INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA EMF1024 Presenta: LEON LOPEZ ROBERTO DE JESUS CRUZ MORENO CLARISSA PINEDA NIETO ALBERTO ARREOLA ABARCA ERNESTO Catedratico: ING ADRIAN GONZALEZ MARTINEZ Semestre: 7mo SEMESTRE GRUPO N Trabajo : UNIDAD II Carrera: ING. ELECTROMECANICA
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULASISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA
EMF1024
Presenta:
LEON LOPEZ ROBERTO DE
JESUS CRUZ MORENO CLARISSA
PINEDA NIETO ALBERTO
ARREOLA ABARCA ERNESTO
Catedratico:
ING ADRIAN GONZALEZ MARTINEZ
Semestre:
7mo SEMESTRE GRUPO N
Trabajo:
UNIDAD II
Carrera:
ING. ELECTROMECANICA
Lugar y fecha:
TAPACHULA CHIAPAS; A 26 DE NOVIEMBRE DEL 2015
INDICE
INTRODUCCION....................................................................................................1IMPEDANCIA SERIE EN LINEAS DE TRANSMICION.......................................42.1 TIPOS DE CONDUCTORES..........................................................................62.2 RESISTENCIA.................................................................................................92.3 VALORES TABULADOS DE RESISTENCIA...............................................122.4 INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A FLUJO INTERNA ………132.5 ENLACES DE FLUJO ENTRE DOS PUNTOS EXTERNOS A UN CONDUCTOR AISLADO…................................................................................172.6 INDUCTANCIA DE UNA LINEA BIFILAR MONOFASICA..........................192.7 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO....................242.8 INDUCTANCIA DE LINEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS............272.9 EMPLEO DE LAS TABLAS..........................................................................342.10 INDUCTANCIA DE LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICION EQUILATERA.......................................................................................................362.11 INDUCTANCIA DE LAS LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICION ASIMETRICA........................................................................................................38TABLAS DE CONDUCTORES ACSR….............................................................42CONCLUSIONES..................................................................................................44PREGUNTAS........................................................................................................45BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................51EJERCICIOS RESUELTOS................................................................................52EJERCICIOS PROPUESTOS.............................................................................62GLOSARIO…........................................................................................................69ANEXOS................................................................................................................72
IMPEDANCIA SERIE EN LINEA DE TRANSMISION SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIAPágina 1
INTRODUCCION
Las líneas de transmisión confinan la energía electromagnética a una región del
espacio limitada por el medio físico que constituye la propia línea, a diferencia de
las ondas que se propagan en el aire, sin otra barrera que los obstáculos que
encuentran en su camino. La línea está formada por conductores eléctricos con una
disposición geométrica determinada que condiciona las características de las ondas
electromagnéticas en ella.
En los sistemas de comunicaciones, las líneas de transmisión encuentran
numerosas aplicaciones no sólo en el transporte de señales entre una fuente y
una carga, sino también como circuitos resonantes, filtros y acopladores de
impedancia. Algunas de las aplicaciones más comunes incluyen el transporte de
señales telefónicas, datos y televisión, así como la conexión entre transmisores
yantenas y entre éstas y receptores.
El análisis de las líneas de transmisión requiere de la solución de las ecuaciones
del campo electromagnético, sujetas a las condiciones de frontera impuestas por
la geometría de la línea y, en general, no puede aplicarse la teoría clásica de
circuitos, ya que ésta se ocupa de circuitos con parámetros concentrados, en tanto
que en una línea los parámetros son distribuidos.
Dichos parámetros son: resistencia, inductancia, capacidad y conductancia y, en
los circuitos eléctricos convencionales, están concentrados en un solo elemento o
componente bien localizado físicamente. Se considera que, en un circuito, los
parámetros son concentrados cuando las dimensiones físicas de sus
componentes, incluyendo los hilos de conexión, son mucho menores que la
longitud de onda de la energía manejada por el circuito.
IMPEDANCIA SERIE EN LINEA DE TRANSMISION SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIAPágina 2
Si las dimensiones del circuito y sus componentes son comparables a la longitud
de onda o menores que ésta, el circuito debe considerarse como de parámetros
distribuidos y su tratamiento requiere de la teoría de líneas de transmisión,
derivada de la teoría del campo electromagnético. Así en una línea de transmisión,
la resistencia, inductancia, capacidad o conductancia no pueden considerarse
concentradas en un punto determinado de la línea, sino distribuidos
uniformemente a lo largo de ella.
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UNIDAD IIIMPEDANCIA SERIE EN LINEAS DE
TRANSMICION
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IMPEDANCIA SERIE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION
Una línea de transmisión tiene cuatro parámetros que influyen en su aptitud para
llenar su función como componente de una red eléctrica. Estos parámetros son
resistencia, inductancia, capacidad y conductancia.
La conductancia entre conductores o entre conductores y tierra cuenta para la
corriente de fuga en los aisladores de líneas principales y a través del aislamiento
de los cables. Puesto que la fuga en los aisladores de líneas principales se puede
no tomar en cuenta, la conductancia entre conductores de una línea principal se
asume igual a cero.
