-
Aceast prim ediie (pilot) este finanat de Uniunea European.
MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII
NICOLAE PELLEGRINI
MATEMATICModulul 2Forme Ghidul profesorului
Proiect Phare Acces la educaie pentru grupuri
dezavantajateProgramul A doua ans
-
Ministerul Educaiei i Cercetrii
Aceste materiale publicate n cadrul Proiectului Phare Acces la
educaie pentru grupuridezavantajate 2003 au fost realizate de o
echip de experi ai Ministerului Educaiei i Cercetrii,pentru a fi
folosite n primul an de aplicare experimental a programului
educaional revizuit A doua ans nvmnt secundar inferior.
Membrii echipei care a elaborat materialele sunt:Lucia Copoeru,
coordonatoarea componentei A doua ans nvmnt secundar inferiorDorina
Kudor, autoare Limba i literatura romnCarmen Costina, autoare Limba
englezAriana-Stanca Vcreu, autoare MatematicNicolae Pellegrini,
autor MatematicLuminia Chicina, autoare tiineIoana Mihacea, autoare
tiineMihai Stamatescu, autor Istoriedr. Horaiu Popa-Bota, autor
Geografiedr. Doina-Olga tefnescu, autoare Cultur civicPaul
Vermeulen, expert U.E., componenta Elaborare curriculum i materiale
educaionale
Coordonator editorial: Laura CodreanuDesign copert, layout:
Elemr KnczeyDesign i dtp: Andrs TnczosIlustraii: Levente
SzekeresCorectur: Mirabela Mitric
Aceast publicaie face parte din Programul Phare 2003 Acces la
educaie pentru grupuridezavantajate, componenta A doua ans.Editorul
materialului: Ministerul Educaiei i CercetriiData publicrii:
februarie 2006
Coninutul acestui material nu reprezint n mod necesar poziia
oficial a Uniunii Europene.
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 3
CuprinsIntroducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .4
Capitolul I. Puncte, drepte i figuri geometrice . . . . . . . .
. .71. Cum se nasc liniile din puncte? . . . . . . . . . . . . . .
. . . .82. Cum se nasc figurile din linii? . . . . . . . . . . . .
. . . . . .103. Dreptele i unghiurile crmizile geometriei . . . .
.124. Figuri plane, pretutindeni . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .145. Unde priveti, numai corpuri . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .166. Realitate sau desen? . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .18
Capitolul II. Fenomene geometrice . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .217. Asemnarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .228. Un fenomen de mare importan: congruena . .
. . . .249. Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .26
Capitolul III. Msuri i uniti de msur . . . . . . . . . . . .
.2910. Timpul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3011. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3212. Lungimea . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3413. Msura
unghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.36
Capitolul IV. Proprieti metrice . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .3914. Perimetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .4015. Arii . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4216. Volume . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.4417. Triunghiul sub lup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .4618. ncep problemele: din nou despre relaii metrice . .
.48
Capitolul V. Recapitulare i aplicaii . . . . . . . . . . . . . .
. . .5119. Surprize, n loc de recapitulare . . . . . . . . . . . .
. . . . .5220. n final, recapitulare n loc de surprize . . . . . .
. . .54
Ne bucurm c suntemmpreun n marea echip aprogramului A doua
ans.Ordinele M.Ed.C. nr.5333/25.10.2005 i nr.5375/29.12.2005
privindMetodologia aplicriiprogramului i programelecolare pentru
educaia debaz sunt documentele carestau la baza programuluiA doua
ans nvmntsecundar inferior.Ghidul de fa face partedintr-o serie de
materialeeducaionale (ghidurileelevului, ghid de
evaluare)elaborate, sau n curs deelaborare care vor fi utilizaten
cadrul programuluiA doua ans nvmntsecundar inferior.Prin realizarea
ghidurilor,am dorit s v sprijinimi s v oferim
materialeperfectibile, dar utile Dvs.att n cadrul programului,ct i
n ntreaga activitatedidactic.Sugestiile pe care ni le veioferi vor
contribui larevizuirea materialelor nanul de pilotare, astfel
nctprogramul s se poatextinde la nivel naional,ncepnd cu anul
colarviitor.Datorit Dvs., pentru tineriidin program, viitorul
poatearta altfel.V dorim succes i vmulumim c ai ales s fiialturi de
noi.
Lucia CopoeruCoordonator A doua ans nvmntsecundar inferior
Stimat coleg,stimate coleg,
-
FORME
Introducere
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI4
Modulul Forme este o introducere n geometriei are ca scop
formarea, respectiv dezvoltarea nspecial a competenei generale:
determinareaunor proprieti i msuri cu ajutorulmsurtorilor efectuate
n situaii concrete.
Competene specificePrograma acestui modul are n vedereurmtoarele
competene specifice:
recunoaterea i reprezentarea figurilor icorpurilor
geometrice;
descrierea proprietilor simple ale unor figurii corpuri
geometrice;
rezolvarea unor probleme practice utilizndproprieti calitative
sau metrice ale unorfiguri i corpuri geometrice.
Acestor competene specifice le sunt ataate nprogram coninuturi
grupate n:
elemente de geometrie; msurri i aplicaii ale msurrilor; probleme
practice i probleme cotidiene.
Desigur, leciile nu vor ine cont de o delimitarefoarte exact a
competenelor i nici aconinuturilor.
Presupunem c elevii posed anumite cunotinei deprinderi legate de
tematica modulului isunt capabili s i aplice aceste achiziii.
Lanceputul modulului, este preferabil s se testezenivelul elevilor,
pentru a se ine cont pe parcursde aceast evaluare iniial.
Astfel, se vor testa cunotinele minimale legate degeometrie i de
msuri la nivelul claselor primare.
Tot evaluarea iniial trebuie s verificeexperiena individual a
elevilor, legat demsurtori i geometrie aplicat.
Evaluarea iniial va oferi profesorului informaiipentru alctuirea
i organizarea grupelor pentruactiviti de grup sau proiecte.
Testul de evaluare iniial face parte dinportofoliul individual
al elevului.
Activitile de nvareEvaluarea odat fcut i contextul specific
alclasei (mediul educaional general, vrstaelevilor, apartenena lor
social etc.) vor conduce
la adaptarea demersului didactic, inclusiv lanivelul
coninuturilor propuse, dar cu sigurannu la nivelul activitilor.
Profesorul arelibertatea s modifice, s aleag, s adapteze, sextind,
s scurteze .a.m.d., cu condiia caorganizarea pe care o va prefera s
contribuie ladezvoltarea competenelor generale i specificeprevzute
de program.
Activitile de nvare vor fi alese n aa felnct s fie adecvate
vrstei elevilor i intereseloracestora. Amintim aici cteva aspecte
pe care lecredem importante:
Dialogul, discuia i conversaia trebuiepromovate, pentru ca
elevii s-i exprimeprerile, ideile i toate observaiile de care vorfi
capabili;
Activitatea de baz se realizeaz n coal,temele de cas sunt mai
puin oportune;
nvarea n cooperare este, probabil, maimotivant dect activitile
individuale;
Majoritatea activitilor se vor finaliza cudiferite produse i
lucrri ale elevilor;
Proiectele se aleg, de comun acord cu elevii,n funcie de
ateptrile lor i de posibilitiledisciplinei, respectiv ale
modulului.
Ideile legate de predarea propriu-zis se vorprezenta n detaliu
pentru fiecare lecie.
La finalul modulului, recapitularea este asiguratprin dou lecii.
Ambele pun elevul n diferitesituaii, n faa unor sarcini diferite.
Profesorulpoate folosi i alte materiale de recapitulare,chiar
realizri ale elevilor: tabele, organizatori,fie, ilustraii etc.
Recapitularea trebuie s fie, n acelai timp,deschidere spre alte
module, teme sau lecii, dinaceeai disciplin sau din alta.
Motivarea elevilorEste foarte important motivarea elevilor
pediverse ci. Un aspect important este limbajulutilizat de
profesor, modul n care se formuleazsarcinile de lucru. Optm mai
puin pentrustilul imperativ i mai mult pentru unulinterogativ.
Dialogul personal i discuiile n grupuri micisunt mai eficiente
dect expunerile iprezentrile. Provocarea elevilor pentru a se
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 5
exprima trebuie s fie fcut cu rbdare ipunndu-se accent pe
ncurajare i laud.
Planificarea evalurii va ine cont de evaluareacontinu i de cea
final. Propunem evaluri lanceput de modul, la captul fiecrui
capitol (ncazul nostru 4) i la sfritul modulului. Timpulnecesar
activitilor de acest timp se va aloca separat.
Putei folosi ca material suplimentar orice cartesau manual de
geometrie de nivel comparabil cuGhidul elevului. Crile care prezint
curiozitimatematice sunt foarte potrivite, precum i surselede
informare de pe internet. Va fi nevoie dematerial oferit elevilor
pentru consultare: planuri,reete, abloane (de ex. de croitorie),
hri etc.
Introducerea din Ghidul elevuluiIntroducerea n modul este i n
Ghidul elevuluiun text de natur explicativ. Acest text va
trebuiprelucrat cu elevii, n ce mod dorete profesorul:poate fi
citit i apoi interpretat de ctre elev,poate fi prezentat de ctre
profesor sau,combinat, pot fi pri dezvoltate de elev i altele de
profesor.
Important este consensul, nelegerea i, dac sepoate, acceptarea
acelor principii n baza croras-a scris respectivul ghid.
Considerm important s nu comparai Ghidulelevului cu manualele
obinuite de geometrie, deorice nivel. Nu pentru c ar fi mai bun sau
maipuin bun, ci pentru c este altceva. Ghidulelevului nu seamn cu
manualul obinuit, nueste un rezumat al altor cri. Este ns unrezumat
de geometrie: se mrginete la esenial,la practic i la relevant.
