Sergio A. Véliz- Retamales Eduardo González- Olivares e-mail: [email protected][email protected]Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas ,Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,Casilla 4059, Valparaíso, Chile BLOWING-UP PARA SISTEMAS BIDIMENSIONALES
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Sergio A. Véliz-Retamales Eduardo González-Olivares e-mail: [email protected][email protected] Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,Pontificia.
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Sergio A. Véliz-RetamalesEduardo González-Olivares
Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas ,Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,Casilla 4059, Valparaíso, Chile
BLOWING-UP PARA SISTEMAS BIDIMENSIONALES
dos modelos depredador-presa, y probaremos que las soluciones para estos sistemas son acotadas usando la compactificaciónde Poincaré y para desingularizar el origen en el nuevo sistema usaremos el método de Blowing up
MODELO DEPREDADOR-PRESA CON RESPUESTA FUNCIONAL NO MONOTÓNICA RACIONAL
4
2
xa
qxxh
1
4
2
4
2
yc
xa
px
dt
dyxa
yqxx
K
xr
dt
dx
El es el sistema es del tipo Kolmogorov definido sobre:
RR0,0R, 002 yxyx
Todos los parámetros son positivos i.e., y tienen los siguientes significados:
R,,,,, 6 cpqaKr
K es la capacidad de soporte del medio ambiente .
q es la tasa máxima de consumo per capita de los depredadores (tasa de saciación).
c es la tasa de muerte intrínseca (natural) del depredador.
r representa la tasa intrínseca de crecimiento per cápita de la población de presas
4
1
a es el tamaño poblacional de la presa en la cual la tasa máxima de consumo es obtenida
p es la eficiencia con que los depredadores conviertenlas presas consumidas en nuevos nacimientos de depredadores ,nosotros asumimos
Ka
notamos que es la tasa máxima de consumo per cápita, i.e. el número máximo de presas por la unidad de tiempo que puede ser comida por un depredador.
a
aq
2
X
RRR 2
0:
0 y,, 0, 2 vuRvu ,tal que con
Siguiendo la metodología de Dumortier hacemos una reparametrización de el campo vectorial considerando el cambio de variables y rescalando el tiempo de la función
tyxr
uK
a
vq
rKKuvu ,,,,,,
443
,y nosotros obtenemos que
0,,det 44
4
u
K
a
q
KtvuD
XYv *
vvuQ
uvuPYv
,,
Esto es , es un difeomorfismo que preserva la orientación en el tiempo. Por lo tanto obtenemos un campo vectorial cualitativamente equivalente (topologicamente)
el cual tiene la forma
vCuAuBd
dv
uuvuAud
du
Yv42
41
El cual tiene solo tres parárametros
p
cKC
rK
pB
K
aARCBA
2
243 ,,1con ,,
La Matriz Jacobiana es:
CACuuBvCuBu
uAuvuuAuvuDYv 422
245
212
2526,
TEOREMA: LAS SOLUCIONES SON ACOTADAS
DEMOSTRACIÓN
d
dv
vd
dYy
d
dvu
d
duv
vd
dX
vYy
v
uX 22
1 ,
1 entonces,
1 ,, Sea
,ademásY
vyY
Xu
1, luego:
CY
XA
Y
XYB
d
dY
YC
Y
XA
Y
XB
Y
X
Y
X
Y
X
Y
XA
Y
XY
d
dX
Zv 42
422
2
42 1
1
34527
22253446457
6
;;,entonces
:1
sea,rsimplifica Para
YBCXYBXABCYd
dY
YBXYXYXABCYAXYBCXXYAYXd
dX
Z
yd
dT
dT
dY
d
dY
d
dT
dT
dX
d
dXY
T
v
244265331211
35724
,,,
YBCXYBXABCYBXYYBCX
YXZDYXZDYXZD
vvv
Luego
00
000,0 Entonces vZD
Para desingularizar el origen del campo vectorial utilizamos a continuación el método de blowing-up, haciendo cambio de variables y Entonces:
vZ
prX nmsrY
1
1 1
p
m n n m
dX drpr
dT dTdY dr ds
mr s ns rdT dT dT
Reordenando el sistema obtenemos
Reemplazando en el sistema original y simplificando
5 5 5 3 4 4 4
5 5 4 3 2 3
1 4 4 4 2 2 2
5 5 5 3 4 4 4
5 5 4 3 2 3
1
1
m n p m p p m n m p n
m n p m m p n
m n p m n p m n
m n p m p p m n m p n
m n p m m p n
Ar s r r r s Ar sdrr
dT p ABCr s BCr Br s
r s BCr ABCr s Br sds s
Ar s r r r s Ar sdT nr m rp ABCr s BCr Br s
1
11
1
1
p
m nn m
dr dX
dT pr dT
ds dY drmr s
dT ns r dT dT
Si 1 1 y 2 entonces obtenemos p n m
2 3 2 56
3 3 5 5 5 5
2 3 3 3 4 4 5 55
5 5 3 3 5 5
1
2 2 2 2 2
2 2
rs BCrs r s Ar sdrr
dT Br s Ar s ABCr s
r s BCrs rs Br s Ar s Ar sdssr
dT ABCr s Br s ABCr s
5
5
Sea el reescalamiento del tiempo =r T ,entonces se tiene
dr ds d= y = ,en donde =r entonces obtenemos
dT dT
dr d ds d
d dT d dT dT
2Si 1 1 y 2 entonces X=r ,Y=r s obtenemos p n m
Los componentes de la Matriz Jacobiana son:
2 3 2 5
3 5 5 5 5
2 3 3 3 4 4
5 5 5 5 3 3 5 5
1
2 2 2 2
2 2 2
v
rs BCrs r s Ar sdrr
d Br Ar s ABCr sZ
r s BCrs rs Br s Ar sdss
d Ar s ABCr s Br s ABCr s
11 2 3 2 5
3 3 5 5 5 5
1. 2 2 3 3
4 6 6 1
vd Zrs BCrs r s Ar s
dr
Br s Ar s ABCr s
12 2 2 3 2 3 4
4 2 6 4 6 6
2. 3 5
3 5 5
vd Zr BCr r s Ar s
dr
Br s Ar s ABCr s
22 2 3 3 3 4 4
5 5 5 5
4. 8 2 4 4 10
12 6 2
vd Zr s BCrs rs Br s Ar s
dr
Ar s ABCr s
21 4 2 2 2 4 3 5
4 6 4 6
3. 4 2 3 8
10 5
vd Zrs s BCs Br s Ar s
dr
Ar s ABCr s
Por lo tanto
1 00,0
0 2vDZ
Del cual det 0,0 0vDZ
v
y obtenemos que (0,0) es un punto silla del campo de vectores
Z ,para el cual el punto (0, ) es un punto silla del campo compactificado.
Por lo tanto las órbitas son acotadas. °
Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas ,Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,Casilla 4059, Valparaíso, Chile