Seminarski Rad - Metoda Konacnih Razlika - Jozic Alen

Sveuilite Josip Jurj Strossmyer u Osijeku

Strojrski fkultet u Slvonskom Brodu

SEMINARSKI RAD

NUMERIKE METODE

Metoda konanih diferencija

Proraun progiba bandae kotla

Prezime i ime: Jozi Alen

Mtini broj: 12128810

Slvonski Brod, 2015.

SADRAJ

1. UVOD .............................................................................................. 1

1.1. Metoda konanih diferencija ..............................................................1

2. ZADATAK ...................................................................................... 5

2.1. Rjeenje metodom konanih diferencija (MKD) ...............................7

2.2. Rjeenje prem Castiglianu ................................................................ 11

2.3. Rjeenje zadatka programom Beam2D ....................................... 13

3. USPOREDBA RJEENJA .......................................................... 18

4. ZAKLJUAK ............................................................................... 19

Seminarski rad Numerike metode

1

1. UVOD

U ovom seminarskom radu prikazana je primjena metode konanih diferencija na

primjeru bandae parnog kotla optereene sa optereenjem q po cijeloj duini bandae.

Potrebno je bilo primjenom metode konanih diferencija odrediti progibe i nagibe tangente na

elastinu liniju za bandau parnog kotla. Zbog provjere numerikog rjeenja, progibe i nagibe

tangente na elastinu liniju bilo je potrebno odrediti i nekom od analitikih metoda. Nakon

toga je napravljena numerika analiza u programu Beam 2D.

1.1. Metoda konanih diferencija

Metoda konanih diferencija (engl. finite difference method, FDM) numerika je metoda

za rjeavanje diferencijalnih jednadbi, kod koje se, umjesto egzaktnog rjeenja diferencijalne

jednadbe, trai priblino rjeenje iz sustava diferencijskih jednadbi. Taj sustav

diferencijalnih jednadbi predstavlja, ustvari, sustav algebarskih jednadbi. Osnovna e ideja

MKD-a biti prikazana na primjeru ravninskog grednog nosaa, optereenog i deformiranog u

glavnoj centralnoj ravnini inercije (x, z), sl. 1.1[1].

Slika 1.1 Progib grede u ravnini (y, z), uz metodu konanih diferencija[1]


2

Ideja se metode sastoji u tome da se podruje (domena) kojeg opisuje diferencijalna

jednadba elastine linije (progibne linije):

2

2

d,

d

x

x

Mv

z EI (1.1)

podijeli na jednake segmente duljine z, meusobno povezane u vorovima (..., i-1, i, i+1,...),

te da se infinitezimalni prirast dv funkcije progiba v(z) zamijeni konanom diferencijom

(razlikom) v, uz konani prirast z varijable z. Zbog toga se prva derivacija funkcije progiba

v(z) u voru i, slika 1.1, moe napisati u obliku[1]:

i

d,

d i

v v

z z

(1.2)

Pretpostavi li se, sada, da vrijednost funkcije progiba v(z) u vorovima: i 1, i, i + 1,

jesu sljedee:

i-1 1( ), ( ), ( ),i ie v z z v v z v v z z (1.3)

tada se razvojem u Taylorov red vrijednosti ( ) i ( )v z z v z z i oko toke i dobiva:

2 2 3 3 4 4

2 3 4

d ( ) d ( ) d ( ) d ( )( ) ( ) ...,

d 2! d 3! d 4! d

v z z v z z v z z v zv z z v z z

z z z z

(1.4)

2 2 3 3 4 4

2 3 4

d ( ) d ( ) d ( ) d ( )( ) ( ) ...,

d 2! d 3! d 4! d

v z z v z z v z z v zv z z v z z

z z z z

(1.5)

Oduzme li se, sada, izraz (1.4) od (1.5), uzimajui, pritom, u obzir samo prva etiri

lana oba reda, slijedi:

3 3

3

d ( ) d ( )( ) ( ) 2 2 ,

d 3! d

v z z v zv z z v z z z

z z

(1.6)

odnosno:

2d ( ) ( ) ( ) 0( ).d 2

v z v z z v z zz

z z

(1.7)


3

Izraz (1.7) naziva se centralna diferencija, gdje 20( )z predstavlja ostatak vrijednosti

koje iznosi:

2 32

3

d ( )0( ) .

6 d

z v zz

z

(1.8)

Ukoliko se vrijednost ostatka zanemari, tada se izraz (1.2) moe napisati kao:

1 1d ( ) ( ) ( ) .d 2 2

i iv vv z v z z v z z

z z z

(1.9)

Da bi se dobila vrijednost druge derivacije istog reda ostatka, potrebno je izraze (1.4) i

(1.5) zbrojiti, uzimajui u obzir prvih pet lanova reda. Na taj se nain druga derivacija

dobiva u obliku:

2

1 1

2 2 2

2d ( ) ( ) 2 ( ) ( ),

d

i i iv v vv z v z z v z v z z

z z z

(1.10)

pri emu je vrijednost zanemarenog ostatka, sada:

2 42

4

d ( )0( ) .

12 d

z v zz

z

(1.11)

Na osnovi izraza (1.10), slijedi da je izraz (1.1) za vor i mogue napisati u

diferencijskom obliku:

2

1 12 .x

i i i

x i

Mv v v z

EI

(1.12)

Ovaj je izraz potrebno definirati za sve vorove, ime se rjeavanje diferencijalne

jednadbe elastine linije iz izraza (1.1), svodi na rjeavanje sustava diferencijskih

(algebarskih) jednadbi. Pritom su unutranji vorovi svi vorovi koji se nalaze izmeu

krajnjih, vanjskih vorova. Ako vanjski vor i predstavlja zglobno oslonjeni kraj grednog

nosaa (pomini ili nepomini oslonac), tada je za taj vor[1]:

0, 0.x iiM v (1.13)


4

Stoga se za taj vanjski vor ne postavlja izraz (1.12). Ako se, pak, u vanjskom voru i

nalazi ukljetenje, tada su u tom voru:

d0, 0.

di

i

vv

z

(1.14)

Primijenimo li drugi uvjet iz izraza (1.14) na izraz (1.9), dobivamo:

1 1d 0,d 2

i i

i

v vv

z z

odnosno

1 1.i iv v (1.15)

Kako se u izrazu (1.15) jedan od progiba odnosi na nepostojei vor, te je u voru i

potrebno pridodati fiktivni segment duljine z, slika 1.2.

Slika 1.2 Nepomini oslonac, uz metodu konanih razlika [1]

Time i postaje unutarnji vor za koji je potrebno postaviti izraz (1.12), uz uvaavanje

jednakosti iz izraza (1.15). Tako za sluaj sa sl. 1.2, kod kojeg i-1 predstavlja fiktivni vor,

vrijedi[1]:

2

12 .x

i

x i

Mv z

EI

(1.16)


5

2. ZADATAK

Potrebno je primjenom metode konanih diferencija odrediti progibe i nagibe tangente na

elastinu za bandau parnog kotla. Zbog provjere numerikog rjeenja, progibe i nagibe

tangente na elastinu liniju potrebno je odrediti i nekom od analitikih metoda. Skicirajte

elastinu liniju savijanja bandae. Korak diskretizacije odabrati takav da odstupanje

numerikog od analitikog rjeenja bude manje od 5 %.Bandaa je optereena kontinuiranim

optereenjem q koje se dobije redukcijom tlaka dimnih plinova s pripadajueg dijela

membranskog zida. Bandae se obino izrauju od standardnih valjanih I-profila prema

DIN1025, koji ovdje mogu biti HE-M, HE-B ili u HE-A izvedbi. Proraunska temperatura tc

bandaa je temperatura zasienja vodene pare pri proraunskom tlaku u membranskim

zidovima kao isparivakim povrinama. Bandae se obino izvode od S235JRG2, S355J2G3

ili 16Mo3. Budui se modul elastinosti mijenja s poveanjem temperature potrebno je za

materijal bandae, a prema ASME B31.1-1995, odrediti iznos modula elastinosti za

proraunsku temperaturu i primijeniti ga u proraunima.

Statiki model C (slika 2.1.):

Slika 2.1 Statiki model C


6

0

0

c

1

pri 282 C

2

4

Zadano:

-Statiki model C

-HE-A 300

282 C

-16Mo3

5500 mm

3000 mm

187000 MPa

- =11300 mm

182600000 mmx

t

a

b

E

A

I

Za rad na temperaturi T=282 C za materijal 16Mo3 vrijedi da je Youngov modul elastinosti

jednak:

Za T1 = 260 C vrijedi E1= 27,3106 psi

Za T2 = 316 C vrijedi E2= 26,7106 psi

Interpolacijom se dobije:

= 27,06 106psi

1psi = 0,00689476 MPa

= 0,00689476 27,06 106 = 187000 MPa


7

2.1. Rjeenje metodom konanih diferencija (MKD)

Proraun e se ponovno vriti samo na etvrtini modela poto je model dvostruko

simetrian. Korak diskretizacije bit e 125 mm to e dati 35 vorova,odnosno, 35 pomaka .

Slika 2.1 Prikaz pojedinih vorova, te sila i momenata

Potom se pristupa rjeavanju problema metodom konanih razlika. Pretpostavlja se da

je pomak u voru 13 jednak 0, dakle ostaje 34 vora, 2 nepoznate sile i 2 nepoznata momenta

to ukupno daje 38 nepoznanica. Mogu se postaviti 3 jednadbe ravnotee i 35 jednadbi

pomaka prema metodi konanih razlika to ukupno daje 38 jednadbi. Dakle, dobiva se

sustav 38 nepoznanica i 38 jednadbi koji e se lakoom rijeit u ''Mathcadu 14.0''. Prilikom

rjeavanja koristit e se metoda srednje razlike iji opi oblik izgleda ovako:

2

1 12 .x

i i i

x i

Mv v v z

EI


8

35 jednadbi pomaka prema metodi konanih razlika izgeda ovako:

2

1 2 1

2 2

1 2 3 1

22

2 3 4 1

22

3 4 5 1

22

4 5 6 1

5 6 7

vor1. -2 2EI

vor 2. 2EI 2

2vor3. 2

EI 2

3vor 4. 2

EI 2

4vor5. 2

EI 2

vor 6. 2

x

x

x

x

x

xw w M

x xw w w M q

xxw w w M q

xxw w w M q

xxw w w M q

w w w

22

1

22

6 7 8 1

22

7 8 9 1

22

8 9 10 1

22

9 10 11 1

5

EI 2

6vor 7. 2

EI 2

7vor8. 2

EI 2

8vor9. 2

EI 2

9vor10. 2

EI 2

vor11

x

x

x

x

x

xxM q

xxw w w M q

xxw w w M q

xxw w w M q

xxw w w M q

22

10 11 12 1

22

11 12 1

12 14

22 2

14 15 1 1

2 2

14 15 16 1 1

10. 2

EI 2

11vor12. 2

EI 2

vor13.

3000vor14. 2

EI 8 2

3000vor15. 2 2

EI 8

x

x

x

x

xxw w w M q

xxw w M q

w w

xxw w M q N x q

xw w w M q N x q

2

22 2

15 16 17 1 1

22 2

16 17 18 1 1

2

2

33000vor16. 2 3

EI 8 2

43000vor17. 2 4

EI 8 2

x

x

x

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q


9

22 2

17 18 19 1 1

22 2

18 19 20 1 1

22 2

19 20 21 1 1

20 21

53000vor18. 2 5

EI 8 2

63000vor19. 2 6

EI 8 2

73000vor 20. 2 7

EI 8 2

vor 21. 2

x

x

x

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

w w w

22 2

22 1 1

22 2

21 22 23 1 1

22 2

22 23 24 1 1

2

23 24 25 1

830008

EI 8 2

93000vor 22. 2 9

EI 8 2

103000vor 23. 2 10

EI 8 2

vor 24. 2EI

x

x

x

x

xxM q N x q

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

xw w w M q

22

1

22 2

24 25 26 1 1

22 2

25 26 27 1 1

2 2

26 27 28 1 1

11300011

8 2

123000vor 25. 2 12

EI 8 2

133000vor 26. 2 13

EI 8 2

3000vor 27. 2 1

EI 8

x

x

x

xN x q

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

xw w w M q N

2

22 2

27 28 29 1 1

22 2

28 29 30 1 1

22 2

29 30 31 1 1

144

2

153000vor 28. 2 15

EI 8 2

163000vor 29. 2 16

EI 8 2

173000vor30. 2 17

EI 8

x

x

x

xx q

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

22 2

30 31 32 1 1

22 2

31 32 33 1 1

2

183000vor31. 2 18

EI 8 2

193000vor32. 2 19

EI 8 2

x

x

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q


10

22 2

32 33 34 1 1

22 2

33 34 35 1 1

22 2

35 34 1 1

203000vor33. 2 20

EI 8 2

213000vor34. 2 21

EI 8 2

223000vor35. 2 2 22

EI 8 2

x

x

x

xxw w w M q N x q

xxw w w M q N x q

xxw w M q N x q

Te zajedno s 3 jednadbe ravnotee dolazi se do ukpuno 38 jednadbi:

V 1

H 2

3 1 2

Jednadbe ravnotee:

0 ; 2750 0

0 ; 1500 0

5500 5500 2750 27500 ; 0

2 4 2 4

F N q

F N q

M M M q q

Nakon rjeavanja sustava 38 jednadbi s 38 nepoznanica u programu Mathcad 14.0 pomou

naredbe given-find dolazi se do rjeenja svih pomaka i reakcija:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16

0,239 mm ; 0,2356 mm ; 0,2313 mm ; 0,2241mm ; 0,201 mm ;

0,1831 mm ; 0,1621 mm ; 0,1370 mm ; 0,1071 mm ; 0,0722 mm ;

0,0316 mm ; 0,0121 mm ; 0 mm ; 0,0121mm ; 0,104 mm ;

0,1928

w w w w w

w w w w w

w w w w w

w

17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

31 32

mm ; 0,2601mm ; 0,3299 mm ; 0,4007 mm ; 0,4722 mm ;

0,5430 mm ; 0,6130 mm ; 0,6802 mm ; 0,7453mm ; 0,8065 mm ;

0,8635 mm ; 0,9167 mm ; 0,9643 mm ; 1,1066 mm ; 1,0431 mm ;

1,073 mm ;

w w w w

w w w w w

w w w w w

w w

33 34 35

6 5

1 2 1 2

1,0968 mm ; 1,1139 mm ; 1,1242 mm ; 1,130mm ;

22000 N ; 12000 N ; 15,167 10 Nmm ; 61,467 10 Nmm

w w w

N N M M


11

2.2. Rjeenje prem Castiglianu

Proraunavat e se na etvrtini modela poto je dvostruko simetrian. Na model su

dodana karakteristicna podruja x1,x2 za raunanje momenata savijanja prema Castiglianovom

teoremu. Takoer, dodana je fiktivna sila P=0 kako bi se mogao dobiti pomak u toki

1.Model je osloboen veza te su dodane sile reakcije na toke 1 i 2.

Slika 2.2 Prikaz statikog modela

Iz modela je vidljivo da postoje 2 nepoznate sile i 2 momenta. Takoer, vidljivo je da e

pomak u smjeru sile N1 biti 0 te e upravo ta dodatna jednadba zajedno s 3 jednadbe

ravnotee biti dovoljna da se rijee nepoznate sile i momenti prema Castiglianovom teoremu .

Za raunanje sila i momenata u tokama 1 i 2 koriten je software ''Mathcad 14.0'' . Postupak

rjeavanja slijedi u nastavku.


12

Prvo postavljamo jednadbe momenata oko karakteristinih podruja x1, x2 :

2

1b 1 1 1

2

2b 2 1 1 2

2

3000 30001500

2 4 2

xM x M P x q

xM x M P q N x q

Opi Castiglianov izraz za pomake i rotacije:

lF

MM

EIi

i

bb

1

j

j

bb

1

MM

MEI

l

Dodatna jednadba prema Castiglianovom teoremu slijedi iz uvjeta da je pomak u smjeru

sile N1 jednak 0:

1

1

1500 2750b 1 b 2

b 1 1 b 2 2

1 1 10 0

1500 27502 2

1 2

1 1 1 1 1 2 2 2

0 0

1

1 1dx dx 0

1 1 1500 15000 dx 2750 dx 0

2 2 4 2

15625000000

N

x x

x x

N

M x M xUw M x M x

N EI N EI N

x xM P x q M P q N x q x

EI EI

Uw

N

1

13125000 58007812500000 03

NM

Te zajedno sa 3 jednadbe ravnotee ini sustav 4 jednadbe s 4 nepoznanice:

V 1

H 2

3 1 2

11

0 ; 2500 0

0 ; 1000 0

5500 5500 3000 30000 ; 0

2 4 2 4

207968750006029235 91222656250000 0

3

F N q

F N q

M M M q q

NM

Iz sustava jednadbi dobivaju se nepoznate sile i momente u tokama 1 i 2:

1

2

1

2

22000 N

12000 N

15155350 Nmm

6159823Nmm

N

N

M

M


13

Sada kada su sve nepoznanice rijeene postavlja se jednadba za pomak u toki 1 prema

Castiglianovom teoremu:

1500 2750b 1 b 2

1 b 1 1 b 2 2

0 0

1500 27502 2

1 2

1 1 1 1 1 1 2 2

0 0

5

1 1

1 1dx dx 0

1 1 5500 5500dx 2750 2750 dx 0

2 2 4 2

1(3 10 3

x x

x x

x

M x M xUw M x M x

P EI P EI P

x xM P x q x M P q N x q

EI EI

Uw M

P EI

8

1,125 10 5870250000000) 0,241mmN

2.3. Rjeenje zadatka programom Beam2D

Za numeriku potvrdu rezultata dobivenih pomou Castiglianovog teorema i metode

konanih razlika koristit e se program Beam2D zbog svoje jednostavnosti postavljanja i

rjeavanja problema.

Slika 2.3 Zadavanje svojstava materijala u programu Beam2D


14

Slika 2.4 Zadavanje svojstava presjeka u programu Beam2D

Slika 2.5 Zadavanje pozicija vorova te njihovih ogranienja u programu Beam2D


15

Slika 2.6 Zadavanje kontinuiranog optereenja na profil u programu Beam2D

Slika 2.7 Izgled modela sa svim zadanim parametrima u programu Beam2D


16

Slika 2.8 Rezultati pomaka u krajnjim vorovima u programu Beam2D

Slika 2.9 Rezultati sila i momenata krajnjim vorovima u programu Beam2D

Slika 2.10 Dijagram momenata savijanja


17

Slika 2.11 Izgled nosaa nakon deformiranja


18

3. USPOREDBA RJEENJA

Sljedea tablica daje pregled svih rezulatata dobivenih metodama u prethodnim

poglavljima (MKD, Castiglian, Beam2D) te usporedbu analitikih metoda u odnosu na

rjeenja dobivena u softveru Beam2D.

Pogreka u odnosu

na numerika

rjeenja

METODA

KONANIH

RAZLIKA

Sila N1 [N] 22000 0%

Sila N2 [N] 12000 0%

Moment M1 [Nmm]

15,167106 1%

Moment M2 [Nmm] 61,467105 1%

Pomak w1 [mm] 0,239 1,3%

CASTIGLIANOV

TEOREM

Sila N1 [N] 22000 100%

Sila N2 [N] 12000 100%

Moment M1 [Nmm]

15,155106 0,48%

Moment M2 [Nmm] 61,598105 0,5%

Pomak w1 [mm] 0,241 1,7%

NUMERIKO

RJEENJE

Sila N1 [N] 22000

Sila N2 [N] 12000

Moment M1 [Nmm]

15,083106

Moment M2 [Nmm] 61,667105

Pomak w1 [mm] 0,237

Tablica 3.1. Usporedba analitikih i numerikih rjeenja


19

4. ZAKLJUAK

Kod rjeavanja problema poput ovih najee se koriste numerike metode. Kod ovoga

problema se pokazalo da dovoljno velik broj vorova daje vrlo tone rezultate u odnosu na

Castiglianov pouak i numeriko rjeenje. Greka je manja od 5 % za sve sile u osloncima

kad usporedimo numerika i analitika rjeenja.

Seminarski Rad - Metoda Konacnih Razlika - Jozic Alen

Documents