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Il lago, genius loci del territorio bresciano: occasione di educazione ambientale e di introduzione al pensiero scientifico - Anno 2014-2015
Seminario N° 2
Quanto tempo è necessario per svuotare un
lavandino ?
Classe IV del Liceo Calini
Liceo Leonardo da Vinci
Professori : Aldo Auditore
Marco Pietro Longhi
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OGGETTO DEL SEMINARIO N. 2
• Immaginiamo, per semplicità, che un lago sia occupato da acqua uniformemente inquinata e che
non vi siano meccanismi di autodepurazione in atto. Allora l’unico modo per “pulire” il lago è quello
di ricambiarne l’acqua
• Il problema è: quanto tempo è necessario ? Infatti la Water Framework Directive dà tempo fino al
2015 (o al massimo 2027).
• Assimiliamo il lago ad un serbatoio che vogliamo svuotare, in assenza di afflussi: questa
semplificazione drastica ci consente di inquadrare il problema alla luce di alcuni principi fisici
fondamentali
• Condurremo un esperimento di svuotamento misurando il livello dell’acqua in funzione del tempo
• Il processo di svuotamento di questo serbatoio può essere bene interpretato alla luce
dalla legge di conservazione della massa + teorema di Bernoulli
• Utilizzeremo poi queste principi per derivare un modello matematico del processo e mostrarne il
potere predittivo
• Strumenti di calcolo: utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare i dati misurati
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SEMINARIO N. 2: cosa impareremo ?
• Utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare I dati misurati
• Determineremo sperimentalmente una funzione che lega il livello nel lago al tempo
• Deriveremo l’equazione che esprime la conservazione della massa in un serbatoio
• Verificheremo il potere predittivo di un modello teorico
• Poi, se avanzerà tempo, controlleremo sperimentalmente, in due modi diversi, la validità dei risultati
forniti dal Teorema di Bernoulli
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SEMINARIO N. 2: il foglio elettronico come strumento di elaborazione dei dati e di visualizzazione
Utilizzeremo un foglio elettronico (Excel, oppure
la versione “Open Office” fornita da ORACLE
(scaricabile da http://www.openoffice.org/it/). I
comandi sono molto simili e le funzionalità
identiche
In un foglio elettronico I dati sono individuati
dalle loro coordinate, come nel piano cartesiano
E’ possibile elaborare I dati in molti modi. Ad
esempio, è possibile rappresentare le funzioni
in un grafico.
In questo la caso la nostra funzione è la serie
dei dati che misureremo
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SEMINARIO N. 2: Alcune nozioni indispensabili
Poniamo un cilindro graduato sotto al getto per un secondo.
Misureremo un volume defluito nel cilindro che sarà pari all’area
del getto per la sua velocità
Formula di Torricelli (ipotesi fondamentale: dissipazioni energetiche nulle)
gYU 2
U [m/s]: velocità del getto
Y [m]: livello del serbatoio
g [m/s2]: accelerazione di gravità
aUt
Vq
Per esempio: t = 8 s; V=0.4 l = 0.0004 mc; q = 0.0004/ 8= 0.00005 m3/s
Ripetiamo la misura per un tempo t. Il volume uscente è
Definiamo portata media in uscita dal serbatoio in t, q [m3/s]
taUV
aU
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SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa
Concentriamoci sulla massa presente nel serbatoio al tempo t.
Possiamo anche esprimerla come
)t(YA)t(M
[kg/m3]: densità o massa per unità di volume
A [m2]: superficie trasversale del serbatoio cilindrico
Y(t) [m]: livello del lago al tempo t
La massa nel serbatoio diminuisce nel tempo, ma solo perchè
fluisce nella bacinella sottostante. La massa infatti si conserva
E’ evidente che
V)t(M)tt(M
V)tt(M)t(M
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SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa
VA)t(YA)tt(Y
V)t(V)tt(V
V)t(V)tt(V
A
V)t(Y)tt(Y
Questa è l’equazione di conservazione della massa
e ci dice come varia la massa presente nel serbatoio
in funzione del tempo t.
“La massa al tempo t+t è uguale a quella presente
al tempo t meno quella che si è accumulata
nella bacinella”
Riscriviamo ora questa equazione in termini di
livello dell’acqua, una quantità che possiamo
facilmente leggere durante la prova
La densità si può semplificare e il volume scrivere
come prodotto dell’area retta A del serbatoio
per il livello Y
Legge di conservazione della massa per un
serbatoio scritta in termini di livello Y.
V)t(M)tt(M
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SEMINARIO N. 2: il secondo ingrediente del modello matematico - il T.ma di Bernoulli
Modello di variazione del livello nel lago
in funzione del tempo.
t)t(gYataUV
)t(gYaaU)t(q
2
2
)t(YA
tga)t(Y)tt(Y
A
t)t(gYa)t(Y)tt(Y
2
2
A
tgaC)t(YC)t(Y)tt(Y
2
q è la portata uscente dalla luce di fondo. E’ cioè il volume di
acqua che esce in un secondo. Possiamo ottenerlo come
prodotto della velocità di uscita, fornito dalla f.la di Torricelli,
per l’area della luce.