Dincolo de cele mai bune intenii, Ghidulelevului, ca de altfel
orice manual, suportmbuntiri.
Credem c este bine-venit dac v notaicomentariile i prerile,
propriile impresii.
De asemenea, trebuie spus elevilor c se va contape cunoinele lor
anterioare, pe experiena lorde via i c nvarea care se va produce
vancerca s rspund ateptrilor i nevoilorindividuale ale lor. Ei
trebuie s neleag, ns,c la finalizarea studiilor n sistem a douaans
nivelul de pregtire trebuie s fiecomparabil cu cel al unui
absolvent de clasaa X-a de la SAM. Cu att mai mult la matematic,cu
ct aceast disciplin este materie de examenla mai toate
nivelurile.
Structura Ghidului elevuluiLeciile din Ghidul elevului sunt
structurate nacelai fel, cu excepia ultimelor dou lecii.Toate sunt
compuse din trei blocuri, dedimensiuni aproximativ la fel de mari:
un blocde orientare, un bloc de achiziii i unul detransfer. Fiecare
bloc este format, la rndul lui,din cteva casete, adic nite grupaje
de idei.Astfel, o lecie are 7 casete, intitulate sugestiv:
Despre ce va fi vorba? (introducere, puneren tem)
Adic. (dezvoltarea principalelor idei) Cum? (ntrebri legate de
partea de
dezvoltare) ncercm? (exerciii, sarcini de lucru,
probleme, teme de proiect etc.) tiai c? (curioziti, transfer
spre alte
domenii, cultur general etc.) De altfel (transfer spre viitoare
teme de
matematic) (Nu) Sunt de acord (comentarii proprii)
Pe lng prezentarea acestei structuri, eleviitrebuie s cunoasc
scopurile orelor dematematic, numrul de ore alocat, cuprinsul ialte
aspecte legate de coninuturi i importanamaterialului de
studiat.
nainte de descrierea, rnd pe rnd, a leciilor,cteva observaii de
ordin general.
1. Ghidul elevului nu seamn cu manualeleobinuite de matematic,
astfel, comparaiilen acest sens nu sunt necesare. Ghidulelevului
este diferit de crile bine-cunoscutede matematic colar.
2. Limbajul folosit n Ghidul elevului esteneobinuit. n locul
rigorii de limbaj i alunor expresii prea tehnice, am preferat
untext mai sugestiv, mai metaforic. Nicinotaiile nu sunt cele mai
riguroase.
3. Ilustraiile sunt foarte importante, pentru cele ar trebui s
provoace la dialog, ladiscuii, la dezvoltri.
4. ntregul ghid are un caracter cadru, elpoate s fie modificat n
mare msur dupideile profesorului i n funcie de contextuln care se
va produce nvarea.
5. Sarcinile de nvare i exerciiile se pot, decele mai multe ori,
organiza sub form demunc n grup.
6. Recomandm elaborarea i parcurgerea adou-trei proiecte care s
se finalizeze cuanumite produse i care s ilustreze eleviloretapele
unui proiect.
-
Structura Ghidului profesoruluin descrierea fiecrei lecii vom
respectaurmtoarele puncte:
informaii pentru identificarea leciei; obiectivele de nvare;
informaii despre caseta 1, 2 i 3 (partea de
orientare i achiziii); informaii i explicaii privind caseta
4
(partea de aplicaii, sarcini de nvare iactiviti specifice);
explicaii privind caseta 5 i 6 (partea deaplicaii i
transfer).
Pentru a simplifica lectura Ghidului profesoruluii din motive de
economie, vom nota acestepuncte astfel:
O de la obiectiveA de la orientare i achiziiiS de la sarcini de
nvareT de la transfer
n paginile care descriu primele lecii ale fiecruicapitol vom
avea cteva informaii n plus: numrde ore alocat capitolului, tipuri
de activiti denvare sugerate, materiale didactice etc.
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI6
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 7
Numr de ore alocate: 6 ore pentru predare-nvare
1 or pentru evaluare
Activiti propuse:
identificarea elementelor i a conceptelor de baz;
stabilirea notaiilor uzuale i a conveniilor de desen;
clasificarea figurilor i a corpurilor;
ilustrarea principalelor aplicaii.
Materiale: ilustraii cu figurile geometrice, machetele
corpurilor
geometrice, imagini i texte diferite, instrumente pentru
desen.
Puncte, drepte i figuri geometrice I
-
O. descrierea unor formegeometrice simple compusedin puncte;
recunoaterea punctuluigeometric i a liniei;
identificarea punctelor i aliniilor n diverseconfiguraii.
A. Lecia este introductiv, faceparte din pregtirea elevilor
pentrustudiul mai matematic algeometriei. Din acest motiv, ea
nueste foarte complex, dar coninecteva idei de exploatat.
Elevul se va familiariza cu ideeade punct geometric, dreapt
icurb geometric i le va deosebipe acestea de obiectele
realepunctiforme sau avnd naturaliniilor. Din motive de nelegeremai
bun, dreapta i curbele suntprezentate ca i cum ar fi formatedin
puncte.
Propunem o scurt discuie despreproblema dimensiunilor
acestorelemente i din nou despreaproximarea lor cu obiectele
reale.
S. n activitile de nvarepropuse se poate insista pefenomenele de
micare prin carepunctele descriu linii. Asemeneaexemple pot fi
gsite de ctre elevii descrise apoi n limbajul lor. Unscop ascuns
este acela de a senelege importana i utilitateadesenelor, care
redau mult maibine traiectoriile dect descrierileverbale.
Exerciiile puse n caseta 4 se potrezolva individual sau n
micigrupuri de lucru.
PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI8
Cum se nasc liniile din puncte? 1
Activitile de nvare din cadrul acestei lecii vor oferielevului
ocazia de a descrie n propriul limbaj primeleelemente de geometrie
prezentate. Introducerea trebuie s fiect se poate de intuitiv,
apropiat de experiena elevilor. Esteimportant ca elevul s-i forme
noiunile i reprezentrilepornind de la imagini vizuale sugestive i
apropiate gndiriisale. Se va insista pe interpretarea desenelor i a
imaginilor ipe reproducerea acestora. Exerciiile vor fi simple, cu
caracterintroductiv. Prin ele se va conveni i asupra primelor
notaii,fr s se pun accent pe formalizri inutile. n partea
apli-cativ a leciei, profesorul va alege diverse situaii i
contexten care elevul va identifica elementele studiate i n care
varecunoate prezena geometriei, chiar i la nivel iniial.
Cu ocazia acestei prime lecii, elevii trebuie obinuii s-ifac
propriile comentarii i s formuleze ntrebri la care ncnu au primit
rspuns.
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 9
T. Elevii vor cuta i vor puteaprezenta alte exemple de
obiectepunctiforme sau linii materiale.Putei vorbi despre
fotografie,despre procesul poligrafic, despremodul n care
lucreazimprimantele cu ace etc. Pentruideea de linie dreapt sau
curb sepoate vorbi despre fascicule delumini, fire de curent,
obiecte deart i altele.
Este important nelegerea roluluisuprafeei pe care trasm linii,
nspecial pentru problemele (degeografie) legate de liniileimaginare
de pe Pmnt.
Propunem utilizarea multordesene i ilustraii. n gsireaacestora
pot ajuta foarte bineelevii.
Notiele/observaiile profesorului
-
O. descrierea celor mai simpleforme geometrice compusedin
linii;
recunoaterea unorproprieti simple aleliniilor drepte sau
curbe;
identificarea liniilor ndiverse configuraii.
A. Lecia este introductiv, faceparte din pregtirea elevilor
pentrustudiul mai matematic algeometriei. Din acest motiv, ea
nueste foarte complex, dar coninecteva idei de exploatat.
Prin tema aleas, vrem sfamiliarizm elevul cu ctevaaspecte
generale ntlnite ngeometrie. Tema central este liniai apariia ei n
diverse situaii. Cailustraie de pornire s-a ales undesen celebru,
iar profesorul esterugat s gseasc i alte asemeneapretexte.
Desenul-caricatur esteales pentru a face activitatea maiplcut.
Recomandm s se insiste pe cerci arc de cerc, privite ca linii
curbefrecvent ntlnite.
PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI10
Cum se nasc figurile din linii? 2
Aceast lecie este o continuare fireasc a primei lecii
introductive. Se continu exerciiul deprezentare i reprezentare
intuitiv a primelor elemente de geometrie. i n acest caz este
nevoie deun suport vizual i intuitiv ct mai bogat i de o
complexitate potrivit posibilitilor i ateptrilorelevilor.
Apar, tot cu titlu informativ, primele aspecte cantitative,
legate de numrul elementelor ntr-oconfiguraie. Asemenea exerciii de
numrare se pot diversifica i continua. Profesorul poate alegealte
configuraii, folosind linii i segmente drepte sau linii curbe.
Important este i prezentarea, spre ncercare i studiu, a
problemei podurilor, problem care nu aresoluii. Este prima ocazie
pentru a explica elevilor diferena conceptual dintre problem
isoluie. Se recomand prezentarea pe parcursul leciilor a unor
probleme similare, pe careprofesorul le poate gsi uor n literatura
de specialitate. Analiza unor asemenea situaii este foartepotrivit
pentru exersarea discuiilor i a interpretrilor, fr de care nvarea
nu este eficient.
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 11
Notiele/observaiile profesorului
Discuia din caseta 3 despre finit iinfinit va fi de nivel
adecvat, dartrebuie s ating i aspecte maigenerale.
S. Propunem s se explorezelegtura dintre numrul de drepte(sau
linii) i numrul unor punctedate. Problema podurilor estetendenios
aleas, pentru a ilustrao situaie imposibil. Puteiasigura elevilor i
alte exerciii deacest tip, cu scopul s ilustrai censeamn o problem
(provocare)i soluia care exist sau nu.
Exerciiile puse n caseta 4 se potrezolva individual sau n
micigrupuri de lucru.
T. Putei organiza activiti denvare prin care elevii s cautealte
tipare din mediul lornconjurtor. Aceste ncercri potface parte din
portofoliul lor.
Exemple de desene incompletecrora ncercm s le dm sensprin
completare se gsesc n multecri de psihologie.
Recomandm ct mai mult deseni ilustraii, respectiv
incitareaelevilor la discuii, formulripersonale i interpretri.
-
O. recunoaterea i folosireanotaiilor pentru dreapt iunghi;
compararea segmentelor i aunghiurilor pe cale intuitiv;
identificarea unorconfiguraii mai complexe.
A. Lecia introduce notaiileuzuale pentru dreapt, unghi iprile
dreptei.
Dreptele vor fi imaginate ca fiindincluse ntr-un plan. Se
vaintroduce noiunea de msur,ntr-o accepiune mai mult sau maipuin
general, n funcie denivelul clasei. Cu ocazia amintiriiunghiurilor
adiacente, se vadiscuta despre sensul operaiilorsimple ce se pot
efectua cu msurii despre ocaziile n care acesteoperaii sunt fireti.
Toate ideilenoi vor fi prezentate pe calevizual.
Nu se discut nc despresubmultiplii gradelor, nici despreunitatea
de msura folosit pentruexprimarea lungimilor.
S. Semidreptele i segmentele se vorstudia n cadrul exerciiilor
propuse.
PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI12
Dreptele i unghiurile crmizile geometriei 3
Complexitatea elementelor i a configuraiilor studiate este mai
ridicat n aceast lecie. Tipologiaunghiurilor trebuie prezentat
elevilor prin exemple variate, la fel de intuitive ca i n primele
dou lecii.
Limbajul folosit, expresiile unghi i segment, de exemplu, sunt
tot attea ocazii pentru a extindestudiul i discuia purtat cu elevii
spre probleme de lingvistic.
Profesorul va cuta s ofere i alte ilustrri ale unghiurilor i ale
segmentelor ce se pot recunoate nconfiguraii reale. Exerciiile
alese pot fi deja de o dificultate puin mai ridicat. De exemplu,
launghiuri adiacente sau la unghiuri n jurul unui punct se pot da
elevilor situaii mai complicate. nacelai timp, n cadrul acestei
lecii trebuie lmurit problema operaiilor cu segmente i
unghiuri,aspectele legate de operarea cu msuri i cele legate de
cazurile cnd operaiile au sens. (Spreexemplu, dac are sens sau nu s
adunm dou unghiuri care nu sunt adiacente.) Fr a insista pecalculul
propriu-zis, discuiile vor lmuri latura conceptual a temei.
-
Elevii vor deosebi diferena dintreaceste dou noiuni i vor
ncercas clasifice segmentele dupapartenena capetelor segmentului.Ar
fi util s se discute i despresinonimia expresiei segment.Dac
nivelul clasei permite, sepoate dialoga despre deosebireadintre
lungimea unui segment inumrul punctelor din caresegmentul este
format.
T. Paralelismul iperpendicularitatea vor fi amintitenumai cu
titlu informativ, dar seva putea folosi experiena elevilorlegat de
aceste dou fenomenegeometrice. Sistemul de axe decoordonate se va
folosi ndezvoltarea altor module.Paralelismul i
perpendicularitatean arhitectur i construcii este otem care se
poate valorifica foartebine prin exemple oferite deprofesor i de
elevi. Exemplul cupanta drumului face trimitere lafizic, la
procente i la altecapitole din matematic. Desigur,profesorul poate
gsi alte exempleconcludente pentru utilizareaunghiurilor n viaa
cotidian.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 13
Notiele/observaiile profesorului
-
O. recunoaterea diferitelorpoligoane;
deosebirea elementelorconstitutive;
recunoaterea poligoanelorregulate i a cercului.
A. Lecia i propune inventariereacelor mai cunoscute
figurigeometrice plane. Se vor considerapoligoanele, respectiv
cercul nacest caz, dar i poligoaneleregulate. Prezentarea va
fiintuitiv, pornind de la un desen-pretext. Se vor putea
folosicunotinele elevilor legate depoligoane.
mpreun cu cercul, se poateprezenta elevilor i elipsa. Ea
vaexemplifica figurile geometricemai complicate. ntrebrile sunt ide
data aceasta simple i dupexemplul lor se pot formula cuuurin
altele.
Aceast prim discuie desprepoligoane va mai fi urmat de alte
lecii.
S. Suma unghiurilor unui triunghieste dat fr alte
explicaii.Plecnd de la aceast informaie se
PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI14
Figuri plane, pretutindeni 4
n aceast lecie se continu prezentarea unor aspecte calitative i
cantitative, nedesprite, n cadrulfiresc al poligoanelor.
Investigarea acestora va cuta s nu exagereze n nici una din aceste
direcii.
Inventarul figurilor plane poate fi extins i pentru alte figuri
plane, dac profesorul consideroportun acest lucru. De asemenea, se
poate insista mai mult pe prezena figurilor plane n mediulnostru
nconjurtor: n construcii, n natur, n domeniul obiectelor de uz
casnic .a.m.d. Este dedorit ca elevii s neleag clar caracterul plan
al acestor figuri studiate i s deosebeasc figurileplane de
corpuri.
Vor fi utile, ca exerciii pregtitoare, calculele legate de suma
unghiurilor n triunghi, respectiv n altepoligoane. Lecia aceasta
ofer deja posibilitatea s se nceap activitatea de proiect intitulat
Ce tiudespre forme i corpuri geometrice, aa cum s-a recomandat n
programa acestui modul. Activitateade proiect se va ntinde pe o
durat stabilit de profesor, innd cont de posibiliti i interese.
-
pot realiza diferite generalizri. Semai propun spre analiz
idezvoltare dou idei:descompunerea poligoanelor ntriunghiuri i
legtura dintrepoligoanele regulate i cerc. Toateexerciiile se pot
extinde spre altesituaii de nvare asemntoare.Unele exerciii se pot
repetapentru fiecare poligon (regulat)despre care s-a discutat.
T. Figurile geometrice suntprezentate i din punctul devedere al
artelor decorative. Ceeace se gsete n Ghidul elevuluieste, din nou,
doar un pretextpentru discuii i dezvoltri.Profesorul poate alege
alte ilustrriale prezenei figurilor geometricen art.
Se mai revine puin asupra elipsei,pentru motivul c ea se va
maintlni n alte domenii de studiu,de exemplu n geografie.
Considerm util prezentarea unorsituaii din viaa cotidian,
undefigurile geometrice sunt desfolosite. De aceea, am alesexemplul
tablei de stop, dar seputeau considera alte i alteexemple. Una
dintre idei esteamintirea pavrilor, tem cu careelevul se va mai
ntlni n alt modul.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 15
Notiele/observaiile profesorului
-
O. recunoaterea corpurilorgeometrice uzuale;
clasificare corpurilor careurmeaz a fi studiate;
deosebirea elementelordescriptive ale corpurilor.
A. Lecia continu n mod firesctema precedent. Ideea creia i
sesubordoneaz tema este a celor treidimensiuni. Imaginea de
porniresugereaz varietatea corpurilor dinjurul nostru, privite ca
formespaiale.
Se insist asupra clasificriicorpurilor n poliedre i
corpurirotunde. Se vor prezenta elevilor oserie de denumiri. Este
foarteimportant s se ataeze acestorexpresii un sens neles de
elevi.De exemplu, generatoare poateservi ca o bun baz de discuii
nacest sens. Recomandm s se facexemplificrile nu doar
folosindcubul, dei acest corp va avea i ntextul nostru o importan
maimare. ntrebrile sunt cu multevalene educative, ele
trebuieexploatate ca atare.
PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI16
Unde priveti, numai corpuri 5
Aspectele calitative i cantitative sunt nedesprite i n aceast
lecie. Prezentarea intuitiv estedezvoltat i completat cu unele
aspecte matematice de baz: denumiri, clasificri, desfurri nplan
etc. Exerciiile referitoare la desfurarea corpurilor n plan vor
lmuri complet deosebireadintre figur plan i corp geometric. n
acelai timp, tema desfurrii permite o serie de exerciiipractice, n
funcie de posibilitile i interesele elevilor.
Se recomand studiul mai atent al corpurilor des ntlnite i
rezolvarea unor exerciii legate deacestea. De asemenea, poate fi de
interes gsirea unor ilustrri din mediul nostru nconjurtor, aacum
s-a sugerat i n lecia precedent.
Sunt foarte importante conveniile de desen, care trebuie
discutate atent cu ocazia acestei lecii. Serecomand s se insiste pe
desene, pe corectitudinea acestora i pe faptul ca ele s fie
nconformitate cu reprezentrile interne pe care elevii le-au ataat
corpurilor. Este util s selmureasc deosebirea dintre desen i
schi.
-
S. Activitile de nvare suntdestul de practice, elevilor li se
vacere s execute anumite lucrri:desene, desfurri, construcii. Seva
ncerca orientarea elevilor spretemele viitoare legate de
corpuri.Discuia despre desfurare infurare este de dorit s se
facmpreun. O parte din activiti sepot organiza sub form de
proiectei, evident, pe grupe mai mici.
T. Chiar dac apar n continuare,poligoanele regulate se vor
analizai discuta n mod expres. Ct isub ce form, asta va
decideprofesorul.
S-a considerat util amintirea nacest context a unor aspecte
dearhitectur. Fiecare informaie carese prezint elevilor poate
fidezvoltat dup preferine iposibiliti. Este bine s se cauteexemple
att din natur, ct i dincreaiile omeneti, exemple care silustreze
prezena corpurilor nviaa noastr. Este important caelevul s neleag i
de dataaceasta diferena dintre un corpreal i corpul geometric,
caesenializare a corpului real.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 17
Notiele/observaiile profesorului
-
O. stabilirea unor convenii dedesen;
reproducerea prin desen aunor situaii reale;
analiza unor desene.
A. Lecia continu temaprecedent legat de corpurigeometrice. Ideea
este(re)cunoaterea planuluigeometric, a poziiilor pe care odreapt
le poate avea fa de acestai nelegerea modului n caredesenul plan al
unui corpdeformeaz realitatea. Se poatediscuta i despre
dreptenecoplanare, n funcie deinteresele elevilor. Exemplulcubului,
pentru paii prin care serealizeaz desenul unui corp, estede
continuat cu alte corpurigeometrice. Pe desenele astfelconstruite,
elevii vor identificaplanele diferite i dreptele care, nrealitate,
stau perpendiculare sauparalele. Am mai propus i odiscuie general
despreimportana desenelor tehnice,cum ar fi hrile,
schiele,planurile etc.
PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE
Realitate sau desen? 6
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI18
n lecia 6 se completeaz cunotinele legate de desen i de
conveniile despre care s-a mai discutatcu o lecie nainte. Elevii
vor contientiza importana acestor convenii i faptul c
deseneledistorsioneaz realitatea. Este recomandabil s se discute,
pe de-o parte, despre modificareadimensiunilor reale, pe de alt
parte, despre schimbarea formelor n timpul redrii prin desen.
Discuia despre perspectiv se poate extinde mult, n funcie de
interesele i posibilitile clasei.
Pentru toate extinderile pe care profesorul le dorete, se va
cuta material ilustrativ ct mai bogat isugestiv, apropiat de
experienele elevilor.
De asemenea, recomandm s se insiste asupra calitii desenelor i a
reprezentrilor, mai degrabdect asupra cantitii acestora. Precizia i
corectitudinea desenelor, n limitele conveniilor pe carele utilizm,
sunt eseniale.
Cu alte cuvinte, este foarte important ca n acest grupaj de
lecii s se pun accent pe dezvoltareagndirii vizuale, de care elevii
vor avea mult nevoie n studiul matematicii i n alte discipline
ntlnite.
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 19
S. Printre sarcinile de lucru aparerealizarea schiei unei
locuine saua unei cldiri. Acest desen se varelua, se va mbunti i se
vareface, dar tema apare aici pentruprima dat. Se mai cere elevilor
sdeseneze exact corpurilecunoscute, exersnd astfel ipunctualitatea,
i exactitatea. Axade rotaie este amintit doar cutitlu informativ,
exact la fel ca idiagonalele corpurilor. Credem ceste important s
se insiste pedesen, pe calitatea acestora, printr-un numr ct mai
mare deexerciii.
T. n partea de transfer se insistpe iluzii optice, pentru a avea
noiocazii s delimitm realitatea dedesen, de reprezentarea
ei.Exemplele de acest fel suntnumeroase, profesorul poate
alegealtele, iar pe cele date le poatecompleta. Sub pretextul
iluziilorse pot face referiri la artdecorativ i, astfel, la aspecte
deestetic, din nou.
Ultimul pasaj propune o discuiedespre perspectiv. Ilustraii
deacest gen se gsesc multe, se potfolosi cri de desen sau
imaginialese din alte lucrri. Importanteste ca elevul s neleag
rolulperspectivei n desen.
Notiele/observaiile profesorului
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 21
Numr de ore alocate: 3 ore pentru predare-nvare
1 or pentru evaluare
Activiti propuse:
identificarea i studiul unor relaii geometrice;
rezolvarea unor exerciii i probleme;
regsirea relaiilor n alte contexte;
ilustrarea principalelor aplicaii.
Materiale: desene i schie, fotografii, instrumente de desen,
imagini i texte diferite.
Fenomene geometrice II
-
O. analiza asemnrii, dinpunct de vedere geometric;
recunoaterea roluluiraportului de asemnare;
compararea asemnriigeometrice cu asemnarea n general.
A. Este prima lecie dintr-un ir detrei teme: asemnarea,
congruenai simetria. Asemnarea, odatstudiat, va servi la
introducereacongruenei. Imaginea de pornireeste a unei hri, dar se
pot alege ialtele. Asemnarea este legat demicare, de transformare
prinprezentarea mririi sau amicorrii ca rezultat final.Raportul de
asemnare este folositcu titlu informativ, dar aceeaiidee se reia la
scara unei hri saua unui desen. Tot n limbaj detransformri
geometrice, seanalizeaz ce rmne invariant laasemnare i se poate
discutaideea invarianei la o transformare,n general.
S. Activitile de nvare seconcentreaz n mare parte pefolosirea i
nelegerea hrilor.Se reia exerciiul din leciaprecedent i li se cere
elevilor s
FENOMENE GEOMETRICE
Asemnarea 7
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI22
Aa cum reiese din formularea obiectivelor acestei lecii,
asemnarea este prezentat doar cu scopintroductiv. Nu au fost
studiate cazurile de asemnare i nu s-a pus accent pe aspectele
calculatoriiale acestei teme. Astfel, nu se vor face demonstraii
privind asemnarea, pentru c nu acesta estescopul prezentrii
temei.
n funcie de nivelul clasei i de interesul elevilor, profesorul
va putea alege exerciii prin care s sedezvolte i partea
calculatorie. Am considerat mai important pentru elevi nelegerea
fenomenuluin sine i descrierea ct mai variat a acestuia.
De asemenea, am considerat foarte importante aplicaiile asemnrii
n practic. Profesorul va cutas rezolve exerciii referitoare la
scara hrilor, scara desenelor i a schielor i exerciii de folosire
araportului de asemnare, n sens matematic. Altfel spus, elevul va
descoperi asemnarea n diferitesituaii, o va studia cu mijloacele de
care dispune i va ncerca s realizeze el transformri prinasemnare,
dac este cazul.
-
realizeze un desen la scar.Importana practic a scrii,
aproporiilor este evident.Numrul i complexitateaexerciiilor de
acest fel depinde declas i de contextul n care seproduce
nvarea.
T. nsi folosirea hrii este unelement de transfer, nu un scop
nsine. Se pregtete introducereaaltor elemente de geometrie, cumar
fi congruena, dar se fac referirii la aspecte
nematematice.Descoperirea asemnrii n naturofer elevilor noi sarcini
de lucrui de nvare. Se pot analiza multesituaii destul de
cunoscute:cristalele, plantele etc. Ar fiimportant de scos n
evidenfaptul c n natur asemnareaeste, de regul, imperfect.
Astfel, se regsete ideea dup caregeometria idealizeaz i
simplificnatura pe care o descrie, subiectatins deja din primele
lecii.
Profesorul este rugat s gseascalte elemente de trasfer, n
funciede interesele elevilor i deposibilitile clasei.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 23
Notiele/observaiile profesorului
-
O. analiza congruenei lasegmente, unghiuri itriunghiuri;
compararea congruenei i a asemnrii;
introducerea ideii deraionament.
A. Congruena, amintit n leciaprecedent drept situaieparticular
de asemnare, esteprezentat n relaie cutransformrile geometrice.
Seconsider, pe rnd, congruenasegmentelor, apoi a unghiurilor. Se va
insista pe distincia dintreegalitate i congruen i pe rolulmsurii n
stabilirea congruenei.Congruena triunghiurilor se vaprezenta doar
descriptiv, urmnd ase oferi exemplul pentru metodatriunghiurilor
congruente n parteade transfer a leciei. ntrebrile vinn ajutorul
nelegerii sensuluiunor expresii des utilizate n
textematematice.
S. Activitile de nvare trebuies contribuie la nelegerea corecta
congruenei, sub forma unorexerciii i probleme tipice, darsimple.
Asemenea probleme segsesc foarte uor, cu referire la
FENOMENE GEOMETRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI24
Un fenomen de mare importan: congruena 8
Aceast lecie este prima care pune accent mai mare pe cteva
aspecte formale. Elevii vor nvanotaiile i exprimarea simbolic n
contextul congruenei, precum i nevoia formalizrii. Vornelege c
notaiile i formalizare sunt convenii care simplific scrisul i
exprimarea. Pentruilustrare se vor folosi cele mai simple figuri
plane, poligoanele studiate deja. Se va arta elevilormodul n care
se pot descoperi proprieti mai ascunse, folosind metode de
investigare, precumcongruena. Tot n acest cadru trebuie neleas
deosebirea ntre msurare i informaiile astfelfurnizate i investigaia
realizat pe cale deductiv. Se pot discuta ambele aspecte, spre
exemplufolosind ca pretext de discuie iluziile optice. Astfel, vor
apare ca necesare att msurtorile, ct iraionamentele deductive, ca
instrumente de investigare a realitii.
Formalizarea se poate extinde ct consider profesorul i ct
permite nivelul clasei, dar scopulleciei nu este acest aspect.
Important este nelegerea fenomenului de congruen i a modului ncare
acest fenomen se poate exploata n studiul geometriei.
-
figurile geometrice deja prezentate.Se pot continua
investigaiilelegate de triunghiul isoscel iechilateral, dac nivelul
claseipermit acest lucru. Ca suport, sepoate folosi i cercul
pentruexersarea ideii de congruen. Totcu aceast ocazie se poate
nvadespre triunghiul dreptunghic.
T. Intenia acestui bloc este de a senelege modul n
carefuncioneaz metoda triunghiurilorcongruente, att pentru
importanamatematic a acesteia, ct i cailustrare a
raionamentuluideductiv, n comparaie cumsurarea, estimarea etc. Este
depreferat s se aleag cte unexemplu pentru fiecare caz decongruen,
folosindu-se figurilegeometrice studiate deja. Dac esteposibil, se
poate analiza un caz decongruen, plecnd de la un corpgeometric i
lucrnd ntr-oanumit seciune a acestuia.
Iluzia optic apare amintit n textpentru a scoate din nou neviden
importana msurrii i(sau) a raionamentului deductivn stabilirea
congruenei.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 25
Notiele/observaiile profesorului
-
O. analiza unor figurigeometrice simetrice;
recunoaterea simetrieiaxiale i a celei centrale;
generalizarea simetriei nalte domenii, n afaramatematicii.
A. Ultima lecie din unitateafenomenelor geometrice se ocupde
simetrie. Legtura dintre acestetrei teme este
transformareageometric. n prezentarea temei sevor putea folosi
experiena icunotinele elevilor, simetria fiindun fenomen apropiat
oricui.Prezentarea acesta trebuie fcutct mai vizual, cu suporturi
alesedin diferite domenii: matematic,decoraiuni, natur etc. Chiar
iconstruciile nevizuale potprezenta simetrii, aa cum gsimn
literatur sau n muzic.ntrebarea referitoare la stngacivrea s atrag
atenia asupradificultii de utilizare a unorobiecte sau instrumente
asimetricede ctre stngaci, problemimportant pentru aceastcategorie
de oameni.
FENOMENE GEOMETRICE
Simetria 9
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI26
Studiul simetriei se face n baza acelor principii care au fost
luate n considerai i n leciaprecedent. Accentul cade pe nelegerea
fenomenului n sine, pe descoperirea simetriilor n cadrulstudiat i
pe utilizarea lor n investigaiile ulterioare.
Lecia despre simetrie permite profesorului discutarea unor teme
conexe variate. n Ghidul elevuluigsim doar cteva sugestii, departe
de a fi explorat toate posibilitile. n funcie de nivelul clasei ide
interese, profesorul va gsi o serie de extinderi posibile. Se poate
construi ntregul demers peideea de transformare geometric, aa cum
face i lecia prezentat, ori pe aspectul de fenomengeometric ntlnit
n diverse contexte i situaii.
Elevii vor observa modul n care simetria existent i descoperit
conduce la obinerea unorproprieti calitative noi. n acest scop vor
utiliza congruena deja nvat.
Un alt aspect valoros al studiului poate fi asimetria.
Observarea, descrierea i compararea acesteia cucazurile ideale de
simetrie l pot ajuta pe elev s neleag mai bine deosebirea dintre
realitate idescrierea pe care o atam realitii.
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 27
S. Activitile de nvare vorurmri s pun elevii n faa unorsarcini
simple, dar importante: sevor cerceta figurile geometrice
icorpurile din punctul de vedere alsimetriei pe care o au sau
nu.Propunem ca elevii s fie nvaicum se construiete imagineasimetric
a unei figuri date, att ncazul simetriei axiale ct i a celei
centrale.
T. n partea de transfer este folositpretextul oglinzii, dei se
puteaconstrui ntreaga lecie plecnd dela acest exemplu. Apar
termeniiconcav i convex, care vor fiexplicai i exploatai cu elevii.
Sepot face diverse legturi spre fizici aplicaii pe teme din viaa
detoate zilele. Se poate discutadespre oglind i simetrie n totfelul
de alte contexte: de istorie, detehnic, de astronomie etc. Apardin
nou trimiteri spre artelevizuale, dar i spre ideea deasimetrie.
Altfel spus, se propunes se insiste puin peimperfeciunea simetriei
n naturi nu numai, aspect care s-a maidiscutat i la asemnare.
Dacexist interes, se poate purta odiscuie referitoare la cristale,
caexemple tipice de figuri simetricede diferite tipuri.
Notiele/observaiile profesorului
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 29
Numr de ore alocate: 5 ore pentru predare-nvare
1 or pentru evaluare
Activiti propuse:
identificarea i exersarea unitilor de msur;
efectuarea de msurtori;
utilizarea transformrilor;
aplicarea celor exersate n diferite contexte.
Materiale: tabele i organizatori, instrumente de msur
i de desen, imagini i texte diferite.
Msuri i uniti de msur III
-
O. descrierea conceptului detimp;
recunoaterea unitilor demsur pentru timp;
transformarea diferiteloruniti ntre ele.
A. n pregtirea primei teme dinaceast unitate propunem
discuiilegate n general de timp, aa cumapare el n percepia elevilor
i nnelegerea subiectiv a acestora.Exemplele de pornire pot fi
alesedintr-o multitudine de situaii.Probabil c unitile de
msurpentru timp sunt cunoscute.Astfel, se poate insista mai mult
pemsur i msurare, asupra crorase va reveni la celelalte lecii
dinaceast unitate. ntrebrile ajut sse realizeze un context
adecvatpentru a exersa transformrile icalculele legate de uniti de
timp.
S. Acelai lucru este valabil ipentru blocul urmtor. Profesorulva
cuta s gseasc nite contextefireti, interesante i relevantepentru
elevi, n care s se exersezecalculele i s se adnceascnelegerea
noiunii de timp i a
MSURI I UNITI DE MSUR
Timpul 10
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI30
Aceast lecie, prima din seria temelor consacrate unitilor de
msur, nu are o legtur foartestrns cu studiul formelor. Ea a fost
inclus totui, pentru c n modulele de matematic destinateelevilor
cuprini n programul a doua ans nu este o alt unitate pentru uniti
de msur. Dacprofesorul consider, aceast tem se poate omite sau se
poate prezenta coninutul ataat ei lacelelalte lecii.
Lecia poate oferi ocazii bune pentru lmurirea ideilor de
msurare, msur, unitate de msur.a.m.d. De asemenea, se poate ncepe
deja discutarea aspectelor legate de precizia msurrilor,
deaproximri i de erorile de msurare. n acelai timp, tema timpului
permite exersarea calculului, atransformrilor i ajut la nelegerea
fenomenelor de micare. Acestea din urm au, evident, o
laturgeometric important.
Textul propus ofer i posibilitatea discuiei despre
punctualitate, ca trstur de caracter, i desprechestiuni cum ar fi
eficiena, respectarea termenelor i altele.
-
msurrii acestuia. Diferite calculelegate de situaii reale de via
potfi de mare ajutor, chiar dac unelevor fi puin artificiale, ca
deexemplu ultima ntrebare.
T. Aplicaiile temei i transferul deidei sunt legate pe de o
parte deexistena diferitelor zone de timppe glob, pe de alt parte
deaspectele etice ale respectriitimpului. Se pot prezenta
elevilorproblemele tehnice legate demsurarea timpului,
problemelelegate de precizia acestormsurtori, precum i
alteaplicaii. Astfel, se poate vorbidespre diferitele ere geologice
iistorice, despre timpul biologic,despre msurarea timpului nsport
sau despre alte asemenea subiecte.
Dac nivelul de interes permite, sepoate insista asupra
ireversibilitiitimpului, n comparaie cufenomenele reversibile, sau
asuprapercepiei noastre subiectiveprivind scurgerea timpului.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 31
Notiele/observaiile profesorului
-
O. descrierea conceptului demas;
recunoaterea unitilor demsur pentru mas;
transformarea diferiteloruniti ntre ele.
A. A doua lecie din aceastunitate se ocup de mas i demsurarea
ei. Se pot propunediferite exemple pentru pornireadiscuiei despre
mas. Se vainsista asupra deosebirii dintremas i greutate. Se va
prezenta pelarg scara unitilor de msurpentru mas i transformrile
carese fac ntre aceste uniti.Experiena de via a elevilorpoate fi un
ajutor important ndezvoltarea temei. Apare ideeaadecvrii unitii de
msur lacantitatea exprimat, lucru care seva mai repeta de multe ori
i laalte uniti.
S. Se va cere elevilor s reprezinteunitile de mas n
diferitemoduri, folosind organizatorigrafici. De asemenea, se vor
folosin situaiile de nvare exemplepractice de utilizare cotidian
aunitilor de msur pentru mase:
MSURI I UNITI DE MSUR
Masa 11
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI32
Pentru lecia despre masa corpurilor este valabil aceeai
observaie ca mai nainte: tema nu estestrns legat de studiul
geometriei. Totui, ea este prezentat n Ghidul elevului, din
motiveasemntoare cu cele expuse la lecia precedent. Tema poate fi
un material conex bun pentruexersarea unor deprinderi de calcul,
pentru nelegerea mai profund a conceptului de corp(comparat cu
corpul geometric) i pentru exersarea transformrilor ntre uniti de
msur.
De asemenea, considerm important nelegerea modului n care ne
alegem o unitate de msur saualta, potrivit pentru exprimarea unei
proprieti.
Profesorul va cuta aplicaii ct mai variate i contexte ct mai
apropiate de experienele elevilor.Lecia este o ocazie bun pentru a
solicita elevilor activiti de documentare i cutare a
informaiei.Tema valorilor extreme ntlnite la exprimarea maselor
este un bun prilej s se continue investigaiileprivind realitatea
care ne nconjoar i modul n care o descriem cu mijloacele de care
dispunem.
-
reete culinare, probleme deamestec etc. O parte din activitise
pot organiza n grupuri, ipentru exersarea nvrii ncooperare.
Se pot concepe tot felul deexerciii legate de masa
propriuluicorp sau de modul n care masa seregsete n biologie.
T. Aplicaiile temei i transferul seconcentreaz n jurul
difereneidintre greutate i mas. Se pot faceextinderi spre fizic,
astronomie io serie de teme legate de viaacotidian: transporturi,
construcii,alimentaie etc.
Exemplificarea valorilor extremen exprimarea maselor
poateconstitui o alt surs de transfer iextindere. Elevii pot
aduceasemenea exemple n urma unorexerciii de documentare icutare.
Texte de ziar sau de altnatur se pot folosi cu succes nacest sens.
Mai apare i legturadintre mas i volum, idee care seva dezvolta puin
n lecia desprevolumul corpurilor.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 33
Notiele/observaiile profesorului
-
O. descrierea conceptului delungime;
recunoaterea unitilor demsur pentru lungime;
transformarea diferiteloruniti ntre ele.
A. Dup leciile pregtitoaredespre timp i mas, lungimea esteuna
dintre temele importante i cuaplicaii directe n matematic. Sevor
prezenta unitile de lungimeuzuale, folosind din nouexperiena i
cunotinele elevilor.Se va insista i aici asupratransformrilor i a
calculelorcorecte cu unitile de msur.Este util i folosirea efectiv
aunor instrumente de msur:liniarul, ruleta, ublerul etc.,
duppreferine i posibiliti. Se vadiscuta i aici aspectul
alegeriiunitii de msur n mod adecvat,n funcie de ceea ce vrem
sexprimm.
S. n una din situaiile de nvarese va relua exemplul cu
planulcasei, de data aceasta cerndelevilor s fac msurtori n
modefectiv. Se va reveni la ideea de
MSURI I UNITI DE MSUR
Lungimea 12
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI34
Lungimea este prezentat n aceast lecie ca una dintre proprietile
cantitative cele maiimportante. Experiena pe care o au elevii n
acest subiect l va ajuta pe profesor s gseasc oprezentare ct mai
fireasc a temei i s ctige interesul elevilor.
Lecia necesit, desigur, i exersarea transformrilor i a
calculului cu msuri, dar latura practictrebuie s primeze. Astfel,
printre activitile de nvare se recomand efectuarea a ct mai
multemsurtori efective, realizarea unor schie, desene i planuri i
nu doar un exerciiu sec al calculelor.
n programa modulului profesorul gsete recomandri pentru activiti
de tip proiect. Temapropriu-zis a acestora se va putea alege de
comun acord cu elevii. Planul unui parc poate fischimbat cu un alt
obiectiv. Important este s se realizeze activitatea de nvare i s se
finalizeze cu interpretarea celor obinute. Ghidul elevului conine
cteva sugestii i n acest sens, spreexemplu n ceea ce privete
folosirea hrilor de diverse scri i tipuri.
-
scar i la aspectele legate deasemnare. Apare i
problemaoperaiilor cu msuri de segmentei a situaiilor n care
acesteoperaii au sens concret. Profesorulva alege i alte exemple
iexerciii, dac dispune de timp.Elevii vor fi organizai pe
grupe.
T. Legat de msurarea lungimilorse gsesc o serie de aplicaii i
ideide transfer. Important este s serealizeze distincia ntre
msurareaunei lungimi i calculul acesteia.Se vor da exemple de
situaiipentru ambele cazuri, nu doarlegate de aspectele de calcul.
Sepoate face o introducere nmsurarea lungimilor pe sfer, nlegtur cu
temele deja discutaten acest sens. De asemenea, dacprofesorul
consider oportun, sepot face extinderi spre fizic, deexemplu
discutnd viteza sau alteteme unde intervine lungimeacorpurilor.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 35
Notiele/observaiile profesorului
-
O. folosirea raportorului pentrumsurri de unghiuri;
recunoaterea unitilor demsur pentru unghiuri;
transformarea diferiteloruniti ntre ele i efectuareade
calcule.
A. Lecia reia studiul unghiurilori i propune s prezinte
elevilormsurarea unghiurilor i unitilede msur folosite. Elevii vor
finvai s utilizeze raportorul nmsurri efective. Se nva icteva
expresii noi i clasificareaunghiurilor dup msura lor.nvarea
submultiplilor, atransformrilor i a calculului cugrade, minute i
secunde vanecesita exerciiu din parteaelevilor. Se pot face, din
nou,referiri la perpendicularitate.Important este ca profesorul
sgseasc un context adecvat pentruaceste discuii, astfel nct elevii
sfie interesai n dezvoltarea temei.
S. n partea de sarcini i activitide nvare este rezervat
timppentru exerciii, nu foartespectaculoase, dar utile.Recomandabil
este ca elevul slucreze ct mai mult i s
MSURI I UNITI DE MSUR
Msura unghiului 13
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI36
Concepia leciei privind msurarea unghiurilor este asemntoare cu
cea a lungimilor. Se puneaccent pe nelegerea msurrii i a modului de
folosire a instrumentului de msur, dar i pedeprinderi practice ce
se pot forma i dezvolta prin tema aleas. Se exerseaz calculul cu
msuri deunghiuri, transformrile diferitelor uniti de msur etc. n
privina aspectelor practice, este nevoiede gsirea unor contexte
pline de neles pentru elev i relevante pentru interesele sale.
Astfel, aparn partea de transfer diferite sugestii tematice, cu
trimiteri spre fizic, construcii, jocuri sportive etc.
Pe parcursul leciei se pot continua activitile de proiect
ncepute n leciile precedente. Realizarealucrrilor practice de
desenare a schiei unor locuine, parcuri sau alte obiective se poate
continua icompleta cu msurri de unghiuri i cu reproducerea acestora
dup aceeai scar.
De asemenea, recomandm exploatarea legturii dintre unghiuri i
cerc i prezentarea importaneiunghiurilor n studiul asemnrii.
-
descopere aspectele eseniale, can exemplul unghiului nscris
ncerc. Se va atrage din nou ateniaasupra deosebirii dintre msurarei
calcul, spre exemplu prinultimul exerciiu propus.
Dac nivelul permite, se potpropune exerciii mai complexe,relund
eventual unghiurile opusela vrf sau discutnd despreunghiurile
nscrise n cerc.
T. Una dintre aplicaiileimportante n matematic estestudiul
paralelismului. Acesta sepoate prezenta n detaliu elevilor,dac
timpul o permite. Un altexemplu propus n ghid este alesdin fizic i
se refer la fenomenulde reflexie. Ambele teme se potdezvolta n
diferite contexte.
Un alt aspect important ar filegtura, atins deja, dintre cerc
iunghiuri, legtur care se maipoate dezvolta prin diferiteexerciii i
exemple. Profesorulgsete alte ilustrri pentruimportana msurrii
unghiurilorn astronomie, construcii,artilerie, navigaie etc.
Desigur, nereferim la generaliti, la idei depornire, fr s avem
pretenia dea fi specialiti n aceste tiine.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 37
Notiele/observaiile profesorului
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 39
Numr de ore alocate: 5 ore pentru predare-nvare
1 or pentru evaluare
Activiti propuse:
recunoaterea i exersarea unor proprieti metrice;
efectuarea de calcule geometrice;
utilizarea unitilor de msur;
aplicarea celor exersate n diferite contexte.
Materiale: plane cu figuri i corpuri, instrumente de msur
i de desen, imagini i texte diferite.
Proprieti metrice IV
-
O. aplicarea unor cunotine; recunoaterea legturii
dintre perimetru i lungime; efectuarea de calcule legate
de perimetru.
A. Perimetrul este prezentat ca oaplicaie pentru lungimi
imsurarea acestora, respectiv ca oprim proprietate metric
afigurilor geometrice plane. Eleviitrebuie s fie contieni
decaracterul practic al acesteiprobleme, dar i de limitelenoastre n
msurarea sauaprecierea perimetrelor figurilormai complicate.
Experienaelevilor l va ajuta pe profesor sfac o prezentare
interactiv aacestei teme. Legat de lungimeacercului se pot da
elevilor i alteinformaii despre numereiraionale sau despre
istoriamatematicii. i n acest caz suntindicate ct mai multe
exerciii.
S. n aceast parte se gsesc ctevasugestii de exerciii
tipice.Important este, din nou, caproblema propus s fie
relevantpentru elev, s cad n sfera deinteres a acestuia. Se pot
alegeastfel, pentru calculul
PROPRIETI METRICE
Perimetre 14
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI40
Lecia despre perimetre este prima din unitatea tematic
referitoare la principalele proprietimetrice. n cadrul leciei se
vor folosi, pe ct posibil, experienele acumulate de elevi.
Exerciiileprezentate vor fi legate de cunotinele anterioare i vor
surprinde aspecte relevante pentru elevi.Numrul i complexitatea
exerciiilor vor fi decise de ctre profesor. Spre exemplu, dac
nivelulclasei permite, se pot atinge chiar probleme simple de maxim
sau de minim, aa cum s-a sugerat n Ghidul elevului, la partea de
transfer. Acestea sunt exemple de probleme strns legate de practica
cotidian.
Discuia despre lungimea cercului se poate diversifica, prezentnd
informaii despre numereleiraionale sau fapte de cultur i de istoria
geometriei. De asemenea, gsim aici un prilej bun pentru a rediscuta
cu elevii ideea aproximrilor, a estimrilor valorilor reale,
imposibil de obinut cu exactitate.
Se poate dezbate problema obinerii perimetrelor figurilor mai
complicate, bazndu-ne pecunotinele sau posibilitile noastre legate
de figuri simple.
-
perimetrelor, terenuri, grdini,parcuri etc. Propunem
exerciiilegate de poligoane (regulate), dari de cerc. Putei cuta
figuricompuse din ambele elemente, cade exemplu desenele (tehnice)
aleunor mecanisme sau piese.
Se pot alege i alt gen de desene,nu numai desene tehnice.
T. Este prezentat o primproblem legat de maxim,desigur, cu titlu
informativ.Important este ns ca elevul sneleag rostul acestor
problemei aplicaiile practice imediate pecare le au. Se mai discut
desprelegtura dintre asemnare iperimetru, din nou prin
prismatransformrilor, a deformrilor.Apar, de asemenea, aspecte
delimbaj care se pot lmuri cu elevii.
