Seminararbeit Optionsbewertung mit FFTsgerhold/pub_files/sem11/burger_s.pdf · les Modell (vgl. Formel 4) um diese diskreten zufälligen Sprünge erweitert, siehe [CI, Formel 4) um

SeminararbeitOptionsbewertung mit FFT

Clemens Burger (0852926)

19.1.2012

1

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 3

1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Idee des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fouriertransformation 4

3 Optionsbewertung 4

4 Numerische Berechnung 74.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Bewertungsmodelle 95.1 Geometrische Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Black Scholes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3 Merton Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4 Heston Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.5 Bates Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.6 Beispiel LTCM 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Anwendung 17

2

1 EinleitungDiese Arbeit setzt sich mit der Bewertung von Optionen, mit Hilfe der Fast FourierTransformation (FFT) auseinander.

1.1 Problemstellung

Als Anwendungsbeispiel soll die Bewertung einer europäischen Call Option mit Fällig-keitszeitpunkt T und Strike Preis K dienen. Der Wert des Underlyings, zum Beispieleiner Aktie, sei eine stochastische Größe S(T ). Dann ist der Wert der Call Option CTgegeben durch

CT = E[(S(T )−K)+]

Um den Erwartungswert zu berechnen, benötigen wir die Dichte von S(T ) in geschlos-sener Form. In einigen Modellen existiert diese nicht oder liegt in sehr komplexer Formvor. Die charakteristische Funktion existiert dagegen immer, oft in einfacher Form.

Ein Beispie dafür ist das Variance Gamma Modell, welches in der Optionsbewertung undbeim Credit Risk Modeling Anwendung findet. Die Variance Gamma Verteilung besitztdie Dichte1

γ2λ|x− µ|λ−1/2Kλ−1/2(α|x− µ|)√πΓ(λ)(2α)λ−1/2

eβ(x−µ)

Wobei Kλ die modifizierte Bessel Funktion der zweiten Art und Γ die Gamma Funktionbezeichnet.

Die charakteristische Funktion ist durch

(1− izθν +1

2σ2νz2)−

tν

gegeben.

Es wäre daher zweckmäßig, in bestimmten Fällen die Bewertung der Option mit Hilfeder charakteristischen Funktion, statt der Dichte durchzuführen.

1.2 Idee des Verfahrens

Da die Bildung der charakteristischen Funktion im Prinzip mit einer Fouriertransforma-tion übereinstimmt, können wir im Wesentlichen die Bewertung durch eine Rücktrans-formation durchführen.

1vgl. http://en.wikipedia.org/wiki/Variance-gamma_distribution am 17.01.2012 um 22:30

3

2 FouriertransformationDa die Fouriertranformation nicht einheitlich definiert ist, verwenden wir jene aus [KU,Abschnitt 17.4]

Definition 2.0.1 Ist µ ein endliches Maß auf (R,B), nennt man

ϕ(υ) :=

∫eiυkdµ(k), υ ∈ R

die Fouriertransformierte von µ

µ ist endlich, daher ist insbesondere (Ω,S, µ) ein σ-endlicher Maßraum. Ist µ absolutstetig bezüglich λ und f = dµ

dλerhalten wir mit dem Satz von Radon-Nikodym [KU,

Abschnitt 11.3]

Definition 2.0.2 Für f ∈ L1(R) ist die Fouriertransformierte f : R→ C von f definiertdurch

f(υ) =

∫ ∞−∞

eiυkf(k)dk

Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R,B), stimmt die Fouriertransformierte f mit dercharakteristischen Funktion überein.

Definition 2.0.3 Für X ∈ (Ω,S, P ) sei die charakteristische Funktion ϕX(t) : R → Cvon X definiert durch

ϕX(t) := E(eitX) =

∫Ω

eitXdP

3 OptionsbewertungIn diesem Abschnitt halten wir uns an [CI, Abschnitt 8.3].

Aus

CT = E[(S(T )−K)+]

erhalten wir

CT (k) =

∫ ∞k

e−rT (es − ek)qT (s)ds

wenn wir den Strike K = ek und qT als die risikoneutrale Dichte von sT = log(ST ) defi-nieren.

