Señales y sistemas UNIDAD_1 (UPS)

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D E S C R I P C I Ó N M AT E M Á T I C A D E S E Ñ A L E S

Capítulo 1

Señales y Sistemas

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESObjetivos

Definir lo que es una señal.Clasificar a las señales según sus características y reconocer los

tipos más comunes.Describir adecuadamente una señal usando una función

matemática en tiempo continuo.Conocer y aplicar las transformaciones u operaciones que se

pueden realizar a las señales en tiempo continuo.Describir las propiedades de las señales periódicas en tiempo

continuo.Describir las propiedades de las señales de energía y de potencia.

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESTemas

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1. Definición y tipos de señales

2. Funciones en tiempo continuo

3. Funciones de señales en tiempo continuo

4. Transformaciones de escalamiento y desplazamiento en tiempo continuo

5. Funciones par e impar en tiempo continuo

6. Diferenciación e integración de señales

7. Funciones periódicas en tiempo continuo

8. Energía y Potencia de la señal

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESIntroducción

El mundo que nos rodea esta lleno de señales y sistemas.Áreas tecnológicas:

Circuitos eléctricos, dispositivos de telecomunicaciones, procesamiento de señales, robótica, automatización, automóviles, aviones, naves espaciales, dispositivos biomédicos, procesos químicos

¿Como llegar a entender todos esto? Técnicas y herramientas básicas para el análisis.

Entender terminología necesaria. Describir operaciones.

Ing. Iván Escandón

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESDefinición y tipos de señal

Abr/2014

El mundo que nos rodea esta lleno de señales de diferente origen. Natural Artificial Hombre

Presión acústica (sonido) habla Variación de temperatura Señales eléctricas

Señal 3 componentes Medir intensidad, magnitud del fenómeno. Variación con respecto a alguna magnitud Tiempo, espacio. Contenido, tiene algún tipo de información.

Procesar implica: Resaltar, extraer, almacenar, Tx, Rx, etc.

¿Ruido?

Cantidad física que varia con el tiempo y que posee alguna información de interés.

6


Fuente: www.meteored.com.ec

7


Pirámide Poblacional

Fuente: http://www.terra.org/categorias/articulos/la-poblacion-mundial-aumento-en-76-millones-de-personas-en-el-2004

Fuente: http://www.eumed.net/cursecon/2/evolucion.htm

http://www.aularagon.org/files/espa/atlas/pir%E1mides%20de%20poblaci%F3n.htm

8


1960

1964

1968

1972

1976

1980

1984

1988

1992

1996

2000

2004

2008

05

101520253035404550

Tasa NatalidadTasa fertilidad

Años

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Descripción Matemática Señal función Estas son funciones definidas. Señal de voz no puede expresarse como función definida.

Aproximación: tomar un segmento y representarlo como:

Otras: Electrocardiograma ECG Estado del corazón Electroencefalograma Actividad cerebral Imagen: dos variables independientes espaciales

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11


12


Clasificación: Separara o diferenciar según alguna propiedad. La forma de procesar depende del tipo de señal. Señal función tenemos variable independiente y dependiente.

Señales multicanal y multidimensinal

𝑠1 (𝑡 )=𝐴𝑠𝑒𝑛 (3𝜋𝑡 )

: imagen, intensidad o brillo

: imagen de TV en B/N

: imagen TV color

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Señales en tiempo continuo frente a señales en tiempo discreto

𝑥 (𝑡 )={0.8𝑡 ;𝑡≥ 00 ;𝑡<0 Donde n: solo

enteros

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Señales continuas frente a señales discretas Se refiere al valor de la señal

( Amplitud ) Si puede tomar todos los

valores en un intervalo es continua.

Si toma valores de un conjunto finito es discreta.

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Abr/2014

Señales deterministas frente a señales aleatorias Una señal es determinista si tiene una descripción matemática.

Modelo matemático. Conocemos el pasado, presente y futuro.

Si no puede describirse explícitamente o su descripción es complicada, y su evolución es impredecible Aleatoria. Teoría de probabilidad Procesos estocásticos

Mini Test

DEFINICIÓN Y TIPOS DE SEÑAL

¿Qué es señal?¿En que radica la importancia de las

señales?¿Cómo se representa una señal?¿Cómo se clasifican las señales?¿Puede indicar los tipos de señal?¿Puede citar un ejemplo de señal y

clasificarla según sus características?

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17









18

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunciones de Señales en TC

Una función es continua definida en todo tiempo.Se tiene una discontinuidad cuando la función no esta definida

para un valor.

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Ejemplo de uso de función discontinua. ¿Como es el Vout? ¿Como lo representa?

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El voltaje es cero para tiempos negativos.El voltaje es Vs para tiempos positivos.Según esto:

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Es importante este tipo de señales Representan cambios de estados.

Funciones Singulares: Escalón unitario. Función signo. Rampa unitaria. Impulso unitario (función delta) Función comb unitario.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESEscalón unitario

En t=0 no esta definido. Se da un valor intermedio en t=0. Llamado: escalón unitario de

Heaviside.Cualquiera de las dos definiciones es valida. Su integral en un rango dado es igual. Como entradas de sistemas ambas producen una respuesta idéntica.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunción Signo (Signum)

Similar al escalón.Representa un cambio de polaridad.La magnitud es 1, signo depende del signo del argumento.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESRampa unitaria

Representa la activación seguida de un cambio lineal.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALES Rampa unitaria

La rampa unitaria es la integral del escalón unitario. El valor que se asigna a la

rampa en un determinado tiempo t es igual al área bajo el escalón para el mismo tiempo.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESSeñales de pulso

Pulso rectangular unitario: Su ancho, altura y área son uno.

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Pulso Triangular unitario: Su altura y área son uno.

28


Pulso rectangular cualesquiera:

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESImpulso unitario

Si disminuimos el valor de a de manera sucesiva hasta cero; a→0

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESImpulso Unitario

Definición:

Tiene duración cero, pero área finita.También le llaman:

Función delta Función de Dirac, o impulso de Dirac.

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Hay una relación entre el impulso y el escalón. El impulso es la derivada del escalón.

El escalón es la integral del impulso.

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Derivada generalizada:

33



34



35


Propiedades: Propiedad de muestreo:

Propiedad del producto:

Propiedad de escalamiento:

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunción Comb unitaria

Es una secuencia de impulso unitarios espaciados uniformemente.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESEl doblete

Es la derivada del impulso unitarioConsidere:

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El área total es cero.Tiene simetría impar.

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Propiedades Escalamiento:

Producto:

Filtrado:

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunciones Singulares

Notación: El subíndice indica si se debe integrar o derivar la función

Impulso unitario Positivo se deriva, Negativo de integra:

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunción Sinc unitaria

Es una función Seno cuya amplitud decae en un factor 1/t.

Su área es 1.

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DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunción de Dirichlet

Parecida a la función Sinc pero presenta una variación de amplitud periódica.

Su formula es:

Mini Test

FUNCIONES DE SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO

¿Qué es un escalón unitario?¿Qué es una rampa unitaria?¿Qué es un pulso rectangular?¿Qué es el Impulso unitario?¿Cómo están relacionados el

impulso, el escalón y la rampa?¿Qué es la derivada generalizada?

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Abr/2014Ing. Iván Escandón


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1

x(t)

ba

2

t

1

2x(t)

a

2

tb

1

0.5x(t)

a

2

tb

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESTransformaciones

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Las señales pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse tal como lo hacemos con funciones.

Transformaciones modifican amplitud (variable dependiente) y/o el tiempo (variable independiente)

ESCALAMIENTO DE AMPLITUD Si x(t) es una señal y C es un escalar, entonces Cx(t) implica que todos los valores se multiplican

por C, la señal cambia su amplitud.

Si C > 1 entonces se amplifica

Si 0< C < 1 entonces se atenúa


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INVERSIÓN DE LA AMPLITUD Si la constante C que multiplica a la señal es -1 se cambia el signo de las amplitudes. Lo positivo se hace negativo y viceversa. Se ve como reflejo respecto al eje de tiempo.

x(t) -1 x(t)


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DESPLAZAMIENTO DE AMPLITUD Si x(t) se le suma un escalar K, entonces se produce un desplazamiento vertical. A todos los valores de “x” se le agrega el valor K.

x(t)

-1

1

K=1

tK=-1

La señal no cambia de forma


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DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO La variable independiente se modifica restando un valor escalar, que se reemplaza en la función que

representa a la señal:

¿Qué ocurre con α? Si α > 0 se desplaza a la derecha, será una replica retrasada. Si α< 0 se desplaza a la izquierda, será una replica adelantada. Puede considerarse como dibujar a la señal en un nuevo eje.

t

x(t)

1-1-2-3-4 32

x(t-2) x(t+3)


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ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO

Aumenta o disminuye el tiempo y produce compresión o expansión de la señal. Si α > 1 se dará una expansión Si 0<α<1 se dará una compresión P.e.: acelerar o disminuir la velocidad de reproducción del sonido o video.


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REFLEXIÓN

El tiempo se cambia de signo. El efecto visual es ver la señal como

avanzando en sentido inverso. P.e.: reproducir música al revés.

𝑠𝑖𝑡→−𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:𝑥 (𝑡 )→𝑥 (− 𝑡)


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ORDEN TRANSFORMACIONES Por lo general se realizan más de una transformación a una señal. Para operaciones temporales se indicaría:

Se están realizando simultáneamente el desplazamiento y el escalamiento. ¿En que orden? P.e.: para obtener tenemos dos maneras:

Retraso 6(derecha 6)

Compresión entre 2

Compresión entre 2

Retraso 3(derecha 3)

𝑥 (𝑡 ) 𝑥 (𝑡−6 ) 𝑥 (2 𝑡−6 )

𝑥 (2 𝑡 ) 𝑥 ( 2(𝑡−3))𝑥 (𝑡 )¿ 𝑥 (2 𝑡−6 )

𝑦 (𝑡 )=𝑥 (𝛼𝑡− 𝛽 )


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Demostración toolbox del libro de Ashok Ambardar.

El toolbox se encuentra disponible en la siguiente dirección:

http://www.ece.mtu.edu/faculty/akambard/book/text.html

El comando tourgui despliega una ventana con todos los programas disponibles. Puede probar directamente con los comandos:

ctsiggui




Mini Test

TRANSFORMACIONES

¿Qué es una transformación?¿Qué tipos de transformaciones conoce?¿Cómo se representa o indica

simbólicamente una transformación?¿Qué es un desplazamiento temporal?¿Qué es un escalamiento de tiempo?¿Qué es un desplazamiento de amplitud?¿Qué es un escalamiento de amplitud?¿Qué son la reflexión y la inversión?¿Por qué es importante el orden de las

transformaciones?

53


54









DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunciones Par e Impar

55

Simetría Par: cuando la señal es invariante a la transformación:

siendo entonces

Gráficamente la parte derecha de la señal es idéntica a la izquierda, como si fueran el reflejo de un espejo alrededor del eje vertical.

Ejemplo:


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Simetría Impar: se da cuando al aplicarse:

se obtiene

Gráficamente la parte derecha de la señal es idéntica a la izquierda pero con signo opuesto, como si fueran el reflejo de un espejo pero negativas.

En matemáticas se llama simetría central, los puntos correspondientes se encuentran a la misma distancia al origen pero en lados opuestos.

Ejemplo:


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Si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores la señal no tiene simetría. Se le llama también asimétrica.


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Combinaciones de señales pares e impares con +, -, *, /: Par + par = par par * par = par Par + impar = asimétrica par * impar = impar Impar + impar = impar impar * impar = par

Se puede inferir lo mismo para la resta y la división. Es similar a la ley de los signos. La derivada de una función par es una impar, y viceversa

Como ejemplo considere la derivada del seno o coseno.

Similar idea para las integrales, pero hay que considerar la constante de integración.

Una señal cualesquiera puede formarse sumando una señal par y una señal impar:


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Formulas para determinar componentes par e impar:

Si una señal presenta alguna simetría una de estas componentes será cero. Integración alrededor de limites simétricos.


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Ejemplo:

t

x(t)

-1

4

2

t

0.5x(t)

-1

2

2 t

0.5x(-t)

-2

2

1

t-1

2

2

4

1-2

Xe(t)

t-1

2

2

4

1-2

Xo(t)

Mini Test

FUNCIONES PAR E IMPAR EN TIEMPO CONTINUO

¿Qué tipos de simetría hay?¿Cómo se determina si una señal

tiene simetría?¿Al combinar señales con una

simetría dada, que simetría tiene la resultante ?

¿Cómo se descompone una señal asimétrica en sus componentes par e impar?

61


62









DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESDiferenciación e Integración

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La derivada de una función es la pendiente en el instante t. Integral es el área acumulada bajo la curva hasta el instante t. La derivada es inequívoca, mientras, La integral no se determina de manera única, requiere de información adicional

condiciones iniciales.

Por lo general se considera que la función es cero para tiempos anteriores a un t0

K es una constante

Antiderivada K=0

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESDiferenciación e Integración

64

t

1x (t)

1-1

t

1

x’(t)

-1

t

1x (t)

1-1

Área negativa

Área positiva crecientes con t

Mini Test

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN DE SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO

¿Qué se debe tomar en cuenta al momento de derivar una señal?

¿Qué consideración debe tenerse al momento de integrar una señal?

¿Son totalmente opuestas la diferenciación e integración de señales? ¿si, porque? o ¿no, porque?

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Abr/2014Ing. Iván Escandón


66









DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALESFunciones Periódicas en TC

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Cuando la forma (patrón) de una sñ se repite una y otra vez desde –∞ a +∞ es periódica. Los valores se repiten

Si T es el intervalo mínimo posible, es el periodo fundamental To. La frecuencia es el recíproco del periodo f = 1/To, es el numero de ciclos o

repeticiones por segundo. Hercios Hz Frecuencia en radianes: Muchos fenómenos son cíclicos o periódicos:

Onda rectificada. Posición angular del eje de un generador eléctrico. Una portadora en un transmisor de radio. Posición orbital de un satélite. Campo eléctrico de un átomo de cesio en resonancia. Migración de animales. Estaciones.

Aquella función que no cumple con esto se llama aperiódica.

)()( nTtgtg T: periodon: entero

f 2

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALES Funciones Periódicas en TC

68

Ejemplo:


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Exponenciales complejas y sinusoidales. Son unas de las señales periódicas más útiles.

Una sinusoide es:

Una exponencial es:

Donde:

¿Qué diferencia hay entre usar o ? ¿Hay alguna ventaja?

))()(cos(eA g(t) )tj( tsenjtAe t

𝑔 (𝑡)=𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡+𝜃 )

𝑔 (𝑡 )=𝐴𝑐𝑜𝑠( 2𝜋𝑇 0

𝑡+𝜃)=𝐴𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝑓 0 𝑡+𝜃 )


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Ejemplo de calculo. Determinar los parámetros de una señal sinusoidal:


71

Ejemplo combinación de sinusoides: Cada sinusoide tiene su periodo y frecuencia. Hay que buscar el periodo común a todas.

Un tiempo en el cual cada sinusoide complete un número entero de ciclos. Periodo será el mínimo común múltiplo MCM. Frecuencia será el máximo común divisor MCD. Esto es posible si hay una razón proporcional entre las frecuencia o periodos.

La razón debe ser una fracción racional. Si no hay tal razón no se puede hallar un periodo o frecuencia común.


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Intentar lo siguiente:

En T=1/3: x1 completa 2 ciclos x2 completa 3 ciclos

𝑔 (𝑡 )=𝑐𝑜𝑠 (12𝜋𝑡 )+𝑠𝑒𝑛(18𝜋𝑡)𝑔 (𝑡 )=𝑥1 (𝑡 )+𝑥2(𝑡)

𝑓 1=35 ; 𝑓 2=75 ; 𝑓 3=105 ;𝑚𝑐𝑑𝑠𝑒𝑟 á :


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Importancia de las señales sinusoidales y armónicas. Hay dos razones importantes.

Una señal cualesquiera puede ser representada por la combinación de armónicos. Que no son más que múltiplos de una sinusoide base. Señales periódicas Series de Fourier Señales aperiódicas Transformada de Fourier

La respuesta de un “Sistema Lineal” ante una entrada armónica es también una señal armónica con la misma frecuencia pero de amplitud y fase cambiadas. Esto es el fundamento del análisis frecuencial. Propiedad “Fidelidad Sinusoidal”

Mini Test

FUNCIONES PERIÓDICAS EN TIEMPO CONTINUO

¿Cuándo una señal es periódica?¿Qué es el periodo fundamental?¿Qué es la frecuencia?¿Cuál es la frecuencia de una señal

que resulta de sumar varias señales periódicas?

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75









DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS SEÑALES Energía y potencia de la señal

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Clasificación de las señales por duración y área. Las señal pueden tener una duración finita o infinita.

Las señal de duración finita se llaman de tiempo limitado

Señal de duración semi-infinita se designan según a que lado se extienden al infinito. De lado izquierdo. De lado derecho.

Si una señal de lado derecho esta definida para t>0 y cero para t<0 se llama causal.

Si esta definida para t<0 es anticausal, o no causal.

ta

ta

ta

ta b


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Área absoluta. El área absoluta de una señal es una medida de su tamaño. Una señal es absolutamente integrable si tiene área finita.

Todas las señales de tiempo limitado son absolutamente integrables. Este criterio es usado para verificar la estabilidad en sistemas y la existencia

de ciertas transformadas.


78

Energía y Potencia. Si consideramos un resistor de 1 ohmio su potencia instantánea es:

Donde x(t) puede ser un voltaje o la corriente. La energía total se halla al integral la pi (t)en el tiempo

Esto también para señales complejas. La potencia de la señal es el promedio de la energía para todo el tiempo.

Si x(t) es periódica T representa el periodo. Para aperiódicas:


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Una señal con energía finita se denomina señal de energía. Estas tienen potencia cero, ya que la energía se promedia para el infinito. Las señales de tiempo limitado son de energía. También las señales que decaen con el tiempo, ej: exponencial, sinc

Las señales con potencia finita se llaman señal de potencia. Estas tienen potencia promedio finita y energía infinita. P.e: las señales periódicas.

Señales de energía y potencia son mutuamente excluyentes.

Guía: Si E es finita y P=0, señal es de Energía. Si E es infinito y P es finita, señal es de Potencia. Si E es infinita y P es infinita, señal no es de Energía ni de Potencia.

Mini Test

SEÑALES DE ENERGÍA Y POTENCIA

¿Cuándo una señal es de energía?¿Cuándo una señal es de potencia?

80

DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE SISTEMAS

81

BIBLIOGRAFÍA

Michael J. ROBERTS. “Señales y Sistemas. Análisis mediante métodos de transformada y MATLAB”. McGraw-Hill Interamericana. México, 2005.

Ashok AMBARDAR. “Procesamiento de señales analógicas y digitales”. Thomson Learning Inc. Segunda Edición. México DF, México. 2002.

Alan OPPENHEIM, Alan WILLSKY, S. Hamid NAWAB. “Señales y Sistemas”. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. Segunda Edición. México. 1998.

Para más libros de referencia revisar la planificación microcurricular y el cronograma.

Señales y sistemas UNIDAD_1 (UPS)

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