Cuando una corriente circula por un circuito eléctrico, los campos magnético y
eléctrico que se forman nos explican algo sobre las características del circuito. En
la fig. 2 se representa una línea bifilar abierta y los campos magnéticos y eléctricos
asociados a ella. Las líneas de flujo magnético forman anillos cerrados que rodean
a cada conductor; las líneas del campo eléctrico nacen en las cargas positivas,
sobre un conductor, y van a pasar a las cargas negativas, sobre el otro. Toda
variación de la corriente que pasa por los conductores produce una variación en el
número de las líneas de flujo magnético que atraviesan el circuito. Por otra parte,
cualquier variación de éste induce una f.e.m. en el circuito, siendo esta f.e.m.
inducida, proporcional a la velocidad de variación del flujo. La inductancia es la
propiedad de un circuito que relaciona la f.e.m. inducida, por la variación del flujo,
con la velocidad de variación de la corriente
.
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FIG. 2 campos magnético y eléctrico asociado a una línea bifilar
La resistencia y la conductancia uniformemente distribuidas a la carga de la línea
forman la impedancia serie. La conductancia y la capacitancia que existe entre
conductores de una línea monofásica o desde un conductor a neutro de una línea
trifásica forman la admitancia en paralelo.
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2.1 TIPOS DE CONDUCTORES
Los materiales conductores normalmente utilizados son el cobre y el aluminio y
pueden emplearse indistintamente si las distancias entre postes son pequeñas.
El cobre es el metal más utilizado en la industria eléctrica, debido a que posee
elevada conductividad eléctrica, alta conductividad térmica, resistencia a la
corrosión, gran maleabilidad, gran ductilidad, alta resistencia mecánica, no es
magnético y es fácilmente soldable.
Los conductores de aluminio son muy usados debido a su alta conductividad por
unidad de peso y se utilizan principalmente en líneas cortas, particularmente
donde existen razones para que el espacio entre soportes sea corto, por ejemplo
las líneas de distribución urbana.
Con un mayor diámetro las líneas de flujo eléctrico originadas sobre el conductor
estarán más apartadas en la superficie de éste para una misma tensión. Esto
significa un menor gradiente de tensión en la superficie del conductor y menor
tendencia a ionizar el aire a su alrededor. La ionización produce un efecto
indeseable llamado corona.
Los símbolos que identifican diferentes tipos de conductores de aluminio son los
siguientes:
ACC conductor de aluminio
AAAC conductor de aluminio con aleación .
ACSR conductor de aluminio con refuerzo de
acero
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ACAR conductor de aluminio con refuerzo de aleación
Los AAAC tienen mayor resistencia a la tensión que los conductores eléctricos de
aluminio de tipo ordinario. ACSR consiste de un núcleo central de alambres de
acero rodeado por capas de alambre de aluminio. ACAR tiene un núcleo central
de aluminio de alta resistencia rodeado por capas de conductores eléctricos de
aluminio tipo especial.
Las capas de alambre de un conductor trenzado son enrolladas en direcciones
opuestas a fin de prevenir desenrollados y hacer que el radio externo de una capa
coincida con el radio interno de la siguiente.
Fig. 2.1 sección transversal de un conductor con esfuerzo de acero, 7 hilos de acero y 24
de aluminio.
El trenzado proporciona flexibilidad con grandes secciones transversales. El
número de alambres depende del de capas y de que aquellos sean del mismo
diámetro.
Una fórmula general para el número total de alambres de los cables de este tipo es:
Número de alambres=3 x2 —3 x+1
Donde x es el número de capas, incluyendo el alambre del centro.
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La fig. 2.1, representa un típico cable de aluminio con refuerzo de acero (ACSR).
El conductor mostrado tiene 7 alambres de acero formando el núcleo central y
alrededor de él hay dos capas de alambre de aluminio. Hay 24 alambres de
aluminio en las dos capas exteriores. Los conductores trenzados se especifican
como 24 Al/7 St, o simplemente 24/7. Diferentes resistencias, capacidades de
corriente y tamaños de conductor se obtienen usando diferentes combinaciones
de acero y aluminio.
Un tipo de conductor, el llamado ACSR dilatado, tiene un material intermedio,
papel, por ejemplo, separando los cables interiores de acero de los exteriores de
aluminio. El objeto de este relleno, es lograr un diámetro mayor (y, por ello, un
menor efecto corona), para una conductividad y resistencia dadas. Los ACSR
dilatados son usados para algunas líneas de muy alto voltaje (EHV).
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2.2RESISTENCIA
La resistencia de los conductores es la causa principal de la pérdida de la energía
en las líneas de transporte. A menos que se especifique otra cosa, al hablar de
resistencia nos referimos a la resistencia efectiva.
La resistencia efectiva de un conductor es:
R= perdidasen elconductorI2 (2.1)
Donde la potencia está en vatios e I es la corriente eficaz del conductor, en
amperios. La resistencia efectiva es igual a la resistencia del conductor a la
corriente continua solo en a aquellos casos en que la distribución de la corriente en
el conductor sea uniforme. La falta de uniformidad en la distribución de la corriente y
la relación entre la resistencia efectiva.
La resistencia a la corriente continua viene dada por la fórmula:
Ro=ρlA
Ω(2.2.1)
R = Resistencia óhmica. (Cd) [ ] = Resistividad del material del conductor.[ *mm2 / m ] L = Longitud del conductor. [ m ] A = Área de la sección transversal del conductor. [ mm2 ]
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Puede emplearse cualquier sistema coherente de unidades. En unidades inglesas
/ está en pies, A en circular mils (cmil), y ρ en ohmio-circular mils por pie, algunas
veces llamado ohmio por circular mil-pie. En unidades SI / está en metros, A en
metros cuadrados y p en ohmio metro.
Un circular mil es el área de un círculo que tiene el diámetro de un mil. Un mil es
igual a 10 pulg. El área de la sección transversal de un conductor cilíndrico sólido
es igual al cuadrado del diámetro del conductor expresado en mils. El número de
circular mils multiplicado por x/4 es igual al número de mils cuadrados.
La resistencia a la corriente continua de los conductores de hilos trenzados es
mayor que el valor obtenido de la Ec. (2.2) debido a que los hilos trenzados
helicoidalmente tienen mayor longitud que el conductor. Por cada milla de
conductor, la corriente tiene que recorrer, en todos los hilos, excepto el central,
más de una milla de hilo. El incremento de resistencia debido a la espiral que
forman los hilos se estima en 1% para conductores de tres hilos y un 2% para los
de hilos concéntricos.
La variación de la resistencia de los conductores metálicos con la temperatura es
prácticamente lineal en el margen normal de utilización. Si se llevan las
temperaturas al eje de ordenadas y las resistencias al de abscisas, como se ha
hecho en la fig. 2.3, prolongando el segmento de recta determinado hasta su
intersección con el eje de ordenadas, obtenérnosla ordenada en el origen que nos
permite corregir la resistencia por los cambios de temperatura. La ordenada en el
origen, esto es, la temperatura correspondiente a R = 0, es una constant
R2
R1=
T +l2
T +l1(2.2 .2)
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IMPEDANCIA SERIE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION
Del material. De la fig. 2.3 tenemos donde R y R son las resistencias del conductor
a las temperaturas t y t , respectivamente, en grados centígrados, y T la constante
determinada a partir del gráfico. Los valores de T son los siguientes:
234.5 para cobre recocido de 100% de conductividad,
241 para cobre estirado en frío de 97,3% de conductividad,
228 para aluminio estirado en frío de 61% de conductividad.
Fig.2.2 Resistencia de un conductor metálico en función de la temperatura
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2.3 VALORES TABULADOS DE RESISTENCIA
La resistencia a la corriente continua de varios tipos de conductores se puede
encontrar fácilmente con la ec. (2.2.1), y puede estimarse el incremento en la
resistencia debido a la espiral. Las correcciones debido a la temperatura se
determinan en la ec. (2.2.2). El incremento en la resistencia causado por el efecto
piel se puede calcular para alambres circulares y tubos de material sólido con las
curvas de R/Ro disponibles para ese tipo de conductores simples. Sin embargo,
esta información no es necesaria, pues los fabricantes suministran tablas con las
características eléctricas de sus conductores.
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2.4 INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A FLUJO INTERNA
El valor de la inductancia debido al flujo interno puede calcularse como la relación
entre los enlaces de flujo y la corriente, teniendo en cuenta que cada línea de flujo
interno enlaza tan solo una fracción de la corriente total.
Dentro de éstos también existe campo magnético, como se mencionó cuando
consideramos el efecto piel. La variación de las líneas de flujo dentro de los
conductores contribuye también a la f.e.m. del circuito, y, por tanto, a la
inductancia.
El valor correcto de la inductancia debida al flujo interno, puede calcularse como
la relación entre los enlaces de flujo y la corriente, teniendo en cuenta que cada
línea de flujo interna enlaza tan solo una fracción de la corriente total.
Para obtener un valor preciso de la inductancia de una línea de transporte es
necesario considerar tanto el flujo interior de un conductor, como el exterior. La
fuerza magnetromotriz (fmm), en amperio-vueltas, alrededor de cualquier línea
cerrada es igual a la corriente, en amperios, abarcada por la línea. La fmm es
igual, también a la integral de la componente tangencial de la intensidad de
campo magnético a lo largo del filete. Así,
fmm=∮H ∙ ds=I At (2.4 .1)
Donde:
H = Intensidad de campo magnético, At/m
s = Distancia a través del paso, m
I= Corriente encerrada, A
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El punto entre H y ds indica que el valor de H es la componente de la intensidad
de campo tangente a ds.
Designemos por Hx la intensidad de campo a x metros del centro del conductor.
Como el campo es simétrico, Hx es constante en todos los puntos equidistantes
del centro del conductor. Si la integración indicada en la ec. (2.4.1) se hace a lo
largo de una línea circular, concéntrica al conductor y a x metros del centro, Hx es
constante a lo largo de toda la línea y tangente a ella. La ec. (2.4.1) será
∮H X ds=I x(2.4 .2)
Y
2πxH X=I x(2.4 .3)
Donde I x es la comente encerrada. Suponiendo una densidad de corriente uniforme,
I X=π x2
π r 2 I (2.4 .4)
Donde I es la corriente total del conductor. Sustituyendo la ec. (2.3.4) en la (2.3.3)
y resolviendo para Hx, tenemos
H x=x
2 π r2 I (2.4 .5)
La densidad de flujo a x metros del centro del conductor es
Bx=μ H X=μxI
2 π r2 Wb /m2(2.4 .6)
Donde µ es la permeabilidad del conductor.
