Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco 1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µ A mede 45° e o ângulo µ C mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) 8 6 3 b) 4 6 c) 8 2 3 + d) 8( 2 3) + e) 2 6 3 2. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura: a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. Página 1 de 17
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µA mede 45° e o ângulo µC mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
a) 8 6
3
b) 4 6
c) 8 2 3+
d) 8( 2 3)+
e) 2 6
3
2. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0.
Página 1 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
d) 25,0 2 . e) 35,0. 3. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.
Dado: sen 20º 0,342=
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. 4. Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm
5. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma
parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem
parada intermediária.
Página 2 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, = = BÂP = 20º e ˆCBN 50= ° , é correto afirmar que
a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m 6. No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB
, N é o ponto médio de BC e 14MN 4= .Então, DM é igual a
a) 2
4
b) 2
2
c) 2
d) 3 2
2
e) 5 2
2
7. Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio RSe esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a
a) ( )2 2+
b) ( )2 2 2+
c) ( )2 2 2−
d) 2 2−
8. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) A equação sen 2x+cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [ ]0,3π .
02) Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes instruções para se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60° para norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A menor distância entre o local onde está enterrada a panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de aproximadamente 6 km.
04) O valor numérico de y na expressão tg240º cos330º
y é 3.sen870º sec11π+=
−
08) Se 3
sec x 5 e x ,2
ππ = − ∈ então tgx+cotgx é igual a
3
2.
Página 3 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
16) A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de IR em IR, de período 2.
9. As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2,2 e1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto,
a) 1 1 1
, , .8 8 2
b) 1 1 1
, , .4 4 8
c) 1 1 7
, , .4 4 8
d) 1 1 1
, , .2 2 4
e) 1 1 7
, , .2 2 8
10. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 11. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) =
0,99 . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a
altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
Página 4 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
12. Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e = 900 .
Qual a medida do segmento AD? a) 3
b) 4 3
c) 100 3+
d) 25 12 3+
e) 2 3
13. Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.
Página 5 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
Considere que:• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x)
c) 2y sen(x) 16 cos (x)= + −
d) 2y cos(x) 16 sen (x)= + −
14. Sejam α , β e γ , as medidas dos ângulos internos de um triângulo.
Se senα /senβ = 3/5, senα /sen γ = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é:
a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. 15. Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:
a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125 16. Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como mostra a figura a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um mesmo ângulo è com a horizontal.
Sabendo que o angulo A B̂ C também mede è e desconsiderando a altura dos observadores, a altura H do prédio e dada pela expressão:
a) H =d
2
sen 2
θ
cos è
b) H = d cos è sen è
c) H =d
2
tg è sen è
Página 6 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
d) H =d
2
tg è sec è
e) H = d sen2
θ
sec è
17. Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor lado deste triângulo é
a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m 18. Considere as seguintes informações:
- De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado na margem oposta;
- Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;
- Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) foram obtidas as
seguintes medidas: BÂC=30° e A $B C= 80°.
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será de aproximadamente
Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340
a) 524 metros b) 532 metros c) 1048 metros d) 500 metros e) 477 metros
Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340 19. Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede
Página 7 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros,
a) (5 3)
3
b) (8 3)
3
c) (10 3)
3
d) 5 3
e) 10 3
20. Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(BÂD) =120°, med(ABC) =
med(ADC) = 90°, AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é
a) 60. b) 62. c) 64. d) 65. e) 72.
Página 8 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
α= o o o o180 75 45 60− − =
Aplicando o teorema dos senos, temos:
o o
AC 8
sen60 sen45
2 3AC. 8.
2 2
AC 4 6
=
=
=
Resposta da questão 2: [B]
No triângulo ABC $ oABC 45= , aplicando o teorema dos senos, temos:
o o
50 BCBC. 2 50 BC 25 2
sen45 sen30= ⇔ = ⇔ =
No triângulo BDC, temos:
o h 1 hsen30 h 12,5 2
225 2 25 2= ⇔ = ⇔ =
Resposta da questão 3: [B]
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:
Página 9 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
o
o
x 160
0,342sen150
0,342.x 160.sen150
0,342x 80
x 233,9
=
==
=
Aproximadamente 234m.
Resposta da questão 4: [D]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
d2 = 52 + ( 3 3 )2 – 2.5. 3 3 .cos30o
d2 = 25 + 27 -303
3.2
d2 = 52 – 45
d = 7
Resposta da questão 5: [A]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
( ) 22 2
2
3AC 300 3 200 2.300 3.200.
2
AC 270000 40000 180000
AC 490000
AC 700m
= + − − = + +
==
Página 10 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
Resposta da questão 6: [B]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:2 2 2
14 1 1 1 12. . .cos
4 2 2 2 2
= + − β
Resolvendo, temos
3cos
4β = − e que cos o3
( 180 )4
α = α + β =
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:
( )
( )
222
222
1 1(AD) 1 2. .1.cos
2 2
1 1 3(AD) 1 2. .1.
2 2 4
= + − α
= + − −
AD = 1 3
14 4
+ −
AD = 2
2
Resposta da questão 7: [C]
A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios.Observe a figura.
Página 11 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
Na figura, temos:
No ΔOMB temos: 2 2x R r= −
Aplicando agora o teorema dos cossenos no ΔOAB:
( ) 2 2 2 o
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2x R R 2.R.R.cos 45
4(R r ) 2.R R . 2
R (2 2) 4.r
R 4
2 2r
R2.(2 2)
r
= + −
− = −
+ =
=+
= −
Resposta da questão 8: 02 + 04 = 06.
01) Falso: sen2x + cos x = 02senx.cosx + cosx = 0cosx.(2senx + 1) = 0 logo cosx = 0 ou senx = -1/2
Temos, então, 5 soluções: 3 5 7 11
, , , e 2 2 2 6 6
π π π π π.
02) Verdadeira
2 2 2 ox 4 3 2.4.3.cos120= + −2
2
2
1x 16 9 2.12.( )
2
x 25 12
x 37
x 37
x 6,08km
= + + −
= +
=
=;
04) Verdadeira
o
3 3 3 3 33tg240º cos330º 2 2 2y = 3
1 3sen870º sec11 sen150 sec 12 2
π π++= = = =− − +
08) Falsa
Página 12 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
2 2
2 2
2
sec x 1 tg x
5 1 tg x
tg x 4 tgx 2(III quadrante)
1tgx 2 e cotgx =
21 5
cot gx tgx 22 2
= +
= +
= ⇔ = ±
=
+ = + =
16) Falsa: o período é 4.
Resposta da questão 9: [C]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
12 =22 + 22 – 2.2.1cos A ⇔ cosA = 7/8
E= cosB = CosC = 4
1
22
1
=
1/4, 1/4 e 7/8
Resposta da questão 10: Como AQ AR AS AT AP RS ST TP PQ,= = = = = = = = segue que os triângulos ARS, AST,
ATP e APQ são equiláteros. Logo, ˆ ˆ ˆ ˆRAS SAT TAP PAQ 240+ + + = ° implica em: ˆQAR 360 240 120 .= ° − ° = °
Página 13 de 17
Curso Wellington – Matemática –Trigonometria – Lei dos Senos e Cossenos – Prof Hilton Franco
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos:2 2 2
2 22
2 2
2 2
ˆQR AQ AR 2 AQ AR cosQAR
13000 2 AQ 2 AQ
2
3 AQ 3000
3000( 3 AQ) 3000 AQ 1000 3 m.
3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔
= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⇔
⋅ = ⇒
⋅ = ⇒ = =
Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é: