-
1
Movimiento de slidos dentro de fluidos.
Sedimentacin: Es el proceso de desplazamiento de partculas ms
densas que el agua que se
mueven hacia la parte inferior del fluido debido a la accin
gravitacional.
Las fuerzas que actan durante el movimiento de una partcula
dentro de un fluido son:
a) Peso de la partcula = Vpsg
b) Flotacin = Vpfg
c) Fuerza de arrastre Fr = f fApu2/2
Donde Vp representa el volumen de la
partcula, s indica la densidad de la
partcula, f la densidad del fluido, g la aceleracin de la
gravedad, f el factor de arrastre, Ap el
rea proyectada de la partcula en la direccin del flujo y u la
velocidad entre la partcula y el
fluido.
La suma de fuerzas actuando sobre la partcula se expresa
por:
- Peso + flotacin fuerza de arrastre = fuerza resultante (2 ley
de Newton: masa * aceleracin)
- Vpsg + Vpfg + f fApu2/2 = - Vps du/dt
La fuerza de arrastre tiene siempre la direccin opuesta a la del
movimiento de la partcula.
= (
1) +
2
2 (1)
du/dt representa la aceleracin de la partcula cuando sta tiene
una velocidad u.
La ecuacin 1 es vlida para:
1- Partculas esfricas y lisas
2- Partculas incompresibles
3- El movimiento de una partcula no es afectado por el
movimiento de las otras.
Ms adelante se quitan las restricciones 1 y 3.
Cuando la partcula es esfrica Ap = dp2/4 y Vp = dp
3/6. Sustituyendo en la ecuacin 1
= (
1) +
22
2 43/6
= (
1) +3
22
43 = (
1) +3
2
4
= (
1) +
32
4 (2)
Para conocer la velocidad en cualquier instante es necesario
sustituir la expresin del coeficiente
de arrastre f e integrar analtica o numricamente.
-
2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (seg)
Velo
cid
ad (
cm
/seg)
dp = 0.1 cm
dp = 1 cm
Estado estacionario del movimiento de la partcula. Cuando du/dt
= 0, a la velocidad de la
partcula se le denomina velocidad de sedimentacin libre:
usl.
0 = (fs
1) g +3f
fusl2
4sdp, reacomodando (
sfs
) g =3ffusl
2
4sdp , (s f)g =
3ffusl2
4dp
Despejando usl:
usl = 4(sf)gdp
3 ff (3)
Para verificar la aproximacin que significa proponer el
comportamiento estacionario respecto del
dinmico, en la siguiente grfica se observa el corto tiempo que
tarda una partcula de arena de
diferente dimetro en alcanzar el estado estacionario, lo que
justifica para este caso y tiempos de
sedimentacin mayores a 3 segundos su simplificacin.
En el programa principal de Matlab se escribe:
[t,v]=ode23s(@sedimentacion,[0 1],0.1);La function
sedimentacin contiene la ecuacin 2. El coeficiente
de friccin se encuentra mediante la ecuacin de
Turton-Levenspiel.
f =24
Re(1 + 0.173Re0.657) +
0.413
1 + 16300Re1.09
function dv= d(t,v)
ds=2.5;% densidad slido gr/cm3 dl=1;% densidad lquido gr/cm3
g=981; %aceleracin gravedad cm/s2 d=0.1; %dimetro partcula cm
vi=0.01;%viscosidad gr/cm s re=d*v*ds/vi; den=1+16300*(re^(-1.09));
f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;% Ecuacin de Turton-
Levenspiel dv=(ds-dl)*g/ds-3*f*dl*v*v/(4*d*ds);% Ecuacin 1
Quitando la primera restriccin
(partculas esfricas)
En la grfica derecha
representa la esfericidad de la
partcula. En eje de las abscisas
-
3
se encuentra el nmero de Reynolds Res.
Res =dsVf
Donde ds representa el dimetro de una esfera con igual dimetro
al de la partcula. As ds= desf*.
La esfericidad est definida como: =rea de una esfera con volumen
igual al de la partcula
rea de la partcula
Anlisis de la grfica del arrastre.
Regin de flujo laminar (Res
-
4
Determinacin de la velocidad de sedimentacin en estado
estacionario.
Si el objetivo es encontrar el valor de la velocidad de
sedimentacin usl en flujo laminar, la solucin
es directa usando la ecuacin 5, de otra manera se puede
construir un programa de computadora
o utilizar el mtodo grfico que a continuacin se describe:
Despejar f de la ecuacin 3 : f =4(sf)gds
3fusl2 , aplicando logaritmo a esta ecuacin se obtiene:
log(f ) = log4(s f)gds
3f 2 log(usl)
Por otro lado, se conoce Res =dsfusl
, aplicando logaritmo se obtiene log(Res) = log
dsf
+
log(usl). Despejando de esta ecuacin log usl y sustituyendo en
la ecuacin anterior se encuentra:
log(f ) = log4(sf)gds
3f 2 (log(Res) log
dsf
) , reacomodando
log(f ) = log4(sf)gfds
3
32 2log(Res) (6)
Al colocar esta ecuacin en la grfica anterior de arrastre para
partculas dentro de fluidos, log f
vs log Res, se obtiene una lnea recta con pendiente igual a -2,
tal como se muestra enseguida.
A
B
-
5
El punto A se construye proponiendo Res =1 y encontrando el
valor de f , usando la ecuacin 6.
Para el punto B se propone Res = 10000 y se encuentra f , tambin
usando la ecuacin 6.
Dependiendo de los valores de los parmetros del sistema se ubica
la lnea recta, aunque con
pendiente igual -2. En el punto en que la lnea recta intercepte
la curva que muestra la esfericidad
de la partcula, de ah se obtiene tanto el Res como el valor de
f, y de cualquiera de ellos se puede
obtener el valor de usl.
Determinacin del dimetro de partcula para sedimentacin en estado
estacionario.
En flujo laminar se puede encontrar directamente el dimetro de
la partcula que se sedimenta a
una velocidad usl conocida, basta despejar de la ecuacin 5 el
dimetro: ds = 18usl
(sf)g
Para otro tipo de flujo el tratamiento mediante el mtodo grafico
que evita la prueba y error es el
siguiente. Despejar el dimetro de partcula tanto del Res y como
de la expresin de f :
ds =Res
fusl y ds =
3usl2 ff
4(sf)g. Igualando las expresiones de ds :
Res
fusl=
3usl2 ff
4(sf)g, aplicando
logaritmo y reacomodando se encuentra: logf = log4(sf)g
3f2usl
3 + log Res
Esta ltima ecuacin representa una lnea recta con pendiente 1 en
el mismo diagrama utilizado,
ver la siguiente figura:
C
D
-
6
La lnea se traz usando ( Res =1 y f =1) como punto C y ( Res
=100 y f =100) como punto D. Para
un problema partcular los puntos C y D se evaluan con los datos
del problema. Cuando la lnea
cruce el valor de la esfereicidad de la particula, de ah se
encuentra el valor del Res o de f , y con
cualquiera de ellos el valor de ds.
Quitando la restriccin de que la particula no tiene
interacciones con otras o con las paredes del
recipiente que las contiene. La velocidad con la que en promedio
desciende una particula se define
como usr = Velocidad de sedimentacin retardada
a) Interaccin con otras particulas. usr = usl *Fs , donde Fs
=x2
101.82(1x) para x 0.7 y Fs =
0.123x3
1x para x < 0.7, donde x representa la fraccin en volumen del
fluido en el
volumen total.
b) usr = usl *Fs* Fp. Para flujo laminar Fp = (1 dsdc
)2.65
y para turbulento
Fp = (1 dsdc
)1.5
donde dc representa el diametro del conducto.
Ejemplo:
Se separan cuarzo y pirita (FeS) por clasificacin hidrulica
contina. La alimentacin al clasificador
vara en tamaos entre 10 micras y 300 micras. Se obtienen tres
fracciones: Producto de cuarzo
puro, un producto de pirita puro y una mezcla de cuarzo y
pirita. La gravedad especfica relativa
del cuarzo es de 2.65 y la de la pirita 5.1 Cul es la gama de
tamaos de los dos materiales en la
fraccin mezclada para cada uno de los siguientes casos?
a) El producto de fondo contiene la mxima cantidad de pirita
pura. b) El producto de derrame contiene la mxima cantidad de
cuarzo puro.
