Sejarah Teori Himpunan

BAB IPENDAHULUAN

1.1. Latar BelakangSalah satu kajian menarik dalam analisis adalah teori himpunan. Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika bahkan sudah diperkenalkan dalam pendidikan matematika pada saat sekolah dasar. Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda yang mempunyai syarat dan ketentuan yang sama. Objek tersebut dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek-objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Syarat-syarat yang jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena akan membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.Dalam matematika, himpunan adalah koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Definisi tersebut cukup sederhana, tetapi benar bahwa himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, sehingga pembelajaran mengenai struktur himpunan dan teori himpunan sangat berguna.Dahulu alam ini kosong dan manusia bukan merupakan elemen dari alam yang terdahulu, tetapi sekarang manusia merupakan bagian dari dunia. Sedangkan dunia serta alam raya merupakan himpunan yang tidak terpisahkan. Dengan adanya teori himpunan ini kita tidak akan salah menempatkan suatu objek ke dalam himpunan. Teori himpunan sendiri tidak hanya bermanfaat di bidang matematika, namun di bidang-bidang yang lain seperti bidang biologi tentang klasifikasi makhluk hidup. Dalam bidang ekonomi pun teori himpunan sangat bermanfaat dalam permintaan dan penawaran. Sebenarnya secara tidak langsung dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menggunakan konsep himpunan seperti himpunan buku, motor, binatang, dan lain-lain.Konsep himpunan merupakan suatu konsep yang amat penting dan juga amat mendasar bagi seluruh matematika. Teori ini merupakan salah satu kreasi terbesar dari intelek manusia. Boleh dikatakan bahwa, tanpa teori himpunan matematika tidak akan berkembang sepesat sebagaimana yang kita lihat sekarang. Akhirnya teori himpunan mempunyai pengaruh khusus bagi penyelidikan dasar-dasar matematika, yang dalam hal ini dikarenakan keumuman konsep-konsepnya, berperan selaku suatu mata rantai penghubung antara matematika dan falsafah.

1.2. Rumusan MasalahAdapun rumusan masalah dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.1. Bagaimana sejarah penemuan dan awal perkembangan teori himpunan sebagai disiplin ilmu matematika?2. Bagaimana peranan teori himpunan pada awal perkembangan matematika?3. Siapakah tokoh-tokoh yang berperan dalam pengembangan teori himpunan sebagai disiplin ilmu matematika?

1.3. TujuanAdapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.1. Untuk mengetahui sejarah penemuan dan awal perkembangan teori himpunan sebagai disiplin ilmu matematika.2. Untuk mengetahui peranan teori himpunan pada awal perkembangan matematika.3. Untuk mengetahui tokoh-tokoh yang berperan dalam pengembangan teori himpunan sebagai disiplin ilmu matematika.

1.4. ManfaatAdapun manfaat dalam penulisan makalah ini adalah diharapkan agar kita semua mengetahui secara mendalam bagaimana sejarah penemuan dan awal perkembangan teori himpunan dan mengetahui bagaimana peranan teori himpunan pada awal perkembangan matematika.BAB IIPEMBAHASAN

2.1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda yang mempunyai syarat dan ketentuan. Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan. 2.2. Biografi Singkat Bapak Teori Himpunan

Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor (1845-1918) dikenal sebagai penemu teori himpunan. Cantor lahir di St. Petersburg , Rusia pada 3 Maret 1845 sebagai anak pertama dari pasangan Georg Woldermar Cantor dan Maria Bohm. Cantor mengenyam pendidikan dasarnya di rumah melalui guru privat. Di usia 11 tahun, ia bersama keluarganya pindah ke Jerman dan Cantor melanjutkan pendidikannya di Gymnasium lalu pindah ke Frankfrut dan Darmstadt. Di tahun 1860, Cantor lulus dari Realschule di Darmstadt dengan hasil yang luar biasa dan menunjukkan bahwa ia memiliki bakat yang hebat dalam bidang matematika, khususnya trigonometri.Keinginan Cantor untuk mempelajari matematika di universitas mendapat hambatan dari ayahnya yang menginginkan ia menjadi seorang insinyur. Karena keteguhannya, di tahun 1862 Cantor berhasil mendapat restu ayahnya untuk mempelajari matematika setelah sebelumnya ia belajar teknik di Horere Gewerbeschule dan Polytechnic of Zurich. Cantor mempelajari matematika di Zurich. Akan tetapi, karena kematian ayahnya pada Juni 1863, ia pindah ke University of Berlin. Di tahun 1867, ia berhasil mempertahankan disertasinyamengenai teori bilangan De Aequationibus Secundi Gradus Indeterminatis. Sampai akhir abad ke-19, ada beberapa referensi mengenai himpunan dalam literatur-literatur matematika. Karya George Cantor yang paling berpengaruh pada masa itu yang diterbitkan oleh Crelles Jornal pada tahun 1874. Dia mengenalkan konsep himpunan tak berhingga yang lengkap, sebuah inovasi yang membuat dia diakui sebagai penemu teori himpunan. Georg Cantor meninggal pada tanggal 6 Januari 1918 di Halle.

