Gravedad experimental por medio del pndulo simple.Fonseca.Erika . Lopez, Paula,Merchan.Yesica;Vivas.Johan .a{FONSECA.ERIKA,LOPEZ.PAULA1, }@uniagraria.edu.coJORGE ORLANDO CUERVO RODRIGUEZbFUNDACIN UNIVERSITARIA AGRARIA DE COLOMBIADEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICASwww.uniagraria.edu.co
Resumen En el siguiente informe presentaremos nuestro proyecto de pndulo fsico o pndulo simple, en el cual compararemos la gravedad terica con la gravedad experimental que obtendremos por medio del clculo de las oscilaciones aplicando todo lo referente con el M.A.S (Movimiento Armnico Simple) , a partir de esto tomando mediciones como fueron : periodo , tiempo , longitud y finalmente la gravedad experimental , esto con el fin de entender cada una de las caractersticas .
Palabras Clave pndulo, periodo, tiempo, longitud, gravedad, gravedad experimental, oscilacin, movimiento armnico simple
Abstract In the following report we will present our project of physical pendulum or simple pendulum, in which we will compare the theoretical gravity with the experimental gravity that we will obtain by means of the calculation of the oscillations applying everything relating with the M.A.S (Harmonic Simple Movement), from this taking measurements since they were: period, time, length and finally the experimental gravity, this in order to deal each of the characteristics .
Keywords Pendulum, period, time, length, gravity, experimental gravity, oscillation, harmonic simple movement
a Estudiantes de ingeniera civil e ingeniera de alimentos.b Docente de Fisica Mecanica , Departamento Ciencias Bsicas.
I.aspectos Tericos
-Pndulo:[1] Un pndulo simple se define como una partcula de masamsuspendida del punto O por un hilo inextensible de longitudly de masa despreciable.Si la partcula se desplaza a una posicin0(ngulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el pndulo comienza a oscilar.(FIG1)
El pndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radiol. Las fuerzas que actan sobre la partcula de masamson dos el pesomg La tensinTdel hilo
FIG1. (Pndulo simple)
-Leyes del pndulo [2]: Las leyesdel pndulo soncuatro, a continuacin las enunciaremos:
LEY DEL ISOCRONISMO: Establece que el movimiento pendular tiene un periodo independiente de la amplitud, siempre que este no exceda los 10
LEY DE LAS ACELERACIONES DE LAS GRAVEDADES: La aceleracin de la gravedad ejerce una accin primordial que influye en el tiempo de oscilacin del pndulo.
LEY DE LONGITUDES: A menor longitud menor periodo de oscilacin y a mayor longitud mayor periodo de oscilacin. En smbolos: T1 y T2: tiempos de oscilacin; l1 y l2 : longitudes. Para nuestro caso es: T1= 1 oscilacin y l1= 1dm T2 = 2 oscilaciones y l2 =4 dm.
LEY DE MASAS: Las tres masas de la figura son distintas entre si, pero el periodo (T) de oscilacin es el mismo. (T1=T2=T3) Los tiempos de oscilacin de varios pndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza.
-Condiciones necesarias para evaluar el comportamiento del pndulo: Algunas condiciones son necesarias que se evalen, para poder justificar las caractersticas del pndulo simple.
* Variaciones del periodo con la amplitud: El periodo de un pndulo vara con respecto a la amplitud, cuando se trabaja con ngulos muy pequeos, el periodo vara muy poco, esto fsicamente es conocido como la ley del isocronismo.
* Variaciones del periodo con la masa del pndulo: Utilizando pndulos de la misma longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un pndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa que conforma al pndulo.
* Variaciones del periodo con la longitud del pndulo: Si se miden los periodos de un mismo pndulo simple, haciendo variar nicamente su longitud, se comprueba que, el periodo de un pndulo simple es proporcional a la raz cuadrada de su longitud.
* Variaciones del periodo con la aceleracin de la gravedad: El estudio matemtico indica que el periodo vara con razn inversa de la raz cuadrada de la gravedad.
-Caractersticas del movimiento del pndulo[3]: Fuerzas que actan:Supongamos el pndulo en la posicin de equilibrio AM(Fig2. izquierda).El peso P es anulado por la reaccin del hilo y no hay oscilacin. Consideremos la posicin OA, procedamos a descomponer la fuerza peso P, segn las direcciones m y n. Obtendremos las fuerzas F1 y F. La fuerza F queda anulada por la reaccin del hilo. (Fig3. abajo)En consecuencia, en el punto A acta solamente la fuerza F1, tangente al arco AMB y que provoca el movimiento del pndulo hacia M.Si en elpunto A efectuamos el mismo proceso de descomposicin de la fuerza (P) peso, observaremos que F2 es menor que F1 obtenida anteriormente.Resulta entonces que, a medida quea medida que,el pndulo se acerca a su posicin de equilibrio OM la fuerza que provoca el movimiento disminuye hasta hacerse cero en el punto M (peso y reaccin se anulan).
