-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
2.teden, 01.03.2011
KOMPLEKSNA TEVILA
1. Poii realni revili x in y, ki ustrezata enabi:
(3 i)x2 (3 + 2i)x (1 i)y = 13 10i.
Reitev: Najprej vse med seboj pomnoimo in odpravimo
oklepaje:
3x2 ix2 3x 2ix y + iy = 13 10i,
nato pa na levi strani zdruimo realni del skupaj in imaginarni
del, pri emer pri teh lenih
izpostavimo e i:(3x2 3x y) + i(x2 2x+ y) = 13 10i
Enaimo kompleksni tevili na levi in desni strani enabe in tako
dobimo dve enabi z dvema
neznankama:
3x2 3x y = 13x2 2x+ y = 10
Enabi setejemo, tako se znebimo spremenljivke y in nam ostane
kvadratna enaba ene samespremenljivke:
2x2 5x 3 = 0Po formulah izraunamo diskriminanto D = 25 + 24 = 49
in obe pripadajoi reitvi:
x1,2 =bD
2a=
5 74
Pripadajoi reitvi torej sta:
x1 = 3 in x2 = 12.
K vsakemu x-u izraunamo e pripadajoi y tako, da vstavimo reitev
za x v eno od zaetnihdveh enab. Dobimo:
y1 = 5 in y2 = 434.
1
-
2. Izraunaj realno in imaginarno komponento tevila z = a+iai ,
kjer je a realen. Kolikna jevsota kvadratov obeh komponent? Koliko
je |z|?
Reitev: Najprej zapiimo z malo drugae in sicer bomo
racionalizirali ulomek tako, datevec in imenovalec pomnoimo z
izrazom (a + i), saj tako potem v imenovalcu dobimorealno tevilo.
Pri tem se spomnimo: (a b)(a + b) = a2 b2, kar je na razlog za
izbiroustreznega mnoitelja za raziritev. Tako dobimo:
z =a+ i
a i =(a+ i)(a+ i)
(a+ i)(a i) =a2 + 2ai+ i2
a2 i2 =a2 + 2ai 1a2 + 1
=a2 1a2 + 1
+2a
a2 + 1 i,
pri emer smo upotevali, da je i2 = 1. Od tod preberemo:Re(z) =
a
21a2+1 in
Im(z) = 2aa2+1 .
Vsota kvadratov obeh komponent:
Re2(z) + Im2(z) =
(a2 1a2 + 1
)2+
(2a
a2 + 1
)2=a4 2a2 + 1(a2 + 1)2
+4a2
(a2 + 1)2
Re2(z) + Im2(z) =a4 + 2a2 + 1
(a2 + 1)2=a4 + 2a2 + 1
a4 + 2a2 + 1
Re2(z) + Im2(z) = 1
S pomojo pravkar izraunanega z lahkoto izraunamo e |z|, saj je
|z| =Re2(z) + Im2(z).
Torej je :
|z| = 1.
2
-
3. Izraunaj
3 4i!
Reitev: Koren kompleksnega tevila bo gotovo spet kompleksno
tevilo, zato nastavimo:
3 4i = x+ iy
Enabo kvadriramo. Pri tem upotevamo, da je desna stran enabe
dvolenik, torej imamo
na tej strani kvadrat dvolenika. Dobimo:
3 4i = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy y2 = x2 y2 + i(2xy)
Primerjamo levo in desno stran in dobimo dve enabi z dvema
neznankama:
x2 y2 = 32xy = 4
Iz druge enabe izrazimo eno spremenljivko, npr. y = 42x = 2x in
vstavimo v prvo enabo:
x2 ( 2x
)2= x2 4
x2= 3
Enabo mnoimo z x2 in dobimo:
x4 3x2 4 = 0
Leva stran se da razstavit:
(x2 4)(x2 + 1) = 0Drugi oklepaj (x2+1) nima realnih reitev (x in
y sta kot realni oz. imaginarni del komplek-snega tevila nujno
realna), zato izraunamo reitve samo iz prvega oklepaja. Dibimo:
x1 = 2 in x2 = 2 in pripadajoa imaginarna dela y1 = 1 in y2 =
1.Izraunali smo torej, da kot koren kompleksnega tevila lahko
dobimo dve reitvi. V naem
primeru sta to kompleksni tevili
z1 = 2 i in z2 = 2 + i.
3
-
4. Skiciraj mnoico tok v ravnini, ki zadoajo pogoju:
|z 3| < 1
Reitev: Naj bo z = x + iy. Spomnimo se: |z| =Re2(z) + Im2(z).
Vstavimo v dano
neenakost in dobimo:
|x+ iy 3| < 1 oz. |(x 3) + iy| < 1.
Upotevamo, kaj je absolutna vrednost kompleksnega tevila in
dobimo naslednjo neenakost:(x 3)2 + y2 < 1
Kvadriramo celotno neenabo:
(x 3)2 + y2 < 1Ta neenakost nam v koordinatnem sistemu
predstavlja naslednjo mnoico tok: notranjost
kroga (brez roba) s srediem v toki S(3, 0) in z radije r =
1.
Risba:
4
-
5. Poii in skiciraj mnoico tok v kompleksni ravnini, za katere
velja:
|z 1|+ |z + 1| = 4
Reitev: Nastavimo: z = x+ iy, vstavimo v enabo in dobimo:
|x+ iy 1|+ |x+ iy + 1| = 4
Upotevamo, kaj je absolutna vrednost kompleksnega tevila:(x 1)2
+ y2 +
(x+ 1)2 + y2 = 4
Prenesemo enega izmed korenov na drugo stran(x 1)2 + y2 = 4
(x+ 1)2 + y2
in kvadriramo enabo
(x 1)2 + y2 = 16 8(x+ 1)2 + y2 + (x+ 1)2 + y2
oziroma
x2 2x+ 1 + y2 = 16 8(x+ 1)2 + y2 + x2 + 2x+ 1 + y2
Pokrajamo, kar se da, in dobimo
4x 16 = 8(x+ 1)2 + y2
Delimo e z (-4)
x+ 4 = 2(x+ 1)2 + y2
in nato kvadriramo
x2 + 8x+ 16 = 2((x+ 1)2 + y2
)e malo poraunamo in uredimo
3x2 + 4y2 = 12
Nazadnje e delimo z 12 in dobimo konno enabo
x2
4+y2
3= 1.
Tako vidimo, da je dana mnoica tok elipsa s srediem v S(0, 0) in
polosema a = 2 inb =3.
Risba:
5
-
6. Naslednje kompleksno tevilo zapii v polarni obliki in ga
oznai (narii) v kompleksni ravnini:
z = 6 + 6i
Reitev: Zapis kompleksnega tevila v polarni obliki:
z = |z| (cos+ i sin) = |z|6 ei,
kjer je |z| =Re2(z) + Im2(z) in = arctan yx .
Pa izraunajmo to za na primer:
r = |z| = 62 + 62 =2 62 = 62
= arctan 66 = arctan 1 =pi4 + kpi, pravi kot v naem primeru je
=
pi4 , saj tevilo lei v
prvem kvadrantu.
Torej se nae tevilo v polarnem zapisu glasi:
z = 62(cos
pi
4+ i sin
pi
4
)= 62 eipi4 .
7. Izraunaj:
(3+i)15
(1+i)10
Reitev: Obe kompleksni tevili bomo zapisali v polarni obliki,
saj je v le-tej laje raunati
potence kompleksnega tevila. Velja namre:
zn = |z|n (cosn+ i sinn) = |z|n ein
Zapis tevila 3 + i v polarni obliki:r =3 + 1 =
4 = 2 in
= arctan 13= pi6 + kpi =
pi6
Torej je
3 + i = 2 eipi6 in (3 + i)15 = 215 ei15pi6 = 215 ei 5pi2 = 215
eipi2 .
Zapis tevila 1 + i v polarni obliki:r =1 + 1 =
2 in
= arctan 1 = pi4 + kpi =pi4
Torej je 1 + i =2 eipi4 in (3 + i)10 = 210 ei10pi4 = 2 102 ei
5pi2 = 25 eipi2 .
Sedaj e samo izraunano vstavimo v zaetni zapis, tj. v ulomek,
pokrajamo, kar se da in
dobimo:
(3 + i)15
(1 + i)10=
215 eipi225 eipi2 = 2
10 = 1024
6
-
8. Poii kompleksne reitve enabe:
z7 = 1 + i3
Reitev: Naloga se precej laje rei, e vzamemo polarne zapise
kompleksnih tevil. Tako
nastavimo z = r ei. Seveda moramo sedaj tudi tevilo na desni
strani enabe zapisati vpolarnih koordinatah:
1 + i3 v polarni obliki:r =1 + 3 =
4 = 2 in
= arctan31 = pi3 + kpi = 2pi3 , saj se tevilo nahaja v II.
kvadrantu.Torej je 1 + i3 = 2 ei 2pi3 .Enaba se sedaj glasi:
(r ei)7 = 2 ei 2pi3 oz. r7 ei7 = 2 ei 2pi3 .Primerjamo levo in
desno stran in dobimo naslednji dve enabi:
za r: r7 = 2, od koder sledi, da je r = 72. za : 7 = 2pi3 +
2kpiDelimo s 7 in dobimo:
= 2pi21 +2kpi7 za k {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tako dobimo 7 reitev dane enabe, za katere velja, da vse leijo
na kronici z radijem
72okoli izhodia. Prvo tevilo z1 oklepa z x-osjo kot
2pi21 , ostali pa potem med seboj oklepajo
kot
2pi7 .
9. Poii kompleksne reitve enabe:
z2z7 = (i 1)6
Reitev: Kot prej se naloga precej laje rei, e vzamemo polarne
zapise kompleksnih tevil.
Tako nastavimo z = r ei. Tedaj je z = r ei. Seveda moramo sedaj
tudi tevilo na desnistrani enabe zapisati v polarnih
koordinatah:
i 1 v polarni obliki:r =1 + 1 =
2 in
= arctan11 = pi4 + kpi = 3pi4 , saj se tevilo nahaja v II.
kvadrantu.Torej je 1 + i = 2 ei 3pi4 in (1 + i)6 = 26 ei6 3pi4 = 2
62 ei 9pi2 = 23 eipi2 .Enaba se sedaj glasi:
(r ei)2(r ei)7 = 23 eipi2 oz. r9 ei5 = 23 eipi2 .Primerjamo levo
in desno stran in dobimo naslednji dve enabi:
za r: r9 = 23, od koder sledi, da je r = 32. za : 5 = pi2 +
2kpiDelimo s (-5) in dobimo:
= pi10 +2kpi5 za k {0,1,2,3,4}.
Tako dobimo 5 reitev dane enabe, za katere velja, da vse leijo
na kronici z radijem
32okoli izhodia. Prvo tevilo z1 oklepa z x-osjo kot pi10 ,
ostali pa potem med seboj oklepajokot
2pi5 .
7
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
3.teden, 08.03.2011
ZAPOREDJA
1. Dano je zaporedje s splonim lenom an =n+2n .
(a) Na tevilski premici narii nekaj lenov!
Reitev: Izrauanjmo torej prvih nekaj lenov, da jih lahko potem
tudi nariemo:
a1 =1+21 = 3, a2 =
2+22 = 2, a3 =
3+23 =
53 , a4 =
4+24 =
32 , a5 =
5+25 =
75 ,
a6 =6+26 =
43 , ...
