Sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 ANÁLISIS DE LA PRECIPITACIÓN QUE SE REGISTRA EN UNA ESTACIÓN CLIMÁTICA.

sepINSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC

INGENIERÍA CIVILHIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008

ANÁLISIS DE LA PRECIPITACIÓN QUE SE REGISTRA EN UNA ESTACIÓN CLIMÁTICA O CONJUNTO DE ELLAS.



PROBABILIDAD: SI UN EXPERIMENTO TIENE n RESULTADOS POSIBLES Y MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y SI DE ELLOS na RESULTADOS TIENEN UN ATRIBUTO a ES DECIR: P(A) = na/n



LO ANTERIORMENTE EXPUESTO SE PUEDE EXPRESAR, EXPERIMENTO “TIRO DE UN DADO” U “OCURRENCIA DE UNA TORMENTA” EL ATRIBUTO a PUEDE LLAMARSE “EL NÚMERO QUE SALE DEL TIRO DE DADO ES 2” O “LA PRECIPITACIÓN TOTAL ES DE 500 mm”



EL PERIODO DE RETORNO SE PUEDE DEFINIR: SEA A EL EVENTO “EL NÚMERO QUE SALE DEL TIRO DEL DADO ES 2” Y B EL EVENTO “LA ALTURA DE PRECIPITACIÓN EN 24 HORAS EN CUALQUIER AÑO ES DE 500 mm”



EL NÚMERO DE AÑOS EN QUE EN PROMEDIO, SE PRESENTA UN EVENTO COMO EL B DE LA DIAPOSITIVA ANTERIOR, SE LLAMA PERIODO DE RETORNO, INTERVALO DE RECURRENCIA O SIMPLEMENTE FRECUENCIA Y SE ACOSTUMBRA EMPLEAR EL SIMBOLO Tr



KOLMOGOROV PLANTEA:SI SE PRESENTA UN CONJUNTO DE CONDICIONES S, ENTONCES EL EVENTO A SEGURAMENTE OCURRE,O BIEN,SI SE PRESENTA UN CONJUNTO DE CONDICIONES S, ENTONCES EL EVENTO A NO PUEDE OCURRIR.



UNA MUESTRA DE UN EVENTO O ESPACIO MUESTRAL ES EL CONJUNTO DE VALORES QUE PLANTEAN ALGUNA TENDENCIA ESPECÍFICA,Y TIENEN SU PROPIA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, MISMA QUE NO SE CONOCE REGULARMENTE.



CONSIDERANDO EL CONJUNTO DE DIEZ GASTOS MAXIMOS ANUALES, Y TOMANDO TODOS ELLOS COMO CONJUNTO UNIVERSO, PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MENOR O IGUAL A 1500 m3/s SE ENCUENTRA EN LOS LÍMITES SIGUIENTES:

0 <= P(X <= 1500 m3/s)<= 0.1 Y QUE SEA MENOR O IGUAL A 5000 m3/s ESTARÁ EN LOS LÍMITES 0.9<= P(X <= 5000 m3/s) <=1.0

AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Qmax

m3/s2000 5000 4500 3800 2900 3100 1500 2200 3900 4700



AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Qmax

m3/s2000 5000 4500 3800 2900 3100 1500 2200 3900 4700

0 2 4 6 8 10 120

1000

2000

3000

4000

5000

6000



SI ORDENAMOS LOS DATOS DE MAYOR A MENOR TENDREMOS LO SIGUIENTE:AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Qmax

m3/s5000 4700 4500 3900 3800 3100 2900 2200 2000 1500

AHORA SI m ES EL NÚMERO DE ÓRDEN Y n EL NÚMERO TOTAL DE DATOS TENEMOS PARA 1500 UN VALOR DE 1/10 Y PARA 5000 UN VALOR DE 10/10, LO QUE EXPLICA EL RESULTADO ANTERIOR.



LO QUE HACE POSIBLE DESARROLLAR LA ECUACIÓN SIGUIENTE PARA PERIODO DE RETORNO:

Tr= (n+1) /mASÍ EL MÁXIMO EVENTO REGISTRADO TENDRA UN PERIODO DE RETORNO DE 11 AÑOS Y EL MÍNIMO DE 1.1 AÑOS



SI NO SE COMPRENDIO PARA 5000 m3/s Tr= (n+1) /m, será: (10+1)/1 y para 1500 m3/s será (10+1)/10.

AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Qmax

m3/s5000 4700 4500 3900 3800 3100 2900 2200 2000 1500

m

n



FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA



UNA VEZ QUE SE LE ASIGNA UN PERIODO DE RETORNO AL GASTO DE DISEÑO DE ALGUNA OBRA O UNA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 24 HORAS, GENERALMENTE EL ANÁLISIS REDUNDA EN UN CONJUNTO DE VALORES FINITO, POR LO QUE SE HACE NECESARIA LA EXTRAPOLACIÓN PARA CONOCER POSIBLES VALORES PARA PERIODOS DE RETORNO MAYORES AL CONJUNTO FINITO.



POR EJEMPLO ES POSIBLE QUE PARA UN CONJUNTO DE 25 AÑOS DE REGISTRO SEA NECESARIO EXTRAPOLAR PARA UN PERIODO DE RETORNO DE 10000 AÑOS, LOGRANDO UN BUEN RESULTADO DE EXTRAPOLACIÓN A PARTIR DE UN REGISTRO MÍNIMO DE 10 AÑOS.



FUNCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL



FUNCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL:

F(x)=(1/(2Πσ)½)e -1/2(x-µ/σ)

LA CUAL NO TIENE SOLUCION ANALITICA MAS SI NUMÉRICA Y EL PROCEDIMIENTO QUE SE DESCRIBE A CONTINUACIÓN MEDIANTE UN EJEMPLO LO DESCRIBE:



LOS GASTOS MÁXIMOS ANUALES REGISTRADOS EN LA ESTACIÓN HIDROMÉTRICA JUCHIPILA EN NAYARIT, SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN

AÑO 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960

Q max m3/s

2230 3220 2246 1804 2337 2070 3682

AÑO 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967

Q max m3/s

4240 2367 7061 2489 2350 3706 2675

AÑO 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974

Q max m3/s

6267 5971 4744 6000 4060 6900 5565

AÑO 1975 1976 1977 1978

Q max m3/s

3130 2414 1796 7430



a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500 m3/s?.

b) Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?.



La media de los datos anteriores es:X= Sumatoria de i=1 hasta 25 de Xi y dividido entre el número

total del conjunto de datos que es 25, el resultado es: 3886 m3/s

AÑO 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960Q max m3/s

2230 3220 2246 1804 2337 2070 3682

AÑO 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967Q max m3/s

4240 2367 7061 2489 2350 3706 2675

AÑO 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974Q max m3/s

6267 5971 4744 6000 4060 6900 5565

AÑO 1975 1976 1977 1978Q max m3/s

3130 2414 1796 7430



La desviación estandar es:

S=((∑ de i=1 hasta 25 Xi-Xmedia)2/n)1/2 Para este caso es 1825.9 m3/s

AÑO 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960Q max m3/s

2230 3220 2246 1804 2337 2070 3682

AÑO 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967Q max m3/s

4240 2367 7061 2489 2350 3706 2675

AÑO 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974Q max m3/s

6267 5971 4744 6000 4060 6900 5565

AÑO 1975 1976 1977 1978Q max m3/s

3130 2414 1796 7430



LA MEDIA ES 3886 m3/s.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES 1825.9 m3/s.

LA RESPUESTA AL INCISO a SERÁ: PARA 7500 m3/s, UNA VARIABLE ESTANDARIZADA CONOCIDA COMO Z SERÁ: Z=X-Xmedia/S; (7500m3/s – 3886 m3/s)/1825.9

m3/s =1.98



SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= 1.98 QUE:

F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= 0.9761

POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA:

P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9761=0.0239



Z



POR OTRO LADO EL PERIODO DE RETORNO SE ANALIZA COMO SIGUE:

P(X<=x)=Tr-1/Tr

PARA 60 AÑOS TENDREMOS UNA FUNCION DE PROBABILIDAD:

F(x)=P(X<=x)=(60-1)/60=0.9833,Y AHORA DE LA TABLA A1 LA VARIABLE

ESTANDARIZADA SERÁAPROXIMADAMENTE Z=2.126



DESPEJANDO X DE LA ECUACIÓN:

Z=(X-Xmedia)/S desviación estándar

X = Z*S desviación estándar +Xmedia

2.126(1825.9)+3886=7775.2 m3/sSEGÚN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTE SERÁ EL

GASTO DE DISEÑO PARA UN Tr de 60 AÑOS.



FUNCIÓN DE PROBABILIDAD LOGNORMAL



EN ESTA FUNCIÓN LOS LOGARITMOS NATURALES DE LA VARIABLE ALEATORIA SE DISTRIBUYEN NORMALMENTE, LA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABLIDAD ES:

F(x)=(1/(2Π)½)(1/xß) e -1/2(x-α/ß)

DONDE α Y ß SON LOS PARAMETROS DE DISTRIBUCIÓN. SIN EMBARGO ESTOS SON LA MEDIA Y DESVIACION ESTANDAR DE LOS LOGARITMOS DEL CONJUNTO DE VALORES ANALIZADOS



LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SE OBTIENEN USANDO LA TABLA A 1, QUE TIENEN EN SUS MANOS, Y LA VARIABLE ESTANDARIZADA ES:

Z=(ln x – α ) /ß



PARA COMPRENDER EL EMPLEO DE ESTA FUNCIÓN APLIQUEMOS ESTA METODOLOGÍA AL EJEMPLO DESARROLLADO ANTERIORMENTE EL CUAL ES:

PARA EL CONJUNTO DE GASTOS PRESENTADOS EN EL EJEMPLO ANTERIOR, DETERMINAR:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500 m3/s?.



b) Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?.



EL CONJUNTO DE VALORES SON LOS SIGUIENTES GASTOS, MISMOS QUE COINCIDEN CON EL EJEMPLO VISTO EN LA FUNCIÓN NORMAL

AÑO 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960Q max m3/s

2230 3220 2246 1804 2337 2070 3682

AÑO 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967Q max m3/s

4240 2367 7061 2489 2350 3706 2675

AÑO 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974Q max m3/s

6267 5971 4744 6000 4060 6900 5565

AÑO 1975 1976 1977 1978Q max m3/s

3130 2414 1796 7430



La media y desviación estandar o valores α yß, respectivamente son:

α = Sumatoria i=1 hasta n (ln xi/25)=8.162ß=(Sumatoria i=1 hasta n (ln xi-

8.162)2/25))1/2

=0.451



La solución para el inciso a para x=7500 m3/s, la variable estandarizada será:

Z=ln (7500)-8.162/.451=1.687




F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= 0.9545


P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9545=0.0455




F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= 0.9545


P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9545=0.0455



AHORA DESPEJANDO X DE LA ECUACIÓN PARA VARIABLE ESTANDARIZADA TENEMOS:

X=e(z ß+ α)

X=e(1.687(0.451)+8.162)

Z=(ln x – α ) /ß



e(1.687(0.451)+8.162)

El resultado es 7501.34 m3/s, resultado de tipo

comprobatorio



Para la solución del segundo inciso, aplicamos el análisis de periodo de

retorno empleado en la función Normal F(X)=Tr-1/Tr; para este caso es

60-1/60 =0.9833, y la variable estandariza, tendría un valor de 2.126

de la tabla respectiva



e(2.126(0.451)+8.162)