Sostituendo nella equazione precedente, otteniamo:
Sostituendo nella equazione precedente
riusciamo ad ottenere una equazione in
cui è presente la sola incognita Y, in
funzione del tempo
Implementeremo questa eq.ne nel foglio elettronico per verificare se è in grado di interpretare
i dati che misureremo, ovvero per verificare se il modello ha un potere predittivo
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SEMINARIO N. 2: L’esperimento e l’utilizzo del foglio elettronico
• Partiamo con la vasca, di area planimetrica A, riempita fino
alla quota h e con la luce di fondo d’area a
• Iniziamo l’esperimento aprendo la luce e facendo partire il timer
• Prepariamo sul foglio elettronico un vettore che partendo da h
decresca fino a 4 cm con passo di 1 cm
• Seguendo il progressivo abbassamento del livello, leggiamo sullo
schermo il valore del tempo in corrispondenza del quale l’acqua
nel serbatoio raggiunge i livelli predisposti sul foglio elettronico.
• Al termine, otteniamo una serie Y(t), t
• Ripetiamo l’esperimento e mediamo le due serie ottenute,
per tenere conto dei probabili errori di lettura
• Rappresentiamo in un grafico la funzione sperimentale Y(t), t
dove t è la variabile indipendente e Y quella dipendente
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SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
• Proviamo ora a implementare nel foglio elettronico la relazione regressiva che abbiamo ottenuto
teoricamente
• fissiamo nelle celle del foglio elettronico il valore a, A, g
• Calcoliamo la colonna con I valori di t e la colonna con I valori del coefficiente C
• Implementiamo ora l’equazione (1). Partiamo dal livello iniziale Y(t=0)=h e calcoliamo il secondo
valore di Y; prendiamo poi il secondo e calcoliamo il terzo e così via…
• Confrontiamo la serie misurata con quella teorica, facendo un grafico delle due in funzione
del tempo
• Facciamo un grafico che rappresenti una serie in funzione dell’altra
• Funziona ?
• Conclusione: il modello teorico predice il comportamento sperimentale osservato ? Se si,
estrapoliamo il tempo di completo svuotamento del serbatoio, Ts, che non abbiamo potuto
misurare sperimentalmente
A
tgaC)t(YC)t(Y)tt(Y
2(1)
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SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Analizzando il filmato dello svuotamento riempire la colonna B (Tempo) inserendo il tempo in secondi in
corrsipondenza del quale si raggiunge il livello indicato nella colonna A. Ripetere quindi la stessa
operazione una seconda volta riempiendo la colonna C; utilizzeremo quindi la media dei tempi misurati
(colonna D)
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SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Implementiamo ora le relazioni indicate nella riga 10. Per esempio l’intervallo temporale t nella casella
E12 si calcolerà come differenza fra la cella D12 e la cella D11.
Per trasferire questa formula a tutte le celle sottostanti fare un doppio clic sull’angolo in basso a destra
della cella quando compare un “più”, oppure semplicemente trascinando la cella
N.B.
Tipicamente la lettera
greca è usata per
indicare una variazione:
t=(t2-t1)
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SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
NB. Se la formula contiene un parametro costante (in questo caso il riferimento ai valori contenuti nelle
celle azzurre), questo andrà “bloccato” scrivendo la lettera corrispondente alla cella fra due dollari $ (es. per
l’area del serbatoio: $B$2)
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SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Confrontiamo ora le misure sperimentali con i risultati del modello matematico rappresentando in un grafico
le curve (tempo, livello) misurate (colonna D11:D35, colonna A11:A35) e quelle calcolate (colonna D11:D35,
colonna G11:G35) in funzione del tempo
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Liv
ello
(m
)
Tempo (s)
Confronto fra misure e modello
Misura Modello Modello: TS
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SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Lo stesso confronto si può fare rappresentando ogni dato misurato in funzione del corrispondente dato
teorico. Se il modello predice perfettamente il processo i punti così rappresentati si devono allineare lungo
la bisettrice del primo quadrante.
y = 1.0331x - 0.0077
R² = 0.9999
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Liv
ello
teo
rico
(m
)
Livello misurato (m)
Confronto fra misure e modello
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SEMINARIO N. 2: la conservazione della massa e la storia della scienza
La prima formulazione esplicita della legge di
conservazione della legge di conservazione
della massa è dovuta a Benedetto Castelli,
un bresciano, allievo di Galileo e a sua volta
maestro di Torricelli
Una lapide non lontano da qua ne ricorda la figura
dov’è ?
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SEMINARIO N. 2: Il Teorema di Bernoulli e la storia della scienza
Daniel Bernoulli, matematico svizzero nato nel 1700
In questo libro fornisce per la prima volta
una interpretazione energetica corretta
del processo di efflusso, derivando la relazione
già ottenuta da Torricelli per via empirica
Bernoulli fu un genio di prima grandezza.
Per ironia della sorte, prima di iniziare la sua
brillante carriera accademica suo padre
(che pure insegnava matematica) cercò di convincerlo
che avrebbe dovuto fare il mercante
“poiché la matematica non poteva fornire
alcun sostanziale beneficio economico e
reddito affidabile”.
Conclusione: fare seriamente le cose in cui si crede
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SEMINARIO N. 2: una verifica finale sul valore della velocità Torricelliana
Oltre ad essere calcolabile teoricamente, la velocità U in uscita può essere misurata in due modi
diversi, così da poter essere confrontata con i valori che si ottengono dalla equazione di Bernoulli
1) per valori del livello assegnati e costanti nel tempo si procede a misurare la velocità in uscita
mediante un micromulinello idrometrico.
2) Effettuando una misura volumetrica della portata uscente (q=V/t) per valori del livello costanti nel
tempo. A tale scopo si misura con un cilindro graduato il volume V uscito nell’intervallo temporale t.
Essendo q = a U, dove a è l’area della luce, possiamo subito calcolare la velocità
U = q/a = V/(at)