Slika:
(b) Pokai, da je zaporedje strogo padajoe!
Reitev: Zaporedje je padajoe, e je vsak naslednji len manji ali
enak svojemu
predhodniku, torej z enabo: an+1 an za vsak n N. Strogo padajoe
pa, e veljastrogi neenaaj.
To bomo dokazali z direktnim raunom. Spomnimo se e, da e je an
=n+2n , potem je
an+1 =(n+1)+2n+1 =
n+3n+1 .
elimo torej pokazati:
n+3n+1 0, zato lahko tukaj znak za absolutno vrednostspustimo.
Tako dobimo:
|an| = nn+1Za dobljeni ulomek pa lahko reemo, da je zagotovo
manji od 1, saj je tevilo v imenovalcu
vedno za 1 veje od tevila v tevcu. Torej smo dobili iskani M = 1
in tako velja
|an| < 1
in s tem je dokazano, da je zaporedje omejeno.
4. Doloi stekalia naslednjega zaporedja: an = (1)n + 1n .Reitev:
Izraunajmo nekaj prvih lenov zaporedja in poglejmo, kaj se z njimi
dogaja:
a1 = (1)+1 = 0, a2 = +1+ 12 = 32 , a3 = 1+ 13 = 23 , a4 = +1+ 14
= 54 , a5 = 1+ 15 = 45 ,a6 = 1 +
16 =
76 , a7 = 1 + 17 = 67 , ...Opazimo, da se vsi leni s sodimi
indeksi a2k pribliujejo 1, vsi leni z lihimi indeksi a2k+1pa k -1.
Torej ima dano zaporedje dve stekalii in sicer 1 in -1.
2
-
5. Poii zaporedje:
(a) s sedmimi stekalii;
(b) takno, da je vsako naravno tevilo njegovo stekalie.
6. Dokai, da je zaporedje, podano s splonim lenom an =2n73n+2 ,
naraajoe in omejeno ter
izraunaj njegovo limito.
Reitev:
Naraajoe: Pokazati elimo, da za dano zaporedje velja, da je vsak
njegov len vejiali enak svojemu predhodniku. Z enabo:
an+1 an za n Ne je an =
2n73n+2 , potem je an+1 =
2(n+1)73(n+1)+2 . Tako dobimo naslednjo neenakost:
2n 53n+ 5
2n 73n+ 2
Mnoimo celo neenakost s skupnim imenovalcem, tj. izrazom
(3n+5)(3n+2) in dobimo:
(2n 5)(3n+ 2) (2n 7)(3n+ 5)Mnoimo in setejemo ustrezne lene
6n2 11n 10 6n2 11n 35Po krajanju nam ostane 10 35, kar je
pravilno in zato velja, da je res zaporedjenaraajoe.
Omejeno: to pomeni, da moramo pokazati, da je zaporedje navzdol
in navzgor omejeno.Za to, da je zaporedje navzdol omejeno, je
dovolj uporabiti pravkar pokazano dejstvo,
torej da je naraajoe, saj je tedaj zagotovo rvi len zaporedja
hkrati tudi najmanji
len zaporedja in tako velja:
an a1 za n NPokaimo e, da je tudi navzgor omejeno, torej da
obstaja tako pozitivno realno tevilo
M , da velja:
an M za n NMi si bomo eno tako tevilo M izbrali in zanj
pokazali, da velja - recimo M = 23 (lahkotudi M = 1).
an =2n73n+2 23Mnoimo s 3(3n+2) in dobimo: 3(2n7) 2(3n+2) in po
mnoenju 6n21 6n+4oz. 21 4, kar seveda dri in zato dri tudi naa
zaetna trditev an 23 , torej jezaporedje res navzgor omejeno.
Spomnimo se, da je po izreku naraajoe navzgor omejeno zaporedje
konvergentno,
zato tudi obstaja njegova limita in jo lahko izraunamo.
Limita:limn an = limn
2n 73n+ 2
= limn
2 7n3 + 2n
=2
3
3
-
7. Dokai, da je zaporedje, podano s splonim lenom an =n214n2+1 ,
monotono in omejeno ter
izraunaj njegovo limito.
Reitev:
Monotono: pomeni naraajoe ali padajoe zaporedje. Izraunali bomo
prvih nekajlenov, da vidimo, ali zaporedje pada ali naraa in potem
bomo nao ugotovitev tudi
dokazali.
a1 = 0, a2 =221422+1 =
317 = 0, 176, a3 =
321432+1 =
837 = 0, 216, a4 =
421442+1 =
1565 = 0, 231
Po prvih tirih lenih sklepamo, da je zaporedje naraajoe. Pa to
tudi dokaimo:
an+1 an za n N
e je an =n214n2+1 , potem je an+1 =
(n+1)214(n+1)2+1 . Tako dobimo naslednjo neenakost:
n2 + 2n
4n2 + 8n+ 5 n
2 14n2 + 1
Mnoimo celo neenakost s skupnim imenovalcem, tj. izrazom (4n2 +
8n + 5)(4n2 + 1)in dobimo:
(n2 + 2n)(4n2 + 1) (n2 1)(4n2 + 8n+ 5)Zmnoimo:
4n4 + 8n3 + n2 + 2n 4n4 + 8n3 + n2 8n 5Na obeh straneh odtejemo
iste lene in uredimo enabo. Tako dobimo:
10n 5 = n 510
= 12
Ta zadnja neenakost seveda dri, saj je n naravno tevilo 1, torej
tudi 12 .Zaporedje je res naraajoe.
Omejeno: podobno kot prej, ker je zaporedje naraajoe, je prvi
len spodnja mejazaporedja.
Navzgor omejeno:
an 14za n N
Mnoimo s 4(4n2 + 1) in dobimo
4(n2 1) 4n2 + 1 = 4n2 4 4n2 + 1 = 4 1.Ker je zadja neenakost
pravilna, velja tudi naa zaetna predpostavka in zaporedje je
res navzgor omejeno.
Limita:limn an = limn
n2 14n2 + 1
= limn
1 1n24 + 1n2
=1
4
4
-
8. Dokai, da je zaporedje, podano s splonim lenom an =
2 +
2 +2 + ...+
2, konver-
gentno in izraunaj njegovo limito.
Reitev: Izrek pravi, da je zaporedje konvergentno, ko je ali
padajoe in navzdol omejeno
ali naraajoe in navzgor omejeno. Pa da najprej ugotovimo, ali je
naraajoe ali padajoe,
izraunajmo prvih nekaj lenov zaporedja:
a1 =2 = 1, 41
a2 =2 +2 =2 + a1
a3 =
2 +2 +2 =2 + a2
...
an+1 =2 + an
Ko smo raunali zaetne lene zaporedja, smo ugotovili, da se da
vsak len zapisati kot
funkcija svojega predhodnika, kar pomeni, da lahko zaporedje
podamo rekurzivno (zadnja
formula). Hkrati smo ugotovili tudi, da je vsak len nekoliko
veji od svojega predhodnika,
kar pomeni, da je zaporedje naraajoe. Pa to tudi dokaimo:
Naraajoe:an+1 an za n NPri rekurzivno podanih zaporedjih si za
dokaz naraanja/padanja in omejenosti po-
magamo z Matematino indukcijo. Ta (se spomnimo) poteka v dveh
korakih:
(a) n = 1: elimo torej, da velja a2 a1. Izraunamo vrednosti obeh
leno 1, 85 1, 41in ugotovimo, da za n = 1 eljena lastnost res
velja.
(b) Drugi korak pa gre takole: pri predpostavki, da lastnost
velja za n, elimo pokazati,da velja tudi za naslednjika n+ 1:
Predpostavka torej je : an+1 anPokazati pa elimo, da tedaj velja
tudi
an+2 an+1Spomnimo se rekurzivnega zapisa tega zaporedja. Potem
namesto zgornje neenabe
dobimo 2 + an+1
2 + an
Kvadriramo
2 + an+1 2 + anin odtejemo 2 na obeh straneh neenaaja in
dobimo
an+1 an,
kar pa velja, saj je to naa predpostavka.
S tem smo pokazali, da je zaporedje naraajoe.
5
-
Omejeno: e je zaporedje naraajoe in elimo, da je konvergentno,
mora biti navzgoromejeno (navzdol tako ali tako je s prvim lenom).
Pokaimo:
an 2 za n N
Ponovno naredimo to s pomojo matematine indukcije:
(a) n = 1: elimo torej, da velja a1 2. Izraunamo vrednost prvega
lena a1 =1, 41 2 in ugotovimo, da za n = 1 eljena lastnost res
velja.(b) Drugi korak n n+ 1Predpostavka torej je : an 2Pokazati pa
elimo, da tedaj velja tudi
an+1 2
Spomnimo se rekurzivnega zapisa tega zaporedja. Potem namesto
zgornje neenabe
dobimo 2 + an 2Kvadriramo
2 + an 4in odtejemo 2 na obeh straneh neenaaja ter dobimo
an 2
kar pa velja, saj je to naa predpostavka.
To je bil dokaz, da je zaporedje navzgor omejeno.
Pokazali smo torej, da je naraajoe in navzgor omejeno in s tem
dokazali, da je kon-
vergentno.
Pa izraunajmo e limito.
Limita: Za limito velja, da se ne spremeni, e zaporedju
odvzamemo ali dodamo prvihnekaj lenov. Tako torej velja, da je
lim
n an+1 = limn an = A
limn an+1 = limn
2 + an =
limn(2 + an) =
2 + lim
n an
Torej dobimo:
A =2 +A
Kvadriramo
A2 = 2 +A = A2 A 2 = 0Dobili smo kvadratno enabo za A. S pomojo
razcepa ali diskriminante izraunamonjeni reitvi
A1 = 1 in A2 = 2.Pravilna je seveda druga reitev, saj je
zaporedje naraajoe in je e prvi len veji od
reitve A1 = 1.Torej: lim
n an = 2.
6
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
4.teden, 15.03.2011
1. Izraunaj naslednje limite:
(a) limn
(n3)(n21)(n2+7)(4n+3)5
Reitev: Gre za izraz
. Nalogo bomo reili tako, da bomo tako v tevcu kot vimenovalcu
izpostavili n na najvijo potenco, ki jo najdemo. Tako dobimo
naslednje:
limn
n(1 3n )n2(1 1n2 )n2(1 + 7n2 )(n(4 + 3n ))
5= lim
nn5(1 3n )(1 1n2 )(1 + 7n2 )
n5(4 + 3n )5
Sedaj opazimo, da se nam n5 v tevcu in imenovalcu okraja, medtem
ko gredo izrazi zn oz n2 proti 0, ko poljemo n preko vseh meja.
Ostane nam torej:
limn
(1 3n )(1 1n2 )(1 + 7n2 )(4 + 3n )
5=
1 1 145
=1
1024
(b) limn
n+ 3n+ 4n
9n+1
Reitev: Nalogo reimo podobno kot prejnjo, le da za zaetek korene
zapiemo kot
potence:
limn
n12 + n
13 + n
14
(9n+ 1)12
= limn
n12 (1 + n
16 + n
14 )
(n(9 + 1n ))12
= limn
n12 (1 + 1
n16+ 1
n14)
n12 (9 + 1n )
12
=19=
1
3
(c) limn
ln (n2n+1)ln (n5+5n+1)
Reitev: Podobno kot prej najprej v argumentu logaritmov
izpostavimo najvije po-
tence, nato pa uporabimo lastnosti logaritmov in izraz zapiemo
nekoliko drugae:
limn
ln (n2(1 1n + 1n2 ))ln (n5(1 + 5n4 +
1n5 ))
= limn
lnn2 + ln (1 1n + 1n2 )lnn5 + ln (1 + 5n4 +
1n5 )
= limn
2 lnn+ ln (1 1n + 1n2 )5 lnn+ ln (1 + 5n4 +
1n5 )
Sedaj delimo tevec in imenovalec z lnn in dobimo
limn
2 +ln (1 1n+ 1n2 )
lnn
5 +ln (1+ 5
n4+ 1n5
)
lnn
e sedaj podrobneje pogledamo ulomek, ki smo ga dobili v tevcu
(izraz v imenovalcu
je zelo podoben), opazimo, da gre proti 0, ko poljemo n preko
vseh meja, saj gre izrazv tevcu tega ulomka proti 0, tisti v
imenovalcu pa naraa v neskonno.
Tako dobimo konni rezultat, da je dana limita enaka
25 .
1
-
(d) limn
2n+1+3n+1
2n+3n
Reitev: Tukaj izpostavimo potenco z vejo osnovo, torej 3, razlog
pa je ta, da dobimo
v tem primeru ulomek ( 23 ), kar je manj kot 1, in ta izraz bo
tem manji, kolikor veja bopotenca, torej gre proti 0 ko poljemo n
proti neskonno. Tako dobimo naslednji raun:
limn
3n+1( 2n+1
3n+1 + 1)
3n( 2n
3n + 1)= lim
n3n 3(( 23)n+1 + 1)
3n((23
)n+ 1)
= limn
3((23
)n+1+ 1)
((23
)n+ 1)
=3(1)
1= 3
(e) limn
n!(n+1)!n!
Reitev: Najprej se spomnimo, da se da (n + 1)! zapisati drugae
kot (n + 1)n! in tovstavimo ter dobimo:
limn
n!
(n+ 1)! n! = limnn!
(n+ 1)n! n! = limnn!
n!((n+ 1) 1) = limn1
n= 0
(f) limn
(n
n+1
)nReitev: Najprej se spomnimo ene znane limite, na katero
zgornji izraz spominja, to
je limn
(1 + 1n
)n= e. To bomo v naem primeru tudi poskuali dobiti.
limn
(n
n+ 1
)n= lim
n
((n+ 1
n
)1)n= lim
n
((n+ 1
n
)n)1=
(limn
(n+ 1
n
)n)1=
(limn
(1 +
1
n
)n)1= e1 =
1
e
2
-
VRSTE
2. Ugotovi, ali sta vrsti konvergentni ali divergentni (po
deniciji):
(a) 1 1 + 12 12 + 13 13 + ...Reitev: Po deniciji je vrsta
konvergentna, ko je konvergentno zaporedje ustreznih
delnih vsot, to je zaporedje s splonim lenom sn =nk=1
ak, kjer so ak, k = 1, 2, 3, ...
leni vrste. Pa za na primer izraunajmo delne vsote:
s1 = a1 = 1
s2 = a1 + a2 = 0
s3 = a1 + a2 + a3 =12
s4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 0
s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =13
s4 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 0
...
Hitro opazimo, da so vsi leni s sodimi indeksi (n = 2k) enaki 0.
leni z lihimi indeksi(n = 2k 1) pa so enaki 1k . e tukaj iz prvega
izraza k izrazimo z n in vstavimo vdrugega, dobimo splono formulo
za lene zaporedja delnih vsot in sicer:
sn =
{0 ; n sodo
2n+1 ; n liho
Dobljeno zaporedje lahko razstavimo na dve podzaporedji, eno
podzaporedje naj bo
tisto z sodimi indeksi, drugo z lihimi. Za prvo zaporedje vemo,
da je konvergentno z
limito 0 (saj so vsi njegovi leni enaki 0), drugo zaporedje pa
je prav tako konvergentno,
saj je padajoe (1, 12 ,13 , ...) in navzdol omejeno (zagotovo
noben len ni manji od 0, saj
so vsi pozitivni). e izraunamo limito tega drugega zaporedja,
dobimo: limn
2n+1 = 0.
Torej to podzaporedje konvergira k lenom prvega podzaporedja,
torej k 0, kar pomeni,
da je zaporedje delnih vsot konvergentno in je potem tudi dana
vrtsa konvergentna.
(b) 1 1 + 1 1 + 1 1 + ...Reitev: Izraunajmo nekaj prvih lenov
zaporedja delnih vsot in poskusimo uganiti
splono formulo:
s1 = a1 = 1
s2 = a1 + a2 = 0
s3 = a1 + a2 + a3 = 1
s4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 0
s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1
s4 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 0
...
Hitro opazimo:
sn =
{0 ; n sodo1 ; n liho
Dobljeno zaporedje ima dve stekalii, kar pomeni, da ni
konvergentno, torej je po
deniciji tudi dana vrsta divergentna.
3
-
3. Ugotovi konvergenco oz. divergenco vrste:
k=1
(k k 1
)
Reitev: Sploni len dane vrste je an =n n 1. Izraunajmo nekaj
prvih lenovzaporedja delnih vsot in poskusimo uganiti splono
formulo:
s1 = a1 =10 = 1
s2 = a1 + a2 =10 +21 = 2
s3 = a1 + a2 + a3 =10 +21 +32 = 3...
sn =10 +21 +32 + ...+n 1n 2 +nn 1 = nTo zaporedje je naraajoe in
ni navzgor omejeno, saj je lim
nn =, zato je divergentnoin je tudi dana vrsta divergentna.
4. Dan je sploni len vrste an =1
n(n+1) . Izraunaj vsoto vrste.
Reitev: Vsota vrste je enaka s = limn sn, kjer je (sn)nN
pripadajoe zaporedje delnihvsot. Torej moramo najprej poiskati
le-to. Najprej izraunamo nekaj zaetnih lenov:
s1 = a1 =112 =
12
s2 =112 +
123 =
12 +
16 =
46 =
23
s3 =112 +
123 +
134 =
12 +
16 +
112 =
912 =
34
s4 =112 +
123 +
134 +
145 =
12 +
16 +
112 +
120 =
4860 =
45
...
Uganemo splono formulo: sn =n
n+1
To se da tudi izraunat in sicer tako, da sploni len vrste na
zaetku zapiemo nekoliko
drugae in sicer kot vsoto dveh ulomkov, katerih vsaki ima v
imenovalcu po en faktor iz
produkta prvotnega imenovalca, torej:
an =1
n(n+1) =An +
Bn+1
A in B izraunamo tako, da vse skupaj mnoimo s skupnim
imenovalcem, uredimo enabopo potencah n-ja in primerjamo koeciente
na obeh straneh:
1 = A(n+ 1) +Bn 1 = (A+B)n+AIz tega dobimo, da mora biti A+B = 0
in A = 1. e ta drugi pogoj vstavimo v prvi, dobimoe B = 1, in tako
smo izraunali, da jean =
1n 1n+1 .e sedaj to upotevamo pri raunanju n-te delne vsote
dobimo:
Sn =11 12 + 12 13 + 13 14 + ...+ 1n1 1n + 1n 1n+1 = 1 1n+1 =
nn+1Sedaj nam samo ostane e zadnji raun, torej da izraunamo limito
dobljenega zaporedja:
s = limn sn = limn
n
n+ 1= 1
4
-
5. Dani vrsti izraunaj vsoto:
n=1
1 + 2n
22n
Reitev: n=1
1 + 2n
22n=
n=1
(1
22n+
2n
22n
)=
n=1
1
22n+
n=1
2n
22n=
=
n=1
(1
22
)n+
n=1
(2
22
)n=
n=1
(1
4
)n+
n=1
(1
2
)nDobili smo vsoto dveh vrst. Za obe tidve vrsti vemo, da sta
konvergentni, saj gre v obeh
primerih za geometrijski vrsti
n=0
a1qns |q| < 1. Poznamo pa tudi formulo, kako se takivrsti
izrauna vsota, namre s = a11q . Iz zgornjega zapisa moramo samo e
razbrati a1 in qza posamezno vrsto. Paziti moramo na to, da v
splonem gredo indeksi od 0 naprej, pri nas
od 1. Da bomo dobili sploen primer, mora v prvem lenu biti q0,
to pa doseemo tako, dabomo mi imeli eksponente n 1. Torej:n=1
(1
4
)n+
n=1
(1
2
)n=
n=1
1
4
(1
4
)n1+
n=1
1
2
(1
2
)n1=
14
1 14+
12
1 12=
1434
+1212
=1
3+1 =
4
3
6. S pomojo konvergennih kriterijev preveri konvergenco
naslednjih vrst:
(a)
n=1
nn
(n!)2
Reitev: Uporabimo kvocientni kriterij:
limn
an+1an
= limn
(n+1)n+1
((n+1)!)2
nn
(n!)2= lim
n(n+ 1)n+1(n!)2
((n+ 1)!)2nn= lim
n(n+ 1)n(n+ 1) (n!)2
((n+ 1) n!)2nn =
= limn
(n+ 1)n
(n+ 1)nn= lim
n1
(n+ 1)
((n+ 1)
n
)n= 0 e = 0
Ker smo dobili limito manjo od 1, po kvocientnem kriteriju dana
vrtsa konvergira.
(b)
n=1
1(lnn)n
Reitev: V tem primeru bomo vzeli pa korenski kriterij:
limn
nan = lim
nn
1
(lnn)n= lim
n1
(lnn)= 0
Ker smo ponovno dobili limito manjo od 1, po korenskem kriteriju
dana vrtsa konver-
gira.
5
-
(c)
n=1
| sinnx|2n
Reitev: Tukaj si bomo pomagali s primerjalnim kriterijem. Vemo
namre, da je
|sin| 1 za vsak R. Tako dobimo oceno za sploen len naega
zaporedja, namre| sinnx|
2n 1
2n
Za zaporedje na desni pa vemo, da je konvergentno, saj gre za
geometrijsko zaporedje
s |q| = 12 < 1. Nali smo torej konvergentno majoranto, kar
pomeni, da je tudi danavrsta konvergentna.
(d)
n=1
(n+1n
)nReitev: V tem primeru odpove tako kvocientni kot tudi korenski
kriterij (v obeh
primerih dobimo limito enako 1). Pa poglejmo sploni len te
vrste
an =(n+1)n
)n=(1 + 1n
)n. e izraunamo limito zaporedja teh lenov, dobimo
limn an = limn
(1 + 1n
)n= e. Ker torej leni ne gredo proti 0, pomeni, da je vrsta
divergentna.
(e)
n=1
1n
Reitev: Ponovno si bomo pomagali s primerjalnim kriterijem.
Ker velja n n, sledi, da je 1n 1n . Vrsta, katere sploni len je
zapisan na levistrani te neenakost, je harmonina vrsta, za katero
vemo, da je divergentna. Torej smo
nali divergentno minoranto, kar pomeni, da je tudi dana vrsta
divergentna.
6
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
5.teden, 22.03.2011
POTENNE VRSTE
1. Danim potennim vrstam izraunaj konvergenne radije:
(a)
n=1
n! xn
Reitev: tevilu R = 1l , kjer je l = limn
an+1an ali l = limn n|an|, reemo konver-genni radij potenne
vrste.
V tem primeru bomo l izraunali po prvi formuli:
l = limn
an+1an = limn
(n+ 1)!n! = limn (n+ 1)n!n! = limn n+ 11 =Konvergenni radij je
potem enak
R =1
l=
1
= 0,
kar pomeni, da dana potenna vrsta divergira za vsak x R.
(b)
n=1
xn
n!
Reitev: Izraunamo najprej l:
l = limn
an+1an = limn
1
(n+1)!
1n!
= limn n!(n+ 1)! = limn 1n+ 1 = 0Konvergenni radij je potem
enak
R =1
l=
1
0=,
kar pomeni, da dana potenna vrsta konvergira za vsak x R.
(c)
n=1
n!nnx
n
Reitev: Izraunamo najprej l:
l = limn
an+1an = limn
(n+1)!
(n+1)n+1
n!nn
= limn (n+ 1)! nn
(n+ 1)n+1n!=
limn
(n+ 1) n! nn(n+ 1)n(n+ 1) n! = limn
nn
(n+ 1)n= lim
n
(n
n+ 1
)n= lim
n
(1
1 + 1n
)n=
1
e
Konvergenni radij je potem enak
R =1
l=
11e
= e,
kar pomeni, da dana potenna vrsta konvergira za vsak x (e,
e).
1
-
TAYLORJEVA VRSTA
f(x) = f(a) +f (a)1!
(x a) + f(a)2!
(x a)2 + f(a)3!
(x a)3 + ...+ f(n)(a)
n!(x a)n + ...
2. Izraunaj Taylorjevo vrsto v okolici toke 0 za naslednji
funkciji:
(a) f(x) = sinx
Reitev: Izraunamo nekaj prvih odvodov in poskuamo uganit splono
formulo, nato
pa izraunamo vrednost funkcije in njenih odvodov v toki 0:
f(x) = sinx f(0) = 0f (x) = cosx f (0) = 1f (x) = sinx f (0) =
0f (x) = cosx f (0) = 1f (4)(x) = sinx f (4)(0) = 0... ...
Vstavimo v formulo in poraunamo:
sinx = 0 +1
1!x+
0
2!x2 +
13!x3 +
0
4!x4 +
1
5!x5 + ...
sinx = x x3
3!+x5
5! x
7
7!+ ... =
n=1
(1)n+1x2n1(2n 1)!
(b) f(x) = ln (x+ 1)
Reitev: Izraunamo nekaj prvih odvodov in poskuamo uganit splono
formulo, nato
pa izraunamo vrednost funkcije in njenih odvodov v toki 0:
f(x) = ln (x+ 1) f(0) = 0f (x) = 1x+1 = (x+ 1)
1 f (0) = 1f (x) = 1 (x+ 1)2 f (0) = 1f (x) = 2(x+ 1)3 f (0) =
2f (4)(x) = 6(x+ 1)4 f (4)(0) = 6f (4)(x) = 24(x+ 1)5 f (4)(0) =
24... ...
f (n)(x) = (1)n1(n 1)!(x+ 1)n f (4)(0) = (1)n1(n 1)!Vstavimo v
formulo in poraunamo:
ln (x+ 1) = 0 +1
1!x+12!x2 +
2
3!x3 +
64!x4 +
24
5!x5 + ...
ln (x+ 1) = x x2
2+x3
3 x
4
4+x5
5+ ...+
xn
n+ ... =
n=1
(1)n1xnn
2
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
7.teden, 05.04.2011
FOURIEROVE VRSTE
1. Izraunaj naslednje nedoloene integrale:
(a)
Rx cosnx dx
Reitev: Integral reimo s pomojo metode per partes (integracije
po delih). V tem
primeru si izberemo spremenljivke takole:
u = x dv = cosnx dxdu = dx v = 1n sinnx
Potem jeZx cosnx dx = x 1
nsinnx
Z1
nsinnx dx =
x
nsinnx+
1
n2cosnx+ C
(b)
Rx sinnx dx
Reitev: Podobno kot prejnji primer in dobimo:
Zx sinnx dx = x ( 1
ncosnx)
Z( 1
ncosnx) = x
ncosnx+
1
n2sinnx+ C
(c)
Rx2 cosnx dx
Reitev: Glej naslednji primer, podobno gre tukaj. Dobimo:
Zx2 cosnx dx = x2 1
nsinnx
Z1
nsinnx 2x dx = x
2
nsinnx 2
n
Zx sinnx dx =
Za drugi integral uporabimo toko b) in dobimo:
=x2
nsinnx 2
n(x
ncosnx+
1
n2sinnx) + C =
x2
nsinnx+
2x
n2cosnx 2
n3sinnx+ C
(d)
Rx2 sinnx dx
Reitev: Tukaj metodo per partes uporabimo dvakrat. Prvi:
u = x2 dv = sinnx dxdu = 2x dx v = 1n cosnxPotem jeZ
x2 sinnx dx = x2( 1ncosnx)
Z 1ncosnx2x dx = x
2
ncosnx+
2
n
Zx cosnx dx =
Drug integral bi ponovno izraunali s pomojo metode per partes.
Ker pa smo ga mi
e, uporabimo kar toko a) in dobimo:
= x2
ncosnx+
2
n(x
nsinnx+
1
n2cosnx)+C = x
2
ncosnx+
2x
n2sinnx+
2
n3cosnx+C
1
-
2. Funkcijo f(x) =
x ; < x 0
2x ; 0 x razvij v Fourierovo vrsto.
Reitev: Izraunajmo Fourierove koeciente:
a0 =1
R
f(x) dx = 1
0R
x dx+ 1
R0
2x dx = 1x2
2 j0 + 2 x2
2 j0= (0 2
2 ) + (2
0) = 2
an =1
R
f(x) cosnx dx = 1
0R
x cosnx dx+ 1
R0
2x cosnx dx =
Uporabimo rezultate od prej (te nedoloene integrale smo
izraunali) in dobimo:
= 1 (xn sinnx+
1n2 cosnx) j0 + 2 ( xn sinnx+ 1n2 cosnx) j0=Doloeni integrali
izrazov, v katerih nastopa sinus, so v teh mejah enaki 0. Tako
imamo:
an =1 (
1n2 (cos 0 cos (n))) + 2 ( 1n2 (cos (n) cos 0)) =
= 1 (1n2 (cos 0 cos (n)))+ 2 ( 1n2 (cos (n) cos 0)) = 1n2 (cos
(n) cos 0) = 1n2 ((1)n1)Vidimo, da e je n = 2k sodo tevilo, potem
je a2k = 0, e pa je n = 2k 1 liho tevilo, padobimo
a2k1 = 2(2k1)2Pa e
bn =1
R
f(x) sinnx dx = 1
0R
x sinnx dx+ 1
R0
2x sinnx dx =
Tudi te integrale smo e zraunali, zato kar uporabimo prejnje
rezultate:
= 1 ( xn cosnx+ 1n2 sinnx) j0 + 2 ( xn cosnx+ 1n2 sinnx)
j0=Doloeni integrali izrazov, v katerih nastopa sinus, so v teh
mejah enaki 0. Tako imamo:
bn = 1n (x cosnx j0 +2x cosnx j0 ) = 1n (0 () cosn + 2 cosn 0) =
3n cosnbn = 3(1)
n
n
Fourierova vrsta za dano funkcijo na intervalu [; ] se tako
glasi:
s(x) =
4+1Xn=1
2(2n 1)2 cos (2n 1)x
3(1)nn
sinnx
2
-
3. Razvij v Fourierovo vrsto funkcijo f(x) = jxj na intervalu [;
]. Na podlagi dobljenegarezultata izraunaj naslednjo vsoto:
1 +1
32+
1
52+ ::: =?
Reitev: f(x) = jxj je soda na intervalu [; ], zato je bn = 0 za
vsak n 2 N.Ostale koeciente pa izraunamo po formulah:
a0 =1
R
f(x) dx = 1
R
jxj dx = 2R0
jxj dx = 2R0
x dx = 2x2
2 j0= 1x2 j0= 1 (2 0) =
an =1
R
f(x) cosnx dx = 1
R
jxj cosnx dx = 2R0
x cosnx dx = 2 (xn sinnx+
1n2 cosnx) j0Pri tem smo za raunanje integrala uporabili e
vnaprej izraunan rezultat. Sedaj e vsatvimo
meje, pri emer upotevamo, da je doloeni integral izraza z
sinusom v teh mejah enak 0, in
dobimo:
an =2
1n2
1n2 cosnx j0= 2n2 (cosn cos 0) = 2n2 ((1)n 1)Vidimo, da e je n =
2k sodo tevilo, potem je a2k = 0, e pa je n = 2k 1 liho tevilo,
padobimo
a2k1 = 4(2k1)2
Fourierova vrsta za dano funkcijo na intervalu [; ] se tako
glasi:
s(x) =
2+1Xn=1
4(2n 1)2 cos (2n 1)x
=
2 4
1Xn=1
1
(2n 1)2 cos (2n 1)x
Izraunati elimo e vsoto dane vrste. Pa jo za zaetek zapiimo
drugae:
1 +1
32+
1
52+ ::: =
1Xn=1
1
(2n 1)2
Opazimo, da ta izraz nastopa tudi v zapisu pravkar izraunane
Fourierove vrste. Vemo pa
tudi, da je Fourierova vrsta enaka funkciji na intervalu, na
katerem smo jo razvijali, torej na
intervalu [; ]. Tako za vsak x 2 [; ] velja, da je s(x) = f(x),
tudi za x = 0. Takoimamo:
s(0) =
2 4
1Xn=1
1
(2n 1)2 1
= 0 = f(0)
4
1Xn=1
1
(2n 1)2 =
2
in e delimo s 4 ter dobimo: 1Xn=1
1
(2n 1)2 =2
8
3
-
4. Prejnjo funkcijo razvij tokrat na intervalu [0; 2].
Reitev: Za razliko od prejnje naloge pa na tem intervalu dana
funkcija ni soda (o sodosti
in lihosti funkcij se lahko pogovarjamo samo na simetrinih
intervalih). Zato moramo tukaj
izraunati vse koeciente. Vzamemo formule za sploen primer:
a0 = 2babRa
f(x) dx = 2202R0
jxj dx = 12R0
x dx = 1x2
2 j20 = 1 ( (2)2
2 0) = 2
an = 2babRa
f(x) cos 2nxba dx =2
202R0
jxj cos 2nx20 dx = 12R0
x cosnx dx =
= 1 (xn sinnx+
1n2 cosnx) j20 = 1 1n2 (cos (2n) cos 0) = 0
bn = 2babRa
f(x) sin 2nxba dx =2
202R0
jxj sin 2nx20 dx = 12R0
x sinnx dx =
= 1 ( xn cosnx+ 1n2 sinnx) j20 = 1 (2n cos (2n) + 0n cos 0) =
2nFourierova vrsta se v tem primeru glasi:
s(x) =a02
+1Xn=1
an cos
2nx
b a + bn sin2nx
b a
= 21Xn=1
1
nsinnx
5. Pa e na intervalu [0; ] po samih sinusih.
Reitev: e elimo razviti funkcijo po samih sinusih, potem mora
biti an = 0 za vsakn 2 f0g[N, kar pomeni, da moramo imeti liho
funkcijo. Zato razirimo funkcijo iz intervala[0; ] na interval [;
0] tako, da je na [; ] to sedaj liha funkcija, torejf(x) = f(x) =
jxj = (x) = x.Ker so vsi an = 0, moramo poraunati samo koeciente
bn. Ker smo na intervalu [; ],vzamemo formule za ta primer:
bn =1
R
f(x) sinnx dx = 2
R0
x sinnx dx = 2 ( xn cosnx+ 1n2 sinnx) j0=
= 2 (n cosn + 0n cos 0) = 2 n (1)2 = 2(1)n+1
n
Fourierova vrsta se sedaj glasi:
s(x) = 21Xn=1
(1)n+1n
sinnx
4
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
9.teden, 19.04.2011
VEKTORJI
1. V kocki ABCDEFGH je podana baza prostora ~a =AB, ~b =
AD in ~c =
AE. Naj bo Mrazpolovie stranice CG in P razpolovie stranice EH.
