BİRİNCİ BÖLÜM GİRİŞ Tabitta karşılaşılan her hadise fizik kanunları yardımıyla ve matematik diliyle anlaşılmaya çalışılır. Bu olayların biyolojik, jeolojik veya mekanik olması durumu değiştirmez. Her olay kendine ait büyüklükler yardımıyla cebirsel, diferansiyel veya integral denklemler yardımıyla büyük oranda ifade edilebilir. Pratikte karşılaşılan problemler ne kadar karmaşık olursa olsun tarihin her devrinde o devrin ihtiyaçlarına cevap verecek derecede modellenmeye çalışılmış ve her devirde alınan örnekler yardımıyla insanın kullanımına arz edilmiştir. Günümüzde karmaşık problem denince gen yapısı anlaşılmaktadır. Halbuki mekanik, termal ve/veya aerodinamik yüklere maruz, değişik şekilli delikler bulunan bir kanaldaki basınç dağılımını belirlemek, deniz suyundaki kirlilik oranını belirlemek veya atmosferdeki çeşitli hareketleri, bir hortum veya kasırganın oluşum mekanizmasını anlamak ve önceden belirlemek üzere havanın modelini oluşturmak gibi daha bir çok karmaşık problem bulunmaktadır. Problemin en azından bir kısmının anlaşılmış olması bile pratik bir çok yararlar sağlamaktadır. Burada, önceden yapılan çözümlemelerin sonradan yanlışlığının anlaşılmış olmasının bile pratik sonuçlar açısından fazla bir önemi bulunmamaktadır. İnsanlar çevresinde meydana gelen olayları ya da karşılaştıkları problemleri çoğu zaman kolayca kavrayıp doğrudan çözemezler. Bu yüzden karmaşık bir problem, bilinen veya kavranması daha kolay alt problemlere ayrılarak daha anlaşılır bir hale getirilir. Oluşturulan alt problemler çözülüp birleştirilerek esas problemin çözümü yapılabilir. Örneğin; gerilme analizi üzerinde çalışan mühendisler, gerilme problemini basit kiriş, plak, silindir, küre gibi geometrisi bilinen şekillerle sınırlarlar. Bu elde edilen sonuçlar çoğu kez problemin yaklaşık çözümüdür ve bazen doğrudan bazen de bir katsayı ile düzeltilerek kullanılır. Mühendislik uygulamalarında problemlerin karmaşıklığı sebebiyle genellikle problemlerin tam çözümü yerine, kabul edilebilir seviyede bir yaklaşık çözüm tercih edilir.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BİRİNCİ BÖLÜM
GİRİŞ
Tabitta karşılaşılan her hadise fizik kanunları yardımıyla ve matematik diliyle anlaşılmaya
çalışılır. Bu olayların biyolojik, jeolojik veya mekanik olması durumu değiştirmez. Her
olay kendine ait büyüklükler yardımıyla cebirsel, diferansiyel veya integral denklemler
yardımıyla büyük oranda ifade edilebilir. Pratikte karşılaşılan problemler ne kadar
karmaşık olursa olsun tarihin her devrinde o devrin ihtiyaçlarına cevap verecek derecede
modellenmeye çalışılmış ve her devirde alınan örnekler yardımıyla insanın kullanımına arz
edilmiştir. Günümüzde karmaşık problem denince gen yapısı anlaşılmaktadır. Halbuki
mekanik, termal ve/veya aerodinamik yüklere maruz, değişik şekilli delikler bulunan bir
kanaldaki basınç dağılımını belirlemek, deniz suyundaki kirlilik oranını belirlemek veya
atmosferdeki çeşitli hareketleri, bir hortum veya kasırganın oluşum mekanizmasını
anlamak ve önceden belirlemek üzere havanın modelini oluşturmak gibi daha bir çok
karmaşık problem bulunmaktadır. Problemin en azından bir kısmının anlaşılmış olması
bile pratik bir çok yararlar sağlamaktadır. Burada, önceden yapılan çözümlemelerin
sonradan yanlışlığının anlaşılmış olmasının bile pratik sonuçlar açısından fazla bir önemi
bulunmamaktadır.
İnsanlar çevresinde meydana gelen olayları ya da karşılaştıkları problemleri çoğu zaman
kolayca kavrayıp doğrudan çözemezler. Bu yüzden karmaşık bir problem, bilinen veya
kavranması daha kolay alt problemlere ayrılarak daha anlaşılır bir hale getirilir.
Oluşturulan alt problemler çözülüp birleştirilerek esas problemin çözümü yapılabilir.
Örneğin; gerilme analizi üzerinde çalışan mühendisler, gerilme problemini basit kiriş, plak,
silindir, küre gibi geometrisi bilinen şekillerle sınırlarlar. Bu elde edilen sonuçlar çoğu kez
problemin yaklaşık çözümüdür ve bazen doğrudan bazen de bir katsayı ile düzeltilerek
kullanılır. Mühendislik uygulamalarında problemlerin karmaşıklığı sebebiyle genellikle
problemlerin tam çözümü yerine, kabul edilebilir seviyede bir yaklaşık çözüm tercih edilir.
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Öyle problemler vardır ki, tam çözüm imkansız kabul edilerek yaklaşık çözüm tek yol
olarak benimsenir.
Sonlu elemanlar metodu; karmaşık olan problemlerin daha basit alt problemlere ayrılarak
her birinin kendi içinde çözülmesiyle tam çözümün bulunduğu bir çözüm şeklidir.
Metodun üç temel niteliği vardır: İlk olarak, geometrik olarak karmaşık olan çözüm
bölgesi sonlu elemanlar olarak adlandırılan geometrik olarak basit altbölgelere ayırır.
İkincisi her elemandaki, sürekli fonksiyonlar, cebirsel polinomların lineer kombinasyonu
olarak tanımlanabileceği kabul edilir. Üçüncü kabul ise, aranan değerlerin her eleman
içinde sürekli olan tanım denklemlerinin belirli noktalardaki (düğüm noktaları) değerleri
elde edilmesinin problemin çözümünde yeterli olmasıdır. Kullanılan yaklaşım
fonksiyonları interpolasyon teorisinin genel kavramları kullanılarak polinomlardan seçilir.
Seçilen polinomların derecesi ise çözülecek problemin tanım denkleminin derecesine ve
çözüm yapılacak elemandaki düğüm sayısına bağlıdır.
Sürekli bir ortamda alan değişkenleri (gerilme, yer değiştirme, basınç, sıcaklık vs.) sonsuz
sayıda farklı değere sahiptir. Eğer sürekli bir ortamın belirli bir bölgesinin de aynı şekilde
sürekli ortam özelliği gösterdiği biliniyorsa, bu alt bölgede alan değişkenlerinin değişimi
sonlu sayıda bilinmeyeni olan bir fonksiyon ile tanımlanabilir. Bilinmeyen sayısının az ya
da çok olmasına göre seçilen fonksiyon lineer ya da yüksek mertebeden olabilir. Sürekli
ortamın alt bölgeleri de aynı karakteristik özellikleri gösteren bölgeler olduğundan, bu
bölgelere ait alan denklem takımları birleştirildiğinde bütün sistemi ifade eden denklem
takımı elde edilir. Denklem takımının çözümü ile sürekli ortamdaki alan değişkenleri
sayısal olarak elde edilir.
Sonlu elemanlar metodunun kullanılması ve bilgisayarların sanayiye girmesiyle, bugüne
kadar ancak pahalı deneysel yöntemlerle incelenebilen bir çok makina elemanının (motor
blokları, pistonlar vs.) kolayca incelenebilmesi, hatta çizim esnasında mukavemet
analizlerinin kısa bir sürede yapılarak optimum dizaynın gerçekleştirilmesi mümkün
olabilmiştir.
Sonlu elemanlar metodunu diğer nümerik metodlardan üstün kılan başlıca unsurlar şöyle
sıralanabilir:
Bölüm 1-2
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
a) Kullanılan sonlu elemanların boyutlarının ve şekillerinin değişkenliği nedeniyle ele
alınan bir cismin geometrisi tam olarak temsil edilebilir.
b) Bir veya birden çok delik veya köşeleri olan bölgeler kolaylıkla incelenebilir.
c) Değişik malzeme ve geometrik özellikleri bulunan cisimler incelenebilir.
d) Sebep sonuç ilişkisine ait problemler, genel direngenlik matrisi ile birbirine bağlanan
genelleştirilmiş kuvvetler ve yer değiştirmeler cinsinden formüle edilebilir. Sonlu
elemanlar metodunun bu özelliği problemlerin anlaşılmasını ve çözülmesini hem
mümkün kılar hem de basitleştirir.
e) Sınır şartları kolayca uygulanabilir.
Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi, öncelikle bir elemana ait sistem özelliklerini
içeren denklemlerin çıkartılıp tüm sistemi temsil edecek şekilde eleman denklemlerini
birleştirerek sisteme ait lineer denklem takımının elde edilmesidir. Bir elemana ait
denklemlerin elde edilmesinde değişik metodlar kullanılabilir. Bunlar içinde en çok
kullanılan dört temel yöntem şunlardır:
I)Direkt yaklaşım: Bu yaklaşım daha çok tek boyutlu ve basit problemler için uygundur.
II)Varyasyonel yaklaşım: Bir fonksiyonelin ekstremize yani maksimum ve minimum
edilmesi demektir. Katı cisim mekaniğinde en çok kullanılan fonksiyoneller potansiyel
enerji prensibi, komplementer (tümleyen) potansiyel enerji prensibi ve Reissner prensibi
olarak sayılabilir. Fonksiyonelin birinci türevinin sıfır olduğu noktada fonksiyonu
ekstremize eden değerler bulunur. İkinci türevinin sıfırdan büyük veya küçük olmasına
göre bu değerin maksimum veya minimum olduğu anlaşılır.
III)Ağırlıklı kalanlar yaklaşımı: Bir fonksiyonun çeşitli değerler karşılığında elde edilen
yaklaşık çözümü ile gerçek çözüm arasındaki farkların bir ağırlık fonksiyonu ile çarpılarak
toplamlarını minimize etme işlemine "ağırlıklı kalanlar yaklaşımı" denir. Bu yaklaşım
kullanılarak eleman özelliklerinin elde edilmesinin avantajı, fonksiyonellerin elde
edilemediği problemlerde uygulanabilir olmasıdır.
IV)Enerji dengesi yaklaşımı: Bir sisteme giren ve çıkan termal veya mekanik enerjilerin
eşitliği ilkesine dayanır. Bu yaklaşım bir fonksiyonele ihtiyaç göstermez.
Sonlu elemanlar metodu ile problem çözümünde kullanılacak olan yaklaşım çözüm
işleminde izlenecek yolu değiştirmez. Çözüm yöntemindeki adımlar şunlardır:
Bölüm 1-3
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
a) Cismin sonlu elemanlara bölünmesi,
b) İnterpolasyon fonksiyonlarının seçimi,
c) Eleman direngenlik matrisinin teşkili,
d) Sistem direngenlik matrisinin hesaplanması,
e) Sisteme etki eden kuvvetlerin bulunması,
f) Sınır şartlarının belirlenmesi,
g) Sistem denklemlerinin çözümü.
Sonlu eleman probleminin çözümünde ilk adım eleman tipinin belirlenmesi ve çözüm
bölgesinin elemanlara ayrılmasıdır. Çözüm bölgesinin geometrik yapısı belirlenerek bu
geometrik yapıya en uygun gelecek elemanlar seçilmelidir. Seçilen elemanların çözüm
bölgesini temsil etme oranında, elde edilecek neticeler gerçek çözüme yaklaşmış olacaktır.
Sonlu elemanlar metodunda kullanılan elemanlar boyutlarına göre dört kısma ayrılabilir:
a) Tek boyutlu elemanlar: Bu elemanlar tek boyutlu olarak ifade edilebilen problemlerin
çözümünde kullanılır.
b) İki boyutlu elemanlar: İki boyutlu (düzlem) problemlerinin çözümünde kullanılırlar.
Bu grubun temel elemanı üç düğümlü üçgen elemandır. Üçgen elemanın altı, dokuz ve
daha fazla düğüm ihtiva eden çeşitleri de vardır. Düğüm sayısı seçilecek interpolasyon
fonksiyonunun derecesine göre belirlenir. Üçgen eleman, çözüm bölgesini aslına uygun
olarak temsil etmesi bakımından kullanışlı bir eleman tipidir. İki üçgen elemanın
birleşmesiyle meydana gelen dörtgen eleman, problemin geometrisine uyum sağladığı
ölçüde kullanışlılığı olan bir elemandır. Dört veya daha fazla düğümlü olabilir. Dörtgen
eleman çoğu zaman özel hal olan dikdörtgen eleman şeklinde kullanılır.
c) Dönel elemanlar: Eksenel simetrik özellik gösteren problemlerin çözümünde dönel
elemanlar kullanılır. Bu elemanlar bir veya iki boyutlu elemanların simetri ekseni
etrafında bir tam dönme yapmasıyla oluşurlar. Gerçekte üç boyutlu olan bu elemanlar,
eksenel simetrik problemleri iki boyutlu problem gibi çözme olanağı sağladığı için çok
kullanışlıdırlar.
d) Üç boyutlu elemanlar: Bu grupta temel eleman üçgen piramittir. Bunun dışında
dikdörtgenler prizması veya daha genel olarak altı yüzeyli elemanlar, üç boyutlu
problemlerin çözümünde kullanılan eleman tipleridir.
İzoparametrik Elemanlar: Çözüm bölgesinin sınırları eğri denklemleri ile tanımlanmışsa,
kenarları doğru olan elemanların bu bölgeyi tam olarak tanımlaması mümkün değildir.
Bölüm 1-4
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Böyle durumlarda bölgeyi gereken hassasiyette tanımlamak için elemanların boyutlarını
küçültmek, dolayısıyla adetlerini artırmak gerekmektedir. Bu durum çözülmesi gereken
denklem sayısını artırır, dolayısıyla gereken bilgisayar kapasitesinin ve zamanın
büyümesine sebep olur. Bu olumsuzluklardan kurtulmak için, çözüm bölgesinin eğri
denklemleri ile tanımlanan sınırlarına uyum sağlayacak eğri kenarlı elemanlara ihtiyaç
hissedilmektedir. Böylece hem çözüm bölgesi daha iyi tanımlanmakta hem de daha az
sayıda eleman kullanılarak çözüm yapılabilmektedir. Bu elemanlar üzerindeki düğüm
noktaları bir fonksiyon ile tanımlanır. İzoparametrik sonlu elemanın özelliği, her
noktasının konumunun ve yer değiştirmesinin aynı mertebeden aynı şekil (interpolasyon)
fonksiyonu ile tanımlanabiliyor olmasıdır. İzoparametrik elemanlara eşparametreli
elemanlar da denir.
İzoparametrik elemanların şu özellikleri vardır:
a) Lokal koordinatlarda iki komşu eleman arasında süreklilik sağlanıyorsa, izoparametrik
elemanlarda da sağlanıyor demektir.
b) Eğer interpolasyon fonksiyonu lokal koordinat takımındaki elemanda sürekli ise,
izoparametrik elemanda da süreklidir.
c) Çözümün tamlığı lokal koordinatlarda sağlanıyor ise izoparametrik, elemanlarda da
sağlanır.
İzoparametrik elemanların anılan özellikleri dolayısıyla, interpolasyon fonksiyonları lokal
koordinatlarda seçilir.
İnterpolasyon Fonksiyonlarının Seçimi: İnterpolasyon fonksiyonu alan değişkeninin
eleman üzerindeki değişimini temsil etmektedir. İnterpolasyon fonksiyonunun belirlenmesi
seçilen eleman tipine ve çözülecek denklemin derecesine bağlıdır. Ayrıca interpolasyon
fonksiyonları şu şartları sağlamalıdır:
a- İnterpolasyon fonksyonunda bulunan alan değişkeni ve alan değişkeninin en yüksek
mertebeden bir önceki mertebeye kadar olan kısmi türevleri eleman sınırlarında sürekli
olmalıdır.
b- İnterpolasyon fonksiyonunda bulunan alan değişkeninin bütün türevleri, eleman
boyutları limitte sıfıra gitse bile alan değişkenini karakterize etmelidir.
c- Seçilen interpolasyon fonksiyonu koordinat değişimlerinden etkilenmemelidir.
Bölüm 1-5
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Hem yukardaki şartları sağlamaları hemde türev ve integral almadaki kolaylığından dolayı
interpolasyon fonksiyonu olarak genelde polinomlar seçilir. Seçilen polinom, yukarıdaki
şartların gerçekleşmesi için uygun terimleri ihtiva etmelidir.
Eleman Direngenlik Matrisinin Elde Edilmesi: Eleman direngenliğinin bulunması,
elemana etki eden dış etkenler ile alan değişkenleri arasında bir ilişki kurmak anlamına
gelmektedir. Eleman direngenliğini elde ederken çözülecek problemin konusu, alan
değişkeni, seçilen eleman tipi, seçilen interpolasyon fonksiyonu, eleman özelliklerini elde
ederken kullanılan metod gibi pek çok faktör göz önüne alınmak durumundadır. Etki eden
bu faktörlere göre de eleman direngenliğinin elde edilmesinde değişik yollar izlenir.
Sistem Direngenlik Matrisinin Teşkili:Sistem direngenlik matrisi sistemin düğüm
sayısı ve her düğümdeki serbestlik derecesine bağlı olarak belirlenir. Elemanlar için
hesaplanan direngenlik matrisleri, elemanın üzerindeki düğüm numaralarına bağlı olarak
genel direngenlik matrisinde ilgili satır ve sütununa yerleştirilir. Farklı elemanlar
tarafından ortak kullanılan düğümlerdeki terimler genel direngenlik matrisinin ilgili satır
ve sütununda üst üste toplanmalıdır. Elemanların düğüm numaralaması bir sistematiğe
göre yapılırsa genel direngenlik matrisinde elemanlar diagonal üzerinde üst üste toplanır.
Genelde direngenlik matrisi simetriktir.
Sisteme Etki Eden Kuvvetlerin Bulunması: Bir problemde sisteme etki edebilecek
kuvvetler şunlar olabilir:
-Tekil Kuvvetler: Tekil kuvvetler hangi elemanın hangi düğümüne ne yönde etki ediyorsa
genel kuvvet vektöründe etki ettiği düğüme karşılık gelen satıra yerleştirilir. Problemin
cinsine göre tekil yük kavramı değişebilir Örneğin ısı iletimi probleminde elastisite
problemindeki tekil yüke karşılık noktasal ısı kaynağı veya tanımlı ısı akışı yükleri
bulunmaktadır.
-Yayılı Kuvvetler: Bu kuvvetler bir kenar boyunca yada bir alanda etkili olurlar.
–Kütle kuvvetleri: Eleman hacmi için geçerli olan merkezkaç kuvveti ve ağırlık kuvvetleri
gibi kuvvetlerdir.
Sınır Şartlarının Belirlenmesi: Her problemin tabii olarak yada yapay sınır şartları
vardır. Sınır şartları, cismin çeşitli kısımlarındaki elastik yer değiştirmelerin ölçülebileceği
bir referans sağlar. Bir çubuk elaman ele alalım (Şekil 1a). Bu eleman için bir sınır şartı
Bölüm 1-6
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
tanımlanmazsa, etki eden düğüm kuvvetlerinin büyük, küçük yada eşit olmasına göre
hareket eder ve deplasman u1 =u2 olarak çubukta rijit cisim hareketi gözlenir.
F1 ,u1 1 2 F2 ,u2
(a)
1 2 u1=0 F2
(b) Şekil 1 Konsol kiriş sonlu eleman modeli
Birinci durumdaki rijit cisim hareketi genel direngenlik matrisinin tekil olmasına sebep
olur. Bu durum u1 ve u2 'nin ölçüleceği bir referans noktasının belirlenmemiş olmasına
bağlanabilir. Gerçekte bir referans noktası sağlanmak zorundadır. Aynı çubuğu (Şekil 1b.)
deki gibi düşündüğümüzde;
kFu 2= /2 (1)
şeklinde ifade edebiliriz. Çünkü u1 =0 çubuğun sınır şartıdır. Böylece sınır şartları; cismin
belli parçasında veya parçalarındaki yer değiştirmelerde yapılan kısıtlamalardır denilebilir.
Bu kısıtlamalar, cismin rijit yer değiştirmesine engel olur ve uygulanan dış yüklerin cisim
tarafından taşınmasını sağlar. Aynı sınır şartları problemin cinsine göre sonlu elemanlar
metodunun uygulandığı diğer vektörel ve skaler alan problemleri için de tanımlanır.
Sistem Denkleminin Çözümü: Çözüm için, sistemin sınır şartlarıda göz önüne alınarak
direngenlik matrisinin tersini almak yeterlidir. Fakat bilgisayar kapasitesi ve bilgisayar
zamanı açısından çok büyük matrislerin çözümünü ters alma işlemi ile yapmak yerine
Gauss eliminasyon metodu ile daha az kapasite ve daha kısa sürede yapmak mümkün
olmaktadır.
Bölüm 1-7
İKİNCİ BÖLÜM
TEMEL BİLGİLER
1. YAKLAŞIK ÇÖZÜM
Sonlu elemanlar metodunda genellikle karşılaşılan problemler kısmi diferansiyel
denklemlerle ifade edilen fiziksel problemlerdir. Örneğin elastik cisim mekaniğinde aranan
sonuç cismin yaptığı yerdeğiştirmedir. Bu da gerilme ve yer değiştirmeler arasında kurulan
ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemin çözümü ile elde edilir. Bu denklemler
basit geometriler ve yükleme durumları için kesin sonuçlar elde edilecek şekilde
çözülebilse de karmaşık problemlerde yaklaşık çözümlerin elde edilmesi kaçınılmaz hale
gelir. Yaklaşık çözümleme yöntemleri de genellikle potansiyel enerji ve varyasyonel
yöntemleri kullanır. Kitapta çözümler potansiyel enerji ve Galerkin yaklaşımı kullanılarak
elde edilmiştir. Burada bu iki yöntem elastisite problemlerine uygulanarak açıklanacaktır.
1.1 Potasiyel Enerji
Koservatif sistemlerde yapılan iş gidilen yoldan bağımsızdır ve yalnızca yükseklikle
ilişkilidir. Buna göre eğer bir cisim bir noktadan alınıp belli bir yoldan geçtikten sonra aynı
noktaya tekrar getirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Potansiyel enerji, sistemin konumunu
belirleyen koordinatlara bağlı olarak bir integral ifade ile elde edilebilir. Sınır şartlarını
gerçekleyen durumlarda cismin dengede olabilmesi için potansiyel enerjinin bir ekstremde
olması gerekir. Bir çok durumda bu ekstrem değer bir minmumdur ve bu nedenle yöntem
minimum potansiyel enerji yöntemi olarak adlandırılır. Örneğin, rastgele yüklenmiş basit
mesnetli bir kirişte kirişin çökme eğrisi araştırılıyor olsun. Mümkün olan bir çok çökme
eğrisi arasında gerçek çökme eğrisi, verilen sınır şartları altında kiriş için yazılacak
potansiyel enerji ifadesinin minimum olmasını sağlayan eğri olacaktır. Bunda da iç
kuvvetler tarafından meydana getirilen potansiyel enerji ile dış kuvvetlerin oluşturduğu
potansiyel enerji etkili olacaktır. İç kuvvetlerin potansiyel enerjisi şekil değiştirme
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
enerjisinden, dış kuvvetlerinki de uygulanan kuvvet sebebiyle meydana gelen yer
değiştirmenin çarpımı (iş) şeklinde bulunur. Yani,
WU +=Π (1)
olup U şekil değiştirme enerjisini, W ise iş potansiyelini göstermektedir. Şekil değiştirme
enerjisi,
∫=v
dvU εσ21 (2)
dir. İş potansiyeli ise, u=[u, v w] deplasmanları, f=[fx, fy, fz] kütle kuvvetlerini,
T=Tx, Ty, Tz] yüzey kuvvetlerini ve Pi de tekil kuvvetleri göstermek üzere,
∫ ∑∫ −−−=
si
iT
iT
v
T PudSTudvfuW (3)
olarak yazılır. Bu durumda toplam potansiyel enerji,
∫ ∑∫∫ −−−=s
ii
Ti
Tv
Tv
PudSTudvfudvεσΠ21 (4)
olarak elde edilir. Bu durumda minimizasyon
0=
∂∂
uΠ (5)
ile gerçekleştirilmiş olur.
1.2 Rayleigh-Ritz Yöntemi
Sürekli bir ortam için toplam potansiyel enerji ifadesi doğrudan yaklaşık çözüm için
kullanılabilir. Rayleigh-Ritz yönteminde deplasman alanı tahmin edilerek bir çözüm
araştırılmaktadır. Örneğin deplasman alanı,
lmnnmkzyzaw
mljzyxav
lizyxau
kk
jj
ii
⟩⟩→+==
→+==
→==
∑∑∑
1),,(
1),,(
1),,(
φ
φ
φ
(6)
Bölüm 2-22
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olsun. φi fonksiyonları genellikle polinomlardan seçilir. Alınan u, v ve w deplasman
alanları belirli sınır şartlarını sağlamak zorundadır. Gerilme-şekil değiştirme ve şekil
değiştirme-yer değiştirme denklemleri kullanıldığında toplam potansiyel enerji ifadesi r
adet bağımsız değişkene sahip bir fonksiyon olarak
),........,,( 21 raaaΠΠ = (7)
şeklinde yazılabilir. Bu durumda bağımsız değişkenlere göre yapılacak minimizasyon
işleminden
riai
,......2,10 ==∂∂Π (8)
elde edilir.
1.3 Ağırlıklı Kalanlar Yaklaşımı
Ağırlıklı kalanlar yaklaşımında integral formunun elde edilmesi için sistemi tanımlayan
denklemler kullanılır. Herhangi bir V bölgesinde tanım denklemi
Au=f (9)
ile verilmiş olsun. Örneğin bir boyutlu çubuk probleminin tanım denklemi,
0)( =dxduEA
dxd (10)
şeklindedir. Burada A yı
)(dxdEA
dxd
şeklinde bir operatör olarak tanımlayabiliriz. Sonlu elemanlar yönteminde
karşılaşılabilecek diğer bazı operatörler
cudxdua
dxduA +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=)( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
2
2
2
)(dx
udbdxduA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
dxduu
dxduA )(
Bölüm 2-33
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=yuk
yxuk
xuA yx)( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=xv
yu
yxu
yuv
xuuvuA 2
2
),(
şeklindedir. Gerçek çözüm, denklemi x üzerindeki her noktada sağlar. Buna karşılık uN
şeklinde yaklaşık bir çözüm elde edildiğinde, R gibi bir hata oranı ortaya çıkar ki buna
artık (kalan) denir. Bu da,
R=A uN –f (11)
dir. Yaklaşık çözümleme yöntemine göre meydana gelen bu hata belirli bir ağırlık
fonksiyonuna (Ψi) oranla 0 mertebesinde olmalıdır. Yani,
∫ ==−v Ni nidVPuA .......1,0)(Ψ (12)
Yaklaşık çözüm ise genellikle
01
φφ∑=
+=N
jjjN cu (13)
formundadır. Burada cj sınır şartlarına göre hesaplanacak katsayıları φ0 ve φj de seçilecek
fonksiyonları göstermektedir. Bu fonksiyonların seçim şekline göre çeşitli çözüm
yöntemleri geliştirilmiştir. Son durumda ağırlıklı kalan yöntemine göre sistem denklemi
NidVczyxRzyx jV i ,....10),,,(),,( ==∫ ψ (14)
şeklinde olur. Burada Ψi ağırlıklı kalanlar denklem sistemi lineer bağımsız olmak
zorundadır. Şeçilen φj operatör denklemindeki mertebeye kadar sıfırdan farklı türeve sahip
olmalıdır. Aynı zamanda φ0 ve φj bütün sınır şartlarını sağlayacak şekilde seçilmelidir.
Ağırlıklı kalanlar yönteminin çeşitli formları ileriki paragraflarda verilmiştir.
Petrov-Galerkin Metodu: Ψi ≠ φi olduğunda ağırlıklı kalanlar yöntemi Petrov-Galerkin
metodu olarak adlandırılır. A operatörü lineer olduğunda iki boyutlu durum için çözüm
denklemi
[ ] [ ]∫∑ ∫ Ω=
Ω−= dxdyAfcdxdyA ij
N
jji )()( 0
1
φψφψ (15)
olarak basitleştirilebilir. Yada
Bölüm 2-44
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
ij
N
jij FcA =∑
=1 (16)
yazılır. Elde edilen operatör matrisi [A] simetrik değildir. Yani,
jijiij AdxdyAA ≠= ∫Ω )(φφ (17)
Galerkin Metodu: Ψi ağırlık fonksiyonunun φi yaklaşım fonksiyonuna eşit alınırsa bu
Galerkin metodu olarak bilinir. Galerkin yaklaşımının cebirsel denklemleri
∑=
=N
jijij FcA
1 (18)
olup burada vedxdyAAij ji
)(φφ∫Ω= [ ]dxdyAfFi ∫Ω −= )( 0φ dir. [A] yine simetrik
değildir.
En Küçük Kareler Metodu: Bu yöntemde, cj parametrelerini kalanının (R) karesinin
integralinin minimizasyonuyla belirlenmesi halinde buna en küçük kareler yöntemi denir.
∫Ω =∂∂ 0),,(2 dxdycyxRc j
i
(19)
veya
∫Ω =∂∂ 0RdxdycR
i
(20)
Görüldüğü gibi esas denklemde Ψi = ∂R / ∂ci şeklinde bir değişiklik meydana gelmiştir.
Eğer A lineer bir operatörse, Ψi = A ( φi ) olacağından
[ ] [ dxAfAcdxAA ij
N
jji ∫∑ ∫ −=
=ΩΩ
φφφφ )()()()( 01
] (21)
elde edilir. Bu yda,
∑=
=N
jijij FcA
1 (22)
yazılabilir. Burada [A] simetriktir.
Bölüm 2-55
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Kollokasyon Metodu: Kollokasyon metodunda, çözüm bölgesi üzerinde seçilmiş N adet
xi ≡ (xi, yi) noktasında kalan sıfırlanması istenir.
R( xi,yi,ci) = 0 (i = 1,2,.........,N) (23)
xi noktalarının seçimi iyi bir yaklaşık çözüm elde etmek için önemlidir. Kollokasyon
metodu Ψi=δ(x-xi ) ile şeklinde bir dönüşüm ile genel çözüm denklemine benzetilebilir.
Burada δ(x) Dirac delta fonksiyonu olarak adlandırılır ve
)()()( ξξδ fdxdyxxf =−∫Ω (24)
şeklinde verilir. Ağırlık fonksiyonların bu şekilde seçilmesi halinde ağırlıklı kalan ifadesi,
∫ ==−Ωδ 0),(0),()( j
ij
i cxRveyadxdycxRxx (25)
olur. Örnek: Aşağıdaki diferansiyel denklemi ağırlıklı kalanlar yöntemine göre çözünüz.
022
2
=+−− xudx
ud , u(0)=0 , 1)1( =′u
Çözüm: Ağırlıklı kalan metoduna göre, φ0 ve φi sınır şartlarını sağlamalıdır. Yani φ0(0)=0,
1)1(0 =′φ ve φi (0)=0, 0)1( =′iφ olmalıdır. Burada φ0 gerçek sınır şartlarını, φi ise düğümlerde tanımlı sınır şartlarını sağlamaktadır. φ0 (x) = a + bx olarak seçersek, sınır şartlarından a ve b sabitleri elde edildikten sonra φ0(x)=x olarak bulunur. İki homojen şart olduğundan, sıfır olmayan bir fonksiyon elde etmek için en az üç parametreli bir fonksiyon seçilmelidir. φ1 = a + bx + cx2. Sınır şartları uygulandığında φ1= - cx (2-x) elde edilir. φ2 için, φ2=a+bx+dx3 veya φ2 = a + cx2 + dx3 dan biri d ≠ 0 olacak şekilde seçilmelidir. φ2 her iki durumda da sıralı bütün mertebeleri içermemektedir. Yaklaşık çözüm φ1,φ2 ile ilk üç dereceden bütün terimleri içermektedir. İlk tercih için )1( 3
222 xx −=φ bulunur. Buna
göre kalan fonksiyonu
2
10
12
2
0 xcdxd
cRN
iii
N
i
ii +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∑∑
==
φφφ 22
322
22
1 )42()22( xxxxxcxxc +−+−+−++−=
olur. Petrov-Galerkin Metodu için ağırlık fonksiyonları Ψ1 = x ,Ψ2 = x2 olsun. Bu
durumda , olacaktır. Buna göre katsayılar denklemleri ∫ =1
00xRdx 0
1
0
2 =∫ Rdxx
0121
26013
1127 =−+ cc 020
1245
11130
11 =−+ cc
Bölüm 2-66
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olur. ci’ler çözülürse, c1 = 682103 ve 682
152 −=c elde edilir ve çözüm denklemi
uPG = 1.302053x - 0.173021x2 - 0.014663x3 olur.
Galerkin Metodu için Ψi = φi alarak, , ∫ =−1
00)2( Rdxxx 0)1( 3
21
0
2 =−∫ Rdxxx elde edilir.
Bu durumda katsayı denklemleri 060
7245
2815
4 =−+ cc 0361
231529
19017 =−+− cc
elde edilir. Katsayılar ise 4306623
1 =c , 430621
2 =c dir. Buna göre çözüm denklemi uG=1.2894x - 0.1398x2 - 0.00325x3 olur.
En Küçük Kareler Metodunda Ψi = ∂R/∂ci alarak , ∫ =+−1
0
2 0)22( Rdxxx
∫ =−+−−1
0
3322 0)42( Rdxxxx elde edilir. Aynı şekilde
06013
29047
11528 =−− cc 036
12315
253190
47 =++− cc
99351292
1 =c , 19870991
2 =c buradan, uKK = 1.2601x - 0.08017x2 - 0.03325x3 dir. Kollokasyon Metodu için kollokasyon noktaları olarak 3
1=x ve 32=x alınarak
0)( 31 =R için 117c1-61c2=18 0)( 3
2 =R için 90c1+34c2=18 yazılır. Katsayılar 9468
17101 =c , 9468
4862 =c olarak bulunur. Çözüm denklemi ise
uC = 1.3612x - 0.12927x2 - 0.03422x3 dir.
Elde edilen bu yaklaşık çözümler ve kesin çözüm ( 21cos
sin)1cos(2)( 2 −+−−
= xxxxu ) şekil
1 de verilmiştir. Görüldüğü gibi Galerkin ve En Küçük Kareler metodları kesin çözüme en yakın değerleri vermektedir.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Gerçek ÇözümPetrov-GalerkinGalerkinEn Küçük KarelerKollokasyon
-d 2 u/dx 2 - u + x 2 =00<x<1
Şekil 1 Ağırlıklı kalanlar çözümünde çeşitli yaklaşımların sonuçları
Bölüm 2-77
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Galerkin yöntemi elastisite problemlerinde, “iç kuvvetlerin yaptığı virtüel işlerle dış
kuvvetlerin yaptığı virtüel işler birbirine eşit olduğu zaman sistem dengededir” şeklinde
tanımlanan virtüel işler prensibine de uygunluk göstermektedir.
şeklinde verilir. Burada x1, x2, .....,xn bilinmeyenleri göstermektedir. Denklem sistemi
matris formunda,
[A]x=b (27)
şeklinde yazılır. Burada [A] kare bir matris olup lineer denklem sisteminin katsayılar
matrisi olarak adlandırılır. Matris ve vektörler,
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
i
n
i
nnnjnnn
nijiii
nj
nj
nj
b
b
bbb
b
x
x
xxx
x
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
A
...
...,
...
...,
...........................
...........................
......
......
......
][3
2
1
3
2
1
321
3321
33333231
22232221
11131211
(28)
şeklindedir. Görüldüğü gibi [A] matrisi elemanlardan oluşmuş bir bölge olup i satır ve j
sütununda bulunan elemanı aij şeklinde gösterilmektedir. Bir matrisin boyutları (1xn) ise
buna satır vektör, (mx1) ise buna da sütun vektör adı verilir.
Eğer boyutları (mxn) olan [A] ve [B] matrisleri var bu iki matrisin toplamından oluşan [C]
matrisinin elemanları
cij=aij+bij (29)
dir. [A] matrisinin sabit bir sayı ile çarpımı ise matrisin bütün elemanlarının bu sayı ile
çarpımı şeklinde yapılır.
Bölüm 2-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
c[A]=[caij] (30)
(mxn) boyutlarındaki [A] ile (nxp) boyutlarındaki [B] nin çarpımından (mxp) boyutlarında
[C] elde edilir. cij ise,
cij=([A] nın i satırı)([B] nin j sutunu) (31)
çarpımından elde edilir. [A][B]≠[B][A] dır. Matrisler kare matris değilse [B][A] çarpımı
zaten mümkün değildir.
[A]=[aij] şeklinde verilen bir matrisin tranpozu [A]T=[aji] dir. Buna göre [A] nın satırları
[A]T nin sütunları haline gelmiştir. Boyutları (mxn) olan matrisin transpozunun boyutları
(nxm) olur. Bir matris çarpımının transpozu için
([A][B][C])T=[C]T[B]T[A]T (32)
eşitliği geçerlidir. Bir kare matriste diyagonal elemanları dışındaki elemanlar sıfır ise bu
matris diyagonal matris olarak adlandırılır. Diyagonal matrisin bütün elemanları 1 ise bu
da birim matristir. Kare matrisin elemanları arasında aij=aji ilişkisi varsa bu matris
simetrik bir matristir. Simetrik matrisin transpozu kendisine eşit olur. Kare matrisin
diyagonali altında kalan elemanların hepsi sıfır ise buna üst üçgen matris denir.
Bir matrisin elemanlarının tamamının veya bir kısmının fonksiyon olması da mümkündür.
Bu nedenle matrislerin türev ve integralleri de alınabilir. Bir matrisin türevi (integrali) o
matrisin elemanlarının tek tek türevi (integrali) alınmak suretiyle yapılır. Bir [B] matrisinin
türev ve integrali
[ ] [ ] [ ]∫ ∫=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= dxdybdxdyB
dxxdb
xBdxd
ijij ,
)()( (33)
olarak ifade edilebilir. Eğer [A] katsayılar matrisi ve x değişkenlerin bulunduğu vektör
ise, [A]x çarpımının x in elemanlarından birine göre türevi [A] nın bu değişkene
karşılık gelen kolonunu verir.
Bir kare matrisin [A] determinantı detA ile gösterilir. Çeşitli determinant alma
yöntemleri vardır. Kofaktör yöntemine göre (2x2) lik bir matrisin determinantı
Bölüm 2-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
122122112221
1211det aaaaaaaa −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ (34)
dır. (3x3) boyutlarındaki bir matrisin determinantı ise
)()()(det 223132211323313321122332332211
333231
232221
131211aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
−+−−−=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ (35)
şeklindedir. Eğer kare matrisin determinantı sıfırdan farklı ise bu matrisin tersi vardır.
Matris tersi [A]-1 ile gösterilir ve
[A]-1[A]=[A][A]-1=[I] (36)
eşitliğini sağlar. Determinantı sıfır olan matrisler tekil matris olarak adlandırılır. Bir
matrisin minörü [Mij] ile gösterilir ve matrisin i satırı ve j kolonu silinerek elde edilen
(n-1xn-1) boyutlarındaki matrisin determinantı olarak tanımlanır. Matrisin kofaktörü
[Cij]=(-1)i+j[Mij] (37)
dir. Matrisin adjointi ise kofaktörünün transpozudur (adj A=[C]T). Bu tanımlar ışığında
matrisin tersi
[ ]A
adjAAdet
1 =− (38)
olarak verilir. Örneğin (2x2) lik bir matrisin tersi
12212211
1121
12221
2221
1211
aaaaaaaa
aaaa
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
(39)
olarak elde edilir. (nxn) boyutlarındaki bir matris ile (nx1) boyutlarındaki bir vektörün,
xT[A]x (40) çarpımlarından elde edilen değer kuadratik form olarak adlandırılır. Özdeğer problemi
[A]y=λy (41)
Bölüm 2-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklinde tanımlanır. Yukardaki eşitliği sağlayan 0 dan farklı bir özvektör ve buna karşılık
gelen bir özdeğer problemin çözümünü verir. Denklemi
([A]-λ[I])y=0 (42)
şeklinde düzenlersek, çözümün yalnızca det([A]-λ[I])=0 olması durumunda mümkün
olduğu görülür. det([A]-λ[I])=0 karakteristik denklem olarak adlandırılır. Bu denklem
(nxn) boyutlarındaki [A] matrisi için n adet özdeğer bulunması ile çözülür. Her özdeğere
karşılık gelen bir de özvektör bulunmaktadır.
([A]-λι[I])yi=0 (43)
Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan özdeğer problemleri genellikle [A]y=λ[Β]y
şeklindedir. Bu problemin çözümü ile ilgili açıklamalar ilgili bölümde yapılmıştır.
Simetrik bir matrisin bütün özdeğerleri sıfırdan büyük ise bu matris pozitif tanımlı bir
matristir. Pozitif tanımlı matrislerin kuadratik formlarından da sıfırdan büyük değerler
elde edilir.
3. GAUSS ELİMİNASYON METODU
Matris formda [A]x=b şeklinde lineer denklem takımını ele alalım. Burada [A] (nxn)
boyutlarında b ve x de (nx1) boyutlarında matris ve vektörlerdir. Şayet det[A]≠0 ise bu
denklemin her iki tarafını matrisin tersi ile çarpılarak x in çözümü x=[A]-1b şeklinde
elde edilebilir. Fakat matris tersinin alınması için kullanılan yöntemler bilgisayar ortamı
açısından hem pahalı ve zaman alıcı, hem de oluşan hatalar açısından dezavantajlıdır. Bu
nedenle ters alma yerine bir eliminasyon yönteminin kullanılması daha kolay ve faydalıdır.
Burada ele alınan lineer denklem sisteminin çözümünde Gauss Metodu nun kullanılması
anlatılacaktır.
Gauss eliminasyon yöntemi, lineer denklem sistemlerinden bilinmeyenleri elimine ederek
çözüm yapan tanınmış bir metottur. Bir örnek üzerinden metodu tanıtalım
(44) IIIIII
xxxxxxxx
15423072
31
321
321
=+−=++=+−
Bölüm 2-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Denklemler görüldüğü gibi I-II ve III olarak numaralandırılmıştır. Burada x1'i II ve III 'den
elimine edelim I. denklemden; x1=(x2-7x3)/2 elde edilerek diğerlerinde yerine konursa,
21708370072
32
32
321
=++=−+=+−
xxxxxxx I
IIIII
( )
( )
1
1
(45)
olur. Görüleceği gibi bu işlem alt alta toplama yoluyla da yapılabilecektir. x1 'i II 'den
elimine edebilmek için II 'den I 'in yarısını çıkarmak yeterli olacaktır. x1 'i III 'den elimine
edebilmek için ise III ile I’i toplamak yeterlidir. Sonuçta aynı eşitlikler elde edilir. x1
kolonunda II ve III eşitliklerinde 0 olması bunun denklem II ve III 'den elimine edildiğini
gösterir. Denklem numaralarında bulunan (¹) ile bu denklemlerin 1 kere işlem gördüğü
anlatılmaktadır. Şimdide, III den x2 'yi elimine edelim. Bunun için III 'den II/7 'yi
çıkaralım. Sonuçta ortaya çıkan denklem sistemi,
6122004370072
3
32
321
=++=−+=+−
xxxxxx
)2(
)1(
IIIIII
(46)
Görüldüğü gibi denklemlerin sol tarafı bir üst üçgen matris oluşturmaktadır. III
denkleminden x3=0.05 bulunarak II denkleminde yerine konursa x2=1.16 olarak elde
edilir. Bu iki değer yardımıyla da I denkleminden x1=0.82 olarak bulunur. Bilinmeyenleri
bu ters sırada elde etme işlemine geri koyma işlemi denir. Yukarıdaki işlemler matris
formda gösterilebilir. Gauss eliminasyon işlemi matrisleri [A,b] şeklinde birleştirerek
(47) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
3610083700712
2171083700712
150142310712
elde edilir. Geri koyma işlemi ile; x1=0.82, x2=1.16, x3=0.05 bulunur. Gauss Eliminasyonu İçin Genel Algoritma: Bir örnek üzerinde temel fikrini
verdiğimiz Gauss eliminasyonu için bilgisayar uygulamasına imkan verecek şekilde genel
bir yöntem geliştirilebilir. Çözülecek denklem sistemi,
Bölüm 2-1212
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
a a a a aa a a a aa a a a a
a a a a a
a a a a a
j n
j n
j n
i i i ij n
n n n nj nn
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3 3
1 2 3
... ...
... ...
... ...... ... ... ... ... ... ...
... ...... ... ... ... ... ... ...
... ...
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
xxx
x
x
bbb
b
b
i
n
i
n
1
2
3
1
2
3
...
...
...
...
(48)
olsun. Gauss eliminasyonu x1,x2,x3,......,xn-1 değişkenlerini tek bir xn değişkeni kalıncaya
kadar elimine eden sistematik bir bir yaklaşımdır. Bu işlem sonunda denklem sistemi bir
değiştirilmiş bir üst üçgen matris ve yine değiştirilmiş bir sağ taraftan oluşan eşitlik elde
edilir. Buna peşpeşe eliminasyon işlemi denir. İndirgeme yapıldıktan sonra örnekte
görüldüğü gibi yerine koyma işlemiyle xn , xn-1 , ..., x3, x2, x1 değerleri sırasıyla elde edilir. k
işlem adımlarını göstermek üzere başlangıçta [A] matrisi ve bvektörü
1
...
...
.....................
......
......
2
1
321
4321
22232221
11131211
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
k
b
b
bb
aaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaaa
n
i
nnnjnnn
inijiiii
nj
nj
(49)
olsun. İlk adımda amaç 1 denklemini kullanarak (1. Satır) x1 'i diğer eşitliklerden elimine
etmektir. (k) adım numarasını göstermek üzere birinci adımda yapılan işlem
a = a - aa
. ai j(1)
i jn
11i j
(50)
b = b - aa
. bi(1)
in
111
dir. Burada ai1/a11 örnekte görüldüğü gibi satırın ilk elemanının katsayısına bölünmesiyle
oluşan satır çarpanıdır. a11 aynı zamanda pivot olarak da adlandırılır. İndirgeme işlemi bu
ilk adımda i,j nin 2 den n’e kadar olan değerleri için yapılacağı aşikardır. x1 elimine
edildiğinden birinci sütunda 2'den n'e kadar olan tüm satırlardaki elemanlar 0 dır.
Dolayısıyla ikinci adımda işlem yapılacak sistem,
Bölüm 2-1313
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
(51) 2
...
...
0......
0......
0......0......
)1(
)1(
)1(3
)1(2
1
)1()1()1(3
)1(2
)1()1()1(3
)1(2
)1(3
)1(3
)1(33
)1(32
)1(2
)1(2
)1(23
)1(22
11131211
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
k
b
b
bbb
aaaa
aaaa
aaaaaaaaaaaaa
n
i
nnnjnn
inijii
nj
nj
nj
olur. Bu adımda ise i ve j nin 3 ten n’ e kadar olan değerleri için indirgeme yapılır. Şimdi
herhangi bir k adımı için yapılacak işleme bakabiliriz. İşlem yapılacak bölge k+1 inci satır
ve sütundan n inci satır ve sütuna kadar olan bölgedir. Yapılacak indirgeme ise,
kk
b
b
b
bbb
aaa
aaa
aaa
aaaaaaaaaaaa
kn
ki
kk
knn
knj
knk
kin
kij
kik
knk
kjk
kkk
nj
nj
nj
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−+
−−−+
−−−+
−+
−+
−++
)1(
)1(
)1(1
)2(3
)1(2
1
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1)(1(
)2(3
)2(3
)2(33
)1(2
)1(2
)1(23
)1(22
111312
...
...
...
.........000...........................
.........000...........................
.........000...........................
.............00............0............
(52)
a = a - aa ai j
( k)i j(k-1) i k
(k-1)
k k(k-1) k j
(k-1) i , j = k + 1 , ................., n
(53)
b = b - aa bi
( k)i( k -1) i k
( k - 1)
k k( k- 1 ) k
( k - 1 ) i = k + 1 , .................., n
şeklindedir. İşlem (n-1) adım için yapıldıktan sonra,
a a a a aa a a a
a a aa a
a
xxxx
x
bbbb
b
n
n
n
n
nnn
n
11 12 13 14 1
221
231
141
21
332
342
32
443
43
1
1
2
3
4
1
21
32
43
0
...
...
...
...... ... ...
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=
nn( )−
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪1
(54)
elde edilir. (k) şeklindeki gösterim işlem basamaklarının kolay kavranması içindir.
Bilgisayar uygulamalarında bunlara gerek kalmaz. Adım numaraları gösterilmeden geri
yerleştirme adımına geçersek,
x = ban
n
n n (55)
Bölüm 2-1414
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak elde edilir. Diğer bilinmeyenler ise,
ii
n
ijjiji
a
xabx
∑+=
−= 1
1 i n n= − −1 2, ,.....,1 (56)
Böylece Gauss eliminasyonu tamamlanmış olur. [A] simetrik ise, diyagonalin altında kalan
elemanlar için işlem yapmaya gerek kalmaz ve bu bize kolaylık sağlar. Bu durumda satır
çarpanı olarak aa
k i
k k alınır, işlem yapılacak bölge de sütunlarda k+1 den n e kadar değil,
yalnızca diyagonalin üstü olur.
Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan matrisler genellikle bant şekilli simetrik
matrislerdir. Bu nedenle eliminasyon işleminin bant matrise uygulanması gerekir. Bu hem
zaman hem de bilgisayar kapasitesi açısından önemli kazançlar sağlar. Simetrik bir bant
matriste sıfır olmayan bütün değerler bir bant içinde toplanmıştır. bant dışında kalan bütün
elemanlar sıfırdır. (n x n) boyutunda simetrik bir bant matris,
(57)
diyagonaldiyagonal
xsimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxybg
.1
.2
0
↵↵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
←→
şeklindedir. Burada ybg yarı bant genişliğidir. Sadece sıfır olmayan elemanlarla işlem
yapılacağından bu kısmın saklanması yeterli olacaktır. Bu da (n x ybg) boyutunda bir
matristir.
(58)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
xxx
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxybgdd
0
.2.1
Bölüm 2-1515
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Bu yeni matrisin ilk sütunu simetrik bant matrisin birinci diyagonalidir. 2. sütun 2.
diyagonal olur ve bu şekilde yeni matris oluşturulur. İki matrisin elemanlar arsında
bmijisbm
ij aij
a)1(
)()( +−=⟩
(59)
ilişki vardır. Simetrik matriste a aij ji= dir. Bant matriste k. satırda bulunan elemanların
sayısı da min(n-k+1,YBG) dir. Bilgisayar mantığı açısından bant matrisin gauss
eliminasyonu
Peşpeşe Eliminasyon İşlemi DO k=1,n-1
ses=min(n-k + 1, ybg) DO i=k+1, ses+k-1
i1=i-k+1 c=ak,i1/ak,1
DO j=i,ses+k-1 j1=j-i+1 j2=j-k+1 ai,j1 =ai,j1 -cak,j2
END j bi=bi-cbk
END i END k Yerine Koyma:
bn= b e / a n,1 DO ii=1,n-1
i=n-ii sei=min(n-i+1,ybg) top=0
DO j=2,sei top=top+ai,jbi+j-1
END j bi=(bi-top)/ai,1
END ii Burada DO döngülerinin indisleri orijinal simetrik bant matrise göre oluşturulmuştur.
Doğrudan bant şekilli dikdörtgen matrise göre de program yazılması mümkündür. Bunun
için matrisler önceden bant formunda saklanmalıdır. Düzlem kafes sistemi için genel
matrisi bant formunda saklamak ve bu matrise göre eliminasyon yapmak amacıyla
yazılmış bir FORTRAN program parçası aşağıda verilmiştir.
Bölüm 2-1616
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
C Bant Matriste Yerleştirme DO 1 N=1, NE Eleman döngüsü .............
DO 2 II=1, 2 NRT=2*(NOC(N, II)-1) NOC(,)Düğüm matrisi DO 2 IT=1, 2 NR=NRT+IT Genel matriste satır numarası I=2*(II-1)+IT Eleman matrisi satır numarası DO 2 JJ=1, 2 NCT=2*(NOC(N, JJ)-1) DO 2 JT=1, 2 J=2*(JJ-1)+JT Eleman matrisi sütun numarası NC=NCT+JT-NR+1 Genel matriste sütun numarası IF( NC .LE. 0 ) GO TO 2 S(NR, NC)=S(NR, NC)+SE(I, J) S(4,4) Genel Rijitlik Matrisi 2 CONTINUE SE(N,YBG)Eleman Rij. Matrisi
............. 1 CONTINUE c Bant Matris İçin Gauss Eliminasyonu c İndirgeme
DO 2 K=1, N-1 N=Diyagonal boyutu NK=N-K+1 IF(NK .GT. YBG) NK=YBG DO 2 I=2, NK Sütun döngüsü C1=S(K, I)/S(K, 1) S(K,1)=Pivot I1=K+I-1 DO 1 J=I, NK J1=J-I+1 1 S(I1, J1)=S(I1, J1)-C1*S(K, J) 2 F(I1)=F(I1)-C1*F(K) F(N)Kuvvet vektörü c Yerine koyma F(N)=F(N)/S(N, 1) DO 3 KK=1, N1 K=N-KK C1=1/S(K, 1) F(K)=C1*F(K) NK=N-K+1 IF (NK .GT. YBG) NK=YBG DO 4 J=2, NK Sütun döngüsü F(K)=F(K)-C1*S(K, J)*S(K+J-1) 4 CONTINUE F(N)Deplasman vektörü 3 CONTINUE
Bölüm 2-1717
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
BİR BOYUTLU PROBLEMLER
1. GİRİŞ
Bu bölümde toplam potansiyel enerji, gerilme-şekil değiştirme ve şekil değiştirme-
deplasman ilişkileri yardımıyla bir boyutlu problemlerin sonlu elemanlar metodu ile
çözümü üzerinde durulacaktır. Burada detaylı olarak anlatılan temel prensipler kitabın
ileriki bölümlerinde sırası geldikçe işlenecek olan iki ve üç boyutlu problemler içinde
geçerli olacaktır. Bir boyutlu problemlerde gerilme σ, şekil değiştirme ε, yer
değiştirme u ve yükleme (T ve ƒ) yalnızca bir boyut değişkenine (x) bağlıdır. Bu
durumda ilgili vektörler aşağıdaki şekilde verilebilir,
u = u(x) σ =σ(x) ε = ε(x)
(1)
T = T(x) ƒ =ƒ(x)
Gerilme-şekil değiştirme ve şekil değiştirme -yer değiştirme ilişkisi,
σ = Eε ε =dudx
(2)
dir. Diğer taraftan.bir boyutlu problemler için differansiyel hacim (dV) ifadesi;
dV =A.dx (3)
şeklindedir. Yüklemeler genelde kütle (ağırlık) kuvvetleri (ƒ), yüzey kuvvetleri (T) ve tekil yük
(Pi) olmak üzere üç şekilde bulunur. Bu kuvvetlerin bir cisim üzerindeki konumları Şekil
1’de gösterilmiştir. Kütle kuvvetleri, tüm hacme dağılmış kuvvetler olup yerçekimi
nedeniyle oluşan cismin ağırlığı örnektir olarak verilebilir. Yüzey kuvvetleri cismin
yüzeyine dağılmış kuvvetler olup birim yüzey alanına düşen kuvvet olarak ele alınır. Bir
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
boyutlu problemlerde yüzey kuvveti birim boya etkiyen kuvvet olarak ta tanımlabilir.
Sürtünme nedeniyle oluşan kuvvetler ve basınç kuvvetleri buna örnek olarak gösterilebilir.
Yüzey kuvveti birim alana düşen kuvvet ile kesit alanın çarpımı olararak ele alınır. Son
olarak Pi, i noktasına etki eden tekil kuvvet ve ui de bu noktanın x doğrultusundaki yer
değiştirmesidir.
2. SONLU ELEMAN MODELLEMESİ
2.1. Elemanlara ayırma Şekil 1’deki çubuğu göz önüne alalım. Sonlu eleman modellemesinde ilk olarak, çubuk
belirli sayıda sabit kesitli elemanlardan meydana gelmiş kademeli çubuk olarak ele alınır.
Burada çubuğu dört eleman kullanarak modelleyelim. Bu işi yapmanın en kolay yolu
çubuğu Şekil 1b'deki gibi dört bölgeye ayırmaktır. Bundan sonra her bir bölgenin ortalama
kesit alanı bulunarak eleman tanımlamalarında bu değer kullanılır. Ele alınan çubuğun dört
eleman ve beş düğümden oluşan sonlu eleman modeli Şekil 1c’de gösterilmiştir. Sonlu
eleman modelinde bütün elemanlar düğüm noktalarından birbirine bağlı olarak düşünülür.
Şekil 1c'de eleman numaraları, düğüm numaralarından ayırt edilmesi için yuvarlak içine
alınmıştır. Görüldüğü gibi, kesit alanı, yüzey kuvveti ve kütle kuvvetleri her eleman için
sabittirler. Doğal olarak kesit alanları ve kuvvetler şiddetleri bakımından elemandan
elemana değişebilirler. Eleman sayıları artırılarak daha iyi sonuçlar elde edilebilir. Tekil
yüklerin uygulanmış olduğu noktaların düğüm noktası olarak seçilmesi gerekir. Cisme
etkiyen diğer kuvvetler de yalnızca düğüm noktalarından etki ediyormuş gibi ele alınırlar.
x
P1
P2
Tƒ
x x
1
2
3
4
5
1
2
3
4
(a) (b) (c) Şekil 1. Kütle kuvvetleri, yüzey kuvvetleri ve tekil kuvvetler altındaki çubuğun sonlu
elemanlar modeli.
2
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
2.2. Numaralandırma Yöntemi Karmaşık bir geometriye sahip bir cismin belirli sayıda ve düzgün şekilli elemanlara nasıl
ayrılacağını az önce göstermiştik. Elemanların birbirine benzer alınmasının esas sebebi,
modelin bilgisayar ortamına aktarılmasının kolaylaştırılmasıdır. Bu aktarım uygun bir
numaralama yöntemi geliştirilmesi ile daha da kolay hale getirilebilir. Burada bu
yöntemlerden birisi verilecektir. Serbestlik dereceleri, düğüm deplasmanları, düğüm
yükleri ve elemanlar arasında süreklilik sonlu elemanlar metodunun uygulamasında ve
bilgisayar ortamına aktarılmasındaki temel noktalardır ve bu nedenle bu kavramların iyi
anlaşılması ve uygun şekilde tatbik edilmesi gerekmektedir.
Bir boyutlu problemde her düğümün sadece ±x doğrultusunda hareketine müsaade edilir.
Bu yüzden her düğüm sadece bir serbestlik derecesine (SD) sahiptir. Şekil 1c'de verilen 5
düğümlü sonlu eleman modelinde 5 serbestlik derecesi vardır. Her serbestlik derecesindeki
deplasman Q1,Q2,...Q5 ile gösterilir. Bu durumda global deplasman vektörü olarak
adlandırılan Q, (Q= [ Q1, Q2,.....Q5 ] T) bir sütun vektörüdür. Diğer taraftan F ile
gösterilen global kuvvet vektörü F= [ F1, F2,........F5 ] dir. Global kuvvet ve deplasman
vektörleri Şekil 2'de gösterilmiştir. +x yönü kuvvet ve deplasman için pozitif yön olarak
alınır. Bundan sonra sınır şartları göz önüne alınır. Ele aldığımız problem için 1 numaralı
düğüm tutulmuştur, dolayısıyla Q1 = 0'dır. Sınır şartları daha sonraki bölümlerde geniş
olarak ele alınacaktır.
Her elemanda 2 düğüm vardır, dolayısıyla elemanlar arasındaki süreklilik bilgileri Şekil
3’teki gibi bir tablo halinde elde edilebilir. Tablo başlığındaki 1 ve 2 rakamları elemanın
Q1, F1
Q2, F2
Q3,F3
Q4 F4
Q5 ,F5
x
Q= [ Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q4 ,Q5 ]T
F= [F1 , F2 , F3 , F4 , F5 ]T
Şekil 2. Deplasman ve kuvvet vektörleri
3
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
lokal düğüm numaralarını, tablo içindeki rakamlar ise global düğüm numaralarını
göstermektedir. Lokal düğüm numaraları ile global düğüm numaraları arasındaki
uyumluluk elemanlar arasında süreklik sağlar. Bu örnekte, 1. düğümün numarası aynı
zamanda 1. elemanın da numarası olduğundan tanımlama basitçe yapılabilmektedir. Daha
karmaşık geometrilerde süreklilik tablosunun yapılmasına ihtiyaç duyulur.
1 2 3 4
1 2 3 4 5 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
xx
1 e 2
Q1 Q2
Global Numaralama
Lokal Numaralama
ElemanNo Düğüm Noe 1 2 Lokal numara1 1 22 2 3 Global3 3 4 numara4 4 5
Şekil 3. Elemanlar arasında süreklilik
3. KOORDİNATLAR VE ŞEKİL FONKSİYONLARI
İki düğümlü bir çubuk eleman (e) ele alalım (Şekil 4a). Lokal numaralandırma ile ilk
düğümün numarası 1, diğerininki ise 2 olarak numaralandırılır. Buradan, birinci düğümün
koordinatı x1 ve ikinci düğümün koordinatı x2 dir. Buradan, elemanın orta noktasına göre
herhangi bir noktasının yerini –1 ile 1 değerleri arasında bulmak için r ile gösterilen bir
doğal koordinat sistemi tanımlayalım.
( ) 121
12
−−−
= xxxx
r (4)
Görüleceği üzere, birinci düğümde r=-1, ikinci düğümde ise r=1 değerini almaktadır
(Şekil 4b). Bu koordinat sistemi, şekil fonksiyonlarının tanımlanmasında kullanılır.
Bir eleman içindeki bilinmeyen yer değiştirmeler lineer bir interpolasyon fonksiyonu ile
hesaplanmaya çalışılır (Şekil 5). Yaklaşık bir çözüm olan bu yöntemde doğruluk değeri
ancak daha fazla sayıda elemana bölmek suretiyle artırılabilir. Bu lineer interpolasyonu
uygulamak için aşağıdaki şekilde lineer şekil fonksiyonları tanımlanır.
4
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
1 e 2
x1x
x2
1 2
r=-1
r
r=1(b)(a)
Şekil 4. Bir elemanın (x) ve (r ) koordinatlarında gösterimi
21)(1
rrN −= (5)
21)(2
rrN += (6)
Şekil 6a ve 6b'de N1 ve N2 şekil fonksiyonları gösterilmiştir. N1 şekil fonksiyonunun grafiği
denklem 5’ten yararlanılarak çizilmiştir. Burada r=-1' de N1=1 ve r=1 de N1 = 0 olduğuna
dikkat edilmelidir. İki noktadan bir doğru geçtiği dikkate alınırsa Şekil 7a elde edilir.
Benzer olarak, N2 şekil fonksiyonunun grafiği olan Şekil 7b, denklem 6'dan elde edilir.
Şekil fonksiyonları tanımlandıktan sonra elemandaki yer değiştirmeler, düğüm
deplasmanları q1 ve q2 ye bağlı olarak şu şekilde elde edilir.
u = N1 q1 + N2 q2 (7a)
veya matris notasyonu ile;
u = [N]q (7b) şeklinde gösterilir. Burada,
[ ] [ ] TqqqveNNN 2121 ,, == (8) şeklindedir. Eleman yer değiştirme vektörünü olan q, (7a)'da verildiği üzere birinci
1 e 2
u1
uBilinmeyen
u2
1 e 2
q1
uLineer
q2
Şekil 5. Bir elemanda lineer interpolasyon fonksiyonunun değişimi
5
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
N1
1 N1=(1-r)/2
r 1 2
r=-1 r=0 r=1
(a)
N2
1 N2=(1+r)/2
r 1 2
(b)
u
q2 u= N1 q1 +N2 q2 q1
r 1 2
(c) Şekil 6. (a) N1 şekil fonksiyonu, (b) N2 şekil fonksiyonu ve (c) N1 ve N2 kullanılarak
elde edilen lineer interpolasyon
düğümde u = q1, ikinci düğümde u = q2 durumunu sağlamaktadır. Şekil fonksiyonlarının
özelliği gereği iki düğüm arasında u lineer olarak değişmektedir. (4) iadesinden
yararlanarak global ve lokal koordinatlar arsındaki dönüşüm şekil fonksiyonları
yardımıyla,
x = N1 x1 + N2 x2 (9)
şeklinde yazılır. Görüldüğü gibi hem deplasmanlar, hem de koordinatlar aynı şekil
fonksiyonları yardımıyla ifade edilmektedir. Bu durum izoparametrik (eş parametreli)
formülasyon olarak adlandırılmaktadır.
Burada her ne kadar lineer interpolasyon fonksiyonları verilmiş ise de başka şekil
fonksiyonlarının seçilmesi de mümkündür. Bir şekil fonksiyonundan temelde iki şey
beklenir,
1. Eleman içerisinde birinci türev sonlu olmalı,
2. Eleman sınırlarında deplasmanlar sürekli olmalı. Rijit cisim hareketi yapan sistemde herhangi bir gerilmenin oluşmayacağı aşikardır. Örnek1: Şekilde verilen durum için, (a) P noktasında r, N1 ve N2 yi oluşturunuz. (b) Eğer q1 =0,003 mm ve q2 = -0.005 mm ise P noktasındaki q yer değiştirmesini bulunuz.
1 p 2
x=24 mmx2=36 mm
x1=20x=24 mm
x a) (4) kullanılarak p noktasının r koordinatı şöyle bulunur:
1)2024(162
−−=pr = - 0.5
Buradan (5) ve (6)’dan N1 = 0.75 ve N2 = 0.25 olur.
b) (7a) kullanılarak p noktasındaki deplasman up = 0.75(0.003) + 0.25(-0.005) = 0.001 mm bulunur.
6
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
(2)'de verilen şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi (ε =dudx
) ve zincir kuralı kullanılarak;
ε =dudr
drdx
(10)
elde edilir. (4)'de verilen x ve r arasındaki ilişkiden;
drdx x x
=−2
2 1 (11)
olur. Ayrıca; u = N1 q1 + N2 q2 =−
++1
21
21
rq
rq2 olduğundan,
dudx
q q=
− +1
22 (12)
elde edilir. (10) ifadesinden,
ε =−
− −1
2 11 2x x
q q( ) (13)
olur. Matris formulasyonu ile,
ε = [B] q (14)
şeklinde yazılır. Burada [B] (1x2), boyutlarında olup eleman şekil değiştirme-yer değiştirme matrisi olarak
adlandırılır ve,
[ ] [ 111
12
−−
=xx
B ] (15)
şeklindedir. Lineer şekil fonksiyonları kullanımı sebebiyle [B] sabit bir matristir.
Dolayısıyla bir eleman içindeki şekil değiştirme de sabittir. Hooke yasasından gerilme;
[ ] qBE=σ (16)
dur. Aynı nedenle, eleman içinde gerilmenin de sabit olduğu görülür. Interpolasyon
amacıyla burada elde edilen gerilmenin elemanın merkezinden geçen eksen üzerindeki
gerilme olduğu kabul edilebilir. (7b), (14) ve (16) ifadeleri sırasıyla, düğümlerdeki
deplasman, şekil değiştirme ve gerilme arasındaki ilişkiyi ortaya koyar. Bu ifadeler çubuk
7
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
eleman için potansiyel enerji ifadesinde yerleştirilerek eleman rijitlik matrisi ve yük
vektörünü bulmak için kullanılacaktır.
4. POTANSİYEL ENERJİ YAKLAŞIMI
Toplam potansiyel enerji bir boyutlu problemler için;
∫ ∫ ∑∫∏ −−−=l l i
iiTT
l
T PudxTuAdxfudxAεσ21 (17)
şeklinde yazılabilir. Burada σ, ε, u, ƒ ve T değerleri bu bölümün başında
verilmişti. Son terimdeki Pi, i noktasında ui deplasmanını meydana getiren kuvvettir. ui
ise i düğümünde x yönündeki deplasmandır. Eleman üzerindeki bütün düğümler için
taplam potansiyel enerji ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
= − − −∑∏ ∫ ∫∑∫∑12e
T
e
T T
eeeei i
iAdx u fAdx u Tdx Q Pσ ε ∑ (18a)
Son terimde Pi’ yüklerinin düğüm noktalarından uygulandığı düşünülmektedir. Diğer
taraftan, U eT= ∫
12
σ εAdx şeklindeki bir tanımlamayla,
= − − −∑∏ ∫∑∫∑ ∑U u fAdx u Tdx Q Pe
e
T T
eeeei
ii (18b)
elde edilir. Ue eleman şekil değiştirme enerjisi olarak adlandırılır.
(14) ve (16) da verilen gerilme ve şekil değiştirme ifadeleri yerlerine konularak,
AdxqBEBqU T
e
Te ][][
21∫= (20a)
veya
)][]([21 qAdxBEBqU
e
TTe ∫= (20b)
8
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. Önceki bölümde görüldüğü gibi elemanın kesit alanı (Ae) sabittir. Aynı
zamanda [B] de sabit bir matristir. (4)'deki x' in r' ye dönüşümü ile
dxx x
dr=−2 1
2 (21a)
veya x2 – x1 = le alınarak,
dxl
dre=2
(21b) elde edilir. Burada elemanın boyu (le) ve - l ≤ r ≤ l olmak üzere eleman şekil değiştirme
enerjisi Ue yeniden aşağıdaki gibi yazılabilir.
[ ]∫−
=1
1
][][2
21 qrdBBE
lAqU T
ee
eT
e (22)
Burada Ee elemanının elastisite modülüdür. olduğundan, (15)’den, dr =−∫ 21
1
[ ] 11111
21
2 ql
ElAqUe
eeeT
e −⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
= (23)
olur. Buradan,
11
11
21 q
lEA
qUe
eeTe ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−= (24)
elde edilir. [k]e, çubuk eleman için eleman rijitlik (direngenlik) matrisi olmak üzere,
][21 qkqU e
Te = (25)
şeklinde yazılabilir. Eleman rijitlik matrisi ise,
kE A
lee e
e=
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
11
11 (26)
şeklinde olacaktır. Burada şekil değiştirme enerjisi bağıntısı ile U= ½ kQ2 ile verilen basit
yaydaki şekil değiştirme enerjisi arasındaki benzerliği görüyoruz. Burada ke 'nin AeEe
çarpımı ile doğru orantılı eleman boyu ile de ters orantılı olduğu görülmektedir.
9
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
4.2. Kuvvet Terimleri Toplam potansiyel enerji ifadesindeki kütle kuvveti terimini ( ) ilk olarak ele
alalım. u =N1 q1 + N2q2. yerine konur, A ve ƒ de eleman içinde sabit olduğundan integral
dışına çıkarılırsa
∫e
T fAdxu
)(∫ ∫ −=
e ee
T dxqNqNfAfAdxu 2211 (27)
elde edilir. Bu ifade ayrıca,
u fAdx qA f N dx
A f N dxT T
e
ee
e
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
∫
∫∫1
2
(28)
olarak ta yazılabilir. Şekil fonksiyonların integralleri dx= (Le/2) dr yazılarak alınır ve
ifadede yerine konursa,
221
2
1
11
e
e
o ldrrldxN =
−= ∫∫
−
(29)
∫∫−
=−
=1
12 22
12
o
e
o ldrrl
dxN
elde edilir. aslında şekil fonksiyonu doğrusunun altında kalan alanı dolayısıyla ldxNe∫ 1 e/2
yi verir. Benzer şekilde de ldxNe∫ 2 e/2 sonucunu verecektir. Dolayısıyla (28) deki kütle
kuvveti ifadesi,
u fAdx qA
l fT T ee
e
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
∫ 211 (30a)
olur. Bu da;
∫ =e
eTT fqfAdxu ][ (30b)
olur. Görüldüğü gibi eşitliğin sağ tarafı deplasman ile kuvvetin çarpımı şeklindedir.
Böylece eleman kütle kuvvet vektörü ƒe şöyle tanımlanabilir,
10
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=11
2flA
f eee (31)
Bu kütle kuvvet vektörü basitçe, Aele elemanın hacmi ve ƒ'de birim hacimdeki kütle
kuvveti olduğundan, Aeleƒ' çarpımı elemana etkileyen toplam kütle kuvvetini ifade eder.
(31)'deki ½ ifadesi kütle kuvvetinin 2 düğüme eşit olarak dağıldığını göstermektedir.
Şimdi de toplam potansiyel enerji formülasyonunda bulunan yüzey kuvvetlerini göz önüne
alalım.
∫ ∫ +=e e
T TdxqNqNTdxu )( 2211 (32)
yüzey kuvvetinin (T) elemanda sabit olduğu gözönüne alınırsa;
u Tdx qT N dx
T N dxT T e
ee
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
∫∫∫
1
2
(33)
N dx N dxle
ee1 2 2
= =∫∫ olduğundan, (33)
∫ =e
eTT TqTdxu ][ (34)
olarak yazılabilir. Buradan yüzey kuvveti;
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=11
2][ e
eTl
T (35)
olarak elde edilir. Görüldüğü gibi eleman yüzey kuvveti de düğümlere eşit olarak
dağılmaktadır.
Buraya kadar rijitlik matrisi [ke], kütle kuvvet vektörü [ƒe] ve yüzey kuvvet vektörlerini
[Te] bir eleman için elde ettik. Elemanlar arasındaki sürekliliği de elde ettikten sonra, (18)
de verilen toplam potansiyel enerji ifadesi,
[ ] ∏ −= FQQKQ TT
21 (36)
11
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak yazılabilir. Burada [K] global rijitlik matrisini, F global yük vektörünü, Q ise
global yer değiştirme vektörüdür. Ele alınan örnek problem için (Şekil 2c) [K] matrisi 5x5,
Q ve F vektörleri ise 5x1 boyutlarındadır. [K] şu şekilde elde edilebilir: Eleman
süreklilik matrisi kullanılarak eleman rijitlik matrisleri ortak düğümlerde üst üste gelecek
şekilde toplanır. Global kuvvet vektörü oluşturulurken kütle kuvveti, yüzey kuvveti ve
tekil kuvvetten gelen etkiler üst üste toplanarak tek bir kuvvet vektörü elde edilir. Eleman
rijitlik matrisi ve kuvvet vektörünün toplama işlemi ilerde daha detaylı olarak
anlatılacaktır.
5. GALERKIN YAKLAŞIMI
Virtüel bir yer değiştirme fonksiyonu tanımlayalım,
)( xφφ = (37) buna bağlı virtüel şekil değiştirme ise,
( )ε φφ
=dd x
(38)
olacaktır. Burada φ sınır şartlarını sağlayan gerçek veya virtüel bir yer değiştirmeyi ifade
etmektedir. Galerkin tarafından verilen variyasyonel ifade bir boyutlu problemler için,
( )∫ ∫ ∫ ∑ =−−−
L L L iii
TTT PTdxfAdxAdx 0φφφφεσ (39a)
şeklindedir. Bu ifade sınır şartlarını sağlayan her φ için geçerlidir. Birinci terim, iç virtüel
işi gösterir, yük terimleri ise dış kuvvetlerin virtüel işini gösterir. Belirli bir çözüm bölgesi
ele alındığında (39a),
( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ =−−−
e e e e e e iii
TTT PTdxfAdxAdxE 0φφφφεε (39b)
şeklinde yazılabilir. Burada ε yüklerden dolayı meydana gelen gerçek şekil değiştirmeler,
ε(φ)’nin ise virtüel şekil değiştirme olduğuna dikkat edilmelidir. (7b), (14) ve (16)
eşitliklerinde izlenen yola benzer şekilde
ψφ N=
(40) ( ) ψφε B=
12
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
yazılabilir. Burada elemanın düğüm deplasmanlarını ifade etmektedir.
Ayrıca düğümlerdeki global virtüel yer değişmeler de şöyle gösterilir;
][ψ ψ ψ= 1 2,T
][ψ ψ ψ ψ= 1 2, , ,K N
T (41)
5.1. Eleman Rijitliği
(39b)’deki iç virtüel işi gösteren ilk terimi ele alalım. (40)’ı (39b)'de yerine koyar ve
ε=[B]q olduğunu hatırlarsak,
( )∫ ∫=
e e
TTT AdxBEBqAdxE ψφεε ][][ (42)
elde ederiz. Sonlu eleman modelinde herhangi bir e elemanının kesit alanının sabit
olduğunu Ae ile gösterildiğini, ayrıca [B]’nin de sabit bir matris olduğunu biliyoruz. Diğer
taraftan, dx = ( le / 2) dr olduğundan,
( ) ψξφεε ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫∫
−
1
1
][][2
dBBlAEqAdxE Teee
T
e
T (43a)
elde edilir. şeklindeki bir tanımlama ve bazı düzenlemelerle, ][][][ BBlAEk T
eeee =
eTT kq ][ψ= (43b)
olur. [k]e eleman rijitlik matrisi olup simetrik bir forma sahiptir. (15) te verilen [B] matrisi
kullanılarak,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1111
][e
eee l
AEk (44)
elde edilir.
5.2. Kuvvet İfadeleri Elemanda kütle kuvveti tarafından yapılan virtüel işi gösteren (39a)'daki ikinci terimi ele
alalım. drldxN e 2/, == ψφ eşitliklerini kullanarak ve eleman içinde kütle kuvvetinin
sabit olduğunu kabul ederek;
13
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
φ ψT T Te
e
e
fAdx N fAl
dr=−∫∫ 21
1
(45a)
elde edilir. Daha kısa ifadesiyle,
(45b) e
T fψ= olur. Burada;
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
∫
∫
−
−1
12
1
11
2 drN
drNflA
f eee (46a)
dır ve eleman kütle kuvvet vektörü olarak adlandırılır. N1=(1-r)/2, N2=(1+r)/2 olduğundan,
ve elde edilir. Böylece, N dr11
1
1=−∫ N dr2 1=∫
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=11
2flA
f eee (46b)
elde edilir. Benzer şekilde eleman yüzey kuvveti ifadesi de
∫ =e
eTT TTdx ψφ (47)
olup, eleman yüzey kuvveti vektörü;
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=11
2e
eTl
T (48)
şeklinde elde edilir. Böylece variyosyonel form,
∑ ∑ ∑ ∑ =−−−e e e i
iieT
eTT
eT pTfqk 0][ ψψψψ (49)
olarak elde edilir. Kuvvet terimleri birleştirilerek,
)( 0][ =− FQKTψ (50) elde edilir. Bu ifade Ψ'nin sınır şartlarını sağlayan bütün değerleri için geçerlidir.
14
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
6. GLOBAL RİJİTLİK MATRİSİ VE YÜK VEKTÖRÜNÜN BİRLEŞTİRİLMESİ
Daha önce, toplam potansiyel enerjinin
∏ ∑ ∑ ∑ ∑−−−=e e e
iieT
eT
eT QpTqfqqkq ][
i
formunda olduğu ve eleman süreklilik ifadelerinin gözönüne alınmasıyla,
[ ] ∏ −= FQQKQ TT
21
şeklinde de yazılabileceği gösterilmişti. Bu adım, [K] ve F'nin eleman rijitlik matrisi ve
kuvvet vektörlerinin birleştirilmesi ile oluşturulması aşamasıdır. İlk olarak, genel rijitlik
matrisi [K]'nın eleman rijitlik matrisi [k]e ’lerin birleştirilmesi yoluyla oluşturulması
gösterilecektir.
][21
33 qkqU T= (51)
veya [k]3 yerine konursa;
1111
21
3
333 q
lAE
qU T⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−= (52)
elde edilir. 3. Eleman için deplasman vektörü q=[Q3,Q4]T olduğundan,
[ ]
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
5
4
3
2
1
3
33
3
33
3
33
3
33
543213
00000
000
0000000000000
21
QQQQQ
lAE
lAE
lAE
lAE
QQQQQU (53)
elde edilir. [k]3 matrisinin elemanlarının K matrisinin 3. ve 4. satır ve sütünlarına yerleştiği
görülmektedir. Dolayısıyla, eleman şekil değiştirme enerjileri toplanırken, [k]e'nin
elemanları global [K]’da eleman düğüm numaralarına karşılık gelen yerlere yerleştirilir.
Matriste elemanların üst üste geldiği yerlerdeki değerler toplanır. Sembolik olarak bu
toplamayı,
15
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ]∑←e
ekK ][ (54a)
şeklinde gösterebiliriz. Benzer şekilde global yük vektörü F, eleman kuvvet vektörü ile
tekil yüklerden
( ) PTF
eee ++∫← ∑ (54b)
olarak gösterilir. Örnek 2: Şekildeki gibi bir çubukta, her (i) elemanının kesit alanı Ai ve boyu da li dir. Her eleman tüzey kuvveti Ti ve kütle kuvveti ƒi'ye maruzdur. Eleastisite modülü E olan çubuğun 2 nolu düğümüne tekil P2 yükü etki etmektedir.
Eleman rijitlik matrisi her eleman için (26)’dan
[ ] ⎥⎦
⎤−11
⎢⎣
⎡−
=1
1
i
ii l
EAk olarak hesaplanır.
1
2
p2
3
4
5
x
T 1
T 2
T3
T 4
A 1 l1
A 2 l2
A 3 l3
A 4 l4
E , ƒ=sabit
Eleman sürekliliği ise, Eleman 1 2
1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5
şeklindedir. Şimdi her bir elemanın global rijitlik matrisindeki durumunu görelim.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
=
0000000000001100011000000
4
4
0000000000000000001100011
3
3
0000000000001100011000000
2
2
0000000000000000001100011
1
1][l
EA
l
EA
l
EA
l
EAK
Sonuçta
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−
=
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
000
000
00
00
000
][
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
lA
EK
olur. Yük vektörü ise,
16
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+
=
0
0
0
0
22
2222
2222
2222
22
2
4444
44443333
33332222
22221111
1111
P
TlflA
TlflATlflA
TlflATlflA
TlflATlflA
TlflA
F
şeklindedir. Görüldüğü gibi global rijitlik matrisi [K]’nın belirli bir kısım özellikleri vardır. Bunlar
kısaca;
1. Her düğümünde serbestlik derecesi 1 olan bir boyutlu problemde global rijitlik
matrisinin boyutu, n=düğüm sayısı olmak üzere, (nxn) olmaktadır. Serbestlik
derecesinin daha fazla olduğu durumlarda boyut toplam düğüm sayısı ile düğümdeki
serbestlik derecesinin çarpımı kadar olacaktır.
2. Simetriktir.
3. Değerler bant şeklinde diyagonalin iki tarafında düzgün şekilde yerleşmektedir.
Matrisin bant dışındaki tüm elemanları sıfırdır.Örnekte verilen problemde bant matris
aşağıdaki şekilde oluşmuştur.
K E
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
=
−
+ −
+ −
+ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
40
Bant matrisin boyutu YBG şeklinde bir yarı bant genişliği tanımlayarak (nxYBG)
şeklindedir. Tek boyutlu problemlerde eleman sürekliliği i, i+1 şeklinde oluştuğundan
YBG=2 elde edilmiştir. İki ve 3 boyutlu problemlerde yarı bant genişliğini hesaplamak
şeklinde hesaplanır. Örnek: Şekildeki ince levhanın kalınlığı t=1 cm, Young modülü; E = 30x106 N/cm2, yoğunluğu ise ρ = 0.2836 kg/ cm3 'tir. Levha kendi ağırlığı yanında orta noktasından P=100 N’luk bir yük altında bulunmaktadır. (a) Levhayı iki sonlu elemanla modeleyiniz. (b) Elemanlar için rijitlik matrisi ve kütle kuvveti vektörlerini elde ettikten sonra bunları genel rijitlik matrisi ve kuvvet vektöründe yerleştiriniz. (c) Eliminasyon yaklaşımını kullanarak global deplasman vektörü Q’yu hesaplayınız.(d) Her elemandaki gerilmeyi hesaplayınız. (e) Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.