En el elemento tubular de espesor dx, el flujo d𝜙 es Bx veces el área
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transversal del elemento normal a las líneas de flujo, siendo el área dx veces la
longitud axial. El flujo por metro de longitud es
d∅=μxI
2 πr 2 dxWb /m(2.4 .7)
Los enlaces de flujo dψ por metro de longitud, producidos por el flujo del elemento
tubular son el producto del flujo por metro de longitud por la fracción de corriente
enlazada. De esta forma
dψ=π x2
π r2 d∅=μI x3
2 π r4 dxWeber−vueltas /metro(2.4 .8)
Integrando desde el centro del conductor hasta el borde exterior para encontrar
ψint, enlaces de flujo totales en el interior del conductor, obtenemos
ψ∫¿=∫
0
τ μI x3
2 π r4 dx ¿
ψ∫¿= μI
8πWeber−vueltas /metro (2.4 .9)¿
Para una permeabilidad relativa de 1, µ = 4ir X 10-7 henrios/metro, y
ψ∫¿= I
2x 10−7 Weber−vueltas /metro (2.4.10)¿
L∫¿=1
2x 10−7 H /m (2.4 .11)¿
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Hemos calculado la inductancia por unidad de longitud (henrios/metro) de un con-
ductor cilíndrico debido únicamente al flujo de su interior. En lo sucesivo, por
conveniencia, al tratar de la inductancia por unidad de longitud la llamaremos
sencillamente inductancia, pero empleando las unidades correctas.
La validez del cálculo de la inductancia interna de un hilo macizo de sección circular
por el método de los enlaces de flujo parciales, puede demostrarse deduciendo la
inductancia por un método totalmente diferente. Siendo la energía almacenada en
el interior del conductor, debido al campo magnético, igual a L∫¿ i2 /2¿,, al despejar
Lint obtenemos la ec. (2.4.11).
L∫¿=1
2x 10−7 H /m¿
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2.5 ENLACES DE FLUJO ENTRE DOS PUNTOS EXTERNOS A UN CONDUCTOR AISLADO
Como primer paso para calcular la inductancia debida al flujo exterior a un
conductor, deduciremos los enlaces de flujo de un conductor aislado debidos a la
porción de flujo exterior comprendida entre D1 y D2 metros del centro del
conductor.
En la fig. 2.5, P1 y P2 son dos puntos a distancias D1 y D2 del centro de un
conductor por el que circula una corriente de I amperios. Como las líneas de flujo
son círculos concéntricos al conductor, todo el flujo comprendido entre P1 y P2
está dentro de las superficies cilíndricas concéntricas (representadas por
circunferencias de trazo continuo) que pasan por P1 y P2. En el elemento tubular,
que está a x metros del centro del conductor, la intensidad de campo es Hx. La
fmm a lo largo del elemento es:
2πxHx = I
En la figura 2.5, P1 y P2 son dos puntos externos a las distancias D1 y D2
respectivamente del centro del conductor por el que circula una corriente I.
Fig. 2.5 conductores y puntos P1 y P2 exteriores a él.
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𝜇 2 = 2 /
(2.5.1)El flujo d en el elemento tubular de espesor dx es𝜇
∅ = 2 / (2.5.2)Los enlaces de flujo dψ por metro son iguales, numéricamente, al flujo d𝜙, puesto
que el flujo exterior al conductor enlaza toda la corriente del conductor tan solo
una vez. Los enlaces de flujo totales entre P1 y P2 se obtienen integrando d𝜙 desde x = D1 a x = D2. De esta forma obtenemos
𝐷2 𝜇 𝜇 212 = ∫ 𝐷1
=2 2 1
− / (2.5.3)
O, para una permeabilidad relativa de 1,212 = 2 X 10−7 In1
− / (2.5.4)
La inductancia debida solamente al flujo comprendido entre D1 y D2 es212 = 2 X 10−7 In1
/ (2.5.5)Nótese que “ln”, de las Ecs. (2.5.3) a (2.5.5), es el logaritmo neperiano (base e).
Transformando los henrios por metro a milihenrios por milla y empleando
logaritmos decimales, tenemos
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212 = 0.7411 1
/ (2.4.11)
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2.6 INDUCTANCIA DE UNA LINEA BIFILAR MONOFASICA
Antes de tratar el caso más general de líneas de varios conductores y trifásicos,
consideraremos el caso de una sencilla línea bifilar de conductores cilíndricos
macizos. La fig. 2.6 representa un circuito que tiene dos conductores de radios r1
y r2. Uno de los conductores constituye el hilo de retorno] En principio,
consideraremos solamente los enlaces de flujo del circuito producidos por la
corriente del conductor 1. Una línea de flujo, debida a la corriente del conductor 1,
situada a una distancia igual o mayor a D + r2 del centro del conductor 1 no enlaza
el circuito y, por tanto, no induce ninguna f.e.m. en él. Dicho de otra manera, una
línea de flujo de estas características enlaza una corriente cero, ya que la
corriente del conductor 2 es igual en magnitud y de opuesto sentido a la corriente
del con- ductor 1. La fracción de la corriente total enlazada por una línea de flujo
exterior al conductor
Fig. 2.6 conductores de radios diferentes y campo magnético debido solamente a la corriente del
conductor 1.
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1 y a distancia igual o menor a D — r2, es 1. Entre las distancias D — r2D + r2 (es
decir, en la superficie del conductor 2) la fracción de la corriente total enlazada por
la línea de flujo, producida por la corriente del conductor 1, a 0. Por tanto, es
lógico simplificar el problema, cuando D es mucho mayor que r1 y r2 y la densidad
de flujo a través del conductor es aproximadamente constante, suponiendo que
todo el flujo exterior producido por la corriente del conductor 1 y que va hasta el
centro del conductor 2, enlaza toda la corriente I y que el flujo que se extiende
más allá de ese punto no enlaza ninguna corriente.
En efecto, se comprueba que los cálculos hechos con esta hipótesis son
correctos, incluso cuando D es pequeño.
La inductancia del circuito debida a la corriente del conductor 1 se determina por
la ecu. (2.5.5), sustituyendo D2 por la distancia D entre los conductores 1 y 2, y D1
por el radio r1 del conductor 1.
Para el flujo exterior únicamente
21, = 2 X 10−7 In1 / (2.6.1)
Para el flujo interior únicamente1 −71, = 2 X 10 / (2.6.2)
La inductancia total del circuito, debida a la corriente del conductor 1 tan solo, es
11 = (2 + 2 In) X 10−7 / (2.6.3)1
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La expresión que da la inductancia puede simplificarse sacando factores comunes
de la ec. (3.32) y teniendo en cuenta que ln e1/4 = 1/4, de donde
11 = 2 X 10−7 ( 4 + In
) (2.6.3)1
1 1 = 2 X 10−7 (In 4 + In ) (2.6.5)
1
Haciendo operaciones llegamos a
1 = 2 X 10−7 In 1∈−1/4
(2.6.6)
Si sustituimos r1’ por r1Є-1/4,
1 = 2 X 10−7 In ′ / (2.6.7)1
1 = 0.7411 log′ / (2.6.8)1El radio r1’ es el de un conductor ficticio del que se supone que no tiene flujo
interior, pero, sin embargo, la misma inductancia que el conductor real de radio r1.
El factor Є-1/4 es igual a 0,7788. La ecu (2.6.7) da para la inductancia el mismo
valor que la ecu. (2.6.2). La diferencia estriba en que la ecu. (2.6.7) carece del
término que toma en cuenta el flujo interior, compensándolo por medio de un valor
ajustado para el radio del conductor. Recordemos que la ecu. (2.6.3) se dedujo
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para un conductor cilíndrico macizo y que se llegó al ecu. (2.6.7) mediante
transformaciones matemáticas de la ecu. (2.6.3).Por otra parte, el factor 0,7788,
para ajustar el radio
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con objeto de tener en cuenta el flujo interno, se aplica únicamente a conductores
cilíndricos macizos. Más adelante consideraremos otro tipo de conductores.
Como la corriente en el conductor 2 va en dirección contraria a la que circula por
el conductor 1 (o su fase está a 180° con la de ésta), los enlaces de flujo
producidos por la corriente en el conductor 2, considerado aislado, tienen la
misma dirección que los producidos por la corriente del conductor 1. El flujo
resultante de los dos conductores está determinado por la suma de las fmm de
ambos conductores. Sin embargo, para permeabilidad constante pueden sumarse
los enlaces de flujo (e igualmente las inductancias) de los dos conductores
considerados aisladamente. Por comparación con la ecu (2.6.7), la inductancia
debida a la corriente en el conductor 2 es
2 = 2 X 10−7 In ′ / (2.6.9)2
Y para todo el circuito
= 1 + 2 = 4 10−7In √1′2′ / (2.6.10)
Si r1’ = r'2 = r', la inductancia total se reduce a
= 4 X 10 −7 In ′ / (2.6.11)
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O
= 1.482 log ′/ (2.6.12)
fig.2.6.1 visa de una sección transversal de un grupo de n conductores en los que la suma de sus
corrientes es cero. P es un puno lejano de los conductores
La ecu. (2.6.12) es la inductancia de la línea bifilar teniendo en cuenta los enlaces
de flujo producidos por la corriente en ambos conductores, uno de los cuales es el
camino de vuelta de la corriente en el otro. Este valor de la inductancia se llama, a
veces, inductancia por metro de línea o por milla de línea, para distinguirla de la
inductancia del circuito debida a la corriente en uno solo de los conductores. Esta
última, dada por la ecu. (2.6.8), es la mitad de la inductancia total de una línea
monofásica y se llama inductancia por conductor.
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2.7 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO
Un caso más general que el de la línea bifilar es el de un conductor en un grupo
de ellos, en el que la suma de las corrientes de todos los conductores es igual a
cero.
El grupo de conductores se representa en la fig.2.6.1. Los conductores 1, 2, 3 , . .
. , n son recorridos por los vectores corrientes I1, I2, I3,..., In
Las distancias de estos conductores a un punto lejano P están indicadas en la
figura por D1P, D2p, D3P,. . . , DnP. Determinemos ψ1p1, enlaces de flujo del
conductor 1 debidos a I1 comprendiendo los enlaces de flujo interno, pero
excluyendo todo el flujo más allá del punto P. Por las ecus. (2.4.10) y (2.5.4).