Izrazi z baznimi vektorji naslednjevektorje:
AF,FD,
GA,
AM,
CP,
MH in
ME.
Slika:
Reitev: Vektorji ~a, ~b in ~c tvorijo pravokoten koordinatni
sistem.Prva dva sta pravokotnavektorja v ravnini kvadrata ABCD,
tretji pa je pravokoten nanju oba. Ker ima kocka potiri robove
vzporedne in enako dolge, pradstavljajo kot takni tudi enak vektor
(vzporedni
premik vektorja). Tako dobimo:
AF = ~a+
BF = ~a+ ~c, saj je
BF vzporeden, enako dolg ter enako usmerjem kot
AE = ~c
FD = ~b ~c ~aGA = ~a~b ~cAM = ~a+~b+ 12~cCP = ~c ~a 12~bMH =
12~c ~aME = 12~c~b ~a
1
-
2. Dani so vektorji ~a = (0, 1, 0), ~b = (1, 0,1), ~c = 3, 1, 0)
in ~d = (2, 1, 1) v prostoru R3.
(a) Dokai, da so vektorji ~a, ~b in ~c linearno neodvisni.
Reitev: Vektorji so linearno neodvisni, kadar je njihova
linearna kombinacija enaka
~0 samo tedaj, ko so vsi koecienti v linearni kombinaciji enaki
0, torej: ~a, ~b in ~c solinearno neodvisni, e iz ~a+ ~b+ ~c = ~0
sledi = = = 0.
Postavimo torej: ~a+ ~b+ ~c = ~0
(0, 1, 0) + (1, 0,1) + (3, 1, 0) = ~0
Vektor mnoimo s skalarjem tako, da vsako koordinato vektorja
pomnoimo z danim
skalarjem. Dobimo:
(0, , 0) + (, 0,) + (3, , 0) = (0, 0, 0)
Vektorje setevamo med seboj tako, da setejemo istolene
koordinate:
+ 3, + ,) = (0, 0, 0)
Dva vektorja sta enaka, e imata enake pripadajoe koordinate.
Tako dobimo sistem
treh enab s tremi neznankami:
+ 3 = 0
+ =
= 0
Iz zadnje enabe vidimo, da je = 0. To vstavimo v prvo enabo in
dobimo = 0, epa upotevamo to in drugo enabo pa dobimo, da je tudi =
0. Edina reitev je torejtrivialna reitev iz esar sledi, da so
vektorji res linearno neodvisni.
(b) Dokai, da so vektorji ~a, ~b, ~c in ~d linearno odvisni.
Reitev: Dovolj je e, e se spomnimo, da so poljubni tirje
vektorji v R3 vektorji
linearno odvisni, saj 3 dimenzionalen prostor doloajo trije
linearno neodvisni vektorji,
vsak drug pa se da zapisati kot linearna kombinacija le-teh.
Drugae pa postavimo ~a+ ~b+ ~c+ ~d = ~0 in moramo dobiti, da je
vsaj en koecientv tej linearni kombinaciji razlien od ni.
2
-
(c) Ali se da vektor ~a izraziti kot linearna kombinacija
vektorjev ~b, ~c in ~d?
Reitev: Pa predpostavimo, da se da, in poskusimo izraunati
koeciente:
~a = k1~b+ k2~c+ k3 ~d
(0, 1, 0) = K1(1, 0,1) + k2(3, 1, 0) + k3(2, 1, 1)Mnoimo z
ustreznim skalarjem in vektorje setejemo in dobimo:
(0, 1, 0) = (k1 + 3k2 + 2k3, k2 + k3,k1 + k3)
Ko enaimo levo in desno stran dobimo ponovno tri enabe s tremi
neznankami:
k1 + 3k2 + 2k3 = 0
k2 + k3 = 1
k1 + k3 = 0
Reiti moramo sistem treh enab s tremi neznankami.
Najlaje je zaeti s tretjo enabo, kjer dobimo po preoblikovanju,
da je k1 = k3.
To vstavimo v prvo enabo tako, da se v njej znebimok1, saj jo
potem lahko primerjamoz drugo enabo. Dobimo:
k3 + 3k2 + 2k3 = 3k2 + 3k3 = 0,
kar lahko e delimo s tri in imamo
k2 + k3 = 0.
Tako sta nam ostali dve enabi z dvema neznankama:
k2 + k3 = 0
k2 + k3 = 1
Hitro opazimo, da sta si ti dve enabi protislovni, kar pomeni,
da zaetni sistem enab
nima reitve. Torej se vektor ~a ne da izraziti z ostalimi tremi
vektorji.
3
-
3. Dokai, da se diagonali v paralelogramu razpolavljata.
Reitev: Paralelogram ima po dve in dve stranici enako dolgi in
vzporedni. Naj bo tedaj
~a =AB in ~b =
AD baza (ta dva vektorja sta nekolinearna in kot tana linearno
neodvisna
v prostoru R2). Oznaimo diagonali na naslednji nain: ~e =AC in
~f =
BD. Oznaimoe s S preseie obeh diagonal. elimo pokazati, da je S
razpolovie diagonal, torej, da jeAS = 12
AC in
BS = 12
BD. Pa pokaimo najprej prvo enabo.
AS izrazimo na dva naina:
(a)
AS = m ACKer tvorita ~a in ~b bazo, elimo tudi vse ostale
vektorje izraziti z njima (to lahko podeniciji baze). Tako dobimo v
tem primeru:
AS = m (~a+~b = m ~a+m ~b
(b) Pa e na drug nain:
AS = ~a+
BS = ~a+ n BDKer je
BD = ~b ~a, dobimo
AS = ~a+ n ~b n ~aKer gre v obeh primerih za isti vektor, lahko
oba zapisa enaimo. Tako dobimo:
m ~a+m ~b = ~a+ n ~b n ~a
Prenesemo vse na eno stran:
m ~a+m ~b ~a n ~b+ n ~a = 0
e malo uredimo:
(m 1 + n)~a+ (m n)~b = 0Ker sta vektorja ~a in ~b linearno
neodvisna, je njuna linearna kombinacija lahko 0 samo vprimeru, ko
sta oba koecienta pred vektorjema enaka 0. Tako dobimo dve enabi z
dvema
neznankama:
m 1 + n = 0m n = 0
Zadnja enaba nam da m = n, e to vstavimo v prvo enabo pa dobimo
m = 12 = n.
e sedaj pogledamo, kje smo zapisali koecienta m in n dobimoAS =
12
AC in
BS = 12
BD,to pa je ravno eljeni rezultat.
4
-
SKALARNI PRODUKT VEKTORJEV
Skalarni produkt dveh vektorjev je:
~a ~b = ~a~b cos,kjer je kot med danima vektorjema ~a in ~b.
Iz te formule lahko izpeljemo formulo za raunanje kota med
danima dvema vektorjema:
cos =~a ~b~a~b
.
Iz te enabe tudi pazimo dejstvo, da je skalarni produkt dveh
vektorjev enak 0 natanko tedaj,
ko je med vektorjema kot 90o = pi2 oz. ko sta vektorja med seboj
pravokotna, torej:
~a ~b = 0 ~a ~b
e sta vektorja podana po koordinatah ~a = (a1, a2, a3) in ~b =
(b1, b2, b3), potem se njunskalarni produkt izrauna po formuli:
~a ~b = a1b1 + a2b2 + a3b3.Dolina vektorja pa: ~a = ~a~a =
a21 + a
22 + a
23
4. Izraunaj skalarne produkte ~a ~b, ~a ~c, ~a ~a in ~b ~c, kjer
so ~a = (1,1, 1), ~b = (2, 1, 3) in~c = (1, 0,1).
Reitev: Skalarni produkt izrauanmo tako, da setejemo produkte
istolenih koordinat
obeh vektorjev. Tako dobimo:
~a ~b = (1,1, 1)(2, 1, 3) = 1 2 + (1) 1 + 1 3 = 2 1 + 3 = 4~a ~c
= (1,1, 1)(1, 0,1) = 1 1 + (1) 0 + 1 (1) = 1 + 0 1 = 0Ta rezultat
nam pove, da sta vektorja ~a in ~c pravokotna.
~a ~a = (1,1, 1)(1,1, 1) = 1 1 + (1) (1) + 1 1 = 1 + 1 + 1 = 3Iz
tega lahko razberemo dolino vektorja ~a, saj velja ~a = ~a ~a =
3.
~b ~c = (2, 1, 3)(1, 0,1) = 2 1 + 1 0 + 3 (1) = 2 + 0 3 = 1
5. Izraunaj kot med enotskima vektorjema ~a in~b, e ve, da sta
vektorja ~c = ~a3~b in ~d = 5~a~bpravokotna.
Reitev: Oznaimo s kot med vektorjema ~a in ~b.
Vemo: ~a = ~b = 1.Ker sta ~c in ~d pravokotna je ~c ~d = 0.
Torej:
~c ~d = (~a 3~b)(5~a~b) = 5~a ~a ~a ~b 15~b ~a+ 3~b ~b
=Upotevamo denicijo vektorskega produkta in dobimo:
5~a2 16~a~b cos+ 3~b2 = 0Ker sta ~a in ~b enotska, torej doline
1, dobimo naslednjo enabo:
5 16 cos+ 3 = 0 cos = 12 = pi
3.
5
-
VEKTORSKI PRODUKT
Vektorski produkt dveh vektorjev ~a in ~b je enolino doloen
vektor, za katerega velja:
~a~b = ~a~b sin,kjer je kot med vektorjema ~a in ~b.
Vektor ~a~b je pravokoten na vektorja ~a in ~b.Dolina vektorja
~a~b je enaka ploini paralelograma, napetega na vektorja ~a in
~b:
pparalelogram
= ~a~b
Lastnosti:
~a~b = ~b ~a (~a)~b = ~a (~b) = (~a~b) (~a+~b) ~c = ~a ~c+~b ~c
~a~b = 0 natanko tedaj, ko sta vektorja ~a in ~b linearno odvisna,
torej vzporedna.Posebaj tako velja: ~a ~a = 0 za vsak ~a.
Naj bosta vektorja ~a = (a1, a2, a3) in ~b = (b1, b2, b3).
Formula za vektorski produkt se glasi:
~a~b = (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)
6. Dana sta vektorja ~a = (2,3,1) in ~b = (1, 4,2). Izraunaj
(~a+~b) (~a~b).