Respuesta:
a) Es posible sacar todo el cuarzo por derrame y dejar slo
pirita, aunque al hacerlo se derrame tambin pirita de hasta cierto
tamao.
En estado estacionario para una partcula esfrica el balance de
fuerzas permiti
encontrar que usl = 4(sl)gds
3fl , donde f es el coeficiente de friccin, cuyo valor se
encuentra en la grafica correspondiente o mediante la ecuacin de
Turton- Levenspiel:
f =24
Re(1 + 0.173Re0.657) +
0.413
1+16300Re1.09.
Para determinar el valor de usl se necesita conocer el valor de
f , pero ste a su vez
depende del valor de usl, por lo que el problema puede hacer
pensar en un
procedimiento iterativo.
-
7
La solucin a esta parte del problema se va a encontrar de dos
maneras: la primera por un mtodo
grfico que elimina la iteracin y despus, como segundo mtodo, se
usa el mtodo de Newton
junto con la ecuacin de Turton-Levenspiel.
Mtodo grfico:
Se conoce
2
3
3
)(4logRelog2log
fsfss
gdf . Sustituyendo valores para el cuarzo
con dp=300 micras (0.03cm) se obtiene:
)7.582log(Relog2)01.0(3
)165.2)(1()03.0)(981(4logRelog2log
2
3
ssf f =582.7/Res
2
Para graficar esta ecuacin se asignan valores, ejemplo: A) Para
Res=1 se obtiene f =582.7, y B)
Para f =1 se obtiene Res= (582.7)1/2 =24. Colocando estos
valores sobre la grfica y trazando la
recta, se obtiene un Res de aproximadamente 14 a una esfericidad
de uno.
Utilizando la definicin del Res: 66.41*03.0
01.0*14
))((
))((Re
p
ssl
dV cm/s, que representa la
velocidad del fluido para sacar todo el cuarzo por el derrame,
aunque conjuntamente tambin
A
B
-
8
arrastr pirita, por lo que ahora se va a buscar qu dimetro de
pirita fue sacado por el derrame
con la velocidad de fluido de 4.66 cm/s.
Ahora se utiliza el procedimiento de Newton: se propone un valor
inicial de la velocidad usando un
valor de f =1. La funcin a resolver es = 4()
3 y la derivada respecto de usl es:
= 1 +
4()
32
24()
3
. Aqu df representa df/dusl, esta derivada se evala de
manera
numrica. El programa es el siguiente:
function [v,re,f]= p()
% Funcin para encontrar la velocidad de una esfera en
sedimentacin
libre
ds=2.65;% densidad del cuarzo
dl=1;% densidad del agua
g=981; % aceleracin de la gravedad en cm/seg2
d=0.03;% dimetro del cuarzo en cm
vi=0.01;% viscosidad del agua en gr/cm s
v=sqrt((ds-dl)*g*d/(3*dl*1));%velocidad inicial propuesta a
f=1
e=1;
while e>0.001
re=d*v*dl/vi;
v1=v+0.0001;
re1=d*v1*dl/vi;
den=1+16300*(re^(-1.09));
den1=1+16300*(re1^(-1.09));
f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;%ecuacin de Turton
Levenspiel
f1=(24/re1)*(1+0.173*(re1^0.657))+0.413/den1; ecuacin de
Turton
Levenspielincrementada
df=(f1-f)/0.0001;% derivada del coeficiente de friccin
fu=v-sqrt(4*(ds-dl)*d*g/(3*f*dl));
dfu=1+2*df*(ds-dl)*d*g/((3*f*f*dl)*sqrt(4*(ds-dl)*d*g/(3*f*dl)));
vn=v-fu/dfu;
e=abs((vn-v)/v);
v=vn;
end
La funcin es llamada en el programa principal de la siguiente
forma: [u,Re,f]=fsed() y los
resultados que se obtienen son: usl =4.22 cm/s , Res = 12,663 y
f = 3.6338. Valores que son ms
exactos que los obtenidos por el mtodo grfico.
Ahora se requiere determinar el valor del dimetro de pirita que
sale a una velocidad de 4.66
4.22 cm/s.
-
9
Primero se utiliza el mtodo grfico:
Se conoce
323
)(4logReloglog
slf
fs
su
gf
. Sustituyendo valores para la pirita:
)53.0log(Relog)66.4()1(3
)01.0)(11.5)(981(4logReloglog
32
ssf f = 0.53Res
Para graficar esta ecuacin se asignan valores, ejemplo: A) Para
Res=5 se obtiene f =2.65, y B)
Para Res=20 se obtiene f =10.6. Colocando estos valores sobre la
grfica y trazando la recta, se
obtiene un Res de aproximadamente 8 a una esfericidad de uno
Utilizando la definicin del Res: 017.01*66.4
01.0*8
))((
))((Re
fsl
sp
ud
cm. As, en el fondo queda
pirita de 171 hasta 300 micras.
El segundo procedimiento para determinar el dimetro de la
partcula es de nuevo el mtodo de
Newton, usando, ahora, como funcin = ds 3fdpusl
2
4g(sf) y = 1
3dfdpusl2
4g(sf) , siendo
df la derivada de f respecto del dimetro, y es evaluada, tambin,
numricamente. El programa es
el siguiente.
B
A
A
-
10
function [d,re,f]= p()
% Funcin para encontrar el dimetro de una esfera en sedimentacin
libre
ds=5.1;% densidad de la pirita
dl=1;% densidad del agua
g=981; % aceleracin de la gravedad en cm/seg2
vi=0.01;% viscosidad del agua en gr/cm s
v=4.22;% velocidad de la pirita
d=3*(1)*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g); %dimetro inicial propuesto a
f=1
e=1;
while e>0.001
re=d*v*dl/vi;
d1=d+0.0001;
re1=d1*v*dl/vi;
den=1+16300*(re^(-1.09));
den1=1+16300*(re1^(-1.09));
f=(24/re)*(1+0.173*(re^0.657))+0.413/den;%ecuacin de Turton
Levenspiel
f1=(24/re1)*(1+0.173*(re1^0.657))+0.413/den1;
df=(f1-f)/0.0001;
fu=d-3*f*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g);
dfu=1-3*df*dl*v*v/(4*(ds-dl)*g);
dn=d-fu/dfu;
e=abs((dn-d)/d);
d=dn;
end
Esta funcin es llamada por el programa principal:
[d,Re,f]=fsedd(). Los resultados son : dp=
0.0176, Res = 7.43 y f = 5.3155. Resultados muy semejantes a los
obtenidos por el mtodo grfico.
b) En el segunda caso se busca la velocidad mxima de fluido que
no saca pirita y si una parte del
cuarzo, que es la mxima cantidad de cuarzo puro. El primer paso
es encontrar la velocidad de
fluido que saca por el derrame pirita de un dimetro de 10
micras.
Proponiendo flujo laminar
18
)( 2pfssl
gdu
. Sustituyendo valores para la pirita
022.001.0*18
)001.0(981)11.5( 2
slu cm/s, que representa la velocidad del fluido que saca
cuarzo
pero no pirita por el derrame.
Verificando Res = (0.001)*(0.022)*1/0.01 < 3.
Utilizando el programa para encontrar la velocidad del fluido
cuando la partcula es pirita con un
dimetro de 0.001 cm, se encuentra Vsl = 0.0223 cm/s, Res =
0.0022.
-
11
Ahora se va a buscar qu dimetro de cuarzo fue sacado por el
derrame con la velocidad de fluido
de 0.022 cm/s. Proponiendo flujo laminar y despejando para el
dimetro )(
)(18
fs
slp
g
ud
.
Sustituyendo valores para el cuarzo
0015.0)165.2(981
)022.0)(01.0(18
sd cm. Verificando Res= (0.0015)*0.022*1/0.01 < 3.
Por el derrame sale cuarzo cuyo dimetro est entre 10 y 15
micras.
Utilizando el mtodo numrico se encuentran usl = 0.0016 cm/s, Res
= 0.0034.
Ejemplo:
A quin podra ocurrirle si no a Joe mala suerte? Joe sale de
caza, se pierde, dispara tres
balazos al aire y lo que consigue es que las tres balas caigan
directamente golpeando su cabeza
Qu velocidad llevaban las balas cuando le golpearon?
Datos: masa de la bala = 0.01179 kg, = 0.806, bala= 9500 kg/m3,
aire = 1.2 kg/m3, aire = 0.02 cp
Respuesta : Vol bala= m/= 0.01179/9500 = 1.24*10-6 m3 = (/6)d3,
desf = 0.0133 m.
ds = 0.806*0.0133 = 0.0107 m. Se conoce f =4
3
(sf)gds3f
f2
1
Res2 =
4
3
(95001.2)9.80.010731.2
(2105)21
Res2 =
4.56 108/Res2
Para ubicar en el siguiente grfico dos puntos: considerar a) si
Re = 30,000 entonces f=0.5 y b) si
Re = 10,000 entonces f = 4.56. En la figura siguiente se observa
que la lnea que une los dos
puntos cuando =0.806 se obtiene un Res de 20000. As 20000= dusl/
= 0.0107*usl*1.2/2*10-5,
de donde usl = 31.15 m/s (112 km/h).
-
12
Ahora se resuelve el mismo problema incluyendo la dinmica de la
bala.
Primero se analiza el comportamiento de la bala cuando es
disparada de un revolver en forma
vertical a una velocidad de 300 m/s. El modelo dinmico de la
misma ya se obtuvo en clase (dj
vu) .
mdv
dt= mg + wg FR
donde m es la masa de la bala(0.0117kg), w es la masa de fluido
desplazada(1.24*10-6*1.2 =
1.488*10-6 kg), y FR = f*Ap*f*u2/2 = f*(*0.01072/4)*1.2*u2/2,
siendo Ap el rea proyectada de la
bala en direccin del movimiento. Sustituyendo se obtiene : du/dt
= -9.81 4.576*10-3fu2
La expresin para el coeficiente de friccin a diferentes
esfericidades viene dada por la ecuacin
de Clift-Gauvin:
=24
(1 + ) +
1+/ , donde A= exp(2.3288-6.4581*+2.4486*2),
B=0.0964+0.5565*, C=exp(4.905-13.8944*+18.422*2-10.2599*3) y
D=exp(1.4681+12.2584*-20.7322*2+15.8855*3)
El siguiente programa en Matlab resuelve el problema:
-
13
yo=[300 0];
[t,v]=ode45(@dinamsedi,[0 5.77], yo);
plot(t,v)
La funcin llamada dinamsedi es:
function dv= d( t,v )
d=0.01079;
ro=1.2;
vi=0.000018;
re= d*v(1)*ro/vi;
e=0.806;
a1=2.3288-6.4581*e+2.4486*e*e;
a=exp(a1);
b=0.0964+0.5565*e;
c1=4.905-13.8944*e+18.422*e*e-10.2599*e*e*e;
c=exp(c1);
d1=1.4681+12.2584*e-20.7322*e*e+15.8855*e*e*e;
d=exp(d1);
f=(24/re)*(1+a*re^b)+c/(1+d/re);
dv(1)=-9.8- 0.004576*f*v(1)*v(1);
%dv(1)=-9.8; % sin friccin
dv(2)=v(1);
dv=dv';
end
La bala sube aproximadamente 320 m. Si se desprecia la friccin,
la bala alcanza una altura de
4500m en aproximadamente 32 s. Ahora se va a analizar el caso en
que la bala desciende de una
altura de 320. El modelo dinmico se modifica a:
mdv
dt= mg + wg + FR
0 1 2 3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (s)
V(m
/s)
y
a
ltura
(m
)
-
14
En el programa basta con modificar: dv(1)=9.8-
0.004576*f*v(1)*v(1); y yo=[0.1 320];
plot(t,v(:,1))
Esta grfica indica que la velocidad ltima de la bala
es de aproximadamente 38 m/s, aunque se muestre
solo hasta 11s, velocidad final de la bala ya no cambia
si se simula a tiempos mayores. Alrededor de 11 s es
el tiempo que tarda la bala en caer una distancia de
320m. A la derecha se observa el ngulo de disparo y
sus riesgos de daar a una persona al caer la bala.
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
Tiempo(s)
Velo
cid
ad (
m/s
)