.
...)(!
)(...)(
!2
)()()()()(
!
)(0
)(00
2
00000
)(
0
0
xfn
xxxf
xxxfxxxfxf
n
xx nn
n
n
n
....)2(ln22
)1()2(ln2)1(2)2(ln2
!
)1()1(
!
)1( 22
0
)(
0
xx
n
xf
n
x n
n
nn
n
n
La serie di Mc Laurin di una funzione
Nella serie di Taylor, scegliamo il punto iniziale x0 = 0 .
Nello sviluppo di Maclaurin, il fattore (x โ x0)n
che compare nei termini della serie di Taylor, diventa semplicemente: xn.
ESEMPIO
Scriviamo la serie di Maclaurin di 2x .
Questo sviluppo รจ detto di Maclaurin.
Lo sviluppo in serie
Definizione Una funzione f(x) indefinitamente derivabile in un intorno I di x0 si dice sviluppabile in serie di Taylor nel punto x0 se la relativa serie di Taylor converge e la somma della serie coincide con la funzione, โ๐ฅ โ ๐ผ
Se x0 = 0 , la funzione si dice sviluppabile in serie di Maclaurin.
Esempio
Consideriamo .
La funzione รจ indefinitamente derivabile in x = 0 con tutte le derivate nulle in tale punto.
La serie di Maclaurin รจ
e converge a 0 per ogni valore di x . La somma della serie non coincide con la funzione.
Non tutti gli sviluppi in serie di Taylor (o Maclaurin) convergono a f(x).
In simboli:
Lo sviluppo in serie
Teorema (Condizione sufficiente per la sviluppabilitร ) Data una funzione f (x) derivabile indefinitamente in un intorno I di x0, se esiste un numero L > 0 tale che
allora f (x) รจ sviluppabile in serie di Taylor in tutto I con punto iniziale x0.
Gli sviluppi in serie di Maclaurin
f (x) = ex
Per questa funzione, f (n) (x) = ex , tutte le derivate coincidono con la funzione ex .
Scegliamo lโintorno di x0: I = [โd ; d ] .
Per tutte le xI , eโd f (n) (x) ed .
Per ogni d , ponendo L = ed , si ha dunque | f (n) (x) | L qualunque sia n.
Lโapprossimazione migliora man mano che si aggiungono termini alla somma.
La funzione รจ sviluppabile in serie di Maclaurin su tutto .
Gli sviluppi in serie di MacLaurin
f (x) = cos x
f (n) (x) = โsen x , per n = 1, 5, 9, โฆ f (n) (x) = โcos x , per n = 2, 6, 10, โฆ
Per ogni x, | sen x | 1 e | cos x | 1 ,
f (n) (x) = sen x , per n = 3, 7, 11, โฆ f (n) (x) = cos x , per n = 4, 8, 12, โฆ
La funzione รจ sviluppabile in serie di Maclaurin su tutto .
e perciรฒ | f (n) (x) | 1 .
...!6!4!2
1!)2(
)1(cos
6422
0
xxxx
nx n
n
n
f (x) = sen x
La discussione รจ del tutto analoga a quella di f (x) = cos x .
La funzione รจ sviluppabile in serie di Maclaurin su tutto .
Gli sviluppi in serie di MacLaurin
...!9!7!5!3!)12(
)1(sen
975312
0
xxxx
xxn
x n
n
n
f (x) = ln (1+x)
Le derivate della funzione non sono equilimitate in nessun intorno di x = 0.
Nonostante questo, si puรฒ dimostrare che la serie di Maclaurin converge ai valori della funzione nellโintervallo ]โ1 ; 1[ .
Dunque non vale la condizione sufficiente per la sviluppabilitร .
f (x) = arctg x
La derivata di arctg x รจ
.
Se x2 < 1, questa espressione equivale alla somma di una serie geometrica di ragione โx2 :
Integrando la serie si ottiene lo sviluppo di arctg x valido in ] โ1; 1[ .
Gli sviluppi in serie di MacLaurin