Reitev: ~a+~b = (3, 1,3) in ~a~b = (1,7, 1). Tedaj je:
(~a+~b) (~a~b) = (3, 1,3) (1,7, 1) = (1 1 (3) (7), (3) 1 3 1, 3
(7) 1 1) =
= (1 21,3 3,21 1) = (20,6,22).
7. Ploina paralelograma meri 103 cm2, stranica 5 cm in kot med
stranicama = 60o.Izraunaj dolino druge stranice.
Reitev: p = ~a~b = ~a~b sinOd tod sledi: ~b = p~a sin = 10
3
5 sin pi3= 10
3
532
= 4. Dolina druge stranice je torej 4 cm.
6
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
10.teden, 03.05.2011
1. V prostoru je podan trikotnik z oglii A(2,4, 3), B(0, 5, 5)
in C(6,1, 0). Izraunaj:(a) velikost kota pri ogliu A;
Reitev: Naj bo ~c =AB = ~rB ~rA = (0, 5, 5) (2,4, 3) = (2, 9, 2)
in
~b =AC = ~rC ~rA = (6,1, 0) (2,4, 3) = (8, 3,3)Kot, ki ga
oklepata ta dva vektorja, izraunamo potem po formuli:
cos =~c ~b~c ~bIzraunajmo posebaj:
~c ~b = (2, 9, 2) (8, 3,3) = 16 + 27 6 = 37~c = 22 + 92 + 22 =
89~b =82 + 32 + (3)2 = 82Potem je:
cos =378982
= 0, 43 = = arccos (0, 43) = 64o20
(b) dolino teinice na stranico c;
Reitev: Teinica je daljica, ki povezuje razpolovie stranice z
nasproti leeim
ogliem.
Razpolovie stranice c:
~rC =~rA + ~rB
2=
(2,4, 3) + (0, 5, 5)2
= (1, 12, 4)
Potem je teinica:
~tc =C C = (6,1, 0) (1, 1
2, 4) = (7,3
2, 4)
in njena dolina:
~tc = (7,32, 4) =
49 +
9
4+ 16 =
1
2
169 + 9 + 64 =
1
2
269 = 8, 2
(c) ploino trikotnika 4ABC.
Reitev: ptrikotnika =12pparalelograma =
12~b ~c
~b ~c = (8, 3,3) (2, 9, 2) = (6 + 27,16 6, 72 6) = (33,22, 66) =
11(3,2, 6).
Ploina je potem:
ptrikotnika =1
211(2,3, 6) = 1
2114 + 9 + 36 =
11
2
49 =
77
2= 38, 5
1
-
MEANI PRODUKT
Meani produkt vektorjev ~a, ~b in ~c je skalar (~a ~b) ~c, ki ga
oznaimo s (~a,~b,~c). Abso-lutna vrednost meanega produkta
(~a,~b,~c) je enaka prostornini paralelepipeda, napetega na
vektorje ~a, ~b in ~c.
e so vektorji ~a, ~b in ~c nenielni, je (~a,~b,~c) = 0 natanko
tedaj, ko leijo ~a, ~b in ~c v isti ravnini.
Lastnosti:
(~a,~b,~c) = (~b,~c,~a) = (~c,~a,~b) =
= (~b,~a,~c) = (~a,~c,~b) = (~c,~b,~a)
2. Dokai, da za vektorje ~a, ~b, ~c R3 velja:~a+~b, ~b+ ~c,~c+
~a so nekoplanarni ~a, ~b, ~c so nekomplanarni.
Reitev: Ker se nahajamo v R3 lahko kot kriterij nekomplanarnosti
uporabimo meani
produkt treh vektorjev, ki je razlien od ni tedaj, ko so
vektorji nekomplanarni.
Pa izraunajmo:
(~a+~b,~b+ ~c,~c+ ~a) = (~a,~b+ ~c,~c+ ~a) + (~b,~b+ ~c,~c+ ~a)
=
Pri tem smo uporabili lastnost, da je meani produkt aditiven
glede na prvo koordinato.
Dobili smo dva meana produkta, za vsakega od njiju uporabimo
aditivnost glede na drugo
koordinato in dobimo naslednje:
= (~a,~b,~c+ ~a) + (~a,~c,~c+ ~a) + (~b,~b,~c+ ~a) + (~b,~c,~c+
~a) =
Uporabimo e aditivnost na tretjo koordinato in dobimo:
= (~a,~b,~c) + (~a,~b,~a) + (~a,~c,~c) + (~a,~c,~a) + (~b,~b,~c)
+ (~b,~b,~a) + (~b,~c,~c) + (~b,~c,~a)
Upotevamo, da je meani produkt enak 0, kakor hitro v njem
dvakrat nastopi isti vektor, in
da je (~b,~c,~a) = (~a,~b,~c). Potem je konni rezultat:
(~a+~b,~b+ ~c,~c+ ~a) = 2(~a,~b,~c)
2
-
RAVNINE IN PREMICE V PROSTORU
3. Premica p1 poteka skozi toko A(5, 3, 0) v smeri vektorja ~s =
(4, 1,1). Premica p2 potekaskozi toko B(5, 5,2) in je vzporedna
premici z enabo 2x = 1 y = z 1. Poii skupnotoko C premic p1 in p2in
doloi ravnino, v kateri ti dve premici leita. Pokai, da je
trikotnik4ABC pravokoten in poii sredie temu trikotniku ortanega
kroga.Reitev: Zapiimo najprej enabi obeh premic.
p1: toka A(5, 3, 0) in smerni vektor ~s = (4, 1,1). Vektorska
oblika te premice je:~r1 = (5, 3, 0) + t (4, 1,1)p2: toka B(5, 5,2)
in vzporedna premici 2x = 1 y = z 1. Torej, e sta premicivzporedni,
imata enak smerni vektor. Preberemo smerni vektor dane premici
tako, da jo
najprej malo preoblikujemo v ustrezno obliko. Za zaetek delimo z
2 in pri izrazu z yizpostavimo -1. Dobimo
2x2 =
(y1)2 =
z12 , kar e malo uredimo in je
x1 =
y12 =
z12 . Tukaj ven preberemo smernivektor (koecienti v
imenovalcih): ~v = (1,2, 2) in enaba druge premice v vektorski
oblikise glasi:
~r2 = (5, 5,2) + k(1,2, 2)
Preseie: Preseie dobimo tako, da obe premici med seboj enaimo:
~r1 = ~r2(5, 3, 0) + t (4, 1,1) = (5, 5,2) + k(1,2, 2)
(5 + 4t, 3 + t,t) = (5 + k, 5 2k,2 + 2k)Enaimo levo in desno
stran in dobimo tri enabe z dvema neznankama:
5 + 4t = 5 + k3 + t = 5 2kt = 2 + 2k3
Iz zadnje enabe vidimo, da je t = 2 2k. To vstavimo v drugo
enabo in dobimo3 + (2 2k) = 5 3k 5 2k = 5 2kTa enaba nam ni
povedala ni novega samo to, da ji takna t in k ustrezata.
Zatovstavimo e v prvo enabo in dobimo:
5 + 4(2 2k) = 5 + k 5 + 8 8k = 5 + k 18 = 9k k = 2.Sedaj lahko
izraunamo tudi parameter t = 2 2 2 = 2e elimo sedaj dobiti preseie,
vstavimo v eno izmed enab premic: ali t v prvo, alik v drugo. V
obeh primerih dobimo, da je C(3, 1, 2).
3
-
Ravnina: Enaba ravnine se glasi (~r ~rT ) ~n = 0, kjer je T dana
toka na ravnini in ~nnormalni vektor na ravnino, torej vektor, ki
je pravokoten na ravnino in s tem na vse
vektorje v tej ravnini. Ker imamo dva vektorja iz iskane ravnine
podana (~s in ~v), lahkoizraunamo normalni vektor kot vektorski
produkt teh dveh vektorjev:
~n = ~s ~v = (4, 1,1) (1,2, 2) = (2 2,1 8,8 1) = (0,9,9)
Ker nas pravzaprav zanima samo smer vektorja, ne pa njegova
dolina in obrnjenost,
lahko izraunan vektor delimo ali mnoimo z nenegativnim tevilom,
kot nam pa bolj
odgovarja. Mi bomo recimo delili z (-9) in tako dobimo normalni
vektor ~n = (0, 1, 1).
Za toko lahko vzamemo katerokoli od treh podanih tok, recimo da
vzamemo toko A.Tako se potem enaba ravnine glasi:
((x, y, z) (5, 3, 0)) (0, 1, 1) = 0
(x 5, y 3, z) (0, 1, 1) = 0y 3 + z = 0 oz. y + z = 3
4ABC je pravokoten: Pokazati moramo, da sta CA in CB pravokotna.
Ker pa CAlei na premici p1 in
CB lei na premici p2, je to enako, kot da dokaemo, da sta ti
dvepremici pravokotni oz. da sta njuna smerna vektorja
pravokotna.
Vemo, da za pravokotne vektorje velja, da je njihov skalarni
produkt enak 0. Pa izrau-
najmo skalarni produkt vektorjev ~s in ~v.
~s ~v = (4, 1,1)(1,2, 2) = 4 2 2 = 0
Torej sta vektorja ~s in ~v res pravokotna in s tem smo pokazali
tudi pravokotnost trikot-nika 4ABC.
Sredie ortanega kroga:V pravokotnem trikutniku lei sredie
ortanega kroga vedno na hipotenuzi, ker pa
mora biti enako oddaljeno od vseh ogli, bo to na razpoloviu
hipotenuze. Torej:
~rS =~rA + ~rB
2=
(5, 3, 0) + (5, 5,2)2
=(0, 8,2)
2
Sredie je torej toka S(0, 4,1).
4
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
11.teden, 10.05.2011
FUNKCIJE VE SPREMENLJIVK
1. Izraunaj parcialne odvode prvega reda za naslednje
funkcije:
(a) f(x; y) = x2 + x 1yReitev: Obstajata dva parcialna odvoda
prvega reda in sicer odvod funkcije f pospremenljivki x in odvod
funkcije f po spremenljivki y.
Ko odvajamo po spremenljivki x gledamo na spremenljivko y v
zapisu funkcije kot nakonstanto. Tako dobimo:
fx = 2x+ 1
Torej smo izraz z x odvajali tako, kot pri funkcijah ene
spremenljivke, odvod zadnjegalena pa je 0, saj je le-ta konstanta
za nas.
in obratno, ko odvajamo po y gledamo na x kot na konstanto:
Fy = (y2) = 1y2
Podobno kot prej, odvod prvih dveh lenov je 0, saj v njiju y ne
nastopa, zadnjega paodvajamo kot neodvisno spremenljivko.