Se mai poate pregti la sfritulacestei lecii viitoarea tem
aariilor legate de corpuri.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 41
Notiele/observaiile profesorului
-
O. descrierea noiunii de arie; recunoaterea unitilor de
msur pentru arie; efectuarea de calcule legate
de arii.
A. Lecia va prezenta elevilornoiunea de arie, unitile demsur
corespunztoare i ctevadintre formulele uzuale de calcul aariilor.
Tema continu celeprezentate la lungimi, respectiv laarii. Se va
insista asupraformulelor de calcul pentru arii,att la poligoanele
studiate, ct ila cerc. Situaia de pornire esteimportant i aici,
pentru a se gsiun context relevant pentru studiulariilor. Cu ocazia
discutrii ariilor,se pot introduce deja ariile lateralei totale
pentru poliedre saucorpuri n general. Trebuie fcutdistincia ntre
semnificaiatermenilor suprafa i arie.
S. Activitile vor asiguraexerciiul necesar pentru
nvareaformulelor i aplicarea lor ndiverse situaii. Se poate
reluaexemplul cu planul locuinei,pentru a continua investigaia
i
PROPRIETI METRICE
Arii 15
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI42
Lecia continu firesc tema perimetrelor. nvarea formulelor pentru
ariile figurilor simple este unuldintre obiectivele importante, dar
nu este singurul. Pe lng nvarea i aplicarea acestor formule,elevul
se va obinui cu ideea de descompunere a ariilor, va exersa
reformularea unor situaiicomplicate prin elemente mai simple,
cunoscute.
De asemenea, sunt importante aplicaiile n diverse ramuri ale
cunoaterii. Ghidul prezint, cu titluinformativ, o extindere spre
geografie. Profesorul este rugat s caute alte aplicaii
considerateinteresante pentru elev.
Se pot relua problemele de extrem, combinnd perimetrul cu aria i
cutnd extreme pentru unuldin aceste aspecte, n diverse situaii
simple.
Recomandm exerciii pentru corpurile geometrice studiate.
Exprimarea ariilor laterale i totale saua ariilor corpurilor
rotunde este un prilej bun de exersare i de mbuntire a vederii n
spaiu.Dificultatea acestor aplicaii va fi decis de ctre profesor. n
acelai timp recomandm msurarea efectiv, aproximarea ariilor
folosind, de exemplu, hrtiemilimetric.
-
calculele aferente. De asemenea, sepot face aplicaii ale celor
nvaten alte situaii practice: agricultur,geografie etc.
Un element important estediscutarea modului de exprimare
aariilor unor poligoane cu maimulte laturi, folosinddescompunerea
acestora n figuricu arii exprimabile. Este indicatfolosirea hrtiei
milimetrice iestimarea sau aproximarea unor arii.
T. n partea de transfer aparaplicaii n geografie. O alt ideeeste
prezentarea jocului Tangrami exploatarea valenelor acestuia.Alte
extinderi se pot gsi cuuurin n tehnic, biologie,arhitectur etc.
Apare din nouproblema maximizrii unei valori,n cazul nostru a
ariei. Se poaterelua exerciiul de acest tip de laperimetre. Lecia
despre arii vapregti prezentarea ariilor lateralei totale ale
corpurilor i poate face reveniri la desfurarea deja discutat.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 43
Notiele/observaiile profesorului
-
O. descrierea noiunii de volum; recunoaterea unitilor de
msur pentru volum; efectuarea de transformri i
calcule legate de arii.
A. n partea aceasta se va urmrica elevii s-i nsueasc noiuneade
volum i s-i formezedeprinderile necesare pentrucalculul volumelor,
n ctevacazuri simple. Se vor discutaformulele de calcul
pentruvolumele corpurilor studiate,explicnd rolul bazei i alnlimii,
dup caz. Se vorprezenta unitile de msur ilegtura dintre litru i
decimetrulcub. Transformrile trebuieexersate ct se poate de
mult.Noiunea de densitate esteamintit numai cu titlu
informativ.Organizarea unitilor de msursub o form tabelar, sau n
altmod, intr n sarcina elevului.
S. Activitile vor cuta s prezinteprobleme de calcul pentru
volumen cazuri ct mai practice i mairelevante pentru elevi.
Exempleledin ghid sunt doar ilustrative,profesorul poate s propun
altele,mai sugestive i mai apropiate de
PROPRIETI METRICE
Volume 16
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI44
Lecia despre volumele corpurilor este conceput n baza acelor
principii care s-au utilizat laperimetre i arii. Astfel, se
recomand profesorului pstrarea unui raport rezonabil ntre
aspecteleconceptuale, teoretice i cele calculatorii. De data
aceasta, nu se urmrete msurarea efectiv avolumelor. nvarea
formulelor uzuale i folosirea acestora n diferite aplicaii este un
obiectivimportant. Se vor cuta metode de organizare a informaiei,
astfel nct elevii s rein formulele.Este de dorit ca elevii s fie
capabili s aplice corect formulele, n cazul corpurilor studiate n
acestmodul. i n cadrul acestei lecii se urmrete dezvoltarea gndirii
vizuale, a vederii n spaiu.
Ca i n leciile precedente, nu trebuie neglijat problema unitilor
de msur i a transformrilordintre acestea. Se recomand exerciii
multe, n special folosind unitile de msur uzuale pentruvolum.
Elevii vor nelege i vor deosebi cele dou sisteme, bazate pe metrul
cub, respectiv pe litru.
-
interesele elevilor. Formulele decalcul pentru volumele celor
maides ntlnite corpuri se vor exersaprin situaii simple. Exemple
bunese gsesc n tehnic, gastronomie,biologie etc.
T. n partea de transfer suntamintite, cu titlu de
curiozitate,exemple de valori ale volumelorextreme. nsei nelegerea
iinterpretarea acestora potreprezenta un exerciiu bun.
Cazulvolumului aproximativ albutoiului este un pretext pentru
ailustra situaiile practice n carevolumele sunt
aproximate.Profesorul poate gsi alte exemple.Mai insistm puin
asupra uneiciudenii (buretele lui Menger),cu scopul de a dezvolta
imaginaiavizual a elevilor. Se pot propuneelevilor, dac acetia
manifestinteres, calcule de volume pentrucorpuri scobite, pentru
corpuricompuse din mai multe corpurisimple sau alte asemenea
cazurimai complicate.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 45
Notiele/observaiile profesorului
-
O. descrierea noiunii de arie; recunoaterea unitilor de
msur pentru arie; efectuarea de calcule legate
de arii.
A. n ncheierea unitii desprerelaii i proprieti metrice se
reiaexemplul triunghiului, cu scopulde a le oferi elevilor o
introduceren studiul mai riguros alproprietilor geometrice.
Dinacest motiv, prezentarea este maipuin descriptiv. Se va ncerca
sse deosebeasc proprietile denatur calitativ de cele metrice,n
general, prin exemple legate detriunghi. Am considerat c
pentruaceste scopuri un exemplu destulde bun poate fi cel al
liniilornsemnate n triunghi, legat de care se pot face investigaii
deambele tipuri: calitative i metrice.Ideea de raionament i
dedemonstraie este amintit n treact.
S. Activitile de nvare vor cereelevului s fac diferite
investigaiilegate de proprieti simple, nspecial pentru triunghi.
Importanteste ca elevul s cerceteze, s cautei s formuleze
propriile
PROPRIETI METRICE
Triunghiul sub lup 17
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI46
Aceast lecie este o introducere n studiul mai riguros al
triunghiului, chiar dac cu titluinformativ. S-a ales triunghiul
pentru o exemplificare mai amnunit a proprietilor metricestudiate.
Elevii vor descoperi c, n ciuda simplitii figurii, triunghiul este
extrem de bogat nproprieti metrice i calitative.
Cu aceast ocazie se poate relua discuia despre msurare, ca
mijloc de investigare, i raionamentuldeductiv, exemplificat deja.
Se va scoate n eviden puterea acestuia din urm, folosind
pretextultriunghiului. n acelai timp, se va cuta n cadrul leciei s
se exerseze exprimarea verbal arezultatelor investigaiilor.
Argumentarea demersului folosit i a soluiilor obinute este un
obiectiv important.
Liniile importante n triunghi vor fi investigate mpreun cu
elevii. Se vor organiza activiti denvare pe grupe de elevi i se va
ncuraja nvarea prin cooperare. Se vor pretinde desene
corecte,ngrijite i de dimensiuni potrivite studiului ntreprins.
Profesorul va decide care sunt acelerezultate specifice, acele
proprieti sau teoreme care trebuie reinute i nvate ca atare.
-
observaii. Astfel, se pot propunespre discuie probleme legate
declasificri, poziii relative, punctede intersecie, gsirea unor
cazuriparticulare etc. Numrul acestorsituaii i probleme depinde
denivelul clasei, de interesul elevilori de contextul general al
nvrii.Cutarea proprietilor nu trebuies fie un scop n sine, ci
prinaceasta se vor dezvoltaperseverena, curiozitatea, munca n grup
etc.
T. Se vor da diferite exemplificriale triunghiului, privit ca
metafor,pentru prezena acestuia nliteratur, art, religii sau
nsimbolistica vieii cotidiene.
i de data aceasta, profesorul sauelevul sunt invitai s caute
alteexemplificri din ce domeniidoresc. Am considerat ca
fiindsemnificativ o mic incursiune nlumea nematematic
pentrudezvoltarea unor idei de culturgeneral i pentru a ajuta
laformarea unor viziunitransdiciplinare. Tot aici sencadreaz i
ideea amintiriirelaiilor fizice ntre trei mrimi,att de frecvente n
aplicaii.Despre trigonometrie se va amintidoar cu titlu
informativ.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 47
Notiele/observaiile profesorului
-
O. exersarea demonstraiei; recunoaterea ipotezelor i a
concluziilor; analiza unor proprieti noi.
A. Aceast lecie i propune s leofere elevilor o introducere
ntehnica demonstraiilor folosite ngeometrie. Sunt prezentate
treiteoreme simple, cu titlu ilustrativ,dei ele se vor nva i
utiliza caatare. Dac profesorul considernecesar, exemplele se pot
schimba,dar recomandm ca acestea s fiemai simple. Demonstraia
propuseste ct se poate de intuitiv, frprea mult simbolism. Elevii
vornelege de ce msurarea nu este ocale de demonstraie. n acest
scopse iniiaz o discuie special, cureferiri la imperfeciunile
oricreimsurtori.
S. Aceast parte va propuneelevilor sarcini de lucru similarecu
cele din primul bloc. Se potalege figuri geometrice mai
puinstudiate pn aici, ca de exemplutrapezul, sau se poate lucra i
ndiferite seciuni ale unor corpuri,dac nivelul clasei permite.
PROPRIETI METRICE
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI48
ncep problemele: din nou despre relaii metrice 18
Demonstraiile prezentate i discutate n aceast lecie sunt o
introducere n raionamentele mairiguroase i n exprimarea formal a
acestora. Ca ilustrare, s-a ales, cum era de ateptat,
triunghiul.Cele trei proprieti prezentate n primul bloc se pot
schimba cu altele, dup decizia profesorului.Este de dorit s se
arate elevilor c asemenea raionamente deductive se pot face n cazul
tuturorfigurilor geometrice, n plan i n spaiu, deopotriv.
Dac nivelul clasei permite, se poate explica elevilor c
proprietile generale urmeaz n studiulgeometriei n mod gradat, de la
simplu la complicat. Mai mult dect att, se poate vorbi
despreaxiomele geometriei, despre elemente i relaii de baz, plecnd
de la care se construiete ntregul edificiu.
i n cadrul acestei lecii este recomandabil s se insiste pe
expunerea verbal i n scris araionamentului utilizat. Trebuie cerut
elevilor s argumenteze calea pe care au urmat-o,raionamentul pe
care l-au folosit.
Dac este posibil, ilustrarea ideilor trebuie fcut prin probleme
care admit mai multe ci deabordare, mai multe soluii distincte.
-
Credem c organizarea elevilor ngrupuri de lucru este benefic ide
data aceasta.
T. Principalul scop al acestui bloceste pregtirea pentru
moduleleulterioare, unde, n anii mai mari,se vor folosi din ce n ce
mai multdemonstraiile, raionamentele i,n general, abordrile mai
puinempirice. S-a ales n acest scopideea, deja vzut, a gsirii
unorextreme, pentru motivul c, npractic, de foarte multe
ori,problemele concrete sunt problemede extrem. Putei avea o
discuiedespre deosebirea dintre valoriextreme i valori optime,
discuieexemplificat prin probleme alesen mod
corespunztorposibilitilor. n ultimele doulecii, elevul se va mai
ntlni cuprobleme matematice n care vaavea ocazia s
exersezeraionamentul deductiv. nainte deacestea, ar fi de dorit s
avei uninventar al cunotinelorobligatorii, n baza crora se vor
ncerca demonstraiile problemelor care urmeaz.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 49
Notiele/observaiile profesorului
-
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 51
Numr de ore alocate: 2 ore pentru recapitulare i evaluare
Activiti propuse:
exemplificarea temelor parcurse prin alte probleme i
contexte;
efectuarea de calcule i aplicarea unui anume
raionament;
repetarea principalelor concepte i idei;
analiza unor situaii noi.
Materiale: plane, instrumente de msur i de desen,
imagini i texte diferite, organizatori.
Recapitulare i aplicaii V
-
O. exersarea unor metode derezolvare a problemelor;
recapitularea celor maiimportante cunotine;
realizarea unor conexiuninoi ntre cunotine.
Recapitularea propus n ultimeledou lecii este puinneconvenional.
Astfel, primalecie din aceast unitate seconcentreaz asupra a 10
teme sauidei importante. Fiecare dintreaceste 10 puncte reprezint i
cteo sarcin de lucru pentru elevi. Launele, sarcina nu este
precisformulat, tocmai pentru a rmneprofesorului i clasei
libertateaunui consens n privina aceasta.
O sarcin comun este nsdiscutarea din nou a temeirespective, dac
se poate dintr-ununghi nou. De asemenea, fiecarepunct permite
profesorului ielevilor s caute conexiuni cu alteteme, extinderi
spre alte teme sauformularea unor probleme de
RECAPITULARE I APLICAII
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI52
Surprize, n loc de recapitulare 19
Penultima lecie face parte din recapitularea modulului. Sunt 10
teme, aezate ntr-o ordine care sepoate schimba dac profesorul
consider necesar. Se pot schimba nsei temele recapitulate, dac
seconsider c altele sunt mai relevante.
n cadrul leciei se poate continua oricare dintre proiectele deja
ncepute.
ntre temele acestei lecii de recapitulare se pot strecura idei i
elemente noi. Astfel, a aprutprezentarea teoremei lui Pitagora, dar
se pot introduce i alte informaii noi pentru elev.
Am cutat exemple mai puin obinuite pentru a oferi elevilor
informaii oarecum surprinztoare. Estefoarte important ca i n aceast
parte s se utilizeze un bogat material ilustrativ, estetic i
relevantpentru experienele elevilor. Cutarea acestor pretexte de
discuii sunt n sarcina profesorului.
Nu este n intenia noastr o recapitulare tip inventar a celor
nvate i studiate. Nu se dorete oreproducere a elementelor memorate,
ci o regndire a relaiilor descoperite, o reevaluare a
ntreguluimodul. n acest scop s-a elaborat i ultima lecie.
-
acelai tip, dar n alt context.Ideile importante nirate aici
sunt:
paralelismul; micarea; msurarea, estimarea i
aproximarea; limbajul formelor; iluziile; formele n alte domenii
dect
geometria; relaiile metrice; probleme imposibile.
Oricare dintre aceste teme saualtele permite
dezvoltriulterioare, lectur suplimentar,prelucrare i prezentare. n
bazalor, profesorul poate ajuta elevii s-i completeze portofoliul
sau s-i pun la punct referatele, dacse prefer i acest mod
deevaluare. n acest scop se va folosii timpul alocat ultimei
lecii,despre care facem cteva precizrin continuare.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 53
Notiele/observaiile profesorului
-
O. recapitularea celor maiimportante cunotine;
realizarea unor conexiuninoi ntre cunotine.
Ultima lecie propune orecapitulare a celor nvate, nmare parte
realizat deja i nlecia precedent. Atunci s-a pusaccent pe probleme
i pe context,acum pe fapte i pe informaie.Totodat, se propune
elevilor s-ireaminteasc acele elementevizuale pe care, probabil,
le-auataat principalelor figurigeometrice nvate. Astfel, dupfiecare
ntrebare sau punere ntem, urmeaz un spaiu pentrudesen i
reprezentare. ntrebrilevor fi discutate, extinse,generalizate,
particularizate etc., nfuncie de ce i propuneprofesorul i de
nevoile elevilor.Aceeai observaie, ca pe totparcursul leciilor:
textul dat nghid este numai un pretext.
RECAPITULARE I APLICAII
MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI54
n final, recapitulare n loc de surprize 20
Aceast ultim lecie este o continuare a blocului precedent.
Practic, se face acum un inventar, darunul foarte sumar, accentund
doar elementele eseniale.
De fiecare dat se insist pe desen, pe reproducerea ideilor pe
cale vizual i verbal.
Profesorul are libertatea s schimbe ordinea celor recapitulate,
s considere alte elemente maiimportante sau s insiste n mod diferit
asupra ideilor cuprinse n list.
Organizarea activitilor de nvare destinate recapitulrii va fi n
concordan cu scopul urmrit: n primul rnd, reproducerea celor nvate,
dar i explorarea acelor relaii care au fost amintite doartangenial.
Credem c recapitularea fcut n aceast manier nu trebuie confundat cu
evaluareaperformanelor elevilor.
-
Presupunem c aceste dou leciide la sfritul modulului vorntregi
imaginea celor prezentatemai nainte. Ele formeaz osingur unitate i
vor fi exploatatempreun. De data aceasta,inventarul de idei i fapte
arat nfelul urmtor:
elemente de baz; figuri plane i corpuri; poligoanele; asemnarea
i congruena; transformrile i simetria; proprieti calitative i
metrice; lungimi, arii, volume; relaii metrice i uniti de
msur n general.
Se propun tot 10 pai, ca i nlecia precedent, dar acest numreste
limitat doar de timpul pe care profesorul l poate aloca
recapitulrii.
Insistm, din nou, pe folosireaacestor ocazii pentru
completareaportofoliului elevilor i aproiectelor pe care le vei
propune mpreun.
PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 55
Notiele/observaiile profesorului
-
IntroducerePuncte, drepte i figuri geo...Cum se nasc liniile din
puncte?Cum se nasc figurile din linii?Dreptele i unghiurile
cr...Figuri plane, pretutindeniUnde priveti, numai corpuriRealitate
sau desen?Fenomene geometriceAsemnareaUn fenomen de mare
importan...SimetriaMsuri i uniti de msurTimpulMasaLungimeaMsura
unghiuluiProprieti metricePerimetreAriiVolumeTriunghiul sub lupncep
problemele: din nou de...Recapitulare i aplicaiiSurprize, n loc de
recapitu...n final, recapitulare n lo...