Seminar HIDRODINAMIKA OBALNIH VALOV - · PDF file1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar HIDRODINAMIKA OBALNIH VALOV Mateja Erjavec Mentor:

1

Univerza v Ljubljani

Fakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Seminar

HIDRODINAMIKA OBALNIH VALOV

Mateja Erjavec

Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik

Februar 2010

Povzetek

V zaetnem delu seminarja so definirani parametri valovanja. Nato sledi opis linearne teorije

valovanja in reitve te teorije. V nadaljevanju se osredotoim na valovanje v bliini obale, na

to, na kaken nain se valovi lomijo, kako se njihova viina spreminja pri priblievanju obale,

kaken sta valovni setup in runup. Na koncu so opisani e tokovi ob obali.

2

Kazalo

1 Uvod 3

2 Opis valovanja 3

2.1 Linearna teorija valovanja..4

3 Valovi obalnega pasu 7

3.1 Transformacija valov v bliini obale..8

3.2 Valovni setup..9

3.2.1Teorija sevalne napetosti10

3.2.2 Izraun valovnega setupa............................................................. .............................11

3.3 Valovni runup ...............................................................................................................................11

4 Tokovi ob obali 12

4.1 Tok, vzporeden z obalo ................................................................................................................12

4.2 Rip tok ..........................................................................................................................................13

5 Zakljuek 15

3

1 Uvod

Obalne valove najdemo na obmoju, ki se razteza od odprtega morja in vse do mesta, kjer

valovi pljusknejo na obalo. Ko se valovi pribliujejo obali, se njihova viina poveuje,

medtem ko se globina vode manja, to pa je eden glavnih razlogov, da se val zlomi [1].

Ljudje pa se ne ustavimo le pri opazovanju valov. Nekateri z veseljem plavajo v njih, drugi se

vozijo s olnom in spet tretji deskajo. Le malokdo pa se vpraa, kakna je fizika za tem

valovanjem, in to bom poskuala pojasniti v tem seminarju.

2 Opis valovanja

Valove v grobem delimo na pravilno in nepravilno oblikovane. Pravilni imajo vseskozi

konstantno viino in valovno dolino, nepravilne pa pogosteje najdemo v naravi in se jim

viina in perioda spreminjata.

Ko gledamo gladino morja, se le-ta s asom spreminja, kar je zelo zapleten pojav. Da bi ga

laje reili, moramo uvesti doloene predpostavke. Pri pravilnih valovih predpostavimo, da so

sinusoidne oblike, da se gibajo le v dveh dimenzijah, da imajo majhno amplitudo in da jih

lahko opiemo z njihovo viino in dolino v globoki vodi. Tudi pri nepravilnih valovih se

omejimo na dve dimenziji, gladina morja pa odstopa od sinusoide, kar matematino gledano

otei problem [2].

Najprej moramo definirati parametre valovanja. Potujo val opiemo s prostorsko (x) in

asovno (t) spremenljivko ali pa z njuno kombinacijo fazo. Le-to definiramo s

= . V tej enabi k predstavlja valovni vektor, pa krono frekvenco. Posamezni val lahko natanno opiemo z viino H, valovno dolino L in globino vode d. Najvijo toko

vala imenujemo hrib, najnijo pa dolina. as, v katerem je v neki izbrani toki dvakrat hrib,

se imenuje valovna perioda T, valovna dolina L pa je razdalja med dvema sosednjima

hriboma oz. dolinama. Zgoraj sta bila e omenjena valovni vektor, ki ga definiramo kot

= 2/ in krona frekvenca = 2/. Hitrost faze definiramo kot = / = /, naklon vala = /, relativno valovno viino pa kot /. Parametre valovanja si lahko ogledamo na sliki 1.

Slika 1: Definicija valovnih parametrov [3].

4

2.1 Linearna teorija valovanja

Linearna teorija valovanja je le pribliek resninemu dogajanju na vodni gladini. Razvita je

bila leta 1845, pri njej pa uporabimo kar nekaj predpostavk [2]:

tekoina je homogena in nestisljiva, torej je gostota konstantna; povrinsko napetost zanemarimo; Coriolisov efekt, ki ga povzroa rotacija Zemlje, zanemarimo; tlak na gladini je enoten in konstanten; tekoina je idealna; na val, ki ga opazujemo, ne vpliva nikakrno drugo gibanje vode, tok je irotacionalen; dno je horizontalna, fiksna, neprepustna meja, kar nam pove, da je vertikalna hitrost na

dnu enaka 0;

amplituda vala je majhna, oblika vala se ne spreminja s asom in krajem; valovi so ravni ali dvodimenzionalni.

Zaradi predpostavke o irotacionalnem toku lahko uporabimo potencial hitrosti . To je

skalarna funkcija, katere gradient nam pove vektor hitrosti v vsaki toki v tekoini. Hitrost v

smeri x dobimo z

=

(1)

V smeri z pa je hitrost

=

. (2)

Zaradi kontinuitetne enabe za nestisljive tekoine mora potencial zadostiti Laplaceovi

enabi

2

2+

2

2= 0. (3)

e elimo reiti enabo (3), potrebujemo robne pogoje ob dnu in ob gladini vode. To, da je

dno neprepustno, nam poda enega od robnih pogojev [4]

= pri z = d. (4)

Na gladini je za infinitezimalno majhne valove navpino premik toka enak vertikalni hitrosti.

Torej je robni pogoj

=

pri = , . (5)

Vendar pa dvig gladine ni poznan, zato potrebujemo e en robni pogoj. Za tlak nad gladino

vzamemo, da je konstanten. Torej lahko brez izgube splonosti reemo, da je ta konstanta

enaka 0. Tako dobimo dinamini robni pogoj [4]

+ = 0 pri = , . (6)

5

Za potujoi val ene same frekvence dviganje in spuanje gladine podaja enaba

= cos . (7)

Z upotevanjem robnih pogojev dobimo enabo za hitrostni potencial

, , =

2

cosh +

cosh sin . (8)

Iz enab (1) in (2) dobimo komponenti hitrosti [2]

=

2

cosh +

cosh cos , (9)

=

2

sinh +

cosh sin . (10)

Ti dve enabi povesta lokalno hitrost tekoine pri vsaki globini + . Hitrosti sta periodini tako v x kot v t.

Gibanje tekoine pod gladino je povezano z gibanjem gladine. Delci se krono gibljejo v

ravnini xz. V teoriji linearnega valovanja se delci gibljejo po kronicah v globoki vodi in po

elipsah v plitvejih vodah (slika 2) [3].

Slika 2: Delci tekoine se v globoki vodi gibljejo po kronicah in v plitvi po elipsah [4].

Hitrost, s katero se potujoi val premika, je [2]

=

. (11)

Enabo za hitrostni potencial (8) vstavimo v enabo za dinamini robni pogoj (6). Rezultat

vstavimo v enabo (5) ter primerjamo s komponento hitrosti v smeri z (10). Dobimo enabo,

ki nam pove, kako je povezan z valovno dolino vala L in globino vode d [2]

=

2tanh

2

. (12)

Ta enaba pove, da valovi z razlino valovno dolino potujejo z razlino hitrostjo. Val z vejo

valovno dolino bo potoval hitreje. e upotevamo enabo (11), lahko zapiemo

6

=

2tanh

2

. (13)

Izrazimo L:

=2

2tanh

2

. (14)

V enabi (14) se valovna dolina L pojavi tako na levi, kot na desni strani.

Valove lahko razvrstimo tudi glede na globino vode, v kateri potujejo, kriterij nam podaja

enaba d/L. Za globoko vodo je razmerje d/L veje od 1/2 , tanh pa je priblino enak 1. Pri plitvi vodi pa je razmerje / od 0 do 1/20, tanh pa je kar . V globoki vodi lahko enabe (11), (12) in (13) zapiemo

0 = 02

= 0

=

2 , (15)

kjer 0 predstavlja valovno dolino vala v globoki vodi. eprav o globoki vodi govorimo, ko je globina neskonna, se tanh e pri precej manjem kvocientu d/L priblia vrednosti 1. e e je d/L=1/2 je vrednost tanh 2 =0.9964. Ko je relativna globina d/L veja od 1/2 , postane hitrost vala neodvisna od valovne doline

0 =

2. (16)

e je d/L manje od 1/20 (plitva voda), enabo (12) poenostavimo v [5]

= . (17)

Kot lahko vidimo iz zadnje enabe, je hitrost potujoega vala v plitvi vodi odvisna le od

globine vode, torej vsi valovi potujejo z isto hitrostjo. Tudi plima in oseka sta zelo dolg val,

tako dolg, da so tudi najgloblji oceani zanju plitva voda. e je ocean gl