11 1 = ( 2 + 21 In
11
) 10−7 (2.7.1)
1 1 = 2 X 10−71 In11′
− / (2.7.2)
Los enlaces de flujo con el conductor 1 debido a l2, pero excluyendo el flujo más
allá de P es igual al flujo producido por I2 entre el punto P y el conductor 1 (esto
es, entre las distancias límites D2p y D12 del conductor 2). Así
1 2 = 2 X 10−72 In 212
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(2.7.3)
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Los enlaces de flujo ψ1P con el conductor 1, debido a todos los conductores del
grupo, pero excluyendo el flujo más allá del punto P es
1 = 2 X 10−7(1 In 11′
+ 2
212
+ 3 In313
+ ∙∙∙ + In
1
) (2.7.4)
Que, desarrollando los términos logarítmicos y reagrupando, se convierte en
1 = 2 X 10−7(1 In1
1′ + 2 In 112
+ 3 In 113
+ ∙∙∙ + In In 11
+ I1 In 1
+ I2 In 2 + I3 In 3 +∙∙∙ +I In
(2.7.5)Como la suma de todas las corrientes del grupo es nula,
I1 + I2 + I3 +∙∙∙ +I = 0Y despejando In, tenemos
I = −(I1 + I2 + I3 +∙∙∙ +I −1 ) (2.7.6)
Sustituyendo en la ecu. (2.7.4), /n por su valor dado por la ec. (2.7.5) y agrupando
los términos logarítmicos, tenemos
2 3
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1 = 2 X 10−7(1 In 11′ + 2 In 1𝐷12 + 3 In 1𝐷13+ ∙∙∙ + In In 11
+ I1 In 𝐷1𝑝 +𝐷 𝑃
I In 𝐷2𝑝𝐷 𝑃 + I In 3𝑝𝐷 𝑃+∙∙∙ +I −1 In (−1)𝑝𝐷 𝑃 (2.7.7)
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Suponiendo que el punto P se aleja hasta el infinito, de forma que los términos
logarítmicos de las relaciones de distancia desde P se hagan infinitesimales,
puesto que dichas relaciones tienden a la unidad, obtenemos
1 = 2 X 10−7 (1 In 11′ + 2 In 1
12+ 3 In 1
13+ ∙∙∙ + In In 1
1
)
− / (2.7.8)Al permitir que el punto P se mueva hacia el infinito incluimos en nuestra
derivación todos los enlaces de flujo del conductor 1. De esta forma la ecu. (2.7.8)
nos da todos los enlaces de flujo del conductor 1, en el grupo de conductores,
cuando la suma de todas las corrientes es cero. Si las comentes son alternas,
éstas tienen que ser corrientes instantáneas, o bien valores eficaces complejos,
con lo que se obtienen los valores eficaces de los enlaces de flujo en forma de
números complejos.
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2.8 INDUCTANCIA DE LINEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS
Los conductores trenzados están comprendidos en la denominación general de
conductores compuestos que están formados por dos o más elementos o hilos en
paralelo. Ahora estamos en condiciones de estudiar las líneas de transporte
formadas por conductores compuestos, aunque nos limitaremos al caso en que
todos los hilos son iguales y la corriente está igualmente repartida. El método
puede extenderse a todos los tipos de conductores que contienen hilos de
diferentes dimensiones y conductividades, pero no abordaremos aquí este
problema ya que los valores de la inductancia interna de cada conductor
específico se obtienen de los distintos fabricantes y pueden encontrarse en
manuales.
El método a seguir, supone una aproximación al problema más complicado de
con- ductores no homogéneos y con desigual distribución de corriente entre hilos.
El método es aplicable a la determinación de la inductancia de líneas formadas
por circuitos en paralelo pueden considerarse como hilos de un solo conductor
compuesto.
La fig. 2.8, representa una línea monofásica formada por dos conductores. Para
hacer el caso más general, cada conductor que constituye una parte de la línea,
se representa como un indefinido número de conductores agrupados
arbitrariamente. Las únicas restricciones son, que los hilos paralelos han de ser
cilíndricos y con la corriente igualmente distribuida entre ellos. El conductor X está
compuesto por n hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno de los cuales
lleva la corriente I/n. El conductor Y, que constituye el retomo de la corriente de X,
está formado por m hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno de los cuales
lleva la corriente — I/m. Las distancias entre los elementos se designarán por la
letra D con los subíndices correspondientes. Aplicando la ecu. (2.7.8), al hilo a del
conductor X, obtenemos los enlaces de flujo del hilo a
1
√ ⋯ √ ′ ⋯
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Fig. 2.8 línea monofásica formada por dos conductores compuestos
= 2 X 10−7 ( In
1′ + In 1
+ In 1𝐷+ ∙∙∙ + In 1
) − 2 X 10−7 ( In
1 +𝐷 ′
1I2 In 𝐷1+ I3 In 𝐷
+∙∙∙ +In 1 𝐷 (2.8.1)′ ′
De la cual, obtenemos
= 2 X 10−7 In ′ ′ ′
− /(2.8.2)
Dividiendo la ecu. (2.8.3) por la corriente I/n, encontramos que la inductancia del
hilo a, es
√ ⋯
√ ⋯
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−7 ′ ′ ′
= / = 2 X 10 In √ ′ ⋯ / (2.8.3)
Análogamente, la inductancia del hilo b, es
−7 ′ ′ ′
= / = 2 X 10 In √ ′⋯ / (2.8.4)
La inductancia media de todos los hilos del conductor X, es
= + + + ⋯ + (2.8.5)
El conductor X está formado por n hilos en paralelo. Si todos tienen la misma
inductancia, la del conductor será 1 /n la de un hilo. En nuestro caso, todos los
hilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos los hilos, en paralelo, es 1 ¡n
de la inductancia media. Así, la inductancia del conductor X, es
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= =
+ + + ⋯ +
2 (2.8.6)
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2
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Sustituyendo la expresión logarítmica para la inductancia de cada hilo en la ecu.
Donde las distancias propias dii, corresponden al radio medio geométricos del
conductor sólido que por teoría se conoce que es Re: − 14RMG 49(Re 4) 2R2R 2√3R 2√3R 2R 4R6
2R6
RMG 49 0.7788R6 384R6 62R
Se procede a determinar la inductancia por fase
Debido a que se trata de una línea bifilar monofásica, la inductancia total de la línea,
es la suma de la inductancia individual de cada conductor:
Ltotal La
Lb Ltotal
2La
Ltotal 4.063276
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𝑖
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Problema 1
En el circuito de la figura se ha empleado un tramo de línea de longitud l=0.588 y
una bobina serie de L = 7.96 nH para adaptar una impedancia desconocida ZL a un
generador de impedancia interna Zg = 50 . Calcular a la frecuencia de 1 GHz.
Utilizando la Carta de Smith calcular ZL
Dibuje el diagrama de onda estacionaria en la línea ZL (suponiendo que no existen
pérdidas)
Sabiendo que la potencia disipada en la carga es 9 mW, calcule la constante de atenuación
en la línea supuestas pérdidas.
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Problema 2
En el circuito de la figura, donde las líneas tienen una atenuación de =0.003
Np/cm, l1 es de 50 cm y dieléctrico aire, calcular a la frecuencia de 1GHz:
La longitud l2 y la capacidad C para adaptar el generador supuesto que no existen pérdidas
La potencia disipada en ZL, suponiendo que aunque se trabaje con pérdidas se mantiene
la adaptación del apartado anterior.
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Problema 3
Utilizando la Carta de Smith, calcule las longitudes l1 y l2 de los sintetizadores
para que haya adaptación de impedancias en el circuito de la figura. (Z0=50 , Z01=75 ,
Z02=100 , ZL=20
Problema 4
En el circuito de la figura calcular las longitudes l1 y l2 de los sintonizadores para adaptar
una carga Z0=50 a una carga ZL=10 . La separación entre sintonizadores es de d=
0.125. Escoja la solución con el mayor valor de l1.
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Problema 5
Hallar el valor de los condensadores C1 y C2 en pF que adaptan una impedancia
ZL=7+j34 a Z0=50 a la frecuencia de 2 GHz.
Problema 6
Dado el circuito de la figura, donde ZL = 24+j10 y Zg=60 , determinar los valores
de Z0 y d para que a la frecuencia de 2 GHz haya adaptación de impedancias.
Zg
ZL
Vg
d
Z0
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Problema 7
Diseñar el circuito de la figura para que haya adaptación de impedancias a la
frecuencia central de diseño. Si Vg =10 V y Z0 = 50.
Calcular las potencias incidentes en cada línea.
Dibujar el diagrama de onda estacionaria.
Problema 8
Una línea de transmisión de impedancia característica Z0 = 50 está cargada por
una impedancia ZL = 50+j35 . ¿ A qué distancia d de la carga debe colocarse una
sección adaptadora /4 para adaptar la línea a la carga?. ¿Cuál debe ser el valor de la
impedancia característica de la sección /4?
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Problema 9
Una línea de transmisión de impedancia característica Z0 = 50 está cargada por
una impedancia de valor ZL = 75+50 . Se desea adaptar la línea a la carga utilizando un
doble sintonizador de cortocircuito móvil de impedancia característica Z0’ = 60 y
separación 1 cm, que se inserta en serie con la línea a una distancia de 2 cm. Hallar las
longitudes de los sintonizadores (las dos soluciones). La longitud de onda es = 8 cm.
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Problema 10
Adaptar una carga de valor YL/ Y0 = 0.4 + j 1.35 a una línea de transmisión de
admitancia característica Y0, por medio de una línea cortocircuitada en paralelo. Hallar la
longitud l de dicha línea y la distancia d de la carga a la que debe colocarse.
Problema 11
Diseñar un sintonizador doble paralelo que adapta una carga de valor ZL = 60-j80
a una línea de transmisión de impedancia característica Z0 = 50. Los sintonizadores
deben de estar cortocircuitados y separados d = /8 por medio de una línea
cortocircuitada en paralelo.
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GLOSARIO
Aislante: Un material que, debido a que los electrones de sus átomos están
fuertemente unidos a sus núcleos, prácticamente no permite sus desplazamientos
y, por ende, el paso de la corriente eléctrica, cuando se aplica una diferencia de
tensión entre dos puntos del mismo. Material no conductor que, por lo tanto, no
deja pasar la electricidad.