2.3. Sejarah Penemuan dan Awal Perkembangan Teori HimpunanMatematikawan telah menggunakan himpunan sejak awal subjek. Misalnya, ahli matematika Yunani telah mendefinisikan lingkaran sebagai himpunan poin pada jarak r tetap dari titik tetap P. Namun, konsep 'himpunan tak terhingga' dan himpunan berhingga menghindari ahli matematika dan filsuf selama berabad-abad. Misalnya, pemikiran Hindu dipahami tak terbatas dalam Ishavasy teks kitab suci-opanishad mereka sebagai berikut: "Keseluruhan ada di sana. Keseluruhan berada di sini. Dari lubang imanates keseluruhan. Menyingkirkan keseluruhan dari keseluruhan, apa tersisa masih satu Utuh. Phythagoras (585-500 SM), seorang matematikawan Yunani, berhubungan baik dan jahat dengan terbatas dan tidak terbatas, masing-masing. Aristoteles (384-322 SM) mengatakan, "Tak terbatas tidak sempurna, belum selesai dan karena itu, tak terpikirkan, itu tak berbentuk dan bingung." Kaisar Romawi dan filsuf Marcus Aqarchus (121-180 M) mengatakan tak terhingga adalah sebuah teluk yg tak dpt diduga, di mana segala sesuatu lenyap "filsuf. Inggris Thomas Hobbes (1588-1679) berkata, "Ketika kita mengatakan sesuatu adalah tak terbatas, kami hanya menandakan bahwa kita tidak bisa hamil berakhir dan batas-batas hal yang bernama".

Ahli matematika bekerja, serta jalan, jarang berkaitan dengan pertanyaan yang tidak biasa yaitu : apa itu angka? Namun upaya untuk menjawab pertanyaan ini justru telah mendorong banyak pekerjaan oleh matematikawan dan filsuf di dasar matematika selama seratus tahun terakhir. Karakterisasi bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real telah menjadi masalah klasik pusat untuk penelitian dari Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano, Russel, Whitehead, Brouwer, dan lain-lain. Peneliti dari Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori dengan rangkaian tanpa batas dan topik terkait analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Cantor, yang biasanya dianggap sebagai pendiri teori himpunan sebagai suatu disiplin matematika, dipimpin oleh karyanya menjadi pertimbangan himpunan tak terbatas atau kelas karakter sewenang-wenang.

Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sezamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi tentang menetapkan mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Yang paling terkenal di kalangan ini diberikan pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai's paradoks Russell.

Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah untuk 'axiomatize' Teori himpunan intuitif's Cantor. Axiomatization berarti sebagai berikut: dimulai dengan satu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam tiga-volume kerja mereka yang disebut Principia Matematikawan merasa canggung untuk digunakan.Sebuah Teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logistik sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). wa ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.Matematikawan yang berkecimpung di dunia himpunan yaitu Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), Bolzano, Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974), Ernst Zermello (1871-1953), Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963).Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor (1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Beliau dianggap sebagai bapak teori himpunan karena beliaulah yang pertamakali mengembangkan cabang matematika ini. Walaupun pada waktu itu teori beliau sangat kontroversial tapi saat ini teori Georg Cantor sangat luas kegunaannya. Aturan himpunan yang di perkenalkan Georg Cantor antara lain sebagai berikut.1. Himpunan A dan B dikatakan sama jika elemen dari himpunan A dan B tersebut sama.2. Himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, jika elemen himpunan A merupakan elemen himpunan B.3. Jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka himpunan A subset himpunan B.4. Jika himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, dan ada sedikitnya satu elemen B yang bukan merupakan elemen himpunan A maka A adalah proper subset B.5. Himpunan tediri dari stu elemen maupun tidak mempunyai elemen.6. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong.Selain itu Georg Cantor juga menyatakan teorema :

For any set M there exist sets larger than A , in particular the set of all subsets of A is larger than A

Hal ini sama dengan himpunan bagian dari setiap himpunan yang terdiri dari n elemen, maka himpunan bagian = 2n. Selain itu terdapat teorema yang menyatakan himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan. Untuk membuktikan bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Misalkan A Jika kita mengambil sebarang elemen pada maka elemen itu juga merupakan elemen pada A. Padahal kita ketahui bahwa tidak mempunyai anggota sehingga pernyataan pertama adalah salah. Karena syarat cukup tidak terpenuhi atau bernilai salah sehingga pernyataan di atas bernilai benar. Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga. Ide infinity telah menjadi subjek pemikiran yang mendalam sejak zaman Yunani. Zeno dari Elea , di sekitar 450 SM, dengan masalah tak terbatas, membuat kontribusi awal yang besar. Pembahasan abad pertengahan tentang konsep tak terbatas telah menyebabkan penemuan konsep himpunan tak terbatas. Misalnya Albert dari Sachsen , di subtilissime Questiones di libros de celo et Mundi, membuktikan bahwa balok panjang tak terbatas memiliki volume yang sama seperti ruang (3 dimensi). Beliau membuktikan hal ini dengan menggergaji balok menjadi potongan-potongan imajiner yang kemudian merakit ke dalam cangkang konsentris yang berurutan yang mengisi ruang. Bolzano adalah seorang filsuf dan matematikawan pemikir besar. Pada 1847 beliau menganggap himpunan sebagai perwujudan dari ide atau konsep yang dibayangkan ketika menganggap susunan komponen sebagai masalah ketidakpedulian. Bolzano membela konsep sebuah himpunan tak terhingga. Bolzano memberi contoh bahwa tidak seperti untuk menetapkan terbatas, unsur-unsur dari suatu himpunan tak terhingga bisa dimasukkan ke dalam korespondensi 1-1 dengan unsur-unsur dari salah satu himpunan bagian yang tepat. Penelitian dari Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori rangkaian tanpa batas dan topik terkait analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai paradoks Russell.Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah aksiomatis teori himpunan intuitif Cantor. Aksiomatisasi berarti suatu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam Principia. Sebuah teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logis sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). Hal ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan. Cantor meneliti asal teori himpunan pada tahun antara 1874 dan 1884. Sebelum pekerjaan ini, konsep dari suatu himpunan yang mendasar telah digunakan secara implisit sejak awal matematika seperti ide-ide Aristoteles . Tidak ada seorang pun menyadari bahwa teori himpunan punya konten trivial. Sebelum Cantor, hanya ada himpunan yang terbatas (yang mudah dimengerti) dan "tak terbatas" (yang dianggap topik untuk filosofis, bukan matematika, diskusi). Dengan membuktikan bahwa ada (tak terbatas) ukuran banyak kemungkinan untuk himpunan yang tak terbatas, Cantor menetapkan bahwa teori himpunan tidak sepele, dan itu perlu dipelajari. Teori himpunan telah datang untuk memainkan peran sebagai teori dasar dalam matematika modern, dalam arti bahwa beliau menafsirkan proposisi tentang objek matematika (misalnya, angka dan fungsi) dari seluruh wilayah tradisional matematika (seperti aljabar , analisis dan topologi ) dalam teori tunggal, dan menyediakan satu himpunan standar aksioma untuk membuktikan atau menyangkal mereka. Cantor juga membuktikan bahwa himpunan bilangan real adalah "lebih banyak" dari himpunan bilangan asli , ini menunjukkan bahwa tidak ada himpunan tak terbatas yang berbeda ukuran. Beliau juga yang pertama menemukan korespondensi satu-satu (selanjutnya dilambangkan "korespondensi 1-1") dalam menetapkan teori. Dia menggunakan konsep ini untuk mendefinisikan himpunan terbatas dan tak terbatas . Pengelompokan yang terakhir ke denumerable himpunan (atau countably tak terbatas) dan himpunan terhitung (himpunan terbatas nondenumerable). Pada tahun 1874 kertas Crelle Cantor adalah yang pertama menjelaskan korespondensi 1-1, meskipun beliau tidak menggunakan frase itu. Beliau kemudian mulai mencari korespondensi 1-1 antara titik-titik dari unit persegi dan poin dari unit segmen garis. Dalam sebuah surat 1877 untuk Dedekind, Cantor membuktikan jauh lebih kuat. Hasilnya untuk tiap himpunan n bilangan bulat positif, terdapat korespondensi 1-1 antara titik-titik pada ruas garis unit dan semua titik dalam ruang n-dimensi . Hal ini Cantor menulis kepada Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas!" ("Aku melihatnya, tapi saya tidak percaya!"). Hasil yang beliau menemukan begitu menakjubkan memiliki implikasi untuk geometri dan konsep dimensi . Pada tahun 1878, Cantor menyerahkan kertas lain untuk Jurnal Crelle, di mana ia mendefinisikan secara akurat konsep korespondensi 1-1, dan memperkenalkan konsep " kekuasaan "(istilah yang diambilnya dari Jakob Steiner ) atau "kehimpunanaraan" himpunan : dua himpunan adalah himpunan sama (memiliki kekuatan yang sama) jika terdapat korespondensi 1-1 di antara mereka. Cantor mendefinisikan himpunan dapat dihitung (atau himpunan denumerable) sebagai himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam korespondensi 1-1 dengan bilangan asli , dan membuktikan bahwa bilangan rasional adalah denumerable. Cantor mengembangkan konsep penting dalam topologi dan hubungannya dengan kardinalitas. Misalnya, beliau menunjukkan bahwa himpunan Cantor memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan semua bilangan real.Cantor diperkenalkan konstruksi fundamental dalam teori himpunan, seperti kekuatan himpunan dari himpunan A, yang merupakan himpunan semua kemungkinan himpunan bagian dari A. Beliau kemudian membuktikan bahwa ukuran dari kekuatan himpunan adalah sangat lebih besar dari ukuran A, bahkan ketika A adalah himpunan yang tak terbatas. Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cantor . Cantor mengembangkan seluruh teori dan aritmatika terbatas pada himpunan , yang disebut kardinal dan ordinal dari alam nomor. Notasinya untuk nomor kardinal adalah surat Ibrani ( aleph ) dengan subskrip nomor alam, karena ordinal menggunakan huruf Yunani (omega ). Notasi ini masih digunakan sampai sekarang. Awal teori himpunan sebagai cabang matematika sering ditandai dengan terbitnya tahun 1874 artikel Cantor, "ber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Pada Properti dari Koleksi Semua Nomor Aljabar Real") . Artikel ini adalah yang pertama untuk memberikan bukti ketat yang ada lebih dari satu jenis tak terbatas. Beliau juga membuktikan bahwa n-dimensi Euclidean ruang R n memiliki kekuatan yang sama dengan bilangan real R, seperti halnya countably tak terbatas produk salinan R. Sementara ia membuat bebas menggunakan akuntabilitas sebagai sebuah konsep, ia tidak menulis kata "dihitung" sampai 1883. Cantor juga membahas pemikirannya tentang dimensi , menekankan bahwa pemetaan antara selang satuan dan unit persegi bukan terus menerus satu.Antara 1879 dan 1884, Cantor menerbitkan serangkaian enam artikel dalam Mathematische Annalen merupakan sebuah pengantar teori himpunannya. Pada saat yang sama, ada oposisi tumbuh untuk gagasan Cantor, yang dipimpin oleh Kronecker, yang mengaku konsep matematika hanya dapat dibangun dalam terbatas dari alam nomor, sebagai intuitif. Untuk Kronecker, hirarki Cantor dari konsep tak terbatas itu adalah tidak dapat diterima, karena menerima konsep infinity sebenarnya akan membuka pintu untuk paradoks yang akan menantang keabsahan matematika secara keseluruhan. Kertas kelima dalam seri ini, adalah "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Dasar-dasar Teori Umum Agregat"), diterbitkan pada tahun 1883, yang paling penting dari enam dan juga diterbitkan sebagai monografi terpisah. Isinya kritikan dan menunjukkan bagaimana nomor transfinite adalah ekstensi sistematis dari alam nomor. Ini dimulai dengan mendefinisikan tertata baik himpunan. Nomor urut yang kemudian diperkenalkan sebagai jenis urutan yang tertib himpunan. Cantor kemudian mendefinisikan penjumlahan dan perkalian dari kardinal angka dan ordinal. Pada tahun 1885, Cantor memperluas teori tipe order sehingga angka-angka ordinal hanya menjadi kasus khusus dari tipe order. Pada tahun 1891, beliau menerbitkan sebuah kertas yang berisi "argumen diagonal" untuk keberadaan sebuah himpunan terhitung. Beliau menerapkan ide yang sama untuk membuktikan Teorema Cantor : yang kardinalitas dari himpunan kekuatan himpunan A adalah sangat lebih besar dari kardinalitas A. Argumennya adalah fundamental dalam solusi dari masalah untuk menghentikan bukti dari teorema ketidaklengkapan Gdel yang ditulis Cantor pada dugaan Goldbach pada tahun 1894. Pada tahun 1895 dan 1897, Cantor menerbitkan kertas dua bagian dalam Mathematische Annalen di bawah keredaksian Felix Klein . Makalah terakhirnya yang signifikan pada teori himpunan. Makalah pertama dimulai dengan mendefinisikan himpunan, bagian , dll, dengan cara yang akan sangat diterima sekarang. Para kardinal dan ordinal aritmatika ditinjau. Cantor ingin kertas kedua untuk menyertakan bukti dari rangkaian hipotesa, tetapi harus menetapkan nomor urut. Cantor mencoba untuk membuktikan bahwa jika A dan B adalah himpunan sama dengan A merupakan subhimpunan dari B dan B merupakan subhimpunan dari A, maka A dan B adalah himpunan sama. Ernst Schrder telah menyatakan teorema ini sedikit lebih dulu, tapi bukti, seperti juga dengan kisah Cantor, adalah cacat. Felix Bernstein diberikan bukti yang benar pada tahun 1898 tesis PhDnya; maka dinamakan teorema Cantor-Bernstein-Schroeder . Diskusi himpunan-teori paradoks mulai muncul sekitar akhir abad ke-19. Beberapa masalah mendasar yang tersirat dengan program menetapkan teori Cantor. Dalam makalah 1897 pada topik yang tidak berhubungan, Cesare Burali-Forti menetapkan paradoks seperti pertama, Burali-Forti paradoks : yang nomor urut dari himpunan semua ordinals harus menjadi ordinal dan ini menyebabkan kontradiksi. Cantor ditemukan paradoks ini pada tahun 1895, dan menggambarkannya dalam sebuah surat tahun 1896 untuk Hilbert . Kritik dipasang ke titik di mana Cantor meluncurkan kontra-argumen pada tahun 1903, dimaksudkan untuk membela prinsip dasar dari teori himpunannya.Pada tahun 1899, Cantor menemukan paradoks : apa jumlah kardinal dari himpunan semua himpunan? Namun untuk tiap himpunan A, jumlah kardinal dari himpunan kuasa dari A adalah sangat lebih besar dari jumlah kardinal A (fakta ini sekarang dikenal sebagai Teorema Cantor ). Paradoks ini, bersama dengan Burali-Forti, yang dipimpin Cantor untuk merumuskan konsep yang disebut pembatasan ukuran yang menurutnya koleksi semua ordinals, atau dari semua kelompok, merupakan sebuah "multiplisitas tidak konsisten" yang "terlalu besar" untuk menjadi satu himpunan. Koleksi tersebut kemudian dikenal sebagai kelas yang tepat.

2.4. Paradoks Cantor dan RussellParadoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks1Cantor).

Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan ( Russell Paradox 3).Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.BAB IIIPENUTUP3.1. KesimpulanHimpunan merupakan kumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi, kelas. Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor pada akhir abad 19. Aturan himpunan yang diperkenalkan Georg Cantor antara lain sebagai berikut.1. Himpunan A dan B dikatakan sama jika elemen dari himpunan A dan B tersebut sama.2. Himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, jika elemen himpunan A merupakan elemen himpunan B.3. Jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka himpunan A subset himpunan B.4. Jika himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, dan ada sedikitnya satu elemen B yang bukan merupakan elemen himpunan A maka A adalah proper subset B.5. Himpunan tediri dari stu elemen maupun tidak mempunyai elemen.6. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong.7. Himpunan bagian dari setiap himpunan yang terdiri dari n elemen, maka himpunan bagian = 2n.3.2. SaranDiharapkan dengan adanya makalah tentang sejarah perkembangan teori himpunan ini kita menjadi lebih mengetahui secara mendalam tentang himpunan sebagai disiplin ilmu matematika dan peranannya dalam matematika, tidak hanya sekedar mengetahui tentang teoremanya saja yang sekarang sudah dikenali secara umum.

16