(a) Her biri 12 cm boyunda iki eleman kullanarak yapılan sonlu eleman modeli şekilde görüldüğü gibi elde edilebilir. Birinci elemanın kesit alanı 5.25 cm2, ikinci elemanın kesit alanı ise, 3.75 cm2 dir. 1. Düğüm mesnet olduğundan deplasman Q1=0 olacaktır (Sınır şartı!).
24 cm
12 cm
6 cm
3 cm
p
x x
12 cm.
Q2
Q3
3.75 cm
12 cm
1
2
p
5.25 cm
Q1
22
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
b) (26)'dan eleman rijitlik matrisi
2 3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−××=
1111
1225,51030 6
1k ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−××=
1111
1275.31030 6
2k 1 2
1 2
2 3
(31)'den de eleman kütle kuvvetleri
21
11
22836,01275,5
1⎭⎬⎫
⎩⎨⎧××
=f 32
11
22836,01275,3
2⎭⎬⎫
⎩⎨⎧××
=f
olarak hesaplanır. Global rijitlik matrisinde
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−×
=75,375,3075,300,975,5
025,525,5
121030][
6
K
1 2 3 1 2 3
şeklinde yerleştirilir. Dışardan 2 düğümüne uygulanan tekil yük ile beraber global kuvvet vektörü,
F = +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
8 933415 3144 100
6 3810
,,,
dir. c) Eliminasyon yaklaşımında [K]’nın sınır şartlarına karşılık gelen satır ve sütunları
silinerek elde edilir. Burada Q1=0 olduğundan,
30 1012
9 00 3 753 75 3 75
115 31446 3810
62
3
× −−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
, ,, ,
,,
QQ
2 3
elde edilir. Deplasmanlar buradan Q2 = 0.9272 x 10-5 cm,.Q3 = 0.9953 x 10-5 cm olarak hesaplanır. Böylece global deplasman vektörü Q=[0, 0.9272 x 10-5, 0.9953 x 10-5]T olur.
d) (15) ve (16)’dan gerilmeler,
[ ]σ16
530 101
121 1
00 9272 10
= × × −×
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−,, [ ]σ2
65
530 101
121 1
0 9272 100 9953 10
= × × −××
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−
−
,,
σ1=23.18 N/cm2 ve σ2=1.7 N/cm2 olarak hesaplanır. e) 1 numaralı düğümdeki reaksiyon kuvveti (71) yardımıyla,
23
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] 933.8109953,0109272,0
0025,525,5
121030
5
56
1 −⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
××−
×=
−
−R =-130.6 N
bulunur. Görüldüğü gibi reaksiyon kuvveti toplam düşey yüke eşit ve ters işaretlidir. 8.3. PENALTI YAKLAŞIMI
Bu bölümde sınır şartlarının ele alınmasındaki ikinci yöntem olan penaltı yaklaşımı
üzerinde durulacaktır. Bilgisayar uygulaması daha kolay olan bu yaklaşımda (57) ile
verilen genel tipteki sınır şartlarının modellenmesi kolaylaşmaktadır. Öncelikle tanımlı
yerdeğiştirmeler ele alınacak daha sonra çok noktalı sınır şartlarının uygulaması
gösterilecektir.
Tanımlı Deplasmanlar: Q1 = a1 şeklinde verilen bir sınır şartını düşünelim. Burada a1,
mesnetin 1 numaralı serbestlik derecesinin bilinen deplasmanıdır.
Öncelikle mesnet, C gibi çok büyük bir yay katsatısına sahip bir yay olarak düşünülür.
C'nin büyüklüğü öyle seçilmelidir ki yayın bir ucu a1 miktarınca yer değiştirsin (Şekil 8).
Bu da 1 numaralı serbestlik derecesinin deplasmanı olan Q1 ‘in yaklaşık olarak a1 e eşit
olması sonucunu verecektir. Dolayısıyla yay boyundaki net değişiklik Q1 - a1 olacaktır.
Yaydaki şekil değiştirme enerjisi,
211 )(
21 aQCU y −= (72)
Q1
a1
y
xZemin
yapı
yay
Şekil 8. Sınır şartlarını modellemek için yay katsayısı rijitliği çok büyük olan bir yay
kullanıldığı Penaltı yaklaşımı mıdır. Q1≅a1 dır.
24
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
dir. Bu şekil değiştirme enerjisi sistemdeki toplam potansiyel enerjiye eklenerek,
)(21][
21 2
11 FQaQCQKQ TTM −−+=∏ (73)
bulunur. ΠM, dΠM/dQi =0 , i=1,2......N ile minimize edilerek,
( )K C K KK K K
K K K
QQ
Q
F CaF
F
N
N
N N NN N N
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1 1
2
+⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
+⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
K
K
M M M
K
M M (74)
şeklinde sonlu eleman denklemleri elde edilir. Ele aldığımız sınır şartı Q1=a1 olduğundan
çok büyük bir sayı olan C, [K]'nın yalnızca ilk diagonaline eklenmiş, ayrıca kuvvet
vektöründe de Ca1 olarak yalnızca F1'e eklenmiştir. Buradan (74) çözülerek yer değiştirme
vektörü Q elde edilir.
1 numaralı düğümdeki reaksiyon kuvveti yay tarafından sisteme uygulanan kuvvete eşittir.
Dolayısıyla, net uzama=Q1-a1 ve yay katsayısı=C olduğundan, reaksiyon kuvveti;
R1 = - C (Q1 - a1 ) (75)
olarak hesaplanır. (74)'de potansiyel enerji yaklaşımı için verilen modifikasyonlar Galerkin yaklaşımı için de
aynı şekilde hesaplanabilir. Uygun bir virtüel deplasman olan Ψ'nin sonucu olarak, yay
tarafından yapılan virtüel iş (δWs = Virtüel deplasman x Yaydaki kuvvet) olarak
tanımlanabilir. Bu da
δWs = Ψ1 C (Q1 -a1) (76)
olarak yazılır. Dolasıyla varyasyonel form;
ΨT([K]Q-F) + Ψ1C(Q1 - a1) =0 (77) olur. Bu ifadenin Ψ nin herhangibir değeri için geçerli olması gerekir. Ψ=[1,0,...........0]T,
Ψ=[0,1,0,.....0]T,.......,Ψ=[0,.....,0,1]T 'olarak seçilir ve her birini sırayla (77) de yerine
koyarsak, (74) ile gösterilen modifikasyonları elde ederiz. Birden fazla düğümde tanımlı
deplasman olması durumunda genel ifade
Rpi =-C (Qpi-ai) i = 1,2.........,r (78)
25
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklinde yazılabilir. Burada verilen penaltı yaklaşımı yaklaşık bir sonuç verir ve doğruluk
derecesi C katsayısının doğru seçilmesine bağlıdır. (74)'ü daha açık bir şekilde yazarsak,
( )K C Q K Q K Q FN N11 1 12 2 1 1+ + + + =K (79a)
elde ederiz. Bu ifadeyi C' ye bölerek;
KC
QKC
QKC
QFC
aNN
111
122
1 111+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + + + = +K (79b)
bulunur. Görüldüğü gibi C yeterince büyük seçilirse K lı terimler sıfıra yaklaşacak ve
denklemden Q1 ≅ a1 sonucu elde edilecektir. Bu yüzden genellikle C için
C = max |Kij | x104 1≤ i ≤ N (80) 1≤ j ≤ N
şeklinde bir değer alınabilir. Örnek: Şekil'de gösterilen çubuğa 2 düğümünden P=200x103 N luk bir eksenel yük uygulanmaktadır. Penaltı yaklaşımını kullanarak (a) Düğüm deplasmanlarını, (b) Her elemandaki gerilmeyi ve (c) Reaksiyon kuvvetlerini belirleyiniz.
a) Eleman rijitlik matrisleri
1
300 mm 400 mm
x
1 2
P2 3
A1=2400 mm2
E1=70 x 106 N/m2A2=600 mm2
E2=200 x 106 N/m2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−××=
1111
30024001070 3
1k vve;
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−××=
1111
40060010200 3
2k
2 3
olup genel rijitlik matrisi
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
30,030,0030,086,056,0
056,056,010][ 6K
1 2 3
şeklindedir. Genel yük vektörü ise F = [0,200 x 103 ,0]T dir. 1 ve 3 düğümleri mesnet olduğundan Q1=Q3=0 dır. Penaltı yaklaşımı kullanıldığı için burada C sayısı, [K]'nın birinci ve üçüncü köşegen elemanlarına eklenecektir. (80)’e bağlı olarak C=[0.86x106
x104 alınarak modifiye edilmiş genel rijitlik matrisi, ]
26
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
30,860030,0030,086,056.0
056,056,860010][ 6K
elde edilir. Sonlu eleman denklemi ise
108600 56 0 56 0
0 56 0 86 0 300 0 30 8600 30
0200 100
61
2
3
3
, ,, , ,
, ,
−− −
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ×
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
QQQ
olur. Buradan, Q = [15.1432 x 10-6 , 0.23257, 8.1127 x 10-6 ]T mm elde edilir. b-) Elemanlardaki gerilmeler (16) yardımı ile,
[ ]σ13
6
70 101
3001 1
151423 100 23257
= × × −×⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭
−,,
=54.27 MPa
ve
[ ]σ 23
6200 101
4001 1
0 232578 1127 10
= × × −×
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−
,,
=-116,29 MPa
olarak hesaplanır. c) Reaksiyon kuvvetleri R1 =-CQ1 = -[0.86x1010] x15.1432 x10-6 =-130.23 x103 N R3 = -CQ3= -[-0.86 x 1010] x8.1127 x10-6= -69.77 x103 N olarak hesaplanır. Örnek: Şekilde verilen çubuğa P=60 kN luk bir tekil kuvvet etki etmektedir. Sistemdeki deplasmanları, gerilmeleri ve mesnet tepkilerini hesaplayınız. E=20 kN/mm2
Rijit duvar
150mm 150mm
xP
1.2mm A= 250 mm2
B’
1,2 mm
P x3
2
1 2
1
Çözüm: Öncelikle bu şartlar altında çubuk ile duvar arasında temas olup olmayacağı araştırılır. Bunun için öncelikle duvar yokmuş gibi bir çözüm yapılır ve QB'=1.8 mm olarak hesaplanır. Dolayısıyla çubuk duvara temas edecektir. Bu durumda problem temas hali de dikkate alınarak yeniden çözülmelidir. B’ noktasındaki deplasman 1.2 mm olarak tanımlı bir deplasman sınır şartı oluşturmuştur. Sınır şartları: Q1=0 ve Q3 = 1.2 mm olarak gösterilebilir. Global rijitlik matrisi
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−××
=110121
011
1502501020 3
K
27
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
ve global yük vektörü F = [ 0, 60x103, 0]T şeklindedir. Penaltı yaklaşımına göre problemdeki sınır şartları sonlu eleman denklemlerinde
103
20001 1 01 2 1
0 1 20001
060 0 1080 0 10
5 1
2
3
3
7
−− −
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ××
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
QQQ
,,
şeklinde bir düzenleme yapmayı gerektirir. Burada C=(2/3)x1010 olarak seçilmiş, ve [K]' nın 1 ve 3 köşegen elemanına ve (Cx1.2) olarak F'nin 3. bileşenine eklenmiştir. Buradan deplasmanlar Q = [7.49985 x 10-5, 1.50045, 1.200015]T mm olarak bulunur. Gerilmeler ise,
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×
−××=−
500045,11049985,7
11150
1102005
31σ = 199.996 MPa
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−××=200015,1500045,1
11150
110200 32σ =-40,004 MPa
olarak elde edilir. Buradan reaksiyon kuvvetleri
R1 = -C x 7.49985 x 10-5 = -49.999 kN R3 = -C x (200015 -1.2 ) = -10.001 kN
olarak hesaplanır. Yaklaşımın getirdiği hata oranı nedeniyle gerçek çözümde 50 kN ve 10 kN olarak hesaplanan reaksiyon kuvvetlerinde görüldüğü gibi çok küçük bir fark ortaya çıkmıştır.
8.4. Çok Noktalı Sınır Şartları Daha önceden de verildiği gibi eğik bilyalı rulmanlar yada rijit bağlantıların olduğu
durumlarda sınır şartları birbirine bağlantılı olmaktadır. Bu da,
β β β1 1 2 2Q QP P+ o=
şeklinde gösterilmektedir. Düzenlenmiş toplam potansiyel enerji denklemini ele alalım
[ ] ∏ −−++= FQQQCQKQ ToPP
TM
22211 )(
21
21 βββ (81)
C çok büyük sayı olduğundan ∏M in minimum olması ancak (β1Qp1 +β2Qp2-β0) ‘ın
değerinin çok küçük olmasıyla mümkündür. Bu da β1Qp1+β2Qp2≈β0 olması durumunda
sağlanır. Minimizasyon işlemi yapıldığında (d∏M/dQi=0, i=1,...,N) düzenlenmiş rijitlik
matrisi ve kuvvet vektörü elde edilir. Bu düzenlemeler,
28
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
K KK K
K C K CK C K C
P P P P
P P P P
P P P P
P P P P
1 1 1 2
2 1 2 2
1 1 12
1 2 1 2
2 1 1 2 2 2 22
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ →
+ ++ +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
β ββ β β
β
1
2
(82)
FF
F CF C
P
P
P O
P O
1
2
1
2 2
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
→++
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
β ββ β
(83)
şeklindedir. Diğer taraftan ∂∏M/∂Qp1=0, ∂∏M/∂Qp2=0 olduğundan,
K Q F R ve K Q F RP J J P Pİ
P Jj
J P P1 1 1 2 2− = − =∑ ∑
şeklinde reaksiyon kuvvetleri elde edilir. Diğer bir ifadeyle
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+= 2
22111
1 )(21
OPPP
P QQCQ
R βββ∂
∂ (84a)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−= 2
22112
2 )(21
OPPP
P QQCQ
R βββ∂
∂ (84b)
olarak yazılabilir. Bazı basitleştirmlerle
Rp1 = -Cβ1 (β1 Qp1 + β2 Qp2 -β0) (85a)
Rp2 = -Cβ2 (β1 Qp1 + β2 Qp2 -β0) (85b) elde edilir. Örnek: Şekilde kütlesi ihmal edilebilir rijit bir çubuk bir ucundan duvara sabitlenmiş olarak bir çelik ve bir aluminyum çubuk tarafından taşınmaktadır. Yük P=30 kN olduğuna göre (a) İki elemanlı bir model oluşturarak sınır şartlarını belirleyiniz. (b) Değiştirilmiş genel rijitlik matrisini ve yük vektörünü elde ettikten sonra deplasman ve gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm: a) Şekilde iki elemanlı bir sonlu eleman modeli verilmiştir. 3 ve 4 düğümlerindeki sınır şartları Q3=Q4=0 dır. Rijit çubuğun yer değiştirmeden sonra da düz kaldığı kabul edildiğinden Q1 ve Q2' birbirine bağımlı olmak zorundadır. Şekiden de görüldüğü gibi bu bağımlılık Q1-0.4 Q2 = 0 olarak elde edilir. b) Eleman rijitlik matrisleri
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−×
××= − 11
11105.4
1200102003
3
1k ve ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−×
××= − 11
11100.3
90010703
3
2k
olup buradan genel rijitlik matrisi
29
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
P
1
2
E
2 m 3 m 1m
∆
Q1
Q2
ÇelikA=1200mm2
E=200x109N/m2
l=4.5 m
AluminyumA=900mm2
E=70x109N/m2
l=3 m
1 2
3
4
Q1 ,F1 Q2 ,F2
x
1
2
E2 m 3 m 1m
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0,2100,210033,53033,53
0,2100,210033,53033,53
10][ 3K
dir. Bundan sonra, Q3=Q4=0 olduğundan C, [K]' nın (3,3) ve (4,4) elemanlarına eklenir. Az önce elde edilmiş olan çok noktalı sınır şartı ifadesinden ise
β0=0, β1=1 ve β2=0.4 elde edilir. (82)'den sırasıyla
C, -0.4C ve 0.16C terimlerinin [K]'nın (1,1), (1,2) ve (2,2) elemanlarına eklenmesi gerektiği görülmektedir. Diğer taraftan
β0=0 olduğundan (83) ifadesinden kuvvet vektöründe herhangi bir değişiklik gerekmediği görülür. C=(53.33x103)x104 alınarak,
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧×
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×−×−
−××−−×−×
001030
0
103321,5300,21001033533,53033,53
0,210105349,8103320,21033,53103320,211033533,53
103
4
3
2
1
4
4
44
44
3
QQQQ
elde edilir. Buradan deplasman vektörü,
Q=[0.4206, 1.0517, 4.2059 x10-5, 4.1411x10-5] mm olarak bulunur. Gerilmeler ise,
[ ]σ13
3200 101
4 5 101 1 4 2059
0 4206= ×
×− ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥,
,, = 18.693 MPa
σ2 = 24.540 MPa olur. Bu problemde eğer yük E noktasına tatbik edilse idi düğümlere gelen eşdeğer kuvvetlerin belirlenmesi gerekecek idi. Bu da P’nin potansiyelinin F1, F2'nin toplam potansiyeline eşit olması gerektiği gerçeğinden hesaplanabilirdi. Yani
P∆ = F1 Q1 + F2 Q2
Buradan ∆=1.2Q2=3Q1
olduğundan görülecektir ki F1 ve F2'nin bu eşitliği sağlayan her değeri aynı sonucu verecektir.
30
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
9. QUADRATİK ŞEKİL FONKSİYONLARI
Buraya kadar eleman içindeki yerdeğiştirmelerin hesabında lineer interpolasyon
fonksiyonları kullanılmıştı. Ne var ki bazı problemlerde quadratik interpolasyon
fonksiyonları çok daha daha doğru sonuçlar verir. Bu bölümde qaudratik şekil
fonksiyonları tanıtılacak ve buna karşılık gelen eleman rijitlik matrisi ve yük vektörleri
elde edilecektir. Görüleceği gibi temel yöntem daha önce lineer tek boyutlu elemanda
kullanılanın aynısıdır.
Şekil 11.a'da gösterilen tipik üç düğümlü qadratik elemanı ele alalım. Local numaralama
sistemine göre soldaki düğüme 1, sağdaki düğüme 2 ve ortadaki düğüme de 3 numarasını
verelim. Burada 3. düğüm ara düğüm olarak adlandırılır. Koordinatlar i=1,2,3 olmak üzere
xi=x, şeklinde, deplasmanlar ise q1, q2,q3 sırasıyla 1, 2, 3 düğümlerinin yer değiştirmesi
olmak üzere q=q1,q2,q3şeklinde ifade edilir. x koordinat sistemi r koordinat sistemi
üzerine
12
3 )(2xxxx
r−−
= (86)
dönüşümü ile yerleştirilir. Buradan sırasıyla, 1, 2, 3 düğümleri için r=-1, 0 ve +1 olduğu
görülür. Buna göre r koordinatlarında düğümlerin şekil fonksiyonları N1, N2 ve N3,
)1(21)(1 rrrN −−= (87a)
)1(21)(2 rrrN += (87b)
)1)(1()(3 rrrN −+= (87c)
dir. N1 şekil fonksiyonu 1 düğümünde 1’e 2 ve 3 düğümlerinde ise 0’a eşittir. Benzer
şekilde N2, 2 düğümünde 1’e diğer düğümlerde 0’a, N3 de yanızca 3 düğümünde 1’e eşittir.
x
1 3 2
(a)
r=-1 r= 0 r=+1r
1 3 2
(b) Şekil 9. x ve r koordinatlarında quadratik eleman
31
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Şekil fonksiyonları grafik olarak Şekil 12’de verilmiştir. Bu şekil fonksiyonları deneme
yanılma ile kolayca belirlenebilir. Örneğin N1, r=-1’de 1, r=0 ve r=1 ‘de de 0
olacağından,
N1 = cr (1-r) (88)
Şeklinde bir forma sahip olduğu kolayca belirlenebilir. c sabiti ise -1/2 olarak elde
edilebilir. Bu şekil fonksiyonları Lagrange şekil fonksiyonları olarak adlandırılır. Bundan
sonra eleman içindeki deplasmanlar düğüm deplasmanları vasıtasıyla,
u = N1 q1 + N2q2 + N3q3 (89a)
yada matris formunda,
u = [N]q (89b) şeklinde ifade edilir. [N] = [N1, N2, N3] olup (1x3) boyutunda şekil fonksiyonları
vektörüdür. q = q1, q2, q3T olup boyutu da (3 x 1) dir. 1. düğümde N1=1, N2=N3=0
olduğundan, u = q1 dir. Aynı şekilde 2. Düğümde u=q2 ve 3. düğümde de u = q3'dür.
Bundan dolayı (89a) da u, q1, q2 ve q3 'den geçen quadratik interpolasyon fonksiyonudur.
ε=[B]q (93) olarak düzenlenir. Hooke yasaından gerilmeler,
σ = E[B]q (94) olarak yazılabilir. Burada şekil fonksiyonları quadratik olduğundan, görüldüğü gibi, [B] r
ile doğru orantılı olmaktadır. Bu şekil değiştirme ve gerilmelerin eleman içinde lineer
olarak değişebileceğini göstermektedir. Önceki bölümde verilen lineer şekil
fonksiyonlarında [B] sabit olarak elde edilmiş ve şekil değiştirme ve gerilmelerin eleman
içinde sabit olduğu kabulü yapılmıştı.
Şimdi (89b), (93) ve (94)'deki yer değiştirme, şekil değiştirme ve gerilme terimlerini elde
edelim. Bu arada (86)'dan dx=(le /2)dr elde edilir. Burada da elemanda kesit (A), kütle
kuvveti (F) ve yüzey kuvveti (T) sabit olarak alınacaktır. u, ε, σ ve dx potansiyel enerji
ifadesinde yerine konursa,
= − − − ∑∫∑∫∑∫∑∏ 12
σ εT T Ti i
ieeeeeeAdx u fAdx u Tdx Q P
[ ]∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑− − −
−−−=e e e
iiTeTTe
eTTe
eeT PQdrNT
lqdrNf
lAqqdrBB
lAEq
1
1
1
1
1
1
)2
()2
()2
(21
i
(95)
33
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. Potansiyel enerji ifadesinin matris formunda yazılmış genel ifadesi
∏ ∑ ∑ ∑ −−−=e e e
iieT
eT
eT PQTqfqqkq ][
21 ∑
i
idi. Buradan,
∫−
=1
1
][][2
][ drBBlAE
k Teeee (96a)
olduğu görülür. (92)'de verilen [B] yerine konulursa,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=1688
871817
3][
e
eee l
AEk (96b)
elde edilir. Eleman kütle kuvveti vektörü ise,
∫−
=1
1
][2
drNflA
f Teee (97a)
olup şekil fonksiyonlarını yerleştirerek integral alınarak
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
3/26/16/1
flAf eee (97b)
elde edilir. Benzer şekilde eleman yüzey kuvvet vektörü,
∫−
=1
12 drN
TlT Te
e (98a)
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
3/26/16/1
TlT ee (98b)
olur. Toplam potansiyel enerji daha önce gösterildiği şekilde eleman değerlerinin
toplanmasıyla oluşturulan genel deplasman ve yük vektörleri ile genel rijitlik matrisinden
oluşturulur.
Örnek: Şekildeki çubuk sabit ω = 30rad/s hızıyla dönmektedir. İki quadratik eleman kullanarak çubukta meydana gelen eksenel gerilmeyi hesaplayınız. Yük olarak sadece merkezkaç kuvvetini alınız.
34
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Çözüm: Sonlu eleman modeli şekilde verilmiştir. Model beş serbestlik derecesine sahiptir. Eleman rijitlik matrisleri (96b)’den;
ω=30 rad/s42 cm
A=0.6 cm2
E=107 N/cm2
R=.2836 kg/cm2
121 cm
21 cm2
3
5
4x
1
2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
××
=1688
871817
2136,0107
1k
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
××
=1688
871817
2136,0107
2k
dir. Gnel rijitlik matrisi ise,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−
××
=
78100816800
18148100816800187
2136,010][
7
K dir. Dönmeden dolayı meydana gelen kütle
kuvveti 32
/ cmkgivmesiyerçekimi
xyariçapxyoğoğunlukf ϖ= şeklinde hesaplanır. Yerçekimi ivmesi 9.81
m/s2 dir. Görüldüğü gibi kütle kuvveti uzaklıkla değişmektedir. Bu nedenle ortalama mesafe alınarak,
732.210081.9
305.102836.0 2
1 =×
××=f , 2.8
10081.9305.312836.0 2
2 =××
=x
f
bulunur. Böylece eleman kütle kuvvet vektörleri (97b)’den
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧××=
3/26/16/1
216,0 ii ff
şeklinde hesaplanır. Buradan genel kuvvet vektörü F=[5.74, 22.9, 22.9, 68.8, 17.2]T bulunur. Eliminasyon metodunu kullanırsak sonlu eleman denklemleri
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
×
2.178.689.229.22
781081680
1814800816
636,010
5
4
3
27
QQQQ
elde edilir. Buradan genel deplasman vektörü Q = 10-4[0, 2.3, 4.2, 5.6, 6.0]T cm elde edilir. Eleman deplasman vektörleri eleman süreklilik tablosu yardımıyla (q1=[Q1, Q2, Q3
]T q2=[Q3, Q5, Q4]T ) bulunduktan sonra gerilmeler ise (92) ve (94)'den
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+−−×=
3
2
17
1 2,221,
221
21210
QQQ
rrrσ
35
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. Buradan 1 düğümündeki gerilme r=-1 konularak, 2 düğümündeki r=0 ve 3 düğümündeki de r=+1 konularak bulunur Buna göre
[ ] 24711 /230
3.22.4
00,2,5,0,5,110
21210 cmN=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+−−××= −σ
Benzer şekilde, σ1/2=200 N/ cm2 ve σ1/3= σ2/1=161.5 N/cm2 bulunur. İkinci elemandaki gerilmeler ise, σ2 |2 =85.5, σ2 |3 =9 elde ederiz.
Karşılaştırma
0
50
100
150
200
250
0,00 10,50 21,00 31,50 42,00Mesafe
Gerilme
SEMMekanik
Problemin elemanter mekanik tarafından elde edilen kesin gerilmeleri ise
)(2.)( 22
2
sin xLg
xke −=ϖρσ formülü ile
hesaplanır. Şekilde sonlu elemanlar metodu ve elemanter mekanik formülü ile hesaplanan gerilmeler karşılaştırılmıştır.
10. SICAKLIK ETKİSİ
Bu bölümde izotropik ve lineer elastik bir malzemede sıcaklık değişimi sonucu meydana
gelen gerilmeler ele alınacaktır. Eğer bir çubukta sıcaklık dağılımındaki değişiklik (∆T(x))
biliniyor ise, bu sıcaklığa bağlı olarak meydana gelen şekil değiştirme de hesaplanabilir.
Sıcaklık sebebiyle meydana gelen bu şekil değişikliğine başlangıç şekil değişmesi denir ve
εo ile gösterilir. Başlangıç şekil değişikliği
ε0 = α ∆T (99)
şeklinde hesaplanır. Burada α ısıl genleşme katsayısıdır. ∆T’nin işareti çubuktaki
sıcaklığın artıp azalması hakkında fikir verir. Bir başlangıç şekil değişimi olması halindeki
gerilme-şekil değiştirme ilişkisi Şekil 14’te verilmiştir. Buna göre
σ = E(ε - ε0) (100)
olarak bulunur. Birim hacimdeki şekil değiştirme enerjisi (uo) şekildeki taralı bölgenin
alanına eşittir. Bu da,
)(21
0 ou εεσ −= (101)
dır. (100) denklemini kullandığımızda ise,
36
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
εεo
σ
σ=E(ε −εo)E
1
Şekil 12. Gerilme-şekil değiştirme ilşkisi başlangıç şekil değişimi
)(()(21
0 oT
o Eu εεεε −−= (102a)
elde edilir. Çubuktaki toplam şekil değiştirme nerjisi (U) ise u0’ın hacim boyunca integre
edilmesiyle bulunur. Bu da,
∫ −−=L
oT
o AdxEU )()(21 εεεε (102b)
olup kesit alanı ve boyu sabit elemanlardan oluşan bir model için,
∑ ∫−
−−=e
oeT
oe
e drEl
AU1
1
)()(22
1 εεεε (102c)
olarak yazılabilir.ε =[B]q olduğundan,
∑ ∫ ∑ ∫ ∑− −
+−=e e
oe
eeT
oe
eeTTe
eeT l
AEdrBl
AEqqdrBBl
AEqU1
1
1
1
2
221][
2)][][
2(
21 εε
e
(102d)
elde edilir. Görüldüğü gibi ilk terim eleman rijitlik matrisini vermektedir. Son terim ise
sabit bir sayı olup türevi 0 olacağından denge denklemlerinde yer almaz. İkinci terim ise
sıcaklık değişimi nedeniyle oluşan yükü (θe) ifade eder. Yani,
∫−
=1
1
][2
drBlAE To
eeee εθ (103a)
[B]=[-1 1]/(x2 -x1) ve ε0 = α∆T olduğundan,
37
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
−∆
=11.
12 xxTlAE eee
eα
θ (103b)
elde edilir. Burada ∆T eleman içindeki sıcaklık değişiminin ortalamasını ifade eder.
Sıcaklık farkı yükü de diğer yük ifadeleriyle
PTF ee
ee +++∫= ∑ )( θ (104)
şeklinde toplanır. Sonlu eleman denklemleri çözüldükten sonra elemanlarda meydana
gelen gerilmeler (100) yardımıyla,
σ = E([B]q - α∆T) (105a)
ya da,
[ ] TEqxx
E∆−−
−= .11
12
ασ (105b)
olarak elde edilebilir. Örnek 8: Şekilde verilen çubuk sistemi 20 0C de iken P=300 kN’luk bir eksenel yük uygulanmıştır. Bu esnada sistemin sıcaklığı 60 0C ‘a çıkarılıyor. Sistemin rijitlik matrisi ve
yük vektörünü oluşturarak düğüm deplasmanlarını ve eleman gerilmelerini hesaplayınız. Çözüm: :Eleman rijitlik matrisleri
⎥⎦
⎤11
⎢⎣
⎡−
−××=
11
2009001070 3
1k
⎥⎦
⎤11
⎥⎥⎥
⎦
⎤
= 701θ
⎢⎣
⎡−
−××=
11
300120010200 3
2k
ve genel rijitlik matrisi,
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
800800080011153150315315
10][ 3K
olur. Yük vektörü, ∆T=400C olduğundan (103b)'den,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
××××× −
11
40102390010 63
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
×××××= −
11
40107,11120010200 632θ
200 mm
300 mm
x
1
2
3
AlüminyumE=70 109 N/m2
A=900 mm2
A=23 10-6 1/0C
ÇelikE=200 109 N/m2
A=1200 mm2
A=11.7 10-6 1/0C
P
38
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
tekil yük ile beraber, dir. Kısaca ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+−
−=
32.11230032.11296.57
96.5710 3F
F= 103[-57.96, 245.64, 112.32]T şeklinde yazılabilir. Deplasmanlar, eliminasyon yaklaşımı ile (1 ve 3 nolu düğümler tutulu olduğundan 1. ve 3. Satır ve sütunlar silinerek), 103[1115]Q2 = 103 x 245.64 elde edilir. Buradan Q2 = 0.220 mm bulunur. Böylece deplasman vektörü,
Q = [0, 0.220, 0]T mm
olur. Gerilmeler ise
[ ] 4010231070220.00
11200
1070 633
1 ××××−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−×
= −σ =12.60 MPa
[ ] 40107,11102000220.0
11300
10200 633
2 ××××−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−×
= −σ =-240.27 MPa
olarak hesaplanır. C ***** CUBUK VE KIRIS PROBLEMLERI ***** DIMENSION X(60), A(59), NU(10), U(10), DT(59), S(60,4) DIMENSION F(60),YM(59),ALP(50),STR(59),REAK(10),MOM(59),KES(59) C :::::::::::::::::BOYUTLAR DEGISTIRILIR INTEGER ESD REAL*8 MOM,KES CHARACTER*16 FILE1,FILE2 C **********************************OKUMA PRINT *, 'DOSYA ADI =?' READ '(A)', FILE1 LINP = 5 OPEN (UNIT = 5, FILE = FILE1) READ(LINP,*)ESD, NE, NL, ND NN=NE+1 DO 10 I = 1, NE READ(LINP,*) N, A(N), YM(N), ALP(N), DT(N) 10 CONTINUE DO 11 I = 1, NN READ(LINP,*)N, X(N) 11 CONTINUE DO 12 I = 1, ND READ(LINP,*)NU(I), U(I) 12 CONTINUE DO 13 I=1, NE+1 13 F(I)=0 IF (NL.EQ.0) GO TO 15 DO 14 I = 1, NL 14 READ(LINP,*)N, F(N) PRINT *, 'HER SEY YOLUNDA..............' 15 IF (ESD.EQ.2)THEN NQ=NE+1
39
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
CALL BAR(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,STR,STR1,NQ,NE,U,NU,ND,NL) ELSE NN=NE+1 NQ=2*NN CALL BEAM(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,MOM,KES,NQ,NE,U,NU,ND,NL) END IF PRINT *, 'ISLEM TAMAM,' PRINT *, ' SONUCLAR ICIN DOSYA ADI ?' READ '(A)', FILE2 LOUT = 11 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) 16 FORMAT(I4,E15.4) 17 FORMAT(I4,2E15.4) WRITE(LOUT,18) 18 FORMAT('DUGNO DEPL') WRITE(LOUT,16)(I, F(I),I=1,NQ) IF (ESD.EQ.2) THEN WRITE(LOUT,19) 19 FORMAT('ELEMNO GERILME') WRITE(LOUT,16)(I, STR(I),I=1,NE) ELSE WRITE(LOUT,21) 21 FORMAT('ELEMNO MOMENT KESME_KUV') WRITE(LOUT,17)(I, MOM(I), KES(I), I=1,NE) END IF WRITE(LOUT,22) 22 FORMAT('DUGNO REAKS') WRITE(LOUT,16)(NU(I),REAK(I),I=1,ND) CLOSE(LOUT) PRINT *, 'Sonuclar su dosyada =', FILE2 END C ===CUBUK PROGRAMI===== SUBROUTINE BAR(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,STR,STR1,NQ,NE,U,NU, *ND,NL) INTEGER ESD,YBG DIMENSION S(NQ, ESD),F(NQ),STR(NE),X(NQ),YM(NE),A(NE) DIMENSION ALP(NE),DT(NE),U(10),NU(10),REAK(10) YBG = 2 NN=NE+1 DO 21 I = 1, NN DO 21 J = 1, YBG 21 S(I, J) = 0. C *** Rijitlik *** DO 22 I = 1, NE X21 = X(I+1) - X(I) EL = ABS(X21) EAL = YM(I) * A(I) / EL TL = YM(I) * ALP(I) * DT(I) * A(I) * EL / X21 C *** SISL YUK *** F(I) = F(I) - TL F(I+1) = F(I+1) + TL C *** ELEMAM rijitligi *** S(I, 1) = S(I, 1) + EAL S(I+1, 1) = S(I+1, 1) + EAL S(I, 2) = S(I, 2) - EAL 22 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1)) * 10000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,NQ,ESD) C *** Denklem cozumu *** CALL BAND(S, F, NQ, YBG, ESD, NN) CALL REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NN)
40
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
C *** Gerilme hes *** DO 24 I = 1, NE EPS = (F(I + 1) - F(I)) / (X(I + 1) - X(I)) 24 STR(I) = YM(I) * (EPS - ALP(I) * DT(I)) RETURN END C ===KIRIS PROGRAMI===== SUBROUTINE BEAM(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,MOM,KES,NQ,NE,U,NU, *ND,NL) INTEGER ESD,YBG REAL*8 MOM,KES DIMENSION S(NQ, ESD),F(NQ),MOM(NE),X(NQ),YM(NE),A(NE) DIMENSION ALP(NE),DT(NE),KES(NE),U(10),NU(10),REAK(10) C ** TOPLAM SERBESTLIK ** NN = NE+1 YBG = 4 C *** Genel rijitlik *** DO 31 I = 1, NE I1 = 2 * I - 1 EL = ABS(X(I + 1) - X(I)) EIL = YM(I) * A(I) / EL**3 S(I1, 1) = S(I1, 1) + 12 * EIL S(I1, 2) = S(I1, 2) + EIL * 6 * EL S(I1, 3) = S(I1, 3) - 12 * EIL S(I1, 4) = S(I1, 4) + EIL * 6 * EL S(I1 + 1, 1) = S(I1 + 1, 1) + EIL * 4 * EL * EL S(I1 + 1, 2) = S(I1 + 1, 2) - EIL * 6 * EL S(I1 + 1, 3) = S(I1 + 1, 3) + EIL * 2 * EL * EL S(I1 + 2, 1) = S(I1 + 2, 1) + EIL * 12 S(I1 + 2, 2) = S(I1 + 2, 2) - EIL * 6 * EL S(I1 + 3, 1) = S(I1 + 3, 1) + EIL * 4 * EL * EL 31 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1)) * 10000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,NQ,ESD) C *** Denklem cozumu *** CALL BAND(S, F, NQ, YBG, ESD, NQ) CALL REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NQ) C *** Moment ve Kesme kuvveti hes *** C *** R=0, ELEMANIN ORTA NOKTASI *** R=0 DO 33 I = 1, NE LE=X(I + 1) - X(I) YMM=YM(I)/LE**2 YMV=YM(I)/LE**3 AE=A(I) Q1=F(2*I-1) Q2=F(2*I) Q3=F(2*I+1) Q4=F(2*I+2) MOM(I)=YMM*AE*(6*R*Q1+(3*R-1)*LE*Q2-6*R*Q3+(3*R+1)*LE*Q4) 33 KES(I)=6*YMV*AE*(2*Q1+LE*Q2-2*Q3+LE*Q4) RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, YBG, ESD, N) INTEGER YBG, ESD DIMENSION A(IMAX,YBG), B(IMAX) N1 = N - 1 c *** Eliminasyon *** IF (ESD.EQ.2)THEN N1 = N - 1 DO 12 K = 1, N1
41
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
NBK = N - K + 1 IF (NBK .GT. YBG) NBK = YBG K1 = K + 1 NK1 = NBK + K - 1 DO 12 I = K1, NK1 I1 = I - K + 1 C = A(K, I1) / A(K, 1) DO 13 J = I, NK1 J1 = J - I + 1 J2 = J - K + 1 13 A(I, J1) = A(I, J1) - C * A(K, J2) 12 B(I) = B(I) - C * B(K) ELSE DO 21 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF(NK .GT. YBG) NK = YBG DO 21 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 22 J = I, NK J1 = J - I + 1 22 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 21 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) END IF c *** yerlestirme *** IF (ESD.EQ.2)THEN B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 14 II = 1, N1 I = N - II NBI = N - I + 1 IF (NBI .GT. YBG) NBI = YBG SUM = 0. DO 15 J = 2, NBI 15 SUM = SUM + A(I, J) * B(I + J - 1) 14 B(I) = (B(I) - SUM) / A(I, 1) ELSE B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 3 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 4 J = 2, NK 4 B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) 3 CONTINUE END IF RETURN END C *** Sinir sartlari *** SUBROUTINE SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,ESD) INTEGER ESD DIMENSION S(IMAX,ESD),F(IMAX),U(10),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 1 F(N) = F(N) + CNST * U(I) RETURN END C *** Reaksiyon *** SUBROUTINE REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NQ)
42
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
DIMENSION REAK(10),U(10),F(NQ),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) R = CNST * (U(I) - F(N)) 1 REAK(I) = R RETURN END C ******** KAFES VE CERCEVE PROBLEMLERI ******** DIMENSION X(100,2),NOC(100,4),PM(10,2),ARIN(20,2) DIMENSION NU(50),U(50),TEMP(200),NSET(200) DIMENSION S(200,50),F(200), SE6(6,6),SE4(4,4) C :::::::::::::::::BOYUTLAR DEGISTIRILIR CHARACTER*16 FILE1,FILE2 INTEGER DSD,YBG REAL*8 MOM,KES IMAX = 200 PRINT '(A,$)', 'DOSYA ADI =?' READ '(A)',FILE1 LINP = 5 OPEN (UNIT = 5, FILE = FILE1) READ(LINP,*) DSD,NE,NN,ND,NL,NM,NA,NTEL NQ = DSD * NN C *** YARIBANT GENISLIGI YBG = 0 DO 100 I = 1, NE READ(LINP,*) N,NOC(N,1),NOC(N,2),NOC(N,3),NOC(N,4) C = DSD * (ABS(NOC(N, 2) - NOC(N, 1)) + 1) IF (YBG .LT. C) YBG = C 100 CONTINUE C *** SIFIRLAMA *** DO 110 I = 1, NQ F(NQ) = 0 DO 110 J = 1, YBG S(I, J) = 0 110 CONTINUE READ(LINP,*) (N, X(N, 1), X(N, 2), I=1,NN) READ(LINP,*) (N, PM(N, 1), PM(N, 2),I=1,NM) READ(LINP,*) (N, ARIN(N, 1), ARIN(N, 2),I=1,NA) READ(LINP,*) (NU(I), U(I),I=1,ND) IF( NTEL .EQ. 0 ) GO TO 111 READ(LINP,*) (NSET(I), TEMP(I), I=1,NTEL) 111 READ(LINP,*) (N, F(N), I=1,NL) CLOSE (LINP) PRINT *, 'HER SEY YOLUNDA..............' C *** GLOBAL STIFFNESS MATRIX *** DO 190 N = 1, NE CALL ATA(NE,N,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) C +++ ELEMAN RIJITLIGI +++ IF (DSD.EQ.3)THEN CALL FRAME(JEL,SE6,CS,SN,EL,EIL,EAL) ELSE CALL TRUSS(JEL,SE4,CS,SN,EL,EIL,EAL) END IF C '''''''''YERLESTIRME'''''''''' DO 180 II = 1, 2 NRT = DSD * (NOC(N, II) - 1) DO 180 IT = 1, DSD NR = NRT + IT I = DSD * (II - 1) + IT
43
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
DO 180 JJ = 1, 2 NCT = DSD * (NOC(N, JJ) - 1) DO 180 JT = 1, DSD J = DSD * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF(NC .LE. 0) GO TO 180 IF (DSD.EQ.2) GOTO 179 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE6(I, J) GOTO 180 179 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE4(I, J) 180 CONTINUE IF( NTEL .EQ. 0 ) GO TO 190 DO 151 IJT = 1, NTEL IF( N .NE. NSET(IJT) ) GO TO 151 EE0 = PM(I3, 2) * TEMP(IJT) * PM(I3, 1) * ARIN(I4,1) II1=DSD*I1-DSD+1 II2=DSD*I1-DSD+2 JJ1=DSD*I2-DSD+1 JJ2=DSD*I2-DSD+2 F(II1) = F(II1) - EE0 * CS F(II2) = F(II2) - EE0 * SN F(JJ1) = F(JJ1) + EE0 * CS F(JJ2) = F(JJ2) + EE0 * SN 151 CONTINUE 190 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1) + S(3, 1)) * 100000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,DSD) C *** DENKLEM COZUMU *** CALL BAND(S, F, IMAX, YBG, NQ) PRINT '(A,$)', ' CIKTI DOSYASI =?' READ '(A)',FILE2 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) LOUT = 11 C *** REAKSIYONLAR *** WRITE (LOUT, '(A)') 'SDNO REAKSIYON' DO 220 I = 1, ND N = NU(I) R = CNST * (U(I) - F(N)) WRITE (LOUT,'(I4,E12.4)')N,R 220 CONTINUE IF (DSD.EQ.3) GOTO 209 WRITE(LOUT,'(A)') ' DUGNO X-DEP Y-DEP' WRITE(LOUT,'(1X,I4,2E15.4)') (I,F(2*I-1),F(2*I),I=1,NN) C *** GERILME HESABI *** WRITE(LOUT,'(A)') ' ELEMNO GERILME' DO 192 I = 1, NE CALL ATA(NE,I,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) J2 = 2 * I1 J1 = J2 - 1 K2 = 2 * I2 K1 = K2 - 1 DT = (F(K1) - F(J1)) * CS + (F(K2) - F(J2)) * SN STRESS = DT * PM(I3, 1) / EL DO 182 IJT = 1, NTEL IF(I .NE. NSET(IJT)) GO TO 180 STRESS = STRESS - PM(I3, 1) * PM(I3, 2) * TEMP(IJT) 182 CONTINUE WRITE(LOUT, '(1X,I4,E15.4)') I, STRESS 192 CONTINUE GOTO 34 209 WRITE(LOUT,'(A)') ' DUGNO X-DEP Y-DEP DONME'
44
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
DO 210 I = 1, NN I1 = 3*I - 2 I2 = I1 + 1 I3 = I1 + 2 WRITE (LOUT,'(I4,3E12.4)')I,F(I1),F(I2),F(I3) 210 CONTINUE C *** Moment ve Kesme kuvveti hes *** C *** R=0, ELEMANIN ORTA NOKTASI *** WRITE (LOUT, '(A)') 'ELEMNO MOMENT KESME_KUVVETI' R=0 YVM=0 EL=0 DO 33 I = 1, NE CALL ATA(NE,I,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) YMM=EIL/EL YVM=YMM/EL AE=ARIN(I4,2) Q1=F(3*I1-2)*CS+F(3*I1-1)*SN Q2=-F(3*I1-2)*SN+F(3*I1-1)*CS Q3=F(3*I1) Q4=F(3*I2-2)*CS+F(3*I2-1)*SN Q5=-F(3*I2-2)*SN+F(3*I2-1)*CS Q6=F(3*I2) MOM=YMM*AE*(6*R*Q1+(3*R-1)*EL*Q2-6*R*Q3+(3*R+1)*EL*Q4) KES=6*YMV*AE*(2*Q1+EL*Q2-2*Q3+EL*Q4) 33 WRITE(LOUT, '(1X,I4,2E15.4)') I, MOM, KES CLOSE(LOUT) 34 PRINT *,'SONUCLAR SU DOSYADA =',FILE2 END SUBROUTINE ATA(JE,N,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN, *X,IN) DIMENSION NOC(100,4),PM(10),ARIN(20,2),X(100,2) I1 = NOC(N, 1) I2 = NOC(N, 2) I3 = NOC(N, 3) I4 = NOC(N, 4) X21 = X(I2, 1) - X(I1, 1) Y21 = X(I2, 2) - X(I1, 2) EL = SQRT(X21 * X21 + Y21 * Y21) EAL = PM(I3) * ARIN(I4, 1) / EL EIL = PM(I3) * ARIN(I4, 2) / EL CS = X21 / EL SN = Y21 / EL RETURN END SUBROUTINE FRAME(JEL,SE,CS,SN,EL,EIL,EAL) C ===== EL RIJITLIGI ===== DIMENSION SE(6,6) SE(1, 1) = EAL * CS * CS + 12 * EIL * SN * SN / EL ** 2 SE(1, 2) = EAL * CS * SN - 12 * EIL * CS * SN / EL ** 2 SE(2, 1) = SE(1, 2) SE(1, 3) = -6 * EIL * SN / EL SE(3, 1) = SE(1, 3) SE(1, 4) = -SE(1, 1) SE(4, 1) = SE(1, 4) SE(1, 5) = -SE(1, 2) SE(5, 1) = SE(1, 5) SE(1, 6) = SE(1, 3) SE(6, 1) = SE(1, 6) SE(2, 2) = EAL * SN * SN + 12 * EIL * CS * CS / EL ** 2 SE(2, 3) = 6 * EIL * CS / EL
45
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 21 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 22 J = I, NK J1 = J - I + 1 22 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 21 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) C *** YERLESTIRME *** B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 23 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 23 J = 2, NK 23 B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) RETURN END
47
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
KAFES SİSTEMLERİ
1.GİRİŞ
Kafes sistemler doğru eksenli çubuklardan oluşan taşıyıcı sistemlerdir. Köprüler, çatı
bağlantıları, vinç gövdesi gibi sistemler kafeslere birer örnektir. En çok kullanılan L, U, I
profilli çubuklar, borular ve özel şekillendirilmiş elemanlar, uçlarından mafsallarla,
bağlanırlar. Kafesi meydana getiren çubuklar düzlem içindelerse bunlara düzlemsel kafes
denir. En basit kafes sistem üçgen şeklinde olandır. Üç düğüm ve üç çubuktan oluşur.