Alta tensión: Tensión nominal superior a 1 kV (1000 Volts)
Amper (∗): Unidad de medida de la intensidad de corriente eléctrica, cuyo
símbolo es A. Se define como el número de cargas igual a 1 coulomb que pasar
por un punto de un material en un segundo. (1A= 1C / s). Su nombre se debe al
físico francés Andre Marie Ampere.
Cable: Conductor formado por un conjunto de hilos, ya sea trenzados o torcidos.
Cableado: Circuitos interconectados de forma permanente para llevar a cabo una
función específica. Suele hacer referencia al conjunto de cables utilizados para
formar una red de área local.
Caída de tensión: Es la diferencia entre la tensión de transmisión y de recepción.
Calidad: Es la condición de tensión, frecuencia y forma de onda del servicio de
energía eléctrica, suministrada a los usuarios de acuerdo con las normas y
reglamentos aplicables.
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Capacidad: Medida de la aptitud de un generador, línea de transmisión, banco de
transformación, de baterías, o capacitores para generar, transmitir o transformar la
potencia eléctrica en un circuito; generalmente se expresa en MW o kW, y puede
referirse a un solo elemento, a una central, a un sistema local o bien un sistema
interconectado.
Carga: Cantidad de potencia que debe ser entregada en un punto dado de un
sistema eléctrico.
Carga Interrumpible: Es la carga que puede ser interrumpida total o parcialmente
conforme a lo establecido en las tarifas vigentes para este efecto.
Circuito: Trayecto o ruta de una corriente eléctrica, formado por conductores, que
transporta energía eléctrica entre fuentes.
Conductor: Cualquier material que ofrezca mínima resistencia al paso de una
corriente eléctrica. Los conductores más comunes son de cobre o de aluminio y
pueden estar aislados o desnudos.
Consumo de energía: Potencia eléctrica utilizada por toda o por una parte de una
instalación de utilización durante un período determinado de tiempo.
Continuidad: Es el suministro ininterrumpido del servicio de energía a los
usuarios, de acuerdo a las normas y reglamentos aplicables.
Corriente: Movimiento de electricidad por un conductor.// Es el flujo de electrones
a través de un conductor. Su intensidad se mide en Amperes (A).
Distribución: Es la conducción de energía eléctrica desde los puntos de entrega
de la transmisión hasta los puntos de suministro a los Usuarios.
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Ohm: Unidad de medida de la resistencia eléctrica. Equivale a la resistencia al
paso de la electricidad que produce un material por el cual circula un flujo de
corriente de un amperio, cuando está sometido a una diferencia de potencial de un
Volt. Su símbolo es Ω.
Potencia máxima: Valor máximo de la carga que puede ser mantenida durante
tiempo especificado.
Potencia real instalada: Ver capacidad efectiva.
Volt (∗): Se define como la diferencia de potencial a lo largo de un conductor
cuando una corriente de un amper utiliza un Watt de potencia. Unidad del Sistema
Internacional.
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ANEXOS
Tipos de conductores
Líneas de transmisión concéntrica o coaxial:
Fig. A1 Líneas de transmisión concéntrica o coaxial
En la figura A2 se ilustra una línea coaxial ranurada típica.
Fig. A2 Línea coaxial ranurada
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Fig. A3 conductores
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Formulas
Fig. A4 Formulas
Torres
Fig. A5 Torres
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Tipos de ondas
Fig. A6 onda incidente.
El primer término de la derecha representa el voltaje de amplitud + en el extremo del generador que decrece exponencialmente a lo largo de la línea según −𝛼 como se muestra en la figura A6. Este componte que viaja del generador hacia la carga se designa como onda incidente.
fig. A7 onda reflejada por la carga.
El segundo término de la derecha representa una onda de voltaje que viaja en dirección opuesta a la onda incidente, cuya amplitud en el extremo del generador es ⁻ vista desde el generador la amplitud de la onda es creciente al aumentar x como se muestra en la figura 3. Se trata de una onda reflejada por la carga.
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La relación entre el voltaje de la onda reflejada y del incidente es el coeficiente de reflexión. Este hecho da lugar a que a lo largo de la línea se forme una onda estacionaria, con máximos y mínimos de voltaje y corriente, a distancias fijas a lo largo de la línea y que tiene la forma mostrada en la figura A8.
fig. A8 Onda estacionaria.
Se define como relación de onda estacionaria de voltaje o simplemente relación de onda estacionaria (ROE) a:
fig. A9
Si la línea está terminada en un cortocircuito la reflexión en la carga es total y la onda estacionaria de voltaje tiene la forma mostrada en la figura A10, en que los mínimos están separados entre sí una distancia de λ/2.
Fig. A10 Reflexión total.
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Supóngase un elemento infinitesimal de una línea abierta de dos conductores paralelos, con parámetros primarios R, L, C y G, que puede suponerse tan pequeño como se quiera de modo que los parámetros de los circuito puedan considerarse concentrados en la forma que se muestra en la figura A11.
Fig. A11 .
Pueden aplicarse las leyes de Kirchhoff al circuito anterior, ahora de parámetros concentrados, con lo que se tiene: