Sem 01.0. Introduccion Al Espacio

Lic. Mat. Marcos Quiroz Chavil

INGENIERÍA CIVIL

MATEMATICA II

1

CLASE: S1 - Introducción al espacio

AULA 305

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VECTOR n - DIMENSIONAL

Definición:

A los n números reales

ordenados le llamaremos n-upla

o vector n-dimensional.

),...,,( 21 naaaa

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IGUALDAD DE VECTORES u = (u , u , ... , u ) 2 1 n

v = (v , v , ... , v ) 2 1 n

u = v

u = v u = v u = v

1 1

2 2

n n

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SUMA DE VECTORES (a , a , ... , a ) 2 1 n (b , b , ... , b ) n 2 1

+ =

(a + b , a + b , ... , a + b ) 2 1 n 1 2 n

PRODUCTO POR UN ESCALAR (a , a , ... , a ) 2 1 n ( a , a , ... , a ) C C C C 1 2 n

c

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Ejemplo 01: Efectuar

+ = (2,3,4 ) (5,-6,-2 )

= (2+5, 3-6, 4-2 ) = (7, -3, 2 )

Ejemplo 02: Sea un escalar c=3, hallar c.V

V= (12,5, -8 )

cV= 3(12,5, -8 ) =(36,15, -24 )

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TAREA

Dado los siguientes vectores

, encontrar:

a) U+V b) U-V c) 2U

d) 3U-2V

6

u =(2,3,4) v =(1,5,-2)

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u = (u , u , ... , u ) 2 1 n

v = (v , v , ... , v ) 2 1 n

PRODUCTO PUNTO

2 n n 1 2 1 u.v u v + u v + ... + u v

ÀNGULO ENTRE DOS VECTORES cosvuvu

u

v

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Módulo de un vector en R3 Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 se define a la norma o módulo de a :

2

3

2

2

2

1 aaaa

p(a1,a2,a3) z

x

y

a

a1

a2 a3

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u = (-1, 2, 3 ) v = (2, 3, 2 ) u.V (-1)(2)+(2)(3)+(3)(2)

),,( 231 u

),,( 212 v

Ejemplo 01: Efectuar

u.V -2+ 6 + 6 =10 Ejemplo 02: Encuentre su producto punto de los siguientes vectores

Ejemplo 03: Encuentre su módulo de los vectores del ejemplos 1) y 2)

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cosvuvu

),,( 631u

),,( 242v

Ejemplo 02: Encuentre el ángulo en:

vu

),,)(,,( 242631

))(())(())(( 264321 26

222 631 u

3691 46

222 242 v

4164 24

vu

vu

cos

26cos

46 24

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)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i

Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

a

aaa

a

aua

),,( 3211u

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VECTORES UNITARIOS i; j; k

x

z

y

i

j

k

Los vectores i, j y k son unitarios y están

dirigidos en la dirección de los ejes “x”, “y” y “z” respectivamente.

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Paralelismo de vectores

Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

),,( 321 aaau

),,( 321 bbbv

Dado:

vu

// kb

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

vku

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u = (24, 32, 64 ) v = (6, 8, 16 )

),,( 231 u

),,( 212 v

Ejemplo 01: Verificar si los siguientes vectores son paralelos

Ejemplo 02: Verificar si los siguientes vectores son paralelos