A pesar de ello, el pndulo contina oscilando. Ello se debe a la inercia que posee. Si durante este movimiento acta una fuerza F1, F2, etc., el movimiento es acelerado (no uniformemente acelerado).Cuando el pndulo pasa al punto M, el peso del cuerpo acta como fuerza negativa, es decir, el movimiento es retardado. As llegar a un punto B en que su velocidad se anula, y no sube ms (caso anlogo al del cuerpo lanzadohacia arriba al alcanzar su altura mxima). En ese momento el proceso seinvierte, repitindose en sentido contrario, es decir, de B hacia M, continuando hasta A.
-Determinacin de la aceleracin de la gravedad.[4]Sabemos que:
Elevando al cuadrado miembro a miembro es:
y despejando g, es:
en esta igualdad es:numero pi (constante=3.1415), y l: medible fcilmente, T:se determina con un buen cronmetro.Por lo que esta ultimaexpresin nos permite calcular con relativa facilidad la aceleracin de la gravedad en un lugar determinado.Esto constituye la aplicacin cientfica de mayor importancia del pndulo. Para estas determinaciones se emplean pndulos reversibles, es decir, pndulos que pueden oscilar primero alrededor de un eje y despus alrededor de otro. Colocado de tal modo que en cada una de esas posiciones el pndulo posea la misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son iscronas (igual tiempo de oscilacin).As se logran valores de gran precisin. Se debe tener en cuenta en estas determinaciones la temperatura, amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento del aire y del soporte del pndulo.El mtodo de medicin de g, con el pndulo, lo imagin y expres Huygens, y fue aplicado por el fsico matemtico Borda.-Elementos del movimiento pendular [5](Fig.4)
*Longitud Pendular (L)*Masa Pendular (m)*Oscilacin (BOA+AOB)*Periodo (T=[t(BOA+T(AOB)])*Amplitud angular( > 10)*Amplitud Lineal(A)
Fig.4(elementos del pndulo)
- Movimiento oscilatorio [6]: Es todo movimiento o cambio de estado fsico que se repite en el tiempo, segn su naturaleza fsica de las oscilaciones pueden ser: mecnicas, electromagnticas, atmicas, etc.
- Movimiento peridico [7]: Es aquel cuyos valores variables de sus magnitudes fsicas se repiten en cierto intervalo de tiempo constante llamado periodo (T)
-Movimiento Armnico Simple (MAS)[8]: Es un movimiento oscilatorio y peridico que presenta una trayectoria recta.
-Elementos del M.A.S [9]:1. Amplitud (A): Es el mdulo de la mxima elongacin alcanzada por la partcula durante su movimiento oscilatorio.
2. Periodo (T): Es el tiempo correspondiente a una oscilacin completa en un movimiento oscilatorio. Se mide en segundos Es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 pendulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una asmplitud de recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos pndulos es el mismo.Es directamente proporcional a la raz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un pndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raz cuadrada de la longitud de ese pndulo[10].
3. Frecuencia de las oscilaciones peridicas: Es el nmero de oscilaciones completas realizadas en la unidad de tiempo.
4. Frecuencia angular ()[10] :Se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporcin del cambio de ngulo, y se define como2veces la frecuencia.Se expresa en radianes/Segundo, y formalmente, se define con la letra omega minsculaa travs de la frmula:
donde la frecuenciaFes el nmero de oscilaciones o vueltas por segundo que se realizan, tambin podemos decir que 2 veces la frecuencia en Hz. Una revolucin completa est igual a 2 radianes.
- Frecuencia de las oscilaciones (f) [11]Nota: La frecuencia angular (), el periodo (T) y la frecuencia de las oscilaciones(f) solo dependen de las caractersticas fsicas del resorte(constante de electricidad) y de la masa del cuerpo oscilante y no depende de la amplitud ni de la forma como se inicia el movimiento.- Energa en un pndulo simple[12] Un pndulo simple est compuesto por una masa m unida a un hilo inextensible de longitud L y masa despreciable. Cuando se separa ligeramente de la posicin de equilibrio estable, realiza pequeas oscilaciones peridicas en torno a dicha posicin de equilibrio.
Unamasasobre un muelle transforma laenergade ida y vuelta entre energacinticayenerga potencial. Si no hubiera disipacin, la conservacin de la energa habra determinado que el movimiento continuara para siempre. Para cualquier objeto real vibrante, la implicacin del principio de conservacin de energa es, que el vibrador continuar la transformacin de la energa cintica en energa potencial, hasta que toda la energa sea transferida a alguna otra forma. Para iniciar el movimiento del objeto, se debe aplicar una fuerza externa, para realizar eltrabajosobre la masa que inicialmente estira el muelle-Puntos de las oscilaciones donde habr mayor[13]: Mayor velocidadEl pndulo tendr mayor velocidad, cuando pase por el punto de equilibrio, es decir, cuando la amplitud de arco del sistema sea igual a cero Mayor energa cinticaAl igual que la velocidad, la energa cintica se hace mxima cuando la masa pasa por el punto de equilibrio y cuando su velocidad es mxima Mayor energa potencialLa energa potencial es mxima cuando la amplitud es mxima, es decir, cuando el pndulo se encuentra ubicado en cualquiera de los dos extremos que representan su movimiento, tambin se puede deducir esto, cuando la aceleracin del sistema es mxima.-Conservacin de la energa mecnica[14]: Elteorema de la conservacin de la energa mecnicaestablece que el trabajo realizado sobre un cuerpo se invierte, exactamente, en aumentar algn tipo de energa.Cuando en un sistema slo hay fuerzas conservativas: la energa mecnica permanece constante. La energa cintica se transforma en energa potencial y viceversa.
Cuando sobre un cuerpo actan fuerzas no conservativas, como las de rozamiento, la energa mecnica ya no permanece constante.La variacin de la energa mecnica es precisamente el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. mecnica = W realizado por las fuerzas no conservativas
-Energa del movimiento armnico simple[15]:
Energascintica(Ec),potencial(Ep) ymecnica(Em) en el movimiento armnico en funcin de la la elongacin.Las fuerzas involucradas en un movimiento armnico simple soncentralesy, por tanto,conservativas. En consecuencia, se puede definir uncampo escalarllamadoenerga potencial(Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresin de la energa potencial, basta con integrar la expresin de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obtenindose:
La energa potencial alcanza su mximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el puntox= 0, es decir el punto de equilibrio.Laenerga cinticacambiar a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
La energa cintica es nula en-Ao+A(v=0) y el valor mximo se alcanza en el punto de equilibrio (mxima velocidad A).
Como slo actan fuerzas conservativas, laenerga mecnica(suma de la energa cintica y potencial) permanece constante.
Finalmente, al ser la energa mecnica constante, puede calcularse fcilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partcula es nula y por lo tanto la energa potencial es mxima, es decir, en los puntosy. Se obtiene entonces que,
O tambin cuando la velocidad de la partcula es mxima y la energa potencial nula, en el punto de equilibrio
II.Aspectos ExperimentalesA. PROCESO 1(CONSTRUCCIN PENDULO ) INSTRUMENTOS USADOS:
Una base de madera. Un poste de madera a manera de soporte. Un tornilloen forma de llave. Hilo de pescar. Una tuerca. Clavos. PROCEDIMIENTO:Sobre la base de maderase fijel soporte vertical de madera con dos clavosen la parte de abajo .En la parte superiorque se desprendedel soporte se hizoun agujero, aqu fijamosun tornillo quesostendral hilo y la bola.
B. PROCESO 2(EXPERIMENTO APARTIR DEL PENDULO CONSTRUIDO)
INSTRUMENTOS USADOS: Regla. Cronometro Graduador
PROCEDIMIENTO:1) Al prototipo que realizamos del pndulo simple lo colocamos sobre una plataforma (mesa).2) tomamos las medidas del hilo (la longitud=l)3) Tomamos el tiempo en el que se demor en hacer las oscilaciones.4) Al tiempo que tomamos el tiempo contamos el nmero de oscilaciones realizadas en intervalos de tiempo. 5) con estos datos calculamos. El periodo y la gravedad a partir de las formulas mencionadas en el marco terico gravedad.6) Estos pasos los hicimos para las tres longitudes y las tres oscilacionesIII.ANALISIS
*RECOLECCION DE DATOS SERIE DE DATOS #01:(Numero de oscilaciones y tiempo en 3 longitudes diferentes)
l longitudN OOscilaciones ttiempoTperiodoggravedad
34 cm(0,34m)66811,21,449,32
23 cm(0,23m)66701,11,217,5
17cm(0,17m)66520,80,6410,49
*ECUACIONES QUE USAMOS :1.
2.
Promedio gravedad 9,1
*ERRORES EXPERIMETALES:
ERROR ABSOLUTO:
ERROR RELATIVO:
-0,176
ERROR RELATIVO PORCENTUAL:
= 2,4%= -17,6%= 15,3%
*ERRORES TEORICOS: Aceleracin de la gravedad: Aceleracin de un cuerpo que cae en el campo gravitatorio de la tierra libremente. Tambin llamada aceleracin gravitatoria. Es igual La aceleracin de la gravedad en la Tierra vara segn la altura. En la superficie est definida por 9,80665 m/s2.
ERROR ABSOLUTO:
-0,48 -2,30,69
ERROR RELATIVO:
-0,235
ERROR RELATIVO PORCENTUAL:
= 4,9%= -23,5%= % 0,7%*GRAFICOS :
-T vs l (periodo vs longitud):
ANALISIS: En el experimento se puedo observar que el valor de la gravedad experimental est muy alejado del valor de la gravedad terica. Esto se debe a que la gravedad experimental se calcul con una longitud medida con un instrumento de medicin como la regla esto quiere decir que esta gravedad tiene en ella una serie de error arrastrados tal vez por la mala medicin de los operadores al momento de tomar la medida, tambin estuvo incluido el cronometro con el que se tom el tiempo de las 66 oscilaciones el cual tambin arrastra un error sistemtico tambin incluiremos el hecho de que no tuvimos en cuenta el angulo para cada una de las mediciones puesto que tomamos angulos diferentes de los cuales no tomamos su valor , y para ajustar la recta tuvimos que calcular minimos cuadrados .
Aplicando los mnimos cuadrados:xyx^2x * y
0,341,20,11560,408
0,231,10,05290,253
0,170,80,02890,136
0,743,10,19740,797
*0,1974m+0,74b=0,797*0,74m+3b=3,1
Si reemplazamos quedara la ecuacin:
A partir de lo dicho en el anlisis anterior no podemos calcular aceleracin ni velocidad mxima por lo cual tomamos una segunda serie de datos , estableciendo un grado estndar para todas las medidas .y tambin tomamos diferentes longitudes en comparacin con serie de datos 1 .
SERIE DE DATOS #02: (Numero de oscilaciones y tiempo en 3 longitudes diferentes con un ngulo de 9)
l longitudN OOscilaciones ttiempoTperiodoggravedad
0,34 m21221,051,112,20
0,19 m29230,790,6212,02
0,12 m33220,670,4510,55
*ECUACIONES QUE USAMOS :1.
2.
Promedio gravedad
*ERRORES EXPERIMETALES:
ERROR ABSOLUTO:
ERROR RELATIVO:
0,04
-0,09
ERROR RELATIVO PORCENTUAL:
= 53% %= 4 %= -9%
*ERRORES TEORICOS:
ERROR ABSOLUTO:
2,4 2,22 0,75
ERROR RELATIVO:
0,227 0,077
ERROR RELATIVO PORCENTUAL:
= 24,5 %= 22,7 %= 7,7%
*GRAFICOS :
-T vs l (periodo vs longitud):
ANALISIS: En la segunda serie de datos el valor de la gravedad experimental sigue estando muy alejado del valor de la gravedad terica, en cuanto a las dos series de datos solo en un dato se acerc ms la gravedad experimental a la gravedad terica , teniendo un margen de error ms pequeo.Para esta serie de taos ya que si tuvimos en cuenta el valor estndar del ngulo (9), procedimos a calcular el valor de la velocidad mxima y de la aceleracin mxima tanto con la gravedad terica como con la gravedad experimental.
*VELOCIDAD MAXIMA (con cada una de las mediciones)
l longitudggravedadexperimentalggravedadteorica
0,34 m
0,19 m
0,12 m 10,55
*VELOCIDAD MAXIMA
-A partir del movimiento circular uniforme don la velocidad mxima equivaldra a[16] :
Siendo as:=velocidad angular R= se definira como la amplitud horizontal mxima que la ecuacin la denotaremos como en otras palabras es la distancia entre el punto de equilibrio hasta donde llega el fin de la cuerda con el ngulo respectivo < 10 es decir aproximadamente equivaldra a el (Fig.6)
Fig,6(alcance horizontal mximo )
Entonces para el pndulo usaremos las siguientes formulas:
*Para calcular la velocidad angular
Ahora para calcular donde r ser equivalente a la longitud multiplicada por que tiene que estar en radianes con la formula as:
Para pasar los grados a radianes hacemos el siguiente proceso:
Entonces la velocidad mxima experimental y teorica para cada una de las longitudes es siendo el angulo igual a 9:
0,34 m5,990,1570,94
0,19 m7,950,1571,25
0,12 m9,380,1571,47
0,34 m5,360,1570,84
0,19 m7,180,1571,13
0,12 m9,040,1571,42
*ACELERACION MAXIMA-Teniendo en cuenta la velocidad angular y el alcanze horizontal maximo determinaremos la aceleracin mxima elevando al cuadrado la velocidad angular y multiplicndola por el alcance horizontal mximo as:
0,34 m5,9935,880,157
0,19 m7,9563,200,157
0,12 m9,3887,980,15713,81
0,34 m5,3628,730,157
0,19 m7,1851,550,157
0,12 m9,0481,720,157
*ENERGIASObtendremos la energa mecnica con la suma de la energa cintica rotacional y la energa potencial de cada medicin:Primero calculamos el momento inercial de cada medicin para poder aplicar la frmula:
Reemplazando:
Luego calculamos la energa potencial para cada uno:
Organizando los datos obtenidos:LongitudEnerga cintica Energa Potencial
0.34 m6,592.9246
0.19 m11,831.6355
0.12 m18,761.0322
Ya al haber calculado las energas (potencial y cintica), podemos calcular la energa mecnica de cada uno:
Reemplazamos:
Estas seran las energas mecnicas para cada uno, con la gravedad terica, ahora procederemos a hacer lo mismo pero con la gravedad experimental:
Calcularemos de nuevo la energa cintica con la velocidad que calculamos inicialmente a partir de la gravedad experimental:
A continuacin calculamos la energa potencial para cada uno:
Organizando los datos tendramos LongitudEnerga cintica Energa Potencial
0.34 m8,293.6408
0.19 m14,512.0046
0.12 m20,201.1112
Ahora se calcula la energa mecnica:
Calculando la energa potencial Mxima: La energa potencial mxima se puede calcular mediante la siguiente ecuacin:
La energa potencial mxima utilizando la gravedad terica seria:
La energa potencial mxima utilizando la gravedad experimental seria:
La energa del sistema es producto de la conversin de energa potencial a energa cintica. Tomando cada energa en el punto ms bajo y alto, se puede observar que la velocidad y la altura que alcanza el pndulo, es independiente de su masa, en este caso el sistema no pierde energa, por lo tanto esta es constante.En el siguiente diagrama se describe por momentos lo que sucede con la energa potencial y cintica:
En la posicin=0el pndulo solamente tiene energa potencial, que se transforma en energa cintica cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio. En la posicin extrema=0, la energa es solamente potencial. En la posicin, la energa del pndulo es parte cintica y la otra parte potencial.IV.onclusiones
La conclusin a que se llega es que este mtodo de calcular la gravedad experimental como no es muy efectivo tendra que haber una precisin de los operadores al momento de tomar las medidas y al momento de hacer los clculos. El periodo de un pndulo simple no depende de la amplitud del mismo, esto solo en casos en el que el ngulo con que se suelta el sistema es demasiado pequeo. La masa es un factor que no determina ninguna influencia al momento de calcular el periodo pendular, por tanto, la masa y la naturaleza del objeto son independientes del funcionamiento del sistema. La gravedad y la longitud en el pndulo simple, representan los factores de apoyo al sistema, con los cuales se puede determinar el lugar, segn la fuerza con que acta la naturaleza sobre el sistema y las dimensiones lineales del mismo En un sistema del pndulo simple de acuerdo con la experimentacin pudimos determinar que entre menor sea la longitud de la cuerda existe mayor velocidad y por lo tanto habr mayor aceleracin Cuando se trabaja con un sistema de masa-resorte, generalmente se desprecia la masa del resorte, debido a que sus proporciones no son tan preponderantes para el sistema, en el caso de que si lo sea, es necesario adecuar las frmulas del movimiento
V.Referencias
*http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.htm [1] *http://www.academia.edu/6170769/Pendulo_Simple [2]*http://historiaybiografias.com/pendulo/ [3,4,5,6,7,8,9]*http://www.monografias.com/trabajos30/movimiento-armonico-simple/movimiento-armonico-simple.shtml#ixzz3akOn2t5l [10]*http://luz.izt.uam.mx/mediawiki/index.php/Frecuencia_angular[11]* http://html.rincondelvago.com/pendulo-simple_9.html [12]* http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/soushm.html#c3 [13]*http://newton.cnice.mec.es/newton2/Newton_pre/escenas/trabajo_energia/conservdelaenergia.php [14]*http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple[15]*https://youtu.be/JwYaN9XLZ70 [16]
Para la elaboracin de esta articulo , se tuvo en cuenta:
1. Plantilla para la redaccion de articulos cientificos descargado de http://190.60.31.110/moodle/course/view.php?id=6382. Normas IEEE