4

Für k → −∞ konvergiert CT gegen S0, da

CT (k) = e−rT∫ ∞−∞

esqT (s)ds

dem Erwartungswert des Underlyings, abgezinst um den risikolosen Zins r, entspricht. BeiArbitragefreiheit muss dieser Wert dem Wert des Underlyings zum Bewertungszeitpunkt(S0) entsprechen.

In diesem Fall ist CT /∈ L1, weil für limk→−∞CT (k) = S0 ein S0

2≤ CT (k) ∀ k ≤ k0

existiert, für das gilt:

∫ ∞−∞|CT (k)| dk =

∫ ∞−∞

∣∣∣∣∫ ∞k

e−rT (es − ek)qT (s)ds

∣∣∣∣ dk ≥∫ ∞−∞

∣∣∣∣S0

2

∣∣∣∣ dk ≥∣∣∣∣S0

2

∣∣∣∣ ∫ ∞−∞

1dk︸ ︷︷ ︸∞

≥ ∞

Aus diesem Grund betrachten wir die modifizierte Funktion

cT (k) = eαkCT (k)

welche für passendes α > 0 in L1 liegt.Die Wahl von α kann vom Model für ST abhängen. Die Fouriertransformierte von cT istdefiniert durch

ψT (υ) :=

∫ ∞−∞

eiυkcT (k)dk

Unser Ziel ist die Berechnung von CT mit der charakteristische Funktion φT des Modellsfür ST , statt über die Dichte qT von ST .Wir werden daher versuchen, qT durch φT zu substituieren.Zu diesem Zweck setzen wir cT in ψT (υ) ein.

ψT (υ) =

∫ ∞−∞

eiυk

cT︷ ︸︸ ︷∫ ∞k

eαke−rT (es − ek)qT (s)ds dk (1)

Wir wenden den Satz von Fubini aus [KA, Abschnitt 13.2] an. Nachdem für den Options-preis nur der positive Anteil der Differenz es−ek zählt und daher eαke−rT (es−ek)qT (s) > 0folgt, ergibt

f.s.=

∫ ∞−∞

e−rT qT (s)

∫ s

−∞(eαk+s − e(α+1)k)eiυkdkds

5

Im nächsten Schritt berechnen wir das innere Integral

=

∫ ∞−∞

e−rT qT (s)

(e(α+1+iν)s

α + iυ− e(α+1+iυ)s

α + 1 + iυ

)ds

e−rT hängt nicht von s ab und kann heraus gezogen werden. Die Brüche werden subtra-hiert.

= e−rT∫ ∞−∞

eis(υ−(α+1)i)qT1

α2 + α− υ2 + i(2α + 1)υ︸ ︷︷ ︸konstant

ds

Wir ziehen den konstanten Faktor vor.

Da∫∞−∞ eis(υ−(α+1)i)qTds = φT (υ − (α + 1)i) der Fouriertransformierte von qT entspricht,

erhalten wir für die Fouriertransformierte ψT (υ) von cT

ψT (υ) =e−rTφT (υ − (α + 1)i)

α2 + α− υ2 + i(2α + 1)υ

Damit haben wir einen wesentlichen Schritt geschafft. Für ein geeignetes α > 0 könnenwir den Fouriertransformierten Optionspreis cT mithilfe der charakteristischen Funktionvon S(T ) ausdrücken.

Im letzten Schritt führen wir eine inverse Fouriertransformation durch und erhalten denOptionspreis CT

CT (k) =e−αk

π

∫ ∞0

e−iυkψ(υ)dυ

Aus [CI, Abschnitt 8.3] wissen wir, dass α = 0, 75 eine gute Wahl für das Merton, Hestonund Bates Modell ist. Er bezieht sich dabei auf eine empirische Studie von Schoutens etal. (2003).

Hier wurde die Berechnung konkret mit einer europäischen Call Option durchgeführt.Naturgemäß ist die Bewertung mit FFT auch für viele andere Optionstypen möglich,solange das Integral in Gleichung (1) existiert und Fubini anwendbar ist.

6

4 Numerische BerechnungDa die charakteristische Funktion φT in unserer Aufgabenstellung gegeben ist und sich ψTleicht berechnen lässt, liegt die numerische Herausforderung in der Rücktransformationvon ψT . Wir benötigen daher einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von

CT (k) ≈ e−αk

π

N−1∑j=0

e−iυjkψ(υj)η (2)

υj = ηj, j = 0, · · · , N − 1, η > 0 ist die Schrittweite der Integration.

Die Gleichung (2) entspricht in ihrer einfachen numerischen Implementierung im Wesent-lichen einer diskreten Fouriertransformation (DFT).Wir wissen jedoch aus [AU, Abschnitt 4.10], dass es den deutlich effizienteren Algorithmusder schnellen Fouriertransformation (FFT) gibt, um Summen der Form

ωu =N−1∑j=0

e−i2πNjuxj, u = 0, . . . , N − 1 (3)

zu berechnen

Aus diesem Grund werden wir die Formel (2) in die Form der Gleichung (3) bringen.

Die am häufigsten gehandelten Optionen sind jene, wo der Ausübungspreis der Optionnahe dem Basispreis des Underlyings liegt.Daher betrachten wir die Ausübungspreise symmetrisch rund um den Basispreis in derForm

ku = −1

2Nζ + ζu+ s0

Dies setzen wir in Formel (2) ein und erhalten

CT (ku) ≈e−αk

π

N−1∑j=0

e−iζηjuei(12Nζ−s0)υjψ(υj)η

Vergleicht man diese Darstellung mit Gleichung (3) und setzen wir

xj = ei(12Nζ−s0)υjψ(υj) ζη =

2π

N

erhalten wir die gewünschte Form von Formel (3).

7

4.1 Beispiel

Betrachten wir nun ein Beispiel für die Effizienz der FFT im Vergleich zur einfachen Im-plementierung aus [CI, Abschnitt 8.3].

Während die naive Implementierung in N2 Operationen konvergiert, benötigt die FFTnur N log(N) Schritte.In unserem Beispiel sei N=4 gewählt.

Sind u und j binäre Zahlen der Form

u = 2u1 + u0,j = 2j1 + j0,

mit u1, u0, j1, j0 ∈ 0, 1 u = (u1, u0), j = (j1, j0) der Formel (3) gegeben als

ω(u1,u0) =1∑

j0=0

1∑j1=0

xj1,j0W(2u1+u0)(2j1+j0)

wobei W = e−2πi/N . Da

W (2u1+u0)(2j1+j0) = W (2u0j1)W (2u1+u0)j0

erhalten wir

ω(u1,u0) =1∑

j0=0

(1∑

j1=0

xj1,j0W(2u0j1)

)W (2u1+u0)j0

Nun können wir die FFT in folgenden drei Schritten beschreiben

ω1(u0,j0) =

1∑j1=0

xj1,j0W(2u0j1)

ω2(u0,u1) =

1∑j0=0

ω1(u0,j0)W

(2u1+u0)j0

ω(u1,u0) =ω2(u0,u1)

Während die einfahce numerische Implementierung von Gleichung (3) 42 = 16 komplexeMultiplikationen benötigt, kommt die FFT mit nur 4 log(4) = 8 komplexen Multiplika-tionen aus.Das erklärt die hohe Geschwindigkteit der FFT, da die komplexen Multiplikationen jeneOperationen sind, die die meiste Zeit benötigen.

8

5 Bewertungsmodelle

5.1 Geometrische Brownsche Bewegung

Grundlage der meisten zur Zeit angewandten Modelle zur Optionspreisbewertung ist diegeometrische Brownsche Bewegung, charakterisiert durch folgende stochastische Differen-zialgleichung (vgl. [CI, Abschnitt 8.2]).

dSt = rStdt+ σStdWt (4)

Nun wollen wir von dieser Gleichung auf den Prozess schließen.Aus [KL, Abschnitt 4.3] ist bekannt, dass

Definition 5.1.1 Ein Prozess X = (Xt)t≥0 heißt Itô-Prozess mit DiffusionskoeffizientU = (Ut)t≥0 und der Drift V = (Vt)t≥0, falls

Xt = X0 +

∫ t

0

Vsds+

∫ t

0

UsdWs, t ≥ 0,

mit U ,√|V | ∈ P2

loc[0, T ] für alle T ≥ 0.

Wobei W ein Wiener Prozess bzw. Brownsche Bewegung ist.

Daraus schließen wir, dass Ut = σSt ist und Vt = rSt ist. Betrachten wir den folgen-den Satz aus [KL, Abschnitt 4.3]

Satz 5.1.1 Itô-Formel Sei X = (Xt)t≥0 ein Itô-Prozess mit Diffusionskoeffizient U =(Ut)t≥0 und Drift V = (Vt)t≥0 und F ∈ C2(R,R). Dann ist F (X) wieder ein Itô-Prozessund es gilt

F (Xt) = F (X0) +

∫ t

0

F ′(Xs)dXs +1

2

∫ t

0

F ′′(Xs)U2s ds f.s., t ≥ 0.

Setzen wir in den Satz folgender Definition aus [KL, Abschnitt 4.3]

Definition 5.1.2 Sei X = (Xt)t≥0 ein Itô-Prozess mit Diffusionskoeffizient U = (Ut)t≥0

und Drift V = (Vt)t≥0 und Y = (Yt)t≥0 ein adaptierter Prozess, sodass Y U ,√|Y V | ∈

P2loc[0, T ] für alle T ≥ 0. Dann ist das Integral bezüglich des Itô-Prozesses X erklärt durch

(Y.X)t =

∫ t

0

YsdXs :=

∫ t

0

YsVsds+

∫ t

0

YsUsdWs, t ≥ 0

9

erhalten wir

F (Xt)f.s.= F (X0) +

∫ t

0

F ′(Xs)UsdWs +

∫ t

0

F ′(Xs)Vsds+1

2

∫ t

0

F ′′(Xs)U2s ds t ≥ 0 (5)

Setzen wir nun den aus Gleichung (4) gewonnenen Diffusionskoeffizient Ut = σSt undden Drift Vt = rSt, in Verbindung mit F (St) = ln(St), F ′(St) = 1

Stund F ′′(St) = − 1

S2tin

Gleichung (5) ein, erhalten wir

ln(St) = ln(S0) +

∫ t

0

1

SsσSsdWs +

∫ t

0

1

SsrSsds+

1

2

∫ t

0

− 1

S2s

(σSs)2ds

= ln(S0) + σ

∫ t

0

dWs + r

∫ t

0

ds− σ2

2

∫ t

0

ds

= ln(S0) + σWt +

(r − σ2

2

)t

Wenden wir nun auf beiden Seiten die Exponentialfunktion an, erhalten wir den Preispro-zess St der geometrischen Brownschen Bewegung.

ST = S0 exp

[(r − σ2

2)t+ σWt

]Siehe Abbildung (1)

10

Abbildung 1: Geometrische Brownsche Bewegung

5.2 Black Scholes Modell

Eine wichtige Annahme des Black Scholes Modells ist, dass die Aktienpreisentwicklungeiner geometrischen Brownschen Bewegung entspricht.

Die empirischen Fakten widersprechen jedoch diesen Modellannahmen, siehe [CI, Ab-schnitt 8.2]

1. Die Verteilung der Returns ist im Vergleich zu den im Black Scholes Modells pos-tulierten leptokurtisch.

2. Häufig beobachtete Returns, die sechsmal der Standardabweichung entsprechen,sollten laut diesem Modell weniger als einmal in einer Million Jahren vorkommen.

3. Die quadrierten Returns, welche ein Maß für die Volatilität darstellen, zeigen einepositive Autokorrelation über mehrere Tage hinweg. Dies steht im Widerspruch zurAnnahme einer konstanten Volatilität.

4. Die nicht konstante Volatilität kann auch bei den im Markt auftretenden „Smiles“und „Skews“ der impliziten Volatilität beobachtet werden

Aus diesem Grunde werden wir drei weitere Modelle betrachten.

11

5.3 Merton Modell

Speziell in Krisenzeiten ist das Black Scholes Modell für Investoren potenziell gefährlich.

Bei extremen Ereignissen, wie der Russlandkrise 1998-1999, der dotcom Blase Anfang2001, der Finanzkrise 2008 mit dem Crash von Lehman Brothers am 15. September 2008oder der Eurokrise, treten Verwerfungen auf, die es laut Black Scholes Modell de factonicht geben dürfte.

Mit diesen für Investoren besonders verlustbringenden plötzlich immer wieder auftreten-den starken Ausschlägen nach unten kann dieses Modell nicht umgehen.

Aus diesem Grund entwickelte Robert Merton 1976 ein Modell, welches das Black Scho-les Modell (vgl. Formel 4) um diese diskreten zufälligen Sprünge erweitert, siehe [CI,Abschnitt 8.2].

dStSt

= rdt+ σdWt + dZt

Zt is ein zusammengesetzter Poissonprozess (siehe Abb. 2) mit log-normalverteilten Sprung-höhen.

Die Sprünge folgen einem (homogenen) Poisson Prozess Nt mit Intensität λ und sindunabhängig von Wt.

Die Amplituden der logarithmierten Sprünge Yi ∼ N (µ, σ2) sind unabhängig identischverteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert µ und Varianz σ2. Sie sind unabhängig von Nt

und Wt.

Das Modell ist unvollständig. Das bedeutet, dass das risikoneutrale Maß des diskontiertenPreisprozesses nicht eindeutig ist. Es bestehen mehrere Möglichkeiten, ein solches Maßzu wählen.

Merton schlug vor, den Drift der Brownschen Bewegung zu verändern und die anderenParameter zu belassen.

Das führt zu einem Preisprozess der Form

ST = S0 exp

[µM t+ σWt +

Nt∑t=1

Yi

]

wobei µM = r − σ2 − λ[exp

(µ+ δ2

2

)− 1].

Die Sprungkomponenten verlagern das Gewicht auf die Ränder der Verteilung. Ein grö-ßeres δ führt zu einer leptokurtischeren Verteilung, während µ dafür ausschlaggebend ist,

12

Abbildung 2: Poissonprozess

ob sich diese auf die rechte oder linke Seite verlagert.

Betrachten wir nun die charakteristische Funktion von Xt = ln StS0

φXt(z) = exp

[t

−σ

2z2

2+ iµMz + λ

(e−δ

2z2/2+iµz−1)]

wobei Xt = µM t+ σWt +∑Nt

t=1 Yi

Da die charakteristische Funktion existiert und von relativ simpler Form ist, eignet siesich gut für die Bewertung von Optionen mit der FFT, wie wir aus Abschnitt 3 wissen.

13

5.4 Heston Modell

Ein weiterer Mangel des Black Scholes Modells ist die Annahme einer konstanten Vola-tilität.

Dieses Manko kann durch die Substitution des konstanten Volatilitätsparameters σ miteinem stochastischen Prozess ausgeglichen werden, siehe [CI, Abschnitt 8.2].

Dieser Ansatz führt zu sogenannten „Stochastic Volatility“ Modellen.

Der Preisprozess ist dann charakterisiert durch

dStSt

= rdt+√υtdWt

Der Varianzprozess υt kann auf vielfältige Weise gewählt werden. Hull und White (1987)wählten die geometrische Brownsche Bewegung.

dυtυt

= c1dtc2dWt

Probleme verursacht jedoch das exponentielle Wachstum der geometrischen BrownschenBewegung. Dieses ist inkompatibel mit der Eigenschaft der Volatilität, sich nach Aus-schlägen immer wieder zu einem stabilen Mittelwert zu bewegen.

Aus diesem Grund entwickelten Stein und Stein 1991 ein Modell, basierend auf einemOrnstein-Uhlenbeck Prozess.

dυt = κ(θ − υt)dt+ βdWt

Das Problem dieses Ansatzes liegt in den auftretenden negativenWerten für die Varianz υ.

Diese Defizite wurden jedoch durch Heston (1993) beseitigt.

dStSt

=rdt+√υtdW

(1)t

dυt =κ(θ − υt)dt+ σ√υtdW

(2)t

Die beiden Brownschen Prozesse W (1)t und W (2)

t sind korreliert mit einer Rate ρ.

Cov(W

(1)t ,W

(2)t

)= ρdt

14

Der Term√υt dient der Sicherstellung einer positiven Volatilität. Der Parameter kappa

steht für die Geschwindigkeit, mit der die Volatilität wieder zu ihrem Mittelwert zurück-kehrt. θ ist das durchschnittliche Niveau der Volatilität. σ ist die Volatilität der Volatilität.

ρ ist aufgrund des „Leverage Effects“ meist negativ.

Der Prozess von Xt = ln fracStS0 erfüllt

dXt =

(r − 1

2υt

)dt+

√υtdW

(1)t

Die Charakteristische Funktion ist gegeben durch

φXt(z) =exp

κθt(κ−iρσz)

σ2 + iztr + izx0

cosh γt

2+ κ−iρσz

γsinh γt

2)2κθσ2

· exp

− (z2 + iz)υ0

γ coth γt2

+ κ− iρσz

γ =√σ2(z2 + iz)− (κ− iρσz)2, x0 und υ0 sind die Anfangswerte für den logarithmierten

Preis und Volatilitäts Prozess.

5.5 Bates Modell

Im nächsten Schritt wollen wir die beiden zuvor vorgestellten Modelle kombinieren, siehe[CI, Abschnitt 8.2].

Bates schuf 1996 ein Modell mit stochastischen Volatilitäten und Sprüngen der Form

dStSt

=rdt+√υtdW

(1)t + dZt

dυt =κ(θ − υt)dt+ σ√υtdW

(2)t

Cov(W

(1)t ,W

(2)t

)= ρdt

Wie bereits zuvor, ist Zt ein zusammengesetzter Poissonprozess mit Intensität λ und log-normal verteilten Sprungamplituden sowie unabhängig von W (1)

t (und W (2)t

Sei J die Sprungamplitude, dann ist ln(1 + J) ∼ N(ln(1 + k)− 12δ2, δ2) für ein k.

Unter dem risikolosen Maß erhält man für den logarithmierten Preisprozess

dXt = (r − λk − 1

2υt)dt+

√υtdW

(1)t + Zt

15

wobei Zt ein zusammengesetzter Poissonprozess mit normal verteilten Sprungamplitudenist.

Da die Sprünge unabhängig von der Diffusion sind, können wir die charakteristsicheFunktion des logarithmierten Preisprozesses auffassen als

φXt(z) = φDXt(z)φJXt(z)

Wobei

φDXt(z) =exp

κθt(κ−iρσz)

σ2 + izt(r − λk) + izx0

cosh γt

2+ κ−iρσz

γsinh γt

2)2κθσ2

· exp

− (z2 + iz)υ0

γ coth γt2

+ κ− iρσz

der Diffusionsanteil und

φJXt(z) = exptλ(

e−δ2z2/2+i(ln(1+k)− 1

2δ2)z − 1

)der Sprunganteil der charakteristischen Funktion sind.

5.6 Beispiel LTCM 1998

Dass auch das beste Modell immer mit Vorsicht zu beurteilen ist, mussten Myron Scholesund Robert Merton selbst erfahren.

Sie gründeten gemeinsam mit John Meriwether 1994 den Fonds Long-Term Capital Ma-nagement (LTCM), um Arbitragemöglichkeiten zu finden und gewinnbringend zu nutzen.

Da diese Idee damals vollständig neu war, konnten sie in den ersten Jahren große Gewin-ne erzielen.

Mit Zeit gab es jedoch mehr Fonds, die dieses Modell kopierten. Daher waren sie gezwun-gen, größere Risiken einzugehen.

Im Jahr 1998 kam es schließlich zur Krise, ausgelöst durch die Wirtschafts- und Wäh-rungskrise in Russland.Große Fonds und Portfolios wurden aufgrund der Russlandkrise verstärkt in sichere US-Staatspapiere (US-Treasury Bonds) umgeschichtet, sodass der Spread zwischen Swap-Rate und den Treasury Bonds stark stieg.

