Semana 6

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2012-III

TRIGONOMETRÍA “Reducción al Primer Cuadrante”

Definición:

Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea.

R.T.( ) R.T.( )

: no es agudo : sí es agudo La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al primer cuadrante” También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en forma directa mediante reglas prácticas.

Casos:

I. Ángulos cuyas medidas están en

<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"

se descompone como la suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

Donde el signo que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " α " Por ejemplo; calculemos:

* 2

3º30Cos)30º90(Senº120Sen

)(

* 2

1º60Cos)º60º180(Cosº120Cos

)(

*

3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan

)(

*

2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc

)(

II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:

En este caso, se procede de la siguiente manera:

R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º

q

Residuo

Por ejemplo, calculemos:

*

2

3º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1

2580º 360º

2520º 7

60º

3285º 360º

3240º 9

45º

2

3º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1

2580º 360º

2520º 7

60º

3285º 360º

3240º 9

45º *

Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2

1200º 360º

1080º 3

120º

( )

Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:

*

133 4

132 33

1

127 6

126 21

1

12

1Sen

2Sen133

2

1

3

1Cos

3127Cos*

Semana Nº 6

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

2

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133 4

132 33

1

127 6

126 21

1

12

1Sen

2Sen133

2

1

3

1Cos

3127Cos*

Es decir, si fuese:

2ba ; b

a.T.R

Se divide:

a 2bq

r este residuo reemplaza al numerador "a"

*

1315 8

51 164

35

3

1345

31345Sen*

4

3Tan

41315Tan

III. Ángulos de medida negativa: Se

procede de la siguiente manera:

Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx

Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx

Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx

Por ejemplo, calculemos:

* 2

2º45Sen)º45(Sen

* 2

1º60Cos)º60(Cos

3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan

)(

IV. Ángulos relacionados:

1.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

180ºyx : Si

2.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

360ºyx : Si

Por ejemplo, calculemos:

7

6Cos

7

5Cos

7

4Cos

7

3Cos

7

2Cos

7CosC

En esta expresión note que:

7

6Cos

7Cos

7

6

7

7

5Cos

7

2Cos

7

5

7

2

7

4Cos

7

3Cos

7

4

7

3

Luego:

7

6Cos

7

5Cos

7

4Cos

7

4Cos

7

5Cos

7

6Cos C

Reduciendo, quedaría C = 0

PROBLEMA DE CLASE

1. Determinar el valor de: Cos1200º

a) 1 b) 0 c) 1/2

d) -1/2 e) 2

3

2. Calcular:

º240Tan31º315Tan4

1º120Sec2M

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) - 2

3. Calcular:

1º4920Cos2

)1º3383Sen2)(1º3000Sec2(U

a) 2

1

b) 2

1

c) 4

1

d) 4

1

e) 4

3

4. Marque Ud. la afirmación correcta:

a) - Sen (- 750º) = - 0,5

b) 35,0)º1110(Cos

c) 3

3)º1830(Tan

d) 3)º3270(Ctg

e) + Sen2534º = Cos14º

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5. Simplificar:

2

3.

2

3

.2

.2

TgTg

CtgCtg

CtgCtg

TgTgE

a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2

6. Si a y b son ángulos complementarios,

simplificar la expresión:

b11a10Tg.a5b4Cos

a14b13Tg.b7a6SenM

a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1

7. Calcular el valor de :

º150Senº240Cosº330Cscº45Sec3C

a) -2 6 b) 1233

c) 26 d) 62 e) 26

8. Calcular:

osTér

CosCosCosCosR

min29

30

29...

30

3

30

2

30

a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2

9. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)

xsenxctg

xxxtgR

40.2

91

90sec.2

37cos.99

a) 1 b) senx c) cosx

d) - secx e) cscx

10. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual

E = sen100º.cos190º?

a) a b) 2a c) a/2

d) a2 e) -a2

(Segundo examen sumativo 2011 – II)

11. Reducir la expresión:

aº360Tg.aº270Sen.aº540Cos

aº180Tgº.90aCos.aº180Sen

aº1170TgCº180Cos

º90cSen.aº450Ctg

a) 0 b) –Tg2a c) 2Tg2a

d)-2Tg2a e) Tg2a

12. Calcular el valor de:

4625Tg

3317Cos

6805SenP

a) 2 b) 1 c) 0 d) -2 e) -1

13. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo

que:

04

b2a36Ctg

8

b3a2Tg

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/6

14. Simplificar :

x270Ctgx90Csc.x360Sen

x270Cosx360Sec.x180TgQ

a) 1 b) -1 c) Tg2x

d) Sen2x e) Senx

15. Calcular el valor de:

4

7

4

5

4

33

5

6

7

3

2

CscSecTg

SecCosSen

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 0

16. Reducir la expresión:

19992

39

842

61

TgSec

CosCscM

a) -Sen b) -Cos

c) -Tg d) Sen e) Cos

17. Reducir la expresión:

270905402

3603606022

22

SenbSenaabCos

SecbabTgCosaP

a) ba

ba b) a - b c) a + b

d) ba

ba e) a2 – b2

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18. Hallar el valor numérico de:

º225Ctgº330Tanº780Tan

º780Senº330Tanº225SenF

222

222

a) 12

31

b) 20

33

c) 44

1

d) 20

33

e) 12

31

19. El valor de la siguiente expresión:

Es igual a:

12

7Cos

12Sen

12Cos

12

7Sen

a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2

20. Si A y B son ángulos complementarios, al

simplificar:

)B3A4(Tan)BA2(Cos

)B3A2(Tan)B2A(SenE

Se obtiene:

a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1

21. Si : SenA - 2CosA = 0

Entonces el valor de:

)Aº180(Cos)Aº180(Csc)Aº360(Sen

)Aº270(Ctg)Aº180(Sec)Aº90(TanE

es:

a) - 5 b) 5 c) 4

5

d) 4

5

e) – 4

PROBLEMA DE REPASO

1. Del gráfico.

xa

b

y

Determinar:

CosbCosa6

baCos6

SenbSena3

baSen3

K

a) 2

1

b) 3

1

c) 4

1

d) 2

1

e) 3

1

2. La expresión:

º160Cscº.290Secº.340Ctg

)º470(Tg)º.520(Cosº650SenE

Es equivalente a:

a) Sen220º.Cos220º

b) –Sen220º

c) Cos220º

d) –Sen20ºCos220º

e) –Sen220.Cos20º

3. Simplificar:

)9(Ctg)7(Csc)5(Cos

2

9Sec

2

7Sen

2

5Tan

K

a) 0 b) - 1 c) 1

d) - 2 e) 2

4. Calcular el valor de:

Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º

a) ½ b) 0 c) 2

3

d) 1 e) 4

3

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5. Del gráfico, calcule: Tg

A

C

BM

45º

a) 1 b) 2 c) -1

d) -2 e) ¾

6. Del gráfico, hallar: Tg

A

C

B37º

D

a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7

d) -3/7 e) -4/7

7. Si se cumple que:

S = sen240°.tg300°

M = cos1200°.tg1500°

Calcular: S * M

a) 3 3 b)

3 3

2 c)

3

2

d)

3 3

2 e)

3 3

4

8. En un triángulo ABC

Reducir:

P = senA.csc(B + C) + tgB.cot (A + C)

a) 0 b) 2 c) -2

d) sec2A e) -sec2A

9. Halle en el intervalo

, si se cumple:

tg50°.cot230°.tg200° = cot

a) 230° b) 240° c) 208°

d) 250° e) 210°

10. Si tg 3sen 4cos 4cot 3 3

Además IC y IIC Halle el valor de:

E 10sec(180º ) 5sen( 270º) a) 6 b) -4 c) -10

d) 14 e) 13

11. Reduzca:

E csc 2005 tg 2003

2

x

17 23csc cot

2 2

a) 2 b) 1 c) -1

d) -2 e)

12. Si x y

2 entonces al simplificar:

3secx.sec y cos(8x 9y)F

tgx tgy sen(9x 8y)

Se obtiene:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

13. Si se cumple:

3 3tg

2 2

Calcular: M 13 sen(2 ) cos( )

IIC a) 5 b) -3 c) -2

d) -5 e)

1

13

14. Calcule el valor de:

5 1011M tg 5csc 2sec6 34

a) 6 b) 5 c) 4

d) 2 e) 3

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

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15. De la figura, calcule tg cot ,

si cot 1,4.

y

x

(a-4;a)

a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24

d) -12/35 e) -24/35

16. Calcule el valor de:

5 1011M tg 5csc 2sec6 34

a) 6 b) 5 c) 4

d) 2 e) 3

17. Simplifique:

sec(x 360 ).cos(x 270 )tg(180 x)E

cos(270 x).sen(x 306 )csc(90 x)

a) -1 b) -sec x c) cotx

d) -cotx e) -tgx

18. Si

3sec x 22

Calcule:

17cos x

2P11

3sec x2

a) -3/10 b) -1/10 c) 1/2

d) -1/12 e) -1/14

19. Calcule el valor de:

cos( 20 ) cos( 160 )Q

cot( 35 ).cot( 55 ).sen110 a) 0 b) -1 c) 1

d) -2 e) 2

20. Si se cumple que:

cos300° = n.tg225°

2 8sec m.sec

5 5

Calcule: m + n

a) 2 b) 0 c) 3/2

d) 4 e) -1/2

21. Simplifique:

sen179 sen173 sen167 sen161E

cos109 cos103 cos97 cos91

a) 2 b) 0 c) -1

d) 1 e) -1/2