El resultado es 9,143.75 m3/s, para un Tr de 60

años



FUNCIÓN GUMBEL

DISTRIBUCIÓN GUMBEL

SUPÓNGASE QUE SE TIENEN N MUESTRAS, CADA UNA DE LAS CUALES CONTIENE n EVENTOS, SI SE SELECCIONA EL MÁXIMO X DE LOS n EVENTOS DE CADA MUESTRA, ES POSIBLE DEMOSTRAR QUE A MEDIDA QUE n AUMENTA, LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE X TIENDE A:

F(X)=e –e

LOS VALORES DE ς Y В SON LOS PARAMETROS DE LA FUNCIÓN

-ς(x-В)


DICHOS PARÁMETROS ς Y В PUEDEN SER ESTIMADOS COMO SIGUE:

ς = 1.2825/S desviación estándar

B=Xmedia-0.45 S desviación estándar

CUANDO SE TRATE DE MUESTRAS MUY GRANDES DE ANÁLISIS MAYORES A LOS 300 DATOS.


O BIEN DICHOS PARÁMETROS ς Y В PUEDEN SER ESTIMADOS COMO SIGUE PARA MUESTRAS RELATIVAMENTE PEQUEÑAS:

ς = Þ de tabla/S desviación estándar

B=Xmedia- µ de tabla/ ς

CUANDO SE TRATE DE MUESTRAS COMO LAS QUE HEMOS TRABAJADO.

n µ Þ10 0.4952 0.949615 0.5128 1.020620 0.5236 1.062825 0.5309 1.091430 0.5362 1.112435 0.5403 1.128540 0.5436 1.141345 0.5463 1.151850 0.5485 1.160755 0.5504 1.168260 0.5521 1.174765 0.5535 1.180370 0.5548 1.1854

EN EL CUADRO INFERIOR QUE SE PRESENTA EN ESTA Y LA SIGUIENTE LÁMINA, SE PRESENTAN LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS

n µ Þ75 0.5559 1.189880 0.5569 1.193885 0.5578 1.197490 0.5586 1.200795 0.5593 1.2037

100 0.5600 1.2065

EN EL CUADRO INFERIOR QUE SE PRESENTA LA CONTINUACIÓN DE LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS


PARA EL EJEMPLO DESARROLLADO ANTERIORMENTE PARA LOS METODOS DE LOGNORMAL Y NORMAL TENEMOS UNA SOLUCIÓN COMO SIGUE:

Para 25 años de registro, de la tabla anterior se obtiene lo siguiente: µ = 0.5309 y Þ = 1.0914


POR LO QUE SI SUSTITUIMOS EN LAS ECUACIONES CORRESPONDIENTES TENDREMOS:

ς = Þ de tabla/S desviación estándar; 1.0914/1825.91=0.000598 (m3/S)-1

B=Xmedia- µ de tabla/ ς ; 3886-0.5309/0.000598=2997.81 m3/s


RESOLVIENDO PARA X=7500 m3/s, de la ecuación siguiente tendremos:

F(X)=e –e o bién

e elevado a la –e elevado a la (-0.000598(7500-2997.81); lo cual da como resultado: F(X)=0.9345, POR LO QUE : P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9345=0.065

-ς(x-В)


AHORA PARA UN Tr DE 60 AÑOS, TENEMOS:P(X<=x)=Tr-1/Tr = e –e

F(x)=P(X<=x)=(60-1)/60=0.9833 Y DESPEJANDO X TENDREMOS:

X=B-1/ ς ln ln (Tr/Tr-1)= 2997.81-(1/0.000598)ln ln(1/0.9833) =

Un gasto de 9827.10 m3/s

-ς(x-В)

Criterio Resultado m3/s

Cual adoptar

NORMAL 7785.33

LOGNORMAL 9,143.75

GUMBEL 9827.10

Sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 ANÁLISIS DE LA PRECIPITACIÓN QUE SE REGISTRA EN UNA ESTACIÓN CLIMÁTICA.

Documents