16

In Europa wurde verstärkt in sichere deutsche festverzinsliche Anleihen investiert. Gleich-zeitig wurden italienische festverzinsliche Papiere, denen stärker misstraut wurde, ver-kauft. Diese Entwicklung führte zum gegenteiligen Effekt, als von der kommenden Ein-führung der EU-Währungsunion zu erwarten gewesen wäre. 2 3

Da LTCM auf eine Verringerung dieser Spreads spekuliert hatte, kam es zu massivenVerlusten.

Gleichzeitig wussten viele Marktteilnehmer von LTCMs Positionen und Problemen. DaLTCM letztlich seine Positionen glatt stellen musste, trieben viele Marktteilnehmer denSpread ständig weiter auseinander. Im August 1998 verringerte sich das Eigenkapital auf2,1 Mrd. USD und LTCM veräußerte in der Folge einen Großteil der Anlagen zu Schleu-derpreisen.4

Diese Verwerfungen hätte es nach den Modellen nicht geben dürfen. LTCM musste auf-gefangen werden.

6 AnwendungIn diesem Abschnitt wollen wir die Methode der Optionsbewertung mittels FFT auf diezuvor vorgestellten Modelle anwenden und im Anschluss mit Monte Carlo Simulationvergleichen.

Wir werden feststellen, dass ein großer Vorteil der FFT basierten Bewertung in ihrerhohen Geschwindigkeit liegt.

[CI, Abschnitt 8.4] folgend, wählen wir folgende Werte:Underlying: Eurostoxx 50 Index, α = 0.75, N = 512 (Anzahl der Gitterpunkte bei dernumerischen Integration), η = 0.25 (Abstand der Gitterpunkte).

S0 = 100 (Preis des Basiswerts zum Zeitpunkt 0), T = 1 (Zeit bis zur Fälligkeit), r = 0.02(Zinssatz)

Für die Monte Carlo Simulation wählen wir 500 Zeitschritte mit 5000 Wiederholungen.

Wir betrachten das Heston Modell und wählen für die Parameter:κ = 10, θ = 0.2 , σ = 0.7, ρ = −0.5, υ0 = 0.2

Im ersten Schritt stellen wir analytisch die Optionspreise einer europäischen Call Optionin Abhängigkeit zu den Strikepreisen dar. Siehe Abbildung (3) links.

2"convergence trade", vgl. Saber, Nasser (1999): Speculative Capital Volume 1 - the invisible hand ofglobal finance. Financial Times, Prentice Hall. ISBN 0-273-64155-7

3vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/LTCM am 29.02.2012 13:374vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/LTCM am 29.02.2012 13:37

17

Abbildung 3: Links : Preis einer europäische Call Option, berechnet mit Monte Carlo(Kreise) und FFT (Kreuze) Rechts : Differenz in Prozent zwischen den analytischen undmittels FFT berechneten Werten(vgl.[CI, Abschnitt 8.4]

Tabelle 1: Vergleich der Rechenzeit in Sekunden von FFT und Monte Carlo bei derOptionspreisberechnung (20 Strikes, 500 Zeitschritte 5000 Wiederholungen) (vgl.[CI, Ab-schnitt 8.4]

Modell FFT MCMerton 0.01 31.25Heston 0.01 34.41Bates 0.01 37.53

Dann fügen wir die mit FFT und Monte Carlo berechneten Werte hinzu und erkennendas diese gut approximiert wurden.

Wir wollen die Approximation genauer untersuchen. Auf der rechten Seite in Abbildung(3) veranschaulichen wir die prozentuelle Differenz zwischen den analytischen und mittelsFFT berechneten Werten. Wir können die hohe Genauigkeit der FFT Methode erkennen.

Um die Geschwindigkeit der FFT Methode zu unterstreichen, vergleichen wir FFT mitMonte Carlo in Tabelle (1).

18

Literatur[AU] W.Auzinger D.Praetorius: Numerische Mathematik, Skriptum, TU Wien,

2011.

[CI] P.Čížek W.Härdle R.Weron: Statistical Tools for Finance and Insurance,Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.

[KA] M.Kaltenbäck: Analysis 3, Skriptum, TU Wien, SS2011.

[KL] M.Kleinert Stochastische Analysis 1, Skriptum, TU Wien, SS2012

[KU] N.Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, Skriptum, TU Wien, 2010.

19