Segundo Momento de Área ÍNDICE Objetivos …………………………………………………………….. 2 Introducción ……………………………………………………………….. 3 Aplicación ……………………………………………………………….. 4 1. Definición de momento de inercia …………………………………………. 4 2. Teorema de los ejes paralelos para un área ……………………………….. 5 2.1. Enunciado ……………………………………………………………... 5 2.1.1. Momentos de Inercia ………………………………………… 2.1.2. Segundo Momento de Área ………………………………….. 6 2.1.3. Tensor de Inercia …………………………………………….. 7 2.2. Demostración ………………………………………………………….. 7 2.3. Generalización ………………………………………………………… 8 3. Radio de giro de un área ………………………............................................. 8 4. Momento de inercia para un área por integración ……………………....... 10 Estática Página 1
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Segundo Momento de Área
ÍNDICE Objetivos …………………………………………………………….. 2 Introducción ……………………………………………………………….. 3 Aplicación ……………………………………………………………….. 41. Definición de momento de inercia …………………………………………. 4
2. Teorema de los ejes paralelos para un área ……………………………….. 5
2.1. Enunciado ……………………………………………………………... 5
2.1.1. Momentos de Inercia …………………………………………
2.1.2. Segundo Momento de Área ………………………………….. 6
2.1.3. Tensor de Inercia …………………………………………….. 7
2.2. Demostración ………………………………………………………….. 7
2.3. Generalización ………………………………………………………… 8
3. Radio de giro de un área ………………………............................................. 8
4. Momento de inercia para un área por integración ……………………....... 10
4.1. Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia ……………………………
10
4.2. Momento de inercia de una área rectangular ………………………….
11
5. Momentos de inercia para áreas compuestas …………………………….. 12
5.1. Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas … 12
6. Producto de inercia para un área ………………………………………….. 13
7. Momentos de inercia para un área con respecto a ejes inclinados ………. 13
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7.1. Momentos principales de Inercia …………………… 14
Conclusiones …………………………………………………… 16
Bibliografía ………………………………………………….. 17
OBJETIVOS
- Observar un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de traslación de
una partícula y la rotación del cuerpo rígido.
- Analizar dicho sistema mecánico a partir de las leyes dinámicas de traslación y
rotación, o alternativamente, del principio de conservación de la energía.
- Interiorizar el concepto de inercia rotacional.
- Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos y configuraciones de cuerpos.
- Reconocer el carácter aditivo del momento de inercia y verificar el teorema de ejes
paralelos.
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INTRODUCCION
La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en
su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con
precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que
dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en
movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos
una fuerza externa. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la
inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una
magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de
partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la
geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas
que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo
al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor
escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
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APLICACIÓN
- Se emplea para el cálculo de deflexiones, mayor inercia menor deformación en el eje de trabajo, así mismo I/y te da el módulo de sección y te sirve para calcular resistencia a flexión.
- Un pequeño experimento seria para calcular la deformación de una viga, entre mayor es la inercia respecto a un eje de su sección menos se deformara.
- El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.
- Lo cierto es que el momento de inercia es un factor importante a considerar en cuanto a la construcción, pues debemos tener conciencia de como las vigas (por ejemplo) se comportan en cuanto a la tendencia a girar para tal distribución de masa. En general en los cálculos es importante encontrar los valores máximos y mínimos del momento de inercia para tener un control de cómo poner y que viga debemos colocar de acuerdo a lo que se requiere.
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1. Definición:
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia
rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de
inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe
representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que
forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el
análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de
la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas
que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal
de un sólido rígido.
2. Teorema de los Ejes Paralelos de un Área.
En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o
simplemente teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento
de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto
sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular
(r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de área de una
sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre
al geómetra suizo del siglo XIX Jakob Steiner.
2.1. Enunciado
2.1.1. Momentos de Inercia
Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido, y dado un segundo eje paralelo
al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión: