SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO.
EN 1876, Alberto Castigliano anuncio un teorema que permite
encontrar cualquier componente de deflexin de una estructura a
partir de la energa de deformacin de la misma. Al aplicarlo a las
reacciones redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene
un corolario que se conoce tambin como segundo teorema de
Castigliano. El teorema original dice:
La componente de deflexin del punto de aplicacin de una accin
sobre una estructura, en la direccin de dicha accin, se puede
obtener evaluando la primera derivada parcial de la energa interna
de deformacin de la estructura con respecto a la accin
aplicada.
El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos,
obtenindose en el primer caso la componente de deflexin en la
direccin de la fuerza y en el segundo la rotacin en el plano del
momento.
Para demostrarlo se puede utilizar la viga de la figura 3.7, en
la que se supone que existe una relacin lineal entre cargas y
deflexiones. En la parte (a) de la misma se considera que las
fuerzas P y Q se han aplicado gradual y simultneamente y la
deflectan segn la lnea de trazos. En virtud del supuesto de
linealidad entre cargas y deflexiones, el trabajo externo
realizado, que es igual a la energa interna de deformacin, esta
dada por:
Si se le aade al sistema una pequea carga dP con la misma
direccin y sentido de la carga P original, se producir una deflexin
adicional segn se indica en la parte (b) de la misma figura. A su
vez resulta un trabajo adicional :
y si se desprecia el producto de las dos diferenciales dicho
trabajo se reduce a :
El mismo estado final se podra haber obtenido aplicando desde el
principio (p+dp) y Q, gradual y simultneamente. Es evidente que en
tal caso se obtendra de una vez la posicin deflectada de la parte
(b) de la figura y en consecuencia el trabajo total externo estara
dada por :
que al desperdiciar de nuevo el producto de dos diferenciales se
convierte en :
pero ; por consiguiente, de las ecuaciones
y se obtiene:
Despejando ahora de la ecuacin :
Reemplazando este valor resulta:
y despejando
Que era lo que se quera demostrar, pues el hecho de haber
mantenido a Q constante, equivale matemticamente a derivar
parcialmente con respecto a . Por lo tanto, el teorema de
Castigliano se puede expresar en general as:
Si el signo de la respuesta da negativo quiere decir que la
deflexin es opuesta al sentido de la accin con respecto a la cual
se tomo la derivada. Si se quiere averiguar la deflexin en un punto
donde no hay aplicada ninguna accin, o en una direccin distinta de
la accin aplicada, sencillamente se aplica una accin imaginaria en
el sitio y direccin deseados hasta encontrar la derivada parcial de
la energa de deformacin: luego la accin imaginaria se iguala a
cero. Generalmente se ahorra tiempo si la derivacin se efecta antes
de integrar las expresiones que dan la energa de deformacin como se
ilustra a continuacin. Estas expresiones deducidas aparecen en el
cuadro 3.1 para facilitar su utilizacin.
Por consiguiente, si se quiere averiguar una deflexin lineal en
una armadura, basta con aplicar:
Las deflexiones lineales por flexin estn dadas por:
El efecto de corte es:
y el de torsin:
Si se quiere averiguar rotaciones, en el lado izquierdo de las
expresiones anteriores se escribira y las derivadas parciales se
tomaran con respecto a un momento aplicado en el punto de la
rotacin deseada. En todos los casos es muy importante dar a las
fuerzas internas los signos apropiados.
El Teorema de Castigliano se puede aplicar a cualquier
componente de reaccin. Si se tiene en cuenta que la deflexin
correspondiente es nula, es claro que en tal caso los lados
derechos de las ecuaciones anteriores debern dar cero. Esta
observacin constituye el corolario del teorema y resulta muy til
para evaluar las reacciones redundantes en estructuras estticamente
indeterminadas.
COROLARIO: la derivada parcial de la energa interna de
deformacin de una estructura cargada, con respecto aun componente
de reaccin, es igual a cero.
Si se presta atencin el significado matemtico del enunciado
anterior y se aplica a una estructura indeterminada, el corolario
puede expresarse en una forma alterna:
En cualquier estructura indeterminada a cargas los valores de
las redundantes deben ser tales que hagan mnima la energa total
interna de deformacin elstica que resulta de la aplicacin del
sistema de cargas dado.
Aplicando en esta forma da origen al Mtodo del trabajo mnimo,
que resulta muy efectivo para analizar estructuras articuladas
indeterminadas y en la formulacin de las matrices de rigidez
utilizadas en el anlisis matricial de estructuras. No puede, sin
embargo, ser utilizados para determinar esfuerzos debidos a errores
de fabricacin, cambios de temperatura o corrimientos de los
apoyos.