12 SECUENCIA 1 En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado. A FORMAR CUADRADOS Para empezar Los bloques algebraicos son una herramienta que permite representar operaciones con expresiones algebraicas. En la secuencia 12 de Matemáticas II, volumen I los usaste para multiplicar polinomios; ahora, te ayudarán a encontrar, de manera simplificada, el resul- tado de elevar al cuadrado un binomio . Recorta los Bloques algebraicos del anexo 1 Recortables y pégalos en cartón. Con bloques de áreas x 2 , x y 1 forma cuadrados de diferente tamaño e identifica la ex- presión algebraica que corresponde a la medida de sus lados como se muestra en las dos figuras siguientes. SESIÓN 1 Productos notables y factorización x + 1 x 1 A = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1 x + 2 x 2 A = x 2 + 2x + 2x + 4 = x 2 + 4x + 4 Encuentra el trinomio que representa el área de los dos cuadrados siguientes.
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secuencia 1
En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.
A FORMAR CUADRADOSPara empezarLosbloquesalgebraicossonunaherramientaquepermiterepresentaroperacionesconexpresionesalgebraicas.Enlasecuencia12deMatemáticas ii,volumenIlosusasteparamultiplicarpolinomios;ahora,teayudaránaencontrar,demanerasimplificada,elresul-tadodeelevaralcuadradounbinomio.
Consideremos lo siguienteEnlasiguientetablaaparecenbinomiosquerepresentanlasmedidadelladodediferen-tescuadrados,asícomolostrinomiosquecorrespondenasusrespectivasáreas.
a) Examinalosdosprimerosejemplosycompletalasiguientetabla.
Binomio Trinomio
x + 1 (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1
x + 2 (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4
x + 3 (x + 3)2 =
x + 4 (x + 4)2 =
x + 6 (x + 6)2 =
x + 10 (x +10)2 =
b) Subrayaeltrinomioquerepresentaeláreadeuncuadradocuyoladomidex + 100.
x 2 + 100x + 10 000 x 2 + 10 000 x 2 + 200x + 10 000
Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenereltrinomioqueresultaalefectuarlaoperación(3x + 2)2,sinnecesidaddehacerunamultiplicacióntérminoportérmino.
A lo que llegamosLa expresión que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
(3x + 5)2 = 9x 2 + 30x + 25
El primer término del binomio se eleva al cuadrado
El segundo término del binomio se eleva al cuadrado
Se multiplican ambos términos (3x ) (5) = 15x
Se duplica el producto
(2) (15x) = 30x
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secuencia 1
Lo que aprendimosEscribeelbinomioalcuadradooeltrinomiocuadradoperfectoquefaltaencadaren-glóndelasiguientetabla.
Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto
(x + 9)2
(3x + 1)2
x 2 + 24x + 144
(2m + 5)2
4x 2 + 36x + 81
EL CUADRADO DE UnA DiFEREnCiAConsideremos lo siguienteDelcuadradodelafigura2serecortaronalgunasparteshastaquequedóotrocuadradomáspequeño,comosemuestraenlafigura3.
x
x
x 2 x
x
1
1
Figura 2 Figura 3
a) ¿Cuáleslamedidadelladodelcuadradoazuldelafigura3?
b) Laexpresiónalgebraicaquerepresentaeláreadelcuadradoazules:
Comparensussoluciones.
SESión 2
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MATEMÁTICAS IIIManos a la obrai. AnayRicardodecidieronusaralgunosbloquesalgebraicosparacompletareláreadel
a) Usenlosbloquesalgebraicosdeladerecha(deáreasx – 1y1)paracompletarelcuadradodeladox comocreanquelohizoAna;luegotracencadabloquesobrelafigura5eilumínenlosdeacuerdoasucolor.
c) Otramaneradeobtenereláreadelcuadradoazuldelafigura3consisteenelevaralcuadradoelbinomiox – 1.Háganloynoolvidenreducirlostérminossemejantes.
x 2
(x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) = x 2 – x – + =
+ Trinomio cuadrado perfecto
–x –2x
ii. Otenganelresultadode(y – a )2,paraverificarsialelevaralcuadradocualquierbi-nomioquerepresentaunadiferenciaseobtieneuntrinomiocuadradoperfecto.Noolvidensumarlostérminossemejantes.
MATEMÁTICAS IIIA lo que llegamosAl elevar al cuadrado una diferencia también se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los términos del binomio tiene signo menos.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
2. Escribeelbinomioalcuadradooeltrinomioquefaltaencadarenglón.¡Tencuidado,hayuntrinomioquenoescuadradoperfecto!Elevaalcuadradolosbinomiosqueobtengaspara verificar si correspondenal trinomiopresentado en la columna iz-quierdadelatabla.
Binomio al cuadrado Trinomio
(x – 7)2
(2x + 1)2
x2 – 24x + 144
(x + 12)2
x2 – 14x + 9
x2 + 3x + 2.25
(x + 12 )2
4x2 – 2x + 14
a) Escribeeltrinomiodelatablaquenoescuadradoperfecto:
b) ¿Porquénoesuntrinomiocuadradoperfecto?
LA DiFEREnCiA DE DOS CUADRADOSPara empezarDosbinomiosquesólodifierenenelsignodeunodesustérminossellamanbinomios conjugados,porejemplox + 3eselbinomioconjugadodex – 3;2x + 6eselbinomioconjugado–2x + 6.
Consideremos lo siguienteAuncuadradodeáreax2selehacortadoenunadesusesquinasuncuadradodeáreaa2enunadesusesquinas,talcomosemuestraenlafigura6.
ii. Conlosbloquesalgebraicosapropiadosx 2,x y1reproducelasfiguras9,10y11detalmaneraquetenganeláreaindicada.Trazaencadacasolosbloquesqueutilizasteparaformarlayescribelamedidadesubaseydesualtura.
Figura 10 Figura 11
Área = x 2 + 9x +18 Área = x 2 + 9x + 20
Figura 9
Área = x 2 + 9x +14
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MATEMÁTICAS IIIConsideremos lo siguienteCompletalatablasiguiente.
Primer factor (Medida de la base)
Segundo factor (Medida de la altura)
Producto (Área del rectángulo)
x + 8 x + 1
x + 7 x + 2
x2 + 9x + 18
x + 5 x + 4
x + 3 x + 2
x 2 + 5x + 4
a) ¿Quéreglasiguesparaencontrarelproductosiconoceslosdosfactores?
b) Siconoceselproducto,¿cómoobtieneslosfactores?
Comparensussoluciones.
Manos a la obrai. Enlafigura12,conbloquesalgebraicosseformóunrectángulodebasex + 5yaltu-
Para saber másSobre productos notables y factorización, consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta1: Álgebra Una embarrada de álgebra Binomio al cuadradoRuta1: Álgebra Una embarrada de álgebra Diferencia de cuadrados[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.