Buna temel üçgen sistemi denir. Temel üçgen sistemine iki çubuk daha eklenir ve bunlar
bir düğüm noktasında birleştirilirse yeni bir kafes sistem ortaya çıkar. Basit kafes sistemler
temel üçgen sisteme; üçgenlerin eklenmesiyle oluşmuşlardır. Basit kafes sistemleri
çubuklarla birbirine birleştirilirse birleşik kafes sistemleri elde edilir. Basit ve birleşik
kafes sistemleri dışında kalan sistemlere karışık kafes sistemleri denir (Şekil 1). Kafes
sistemlerinin analizi için çeşitli grafik ve analitik yöntemler bulunmaktadır. Bu bölümde
düzlemsel kafeslerden başlanarak kafes sistemlerinin sonlu elemanlar metodu ile analizi
verilecek daha sonra 3 boyutlu kafesler için bir genellemeye gidilecektir.
Şekil 1. Basit kafes sistemi, birleşik kafes sistemi ve karışık kafes sistemleri
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
2. SONLU ELEMAN FORMÜLASYONU
Kafes yapıları yalnızca iki yönlü yük taşıyan elemanlardan oluşmuş bir yapıdır. Yani
kafesi oluşturan bütün elemanlar yalnızca çekme yada basmaya çalışırlar. Şekil 2’de genel
bir kafes yapısı verilmiştir. Kafes sisteminde yükler birleşme yerlerinden uygulanır ve
elemanlar yalnızca uçlarından sürtünmesiz mafsallarla birbirine bağlanırlar.
Q2i
Q12 Q14 Q16 İ Q2i-1
Q11 Q13 Q156 7 8
Q2 Q3 Q6 Q8 Q10
1 Q1 2 Q3 3 Q5 4 Q7 5 Q9
P1 P2 P3
Şekil 2 Kafes sisteminin sonlu eleman modeli
2.1. Düzlemsel Kafesler
Lokal ve Global Koordinat Sistemleri: Daha önce ele aldığımız tek boyutlu elemanlarla
kafesler arasındaki esas fark, kafes elemanlarının değişik yönelimlere sahip olmasıdır. Bu
farklı yönelimleri açıklayabilmek için yerel ve global koordinat sistemleri tanımlanır.
Basit bir düzlem kafes elemanı Şekil 3’te lokal ve global koordinat sistemlerinde
görülmektedir. Yerel koordinatlarda elemanın düğüm noktaları 1 ve 2 olarak
numaralandırılmıştır. Sistemde elemanın 1 düğümünden 2 düğümüne doğru giden bir x'
ekseni bulunmaktadır. (Bundan sonra yerel koordinat sisteminde verilecek bütün
büyüklüklerde ( ' ) işareti bulunacaktır.) Global x-y koordinat sistemi ise sabittir ve
elemanın doğrultusuna bağlı bağlı değildir. x, y, z koordinat sistemi, z ekseni kağıt
düzlemine dik olmak üzere sağ el kuralına uygun bir diziliş izlemektedir. Global koordinat
sisteminde her düğüm iki serbestlik derecesine sahiptir. Düğümlerin ve serbestlik
derecelerinin numaralandılmasında sistematik bir numaralandırma şekli geliştirilmiştir.
Buna göre global düğüm numarası j olan bir düğümün serbestlik derecesi ve 22 1j− j ile,
buna karşılık gelen genel deplasmanlar ise Q2j-1 ve Qj ile gösterilmektedir (Şekil 2.)
Bölüm 4-22
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
q 1 ve q 2 lokal koordinat sisteminde 1 ve 2 düğümlerinin deplasmanı olsun. Böylece,
yerel koordinat sistemindeki elemanın deplasman vektörü;
[ Tqqq 21 ′′=′ ]
]
θ
θ
(1) şeklinde gösterilir. Genel koordinat sisteminde elemanın deplasman vektörü ( 4x1 )
boyutunda bir vektör olup
[ qqqqqT
4,, 32,1= (2)
şeklindedir. q' ve q arasındaki bağıntı için şekil 3’e bakalım. Deforme olmuş
elemandan x' eksenine q1 ve q2 nin izdüşülerinin toplamı q 1 ye eşittir. Yani,
q q Cos q Sin1 1 2
' = +θ (3a) Benzer şekilde,
q q Cos q Sin2 3 4' = +θ (3b)
Buradan l = Cos θ ve m = Sin θ şeklinde doğrultu kosinüslerini tanımlayabiliriz. Bu
doğrultu kosinüsleri yerel x' ekseninin genel x-y eksenleri ile yaptığı açıların kosinüsleridir.
Böylece (3a) ve (3b) matris notasyonu ile,
q' = [L]q (4) şeklinde yazılabilir. Burada [L] transformasyon matrisi olup,
Bölüm 4-33
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
q’2
q4q3
q’1
θ q2 q1
2
y 1
x
x’
Şekil 3. Global ve lokal koordinat sistemlerinde kafes elemanı
Ll m
l m=
− −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
0 00 0
(5)
şeklindedir. l ve m 'nin hesaplanması: Düğüm koordinatları yardımıyla l ve m doğrultu kosinüslerini
hesaplamak mümkündür. Şekil 4’de görüldüğü gibi bir kafes elemanda, düğüm
koordinatları ( x1,y1 ) ve ( x2,y2 ), olmak üzere doğrultu kosinüsleri,
lx x
le=
−2 1 my y
le=
−2 1 (6)
şeklinde yazılabilir. le uzunluğu ise,
l x x y ye = − − −( ) (2 12
2 12) (7)
dir.
2 (x2,y2)
le
φ (y2-y1) θ(x1,y1) 1 (x2-x1)
Şekil 4. Doğrultu kosinüsleri
Bölüm 4-44
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Elemanın Rijitlik Matrisi: Kafes elemanı lokal koordinat sisteminde bakıldığında tek
boyutlu bir çubuk elemandır. Bu nedenle burada daha önce çubuk eleman için geliştirilen
rijitlik matrisi kullanılabilir. Lokal koordinat sistemindeki bir eleman için rijitlik matrisi,
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡′
1111.
--
lAE
=ke
ee (8)
ile verilmektedir. Burada Ae elemanın kesit alanı, Ee ise elastisite modülüdür. Buradan
global koordinat sistemindeki elemanın rijitlik matrisi için, elemandaki şekil değiştirme
enerjisinden hareket edilir. Öncelikle yerel koordinatlardaki şekil değiştirme enerjisi,
[ ] '''
21 qkqU TT
e = (9)
dır. q' = [L].q dönüşümü ile,
[ ][ ] [ ][ qLkLqU TTe
'
21
= ] (10)
elde edilir. Kısaca,
Ue = [ ] qkq T
21 (11)
şeklinde yazabiliriz. Burada [k] genel koordinatlardaki elemanın rijitlik matrisi olup,
[ ] [ ] [ ] [ ]LkLk T '= (12) şeklinde elde edilir. (5)’teki [L] ve (8)’deki [k]' yerine konursa eleman rijitlik matrisi
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mlmm-lm-lmllm-l-m-lm-mlmlm-llml
lEA
k2
2
e
ee-
22
22
2
2
..
(13)
elde edilir.
Gerilme Hesapları: Kafes elemanın yerel koordinatlar yalnızca çekme ve basınca çalışan
bir boyutlu çubuk eleman olduğunu yeniden hatırlanırsa, elemandaki gerilme,
εσ .eE= (14)
dir. Şekil değiştirme, orijinal boyun birim uzunluğundaki değişiklik olduğundan,
Bölüm 4-55
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=2
112''1''
qq1 -
lE
=l
qqEe
e
eeσ (15)
elde edilir. q'=[L].q olduğundan,
[ ] ][ qL1- 1lE
e
e=σ (16)
yazılabilir. Böylece,
][ qmlmllE
e
e −−=σ (17)
elde edilir. Elde edilen gerilme pozitif ise elemanın çekiye çalıştığı, negatif ise elemanın
basıya maruz olduğunu anlaşılır.
Örnek: Şekilde verilen 4 çubuklu kafes sisteminde E=29.5x106 N/cm² ve tüm elemanların alanı Ae=1 cm² olduğuna göre (a) Eleman rijitlik matrislerini, (b) Genel rijitlik matrisini, (c) Eliminasyon metodunu kullanarak deplasmanları, (d) Elemanlardaki gerilmeleri ve (e) Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.
Çözüm: (a) Eleman süreklilik bilgileri ve düğüm koordinatları aşağıda verilmiştir. Eleman düğüm numaralarının sıralamasında öncelik önemli değildir. Yani 2. elemanın düğüm numarası sırasını 2-3 yazılabileceği gibi 3-2 de yazıla. Örnek olarak 3 nolu elemanın doğrultu kosinüsleri,
( ) 0.8=1270
0-1016=-= 13
lexxl
30mm
40mm20 000 N
25 000 NQ8
Q7
Q6
Q5
Q4
Q3
4 3
2
1
Q2
Q1
1
4
3 2
y
x
( )0.6=
12700-762=
-= 13
leyy
m olarak hesaplanır. Diğer elemanların doğrultu kosinüsleri ve
eleman boyları aynı şekilde hesaplanır. Bu değerler de tabloda verilmiştir. Eleman No Düğüm 1 Düğüm 2 le l m Düğüm No: x y
Şekilden görüldüğü gibi 1 ve 4 düğümlerinde her iki serbestlik derecesi 2 düğümünde ise y yönündeki serbestlik derecesi sıfırdır. Bunlar da Q1, Q2, Q4, Q7 ve Q8 deplasmanlarına karşılık gelmektedir. Böylece indirgenmiş sonlu eleman denklemi,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000 25 -0000 20
= 32,2476,50
76,568,2200015
6001029.5x
6
5
36
QQQ
olur. Denklemlerin çözümü ile
cm 10 3-22.25x-
10 3-x10 3-27.12x
= QQQ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫65.5
6
5
3
elde edilir. Genel deplasman vektörü,
[ ] cm 00,,3-22.25x10-,3-5.65x100,,3-27.12x100,0, = QT
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ]σ1
6
329 5 10
401 0 1 0
00
2712 100
=×
−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
−
.. x
=20 kN/cm²
[ ]σ2 = 29.5x10
30 0 1 0 - 1
5.65x10- 22.25x1027.12x10
0
6
-3
-3
-3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=-21.9 kN/cm²
ve benzer şekilde σ3 = 5.21 kN/cm² σ4 =4.2 kN/cm² olarak hesaplanır. (e) Son olarak mesnet reaksiyonları R=[K]Q-F yardımıyla hesaplanır. Bu mesnet tepkilerini bulmak için formülasyonda [K] nın mesnetlere karşılık gelen satır ve sütunları yeterlidir. Tutulu düğümlere karşılık gelen serbestlik dereceleri 1,2,4,7 ve 8 olduğundan ve bu düğümlerde kuvvet bulunmadığından
1
2
4
7
8
6
3
3
29 5 10600
22 68 5 76 0 05 76 4 32 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 15 00 0 0 0 0 0 0 0
00
27 12 100
565 10
00
RRRRR
x
x
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
−
−=x
- 15 0 - 7,68 - 5,760 - 5,76 - 4,32
20 0 - 200 - 15
- 22.25x10-3
.
, ,, ,
.
.⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
elde edilir. Buradan da 0 25 000 N
4 167 N
15 833 N 20 000 N
3 126 N 21 879 N
1
2
4
7
8
=
-158333126
21879- 4167
0
N
RRRRR
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
bulunur. Kafes sisteminin serbest cisim diyagramı şekilde verilmiştir.
2.2. Sıcaklığın Etkisi
Daha önce lokal koordinatlarda kafes elemanının çubuk eleman olarak ele alınabileceğini
görmüştük. Buna göre, çubuk elemandaki sıcaklık yükü,
1
1..' 0−= εθ ee AE (18)
idi. Buradaki sıcaklık değişiminin neden olduğu başlangıç şekil değişimi;
Bölüm 4-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
T∆= .0 αε (19)
dir. Herhangi bir yapıda başlangıç şekil değişimi yalnızca sıcaklık sebebiyle değil çeşitli
şekillerde (ön gerilme, fabrikasyon hataları vb) ortaya çıkabilir.
Sıcaklık yük vektörünün genel koordinat sistemindeki ifadesi için, potansiyel enerji yerel
veya genel koordinat sistemlerinde büyüklük olarak aynı olduğundan,
θθ TT q= q '' (20)
şeklinde yazılabilir. Diğer taraftan q'=[L].q olduğundan
[ ] θθ TTT q = L q ' (21)
elde edilir. Görüldüğü gibi yerel koordinatlardaki yük vektörü ile global koordinatlardaki
yük vektörü doğrultu kosinüsleri ile orantılı olmaktadır. Yani,
' ][= T θθ L (22)
Ya da,
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−−
=
mlml
AE eee ... εθ (23)
olarak elde edilir. Sıcaklık yükü, uygulanan diğer kuvvetlerle toplanarak genel yük vektörü
elde edildikten sonra bilinen tarzda deplasmanlar elde edilir. Gerilmeler ise,
).( 0εεσ −= E (24)
ifadesinden elde edilmektedir. (17)’yi ve T∆= .0 αε eşitliğini de kullanarak,
[ ] TE-q mlm -l - lE
ee
e ∆ασ = (25)
açık bir şekilde elde edilir.
Bölüm 4-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Örnek: Şekilde verilen 4 çubuklu kafes sisteminde E=29.5x106 N/cm² ısıl genleşme katsayısı α=6.7 10-6 1/0C ve tüm elemanların alanı Ae=1 cm² olduğuna göre (a) 2 ve 3 numaralı elemanların sıcaklıklarında 500C lık bir artış olması durumunda eliminasyon yaklaşımını kullanarak gerilme ve deplasmanları hesaplayınız. (b) 2 düğümünün verilen yükler altında 0.12 cm’lik bir hareketine müsaade edildiğine göre penaltı yaklaşımını kullanarak denge denklemlerini elde ediniz.
30mm
40mm
∆T= 500C
3
21 1
4
3 2
y
0.12 cm
25 000 N
2
y
x
(a) (b)
20 000 N
Çözüm: (a) Eleman rijitlik matrisleri önceki örnekte elde edilmişti. Burada yalnızca sıcaklık yük vektörü elde edilecektir. (23) kullanılarak 2 ve 3 elemanlarındaki sıcaklık yükleri,
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
= −
1010
107.650105.29
6
6
2 xxxθ
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−−
= −
6.08.06.08.0
107.650105.29
6
6
3 xxxθ
olur. Genel yük vektörü elde edildikten sonra eliminasyon yaklaşımına göre tutulu serbestlik derecelerine karşılık gelen satır ve sütunlar silinerek denge denklemi,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3.157337.7866
0
32.2476.5076.568.2200015
600105.29
6
5
36
QQQ
x
elde edilir. Buradan genel deplasman vektörü,
[ cm 00,,3-x10,3-.9x100,,0,0, = QT
2.1230 ] elde edilir. Elemanlardaki gerilmeler (25)’den hesaplanır. Örnek olarak 2. Elemandaki gerilme,
[ ]6
66
2 107.650105.29
00
0122.00039.0
101030
105.29−
×−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−×
=x
xσ =8631 N/cm²
elde edilir. Diğer gerilmeler aynı şekilde σ1 = 0, σ3 = -3643 N/cm² , σ4 =2914 N/cm² olarak hesaplanır. (b) Penaltı yaklaşımında tanımlı serbestlik derecelerine karşlık gelen diyagonal elemanınan büyük bir C sayısının eklendiğini ve bunun genel rijitlik matrisinin en büyük elemanının 104 katı kadar alınabileceğini görmüştük. Aynı şekilde a tanımlı deplasman olmak üzere kuvvet vektörüne de Ca sayısının eklendiğini biliyoruz. Burada 4 numaralı serbestlik derecesinin deplasmanı 0.12 cm olduğundan 4 numaralı kuvvet elemanına 0.12C’nin eklenmesi gerekecektir. Bu durumda düzeltilmiş sonlu eleman denklemi
Bölüm 4-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
yazılabilir. Burada [k]e Eleman direngenlik matrisi ise
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
=
22
22
3
4626612612
2646612612
eeee
ee
eeee
ee
ee
llllll
llllll
lEIk (29)
şeklindedir. Galerkin yaklaşımında ise genel denklemdeki şekil değiştirme terimi,
qrdHd
rdHd
lEI
dxd
dxdEI
T
e
T⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
2
2
2
42
2
2
2 16Ψυφ (30)
olarak yazılır. Burada elemandaki virtüel deplasman vektörü,
Bölüm 5-77
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ T4321 ,,, ΨΨΨΨΨ = ] (31)
dir. [ ] qH=υ ve ψφ H= dönüşümleri yapılırsa, eleman için virtüel iş
olur ve buradan potansiyel enerji yaklaşımı ile aynı eleman rijitlik matrisi elde
edilir.
[ ] qk eTψ
2.1 Yük Vektörü
Öncelikle potansiyel enerji denklemindeki yayılı yük terimini ele alalım. Yük eleman
üzerinde düzgün dağıldığını kabul edersek,
[ ] qrdHpl
pvdxel
e∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
1
12 (32)
elde edilir. Şekil fonksiyonlarını kullanarak integral alınırsa,
∫ =el
Te qfdxpυ (33)
elde edilir. Burada yük vektörü
T
eeeee
plplplplf ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2,
2,
2,
2
22
(34)
şeklindedir. Bir eleman üzerindeki düzgün dağılımlı yayılı yük ve bunun düğümlere
dağılışı şekil 5’te verilmiştir. Aynı sonuç Galerkin formülasyonu için terimi
hesaplanarak da elde edilir. Tekil kuvvetler( ) ve momentler( ) uygulandığı noktadan
daha önce gösterildiği şekilde eleman süreklilikleri dikkate alınarak genel yük vektörüne
ilave edilir. Böylece sistemin potansiyel enerji eşitliği
∫edxpφ
Pm M k
[ ] ∏ −= FQQKQ TT
21 (35)
olur.Galerkin yaklaşımından ise, (36) [ ] 0=− FQK TT ΨΨ elde edilir. Burada ψ genel virtüel deplasman vektörüdür.
Bölüm 5-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
ple/2 ple/2
ple2/12 -ple
2/12 1 e 2
p
1 2le
Şekil 5. Bir eleman üzerinde yayılı yük
2.2 Sınır Şartları
Genel olarak herhangi bir m serbestlik derecesi için tanımlı yer değiştirme olarak
verilmiş olsun. Penaltı yaklaşımınına göre genel potansiyel enerji eşitliğine
a
( ) ( )[ ]22/1 aQC m − kadarlık bir enerji terimi, Galerkin formülasyonunun sol tarafına da
( aQC mj − )ψ ’ kadarlık bir virtüel iş terimi eklenmesi gerekir. C kiriş rijitliğine göre çok
büyük bir değerdir. Bunun sonucunda genel rijitlik matrisinin Kmm elemanına C değeri,
genel kuvvet vektörünün Fm elemanına da Ca yükü ilave edilmiş olur (Şekil 6). Böylece
genel sonlu eleman eşitliğnden
[ ] FQK = (37)
elde edilmiş olur. Bu denklemlerin çözümünden genel deplasman vektörü elde edilir. Daha
sonra mesnet reaksiyonları hesaplanabilir.
j C
Ca SD=2j
Ca
i
C
SD=2i-1
a=tanımlı deplasman
Şekil 6. Bir kiriş için sınır koşulları
Bölüm 5-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
2.3 Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti
Eğilme momenti ve kesme kuvveti denklemleri ( [ ] qHvedx
dMVdx
dEIM === υυ ,2
)
kullanılarak, eleman için eğilme momenti ve kesme kuvveti değerleri elde edilebilir.
( ) ( )[ 43212 136136 qlrqrqlrqrlEIM ee
e
++−−+= ] (38)
( 43213 226 qlqqlqlEIV eee
+−+= ) (39)
Bu eğilme momenti ve kesme kuvveti eşitlikleri eşdeğer düğüm yüklerinin kullanılmasıyla
elde edilmiştir. Denge ve reaksiyon kuvvetlerini ve ile göstererek, R R R1 2 3, , R4
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
2
2
2
2
4626612612
2646612612
2
2
4
3
2
1
22
22
3
4
3
2
1
e
e
e
e
eeee
ee
eeee
e
e
pl
pl
pl
pl
qqqq
llllll
llllll
lEI
RRRR
(40)
şeklinde elde edilir. Görüldüğü gibi sağ taraftaki ilk terim [ ] qk e dur. İkinci terim ise
yalnızca üzerinde yayılı yük bulunan elemanlara ilave edilir. Bu terim aynı zamanda sabit-
uç reaksiyonları olarak isimlendirilir. Elemanın iki ucundaki kesme kuvvetleri, V ve
tür. Uç dönme momentleri ise
R1 = 1
R3V2 = − M R1 2= − ve M R2 4= olmaktadır.
Örnek: Şekilde verilen üç açıklıklı kirişin çökme eğrisini tespit ediniz ve mesnetlerdeki reaksiyonları hesaplayınız. (E=30x106 N/cm2, I=305 cm4) Çözüm: Kirişin sonlu eleman modeli şekilde verilmiştir. Q1, Q5, Q7 ve Q9 deplasmanları 0 dır. Hesaplanacak deplasmanlar Q2, Q3, Q4, Q6, Q8, Q10 dur.
1. ve 2. Elemanlar aynı olduğundan eleman rijitlik matrisleri ve genel vektördeki yerleri,
Bölüm 5-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
genel denklemde yerleştirilir ve eliminasyon yaklaşımı uygulanırsa,
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×⋅
4320043200
050000
3.491441.245720001.245723.860081843200
01843295904147600014764.981476000147659040
8847363041030
10
8
6
3
2
6
qqqqq
elde edilir.
Buradan deplasmanlar, Q=[0, -3.61x10-4, -1.3x10-2, 3.29x10-5, 0, 2.29x10-4, 0, -1.4x10-4, 0,1.56x10-4]T olarak bulunur. Reaksiyon kuvvetleri ise R=[2, 3.5, 3.23, 3.45] kN olarak elde edilir. Herhangi bir elemanın istenen bir noktasındaki deplasmanlar şekil fonksiyonları yardımıyla bulunur. Örnek olarak 4. Elemanın orta noktasını alalım. Burada r=0 alınarak, [ ] QH=υ yardımıyla, 10482 2/02/0 QHlQHl ee +++=υ yazılır. Buradan, v=-5x10-3 cm hesaplanır.
2.4 Elastik Mesnetler Üzerindeki Kirişler Pek çok mühendislik uygulamasında kirişler elastik elemanlarla mesnetlenir. Miller çeşitli
rulmanlı yataklarla mesnetlenirken, büyük kirişler doğrudan elastik cidarlar üzerine inşaa
edilirler. Örneğin toprak üzerine inşaa edilmiş kirişlerin mesnetleri Winkler Temeli olarak
adlandırılan geniş bir çalışma konusunu oluşturmaktadır. Tek sıralı bilyalı yataklamalarda
her bilyanın mile karşılık gelen yeri bir düğüm olarak değerlendirilir ve genel rijitlik
matrisinin diyagonalinde, düğümün düşey serbestlik derecesine karşılık gelen elemana
kayma rijitliği (kB) ilave edilir (Şekil 7). Silindirik rulmanlı yataklar ve kaymalı yataklarda
ise dönme rijitliği aynı şekilde hesaba katılmalıdır. Geniş kaymalı yataklar ve Winkler
temeli türündeki mesnetlerde birim uzunluğun (s) rijitliği hesaba katılır. Mesnet uzunluğu
boyunca toplam potansiyel enerji eşitliğine,
Bölüm 5-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Rulman
kB
ElastikMesnet
Birim boyun rijitliği=s
ls
Şekil 7 Elastik mesnet
12
2
0
s dxl
υ∫ (41)
terimi ilave edilmelidir. Galerkin yaklaşımında, bu terim dir. Sonlu eleman
modeli ele alınarak
dxsl
∫0φυ
[ ] qH=υ dönüşümü yapıldığında bu ifade,
[ ] [ ] ∑ ∫e e
TT qdxHHsq21 (42)
olur. Bu toplamda rijitlik terimi,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]drHHls
dxHHsk T
e
eTse ∫∫
+
−− ==
1
12 (43)
şekilindedir. İntegrasyon yapıldığında,
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=−
22
22
422313221561354313422135422156
420
eeee
ee
eeee
ee
ese
llllll
llllll
lsk (44)
elde edilir. Elastik bir mesnet üzerinde bulunan elemanların rijitlik matrislerine mesnetin
elastikiyetinden doğan bu rijitlik matrisinin eklenmesi gerekir.
3. DÜZLEM ÇERÇEVELER
Düzlem çerçeveler kafes sistemlerinde görülen yapılardan farklı olarak uçlarından birbirine
rijit olarak birleştirilmiş elemanlardan oluşur. Düzlem çerçevelerin kirişlerden olan farkı
Bölüm 5-1212
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
ise eksenel yük ve deplasmalara da sahip olmalarının yanında yatay duran kirişlere nazaran
düzlem çerçeve elamanları düzlem içinde farklı doğrultularda da bulunabilmeleridir (Şekil
8). q5’ q5 q4’
θ q4
q6 (q6’) x’
y’
q2’ q2 q1’
q1 y q3 (q3’) x
Şekil 8 Çerçeve elemanı
Görüldüğü gibi her düğümde iki ötelenme bir de dönme deformasyonu bulunmaktadır. Bu
durumda eleman deplasman vektörü,
[ Tqqqqqqq 654321 ,,,,,= ] (45)
olur. Burada, kafes yapılarındakine benzer şekilde lokal ( x y' , ' ) ve global (x, y) koordinat
sistemleri olarak iki koordinat sistemi tanımlanması gerekmektedir. x' doğrultu kosinüsleri
ve olan elemanın ekseni doğrultusundaki (1-2 doğrultusu)
lokal ekseni göstermektedir. Lokal sistem içindeki düğüm yer değiştirme vektörü
l m (l m= =cos , sinθ )θ
]
3 6
[ Tqqqqqqq '6
'5
'4
'3
'2
'1 ,,,,,=′ (46)
şeklindedir. Dönme serbestlik derecelerinin herhangi bir transformasyonu
gerekmediğinden ve q dır. Bu durumda lokal-global koordinat dönüşümünü q q3' = q6
' =
(47) [ ] qLq =' olarak tanımlayabiliriz. Burada transformasyon matrisi,
Bölüm 5-1313
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
1000000000000000010000000000
lmml
lmml
L (48)
şeklindedir. ve deformasyonları kirişte ele alınan serbestlik derecelerinin
aynısıdır. ve q ise çubuk elemandaki (bkz. Bir Boyutlu Problemler) yer değiştirmelere
benzemektedir. Çubuk ve kiriş elemanlardan gelen bu iki rijitlik matrisini birleştirir ve
serbestlik derecelerine göre düzenlersek çerçeve elemanın lokal rijitlik matrisi,
'5
'3
'2 ,, qqq q6
'
q1'
4'
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
=
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
k e
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
' (49)
olarak elde edilir. Kafes elemanlarda verildiği gibi eleman şekil değiştirme enerjisi,
[ ] [ ] [ ] [ ] qLkLqqkqU eTT
eT
e''
21''
21
== (50)
şeklindedir. Galerkin yaklaşımında ise eleman dahili virtual işi [ ] [ ] [ ] qLkqkW e
Te
Te
'' '' ψψ == (51) dir. Burada, ve ψ ' ψ sırayla lokal ve global koordinat sistemleri içinde virtual düğüm
yer değiştirmeleridir. Her iki yaklaşımda da global koordinat sistemindeki eleman rijitlik
matrisi,
(52) [ ] [ ] [ ] [ ]LkLk e
Te
'= olarak elde edilir. Sonlu eleman program uygulaması içinde, rijitlik matrisi yerel olarak
elde edildikten sonra bu dönüşümle global koordinatlardaki rijitlik matrisine ulaşılabilir.
Bölüm 5-1414
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Eleman üzerinde bir yayılı yük varsa, yük dağılımı yerel koordinatlarda kiriş elamanı ile
aynı olmak üzere (Şekil 9),
[ ] ''' fLqfq TTT = (53)
dönüşümü yazılabilir. Yerel koordinatlardaki eleman kuvvet vektörü ise,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
12,
2,0,
12,
2,0'
22eeee plplplpl
f (54)
şeklindedir. p yayılı yükü nedeniyle meydana gelen düğüm yükleri global koordinatlara, (55) [ ] 'fLf T=
ile dönüştürülür. Elde edilen yükler bilinen yöntemlerle genel yük vektörüne ilave edilir. y’
yönünün + yön olarak alındığına dikkat edilmelidir. Tekil yükler ve kuvvet çiftleri ile
eksenel yükler doğrudan serbestlik dereceleri dikkate alınarak global yük vektörüne ilave
edilerek genel sonlu eleman denklemi,
[ ] FQK = (56)
olarak elde edilir. Sınır şartları penaltı yaklaşımı ile uygulanarak deplasmanlar elde dilir.
x’
2
p y
y’ ple/2 -ple
2/12le
θ x 1
ple/2
-ple2/12
Şekil 9. Bir düzlem çerçeve elemanı üzerinde yayılı yük
Bölüm 5-1515
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Örnek: Şekilde verilen düzlem çerçeve için düğüm noktalarındaki deplasmanları hesaplayınız. Çözüm: Sonlu eleman modeli şekilde verilmiştir. 1 ve 4 numaralı düğümlerde bütün deplasmanlar 0 olduğundan eliminasyon yaklaşımında bu SD’lerine karşılık gelen satır ve sütunlar silinecektir. Bu nedenle deplasmanların numaralandırılmasında bu SD’lerine yer verilmemiştir. Eleman bilgileri ve doğrultu kosinüsleri
e le (cm) I(cm4) A(cm2)1 268.3 305 15 2 240 125 7.5 3 268.3 305 15
e l m 1 0.447 0.894 2 0 1 3 0.447 0.894
olarak bulunur. 2. Eleman düzleme paralel olduğundan herhangi bir transformasyona gerek yoktur bu
nedenle eleman rijitlik matrisi
[ ] [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
−
==
625006.390312506.39006.39325.0006.39325.00
0075.930075.93312506.390625006.390
06.39325.0006.39325.000075.930075.93
1042
'2 kk olur.
1. ve 3. Elemanlarda ise dönüşüm gereklidir. Yerel koordinatlarda eleman rijitlik matrisleri,
Buradan deplasmanlar, Q=[0, 0, 0, 4.489x10-3, -1.191x10-2, -2.906x10-3, -4.489x10-3, 1.191x10-2, 2.906x10-3, 0, 0, 0]T olarak elde edilir. Bu bölümde simetrik kesitli kirişler ve düzlem çerçeveler işlenmiştir. Gerçek mühendislik
uygulamalarında ise çok daha karmaşık problemlerle karşılaşılır. Örnek olarak mafsallarla
bağlanmış düzlem çerçeveli mekanizmalar, simetrik olmayan kirişler, uzay çerçeveler,
eksenel yük altında kirişlerin burkulması, kayma gerilmeleri ve büyük plastik
deformasyonlar alınabilir. Bu tür problemlerin analizi ve formülasyonu için daha ileri
Sonlu Elemanlar Metodu kitaplarına, ileri mukavemet ve Elastisite ve Platisite teorisi gibi
konulara bakılması tavsiye edilir.
4. UZAY ÇERÇEVE ELEMANI
Uzay çerçeve elemanında her düğümde 6 olmak üzere toplam 12 serbestlik derecesi vardır
elde edilir. jiijjiij yyyvexxx −=−= şeklinde bir dönüşüm uygulanırsa,
3231332313 ysyryyxsxrxx ++=++= (15c)
elde edilir. Görüldüğü gibi (12) u ve v’nin doğal koordinatlardaki ifadesini verirken (15c)’
de x ve y’nin doğal koordinatlarla ilişkisini göstermektedir.
Örnek: Şekilde gösterilen üçgen eleman için P noktasındaki N1, N2, N3 şekil fonksiyonlarını hesaplayınız. Çözüm: (15)’de verilen isoparametrik gösterimi kullanarak;
denklemleri yazılır. Bu iki denklemden 15.035.2 =− sr 2.25.35 =+ sr
eşitlikleri elde edilir. Buradan da r=0.3, s=0.2 hesaplanır. Bu durumda şekil fonksiyonları N1 = 0.3, N2 = 0.2 ve N3 = 0.5 olur.
Şekil değiştirmelerin hesaplanmasında, u ve v’nin x ve y’ye göre kısmi türevleri gereklidir.
(12) ve (15) eşitliklerinden deplasman ve koordinatların r ve s’nin fonksiyonları olduğu
görülür. Yani ( ) ( )( )srysrxuu ,,,= ve benzer şekilde ( ) ( )( )srysrxvv ,,,= dir. u’nun kısmi
türevi için zincir kuralı kullanılarak ry
yu
rx
xu
ru
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+= ve sy
yu
sx
xu
su
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+= eşitlikleri
elde edilir, matris notasyonunda ise,
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
yuxu
sy
sx
ry
rx
suru
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
(16)
şeklinde yazılabilir. Buradaki (2x2)’lik kare matris dönüşümünün jakobiyeni olarak
adlandırılır.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
sy
sx
ry
rx
J
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
][ (17)
Bölüm 6-77
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
x ve y’nin türevi alınarak,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2323
1313][yxyx
J (18)
elde edilir. (16)’dan,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−
suru
J
yuxu
∂∂∂∂
∂∂∂∂
1][ (19)
yazılabilir. Burada [J]-1 ise
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
1323
13231
]det[1][
xxyy
JJ (20)
13232313]det[ yxyxJ −= (21)
dir. Üçgen alan bilgilerinden, det[J]’nin büyüklüğünün; üçgenin alanının iki katı olduğu
görülür. Eğer 1, 2, 3 noktaları saat ibresinin tersi yönünde olursa det[J] pozitif çıkar. Bu
durumda üçgenin alanını,
A =12
det J (22)
olarak yazmak mümkündür.
Örnek: Önceki örnekte verilen üçgen eleman için [J] matrisini hesaplayınız.
Çözüm: , det[J]=23.75 birim. Bu durumda üçgenin
alanı da 11.875 birimkare olur.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5.30.30.55.2
][2323
1313
yxyx
J
(19) ve (20)’den,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
sux
rux
suy
ruy
Jyuxu
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
1323
1323
det1 (23a)
yada v için,
Bölüm 6-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
svx
rvx
svy
rvy
Jyvxv
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
1323
1323
det1 (23b)
elde edilir. (5)’te verilen şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi ile beraber (12b) ve
(23)’ten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (
ε
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
=
+
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=− − −
− − + −− − + − + − − −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
uxvy
uy
vx
J
y q q y q qx q q x q qx q q x q q y q q y q q
1 23 1 5 13 3 5
23 2 6 13 4 6
23 1 5 13 3 5 23 2 6 13 4 6
det ) (24a)
elde edilir. xij ve yij tanımından y31=-y13 ve y12=y13-y23 gibi düzenlemeler yapılabilir. Bu durumda
ε =+ ++ ++ + + + +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 23 1 31 3 12 5
32 2 13 4 21 6
32 1 23 2 13 3 31 4 21 5 12 6
det J
y q y q y qx q x q x qx q y q x q y q x q y q
(24b)
elde edilir. Matris formunda ise,
][ qB=ε (25) yazılabilir. Burada [B]; üç adet şekil değiştirmenin, altı adet düğüm yer değiştirmeleri ile
ilişkisini belirleyen (3x6)’lık eleman şekil değiştirme-deplasman matrisi olup
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
122131132332
211332
123123
000000
det1][
yxyxyxxxx
yyy
JB (26)
şeklinde elde edilir. Görüldüğü gibi [B] matrisinin bütün elemanları düğüm
koordinatlarından elde edilen sabit terimlerdir.
Örnek: Şekil’de gösterilen elemanlar için, köşelerde verilen lokal düğüm numaralarını kullanarak [B] matrislerini hesaplayınız.
Çözüm: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
122131132332
211332
123123
1 000000
det1][
yxyxyxxxx
yyy
JB
12
3 12
3
e=2
e=1
2 cm
3 cm
Bölüm 6-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[B]1=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
200323003030020002
61
(detJ ( )( ) ( )( )x y x y13 23 23 13 3 2 3 0 6− = − = olarak hesaplanır.) Köşelerdeki lokal numaraları
kullanarak ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
200323003030020002
61][ 2B elde edilir.
3.2 Potansiyel Enerji Yaklaşımı İle Eleman Rijitliğinin Hesabı
Sistemin potansiyel enerjisi
∑∫∫∫ −−−= iT
iLT
AT
AT PutdTutdAfutdAD ][
21
lεεΠ (27)
eşitliği ile verilmektedir. Son terimde i, Pi yükünün uygulandığı düğümün numarasını
göstermekte olup tekil yük Ρi=[Ρx,Ρy]iT, şeklindedir. Şekil 2’de gösterilen üçgen elemanı
kullanarak toplam potansiyel enerji,
iT
iiL
T
ee
Te
T
ePutdTutdAfutdAD ][
21 ∑∫∑∫∫∑ −−−= lεεΠ (28a)
veya,
iT
iiL
T
ee
T
ee PutdTutdAfuU ∑∫∑∫∑ −−−=Π l (28b)
olarak elde edilir. Burada tdADUe
Te εε ][
21∫= eleman şekil değiştirme enerjisidir. Şekil
değiştirme için, (25)’de verilen şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisinden elemanın şekil
değiştirme enerjisi
tdAqBDBqU TTe ]][[][
21∫= (29a)
[D] ve [B] matrisleri sabit olduğundan, eleman kalınlığı te’yi eleman üzerinde sabit alarak,
( ) ]][[][21 qdAtBDBqU e
TTe ∫= (29b)
eşitliği yazılabilir. olarak elemanın alanını verdiğinden, dA Ae=∫
Bölüm 6-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
]][[][21 qBDBAtqU T
eeT
e = (29c)
ve eleman rijitlik matrisinin tanımlanmasıyla
][21 qkqU e
Te = (29d)
elde edilir. Eleman rijitlik matrisi bu durumda,
[ ] ]][[][ BDBAtk Teee = (30)
olarak elde edilir. Daha önce belirtilen [D] uygun malzeme matrisi alınarak düzlem
gerilme veya düzlem şekil değiştirme için eleman rijitlik matrisi elde edilebilir. Eleman
rijitlik matrislerinin uygun şekilde toplanmasıyla potansiyel enerji ifadesi (29d)
[ ] QKQU Te 2
1= (31)
olarak elde edilir. Elde edilen global rijitlik matrisi simetriktir, bant formda ve
elemanlarının çoğu sıfır olan bir matristir. i1, i2 ve i3, e elemanının düğüm numaraları
olmak üzere; eleman düğüm numaraları arasındaki maksimum fark
(m i i i i ie = − − −max , ,1 2 2 3 3 1 )i (32a)
ile hesaplanır. Buradan genel rijitlik matrisinin bant genişliği de,
( )[ ]1max2
1+=
≤≤ eESemYBG (32b)
olarak verilir. Burada ES eleman sayısı, 2 ise herbir düğümün serbestlik derecesidir. K
global rijitliği bütün serbestlik derecelerinin serbest olduğu bir formdadır ve bu nedenle de
tekildir. Sınır şartlarının hesaba katılması için bu matrisin değiştirilmesi gerekmektedir.
3.2.1 Kuvvet Terimleri
(28b) de verilen toplam potansiyel enerji ifadesinden ilk olarak kütle kuvvet terimini
( ) ele alalım. Kuvvet ve deplasmanlar doğrultulara göre ayrıldığında, tdAfu T ∫
( )dAvfufttdAfue
yxee
T ∫∫ +=
Bölüm 6-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. (12a) da verilen interpolasyon denklemlerinden
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫∫∫∫ dANftqdANftqdANftqtdAfu
exe
eye
exe
e
T231211
+ (33) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∫∫∫ dANftqdANftqdANftqe
yee
xee
ye 363524
olur. Şekil 4’de gösterilen, bir üçgen eleman üzerindeki şekil fonksiyonun tanımından,
, ifadesinin AdANe∫ 1 e taban alanı ve bir köşesinin yüksekliği bir birim olan bir prizmanın
hacmini verdiği görülür. Diğer taraftan böyle bir prizmanın hacminin (1/3 x Taban alanı x
Yükseklik) olduğunu biliyoruz (Şekil 6). Bu durumda
ee
i AdAN31
=∫ (34)
dır. Aynı şekilde; N dA N dA Ae e
e2 313∫ ∫= = olur. Böylece (33)
e
T
e
T fqtdAfu =∫ (35)
formunda yazılabilir. Burada fe, elemanın kütle kuvvet vektörüdür ve şu eşitlikle
tanımlanır,
[ Tyxyxyx
eee ffffff
Atf ,,,,,
3 = ] (36)
12
3
h=1N1
dA
r=0r=1
s=0
s=1
dsdr
Ae
∫ ∫∫ ∫∫
∫− −− −
===
=1
0
1
0
1
0
1
011
1
3/12det
3/1s
e
s
ee
ee
AdrdsAJdrdsNdAN
AdAN
Şekil 6 Şekil fonksiyonunun integrali
Bölüm 6-1212
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Elde edilen bu eleman yük değerleri daha önce bahsedildiği gibi genel yük vektörünü
oluşturacak şekilde toplanır. Toplama işleminde eleman süreklilik bilgileri dikkate alınır.
İşlem sembolik olarak şu şekilde ifade edilir.
(37) ee fF Σ← İkinci olarak potansiyel enerji ifadesindeki yüzey kuvveti terimini ( ∫ ) ele
alalım. Şekil 7’de bir elemanın l
ltdTu T
1-2 kenarı Tx, Ty yüzey kuvvetleri ile yüklenmiştir. Tx, Ty
kuvvetleri birim yüzey alana etkiyen kuvvetlerdir. Bu durumda enerji ifadesi,
( ll tdvTuTtdTu
lyx
L
T ∫∫−
+=21
) (38a)
olur. u = [N]q dönüşümünü kullanarak,
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ +++=−
llllll
dNTtqdNTtqdNTtqdNTtqtdTu yexeyexeT
24231211
21
(38b)
elde edilir. Burada 1-2 kenarı boyunca N3 = 0 olduğundan N1 ve N2 bir boyuttaki N1+N2=1
koşulunu sağlayan şekil fonksiyonlarına benzerdir. (38b)’deki herbir integral, taban
uzunluğu le’nin yarısı ile yüksekliğin (h=1) çarpımına eşittir.
2121
21−=∫
−
lldNl i (39)
kenar uzunluğu da ( ) ( )l1 2 2 1
22 1
2− = − + −x x y y dir. Böylece yüzey kuvveti,
∫−
=21
l
eTT TqtdTu l (40)
olur. Burada q , 1-2 kenarındaki serbestlik derecelerine karşılık gelen deplasman vektörü olup,
x
y
1
2
3q1
q2
q3
q4
q5
q6 l1-2
Tx
Ty
Şekil 7. Yüzey Kuvveti
Bölüm 6-1313
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ Tqqqqq 4321 ,,,= ] (41) ile verilebilir. Bu durumda eleman yüzey kuvvet vektörü,
[ Tyxyx
ee TTTT
tT ,,,
2 21−=
l ] (42)
olarak elde edilir. Yüzey kuvvetleri de genel kuvvet vektörü F’e eklenir. Tekil yükler,
yükün uygulandığı noktanın elemanlara ayırma esnasında, düğüm olarak tanımlanmasıyla
kolayca sisteme eklenebilir. i noktası; [ ]Tyxi PPP ,= tekil yükünün uygulandığı düğüm
olsun, bu durumda enerji ifadesi,
yixii
Ti PQPQPu 212 += − (43)
olarak yazılabilir. Burada Px ve Py, Pi’nin x ve y bileşenleri olup doğrudan F global
kuvvet vektörünün (2i-1) ve (2i) bileşenlerine eklenir. Kütle kuvveti, yüzey kuvveti ve
tekil kuvvetlerin, F global kuvvet vektörüne etkileri ( ) PTfF e ++Σ← şeklinde
gösterilebilir. Şekil değiştirme enerjisi ve kuvvet terimlerinin birlikte düşünülmesi ile
toplam potansiyel enerji,
][21 FQQKQ TT −=Π (44)
olarak elde edilir. Sınır şartları ile ilgili düzenlemeler yapılarak sonlu eleman denklemleri
[K]Q = F (45)
elde edilir.
3.3 Galerkin Yaklaşımı
Galerkin yaklaşımında işleme uygun bir virtüel deplasman vektörü seçilerek başlanır.
[ TYX ϕϕϕ ,= ] (46)
Buradan şekil değiştirme
( ) T
yxyx
xyyx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
∂∂ϕ
∂∂ϕ
∂∂ϕ
∂∂ϕ
ϕε ,, (47)
Bölüm 6-1414
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olur. Seçilen yer değiştirme vektörünün sınır şartlarını sağlaması gereklidir. Varyasyonel
form;
( ) 0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− ∫ ∫∫
Ai
Ti
Li
TT
A
T PtdTtdAftdA φΣφφφεσ l (48)
ile verilir. Burada ilk terim iç virtual işi, parantez içindeki ifade ise dış virtual işi verir.
Çözüm bölgesi üzerinde ise,
( ) 0][ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− ∫∫∫ i
Ti
Li
T
e
Te
e
Te PtdTtdAftdAD φΣφφΣφεεΣ l (49)
dir. (12) ve (14) deki interpolasyon adımlarını kullanarak,
][ Ψφ N= (50)
( ) ][ Ψφε B= (51)
[ T654321 ,,,,, ΨΨΨΨΨΨΨ = ]
]
(52) elde edilir. Burada Ψ, herhangi bir e elemanının düğüm noktalarının yer değiştirme
vektörüdür. Global düğüm noktası yer değiştirme vektörü ise,
[ NΨΨΨΨ ,........, 21= (53)
dir. (49)’dan elemanın iç virtüel iş terimi, ( ) tdABDBqtdAD T
e
T
e
T ]][[][][ Ψφεε ∫∫ =
eşitliği ile ifade edilebilir. [B] ve [D]’nin bütün terimlerinin sabit olduğu, te ve Ae’nin
sırasıyla eleman kalınlığı ve alanı olduğu bilindiğinden,
( ) ]][[][][ Ψφεε ∫∫ =
eeTT
e
T dAtBDBqtdAD
= (54) ]][[][ ΨBDBAtq T
eeT
= ][ Ψe
T kq elde edilir. Eleman rijitlik matrisi,
]][[][][ BDBAtk Teee = (55)
Bölüm 6-1515
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
dir. Buradan genel rijitlik matrisine iç virtüel işlerin toplanmasıyla
( ) ][][ ΨΣφεεΣ eT
ee
Te kqtdAD =∫
= (56) ][ qk eT
e ΨΣ = ][ QKTΨ şeklinde bir geçiş yapılabilir. Kuvvet ifadeleri, dış virtuel iş terimleri kullanılarak elde edilir. Potansiyel enerji
formülasyonunda kullanılan adımların aynen geçerli olduğu Galerkin yaklaşımında
deplasmanları ifade eden u yerine φ kullanılmaktadır. Bu nedenle,
∫ =e
eTT ftdAf Ψφ (57)
dir. Bu da sonuçta (33) ve (36) ile verilen kütle kuvvet vektörünü verir. Aynı şekilde yüzey
kuvveti ve tekil yükler de (38) ve (43) ile verilen sonuçlara ulaşır. Varyasyonel formüldeki
terimler,
İç Virtual İş: (58a) ][ QKTΨ
Dış Virtual İş: (58b) FTΨ Şeklinde tüm sistem için elde edilir. Uygun bir deplasman fonksiyonu seçimi ile sınır
şartlarının uygulanmasından
][ FQK = (59)
sonucuna ulaşılır.
3.4 Gerilme Hesapları
Ele aldığımız SŞDÜ elemanında eleman içindeki şekil değiştirmeler sabit olduğundan
bunlara karşılık gelen gerilmeler de sabittir. Bu nedenle her eleman için bir gerilme
hesaplanması yeterlidir. Gerilme ile yer değiştirmeler arasında (6) ve (25) kullanılarak,
]][[ qBD=σ (60)
şeklinde bir ilişki elde edilir. Sonlu eleman denkleminin çözülmesi ile elde edilen sistem
deplasman vektöründen eleman süreklilik değerleri de dikkate alınarak elemana ait düğüm
deplasman değerleri çıkarılır. Bu değerlerin kullanılmasıyla elemana ait gerilme değeri
Bölüm 6-1616
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
hesaplanabilir. Gerilmelerin ara bölgelerdeki değerlerini elde etmek için interpolasyon
yapılmak istenirse hesaplanan değerlerin elemanların merkezindeki değerler olduğu kabul
edilebilir. Asal gerilmeler ve bunların yönleri Mohr çemberi prensipleri kullanılarak
hesaplanır.
Örnek: Şekilde yükleme durumu ve sınır şartları verilen levha için 1 ve 2 düğümlerinin yer değiştirmelerini ve düzlem gerilme durumuna göre elemanlardaki gerilmeleri hesaplayınız.
t=0.5 cm, E=30 106 N/cm2, ν=0.25
2
1
4
2
1
3
x
y
3 cm
2 cm
1 kN
Çözüm: Düzlem gerilme hali için elastisite matrisi şu şekilde verilir:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×××××
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
7
77
77
2
102.1000102.3108.00108.0102.3
2100
0101
1 νν
ν
νΕD
Verilen numaralama sistemi için süreklilik bilgileri tablosu ise Eleman Düğüm no
No 1 2 3 1 1 2 4 2 3 4 2
Şeklindedir. [D][B]e çarpım matrisleri,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=4.0006.04.06.0
0267.06.106..1267.00067.14.004.0067.1
10][ 71DB
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=4.0006.04.06.0
0267.06.106.1267.00067.14.004.0067.1
10][ 72DB
olarak elde edilir. Buna göre eleman rijitlik matrisleri de, te.Ae.[B]e
T.[DB]e çarpımı ile, 1 2 3 4 5 6 5 6 7 8 3 4
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
=
2.00533.002.02.1
3.00045.02.02.02.13.04.1
3.053.02.00455.0983.0
10][ 71
sim
k [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
=
2.00533.002.02.1
3.00045.02.02.02.13.04.1
3.0533.02.00455.0983.0
1072
sim
k
elde edilir. Eleman matrislerinin sutunlarına karşılık gelen serbestlik dereceleri üstlerinde verilmiştir. Sınır şartları nedeniyle Q2, Q5, Q6, Q7 ve Q8 değerleri sıfır olduğundan eliminasyon yaklaşımını kullanarak Q1, Q3 ve Q4 serbestlik derecelerine karşılık gelen satır ve sütunların alınması yeterlidir. Yalnızca 4 nolu serbestlik derecesine uygulanan 1
Bölüm 6-1717
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
kN’lik bir tekil kuvvet bulunduğundan genel yük vektörünün bir adet sıfırdan farklı bileşeni bulunmaktadır. O da F4 = -1 kN dir. Bu durumda sonlu eleman denklemleri
100 983 0 45 0 2
0 45 0 983 00 2 0 14
00
1000
71
2
3
. . .. .. .
−−⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
QQQ
olur. Buradan deplasmanlar Q1=1.913x10-5 cm, Q3=0.875x10-5 cm ve Q4=-7.436x10-5 cm olarak hesaplanır. Birinci elemanın yer değiştirme vektörü,
olur. Gerilme ise buna bağlı olarak
σ
[ Tq 00436.7875.00913.110 51 −= − ]
]1=[DB]1.q’ dan olarak hesaplanır. Benzer olarak ikinci elemanın deplasmanları
gerilmeler de [ ] 22 /4.2974.234.93 cmNT−−=σ bulunur.
3.5 Sıcaklık Etkisi
Eğer sıcaklık değişiminin dağılımı (∆T(x,y)) biliniyorsa, bu değişim nedeniyle meydana
gelen şekil değiştirme, başlangıç şekil değiştirmesi (ε0) olarak ele alınabilir. Elastisite
teorisinden düzlem gerilme için ε0,
[ T0,,0 ∆Τα∆Ταε = ] (61)
düzlem şekil değiştirme için de,
( )[ ]T0,,10 ∆Τα∆Τανε −= (62) şeklinde verilmektedir. Gerilme ve şekil değiştirme ilişkileri ise,
( 0][ )εεσ −= D (63) şeklindedir. Sıcaklık şekil değiştirme enerjisinde
( ) ( )
( )tdADDD
tdADU
TTT
T
∫∫
+−=
−−=
000
00
][][2][21
][21
εεεεεε
εεεε (64)
şeklinde bir artışa neden olur. Burada birinci terim rijitlik matrisini verir. Son terim sabit
olduğundan minimizasyonda etkisi yoktur. Ortadaki terim ise sıcaklık sebebiyle oluşan
yükü vermektedir. Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi ε=[B]q kullanılarak yük
terimi,
Bölüm 6-1818
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
( ) dAtDBqtdAD eTT
eA
T00 ][][][ εΣεε =∫ (65)
şeklinde açılabilir. Buradan elemanın sıcaklık yükü,
0][][ εθ DBAt Teee = (66)
olarak elde edilir. Eleman sıcaklık vektörünün 6 bileşeni bulunmaktadır.
[ Te 654321 ,,,,, θθθθθθθ = ] (67)
Başlangıç şekil değişimi (ε0) eleman içinde ortalama sıcaklık değişimi nedeniyle oluşan
birim şekil değiştirme olarak alınır. Buradan eleman içindeki gerilmeler,
0][][ εσ −= qBD (68)
dan hesaplanır.
3.6 Problem Modellenmesi ve Sınır Şartları
Sonlu eleman metodu, çeşitli türdeki problemlerde gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri
hesaplamak için kullanılır. Az önce verilen örnekte ele alındığı gibi bazı problemlerde,
fiziksel boyutlar yükleme ve sınır şartları açıkça görülebilmektedir. Bazı problemlerde ise
bu bazı zorluklar getirmektedir. Şekil 8a’da gösterilen levha buna bir örnektir. Yükleme
şekli ve geometrisi buna benzeyen bir çok problemle gerçek hayatta karşılaşılabilir. Esas
olarak elemanın şekil değiştirmesi ile ilgili analizler yaptığımızdan ele aldığımız
problemlerin yükleme, sınır şartları ve geometrisinden kaynaklanan simetri durumları
modelleme ve değerlendirme gibi açılardan kolaylık sağlar. x ve y simetri eksenleri olmak
üzere (Şekil 8b) x ekseni üzerindeki noktalar yalnızca, x ekseni boyunca hareket ederler, y
ekseni boyunca ise sabittirler. Aynı şekilde y ekseni üzerindeki noktalar da x ekseni
yönünde sabittirler. Görüldüğü gibi problemin yalnızca ¼’ünün modellenmesi aranan şekil
6 cm
3 cm
30 MPa
x
y
30 MPa(a) (b)
Şekil 8 Dikdörtgen levha ve sonlu eleman modellemesi
Bölüm 6-1919
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
değiştirme ve gerilmelerin elde edilmesi için yeterli olmaktadır. Başka bir örnek olarak
içten basınca maruz sekizgen boru verilebilir (Şekil 9). Simetri nedeniyle, Şekil 9b’de
gösterildiği gibi, 22.5°’lik dilimin hesaba katılması yeterli olacaktır. Sınır koşulları x ve n
üzerindeki noktaların bu iki doğruya dik yönde sabitlenmiş olmasını gerektirmektedir.
İçten veya dıştan basınca maruz bir dairesel borunun üzerindeki tüm noktalar simetri
nedeniyle radyal doğrultuda hareket ederler. Bu durumda herhangi borunun herhangi bir
dilimi ele alınabilir. Hatta problem tek boyutlu olarak ta modellenebilir.
Şekil 9’da verilen durum için x ekseni üzerindeki noktalar penaltı yaklaşımı ile kolayca
değerlendirilebilir. n doğrusu üzerindeki noktalar için ise bazı düzenlemeler yapmak
gerekecektir. Eğer n doğrusu üzerindeki i düğümü Q2i-1 ve Q2i serbestlik dereceli ve Şekil
9’da gösterildiği gibi n boyunca hareket edebiliyorsa, x eksenine göre n’in eğimi θ olmak
üzere,
Q Sin Q Cosi i2 1 2 0− − =θ θ (69)
yazılabilir. Bu durum bir çok noktalı sınır şartı verir. Bu nedenle genel potansiyel enerji
ifadesine
( 22122
1][21 θθΠ CosQSinQCFQQKQ ii
TT −+−= − ) (70)
şeklinde bir ekleme yapılır. Burada C, büyük bir sayıdır. Bu eşitlikteki kareli terim açılırsa,
( ) [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=− −−−
i
iiiii Q
QCCosCosCSin
CosCSinCSinQQCosQSinQC
2
122
2122
212 ,21
21
θθθθθθ
θθ (71)
elde edilir. Elde edilen CSin2θ, -CSinθCosθ ve Ccos2θ terimleri eğik çizgi (n) üzerinde
n
x22.5°
P
x
n
P
22.5°x
n
θ
θiQ2i-1
Q2i
Şekil 9 Sekizgen boru ve sonlu eleman modellemesi
Bölüm 6-2020
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
bulunan her düğüm için global rijitlik matrisine eklenerek genel rijitlik matrisi sınır
şartlarına göre düzenlenmiş olur. Bir boyutlu problemde çok noktalı sınır şartları ele
alınırken kullanılan β0, β1 ve β2 sabitlerine karşılık burada sırasıyla 0, Sinθ ve - Cosθ
alınmasıyla da aynı sonuç elde edilebilirdi.
3.7 Elemanlara Ayırma İle İlgili Genel Uyarılar
Bir alanı üçgenlere bölerken, üçgenin en büyük ve en küçük kenar boyları oranının çok
fazla olmamasına dikkat edilmelidir. Eşkenar üçgenlerin kullanılması en uygun seçim
olacaktır. Bununla beraber eşkenar üçgenlerin kullanılması her zaman mümkün olmaz. Bu
nedenle yapılabilecek en uygun şey, üçgenin açılarını 30° ile 120° arasında kalmasına
dikkat etmek olacaktır. Çentikler ve faturalar gibi gerilmelerin çok büyük yığılma
gösterdiği bölgelerde gerilmelerin doğru hesaplanabilmesi için eleman boyutlarının küçük
seçilmesi yararlı olur. SŞDÜ elemanında eleman üzerinde gerilmelerin sabit olduğu kabul
edildiğinden mümkün olduğu kadar küçük elemanların seçilmesi modellemenin sağlığı
açısından önem kazanır.
Sonuçların ve verilerin uygun olup olmadığının kontrolü için, ilk denemelerde kaba eleman
dağılımı yeterli olabilir. Bu aşamada, çok sayıda elemanı devreye sokmadan da hatalar
saptanabilir. Bundan sonra gerilme değişikliklerinin yüksek olduğu bölgelerde, eleman
sayısını arttırarak daha iyi sonuç alınması sağlanır. Buna yakınsama yöntemi adı verilir.
4. İZOPARAMETRİK ELEMANLAR
Bu bölümde izoparametrik elemanların gerilme analizi problemlerinin çözümünde
kullanımı üzerinde durulacaktır. İsoparametrik elemanlar iki ve üç boyutlu problemlerin
çözümünde geniş bir kullanım alanı bulmuş ve deneysel verilerle iyi bir uyum sağlayan
sonuçlar elde edilmiş bir eleman türüdür. Burada dört düğümlü izoparametrik elemanlar
anlatılarak temel prosedür ayrıntılı bir şekilde verildikten sonra daha yüksek dereceden
izoparametrik elemanların nasıl ele alınacağı üzerinde durulacaktır.
Şekil 11’de dört düğümlü dörtgen eleman verilmiştir. Lokal düğüm numaraları saat
ibresinin ters yönünde 1, 2, 3, 4 şeklinde verilmiş olup ve düğüm koordinatları, i düğümü
Bölüm 6-2121
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
1
2
3
4
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
q8
u
v
P(x,y)
x
y
Şekil 10 Dört düğümlü dörtgen eleman
için (xi,yi) dir. Düğüm deplasmanları vektörü, [ ]Tqqqqqqqqq 87654321 ,,,,,,, = dir.
Eleman içindeki P noktasının deplasmanları ise, ( ) ( )[ ]Tyxvyxuu ,,,= şeklindedir.
Şekil fonksiyonları öncelikle doğal koordinatlardaki bir temel eleman üzerinde geliştirilir.
Temel eleman (r, s) doğal koordinatlarında düzgün bir kare olarak tanımlanabilir (Şekil11).
Langrange şekil fonksiyonları i=1, 2, 3, 4 olarak düğüm numaraları olmak üzere Ni
şeklinde gösterilir. Her şekil fonksiyonu tanımlı olduğu düğümde 1 diğer düğümlerde ise
sıfırdır. Örnek olarak 1. düğüm için,
1. düğümde N1=1, 2, 3 ve 4. Düğümde, N1=0 (71) olarak kısaca gösterilebilir. Buna göre, N1, r=1 ve s=1 kenarları boyunca sıfır olmak
zorundadır. Bu da
N1=c(1-r)(1-s) (72)
formunda bir eşitlik verir. Buradaki sabit c katsayısı 1 düğümünde N1=1 olması şartından
r
s
1 2
3 4
(0,0)
P(r,s)
(1,1) (-1,1)
(-1,-1) (1,-1)
Şekil 11 Doğal koordinatlarda temel eleman
Bölüm 6-2222
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
bulunur. Bu durumda 1 düğümünde r=s=-1 olduğundan (72),
1=c(2)(2) (73) olur. Buradan c=1/4 olarak elde edilir. Böylece 1 düğümündeki şekil fonksiyonu
( )(N r114
1 1= − − )s (74)
olarak elde edilir. Diğer düğümler için de benzer yoldan ( )(N r214
1 1= + − )s ,
( )( )sN r314
1 1= + + , ( )( )N r s414
1 1= − + olarak bulunur. Bilgisayar uygulasında kolaylık
sağlaması açısından şeklil fonksiyonları ri ve si ilgili düğümün doğal koordinatlardaki
yerini vermek üzere, kısa gösterimde
( )( iii ssrrN ++= 1141 ) (75)
olarak yazılabilir. Eleman içinde herhangi bir noktanın yer değiştirmeleri şekil fonksiyonları yardımıyla, 74533211 qNqNqNqNu +++= (76) 84634221 qNqNqNqNv +++= olarak yazılabilir. Matris formunda ise, (77) ][ qNu = Burada [N] şekil fonksiyonları matrisi olup,
(78) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
4321
00000000
][NNNN
NNNNN
şeklindedir. İzoparametrik formülasyonda koordinatlar da aynı şekil fonksiyonları ile
gösterilebildiğinden, eleman içindeki herhangi bir noktanın koordinatı,
x N x N x N x N x= + + +1 1 2 2 3 3 4 4
(79) y N y N y N y N y= + + +1 1 2 2 3 3 4 4
Bölüm 6-2323
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak yazılır. Bundan sonra şekil değiştirmelerin hesabına geçilir. Bunun için r,s
koordinatlarında verilen şekil fonksiyonlarının x,y koordinatlarındaki türevlerine ihtiyaç
vardır. Buradan zincir kuralı ile (üçgen elemanlardakine benzer şekilde) herhangi bir
f=f[x(r,s),y(r,s)] fonksiyonu için
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
fr
fx
xr
fy
yr
= + ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
fs
fx
xs
fy
ys
= + (80)
yazılır. Matris notasyonu ile J jakobiyen matrisi olmak üzere,
elde edilir. f fonksiyonu yerine şekil fonksiyonlarını yazarsak (82),
∂∂∂∂
∂∂∂∂
NrNs
J
NxNy
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
(85)
olur. Şekil fonksiyonlarının x ve y’ye göre türevi gerektiğinden bu eşitliğin tersi alınarak,
∂∂∂∂
∂∂∂∂
NxNy
J
NrNs
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−1 (86)
Bölüm 6-2424
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
yazılır. Bu da,
∂∂∂∂
∂∂∂∂
NxNy
JJ JJ J
NrNs
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 22 12
21 11det (87)
şeklinde ifade edilebilir. Diğer taraftan bir çok matematik analiz kitabında verildiği üzere
doğal koordinatlardaki alan ile kartezyen koordinatlardaki alan arasında
dA dxdy Jdr ds= = det . (88)
şeklinde verilen bir ilişki vardır. Bu ilişki eleman rijitlik matrisi hesaplarında sıklıkla
kullanılacaktır.
4.1 Eleman Rijitlik Matrisi
Dörtgen elemanlar için rijitlik matrisi elastik enerji ifadesinden hareketle elde edilebilir.
Bu eşitlik,
dVUv
εσ∫= 21 (89)
şeklindedir. Kalınlık sabit alınır ve eleman boyutunda yazılırsa,
∑ ∫=e e
e dAtU εσ21 (90)
olur. Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi ise,
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
xv
yu
yvxu
xy
y
x
∂∂
∂∂∂∂∂∂
εεε
ε (91)
şeklindedir. (81)’de f = u alınırsa,
∂∂∂∂
∂∂∂∂
uxuy
JJ JJ J
urus
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 22 12
21 11det (92a)
Bölüm 6-2525
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olur. Aynı şekilde v için de,
∂∂∂∂
∂∂∂∂
vxvy
JJ JJ J
vrvs
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 22 12
21 11det (92b)
yazılır. (91) ve (92a-b) eşitliklerinden,
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
svrvsuru
A
∂∂∂∂∂∂∂∂
ε ][ (93)
elde edilir. Burada [A],
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
12221121
1121
1222
0000
det1][
JJJJJJ
JJ
JA (94)
dir. Bu durumda yer değiştirmelerin şekil fonksiyonları cinsinden yazıldığı (76) yardımıyla
][ qG
svrvsuru
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂
(95)
yazılabilir ki burada [G],
[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )
)rrrrssss
rrrrssss
G
−++−−−+−+−−−
−++−−−+−+−−−
=
10101010101010100101010101010101
41 (96)
şeklinde elde edilir.Şekil değiştirme ve yer değiştirmeler matris formunda ε=[B]q
olarak verildiğinden (93) ve (95)’ten [B]=[A][G] olarak elde edilir. Diğer taraftan
σ=[D]ε olduğundan eleman içindeki gerilmeler,
Bölüm 6-2626
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
]][[ qBD=σ (97) olur. Bu durumda şekil değiştirme enerjisi ifadesini,
.det]][[][21 1
1
1
1
qdsJdrBDBtqU TTe ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫ ∫
− −
Σ (98a)
şeklinde yazabiliriz. Bu da
[ ] qkqU eT
e 21Σ= (98b)
olup eleman rijitlik matrisi olan [k]e,
(99) [ ] dsJdrBDBtk Te .det]][[][
1
1
1
1∫ ∫− −
=
şeklindedir. Eleman rijitlik matrisi (8x8) boyutundadır. [B] ve [J]; r ve s ye bağlı
olduklarından gerekli integraller nümerik olarak yapılacaktır. Nümerik integrallerle ilgili
geniş bilgi daha sonra verilecektir.
4.2 Kuvvet Vektörleri
Kütle kuvvetleri birim hacimdeki kuvvetler olup potansiyel enerji eşitliğindeki kütle
kuvveti teriminden elde edilebilir.
(100) ∫ dVfu T
][ qNu = ve açılımları ile ve eleman içindeki kütle kuvvetinin sabit
olduğu kabulu ile,
[ Tyx fff , = ]
]
(101) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫ ∫
− − y
xTee f
fdsJdrNtf
1
1
1
1
.det][
elde edilir. Eleman rijitlik matrisinde olduğu gibi kütle kuvveti vektörü de nümerik
integrasyonla hesaplanır.
Yüzey Kuvvetleri birim yüzey alanına etkiyen kuvvetlerdir. Dörtgen elemanın 2-3
kenarına şeklinde bir yüzey kuvveti etkiyor olsun. Bu kenarda r=1 [ Tyx TTT , =
Bölüm 6-2727
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olduğundan bı kenarda şekil fonksiyonları N1=N4=0, N2=(1-s)/2, N3=(1+s)/2
olacaktır.Böylece potansiyel enerji eşitliğindeki yüzey kuvveti vektörü,
[ Tyxyx
ee TTTT
ltT 0000
2.
32−= ] (102)
olur. l2-3: 2-3 kenar uzunluğudur. Yüzey yükünün değişken olması durumunda nümerik
integrasyon yapılabilir. Tekil kuvvetlerin uygulanmasında daha önce gösterilen durumlar
dışında herhangi bir değişiklik yoktur.
4.3 Nümerik İntegral
Bir boyutlu bir problemde nümerik integral,
(103) ( )Ι =−∫ f r dr1
1
şeklindedir. I’nın hesabı için Gauss tarafından önerilen yaklaşım sonlu elemanlar metodu
uygulamalarında kullanışlı ve verimli bir metod olarak ispatlanmıştır. Yöntemin iki ve üç
katlı integrallere uygulanması da çok kolaydır. n noktalı yaklaşık hesap,
(104) ( ) ( ) ( ) ( )I f r dr W f r W f r W f rn n= = + + +−∫1
1
1 1 2 2 ........
şeklinde verilmiştir. Burada W1, W2.....Wn, ağırlık çarpanları, r1, r2.... rn de hesaplama
noktalarını göstermektedir. Bu noktalara bu yaklaşımda Gauss noktası adı verilir. Gauss
yaklaşımında en doğru çözümü elde edecek sayıda nokta ve ağırlık katsayısının bulunması
önem taşır. (104) n değerinin büyük tutulmasıyla aslında gerçek çözümü veren bir
eşitliktir. Buna karşılık büyük n değerleri bilgisayar uygulaması açısından gereksiz bir
kapasite artırımına neden olur. Ele aldığımız fonksiyon bir polinom olduğundan ve şekli
yaklaşık olarak bilindiğinden n değerinin tesbit edilmesi yeterince yaklaşık bir değere
ulaşılmasını sağlar. Metodu 1 ve 2 noktalı hesaplama ile izah etmeye çalışalım. n=1 için,
(105) ( ) ( )f r dr W f r−∫ =1
1
1 1
Bölüm 6-2828
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. Burada hesaplanması gereken yalnızca iki parametre vardır (W1,r1). Bu
eşitlikten polinomun derecesi 1 olduğunda kesin çözüm elde edilir. Buna göre
alındığında, ( )f r a a r= +0 1
∫− =−+=1
1 1110 0)()( rfWdrraaHata (106a)
veya
0)2(,0)(2 1111011010 =−−==+−= raWWaHataraaWaHata (106b) olur. Görüldüğü gibi hatanın 0 olabilmesi için W1=2 ve r1=0 olmalıdır. Buna göre herhangi
bir fonksiyon için
( ) ( )021
1
fdrrf =∫−
(107)
elde edilir. Bu da orta noktaya göre yapılan alan hesabıdır (Şekil12).
-1 0 1
Gerçek alan= ∫−1
1)( dxxf
Yaklaşık alan=2f(0)
x
f
f(x)
f(0)
Şekil 12 Bir noktalı Gauss yaklaşımı
İki noktalı yaklaşımda ise integral değeri
(108) ( ) ( ) ( )f r dr W f r W f r−∫ = +1
1
1 1 2 2
dir. Burada belirlenmesi gereken 4 parametre görülmektedir. Çözüm için 3. Dereceden bir
polinom benzetimi yapılabilir. seçildiğinde hata ifadesi, ( )f r a a r a r a r= + + +0 1 22
33
[ 0)()()( 2211
1
1
33
2210 =+−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +++= ∫− rfWrfWdrrararaaHata ] (109)
Bölüm 6-2929
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Bu da W1+W2=2, W1r1+W2r2=0, W1r12+W2r2
2=2/3, W1r13+W2r2
3=0 ile sağlanabilir. Elde
edilen bu nonlineer denklemelerin çözümünden
W1=W2=1 -r1=r2=0.5773502.... (110)
elde edilir. Görüldüğü gibi Gauss yaklaşımı ile n adet integral noktasından 2n-1 dereceli
polinom için gerçek çözüm elde edilebilmektedir. Tablo 2’de altı noktaya kadar olan Gauss
nümerik integralleri için W ve r değerleri verilmiştir. Simetrik noktaların aynı ağırlık
değerini aldığı görülmektedir. Çözümün doğruluğa yaklaşması için verilen ondalıklı
değerlerin mümkün olduğunca kullanılması gerekmektedir.
Tablo 2. Gauss Yaklaşımı ile Nümerik İntegrasyon İçin Gaus Noktaları ve Ağırlık
Katsayıları ( ) ∫ ∑−=
=1
11
)()(n
iii rfWdrrf
Nokta Sayısı Yer (ri) Ağırlık Katsayısı (Wi) 1 0.0 2.0 2 ±0.5773502692 1.0 3 ±0.7745966692
0.0 0.5555555556 0.8888888889
4 ±0.8611363116 ±0.3399810436
0.3478548451 0.6521451549
5 ±0.9061798459 ±0.5384693101
0.0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
6 ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346
Örnek: dxx
xe x∫−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+++=
1
1
2
213Ι integralini 1 ve 2 noktalı Gauss yaklaımı ile
hesaplayınız. Çözüm: 1 nokta için W1 = 2 ve x1 = 0 olduğundan I=7.0 bulunur. 2 nokta için W1 = W2 = 1 ve x1 = -0.577 x2 = 0.577 olduğundan I = 8.7857 bulunur. Gerçek çözüm ise I= 8.816 dır. Yaklaşımının iki katlı integrallerdeki şekli
∫ ∫− −=
1
1
1
1),( drdssrfI (111)
olarak yazılabilir. İntegraller sırasıyla alınırsa,
∑∑∑∑∫ ∑= ===
−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
n
i
n
jjiji
n
ijii
n
jj
n
iii srfWWsrfWWdssrfWI
1 111
1
11
),(),(),( (112)
Bölüm 6-3030
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. İki katlı integralin bir uygulaması olarak eleman rijitlik matrisinin hesaplanması
ele alınabilir. Eleman rijitlik matrisi, [ şeklinde
hesaplanmıştı. Burada [B] ve [J] r ve s nin fonksiyonlarıdır. Eleman rijitlik matrisi aslında
8x8 boyutlarında bir matris olduğundan 64 elemanın ayrı ayrı integralinin alınması gerekir.
Bununla beraber matris simetrik olduğundan yalnızca diyagonal ve üstündeki elemanların
integralinin alınması yeterli olacaktır.
] [ ] [ ][ ]∫ ∫− −=
1
1
1
1det JdrdsBDBtk T
ee
φ integrali alınacak i’inci eleman olsun, Bu durumda,
[ ] [ ][ ]( )ijTe JBDBtsr det),( =φ (113)
yazılabilir. Buradan her iki integral de 2 nokta kuralına göre alınırsa,
),(),(),(),( 222
212122121112
1 srWsrWWsrWWsrWkij φφφφ +++= (114) elde edilir. Burada W1=W2=1, r1=s1=-0.57735....., r2=s2=0.57735....alınır (Şekil 13). Bu
denklem Gauss noktaları 1, 2, 3, 4 olarak numaralandırarak yazılırsa
∑=
=4
1IPIPIPij Wk φ (115)
elde edilir. Burada φIP φ’nin IP integral noktasındaki değerini WIP ise ağırlık katsayısını
göstermektedir.
2
s
1
34
(-0.57735,-0.57735)
(0.57735,0.57735)
(0.57735,-0.57735)
(-0.57735,0.57735)
r
),(),(),(),(),( 222
212122121112
1
1
1
1
1srWsrWWsrWWsrWdrdssrf φφφφ +++=∫ ∫− −
Şekil 13. 2 noktaya göre iki boyutlu integral için Gauss yaklaşımı
Bölüm 6-3131
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Gerilme hesabında sabit şekil değiştirmeli üçgen elemandakinin tersine izoparametrik
elemanda gerilmeler eleman içindeki koordinatlara göre değişir. Normal olarak gerilmeler
de Gauss noktalarına göre hesaplanır. Bu durumda bir düğümü ortak kullanan eleman
sayısı kadar gerilme değeri bulunmuş olur. Bu ise elde edilen gerilmelerin
değerlendirilmesinde veri çokluğundan kaynaklanan zorlukların çıkmasına neden olur.
Alternatif bir yöntem olarak her elemanın belli bir koordinatındaki [(0, 0), (-1,-1) gibi ]
gerilmelerin hesaplanmasının yeterli görülmesi en azından başlangıç değerlendirmelerine
kolaylık sağlar.
Bazı durumlarda dörtgen elemanların düğüm noktalarının kayması ile üçgen eleman şeklini
alması mümkündür (Şekil 14). Bu durum hata oranını artırmakla beraber hesaplamalarda
herhangi bir olumsuzluk meydana getirmez. Ancak düğümlerden biri içbükey kenar
meydana getirecek bir konumda bulunursa Jakobiyen negatif çıkar ve matris işlemlerinin
hata vermesine neden olur. Dörtgen elemanlarda da en boy oranının çok küçülmesi hatalı
sonuçlar doğuracağından bu oranın 0.5’ten küçük olmamasına dikkat edilmelidir.
(a) (b) (c)
Şekil 14 Şekil değiştirmiş dörtgen elemanlar (a ve b kabul edilebilir c hatalı)
Örnek: Şekildeki dikdörtgen eleman için, düzlem gerilme durumu, E=30x106 N/cm2, ν=.3 ve q=[0, 0, 0.002, 0.003, 0.006, 0.0032, 0, 0]T cm için [J], [B] ve σ(0,0)’ı hesaplayınız.
Çözüm: (83)’den
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+++++−+−+++−
=2/10
01)1()1()1(2)1(2)1()1()1(2)1(2
sssrssss
J
hesaplanır. Bu eleman için [J] sabit olarak elde edildi. (94)’den
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
02/11010000002/1
2/11A
olarak elde edilir. [G] matrisi ise r=s=0 için elde edildikten sonra, [B]=[A][G]
yardımıyla,
1 (0,0) 2 (2,0)
3 (2,1)4 (0,1)
x
y
c (1,0.5)
Bölüm 6-3232
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−=
4/12/14/12/14/12/14/12/12/102/102/102/10
04/104/104/104/1B bulunur. Elastisite matrisi
ise
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
35.000013.003.01
09.0110630xD dir. Buna göre istenen noktadaki gerilmeler,
olarak hesaplanır. [ ] 2/96.4008.2392.66 cmkNT=σ
4.4 Yüksek Dereceden Elemanlar Buraya kadar anlatılan dört düğümlü dörtgen eleman için verilen prosedür daha fazla
düğüm içeren elemanlar için de geçerlidir. Dört düğümlü elemanın şekil fonksiyonları
lineer formda olmasına karşılık bir kenarında ikiden fazla düğüm içeren elemanların şekil
fonksiyonları doğal olarak daha üst dereceden olacaktır. Bu da modellemede daha fazla
doğruluk sağlayacaktır. Burada yüksek dereceden elemanlar için yalnızca şekil
fonksiyonları elde edilecek olup diğer eleman bilgileri verilen prosedüre uygun olarak
kolayca elde edilebileceğinden ve el ile hesaplamak için uygun olmadığından burada
verilmeyecektir.
Dokuz Düğümlü Dörtgen Elemanlar: Sonlu eleman uygulamalarında dokuz düğümlü
elemanlar geniş bir uygulama sahası bulmuştur. Elemanın doğal ve kartezyen
koordinatlarındaki durumu Şekil 15’te verilmiştir.
Dörtgenin herhangi bir kenarını bir boyutlu üç düğümlü eleman olarak düşünelim ve ilk
olarak r eksenini göz önüne alalım. Buna göre –1, 0 ve 1 koordinatları sırasıyla 1, 2 ve 3
olarak numaralandırılmış olsun. Bilindiği gibi şekil fonksiyonu tanımlandığı düğümde 1
diğer düğümlerde 0 değerini almalıdır. Yani,
i düğümünde diğer düğümlerde 1)( =rLi 0)( =rLi (116)
Buna göre ilk olarak L1’i ele alalım. L1, r=0, r=+1 düğümlerinde 0 değerini alacağından
bir boyutlu elemanda görüldüğü üzere şekil fonksiyonu L1=c r(1-r) formunda olacaktır. c
katsayısı şekil fonksiyonunun tanımından –1/2 olarak hesaplanır. Böylece L1=-r(1-r)/2
olarak ilk düğümün bir boyuttaki şekil fonksiyonu bulunmuş olur. Benzer şekilde ele
Bölüm 6-3333
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
x
s
r4
5s=-1
2
6r=1
3s=17
8r=-1
9
1y
s
r
4
5s=-1
2
6r=1
3s=17
8r=-1
9
1L1(s)
L2(s)
L3(s)
L1(r)L2(r)
L3(r)
Şekil 15 Dokuz düğümlü dörtgen elemanın doğal ve kartezyen koordinatlardaki görünümü
aldığımız r ekseni için şekil fonksiyonları
2)1()(),1)(1()(,
2)1()( 321
rrrLrrrLrrrL +=−+=
−−= (117)
olarak bulunur. s ekseni içinde aynı işlemleri yaparak,
2)1()(),1)(1()(,
2)1()( 321
sssLsssLsssL +=−+=
−−= (118)
elde edilir. Diğer taraftan iki boyutlu elemanın her düğümünde (r,s) şeklinde iki koordinat
tanımlı olduğundan bir boyutta elde edilen bu fonksiyonların birbirleriyle koordinat
uyumuna göre çarpılması aranan şekil fonksiyonlarını verecektir. Bu durumda
)()()()()()()()()()()()()()()()()()(
333327314
236229218
132125111
sLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLN
=========
(119)
elde edilir. Çarpım sonucunda da Ni şekil fonksiyonlarının i düğümünde 1 diğer 8
düğümde sıfır değerini aldığı görülür. 9 düğümlü elemanların bir avantajı olarak
deplasmanlar gibi koordinatlar da yüksek dereceden polinomlarla tanımlandığından eğri
kenarlı elemanlar kullanılması da mümkündür. Bununla beraber kolaylık sağlaması
açısından koordinatları lineer şekil fonksiyonları ile deplasmanları ise burada verilen
polinomlarla tanımlamak da mümkün olmaktadır.
Bölüm 6-3434
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Sekiz Düğümlü Dörtgen Elemanlar: Bütün düğümlerin eleman sınırlarında bulunduğu
bu elemanların 9 düğümlü elemandan farkı eleman ortasında düğüm tanımlanmış
olmamasıdır (Şekil 16). Dolayısıyla r=0 ve s=0 eksenleri üzerinde 2 şer eleman r=±1 ve
s=±1 eksenleri üzerinde de üçer eleman bulunmaktadır.
x
s
r4
5s=-1
2
6r=1
3s=17
8r=-1
1y
s
r
4
5s=-1
2
6r=1
3s=17
8r=-1
1
1-r+s=0
1-r-s=01+r-s=0
1+r+s=0
Şekil 16 Sekiz düğümlü dörtgen elemanın doğal ve kartezyen koordinatlardaki görünümü
İlk olarak köşe düğümlerini ele alalım. N1 için r=1, s=1 ve r+s=-1 doğruları üzerinde
sıfırlanması gerektiği söylenebilir. Bu durumda
)1)(1)(1(1 srsrcN ++−−= (120)
yazılabilir. Şekil fonksiyonunun bir gereği olarak N1, 1 düğümü dışındaki düğümlerde sıfır
değerini alacağından c katsayısı -1/4 olarak hesaplanır. Benzer şekilde köşe düğümlerinin
şekil fonksiyonları,
)1)(1)(1(4/1)1)(1)(1(4/1)1)(1)(1(4/1)1)(1)(1(4/1
43
21srsrNsrsrNsrsrNsrsrN
−++−−=−−++−=+−−+−=++−−−= (121)
olarak hesaplanır. Orta noktalardaki düğümler için ilk olarak N5’i ele alalım. Bu şekil
fonksiyonu için, r=1, s=1 ve r=-1 doğruları üzerinde sıfırlanmaları gerektiği söylenebilir.
Dolayısıyla şekil fonksiyonu,
)1)(1()1)(1)(1( 2
5 srcrsrcN −−=+−−= (122) formunda olmalıdır. Şekil fonksiyonu şartlarından c=1/2 olarak hesaplanır. Böylece orta
düğümlerin şekil fonksiyonları,
Bölüm 6-3535
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
)1)(1(2/1)1)(1(2/1)1)(1(2/1)1)(1(2/1
28
27
26
25
srNsrNsrNsrN
−−=+−=−+=−−=
(123)
olarak elde edilir. Değişken Düğüm Sayılı Eleman: Verilen şekil fonksiyonlarından görüldüğü üzere
dörtgen elemanların şekil fonksiyonları arasında bir benzerlik bulunmaktadır. Bundan
yararlanarak 4 ile 9 düğüm arasında düğüm sayılarına sahip genel bir eleman için şekil
fonksiyonları bir sistem içinde geliştirilebilir. Tablo 3’de bu sistem verilmiştir.
Tablo 3. 4 ile 9 düğüm arası düğüme sahip dörtgen eleman için şekil fonksiyonları
i numaralı düğüm mevcutsa ekleyiniz. i=5 i=6 i=7 i=8 i=9
içermektedir. Bu nedenle elde edilen (3x8) boyutundaki bu matrise
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+ 0000 4321
ηηηηNNNNB
(24) şeklinde bir 4. satır eklenir. Eleman Rijitlik Matrisi: Toplam potansiyel enerji ifadesindeki ilk terim şekil değiştirme
nerjisi ifadsini verir. Bunu bir eleman için yazarsak,
( ) qdABDBqUe
TTe ∫= ηπ ]][[][2
21 (25)
elde edilir. Parantez içindeki ifade eleman rijitlik matrisini vermektedir. İzoprametrik
elemanda dA=detJ dr ds olduğundan
[ ] ∫ ∫− −=
1
1
1
1det]][[][2 JdrdsBDBk T
e ηπ (26)
yazılabilir. [B]’nin 4. satırı şekil fonksiyonlarının koordinata bölümünü (Ni/η) içerdiğinden
ayrıca eleman rijitlik matrisi integralinde de bir koordinat terimi ( η ) bulunduğundan basit
bir yaklaşık çözümleme olarak eleman ağırlık merkezinin koordinatı kullanılırsa eleman
rijitlik matrisi,
Bölüm 7-77
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] [ ] [ ][ ]∫ ∫− −=
1
1
1
1det2 JdrdsBDBk T
e ηπ (27)
olur. Üstü çizgili ifadeler eleman ağırlık merkezinde hesaplanmış değerleri göstermektedir.
Bununla beraber tüm değişkenler için de nümerik integrasyon yapılabilir. ηπ2 eleman
ağırlık merkezinin oluşturduğu daireyi verir ve görüldüğü gibi iki boyutlu problemdeki
kalınlığın yerini almıştır. Dönme eksenine yakın yerlerde ağırlık merkezinin tesbitine
dikkat edilmeli ve bu bölgelerde daha küçük elemanlar kullanılmalıdır.
Kuvvet Vektörleri: İlk olarak kütle kuvvetlerini ele alalım. Potansiyel enerji eşitliğindeki
kütle kuvveti terimi,
(28) ∫ dVfu T dir. ve açılımları ile ve eleman içindeki kütle kuvvetinin sabit
olduğu kabulu ile,
][ qNu = [ Tzfff , η= ]
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ∫ ∫
− − z
Te f
fdsJdrNf ηηπ1
1
1
1
.det][2 (29)
elde edilir. Eleman rijitlik matrisinde olduğu gibi kütle kuvveti vektörü de nümerik
integrasyonla hesaplanır. Daha önce merkezkaç kuvvetin kütle kuvvetlerine ilave
edileceğinden bahsedilmişti. Birim hacime gelen kuvvet olarak alınırsa
(ρ=yoğunluk, ω=eksenel hız), ağırlık kuvvetlerinin de ilavesiyle dönen tekerdeki kütle
kuvvetleri,
2ρηω
[ ] [ TT gfzff ρρηωη −== 2 ]
]
(30) olur. Düğüm değerleri de yukarıda verilen nümerik integrasyonla hesaplanır. Yüzey Kuvvetleri birim yüzey alanına etkiyen kuvvetlerdir. Dörtgen elemanın 1-2
kenarına şeklinde bir yüzey kuvveti etkiyor olsun. Potansiyel enerji
ifadesindeki yüzey kuvvet terimi,
[ TzTTT , η=
∫ =
ee
TT TqdlTu ηπ2 (31)
Bölüm 7-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak yazılabilir. Burada ve 1-2 kenarında doğal koordinatlardan
s=1 ve yalnızca r değişken olduğundan
Tqqqq[=q ],,, 4321
[ ] ∫=ee drTNT ηπ2 şeklindedir. Buradan
000021 zze TTTTlrT ηηπ −= (32)
elde edilir. Yüzey yükünün değişken olması durumunda nümerik integrasyon yapılabilir.
Tekil kuvvetler elde edilen genel kuvvet vektörüne, uygulandığı serbestlik derecesi
dikkate alınarak ilave edilir.
3.2 Üçgen Eleman
Dönel iki boyutlu çözüm bölgesi bu kez üçgen elemanlara bölünmektedir. Her bir eleman
η-z düzleminde bir üçgen olup, z ekseni etrafında üçgenin dönmesiyle elde edilmiş bir
şeklindedir. Şekil fonksiyonları N r1 = , sN =2 ve srN −−=13 olduğundan,
deplasmanlar şekil fonksiyonları ile,
531 )1( qsrsqrqu −−++=
(34) 642 )1( qsrsqrqw −−++=
Bölüm 7-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklinde yazılır. Aynı şekilde koordinatlar da,
321 )1( ηηη srsrr −−++= (35)
321 )1( zsrzsrzz −−++= olur. Türev zincir kuralı ile,
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
zu
u
J
suru
∂∂
η∂∂
∂∂∂∂
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
zw
w
J
swrw
∂∂∂η∂
∂∂∂∂
(36)
olarak alınır. Jakobiyen matrisi ise,
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2323
1313zzJ η
η (37)
şeklindedir. Burada ηij = ηi -ηj ve zij = zi -zj notasyonu kullanılmıştır. det J= η13 z23 - η23 z13
olup |detJ| = 2Ae olduğu daha önceki bölümlerde gösterilmişti. Aradığımız ifade
deplasmanları koordinatlara göre türevi olduğundan ters alma işlemi ile,
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−
suru
J
zu
u
∂∂∂∂
∂∂∂η∂
1 ve [ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−
swrw
J
zw
w
∂∂∂∂
∂∂
η∂∂
1 (38)
elde edilir. Jakobiyen matrisinin tersi ise
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−=−
1323
13231
det1
ηηzz
JJ . (39)
şeklindedir. Buradan şekil değiştirmeler,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
−−−+−+−
−+−
−−−
=
η
ηη
ηη
ε
53321
64136223531351
641362
531351
det
det
det
qNqNqNJ
qqzqqzqqqq-J
qqqq-J
qqzqqz
1
23
23
23
(40)
Bölüm 7-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Diğer taraftan, ε=[B]q olduğundan, elemanın (4x6) boyutundaki şekil değiştirme-
deplasman ilişkileri matrisi,
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0 N
0 N
0 N
Jdet
z
Jdet
detJz
Jdet
detJz
Jdet
tJde 0
detJ 0
Jdet 0
0 Jdet
z 0
detJz
0 detJz
B
321
122113132332
211332
123123
ηηη
ηηη
ηηη
(41)
elde edilir. Görüldüğü gibi matris SŞDÜ elemandan sadece 4. Satırı ile değişmektedir. Eleman rijitlik matrisi eleman şekil değiştirme enerjisi ifadesinden dörtgen elemanda
izlenen yolla elde edilir. Matris sabit olduğundan nümerik integrasyona gerek yoktur.
Ortalama yarıçap, eleman ağırlık merkezinde N N N1 2 3
13
= = = olmasından,
3321 ηηη
η++
= (42)
olarak hesaplandıktan sonra, [ B ] elemanın kütle merkezinde hesaplanmış [B] olmak üzere
eleman rijitlik matrisi
[ ] [ ] [ ][ ]BDBArk T
ee π2= (43)
olarak elde edilir. Elemanın alanı A det e =12
J şeklinde hesaplanır. Kalınlık olarak
görüldüğü gibi eleman ağırlık merkezinden geçen çemberin çevresi alınmaktadır.
Kütle kuvveti sabit bir vektör olup dörtgen elemanda olduğu gibi potansiyel enerjideki
kütle kuvveti teriminden,
dArwffdAfu
ez
e
T ∫∫ += ηπηπ 22
∫ +++++=e
z634221533211 dAfqNqNqNfqNqNqN ηπ η ])()[(2 (44)
olarak yazılır. Değerleri elemanın ağırlık merkezine göre alarak
Bölüm 7-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
∫ =e
eTT fqdAfu ηπ2 (45)
elde edilir. Burada elemanın kütle kuvveti,
Tzzz
ee ffffff
Af ],,,,,[
32
ηηηηπ
= (46)
olarak bulunur. Kütle kuvvetlerinin sisteme etkiyen asıl yük olarak değerlendirildiği
durumlarda η=N1 η1+N2 η2+N3 η3 şeklinde bir tanımlama yapılarak nümerik integrasyona
da gidilebilir. Bir örnek olarak z ekseni etrafında dönen bir döner tekerdeki yükü alalım.
Birim hacim başına ρηω2 radyal merkezkaç kuvvetini uygulanıyor ve ağırlık ta –z yönünde
etki ediyorsa, gfvef z ρωηρη −== 2 olmak üzere kütle kuvvet vektörü,
[ ] [ TT
z gwfff ρηρη −== ,, 2 ] (47) olarak elde edilir.
Yüzey kuvvetlerinde, üniform yayılı yük bileşenleri Tη ve Tz, elemanın 1-2 kenarına etki
ediyor olsun, buradan potansiyel enerji eşitliğindeki yüzey kuvveti
∫ =
ee
TT TqdlTu ηπ2 (48)
olarak yazılır. Deplasman vektörü 4 bileşenli olup Tqqqq[=q ],,, 4321 şeklindedir. Bu
durumda kuvvet vektörü, η=N1 η1+N2 η2 alınarak yapılan nümerik integrasyonla;
62
62 2121 ηηηη +
=+
= ba şeklinde a ve b sabitleri ile,
T
zrzre bTbTaTaTlT ],,,[2 21−= π (49) elde edilir. l1-2 yükün uygulandığı kenarın boyu olup l r r z z1 2 2 1
22 1
2− = − + −( ) ( )
şeklinde hesaplanır.
Örnek: Şekilde verilen dış çapı 120 mm ve iç çapı 80 mm olan uzun bir silindir, kendinden daha uzun rijit bir deliğin içine sıkı geçme yerleştirilmiştir. Silindir 2MPa’lık bir iç basınç uygulandığında iç çaptaki büyüme ne olur. (E=2x105 MPa, ν=0.3)
Bölüm 7-1212
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Çözüm: Prosedürün anlaşılması ve sabit eleman matrisleri nedeniyle üçgen elemanlar kullanılarak şekildeki sonlu eleman modeli elde edilmiştir. Silindir uzunluğu istenildiği gibi alınabilir ise de hesaplama kolaylığı açısından 10 mm tercih edilmiştir. Yapılan hesaplamalar sonucu detJ=200, dolayısıyla elemanların alanları 100 mm2 bulunur. Bu sonuç elemanların geometrisinden de görülmektedir. İçten basınç
bir yüzey kuvveti olduğundan 1-2 kenarına gelen yükün düğümlere karşılık gelen değerleri,
N pl
FF ie121 2514
2)2)(10)(40(2
22
====ππη
elde edilir. 1-2 kenarı z eksenine paralel
olduğundan ortalama yarıçap hesaplamaya gerek kalmamıştır. Elastisite matrisi,
şeklindedir. Düğüm deplasmanlarını
eleman şekil değiştirmelerine bağlayan [B] matrislerinin hesabında ortalama yarıçaplar,
olarak hesaplanır. Genel serbestlik dereceleri de dikkate alınarak matrisler birleştirildikten sonra 2, 4, 5, 6, 7 ve 8 numaralı SD’ler sabit odluğundan genel matriste
eliminasyon yaklaşımının uygulanmasıyla, 10 elde edilir.
Buradan da Q
4 03 2 342 34 4 35
25142514
7 1
3
. .. .
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
QQ
1 = 0.014 x 10-2 mm ve Q3 = 0.0133 x 10-2 mm olarak hesaplanır. Aslında aynı çıkması gereken bu deplasmanların eleman matrislerinin elemanın ağırlık merkezindeki yarıçapa göre hesaplanması nedeniyle küçük de olsa farklı çıktıkları görülmektedir.
Gerilme Hesabı: Genel deplasman vektörü elde edildikten sonra eleman süreklilik bilgileri
yardımıyla eleman deplasman vektörü oluşturulur. Buradan eleman içindeki gerilmeler
izoparametrik elemanda nümerik integrasyonla üçgen elemanda ise sabit matrislerin
çarpılmasıyla, [ ][ ] qBD=σ eşitliği kullanılarak hesaplanır. σθ 'asal gerilme olup,
σ σ τr z r, , z gerilmelerine karşılık gelen σ σ1 , 2 asal gerilmeleri mohr çemberinden
yararlanılarak hesaplanabilir.
Örnek: Önceki örnekte elde edilen deplasmanları kullanarak elemanların ağırlık merkezindeki gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm: Genel deplasman vektöründen eleman deplasmanları,
ve -2T 10xq ]0,0,0,0133.0,0,0140.0[1 = -2T 10 xq ]0,0,0,0,0,0133.0[2 = elde edilir.
Daha önce hesaplanan [DB]e ve elemanlara karşılık gelen deplasmanları kullanarak MPa10x MPa10x -2T
Galerkin metodu ve θ=1 alındığında ise geri farklar (backward difference) metodu seçilmiş
olur. Her metodun avantaj ve dezavantajları olmakla birlikte ileri farklar metodu dışında
zaman aralığının çok büyük olmadığı durumlarda kararlı sonuçlar alınırken, θ=0
alındığında mutlaka kritik bir değerin altında kalmak gerekmektedir. Bu değer genel olarak
Bölüm 9-66
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
mkrt λ∆ 2= şeklinde verilir. Burada mλ the maksimum sistem özdeğeridir. Sistem
özdeğerini hesaplamadan yaklaşık bir zaman aralığı hesabı ise 22 ad
kctkr ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
πρ∆ ile
verilmektedir. Burada d en küçük eleman genişliği, a ise 3 ile 5 arasında seçilecek bir
katsayıdır.
Bundan sonra eleman şekil fonksiyonlarının elde edilmesi, sınır şartlarının uygulanma
pratiği ve çeşitli özel problemlerin çözüm yöntemlerinin verilmesi açısından temel
problemlerden başlayarak detaylı bir inceleme yapılacaktır.
2.2 Bir Boyutlu Isı İletimi
Düzgün bir ısı üretiminin olduğu düz bir duvardaki ısı iletimini düşünelim. (Şekil 2). A ısı
akış doğrultusuna dik bir alan, Q (W/m3) birim hacminde üretilen ısı olsun. Isı üretimine
örnek olarak R direncine sahip bir kablodan I akımının geçmesiyle V hacminde oluşan
Q=I2.R/V verilebilir.
[q+(dq/dx)dx].A
Duvar Kontrol Hacmi
IsıAkışı
qA(QAdx)
x
x dx
Şekil 2. Bir boyutlu ısı iletimi
Şekil 2’de verilen hacim için çıkan ısının, hacme giren ve hacim içinde üretilen ısıya eşit
olması gerektiğinden hareketle,
AdxdxdqqdxQAqA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+ . (20)
yazılabilir. Her iki taraftaki qA birbirini götüreceğinden,
Bölüm 9-77
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Qdqdx
= (21)
elde edilir. Fourier denklemi yerine konursa
ddx
kdTdx
Q⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + = 0 (22)
olarak bir boyutlu kararlı hal ısı iletim denklemi elde edilmiş olur. Q pozitif olduğunda
kaynak, negatif olduğunda ise kuyu olarak adlandırılır. Isı iletim katsayısı (k), genellikle
x’in fonksiyonudur. Denklem sınır şartlarına bağlı olarak çözülür (Şekil 1).
Bir Boyutlu Eleman: Burada, lineer şekil fonksiyonlarına sahip iki düğümlü elemanlar ele
alınmıştır. Bir boyutlu problemler incelenirken anlatılan 3 düğümlü quadratik elemanlar
için de burada izlenen yöntemle gerekli ifadeler elde edilebilir. Şekilde verildiği gibi
problemi x koordinatında ele alıp çeşitli noktalardaki bilinmeyenler olarak da T’yi
tanımlarsak, e elemanı üzerindeki herhangi bir noktadaki sıcaklık şekil fonksiyonları
yardımıyla,
T(r) = N1.T1 + N2.T2 = [N].Te (23)
yazılabilir. Burada N1=(1-r)/2, N2 = (1+r)/2 dir. r –1 ile +1 aralığında değişir. [N]=[N1,
N2] ve Te= [T1.T2]T dir. Diğer taraftan, 1)(21
12
−−−
= xxxx
r ve dxxx
dr12
2−
=
olduğundan zincir kuralı ile,
dxdr
drdT
dxdT .= eT
drdN
xx.2
12 −= (24)
elde edilir. Matris formunda ise,
eTBdxdT ][= (25)
olur. Burada sıcaklık değişimi interpolasyon matrisi olan [B]
[ ] [ 1,11
12
−−
=xx
B ] (26)
Bölüm 9-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
21
1rN −
=
1
T2
T1
-1 0 +1
2
r
xL
T1 = T0
q = h.(TL-T∞)
21
2rN +
=
1
T=N1.T1+N2.T2
2
T
1 2 3
1
1 e
e
T1
Ni
r
Şekil 3. Çözüm bölgesinin sonlu eleman modeli ve lineer elemanın şekil fonksiyonları
olarak elde edilir. Şekildeki tanımlı sıcaklık ve konveksiyon sınır şartları altında enerjinin
minimizasyonu yapılacaktır. Buna göre bir boyutlu ısı iletimi denklemi
∫∫ ∞−+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∏
L
L
L
T TThQTdxdxdxdTk
0
22
0
)(21
21 (27)
yazılır. T(x=0)=T0, Q=Q0, k=ke alarak ve şekil fonksiyonlarını da devreye koyarak,
[ ] [ ] [ ] ( 21
1
1
1 21..
2221
∞−−
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=∏ ∑ ∫∑ ∫ TThTdrN
lQTdrBB
lkT Le
eee
TeeTer ) (28)
elde edilir. Buradan eleman iletkenlik matrisi ve ısıl yük vektörlerini,
[ ] [ ] [ ]∫+
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−==1
11111.
2.
e
eTeee l
kdrBB
lkk (29)
[ ]∫− ⎭⎬
⎫⎩⎨⎧==
1
111
2.
.2. eeee
QlQ
drNlQ
R (30)
olarak elde ederiz. Genel rijitlik matrisi ve genel yük vektörü daha önceki bölümlerde
olduğu gibi eleman süreklilik bilgileri yardımıyla, eleman matris ve vektörlerinin
toplanması ile oluşturulur. Enerji denklemindeki son terim açılır ve bazı matris işlemleri
yapılırsa,
Bölüm 9-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
2
21)(
21
∞∞ +− hTThTThT LLL (31)
olarak yazılabilir. 1/2hT∞
2 sabit olduğundan minimizasyonda dışarıda kalır. Böylece
konveksiyon sınır şartı da genel rijitlik matrisinin (L,L) elemanına h eklenmesi ve yük
vektörünün (L) elemanına da hT∞ eklenmesiyle işleme katılmış olur.
En son olarak olarak sabit sıcaklık sınır şartları (T1=T0) da daha önceki bölümlerde 0’dan
farklı olarak belirlenmiş deplasman sınır şartında olduğu gibi rijitlik matrisinin ilgili
diyagonaline büyük bir C sayısı, yük vektörüne de CT0 yükü eklenmesiyle işleme alınmış
olur.
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
∞ )(
)(
)(....................
....................
....................)(
.
.
.
.
.
.
2
01
.
.
.
.
.
.
2
1
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22221
11211
hTR
RCTR
T
TT
hKKK
KKKKKCK
LLLLLL
L
L
(32)
Örnek: Şekilde verilen üç tabakadan oluşan duvarda dış sıcaklık T0=20°C olup duvarın iç yüzeyi konveksiyona maruzdur (Too=800°C ve h=25W/m2°C). Duvardaki sıcaklık dağılımını hesaplayınız.
Çözüm: 3 elemandan oluşan bir sonlu eleman modeli oluşturulmuştur. Eleman iletkenlik matrisileri,
(1 numaralı düğümde konveksiyon olduğundan, h=25 sabitinde [K]’nın (1,1) elemanına ilave edildi.) Problemde ısı üretimi olmadığından yük vektörü sadece konveksiyon teriminden oluşur.
Bölüm 9-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
R=[25x800, 0, 0, 0]T. T4=20°C sınır şartı da penaltı yaklaşımı uygulanarak
(C=8*66.7*104 alınarak),
6 67
1 375 1 0 01 4 3 0
0 3 8 50 0 5 80005
25 80000
10672 10
1
2
3
44
,
, −− −
− −−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
TTTT
x
x
şeklinde uygulanır.
Buradan sıcaklık vektörü, T=[304.6,119.0,57.1,20.0]T°C olarak bulunur. T4=20°C sınır şartı eliminasyon yaklaşımıyla da uygulanabilir. [K]’dan 4. Satır ve sütun silinir ve yük vektörü de Ri=Ri-(Ki,p1a1+Ki,p2a2+ ..... + Kn,prar) şeklinde düzenlenerek
66 71 375 1 0
1 4 30 3 8
25 8000
0 6670
1
2
3
,, −− −
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
TTT
xelde edildikten sonra sıcaklık vektörü
[T1,T2,T3]=[304.6,119.0,57.1]°C olarak bulunur. Tanımlı ısı akışı sınır şartı: Belirli fiziksel durumlar,
(x=0) da q=q0 (33) şeklinde sınır şartı olarak modellenebilir. Burada q0 sınırda belirlenmiş ısı akışıdır. q=0 ise
yüzey tamamen izole edilmiştir. Yüzeye temas eden herhangi bir ısı kaynağı olması
durumunda q0 sıfırdan farklı değer alır. Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir husus
ısının çözüm bölgesine girmesi durumunda negatif değer almasıdır. Bu sınır şartı yük
vektörüne tanımlı ısı değerinin doğrudan ilave edilmesi şeklinde tatbik edilir. Sonuç
olarak,
[ ] ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−
+=
0..0
0q
RTK (34)
elde edilir. Burada ısının dışardan cismin içine doğru olduğu kabul edilmiştir. Zorlanmış ve Doğal Sınır Şartları: Buradaki problemde alan değişkenlerine bağlı olarak
verilen (T=T0 benzeri) sınır şartları zorlanmış sınır şartları olarak adlandırılır. Buna karşılık
q(x=0)=q0 veya –k(dT/dx)(x=0)=q0 şeklinde alan değişkeninin türevine bağlı olarak verilen
sınır şartları ise doğal sınır şartları olarak adlandırılır. q=q0=0 olarak verilen bir sınır
Bölüm 9-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şartında denklemlerde herhangi bir düzeltmeye gerek yoktur. Bu sınır şartı kendiliğinden
sağlanır.
Örnek: k=0.8 W/m°C olan büyük bir levhada 4000 W/m3 lük bir ısı kaynağı bulunmaktadır. Levhanın kalınlığı 25 cm olup dış yüzeyi (h= 20 W/m2°C ve Too= 30 oC) konveksiyona maruzdur. Levha boyunca sıcaklık dağılımını belirleyiniz.
Çözüm: Problem tabakanın ortasından geçen düzleme göre simetriktir. İki elemanlı bir sonlu eleman modeli oluşturularak çözülür. Simetri ekseninden sol tarafa ısı akışı olmayacağından bu düğümde sınır şartı olarak q=0 alınır. (k/l=0.8/0.625=12.8 dir.)
Sistemin genel iletim matrisi [ ] şeklindedir. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−−
−=
)208.12(8.1208.126.258.12
08.128.12K
• • •
6.25 6.25 h ,T∞
Simetriekseni
k=0,8 W/m°C, h=20 W/m°C, T∞=30 °C
q=0
2 3
Q=4000 W/m3
1
Yük vektörü ise, R = [125, 250, (125+20x30)]T olarak elde edilir. [K]T=R denklem takımının çözümünden T=[94.0, 84.3, 55.0 ]T 0C elde edilir.
2.3 İnce Kanatçıklarda Isı Transferi Isı transferi yüzeyini artırmak için herhangi bir yapıya ilave edilen ince levhalar kanatçık
olarak adlandırılır. Hava ile soğutulan motorsiklet motorunun dış yüzeyinde kanatçıkların
örneğini görmek mümkündür. Burada silindir üzerindeki kanatçıklar ısıyı hızlı bir şekilde
konveksiyon yoluyla ortama aktarır ve motor silindiri bu şekilde soğutulmuş olur. Burada
ince filmlerde meydana gelen ısı transferinin sonlu elemanlarla modellenmesi üzerinde
durulacaktır (Şekil 4).
Tek bir kanatçık ele alalım (Şekil 5). Problem, kanatçığın genişliği boyuna göre fazla
olduğundan kanatçığın derinliğine doğru yayılan ısı ihmal edilirse, yan yüzeylerden
konveksiyonla meydan gelen ısı akışı dışında tek boyutlu bir problem olarak ele alınabilir.
Bu durumda kanatçıktan konveksiyonla meydana gelen ısı kaybı,
QP dx h T T
A dxc= −
− ∞( . ) ( ))( ∞−−= TT
APh
c (35)
Bölüm 9-1212
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Sıca
kO
rtam
Isı Yayılması
Şekil 4 İnce dikdörtgen kanatlardan oluşmuş bir düzen
olarak yazılabilir. Burada P, kanatçığın çevresi ve Ac de kesit alanıdır. Böylece, kanatçığın
dibinde sabit sıcaklık sınır şartı (T=T0), ucunda da alan çok küçük olduğundan q=0 sınır
şartı kabul edilerek, bir boyutlu ısı iletimi denklemindeki ısı kaynağı ifadesi yerine
konveksiyon ısı kaybı yazılırsa,
0)(. =−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞TTAPh
dxdTk
dxd
c (36)
elde edilir.
Sıca
kO
rtam
KonveksiyonIsı Kaybı
dxqx
q
L
w
Kanatçık kalınlığı=tKanatçık Çevresi
P=2(w+t)Kanatçık Kesiti
Ac=wt
x
T=T0
q=0
Şekil 5. İnce dikdörtgen kanatçıktaki ısı akışı
Bölüm 9-1313
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak elde edilir. Buradan konveksiyon iletim matrisi,
[ ] [ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡== ∫
+
−2112
32112
6.
2.
1
1 thll
APhdrNN
lAP
K ee
e
Te
c
hh (40)
olarak elde edilir. Konveksiyon yük vektörü ise,
[ ] 11..
11
2....
2
1
1 tlThl
AThPdrN
lT
APhR ee
c
Te
ch
∞
−
∞∞ === ∫ (41)
dir. Böylece izoparametrik olarak yazılmış denklem [ ] [ ]( ) 0=++ ∑∑
eh
Te
eh
T RTKK ψψ (42)
olarak indirgenir. Bu da genel denklemi verecek şekilde toplanarak
Bölüm 9-1414
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] [ ]( ) 0=++ RKK Th
T ΨΨ (43) elde edilir. Bu denklem tüm ψ’ler ψ1=0 şartını sağladığı sürece geçerlidir. T1=T0
şeklinde verilebilecek tanımlı sıcaklık sınır şartı [K]ij = ([K]+[Kh])ij şeklinde sistem iletim
matrisi elde edildikten ve varsa diğer ısıl yükler de yük vektöründe hesaba katıldıktan
sonra genel denklemde,
(44)
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
01
031
021
3
2
22
33332
22322
.
.
.
.
.
.
.............
.
.
.
.
.
.....................
TK
TKTK
R
T
TT
KKK
KKKKKK
LLLLLL
L
L
şeklinde bir düzenleme yapılarak eliminasyon yaklaşımıyla hesaba katılmış olur. Başka
türden sınır şartları da daha önce gösterildiği şekilde işleme alınır.
Örnek: 0.1 mm kalınlığında, 10 cm uzunluğunda, iletkenliği k = 360 W/m°C olan bir kanatçık, sıcaklığı 235°C olan bir duvar üzerindedir. h = 9 W/m2 °C lik konveksiyon katsayısı ile 20°C sıcaklığındaki havaya transfer edilen ısının miktarını ve sıcaklık
dağılımını belirleyiniz.
4 3 21
t=0.1cm, w=1m, k=360 W/m°C h = 9W/m2°C, T = 20°C
3.33x3=10cmİzole edilmişuç q=0
DuvarT=235 oC Kanatçığın genişliğini 1m
alınız. Çözüm: Kanatçığın ucunun izole edildiğini kabul edelim. Şekildeki gibi üç elemanlı bir sonlu eleman modeli oluşturduktan sonra genel denklemler
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧−
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−
−−−
−
−
−
− 001
1033.3235360
122
101033.3209
210141014
1031033.39
110121
012
1033.3360
23
2
432
3
2
2 xxxxx
TTT
xxx
x
olarak yazılır. Buradan [T2,T3,T4] = [211.7,197.0,192.2]°C elde edilir. Kanatçıktan meydana gelen toplam ısı kaybı elemanlardan meydana helen ısı kayıplarının toplanması ( ) şeklinde hesaplanır. Her eleman içindeki kayıp HH He
e= ∑ e = h(Tor – Too) Ay dir.
Eleman yüzey alanı Ay = 2x(1x0.0333)m2 olup Tor, eleman içindeki ortalama sıcaklığı gösterir. Buna göre H = 333 W/m bulunur.
2.4 İki Boyutlu Kararlı Hal Isı İletimi Önceki bölümde elde edilen iki boyutlu kararlı hal ısı iletimi denklemi için bu bölümde
eleman matrisleri ve yük vektörleri elde edilecektir. Bunun içinde sabit matrislere sahip
Bölüm 9-1515
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olması nedeniyle lineer üçgen eleman ele alınacaktır. Benzer yöntemlerle diğer elemanlar
için de gerekli matrisler elde edilebilir.
Üçgen Eleman: Isı iletimi probleminde aranan alan değişkeni yalnızca skalar bir büyüklük
olan sıcaklık (T) olduğundan düğümlerdeki serbestlik derecesi bir olarak değerlendirilebilir
(Şekil 5). x, y düzleminde verilen sabit uzunluğa sahip bir üçgen eleman içindeki sıcaklık
alanı,
T = N1T1 + N2T2 + N3T3 (45)
veya matris formunda
T = [N]Te (46) olarak yazılabilir. Burada [N] = [r, s, 1-r-s] şeklinde verilen eleman şekil fonksiyonlarıdır.
Te = [T1, T2, T3]T şeklindedir. Koordinatlar da aynı şekilde
x = N1x1 + N2x2 + N3x3 y = N1y1 + N2y2 + N3y3 (47)
yazılır. Zincir kuralı,
sy
yT
sx
xT
sT
ry
yT
rx
xT
rT
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ..,.. +=+= (48)
olduğundan sıcaklık gradyanı matris formunda
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
yTxT
J
sTrT
∂∂∂∂
∂∂∂∂
(49)
elde edilir. [J] ise,
(50) Jx yx y
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
13 13
23 23
dir. Burada xij = xi - xj, yij = yi - yj ve |detJ| = 2Ae olduğunu biliyoruz. Aradığımız sıcaklığın
global koordinatlara göre türevi olduğundan, ters alma işlemi ile
[ ] eTxxyy
JsTrT
J
yTxT
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
110101
det1
1323
1323
∂∂∂∂
∂∂∂∂
(51)
Bölüm 9-1616
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
elde edilir. Bu da,
[ ] eTB
yTxT
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
(52)
yazılabilir. Burada
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−−−−=
211332
123123
13231323
23131323
det1
)()(
det1
xxxyyy
Jxxxxyyyy
JB (53)
şeklindedir. Türevlerin karelerinin alınmasıyla,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
Tx
Ty
Tx
Ty
TxTy
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
2 2
. (54)
(55) [ ] [ ] e
TTe TBBT=
elde edilir. Eleman denklemleri: İki boyutlu kararlı hal ısı iletimi denklemi,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂x
kTx y
kTy
Q. .⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + = 0 (56)
dir. Şekil 1’de verilen sabit sıcaklık (T = T0) sabit ısı akışı (qn = q0) ve konveksiyon
(qn=h(T-Too) ) sınır şartlarını göz önüne alarak çözüm için
∫ ∫∫∫ ∞−++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2 3
20
22
)(21.2.
21
s sAT dsTThTdsqdAQT
yTk
xTk
∂∂
∂∂Π (57)
fonksiyoneli minimize edilir. Çözümün sabit sıcaklık sınır şartını da sağlaması gereklidir.
İlk terim,
[ ] [ ]
[ ] [ ] ∑
∑ ∫∫∫
=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ee
Tee
Te
ee
TTe
A
TBBAkT
dATBBTkdAyTk
xTk
21
.21..
21
22
∂∂
∂∂
(58)
Bölüm 9-1717
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak yazılabilir. Burada eleman iletim matrisi [ ] [ ]BBAkk Teee =][ olarak tarif edildikten
sonra genel iletkenlik matrisi [K] eleman iletkenlik matrislerinin toplanmasıyla elde edilir.
İkinci terim olan ısı kaynağını ele alalım. Eleman içinde üç farklı ısı kaynağı bulunabilir.
İlk olarak ısı kaynağının eleman içinde sabit ısı yaydığını kabul edelim (Q=Q0). Bu
durumda,
[ ]( ) ∫ ∑ ∑∫ −=−=−
e e ee
TQeee TRTdANQQTdA . (59)
elde edilir. olduğundan eleman ısı yükü vektörü 3/e
ei AdAN =∫
[ ]TeeQ
AQR 1,1,1
3= (60)
olarak elde edilir. Buradan eleman içinde sabit olarak üretilen ısının üç düğüme eşit olarak
dağıtıldığı anlaşılır. İkinci durum olarak Q’nun eleman içinde lineer olarak dağılım
gösterdiğini düşünelim. Q= [Q1,Q2,Q3]T şeklinde düğüm değerleri yazılabileceğinden
şekil fonksiyonları yardımıyla,
(61) [ ] eQNsrQ =),(
yazılır. Enerji eşitliğinde yerine konduğunda ( ) eleman yük vektörü, ∫−
ee QTdAΣ
( ) ( ) ([ ]TeQ QQQQQQQQQ
AR 321321321 2,2,2
12++++++= ) (62)
olarak elde edilir. Son olarak ısının sıcak su kanalı veya elektrik teli gibi eleman içinden
geçen bir kaynak ile üretilmiş olduğunu düşünelim. Bu tür kaynaklar noktasal (tekil)
kaynak olarak adlandırılır. Q0 eleman içinde (r0,s0) koordinatında bulunan tekil kaynak
olsun. Böyle bir ısı kaynağını modele koymanın en kolay yolu elemanlara ayırırken bu
noktada bir düğüm tanımlamaktır. Böylece Q0 doğrudan yük vektörüne ilave edilebilir.
Buna rağmen kaynak eleman içinde herhangi bir (r0,s0) noktasında ise bunun eleman
düğümlerine dağıtılması,
00 TQQTdA
e∫ = e
TQe TRTsrNQ == ),( 000 (63)
Bölüm 9-1818
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklinde yapılır. Burada RQ= Q0[N(r0,s 0)]T= Q0[r0,s0,1-r0-s0]T dir. Π içindeki sabit ısı akışı sınır şartı terimi
[ ] es e e
TdSNqTdsq∫ ∑ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1200 (64)
dir. Isı akışının elemanın 2-3 kenarından olduğunu kabul edersek (üçgen elemandaki yayılı
yükü hatırlayınız) bu kenarda [N] = [0, s,1-s] ve l2-3 2-3 kenarının uzunluğu olmak üzere,
dS=l2-3ds olduğundan (Şekil 6),
(65) [ ] [ ] ee
Te
e ee
e
TRqTdrrrlqTdSNq ∑∑ ∑ ∫∫ =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
1
032020 1,,0
elde edilir. Sabit ısı akışı nedeniyle oluşan ısıl yük
[ ]TlqRq 1,1,0
2320 −= (66)
dir. Isı akışı 1-2 kenarında olsa idi vektör, [ ]TlqRq 0,1,1
2320 −= , yada 3-1 kenarında olsa
idi [ ]TlqRq 1,0,1
2320 −= olarak elde edilecek idi.
e
1
2-3 kenarı sabitısı akısı olan
elemanlar
3
2
q=q0
Çözümbölgesi
sınırı
e
1 2-3 kenarıkonveksiyona
maruz elemanlar
3
2
q=h(Ty-Too)
Çözümbölgesisınırı
Şekil 6 Üçgen elemanın 2-3 kenarı üzerinde tanımlı ısı akışı ve konveksiyon sınır şartları
Şimdi de konveksiyon terimini ele alalım.
[ ] [ ] [ ] ∑∫ ∑ ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
eeh
Te
s ee
e
TTe TKTTdSNNhTdShT 2/1
21
21
33
2 (67)
Bölüm 9-1919
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olur. Bu terim kiriş problemindeki elastik temel sınır şartına benzemektedir. [Kh]
konveksiyon iletim matrisi olarak adlandırılır ve elemanın konveksiyona maruz kenarı için
hesaplanır. Üçgen elemanın 2-3 kenarı için,
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= −
210120000
6. 32lh
Kh (68)
elde edilir. Konveksiyon nedeniyle meydana gelen yük ise,
[ ] ee
The
s e e
TRTdSNhTdShTT ∑∫ ∑ ∫ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=− ∞∞
33 (69)
olarak elde edilir. 2-3 kenarı için konveksiyon yükü
[ ]ThlhT
R 1,1,02
32−∞= (70)
dir. Böylece Π,
[ ] TRTKT TT −=21Π (71)
olarak elde edilmiş olur. Burada,
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )∑ ∑ ∑ ++=+=e e e
hqQhc RRRRveKKK (72)
şeklindedir. Π’nin minimizasyonu S1 üzerindeki tüm düğümlerde T=T0 sınır şartını
sağlayacak şekilde elde edilir. Belirlenmiş sıcaklıkları hesaplamak için penaltı veya
eliminasyon yaklaşımlarından herhangi biri kullanılabilir.
Örnek: Kesiti ve sınır şartları verilen uzun dikdörtgen çubuktaki sıcaklık dağılımını belirleyiniz. Çözüm: Simetri nedeniyle dikdörtgenin yarısının modellenmesi yeterlidir. Simetri ekseninden sol tarafa ısı akışı olmayacağından bu eksen izole edilmiş olarak alınır. 3 elemanlı bir sonlu eleman modeli oluşturulmuştur.
Eleman süreklilik matrisi yanda verilmiştir. Sıcaklık değişimi şekil matrisi
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
211332
123132
det1
xxxyyy
JB dir. Buna
Eleman 1 2 3 1 1 3 2 2 5 4 3 3 1 5 3
göre elemanlar için
Bölüm 9-2020
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
0.6m
h=50W/m2°C, T∞=25°C
4
q=0
0.3m
h=50W/m2°C, T∞=25°C
q=0
k=1.5 W/m°C
1
1
23
5
T=18
0°C
T=18
0°C
0.4
m
T=18
0°C
q=0
2
3
[ ] [ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−−−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−= 04,04,0
3,015,015,012,01,4,04,00
015,015,006,01,4,04,00
015,015,006,01
321 BBB
olarak hesaplanır. Buradan eleman iletim matrisleri, [k] = k.Ae.[B]T.[B] formülünden,
olarak hesaplanır. Konveksiyona maruz kenarları bulunan 1 ve 2 elemanları için ilgili matris ve vektörler her iki elemanın da 2-3 kenarı konveksiyona maruz olduğundan elde edilen matris yardımıyla,
[ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
225,1025,15,20000
5,225,1025,15,20000
21 hh KK
elde edilir. [K] = ∑ ([Kc]+[Kh]) ile genel iletkenlik matrisi elde edilir. Eliminasyon yaklaşımı kullanılarak 4 ve 5 düğümlerindeki t=180 oC sınır şartı uygulanarak genel matris,
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
−−=
5625,975,028125,075,078125,428125,0
28125,028125,042125,1K
olur. Yük vektörü için konveksiyondan gelen yük, [ Th
lThR 110
2. 32−∞= ] olduğundan,
[ ] [ ]TT RhRh 110
2)15,0).(25).(50(110
2)15,0).(25).(50(
21 ==
ve eliminasyonla genel vektör, R = 93.75 [0 1 2]T elde edilir. Eliminasyon yaklaşımıyla genel denklem modifiye edilerek sıcaklıklar, [T1, T2, T3] = [124.5, 34.0, 45.4]°C olarak bulunur. Görüldüğü gibi 2 ve 3 düğümlerini bağlayan hat boyunca büyük bir sıcaklık değişimi bulunmaktadır. Bunun sebebi 2 numaralı düğümün sıcaklığı ortam sıcaklığı olan T∞ = 25°C a yakınken 4 düğümündeki sıcaklığın 180°C de sabit tutulmasıdır. 2-4 kenarında daha fazla düğüm olacak şekilde bir modelleme yapılarak daha doğru bir sıcaklık dağılımı elde edilebilir.
Bölüm 9-2121
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
3. BURULMA
Burulma probleminde esas amaç, rastgele bir kesit şekline sahip ve M döndürme
momentine maruz prizmatik bir çubukta (Şekil 7) oluşan kayma gerilmelerini (τxz, τyz) ve
birim boyun dönme açısını (α) belirlemektir. Basit kesit şekline sahip bu türden problemler
iki boyutlu problem olarak ele alınır. Çözülmesi gereken problem,
A içinde, ∂ θ∂
∂ θ∂
2
2
2
2 2 0x y
+ + = , Yüzeyde θ = 0 (73)
şeklindedir. Görüldüğü gibi çözülmesi gereken denklem Helmotz denkleminin özel bir
halidir. Burada θ gerilme fonksiyonu olarak adlandırılır. θ elde edildiğinde kayma
gerilmeleri,
x
Gy
G yzxz ∂∂θατ
∂∂θατ ..,.. −== (74)
yardımıyla hesaplanır. Birim boydaki dönme ise,
∫∫=
A
dAGM
.2 θα (75)
şeklinde bulunur. Burada G malzemenin kayma modülüdür.
Mz
xy
S
A
τxz
τyz
x
y
(x,y)
Şekil 7 Burulmaya maruz keyfi kesit şekline sahip çubuk ve kayma gerilmeleri
Bölüm 9-2222
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
3.1 Üçgen Eleman Üçgen eleman içinde herhangi bir noktadaki θ gerilme fonksiyonu şekil fonksiyonları
yardımıyla
[ ] eN θθ .= (76)
olarak hesaplanır. [N] = [r, s,1-r-s] olup gerilme fonksiyonunun düğüm değerleri ise,
θe=[θ1, θ2, θ3]T olarak bir vektörle gösterilebilir. İzoparametrik gösterimde,
x = N1x1+N2x2+N3x3 y = N1y1+N2y2+N3y3 (77)
[ ]T
yxJ
y
x
sy
sx
ry
rx
s
r⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∂∂θ
∂∂θ
∂∂θ∂∂θ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂θ∂∂θ
(78)
dir. Jakobiyen matrisi xij = xi - xj , yij = yi - yj alınmak suretiyle
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
2323
1313yxyxJ (79)
şeklinde elde edilir. Böylece sıcaklık analizleri sırasında elde edildiği şekliyle
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
211332
123123
det1
xxxyyy
JB olduğundan,
[ ] e
T
Byx
θ∂∂θ
∂∂θ .=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ (80)
veya gerilmeler cinsinden
[ ] [ ] eT
xzyz BG θαττ ...=− (81) yazılır.
3.2 Potansiyel Enerji Yaklaşımı Burulmaya maruz çubuk için birim boydaki potansiyel enerji ifadesi,
Π =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪∫∫G
x ydA
A
.α∂θ∂
∂θ∂
θ22 21
22 . (82)
Bölüm 9-2323
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
dır. Eleman rijitlik matrisi ve yük vektörü Π yardımıyla elde edilebilir. Gα2 sabit
olduğundan minimizasyonda etkisi yoktur. Bu nedenle gerilme fonksiyonunun türevleri,
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
y
xyxyx
∂∂θ∂∂θ
∂∂θ
∂∂θ
∂∂θ
∂∂θ
22
(83)
şeklinde matris formunda yazılarak kısa gösterimde (84) [ ] [ ] e
TTe BB θθ ..=
elde edilir. Böylece Π içindeki burulma enerjisi terimi,
[ ] ∑∫∫ =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ee
Te
A
kdAyx
θθ∂∂θ
∂∂θ
21.
21
22
(85)
olur. Eleman rijitlik matrisi,
[k] = Ae.[B]T[B] (86) dir. Yük terimi ise,
[ ] ∫∫ ∑ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
A ee
e
dANdA θθ .22 (87)
yazılarak olduğundan, [ ]∫ =
eei AdAN 3/.
∑∫∫ =
e
Te
A
fdA θθ .2 (88)
elde edilir. Yük vektörü
[ TeAf 111
32
= ] (89)
olur. Eleman matris ve vektörleri bilinen yollarla toplanarak genel denklem
[ ] FK TT ...21 θθθΠ −= (90)
şeklinde oluşturulur. Bu denklemin minimizasyonu sınırlar üzerindeki düğümlerde
gerilmelerin sıfır olması şartını sağlamak üzere yapılırsa,
Bölüm 9-2424
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[K].θ = F (91)
sonlu eleman denklemleri elde edilir. Eliminasyon yaklaşımına göre sınırlar üzerinde
bulunan bütün düğümlere karşılık gelen satır ve sütunlar silinerek çözüm yapılır.
Gerilmeler ve dönmeler ise elde edilen gerilme fonksiyon değerleri yardımıyla başta
verilen denklemlerden bulunur. Burada üçgen eleman için elde edilen matris ve vektörler
benzer yollarla diğer elemanlar için de elde edilebilir.
Örnek: Şekildeki dikdörtgen kesitli çubuk M=2 kNcm döndürme momentine maruzdur. Çubuk için G= 7.7x 106 N/cm2 olduğuna göre birim boydaki dönme açısını bulunuz.
Çözüm: Simetri nedeniyle kesitin ¼ ünün modellenmesi yeterlidir. ¼ lük kısım 4 elemanlı ve 5 düğümlü bir modelle modellenmiştir. Eleman rijitlik matrisleri için türev şekil fonksiyonları
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
211332
123123det
1xxxyyy
JB formülünden, birinci
eleman için [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−−= 422
05,15,161
1B olarak
hesaplandıktan sonra 1. Elemanın rijitlik
matrisi, [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
=667,2333,1042,1333,1292,0042,1
21
1Sim
k olarak
buludu. Benzer şekilde diğer elemanlar için,
24
3
1
1 3
45
2
y
x
y
xM
8 cm
8 cm
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−
=667,2
75,0042,175,0292,0042,1
21
2Sim
k
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
=667,2333,1042,1333,1292,0042,1
21
3Sim
k
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−
=5,175,0042,175,0292,0042,1
21
4Sim
k şeklindedir.
Her eleman için yük vektörü f = (2Ae/3)[1,1,1]T olup buradan elemanların herbirinin alanı 3 cm2 olduğundan olarak elde edilir. 3, 4 ve 5 düğümleri sınırlarda olduğundan buralarda θ
4,3,2,1,222 == if Ti
3=θ4=θ5=0 sınır şartlarını tanımlarsak eliminasyon
uygulanmış genel denklem ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−84
334,8083,2083,2084,2
21
2
1θθ olarak elde edilir. Buradan,
[θ1,θ2]=[7.676, 3.838] olarak gerilme fonksiyonu değerleri bulunur. Formülümüz olduğundan, M G d
PRINT *, '1. EKRANDAN BILGI GIRISI' PRINT *, '2. DOSYADAN BILGI GIRISI' PRINT *, ' SECIMINIZ <1 / 2> ' READ *, IFL1 IF(IFL1 .EQ. 1) GO TO 100 PRINT *, '1. kararli hal' PRINT *, '2. gecisli hal' PRINT *, ' SECIMINIZ <1 / 2> ' READ *, ifln COZUM=1 PRINT *, 'BILGI DOSYASINDA KONTROL BILGILERI, KOORDINATLAR,' PRINT *, 'DUGUM BILGILERI VE MALZEME OZELLIKLERI BULUNMALIDIR' PRINT *, 'BILGI DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE1 OPEN (UNIT = 10, FILE = FILE1, STATUS = 'OLD') LINP = 10 READ(LINP,*) NP,NE, ND,NL, NMAT, I, I, NBW GO TO 110 100 PRINT *, 'ELEMAN SAYISI' READ *, NE PRINT *, 'DUGUM SAYISI' READ *, NP PRINT *, 'MALZEME CESIDI' READ *, NMAT C ** NMAT= MALZEME CESIDI C ** NP = DUGUM SAYISI = SERBESTLIK DERECESI SAYISI C ** NE = ELEMAN SAYISI C ** X = KOORDINATLAR C ** NOC = DUGUM NUMARALARI C ** MTN = HER ELEMANIN MALZEME NUMARASI C ** TC = HER ELEMANIN ISIL ILETKENLIGI 110 PRINT *, 'CIKTI DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE2 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) LOUT = 11 IF(IFL1 .EQ. 2) GO TO 120 PRINT *, 'ELEM#, 4 DUGUM, MAL#' READ *, (N,(NOC(N,J),J=1,4),MTN(N),I=1,NE) PRINT *, 'DUGUM NUMARASI VE IKI KOORDINATINI GIR' READ *, (N, X(N, 1), X(N, 2),I=1,NP) PRINT *,'MAL# ISIL ILETKENLIK' READ *, (N, TC(N),I=1,NMAT) GO TO 130 C ** DOSYADAN GIRIS ** 120 READ(LINP,*) (X(I,1), X(I,2),I=1,NP)
Bölüm 9-3434
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
READ(LINP,*) (NOC(I,1), NOC(I,2), NOC(I,3), NOC(I,4), I=1,NE) READ(LINP,*) (MTN(I),I=1,NE) READ(LINP,*)(TC(I), CCP(I), RO(I), I=1,NMAT) CLOSE(LINP) C ** BILGILER YAZILIYOR ** 130 WRITE(LOUT,*)'DUGUM SAYISI, ELEMAN SAYISI, MALZEME CESIDI' WRITE(LOUT,'(3I5)') NP, NE, NMAT WRITE(LOUT,*) 'DUG# X-KOORD Y-KOORD' WRITE(LOUT,'(I5,2F12.4)')(I, X(I,1), X(I,2), I=1,NP) WRITE(LOUT,*)'ELEMAN#, 4 DUGUM, MALZEME#' WRITE(LOUT,'(6I5)')(I,(NOC(I,J),J=1,4),MTN(I),I=1,NE) WRITE(LOUT,*)'MAL# ISIL ILETKENLIK OZGUL ISI YOGUNLUK' WRITE(LOUT,'(I5,3F12.4)')(I,TC(I),CCP(I), RO(I), I=1,NMAT) write(*,*)nbw C ** SIFIRLAMA DO 160 I = 1, NP F(I) = 0. F1(I) = 0. DO 160 J = 1, NBW S(I, J) = 0. S1(I, J) = 0. S2(I, J) = 0. S3(I, J) = 0. S4(I, J) = 0. SSOL(I, J) = 0. SSAG(I, J) = 0. 160 CONTINUE PRINT *, 'SINIR SARTLARININ BULUNDUGU DOSYA ADI' READ '(A)',FILE4 OPEN (UNIT = 10, FILE = FILE4, STATUS = 'OLD') LINP=10 PRINT *, 'SINIR SARTLARI ' WRITE(LOUT,*)' ** SINIR SARTLARI ** ' C ** ND = TANIMLI DUGUM SICAKLIGI OLAN DUGUM SAYISI C ** NT(.) = DUGUM NUMARASI U(.) = SICAKLIK READ(LINP,*) ND WRITE(LOUT,*) 'TANIMLI SICAKLIK OLAN DUGUM SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)') ND IF(ND .EQ. 0)GO TO 170 WRITE(LOUT,*) 'DUG# SICAKLIK' READ (LINP,*) (NT(I), U(I),I=1,ND) WRITE(LOUT,'(2F12.4)') (NT(I), U(I),I=1,ND) 170 READ (LINP,*) NHF WRITE(LOUT,*) 'TANIMLI ISI AKISI OLAN KENAR' WRITE(LOUT,'(I5)') NHF IF(NHF .EQ. 0) GO TO 190 WRITE(LOUT,*) 'KENARIN IKI DUGUMU, ISI AKISI' CALL INTCOOR(XNI, XTI) DO 180 I = 1, NHF READ (LINP,*) N,N1, N2, V,YON WRITE(LOUT,*) N,N1, N2, V,YON ELEN = SQRT((X(N1,1)-X(N2,1))**2+(X(N1,2)-X(N2,2))**2)*.5 CALL SHAPES(FT,SCT,XTI,YON) DO 175 K=1,4 F(NOC(N,K)) = F(NOC(N,K)) - FT(K)*ELEN * V 175 CONTINUE 180 CONTINUE 190 READ (LINP,*) NCONV WRITE(LOUT,*)'KONVEKSIYON OLAN KENAR SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)') NCONV IF(NCONV .EQ. 0) GO TO 215
Bölüm 9-3535
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
PRINT *,'DUG1 DUG2 KONVEKSIYON KATSAYISI ORTAM SICAKLIGI' WRITE(LOUT,*)'IKI DUGUM, TANIMLI KONVEKSIYON' CALL INTCOOR(XNI, XTI) DO 200 I = 1, NCONV READ (LINP,*) N, N1, N2, H, TINF,YON WRITE(LOUT,*)N,N1, N2, H, TINF,YON ELEN = SQRT((X(N1,1)-X(N2,1))**2+(X(N1,2)-X(N2,2))**2)*.5 CALL SHAPES(FT,SCT,XTI,YON) DO 195 K=1,4 F(NOC(N,K)) = F(NOC(N,K)) + FT(K)*ELEN * H * TINF 195 CONTINUE DO 194 II=1,4 DO 194 JJ=1,4 II1=NOC(N,II) II2=NOC(N,JJ) IF(II1.GT.II2) GOTO 194 SUM=0 SUM=SUM+SCT(JJ,II) S1(II1,II2-II1+1)=S1(II1,II2-II1+1)+SUM*H*ELEN 194 CONTINUE 200 CONTINUE C ** ISIL YUK VEKTORU OKUNUYOR 215 READ (LINP,*) NQ WRITE(LOUT,*)'DUGUM ISI YUKU SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)')NQ IF(NQ .EQ. 0) GO TO 230 WRITE(LOUT,*) 'DUG# ISI YUKU' DO 220 I = 1, NQ READ (LINP,*) N, Q WRITE(LOUT,'(I5,E12.4)') N, Q 220 F(N) = F(N) + Q 230 READ (LINP,*) NEQ WRITE(LOUT,*)'ELEMAN ISI YUKU SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)') NEQ IF(NEQ .EQ. 0) GO TO 250 WRITE(LOUT,*) 'ELEM#. ORTALAMA HACIM ISI YUKU' DO 240 I = 1, NEQ READ (LINP,*) N, EQ WRITE(LOUT,'(I5,E12.4)') N, EQ CALL INTCOOR(XNI, XTI) CALL ATM(N,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) CALL MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) AREA=DJ C = EQ * AREA / 4 F(N1) = F(N1) + C F(N2) = F(N2) + C F(N3) = F(N3) + C F(N4) = F(N4) + C 240 CONTINUE CLOSE(LINP) C **** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ILETIM MATRISI 250 CALL INTCOOR(XNI, XTI) CALL CLEAR_SCREEN@ DO 290 I = 1, NE CALL SET_CURSOR_POS@(40,20) PRINT *, 'HESABI YAPILAN ELEMAN ', I CALL ATM(I,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) CALL MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) CALL RIGID(CE,FYK,XNI,SEN) DO 280 II = 1, 4 DO 280 JJ = 1, 4
Bölüm 9-3636
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
II1 = NOC(I, II) II2 = NOC(I, JJ) IF (II1 .GT. II2) GO TO 280 SUM = 0 SUM3 = 0 SUM = SUM + SE(JJ, II) SUM3 = SUM3 + CE(JJ, II) II21=II2-II1+1 S(II1,II21) = S(II1,II21)+SUM*KAL S3(II1,II21) = S3(II1,II21)+SUM3*CPE*ROE*KAL S4(II1,II21) = S4(II1,II21)+SUM3*H*2 280 CONTINUE C ============================YUZEY KONVEKSIYONU YUK VEKTORU C =========[S]=[KC], [S1]=[KHkenar], [S3]= [C], [S4]=[KHyuzey] DO 281 K=1,4 281 F(NOC(I,K))=F(NOC(I,K))+FYK(K)*H*TINF*2 290 CONTINUE c ==============================eleman dongusu bitti DO 291 JT=1,NP DO 291 IT=1,NBW 291 S(JT,IT)=S(JT,IT)+S1(JT,IT)+S4(JT,IT) DO 292 JT=1,NP F1(JT)=F(JT) DO 292 IT=1,NBW 292 S2(JT,IT)=S(JT,IT) IF(ND .EQ. 0) GO TO 309 C ** SINIR SATLARI SUM = 0. DO 300 I = 1, NP 300 SUM = SUM + S(I, 1) SUM = SUM / NP CNST = SUM * 1000000. DO 310 I = 1, ND N = NT(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 310 F(N) = F(N) + CNST * U(I) 309 DO 321 I=1,NP 321 KARTEMP(I)=F(I) CALL BAND(S,KARTEMP,IMAX,NBW,NP) GOTO 312 c=============================deltat girilecek 311 DELTAT=4. TILK=30. TETA=1. c=============================TILK TANIMLANACAK DO 293 JD=1,NP TN(JD)=TILK ESKI(JD)=TILK f1(JD)=f1(jd)*deltat DO 293 ID=1,NBW SSAG(JD,ID)=S2(JD,ID)*(TETA-1)*deltat 293 SSOL(JD,ID)=S2(JD,ID)*TETA*deltat DO 296 JDC=1,NP DO 296 IDC=1,NBW SSAG(JDC,IDC)=SSAG(JDC,IDC)+S3(JDC,IDC) 296 SSOL(JDC,IDC)=SSOL(JDC,IDC)+S3(JDC,IDC) C =================================COZUM DONGUSU ITERASYON=0 PRINT *, 'SICAKLIK DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE5 OPEN (UNIT = 6, FILE = FILE5)
Bölüm 9-3737
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
PRINT *, 'KONTROL DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE6 OPEN (UNIT = 7, FILE = FILE6) c ==!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 nnd=nd nd=0 1000 CONTINUE DO 5900 I=1,NP 5900 RHAND(I)=0. C ===================BAND CARPIMI YAPILIYOR TBOY=2*NBW-1 CALL BANDCAR(SSag,NP,NBW,TBOY,CAR,TN,ATV) C ===================IKINCI TARAF TOPLANIYOR DO 6300 I=1,NP 6300 RHAND(I)=F1(I)+CAR(I) DO 6299 ICOZ=1,NP DO 6299 JCOZ=1,NBW 6299 SCOZ(ICOZ,JCOZ)=SSOL(ICOZ,JCOZ) c =============================sinir sarti IF(ND .EQ. 0) GO TO 6309 SUM = 0. DO 6301 I = 1, NP 6301 SUM = SUM + SCOZ(I, 1) SUM = SUM / NP CNST = SUM * 1000000. DO 6310 I = 1, ND N = NT(I) Scoz(N, 1) = Scoz(N, 1) + CNST 6310 RHAND(N) = RHAND(N) + CNST * U(I) C ===================BAND COZUM YAPILIYOR 6309 CALL BAND(Scoz, RHAND, IMAX, NBW, NP) DO 1100 I=1,NP TN(I)=RHAND(I) IF(TN(I).LT.TILK)TN(I)=TILK 1100 CONTINUE c !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! do 6298 i=1,nnd n=nt(i) if(tn(n).ge.100.) then nd=nnd else nd=0 end if 6298 continue ITERASYON=ITERASYON+1 SURE=ITERASYON*DELTAT C =================KONTROL ICIN ALGORITMA DO 1101 IKON=1,NP 1101 ESKI1(IKON)=TN(IKON) DO 1102 IKON=1,NP 1102 CT(IKON)=ABS(ESKI1(IKON)-ESKI(IKON)) IF((CT(1).ge.10).OR.(CT(16).ge.10).OR.(CT(32).ge.10).OR. *(CT(40).ge.10).OR.(CT(53).ge.10).OR.(CT(66).ge.10).or. *(CT(79).ge.10).OR.(CT(134).ge.10).OR.(CT(186).ge.10).or. *(CT(253).ge.10).OR.(CT(275).ge.10).OR.(CT(397).ge.10))THEN WRITE(6,*)SURE WRITE(6,1310)TN WRITE(7,*)sure WRITE(7,*)TN(1),TN(61),TN(121),TN(193) WRITE(7,*)TN(253),TN(313),TN(343),TN(445),TN(504)
Bölüm 9-3838
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
WRITE(*,*)sure WRITE(*,*)TN(1),TN(16),TN(33) WRITE(*,*)TN(66),TN(253),TN(264) DO 1103 IKON=1,NP ESKI(IKON)=ESKI1(IKON) 1103 CONTINUE END IF C ============================= C ============================= c DO 1104 I=1,NP c 1104 ABCD(I)=TN(I)-KARTEMP(I) c IF((ABCD(1).ne.0.).or.(ABCD(6).ne.0.).or.(ABCD(7).ne.0.).or. c *(ABCD(15).ne.0.).or.(ABCD(45).ne.0.).or.(ABCD(30).ne.0.))THEN GOTO 1000 c ELSE c GOTO 1500 c END IF c 1500 WRITE(6,*)SURE WRITE(6,1310)TN WRITE(*,*)'CALCULATIONS COMPLETED' CLOSE (6) CLOSE (7) GOTO 9876 1310 FORMAT (15F10.4) 312 WRITE(LOUT,*) 'DUG# SICAKLIK' WRITE(LOUT,'(I5,E15.4)')(I,KARTEMP(I),I=1,NP) PRINT *,'DUGUM SICAKLIKLARINI SAKLAMAK ISTIYORMUSUNUZ' PRINT *,'1 = EVET, 2=HAYIR' PRINT *,'SECIMINIZ' READ *, IANS IF(IANS.EQ.2) GO TO 330 PRINT *,'DOSYA ADI' READ '(A)', FILE3 OPEN (UNIT = 12, FILE = FILE3) WRITE(12,1310)KARTEMP WRITE(*,*)KARTEMP(1) close(12) 330 WRITE(LOUT,*) 'HER ELEMANIN BIRIM ALANINDAN GECEN ISI' WRITE(LOUT,*) 'ELEM# QX=-K*DT/DX QY=-K*DT/DY ' DO 350 N = 1, NE CALL INTCOOR(XNI, XTI) CALL ATM(N,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) CALL MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) QX=B(1,1)*KARTEMP(N1)+B(1,2)*KARTEMP(N2)+B(1,3)* .KARTEMP(N3)+B(1,4)*KARTEMP(N4) QX = -QX * TCE QY=B(2,1)*KARTEMP(N1)+B(2,2)*KARTEMP(N2)+B(2,3)* .KARTEMP(N3)+B(2,4)*KARTEMP(N4) QY = -QY * TCE WRITE(LOUT,'(I5,2E15.4)') N, QX, QY 350 CONTINUE close(lout) COZUM=COZUM+1 IF ((ifln.EQ.2).AND.(COZUM.EQ.2))GOTO 311 9876 END C ------------------------------------->SUBROUTINES SUBROUTINE INTCOOR(XNI, XTI) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 XTI,XNI DIMENSION XNI(4,2), XTI(4,2) XNI(1, 1) = -.57735026919
Bölüm 9-3939
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
SUBROUTINE BANDCAR(EV,NP,NBW,TBOY,CAR,F,AYV) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 EV,AYV,F,CAR INTEGER*4 TT,TBOY DIMENSION ev(NP, NBW), AYV(TBOY), f(NP), car(NP) ii = 0 k = 0 DO 19 I=1,TBOY 19 AYV(I)=0 DO 21 I=1,NP 21 CAR(I)=0 do 1 i = 1,NP ii = i if( i .GT. NBW) ii = NBW do 10 j = 1,NBW if( ii .EQ. 0) GOTO 10 if( i .GT. NBW) GOTO 2 AYV(j) = ev(j, ii) if( i .LT. NBW) GOTO 3 2 AYV(j) = ev(j + i - NBW, ii) 3 ii = ii - 1 10 CONTINUE do 20 j = 2,NBW if( i .GT. NBW) GOTO 4 k = i + j - 1 AYV(k) = ev(i, j) GOTO 20 4 AYV(NBW + j - 1) = ev(i, j) 20 CONTINUE do 33 k = 1,2 * NBW - 1 if( i .LE. NBW) Tt = 0 if( k + Tt .GT. NP) GOTO 33 car(i) = car(i) + AYV(k) * f(k + Tt) 33 CONTINUE Tt = Tt + 1 1 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, NBW, N) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 A,B DIMENSION A(IMAX,NBW), B(IMAX) N1 = N - 1 C PRINT *, '*** ELIMINASYON ***' DO 2100 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF (NK .GT. NBW) NK = NBW DO 2100 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 2000 J = I, NK J1 = J - I + 1 2000 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 2100 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) C PRINT *, '*** YERLESTIRME ***' B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 2300 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K)
Bölüm 9-4343
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
NK = N - K + 1 IF (NK .GT. NBW) NK = NBW DO 2200 J = 2, NK B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) 2200 CONTINUE 2300 CONTINUE RETURN END
Bölüm 9-4444
ONUNCU BÖLÜM
ÖZDEĞER PROBLEMLERİ
1. GİRİŞ
Daha önceki bölümlerde ele alınan problemlerde yükler ve uygulandığı cisimler statik
durumda idi. Hem sistem hareketsizdi yada ivmesiz bir hareketi vardı, hem de uygulanan
yükler sistem üzerine yavaşça uygulanıyor herhangi bir çarpma etkisi göstermiyor idi. Yük
aniden uygulanır veya zamanla değişen bir durum gösterirse kütle ve ivme kavramlarının
göz önüne alınması zorunluluğu ortaya çıkar. Bir katı cisim elastik olarak denge halinden
uzaklaştırılarak serbest bırakılırsa, yeniden denge haline dönünceye kadar bir titreşim
hareketi yapar. Cisim içinde hapsedilmiş olan şekil değiştirme enerjisi nedeniyle meydana
gelen ve periyodik olarak cereyan eden bu hareket serbest titreşim olarak adlandırılır.
Birim zamnda meydana gelen salınım hareketi de frekans olarak, salınım sırasında cismin
yaptığı en büyük deplasman hareketi de genlik olarak adlandırılır. Gerçek hayatta
sönümleme etkisi gösteren bir çok nedenle salınım zamanla yavaşlar ve cisim denge
halinde tekrar durur. Basit modellerde sönümleme etkisi ihmal edilir ve yapının dinamik
davranışı sönümsüz serbest titreşim durumunda incelenir. Bu bölümde mekanik sistemlerin
sönümsüz serbest titreşimleri üzerinde durularak özdeğer problemlerinin sonlu elemanlar
metoduyla modellenmesine bir giriş yapılacaktır.
2. ANALİTİK FORMÜLASYON
Herhangi bir yapıda kinetik enerji ile potansiyel enerji arasındaki fark Langrange olarak
isimlendirilir ve
L=T-Π (1)
olarak gösterilir. Rastgele alınmış bir t1-t2 zaman aralığında cismin hareket durumu
∫=2
1
t
tLdtI (2)
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
fonksiyonelini minimium veya maksimum değerini alır. Bu durum Hamilton prensibi
olarak adlandırılır. Eğer L genel değişkenler (q1, q2, q3,......,qn, dq1/dt, dq2/dt,.......dqn/dt)
cinsinden ifade edilebilirse, hareket denklemleri
niqL
qL
dtd
ii
.....10 ==∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂&
(3)
şeklinde yazılabilir. Prensibi bir örnek üzerinde inceleyelim. Şekildeki yay kütle sistemini
ele alalım. Kinetik ve potansiyel enerjiler,
k1
k2
m1
m2
x1, x1
x2, x2
2122
211
222
211 )(2/12/12/12/1 xxkxkxmxmT −+=+= Π&&
dir. L=T-Π olduğundan, hareket denklemleri
0)(
0)(
1222
..
222
122111
..
111
=−+=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−++=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
xxkxmxL
xL
dtd
xxkxkxmxL
xL
dtd
&
&
olur. Matris formunda yazılırsa,
000
2
1
22
221
2
..
..
1
2
1 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
x
xkkkkk
x
xm
m
elde edilir. Bu da, [M] kütle matrisi, [K] rijitlik matrisi x ve x de deplasman ve ivme
vektörlerini göstermek üzere
[M] x +[K]x=0 ()
olarak yazılabilir.
2.1 Yayılmış Kütleli Katı Cisim Şekil 1 de verilen yayılmış kütleli katı cismi ele alalım. Potansiyel enerji için daha önce
gerekli ifadeler elde edilmiştir. Cisim için kinetik enerji ifadesi,
∫=v
T dvuuT ρ&&2/1 (4)
Bölüm 10-22
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklinde yazılabilir. Burada ρ yoğunluk u ise u , v , w bileşenlerine sahip x
noktasının hız vektörüdür.
x
y
z
v,v
w,w
u,udV
Şekil 1 Yayılmış kütleli katı cisim, diferansiyel hacim üzerinde deplasman ve hız bileşenleri
Twvuu ],,[ &&&& = (5)
Sonlu eleman modelinde cisim belirli sayıda elemanlara bölünerek deplasmanlar düğüm
deplasmanları cinsinden ve şekil fonksiyonları yardımıyla,
u=[N]q (6)
şeklinde gösterildiğinden, dinamik analizde düğüm deplasmanları vektörü zamana bağlı
olarak değiştiğinden hız vektörü benzer şekilde,
u =[N]q
(7) olarak yazılabilir. Bunu kinetik enerji eşitliğinde yerine koyarak eleman bazında yazarsak,
[ ] [ ][ ] qdVNNqTe
TTe && ∫= ρ2/1 (8)
olur. Parantez içindeki ifade eleman kütle matrisini verir.
[ ] [ ] [ ]∫=e
Te dVNNm ρ (9)
Burada elde edilen matris yayılmış kütle matrisi olarak adlandırılır. Seçilen şekil
fonksiyonlarına bağlı olarak elde edilir. Daha sonra bahsedileceği üzere kütlenin
düğümlerde toplanmış olarak kabul edildiği yığılmış kütle matrisi de vardır. Kütle matrisi
daha önce gösterilen yöntemlerle toplanarak sistemin kütle matrisi elde edilir. Böylece,
Bölüm 10-33
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
∑∑ === ][2/1][2/1 QMQqmqTT eT
ee
&&&& (10)
elde edilir. Potansiyel enerji ifadesi daha önceden,
][2/1 FQQKQ TT −=Π (11) olarak elde edildiğinden, L eşitliği,
][2/1][2/1 FQQKQQMQL TTT +−= && (12) olarak elde edilir. Buradan hareket denklemi
[ ] [ ] FQKQM =+&& (13) olarak bulunur. Serbest titreşim durumunda yük yoktur. Bu nedenle hareket denklemi
[ ] [ ] 0=+ QKQM && (14) olarak indirgenebilir. Kararlı durumda denge halinden başlanarak deplasman ifadesini,
Q=Usin ωt (15) ile hesaplayabiliriz. Burada U, düğümlerin titreşim genliği, ω (rad/s)ise dairesel salınım
frekansıdır. Böylece,
[K]U=ω2[M]U (16)
elde edilir. Genel özdeğer problemi formülasyonu da,
[K]U=λ[M]U (17) şeklindedir. Burada U titreşim modunu temsil eden özvektör λ de buna karşılık gelen
özdeğerdir. Burada elde edilen eşitlikler sonlu elemanlarla modellemenin diğer temel
yöntemlerinden olan Galerkin yaklaşımı ve virtüel işler prensipleri ile de elde edilebileceği
gibi D’alambert prensibinin uygulanmasıyla da aynı sonuca ulaşılır.
3. ELEMAN KÜTLE MATRİSLERİ
Önceki bölümlerde çeşitli elemanlar için şekil fonksiyonları detaylı olarak incelenmiştir.
Burada yalnızca kütle matrislerinin elde edilmesi üzerinde durulacaktır. Yoğunluğun
eleman içinde sabit olduğunu kabul edersek kütle matrisi,
Bölüm 10-44
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] [ ] [ ]∫=
e
Te dVNNm ρ (18)
olur. Çubuk eleman için q=[q1,q2]T ve [N]=[N1,N2] ve şekil fonksiyonları da,
21,
21
21rNrN +
=−
= (19)
olduğundan, kütle matrisi,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
== ∫∫ −
2112
6
21
1
ee
Tee
e
Te
lA
drNNlA
dxNNm
ρ
ρρ
(20)
olur. Kafes elemanında ise her düğümde iki serbestlik derecesi olduğundan deplasman vektörünün 4 bileşeni olur.
q=[q1,q2, q3,q4]T
(21)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
21
2100
00][ NNNNN
Şekil fonksiyonları çubuk elemanla aynı olduğundan gerekli işlemler yapıldığında kütle
matrisi,
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2010020110200102
6eelA
emρ
(22)
olarak elde edilir. Kiriş elemanında Hermite şekil fonksiyonlarının kullanıldığı daha önce gösterilmişti. Bu
durumda kiriş eleman kütle matrisi,
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
== ∫−
2
221
1
4221563134135422156
4202e
e
eee
ee
eeTeee
lsiml
lllll
lAdrHH
lAm
ρρ (23)
dir.
Bölüm 10-55
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Düzlem çerçeve elemanında eleman matrislerinin yerel koordinatlarda kiriş ve çubuk
elemanın toplanmasıyla oluştuğu gösterilmişti. Bu durumda yerel koordinatlardaki kütle
matrisi, 420
,6
eeee lAb
lAa
ρρ== şeklindeki bir tanımlamayla,
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
blsimblb
ablblblblbblb
aa
lAm
e
e
eee
ee
eee
2
22
42215600231304135402215600002
420ρ
(24)
elde edilir. Buradan genel koordinatlardaki kütle matrisi transformasyon matrisleri
vasıtasıyla,
[ ] [ ][ ] [ ]LmLm ee
'= (25) olur. Şabit şekil değiştirmeli üçgen elemanın şekil fonksiyonları, N1=r, N2=s, N3=1-r-s olarak
verilmektedir. Eleman şekil fonksiyonları matrisi ise,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
3
3
21
210
000
00][ NN
NNNNN (26)
dir. Buradan eleman kalınlığını sabit alarak integral alındığında
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
202102010210102010102
12
sim
Atm ee
eρ
(27)
elde edilir.
Eksenel simetrik üçgen elemanda deplasman bileşenleri eksenel ve radyal deplasmanlar
olmak üzere u ve w olarak gösterilir. Bunun dışında düğüm deplasmanları vektörü ve şekil
fonksiyonları üçgen elemanla aynıdır. Bu durumda hacimsel integral,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫∫ ==e
T
e
Te rdANNdVNNm πρρ 2 (28)
olarak yazılabilir. r=N1r1+ N2r2+ N3r3 alınırsa,
Bölüm 10-66
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] [ ] [ ]∫ ++=e
T332211e rdANN )rN rN r(Nm πρ2 (29)
elde edilir. Diğer taraftan ..
olduğundan integrasyon sonunda kütle matrisi, ∫∫∫ ===eee
AedANNNAedANNAedAN ,60/,30/,10/ 32122
131
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
−+−+
−−+−−+
=
rrsimrr
rrrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
Am e
e
202
2020202
20202020202
10
334
334
131
234
131
234
231
331
134
231
331
134
πρ (30)
elde edilir. Burada r , ağırlık merkezinden geçen çemberin yarıçapıdır. Dörtgen eleman için hem düzlem gerilme hem de düzlem şekil değiştirme durumunda
deplasman bileşenleri u ve v dir. Düğüm deplasmanları vektörünün 8 elemanı vardır.
Eleman şekil fonksiyonları matrisi ise,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
4
4
3
3
21
210
00
000
00][ NN
NN
NNNNN (31)
şeklinde yazılır. Bu durumda eleman kütle matrisi,
[ ] [ ] [ ]∫=e
Tee jdrdsNNtm detρ (32)
şeklindedir. Bu integrasyon nümerik olarak yapıldığında eleman kütle matrisi elde edilir. Eksenel simetrik dörtgen elemanda ise
[ ] [ ] [ ]∫=e
Te jdrdsNNrm det2πρ (33)
şeklindedir. Üçgen prizmatik eleman için her düğümde üç serbestlik derecesi (u=[u,v,w])
olduğundan eleman şekil fonksiyonları matrisi
[ ]⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
43
43
43
21
21
21
000000000000
000000000000
NNNN
NN
NNNN
NNN (34)
şeklindedir. Buradan alınan integrasyon ile,
Bölüm 10-77
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
20200210020100001010010100
2020021002
0010000110000100
0100001010010100
2020021002
20
sim
Vm e
eρ (35)
elde edilir. Lump Kütle Matrisleri: Buraya kadar verilen yayılmış kütle matrislerinin dışında eleman
kütlesinin düğümlere eşit olarak dağıtılmasıyla oluşturulan lump kütle matrisleri de
pratikte kullanılmaktadır. Burada kütle yalnızca ötelenme serbestlik derecelerine göre
hesaplanır. Kafes eleman için kütle matrisi,
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1010010001
2sim
lAm ee
eρ (36)
şeklindedir. Kiriş elemanı için ise,
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0010000001
2sim
lAm ee
eρ (37)
dır. Konsistent kütle matrisleri daha doğru sonuçlar verir. Buna karşılık lump matrislerde
yalnızca diyagonal üzerinde değerler olduğundan hesap yapmak daha kolaydır. Lump
matrisle elde edilen özdeğerler gerçek özdeğerlerden daha küçüktür.
4. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLERİN ELDE EDİLMESİ
Serbest titreşim probleminde esas amaç titreşimin özdeğeri olan λ (=ω2) yi elde etmektir.
Bununla beraber λ nın elde edilmesiyle titreşim modunun bir göstergesi olan özvektörler
de elde edilir. Daha önce verildiği şekilde özdeğer problemi
[K]U=λ[M]U (38)
Bölüm 10-88
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklindedir. Burada hem rijitlik hem de kütle matrisleri simetrik matrisler olup, uygun sınır
şartları altında denklem sistemi pozitif tanımlıdır.
4.1 Özvektörün Özellikleri
Pozitif tanımlı, nxn boyutlarındaki simetrik bir rijitlik matrisi için n adet gerçek özdeğer ve
bunlara karşılık gelen n adet özvektör vardır. Özdeğerler büyükten küçüğe doğru,
nλλλ .......0 11 ≤≤≤ (39)
şeklinde sıralanabilir. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler U1,U2,.....Un, ise,
özdeğer eşitliği
[K]Ui=λι[M]Ui (40)
olarak yazılabilir. Özvektörler kütle ve rijitlik matrislerine göre ortogonaldir. Yani:
i≠j ise UiT[M]Uj=0, UiT[K]Uj=0 (41)
dır. Özdeğerin boyu genel olarak normaliz edilmiş olup,
UiT[M]Ui=1 (42) dir. Bu normalizasyon da,
UiT[K]Ui=λi (43) eşitliğini verir.Özvektörün boyu önceden tesbit edilmiş bir değerle sabitlenebilir.
4.2 Özdeğer ve Özvektörlerin Hesabı Özdeğer ve özvektörlerin hesabında genel olarak üç yol izlenir, 1. Karakteristik Polinom Yöntemi
2. Vektör iterasyon yötemi
3. Transformasyon yöntemi
Burada sırasıyla bu yöntemler gösterilecektir. Karakteristik polinom Yöntemi: [K]U=λ[M]U denkleminden
([K]-λ[M])U=0 (44) denklemi elde edilir. Sistemin sıfır çözümden başka bir çözümünün bulunabilmesi için
Bölüm 10-99
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
det ([K]-λ[M])=0 (45) olmalıdır. Bu şartı sağlayan değerlere sistemin karakteristik polinomu denir. Örnek: Şekilde verilen kademeli mil için özdeğer ve özvektörleri bulunuz. (E=30x106 N/cm2, ρ=7.324 N/cm3, A1=1 cm2, l1=10 cm, A2=0.5 cm2, l2=5 cm)
Çözüm: Q2 ve Q3 serbestlik derecelerini dikkate alarak gerekli kütle ve rijitlik matrislerini yazarak denklem sistemini oluşturalım
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
3
2
2222
222211
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
)(26 U
UlAlAlAlAlA
UU
lA
lA
lA
lA
lA
Eρ
λ
değerleri yerine koyarsak,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
− −
3
24
3
2655.25.2251022.11.01.0
1.02.01030 UUxU
Ux λ
olur. Karakteristik denklem ise,
0)101.6103()1005.3103(
)1005.3103()105.30106(det 4646
4646=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−−−
−−
−−
λλλλ
xxxxxxxx
dir. Sadeleştirildiğinde ise, elde edilir. Buradan özdeğerler, λ
010910465.11077.1 12426 =+−− xxx λλ
1=6.684 x108 ve λ2=7.61x109 olarak hesaplanır. λ1 için özvektör
Q1 Q2 Q3
Mod 1
Mod 2
u
1 2 3
([K]-λ[M])U1=0 eşitliğinden,
]236.1,[,204.396.3,0592.224.324.396.310 32132
3
26 UUUUUUU T ===
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−
elde edilir. Görüldüğü gibi vektör bileşenleri bağımlı olarak elde edilmiştir. Bu durumda, Normalizasyon için, U1
T[M]U1=1 yazılarak, U1
T =[14.527 17.956] elde edilir. Benzer şekilde diğer özvektör, U2
T =[11.572 -37.45] olarak bulunur. Titresim modları şekilde verilmiştir. Bu yöntemin bilgisayar uygulaması zordur ve daha fazla işlem gerektirmektedir. Verilecek
diğer yöntemler bu açıdan daha avantajlıdır.
Vektör İterasyon Yöntemi: Çeşitli vektör iterasyon yöntemleri vardır. Bunlardan birçoğu
Rayleigh Bölmesi yöntemini kullanır. Ele aldığımız genel serbest titreşim problemi için
Rayleigh Bölmesi
Bölüm 10-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] [ ] vMv
vKvvQ T
T
=)( (46)
şeklinde verilir. Burada v rastgele alınmış bir vektördür. Rayleigh Bölmesinden elde
edilen değerin temel özelliği sistemin en büyük ve en küçük özdeğerlerinin arasında
bulunmasıdır.
λ1≤Q(v) ≤λn (47)
Bu yöntem kuvvet iterasyonu, ters iterasyon ve ters yerleştirme iterasyonlarında
kullanılmaktadır. Kuvvet iterasyon yönteminde en büyük özdeğer elde edilir. Ters
yerleştirme yöntemi büyük sistemler için uygun bir yöntemdir. Ters iterasyon yönteminde
ise en küçük özdeğer elde edilir. Burada ters iterasyon yöntemi izah edilecektir.
Ters iterasyon yönteminde bir başlangıç deneme vektörü seçildikten sonra döngü k=0
alınarak başlatılır.Bundan sonra
k=k+1 vk-1=[M]uk-1 hesaplanır [K]u’k=vk-1 çözülür
v’k=[M]u’k yazılır, λk=(u’kTvk-1)/ (u’kTvk) özdeğeri bulunur. uk=u’k)/ (u’kTvk)1/2 özvektör normalize edilir. (λk-λk-1)/ λk≤tolerans kontrol edilir. tolerans sağlandı ise U=uk olarak özvektör elde edilir
sağlanmadı ise başa dönülür. Eğer deneme özvektörü olarak seçilen vektör özvektörlerden biri değil ise bu prosedürden
en küçük özdeğer elde edilir. Diğer ödeğerler rijitlik matrisinin ötelenmesi yoluyla yada
deneme vektörlerinin kütle matrisinin ortogonal vektörlerinden seçilmesi yoluyla elde
edilebilir. Bu konular için uygun nümerik analiz kitaplarına başvurulmalıdır.
Örnek: Şekildeki kiriş için en küçük özdeğeri ve buna karşılık gelen özvektörü bulunuz.
Çözüm: İki elemanlı bir model oluşturalım. Eliminasyon yaklaşımına göre yalnızca 2 ve 3 düğümlerini dikkate alarak sistem matrislerini elde edebiliriz.
Bölüm 10-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
0005.0009.021.0
0004.0005.0001.0005.007.0042.0
,
3.57.268.177
7.27.267.107.268.17706.355
sim
M
sim
K
buradan uygun bir bilgisayar programıyla (bir çok nümerik analiz kitabında verilmiştir.) en küçük özdeğer λ1=20300 olarak elde edilir. Buna karşılık gelen özvektör ise, U=[0.64, 3.65, 1.9, 4.33]T dir. Bu öz vektörün oluşturduğu titreşim modu şekilde verilmiştir. Transformasyon Yöntemleri: Bu yöntemde temel amaç matrisleri daha basit hale
getirerek özdeğerlerin elde edilmesidir. İki temel yöntem kullanılır. Bunlar genelleştirilmiş
Jakobi yöntemi ile QR yöntemleridir. Büyük ölçekli problemler için daha uygun olan bu
metodlardan QR metodu matrislerin üst veya alt üçgen matris haline getirilmesi, Jakobi
metodu ise matrislerin diyagonal haline getirilmesi esasına dayanmaktadır. Bu metodlarda
bant matris yerine matrislerin tamamı kullanılır ve sonuçta bütün özdeğerler birlikte elde
edilir. Burada Jakobi yönteminden bahsedilecektir. İlgili okuyucular daha geniş bilgi için
Nümerik Analiz kitaplarına bakmalıdırlar.
Sistemin bütün özdeğerlerinin U kare matrisinin sütunları olduğunu ve özdeğerlerinin de A
kare matrisinin diyagonaline yerleştiğini kabul edelim. Bu durumda genel özdeğer
olmalıdır. Bu denklemlerin çözümü için aşağıdaki prosedür izlenir:
jjiijjiiijjjijjjijiiijii KMMKCKMMKBKMMKA −=−=−=
biriherhangierdenYukardakilBAKK
B
KK
A
BA
AABCCBveA
ii
ij
ii
ij
→==
−==→=
=−=→=
−=
++−=→≠≠
0
,00
0,0
,4/12/1002
βα
βα
αβα
(57)
Bölüm 10-1313
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Diyagonalleştirme işleminde prensip olarak matrislerin belirli bir elemanının
sıfırlanmasıyla başlanıp bir sıra takip edilir. Örnek olarak nxn boyutlu bir matriste 1,n
elemanından başlanarak 1,n-1; 2,n; 1,n-2; 2,n-1; 3,n .... şeklinde bir sıra izlenebilir. Bir
kere sıfırlanan bir eleman için yeni bir işlem yapmaya gerek yoktur. Sıfırlama işleminde
rijitlik matrisi için diyagonal üzerindeki en küçük elemanın 106 katı, kütle matrisi için de
yine diyagonal üzerindeki elemanın 106 da biri alınabilir. Daha hassas değerler elde etmek
için rakamların büyültülmesi de mümkündür. İşlem diyagonal dışındaki bütün elemanların
toleransdan küçük olmasına kadar devam ettirilir.
Örnek: Daha önce verilen örnekteki çubuk için diğer öz değer ve özvektörleri de hesaplayınız. 1 2 3
600 mm
u
1234
Çözüm: Uygun bir program yazıldıktan veya nümerik analiz kitaplarından elde edildikten sonra, özdeğerler ve özvektörler, λ1=20304 U1=[0.64, 3.65, 1.88, 4.32]T
λ2=809870 U2=[-1.37, 1.4, 1.9, 15.3]T
λ3=9265100 U3=[-0.2, 27.26, -2.12, -33.8]T
λ4=77974000 U4=[0.89, 30.9, 3.556, 119.2]T
şeklinde elde edilir. Bunlara karşılık gelen titreşim modları şekilde verilmiştir.
Böyle bir çubuk için en küçük kritik devir sayısı, λ1 den
dakikadevirxn /136155.920304260
===π
λ (58)
olarak hesaplanabilir.
Sistem üzerinde bulunan yayların rijitlikleri ilgili serbestlik derecesi dikkate alınarak
rijitlik matrisine, yükler ise noktasal kütleler olarak doğrudan kütle matrisine eklenebilir.
Bölüm 10-1414
ONBİRİNCİ BÖLÜM
ÖZEL KONULAR
1. ELASTO-PLASTİK GERİLME ANALİZİ
Buraya kadar ele aldığımız problemlerde malzeme davranışı σ=Eε ile verilen Hook
yasasına uygun olarak ele alınmıştır. Buna göre uygulanan yük kaldırıldığında eleman
başlangıç boyutlarına geri dönmektedir. Bu durum elastik davranış olarak da adlandırılır.
Malzeme lineer bir davranış göstermektedir. Oysa özellikle metalik malzemeler belli bir
yüklemeden sonra kalıcı bir şekilde (plastik) şekil değiştirmeye başlarlar. Plastik şekil
değişimine uğramış olan elemandan yükleme kaldırıldığında yalnızca eleastik uzamalar
kalkar, plastik uzamalar ise eleman üzerinde kalır. Plastik deformasyonun başlangıcı, bir
akma kriteri tarafından belirlenir ve akma sonrası deformasyon malzeme rijitliğinin
düşmesi ile ortaya çıkar.
Bu bölümde malzemenin elasto-plastik davranışını nümerik olarak modellenmesi üzerinde
durulacaktır. Bunun için çeşitli metodlar vardır. Genelde, a) Rijitlik matrisi metodu, b)
Başlangıç şekil değişimi metodu, c) Başlangıç gerilmesi metodu olarak adlandırılan üç
temel yöntem kullanılmaktadır.
Rijitlik matrisi değişimi metodu problem için en doğru yaklaşımı vermekle beraber plastik
deformasyon bölgesinde her iterasyon sonunda direngenlik matrisinin yeniden
hesaplanmasını gerektirir. Bu da problem çözme süresini uzatacağından düşük hızlı
bilgisayarlar için daha az tercih edilen bir yöntemdir.
Başlangıç şekil değişimi metodunda elastik olarak hesaplanmış gerilme için malzemenin
gerçek davranışına uygun bir elasto-plastik başlangıç şekil değiştirmesi aranır. Metot,
akma başladıktan sonra da mukavemet artışı devam eden malzemeler için
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
geliştirildiğinden, ε0’ın tanımlanamadığı ideal elasto-plastik malzeme gibi.durumlarda bu
metot kullanışsızdır.
Başlangıç gerilmesi metodu Zienkiewicz’in çalışmalarına dayanır ve elasto-plastik
problemlerin çözümü için en çok kullanılan metottur. Teori, tek boyutlu bir problemin
zorlanmasına dayanılarak anlatılmış, çok eksenli gerilme durumu için genelleştirilmiştir.
1.1 PLASTİSİTENİN MATEMATİK TEORİSİ
Plastisitenin matematik teorisi, elasto-plastik özellik gösteren malzemelerin gerilme şekil
değiştirme ilişkilerini izah etmekten ibarettir. Plastik davranışlar zamana bağlı olmayan
kalıcı şekil değiştirmelerle karekterize edilir. Bu şekil değiştirmeler malzemenin özelliğine
göre belli bir gerilme değerine ulaşıldıktan sonra meydana gelir. Elasto-plastik incelemenin
yapılabilmesi için şu üç şartın gerçekleşmesi gerekir.
1-Elastik şartlarda malzeme davranışını tarif etmek için gerilme ve şekil değiştirmeler
arasında lineer bir ilişki olmalıdır.
2-Plastik akmanın meydana geldiği noktada bir akma kriterinin göz önüne alınması
gerekir.
3-Akma başladıktan sonra gerilme ve şekil değiştirmeler arasında bir formülizasyona
ihtiyaç vardır.
Birinci durum, kitabın daha önceki bölümlerinde geniş olarak izah edilmiştir. Öte yandan, Hooke yasası tensör formunda şöyle ifade edilebilir.
[ ] klijklij C εσ = (1)
Burada σij ve εkl sırasıyla gerilme ve şekil değiştirme bileşenlerini ifade etmektedir.
[Cijkl] ise elastik sabitler tensörüdür. İzotropik bir malzeme için,
[Cijkl] = jkiljkikklij δµδδµδδλδ ++ (2)
şeklinde yazılabilir.burada λ ve µ Lame sabitleridir δ, Kroneker delta olarak adlandırılmaktadır ve
Bölüm 11-22
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎩⎨⎧
≠=
=ji0ji1
jiδ (3)
olarak verilir. Lame sabitleri ise, υ
µυυ
υλ−
=−+
=1211
EE ,))((
şeklindedir.
İkinci şart için, plastik deformasyonun başlangıcı her hangi bir akma kriterlerine göre
belirlenebilir. Malzemenin akması için gerekli olan gerilmenin σij her istikamet ve
yükleme şekli için değiştiği kabul ediliyorsa,
f(σij) = g(K) (4) bize akma denklemini verecektir. Burada f(σij) bir fonksiyon, g(K) ise deneysel olarak
belirlenen malzemenin plastik deformasyon katsayısı (K) nın bir fonksiyonunu ifade
etmektedir. Akma kriterleri koordinat sistemine bağlı değildir. Yalnızca gerilme
invaryantlarına bağlıdır. Bir malzemede sadece asal gerilmeler mevcutsa f(σ1,σ2,σ3)=g(K)
İlk olarak akma şartının gerçekleşip gerçekleşmediğine bakılır. Akma fonksiyonu
f(σ) = g(K) (34)
Bölüm 11-1010
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
ile verilmektedir. Burada σ gerilme vektörü, K sertleşme parametresi olmak üzere dK = σT dεp (35) şeklinde diferansiyel olarak tanımlanır. Akma yüzeyi denklemi ise, f(σ,K) = f(σ) – g(K) = 0 (36) şeklinde ifade edilebilir. Kısmî türevler alınırsa,
dF = 0=∂∂
+∂∂ dK
KFdF σ
σ (37)
veya kısa ifadesiyle,
aTdσ - Adλ = 0 (38) dır. Burada,
aT = ]xyyx
F.σF.
σF[
dσdF
τ∂∂
∂∂
∂∂
= (39)
ve
a= dKKF
∂∂
∂− .
λ1 (40)
dır. a akma vektörü olarak adlandırılır. Bu durumuda şekil değiştirmedeki değişim
dε = [D]-1 dσ + dεσ∂
∂F (41)
şeklinde elde edilir. Burada [D] elastik sabitler matrisidir. Her iki tarafı aT[D]=dDT
alınarak aTdσ ortadan kaldırılısa plastik çarpan,
dλ = ]][[
εddaaDaA D
TT+1 (42)
bulunur. Son iki denklemi birleştirirsek elosto-plastik artımlı gerilme değiştirme ilişkisi, dσ= [D]ep dε (43) şeklini alır. Burada,
Bölüm 11-1111
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
[D]ep = [D]
adA
ddT
TDD
+− , dD=[D]a (44)
Bu formül bir boyut için bulunanın yaklaşık aynısıdır. Tek eksenli durumda akma
gerilmesi kY == 13σσ olduğundan (39) ifadesi,
dKKσ
λ1dK
KF.
λ1A Y
∂∂
∂=
∂∂
∂= (45)
halini alır. σY yalnızca k'nın fonksiyonu olduğundan son terim tam diferansiyel olarak ele
Şekil 3. Düğüm,blok ve kenarların numaralandırılması.
Y ve D yönündeki toplan düğüm sayısı: (1) ∑
=
+=NY
KY
KYNYDNNY1
)(1
(2) ∑
=
+=ND
KD
KDNDDNND1
)(1
mümkün olan maksimum düğüm sayısı ise: (3) NNDNNYNNT ×= olarak ifade edilir. Problemdeki düğümlerin tanımlanması için bir dizi oluşturulur. Ayrıca blokların
tanımlanması için de bir dizi kullanılmaktadır. Bu dizi blokların malzeme numaralarını
içermektedir. Eğer bir blok için bu değer sıfır olursa o blok boşaltılmış demektir. Normalde
mevcut bloklar için bu değer 1'dir. Farklı özelliklerdeki malzemelerden oluşmuş bir bölge
üzerinde inceleme yapıyorsak,farklı bölgeler için farklı malzeme numaraları vermemiz
gerekmektedir.
Blok şeması üzerinde tanımlamış olduğumuz tüm blok köşe düğümlerinin x ve y
koordinatları ile alt blokların herbirinde bulunması muhtemel eğri kenarların orta nokta
koordinatları da bilgi olarak verilmelidir. İlk olarak tüm kenarlar orta düğümleri,köşe
düğümleri arasındaki doğrunun orta noktasında bulunan doğrusal kenarlar olarak kabul
Program girdi dosyasında şu bilgileri istemektedir:
Eleman Tipi (Üçgen veya Dörtgen) Düğüm sayısı (Üçgen=1,4 Düğümlü=2,5 Düğümlü=3,8 Düğümlü=4,9 Düğümlü=5) Yataydaki bölüntü sayısı,Düşeydeki Bölüntü Sayısı Malzeme sayısı Malzeme çeşidi 1 den farklı olan bloklar (Boş bloklar için 0) Blokların yatayda alt bölüntü sayısı Blokların düşeyde alt bölüntü sayısı Düğüm sayısı X koordinatı,Y koordinatı Yatayda eğri kenar sayısı (Kenardaki ara düğümün yeri değiştirilmek istendiğinde de bu kullanılır) X koordinatı,Y koordinatı Düşeyde eğri kenar sayısı X Koordinatı,Y koordinatı Birleşecek kenar sayısı İlk kenarın iki düğümü İkinci kenarın iki düğümü Çıktı dosyası adı
Bu bilgiler girildikten sonra program çıktı dosyasında şu bilgileri oluşturur
Düğüm sayısı,Eleman sayısı, Malzeme sayısı,Boyut,Eleman düğüm sayısı,Yarıbant genişliği,Tutulu düğüm sayısı (0),Yük sayısı (0) Düğümlerin X ve Y koordinatları Eleman düğüm bilgileri Malzeme Numaraları (Tutulu düğüm sayısı ve Yük sayısı herhangi bir editörle yazıldıktan sonra bu dosyanın altına Serbestlik derecesi numarası,Tanımlı deplasman Serbestlik derecesi numarası,Yük Şeklinde ekleme yapılır.)
Bu bölümde sonlu elemanlar ağının oluşturulması ile ilgili bazı örnek çözümler
verilecektir. İlk örnekte, incelenecek bölge için blok şemasının oluşturulması,
koordinatların bulunması, boş blokların tespiti, birleştirilecek kenarların tanımlanması gibi
konular ayrıntılı olarak anlatılacaktır. Daha sonraki örneklerde ise yalnızca hesaplanmış
veriler sunulacaktır. Ayrıntılı anlatılacak bu örnek için, bir çok eğrisel kenar, boş blok ve
birleştirilmiş kenar içeren, dolayısıyla konunun tüm ayrıntılarını kapsayan zincir baklası
seçilmiştir (Şekil 7). Şeklin orta noktasına göre simetrik olması dolayısıyla, yalnızca ¼’lük
bölümünün incelenmesi mümkündür. Fakat konunun ayrıntılı anlatılabilmesi için şeklin
Şekil 15 Kırılma mekaniği analizi için hazırlanmış sonlu eleman ağları. Üçgen,4 düğümlü
ve 9 düğümlü dörtgen elemanlar
4. SONUÇ
Bu çalışmada nümerik yöntemlerle yapılan analizin ilk basamağı olan çözüm bölgesi için
ağ geliştirme üzerinde durulmuş ve bu amaçla geliştirilen yöntem kullanılarak bir
bilgisayar programı hazırlanmıştır. Çalışmada ele alınan geometrinin mümkün olduğu
kadar iyi modellenmesinin yanında analiz sırasında meydana gelecek denklem sistemi ve
bu sistemde oluşan genel matrislerin de homojen hale getirilmesi ve çözüm zamanının
azaltılması düşünülmüştür. Geliştirilen yöntemle her türlü geometrinin üçgen ve 4 veya 9
düğümlü dörtgen elemanlara bölünmesi mümkün olduğu gibi, alan değişkenlerinin çözüm
bölgesindeki dağılımı da dikkate alınarak çeşitli ağ inceltme işlemleri de yapılabilmektedir.
(*)Zienkiewicz,O. C.,Philips,D. V. 1971,An automatic mesh generation scheme for plane and curved surfaces by isoparametric coordinates. Int. J. Numerical Methods in Engineering (3) 519-528 1000 REM**************** AĞOLUŞTURMA ************************ REM* IKI BOYUTLU HER TÜR PROBLEM İÇİN * REM* 3 DÜĞÜMLÜ ÜÇGEN * REM* 4,5,8,9 DÜĞÜMLÜ DÖRTGEN ELEMANLARLA * REM* SONLU ELEMAN MODELINI OLUSTURUR * REM* 3,4 VE 9 DÜĞÜM İÇİN EKRANA ÇİZER * REM* ADAPTE EDEN SÜLEYMAN TAŞGETİREN * REM******************************************************* 1001 CLS : DEFINT I-N: NDIM=2 INPUT "AG OLUŞTURMAK İÇİN DOSYA ADI="; FILE1$ OPEN FILE1$ FOR INPUT AS #2 REM"ELEMAN TİPİ VE DÜĞÜM SAYISININ BELİRLENMESİ" INPUT #2,NTMP IF NTMP=2 THEN NEN=4 ELSE NEN=3: DS=1: GOTO 1010 REM DS<1-DÖRT 2-BES 3-SEKIZ 4-DOKUZ INPUT #2,DS 1010 INPUT #2,NS,NW NSW=NS*NW: NGN=(NS+1)*(NW+1): NM=1 DIM IDBLK(NSW),NSD(NS),NWD(NW),NGCN(NGN),NGCM(NGN) '-------- Blok tanımlama ve malzeme numarası -------- FOR I=1 TO NSW: IDBLK(I)=1: NEXT I 1020 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1030 INPUT #2,IDBLK(NTMP) IF NM < IDBLK(NTMP) THEN NM=IDBLK(NTMP) GOTO 1020
'------------- Altbölümler --------------- 1030 NNS=1: NNW=1 FOR KS=1 TO NS INPUT #2,NSD(KS) NNS=NNS+NSD(KS): NEXT KS FOR KW=1 TO NW INPUT #2,NWD(KW) NNW=NNW+NWD(KW): NEXT KW '------------ Düğümler ve koordinatları --------------- 1040 NSR=NS*(NW+1) NWR=NW*(NS+1) DIM XB(NGN,2),SR(NSR,2),WR(NWR,2) 1050 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1060 INPUT #2,XB(NTMP,1),XB(NTMP,2) GOTO 1050 '-------- D kenarları orta nokta koordinatları -------- 1060 FOR I=1 TO NW+1: FOR J=1 TO NS IJ=(I-1)*NS+J SR(IJ,1)=.5*(XB(IJ+I-1,1)+XB(IJ+I,1)) SR(IJ,2)=.5*(XB(IJ+I-1,2)+XB(IJ+I,2)) NEXT J: NEXT I '-------- Y kenarları orta nokta koordinatları -------- 1070 FOR I=1 TO NW: FOR J=1 TO NS+1 IJ=(I-1)*(NS+1)+J WR(IJ,1)=.5*(XB(IJ,1)+XB(IJ+NS+1,1)) WR(IJ,2)=.5*(XB(IJ,2)+XB(IJ+NS+1,2)) NEXT J: NEXT I '------ Eğri kenarlar ve orta nokta koordinatları ------ 1080 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1090 INPUT #2,SR(NTMP,1),SR(NTMP,2) GOTO 1080 1090 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1100 INPUT #2,WR(NTMP,1),WR(NTMP,2) GOTO 1090 '------------------ Birleşik kenarlar ---------------------- 1100 INPUT #2,NSJ IF NSJ=0 GOTO 1120 DIM MERG(NSJ,4) FOR I=1 TO NSJ INPUT #2,L1,L2 I1=L1: I2=L2: GOSUB 2100: II1=IDIV INPUT #2,L3,L4 I1=L3: I2=L4: GOSUB 2100: II2=IDIV IF II1=II2 THEN 1110 PRINT "Altbölüm sayıları farklı." PRINT "Kontrol edip yeniden başlayınız.": END 1110 MERG(I,1)=L1: MERG(I,2)=L2 MERG(I,3)=L3: MERG(I,4)=L4 NEXT I '------- Temel düğümlerin global koordinatları --------- 1120 NTMPI=1 FOR I=1 TO NW+1 IF I=1 THEN IINC=0 ELSE IINC=NNS*NWD(I-1) NTMPI=NTMPI+IINC: NTMPJ=0 FOR J=1 TO NS+1 IJ=(NS+1)*(I-1)+J IF J=1 THEN JINC=0 ELSE JINC=NSD(J-1) NTMPJ=NTMPJ+JINC
NGCN(IJ)=NTMPI+NTMPJ: NEXT J: NEXT I '---------------- Düğüm noktaları dizisi -------------------- 1140 NNT=NNS*NNW DIM NNAR(NNT) FOR I=1 TO NNT NNAR(I)=-1: NEXT I '--------- Mevcut olmayan düğümler --------- 1160 FOR KW=1 TO NW: FOR KS=1 TO NS KSW=NS*(KW-1)+KS IF IDBLK(KSW) > 0 GOTO 1200 '-------- Bos bloklar -------- 1170 K1=(KW-1)*(NS+1)+KS N1=NGCN(K1) NS1=2: IF KS=1 THEN NS1=1 NW1=2: IF KW=1 THEN NW1=1 NS2=NSD(KS)+1: IF KS=NS GOTO 1180 IF IDBLK(KSW+1) > 0 THEN NS2=NSD(KS) 1180 NW2=NWD(KW)+1: IF KW=NW GOTO 1190 IF IDBLK(KSW+NS) > 0 THEN NW2=NWD(KW) 1190 FOR I=NW1 TO NW2: IN1=N1+(I-1)*NNS FOR J=NS1 TO NS2: IJ=IN1+J-1 NNAR(IJ)=0: NEXT J: NEXT I IF NS2=NSD(KS) OR NW2=NWD(KW) GOTO 1200 IF KS=NS OR KW=NW GOTO 1200 IF IDBLK(KSW+NS+1) > 0 THEN NNAR(IJ)=-1 1200 NEXT KS: NEXT KW '-------- Birleşik kenarlar ------ 1210 IF NSJ=0 GOTO 1230 FOR I=1 TO NSJ I1=MERG(I,1): I2=MERG(I,2): GOSUB 2100 IA1=NGCN(I1): IA2=NGCN(I2): IASTP=(IA2-IA1)/IDIV I1=MERG(I,3): I2=MERG(I,4): GOSUB 2100 IB1=NGCN(I1): IB2=NGCN(I2): IBSTP=(IB2-IB1)/IDIV IAA=IA1-IASTP FOR IBB=IB1 TO IB2 STEP IBSTP IAA=IAA+IASTP IF IBB=IAA THEN NNAR(IAA)=-1: GOTO 1220 IF IBB > IAA THEN NNAR(IBB)=IAA ELSE NNAR(IAA)=IBB 1220 NEXT IBB: NEXT I '---------- Düğümlerin gerçek numaraları -------- 1230 NODE=0 FOR I=1 TO NNT IF NNAR(I)=0 GOTO 1250 IF NNAR(I) > 0 GOTO 1240 NODE=NODE+1 NNAR(I)=NODE GOTO 1250 1240 II=NNAR(I) NNAR(I)=NNAR(II)*(-1) 1250 NEXT I LAS=NODE IF DS=1 THEN 1260 ON DS-1 GOSUB 2600,2800,2800 '----------------------------- Koordinatlar --------------- 1260 NN=NODE NELM=0 DIM X(LAS*2,2),XP(8,2),NOC(2*NNT,NEN*2) DIM MAT(2*NNT),PMN(2*NNT,2) FOR I=1 TO LAS X(I,1)=-1:X(I,2)=-1 NEXT
FOR KW=1 TO NW:FOR KS=1 TO NS KSW=NS*(KW-1)+KS IF IDBLK(KSW)=0 GOTO 1330 '------------------------------- Alt düğümler ---------- 1270 NODW=NGCN(KSW+KW-1)-NNS-1 FOR JW=1 TO NWD(KW)+1 ETA=-1+2*(JW-1)/NWD(KW) NODW=NODW+NNS: NODS=NODW FOR JS=1 TO NSD(KS)+1 XI=-1+2*(JS-1)/NSD(KS) NODS=NODS+1 NODE=NNAR(NODS) 1280 GOSUB 2200: GOSUB 2300 FOR J=1 TO 2 C1=0 FOR I=1 TO 8 C1=C1+SH(I)*XP(I,J) NEXT I X(NODE,J)=C1 NEXT J '------------------------------------------- 1290 IF JS=NSD(KS)+1 OR JW=NWD(KW)+1 GOTO 1320 N1=NODE: N2=NNAR(NODS+1) N4=NNAR(NODS+NNS): N3=NNAR(NODS+NNS+1) NELM=NELM+1: IF NEN=3 GOTO 1310 '------------------- Dörtgen eleman -------------------- 1300 NOC(NELM,1)=N1: NOC(NELM,2)=N2: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) NOC(NELM,3)=N3: NOC(NELM,4)=N4: GOTO 1320 '------------------- Üçgen eleman ------------------- 1310 NOC(NELM,1)=N1: NOC(NELM,2)=N2 NOC(NELM,3)=N3: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) NELM=NELM+1: NOC(NELM,1)=N3: NOC(NELM,2)=N4 NOC(NELM,3)=N1: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) 1320 NEXT JS: NEXT JW 1330 NEXT KS: NEXT KW NE=NELM: IF NEN=4 GOTO 1360 '---------------------------------------------------- 1340 NE2=NE/2 FOR I=1 TO NE2 I1=2*I-1 N1=NOC(I1,1): N2=NOC(I1,2) N3=NOC(I1,3): N4=NOC(2*I,2) X13=X(N1,1)-X(N3,1):Y13=X(N1,2)-X(N3,2) X24=X(N2,1)-X(N4,1):Y24=X(N2,2)-X(N4,2) IF (X13*X13+Y13*Y13)<=1.1*(X24*X24+Y24*Y24) GOTO 1350 NOC(I1,3)=N4: NOC(2*I,3)=N2 1350 NEXT I 1360 DIM PM(NE),PN(NE): ON DS-1 GOSUB 2500,3000,3000: GOSUB 2400 GOSUB 4000 1370 END '=========== I1,I2 kenarı altbölüm sayısı =========== 2100 IMIN=I1: IMAX=I2 IF IMIN > I2 THEN IMIN=I2 IMAX=I1 IF (IMAX-IMIN)=1 THEN IDIV=NGCN(IMAX)-NGCN(IMIN) RETURN IDIV=(NGCN(IMAX)-NGCN(IMIN))/NNS RETURN '====== Bloktaki 8 düğümün koordinatları ====== 2200 N1=KSW+KW-1 XP(1,1)=XB(N1,1): XP(1,2)=XB(N1,2)
XP(2,1)=SR(KSW,1): XP(2,2)=SR(KSW,2) XP(3,1)=XB(N1+1,1): XP(3,2)=XB(N1+1,2) XP(4,1)=WR(N1+1,1): XP(4,2)=WR(N1+1,2) XP(5,1)=XB(N1+NS+2,1): XP(5,2)=XB(N1+NS+2,2) XP(6,1)=SR(KSW+NS,1): XP(6,2)=SR(KSW+NS,2) XP(7,1)=XB(N1+NS+1,1): XP(7,2)=XB(N1+NS+1,2) XP(8,1)=WR(N1,1): XP(8,2)=WR(N1,2) RETURN '============== Sekil fonksiyonları ================ 2300 SH(1)=-(1-XI)*(1-ETA)*(1+XI+ETA)/4:SH(2)=(1-XI*XI)*(1-ETA)/2 SH(3)=-(1+XI)*(1-ETA)*(1-XI+ETA)/4:SH(4)=(1-ETA*ETA)*(1+XI)/2 SH(5)=-(1+XI)*(1+ETA)*(1-XI-ETA)/4:SH(6)=(1-XI*XI)*(1+ETA)/2 SH(7)=-(1-XI)*(1+ETA)*(1+XI-ETA)/4:SH(8)=(1-ETA*ETA)*(1-XI)/2 RETURN '=============== Yarı bant genişliği =================== 2400 ST=1: ED=NEN IF DS=2 THEN ST=0 IF DS=3 THEN ED=ED*2 IF DS=4 THEN ST=0: ED=ED*2 NBW=0 FOR N=1 TO NE CMIN=NN+1: CMAX=0 FOR J=ST TO ED IF CMIN > NOC(N,J) THEN CMIN=NOC(N,J) IF CMAX < NOC(N,J) THEN CMAX=NOC(N,J) NEXT J C=(CMAX-CMIN+1) IF NBW < C THEN NBW=C NEXT N '=============== Verilerin Kaydedilmesi =================== INPUT #2,FILE$ OPEN FILE$ FOR OUTPUT AS #1 ND=0: NL=0 PRINT #1,LAS; NE; DS; NM; NDIM; NEN; NBW FOR I=1 TO LAS FOR J=1 TO NDIM PRINT #1,X(I,J); NEXT J PRINT #1, NEXT I FOR I=1 TO NE FOR J=ST TO ED PRINT #1,NOC(I,J); NEXT J: PRINT #1,: NEXT I FOR I=1 TO NE PRINT #1,MAT(I); NEXT I PRINT #1, CLOSE #1 RETURN 2500 '-------- Eleman orta düğüm koordinatları -------- VI=1: TJ=0: TM=0 FOR I=1 TO NW FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)=0 THEN 2520 JM=(NSD(J)*(K-1)) FOR JI=1 TO NSD(J) WI=JM+JI+TJ+TM IF MAT(WI) <> 1 THEN 2510 P1=NOC(WI,1): P2=NOC(WI,2):P3=NOC(WI,3): P4=NOC(WI,4)
PN(VI)=WI PMN(VI,1)=((X(P1,1)+X(P2,1))/2+(X(P4,1)+X(P3,1))/2)/2 PMN(VI,2)=((X(P1,2)+X(P4,2))/2+(X(P2,2)+X(P3,2))/2)/2 2510 VI=VI+1 NEXT JI TJ=TJ+(NSD(J)*NWD(I)) 2520 NEXT J TG=TJ: TJ=0 NEXT K TM=TM+TG: TJ=0 NEXT I: GOSUB 2710 2530 RETURN 2600 TB=0: B=1 FOR J=1 TO NS IF IDBLK(J) <> 0 THEN B=B+NSD(J) NEXT B=B+1 FOR I=1 TO NW JM=0 FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)<>0 THEN JM=JM+NSD(J) NEXT FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NNS IF NNAR(B)<0 THEN 2700 IF NNAR(B)=0 THEN 2610 NNAR(B)=NNAR(B)+JM*K+TB LAS=NNAR(B) 2610 B=B+1 NEXT: NEXT TB=TB+JM*NWD(I) NEXT 2620 RETURN 2700 II=NNAR(B)*(-1): NNAR(B)=NNAR(II) GOTO 2610 2710 J=1: FOR I=1 TO LAS IF X(I,1)=-1 AND X(I,2)=-1 THEN 2730 2720 NEXT FOR I=1 TO NE:NOC(I,0)=PM(I):NEXT RETURN 2730 X(I,1)=PMN((J),1): X(I,2)=PMN((J),2) PM(PN(J))=I:J=J+1 GOTO 2720 IF DS=2 THEN 2600 JM=0: TB=0 FOR I=1 TO NNT IF NNAR(I) < 0 THEN NNAR(I)=NNAR(I)*(-1) NEXT: RETURN 2800 DIM TN(NNW) L=1: TB=1: B=1: BC=0 FOR I=1 TO NW IF I <> NW THEN NRW=NWD(I) ELSE NRW=NWD(I)+1 FOR K=1 TO NRW FOR J=1 TO NNS IF NNAR(B) < 0 THEN 2900 IF NNAR(B)=0 THEN 2810 FOR JG=1 TO NGN IF NGCN(JG)=NNAR(B) THEN NGCM(JG)=TB+BC NEXT NNAR(B)=TB+BC: LAS=NNAR(B) 2810 BC=BC+2: B=B+1
KEY OFF SCREEN 11: F$="####.##" ASP=.46 LOCATE 16,25 OPEN FILE$ FOR INPUT AS #3 INPUT #3,NN,NE,NM,NDIM,NEN,NBW,ND,NL DIM X(NN,NDIM),X1(NN,NDIM),NOC(NE,NEN),DEP(NN,NDIM),K(NN,NDIM) '============= DATALAR =============== 4010 FOR I=1 TO NN: FOR J=1 TO NDIM DEP(I,J)=0: X(I,J)=0 NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NN: FOR J=1 TO NDIM INPUT #1,X(I,J) NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NE: FOR J=1 TO NEN INPUT #1,NOC(I,J): NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NN FOR J=1 TO NDIM X1(I,J)=X(I,J) NEXT J: NEXT I XMAX=X(1,1): YMAX=X(1,2): XMIN=X(1,1): YMIN=X(1,2) FOR I=2 TO NN IF XMAX < X(I,1) THEN XMAX=X(I,1): IF YMAX < X(I,2) THEN YMAX=X(I,2) IF XMIN > X(I,1) THEN XMIN=X(I,1): IF YMIN > X(I,2) THEN YMIN=X(I,2) NEXT I CLS XL=(XMAX-XMIN): YL=(YMAX-YMIN) X0=XMIN-XL/10: Y0=YMIN-YL/10 LINE (80,1)-(80,350): LINE (80,350)-(639,350) VIEW (82,1)-(639,348) AA=538*ASP/167 IF XL/YL > AA THEN YL=XL/AA: IF XL/YL < AA THEN XL=YL*AA XMAX=X0+1.3*XL: YMAX=Y0+1.3*YL WINDOW (X0,Y0)-(XMAX,YMAX) LOCATE 1,3: PRINT USING F$; YMAX LOCATE 23,73: PRINT USING F$; XMAX LOCATE 23,10: PRINT USING F$; X0 LOCATE 22,3: PRINT USING F$; Y0 4015 IF NEN=9 GOTO 4100 '=========== ELEMAN ÇİZİMİ ================ 4020 CLS FOR IE=1 TO NE FOR II=1 TO NEN X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) IF II=NEN GOTO 4030 X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) GOTO 4040 4030 X2=X1(NOC(IE,1),1): Y2=X1(NOC(IE,1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) 4040 NEXT II: NEXT IE 4100 CLS FOR IE=1 TO NE FOR II=1 TO 2 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=7 TO 8 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2)
LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=1 TO 6 STEP 3 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+3),1): Y2=X1(NOC(IE,II+3),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=3 TO 8 STEP 3 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+3),1): Y2=X1(NOC(IE,II+3),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II CIRCLE (X1(NOC(IE,5),1),X1(NOC(IE,5),2)),.2 NEXT IE '================ DÜĞÜM NUMARALARI =============== 4200 LOCATE 24,20: INPUT ; " DÜĞÜM NUMARALARINI İSTERMİSİN > ",A$ IF A$="H" OR A$="h" GOTO 4300 FOR I=1 TO NN ICOL=(100+(538*(X1(I,1)-X0)/(1.2*XL)))/8 IROW=(168-167*(X1(I,2)-Y0)/(1.2*YL))/8 LOCATE IROW,ICOL: PRINT I; : NEXT I: LOCATE 24,20 INPUT ; "DÜĞÜMSÜZ ÇİZİM İSTERMİSİN < E/H > ",A$ IF A$="E" OR A$="e" GOTO 4015 4300 END