(b) f(x; y) = x2y3 + x3y
Reitev: Podobno kot prej
fx = 2xy3 + 3x2y
Tukaj imamo v obeh lenih produkt x-ov in y-ov in odvajamo kot
produkt funkcije skonstanto, torej konstanto prepiemo, funkcijo
odvajamo. Podobno po y:
fy = x23y2 + x3 1 = 3x2y2 + x3
(c) f(x; y) = x arctan (x2 + y2)
Reitev: Ko odvajamo po x imamo sedaj produkt dveh funkcij. Pa se
spomnimopravila za odvod produkta:
(f g)0 = f 0 g + f g0Po tem pravilu odvajamo tudi nao funkcijo,
kjer je prva funkcija v produktu x, drugapa arctan (x2 + y2). Tako
dobimo:
fx = 1 arctan (x2 + y2) + x 11 + (x2 + y2)2
2x = 1 arctan (x2 + y2) + 2x2
1 + (x2 + y2)2
Ko pa odvajamo po y, pa je x spredaj samo konstanta, ki jo
prepiemo in odvajamosamo arctan (x2 + y2).
fy = x 11 + (x2 + y2)2
2y = 2xy1 + (x2 + y2)2
1
-
2. Izraunaj parcialne odvode prvega in drugega reda za
funkcijo:
f(x; y) = ln (x+ y2)
Reitev: Najprej izraunamo oba parcialna odvoda prvega reda:
fx =1
x+ y2 1 = (x+ y2)1
fy =1
x+ y2 2y = 2y
x+ y2
Sedaj pa lahko izraunamo tudi parcialne odvode drugega reda:
fxx = (fx)x = 1 (x+ y2)2 = 1(x+ y2)2
fxy = (fx)y = 1 (x+ y2)2 2y = 2y(x+ y2)2
fyy = (fy)y =2(x+ y2) 2y 2y
(x+ y2)2=
2x 2y2(x+ y2)2
fyx = (fy)x =0 (x+ y2) 2y 1
(x+ y2)2=
2y(x+ y2)2
Opazimo tudi, da sta oba meana parcialna odvoda drugega reda res
enaka.
3. S pomojo diferenciala izraunaj priblino vrednost
(1; 023 + 1; 973)12
Reitev: Ustrezna funkcija za zgornji izraz bo:
f(x; y) = (x3 + y3)12 =
px3 + y3
Enaba, ki jo bomo uporabili za raunanje priblika, pa se
glasi
f(x+x; y +y) = f(x; y) + fx(x; y)dx+ fy(x; y)dy
x = 1 y = 2x = 0; 02 y = 0; 03Potrebujemo e oba parcialna odvoda
funkcije in vrednost funkcije ter obeh parcialnih odvodov
v toki (1; 2). Najprej vrednost funkcije
f(1; 2) =p13 + 23 =
p1 + 8 =
p9 = 3
in nato e izraunajmo oba parcialna odvoda prvega reda in njune
vrednosti v dani toki
fx =12 (x
3 + y3)12 3x2 = 3x2
2px3+y3in fx(1; 2) =
32p9= 12
fy =12 (x
3 + y3)12 3y2 = 3y2
2px3+y3in fy(1; 2) =
3222p9= 42 = 2
Sedaj samo e vse izraunane podatke vstavimo v formulo:
f(1; 02; 1; 97) = 3 +1
2 0; 02 + 2 (0; 03) = 3 + 0; 01 0; 06 = 2; 95
2
-
DIFERENCIALNE ENABE PRVEGA REDA
Diferencialne enabe z loljivimi spremenljivkami
4. Poii tisto reitev DE y0 2x = 0, ki ustreza zaetnemu pogoju
y(0) = 1.
Reitev: Najprej poiemo splono reitev diferencialne enabe.
Upotevamo, da je y0 = dydx ,vstavimo to v enabo in jo malo
preuredimo. Tako dobimo:
dy
dx= 2x;
kar mnoimo z dx in dobimo loene spremenljivke
dy = 2x dx:
Dobljeno enakost integriramo Zdy =
Z2x dx
in dobimo splono reitev:
y = x2 + C
Sedaj pa upotevamo e zaetni pogoj in izmed vseh parabol, ki smo
jih dobili kot reitev
dane diferencialne enabe poiimo tisto, ki gre skozi toko T (0;
1):
1 = 02 + C =) C = 1
Reitev dane zaetne naloge je torej parabola
y = x2 + 1
5. Rei DE:
xyy0 = 1 x2
Reitev: Ponovno upotevamo, da je y0 = dydx in vstavimo to v
enabo:
xydy
dx= 1 x2
To sedaj preuredimo tako, da imamo y-e na eni in x-e na drugi
strani enaaja:
y dy =1 x2
xdx
Integriramo in dobimo:
y2
2=
Z(1
x x) dx = lnx x
2
2+ C
oziroma splona reitev dane diferencialne enabe je
y2 = 2 lnx x2 +D
3
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
13.teden, 24.05.2011
DIFERENCIALNE ENABE 1. REDA
Linearna DE 1.reda
1. Rei diferencialno enabo:
xy0 + y = lnx+ 1
Reitev: Linearne diferencialne enabe lahko reujemo na dva naina
in sicer z variacijo
konstante ali s pomojo integracijskega mnoitelja. To nalogo bomo
reili na oba naina:
1. NAIN: Metoda variacije konstantePo tem nainu najprej reimo
homogeni del enabe (tj. desna stran je 0), nato pa
poiemo e partikularno reitev s pomojo variacije konstante
(konstanta, ki smo jo
dobili v homogeni reitvi, ni ve konstanta, temve funkcija
x-a).
(a) Homogeni del: xy0 + y = 0 s tem smo dobili diferencialno
enabo z loljivimispremenljivkami. Reimo jo:
xdy
dx= y
dy
y= dx
x
Integriramo in dobimo:
ln y = lnx+ lnC = ln Cx
Od koder dobimo homogeno reitev
yh =C
x
(b) Nehomogeni del: variacija konstante nastavek za partikularno
reitev se sedaj
glasi:
yp =C(x)
x
elimo poraunati C(x), kar bomo storili tako, da bomo nastavek za
partikularnoreitev vstavljali v zaetno podano diferencialno enabo.
Za to potrebujemo odvod
y0. Izraunajmo gay0p =
C0(x)xC(x)1x2
in vstavimo v enabo:
x C0(x) x C(x)
x2+
C(x)
x= lnx+ 1
Poraunamo in dobimo enabo za C 0(x):
C 0(x) = lnx+ 1:
1
-
To integriramo, pri tem upotevamo, da je
Rlnx dx = x lnx x (izraunamo pometodi per partes ali prepiemo iz
prironika), in dobimo
C(x) =
Z(lnx+ 1) dx =
Zlnx dx+
Zdx = (x lnx x) + x = x lnx
Partikularna reitev je potem
yp =x lnx
x= lnx
Splona reitev linearne diferencialne enabe je potem vsota obeh
izraunanih reitev:
y = yh + yp =C
x+ lnx
2. NAIN: Integracijski mnoiteljNajprej celotno enabo delimo z x,
da bo koecient pred odvodom odvisne funkcije yenak 1. Dobimo:
y0 +1
xy =
1
xlnx+
1
x(1)
Iz te oblike preberemo, da je
a(x) = 1x ,
izraunamo
P (x) =Ra(x) dx =
R1x dx = lnx
in s pomojo tega integracijski mnoitelj
(x) = eP (x) = eln x = x:
Z izraunanim mnoiteljem sedaj pomnoimo enabo (1) in dobimo:
xy0 + y = lnx+ 1
Leva stran enabe je sedaj odvod produkta (x) y, tako imamo:
[x y]0 = lnx+ 1
To sedaj integriramo (integral desne strani smo poraunali e
zgoraj, bomo sedaj samo
prepisali)
x y = x lnx+ CZa konec e enabo delimo s x in dobimo splono
reitev dane linearne diferencialneenabe, ki se glasi
y = lnx+C
x
2
-
Bernoullijeva DE
2. Rei diferencialno enabo:
xy0 + y = xy2
Reitev: Enabo najprej delimo z y2 in dobimo
xy0
y2+
1
y= x;
sedaj pa v enabo uvedemo novo odvisno spremenljivko z = 1y ,
potrebujemo pa seveda enjen odvod
z0 = 1y2 y0 =) y0
y2 = z0. Imamo vse potrebno, da lahko novo spremenljivkovstavimo
v enabo in dobimo:
xz0 + z = x:S tem smo dobili linearno diferencialno enabo za
spremenljivko z. Reevali jo bomo spomojo integracijskega mnoitelja,
zato jo najprej delimo z x:
z0 1xz = 1 (2)
Iz enabe ven preberemo, da je a(x) = 1x , potem jeP (x) =
R( 1x ) dx = lnx = lnx1 in
(x) = eP (x) = eln x1
= x1 = 1x je integracijski mnoitelj za to LDE. Z njim
pomnoimoenabo (2) in dobimo:
1
xz0 1
x2z =
1
x
Leva stran je odvod produkta
[1
x z]0 = 1
x
Integriramo in dobimo
1
x z =
Z1
xdx = lnx+ C
Dobljeno enabo moramo e pomnoit z x in dobimo reitev za
spremenljivko z:
z = x lnx+ Cx
Ker nas zanima reitev za y, moramo namesto nove spremenljivke
vstaviti nazaj staro. Takodobimo splono reitev dane diferencialne
enabe:
z =1
y=) y = 1
z=
1
x lnx+ Cx
3
-
3. Rei diferencialno enabo:
y0 +x
(1 x2)y = xpy
Reitev: Enabo najprej delimo z
py in dobimo
y0py+
x
(1 x2)py = x;
sedaj pa v enabo uvedemo novo odvisno spremenljivko z =py,
potrebujemo pa seveda enjen odvod
z0 = 12y 12 y0 =) y0py = 2z0. Imamo vse potrebno, da lahko novo
spremenljivkovstavimo v enabo in dobimo:
2z0 +x
(1 x2)z = x:
S tem smo dobili linearno diferencialno enabo za spremenljivko
z. Reevali jo bomo spomojo integracijskega mnoitelja, zato jo
najprej delimo z 2:
z0 +x
2(1 x2)z =x
2(3)
Iz enabe ven preberemo, da je a(x) = x2(1x2) , potem je
P (x) =
Zx
2(1 x2) dx =
pri reevanje tega integrala si pomagamo z uvedbo nove
spremenljivke:
t = 1 x2, odvajamo in dobimo diferencial dt = 2xdx in od tod dx
= dt2xTo vstavimo v zgornji integral in dobimo:
=1
2
Zx
1 x2dt
2x = 1
4
Zdt
t= 1
4ln t = 1
4ln (1 x2) = ln (1 x2) 14
in
(x) = eP (x) = eln (1x2)
14 = (1 x2) 14 = 1
4p1 x2je integracijski mnoitelj za to LDE. Z njim pomnoimo enabo
(3) in dobimo:
14p1 x2 z
0 +x
2 4p
(1 x2)5 z =1
4p1 x2
x
2
Leva stran je odvod produkta
[1
4p1 x2 z]
0 =1
4p1 x2
x
2
Integriramo. Pri integriranju desne strani si pomagamo z uvedbo
iste nove spremenljivke kot
pri prejnjem integralu in dobimo:
14p1 x2 z =
Z1
4p1 x2
x
2dx = 1
4
Zdt4pt= 1
4 t
34
34
+ C = 13
4p
(1 x2)3 + C
Dobljeno enabo moramo e pomnoit z
4p1 x2 in dobimo reitev za spremenljivko z:
z = 13(1 x2) + C 4
p1 x2
4
-
Ker nas zanima reitev za y, moramo namesto nove spremenljivke
vstaviti nazaj staro. Takodobimo splono reitev dane diferencialne
enabe:
z =py =) y = z2 = (1
3(1 x2) + C 4
p1 x2)2
Clairautova DE
4. Rei diferencialno enabo:
y = xy0 + y02
Reitev: Clairautova DE ima splono in singularno reitev. Splono
reitev dobimo tako,
da vstavimo y0 = C:y = Cx+ C2
Singularno reitev pa dobimo tako, da diferencialno enabo
odvajamo po x. Dobimo:
y0 = y0 + xy00 + 2y0y00
Poraunamo:
0 = xy00 + 2y0y00
0 = y00(x+ 2y0)
Dobljena enaba ima dve reitvi, Prva je y00 = 0 od koder po
integriranju dobimo splonoreitev, druga pa je 2y0 + x = 0. To enabo
preuredimo in upotevamo, kaj je y':
2dy
dx= x
dy = 12xdx
Integriramo in
y = x2
4
je singularna reitev (ogrinjaa) dane diferencialne enabe.
Homogena DE
5. Rei diferencialno enabo:
y0 =y
x 1
Reitev: Dana enaba je homogena. Reujemo pa jo z uvedbo nove
spremenljivke u = yx .Potrebujemo e odvod:
y = u x =) y0 = u0x+ uVstavimo v enabo in dobimo
u0x+ u = u 1 ) dudx
x = 1 ) du = dxx
Integriramo in uvedemo nazaj staro spremenljivko
u = lnx+ C ) yx
= lnx+ C ) y = x lnx+ Cx
5
-
6. Rei diferencialno enabo:
y0 =(x+ y)2
2x2
Reitev: Najprej enabo preuredimo kvadriramo imenovalec in
razlenimo na tri ulomke:
y =(x+ y)2
2x2=
x2 + 2xy + y2
2x2=
x2
2x2+
2xy
2x2+
y2
2x2=
1
2+
y
x+
1
2
yx
2Vidimo, da je dana enaba homogena. Reujemo pa jo z uvedbo nove
spremenljivke u = yx .Potrebujemo e odvod:
y = u x =) y0 = u0x+ uVstavimo v enabo in dobimo
u0x+ u =1
2+ u+
1
2u2 ) du
dxx =
1
2(1 + u2) ) du
1 + u2=
dx
2x
Integriramo in uvedemo nazaj staro spremenljivko
arctanu =1
2lnx+ C ) arctan y
x= ln
px+ C
e malo preoblikujemo da dobimo eksplicitno enabo za y:
y
x= tan ln
px+ C ) y = x tan lnpx+ C
6
-
VAJE IZ PREDMETA
DIFERENCIALNE ENABE
smer: E-UN, TK-UN, GING
14.teden, 31.05.2011
Eksaktna DE
1. Podano imamo diferencialno enabo:
(x+ y + 1) dx+ (x y2 + 3) dy = 0Preveri, ali je ta enaba
eksaktna in jo rei.
Reitev: P (x; y) = x+ y + 1
Q(x; y) = x y2 + 3Enaba je eksaktna natandko tedaj, ko je
@P@y =
@Q@x . Preverimo:
Py = 1 in Qx = 1. Oba parcialna odvoda sta enaka, torej enaba je
eksaktna.
Ker je ta enaba eksaktna, obstaja taka funkcija u(x; y), da
je
ux = P (x; y) = x+ y + 1 in
uy = Q(x; y) = x y2 + 3.Ker je ux = x + y + 1, je potem u =
R(x + y + 1) dx = x
2
2 + xy + x + f(y). Ta rezultatodvajamo po spremenljivki y in
dobimo:
uy = x+ f0(y).
Ta zadnji rezultat se mora ujemati s prejnjim: uy = uy.
Dobimo: x y2 + 3 = x+ f 0(y) in od tod f 0(y) = y2 + 3. To
integriramo in dobimo:f(y) = y33 + 3y.Splona reitev eksaktne
diferencialne enabe je: u(x; y) = C in v naem primeru dobimo:
x2
2+ xy + x y
3
3+ 3y = C
2. Podano imamo diferencialno enabo:
(3x2y2 + y) dx+ (2x3y + x+ 1) dy = 0
Preveri, ali je ta enaba eksaktna in jo rei.
Reitev: P (x; y) = 3x2y2 + y
Q(x; y) = 2x3y + x+ 1
Enaba je eksaktna natanko tedaj, ko je
@P@y =
@Q@x . Preverimo:
Py = 6x2y+ 1 in Qx = 6x
2y+ 1. Oba parcialna odvoda sta enaka, torej enaba je
eksaktna.
Ker je ta enaba eksaktna, obstaja taka funkcija u(x; y), da
je
ux = P (x; y) = 3x2y2 + y in
uy = Q(x; y) = 2x3y + x+ 1.
Ker je ux = 3x2y2 + y, je potem u =
R(3x2y2 + y) dx = x3y2 + xy + f(y). Ta rezultatodvajamo po
spremenljivki y in dobimo:
1
-
uy = 2x3y + x+ f 0(y).
Ta zadnji rezultat se mora ujemati s prejnjim: uy = uy.
Dobimo: 2x3y + x+ 1 = 2x3y + x+ f 0(y) in od tod f 0(y) = 1. To
integriramo in dobimo:
f(y) = y.
Splona reitev eksaktne diferencialne enabe je: u(x; y) = C in v
naem primeru dobimo:
x3y2 + xy + y = C
3. Prepoznaj naslednje diferencialne enabe in jih rei:
(a) (xy x) dx+ (xy + x y 1) dy = 0 Loljive spremenljivke(b)
2xy3 dx+
y23x2y4 dy = 0 Eksaktna ali Homogena
(c) (x2 + 1) dy = 2x[(x2 + 1)2 + 3y] dx Linearna
(d) (2x+ 1) dy + y2 dx = 0 Loljive spremenljivke
(e) y0 + y = xy3 Bernoullijeva
(f) y0 (tanx)y = 2 sinx Linearna(g) y0 = 1+y
2
1+x2 Loljive spremenljivke
(h) y0 1xy = 12y Bernoullijeva(i) y = xy0 + y05 Clairautova
2
-
Nehomogene linearne diferencialne enabe vijega reda s
konstantnimi koecienti
4. Rei naslednje diferencialne enabe s pomojo nastavkov:
(a) y00 + 4y0 + 5y = 5x2 32x+ 5
Reitev: Najprej reimo homogeni del enabe, nato e
nehomogenega:
i. HOMOGENI DEL: Reujemo diferencialno enabo y00 + 4y0 + 5y =
0.Nastavek za reevanje homogenega dela je (kot se spomnimo od prej)
y = ekx.Ko poraunamo e ustrezne odvode, vstavimo v enabo in delimo
z ekx, dobimonaslednjo karakteristino enabo:
k2 + 4k + 5 = 0.Ta enaba ima kompleksni reitvi k1 = 2 + i in k2
= 2 i, katerima ustrezatanaslednji reitvi DE:
y1 = e2x cosx in y2 = e2x sinx.Homogena reitev diferencialne
enabe je tedaj
yH = C1e2x cosx+ C2e2x sinx
ii. NEHOMOGENI DEL: V naem primeru je funkcija na desni strani
enabe f(x) =5x2 32x + 5 polinom druge stopnje. Ker 0 ni reitev
karakteristine enabe jenastavek za partikularno reitev v tem
primeru tudi polinom druge stopnje:
yP = ax2 + bx+ cPoraunamo e ustrezne odvode
y0P = 2ax+ b iny00P = 2ater vse vstavimo v zaetno enabo. Tako
dobimo naslednjo enabo:
2a+ 4(2ax+ b) + 5(ax2 + bx+ c) = 5x2 32x+ 5Pomnoimo in uredimo
po potencah x-a in dobimo:5ax2 + (8a+ 5b)x+ (2a+ 4b+ 5c) = 5x2 32x+
5Primerjamo koeciente pri posameznih potencah x-a na obeh straneh
in dobimo trienabe s tremi neznankami
5a = 58a+ 5b = 322a+ 4b+ 5c = 5.Iz tega ven izraunamo vrednosti
za koeciente a, b in c, ki so naslednji:a = 1, b = 8 in c = 7.Tako
dobimo partikularno reitev, ki je
yp = x2 8x+ 7Skupna reitev dane diferencialne enabe je potem
vsota obeh posameznih reitev, tj.
homogene in partikularne reitve:
yS = yh + yp = C1e2x cosx+ C2e2x sinx+ x2 8x+ 7
3
-
(b) y00 4y0 + 4y = e2x
Reitev: Najprej reimo homogeni del enabe, nato e
nehomogenega:
i. HOMOGENI DEL: Reujemo diferencialno enabo y00 4y0 + 4y =
0.Nastavek: y = ekx
Izraunamo e vse ustrezne odvode: y0 = k ekx in y00 = k2 ekx.Vse
vstavimo v zaetno enabo in dobimo:
k2 ekx 4k ekx + 4ekx = 0.Celo enabo delimo z ekx in dobimo
karakteristini polinom za k:k2 4k + 4 = 0(k 2)2 = 0Od tod dobimo
eno reitev karakteristine enabe k1 = 2. Ta reitev je realna
reitev2. stopnje in ji pripadata naslednji ustrezni linearno
neodvisni reitvi diferencialne
enabe:
y1 = e2xin y2 = x e2x.Homogena reitev je:
yH = C1e2x + C2xe
2x
ii. NEHOMOGENI DEL: V tem primeru je funkcija na desni strani
oblike f(x) = eaxP (x),kjer je a = 2 in je P (x) konstanta (torej
polinom stopnje 0). Ker je a = 2 dva-kratnareitev karakteristine
enabe, je na nastavek za partikularno reitev naslednji:
yP = x2 e2x APoraunamo e ustrezne odvode
y0P = A(2xe2x + x2e2x 2) = 2A(x+ x2)e2x,
y00P = 2A((1 + 2x)e2x + (x+ x2)e2x 2) = 2A(1 + 4x+ 2x2)e2x,ter
vse vstavimo v zaetno enabo. Tako dobimo naslednjo enabo:
2A(1 + 4x+ 2x2)e2x 42A(x+ x2)e2x + 4x2 e2x A = e2x
Delimo z e2x in dobimo naslednjo enabo za A:2A = 1, od koder
sledi, da je A = 12 . Partikularna reitev se torej glasi:
yP =1
2x2 e2x
.
Skupna reitev je potem
yS = C1e2x + C2xe
2x +1
2x2 e2x
4
-
(c) y00 3y0 + 2y = 3x+ 5 sin 2x
Reitev: Najprej reimo Homogeni del enabe, nato e
nehomogenega:
i. HOMOGENI DEL: Reujemo enabo y00 3y0 + 2y = 0Nastavek: y =
ekx
Izraunamo e vse ustrezne odvode: y0 = k ekx in y00 = k2 ekx.Vse
vstavimo v zaetno enabo in dobimo naslednjo karakteristino
enabo:
k23k+2 = 0, ki jo lahko razstavimo (k1)(k2) = 0 in tako dobimo
dve razlinirealni nili k1 = 1 in k2 = 2. Tako se homogena reitev
glasi:
yH = C1ex + C2e
2x
ii. NEHOMOGENI DEL:
5
vaje-DE-1-3-11vaje-DE-8-3-11vaje-DE-15-3-11vaje-DE-22-3-11vaje-DE-5-4-11vaje-DE-19-4-11vaje-DE-3-5-11vaje-DE-10-5-11vaje-DE-24-5-11vaje-DE-31-5-11