Secções Cônicas José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro Ana Paula Pedroso
Secções Cônicas
José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro
Ana Paula Pedroso
Secções Cônicas
Elipse
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que
1F 2F
1 2, ,d P F d P F é constante.
ANIMAÇÕES
ouFazendo o esboço com um lápis...
Verificando a soma...
Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva simétrica em relação à reta e também à mediatriz do segmento conforme mostra a figura.
1 2 ,FF
1 2 ,FF
O.
2F.
1F.
Mediatriz de 1 2FF
P.P.
P.
Equações de Elipses na posição-padrão
..
a a
cc
b
b
.. 2 2b cb
cc.P
.Q2 2b c
a c
a c 2 2 2 2b c b c a c
2a 2 22 b c
a 2 2b c
1,dist F Q a
2 ,dist F Q a
1 2, , 2dist F Q dist F Q a
2 2 2a b c
1 ,0F c .
1,d F P
1 2, , constantedist P F dist P F
y
x
,P x y.
2 ,0F c.
1 2, , 2dist P F dist P F a
2 2x c y
2 ,d F P 2 2x c y
sabemos que
2 22 2 2x c y x c y a
2 2
2 22 2 2x c y x c y a
22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y
2 2
2 2 2 22 ( )x c y a x c y
22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c
2 2 2( )a x c y a xc
222 2 4 2 22a x c y a a xc x c
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2a x a xc a c a y a a xc x c
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c
2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b
2 2 2 2 2 2b x a y a b
lembrando que resulta 2 2 2 ,a b c
2 2
2 21
x y
a b
com focos em centro
,Ox 0,0 . e b a
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃOy
x
y
x ,0c.
,0c.
aa
b
b
,0c
.
,0c.
a
a
bb
2 2
2 21
x y
a b
2 2
2 21
y x
a b
Uma técnica para esboçar elipses
Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na equação. Tendo em mente que a2 > b2 (uma vez que a > b), o eixo maior está ao longo do eixo x se x2 tiver o maior denominador, e está ao longo do eixo y se y2 tiver o maior denominador. Se os denominadores forem iguais, a elipse é um círculo.
Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior, e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo menor.
Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados interseccionam os eixos coordenados.
Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses.
2 2
19 16
x y (a) 2 22 4x y (b)
Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos e o eixo maior com extremos 0, 2 0, 4 .
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que
1F 2F
1 2, ,d P F d P F é constante.
P
Hipérbole
Equações da hipérbole na posição-padrão
c c
a a1F 2F
1F 2F
a
c
Do triângulo retângulo obtido no esquema ao lado, chamaremos de b o cateto ainda indefinido e escreveremos que
2 2 2b c a b
2 2b c a
2 2c a b
a a
c a c a
Pela definição de hipérbole
1 2, , constante:dist P F dist P F
1 2, , 2dist P F dist P F a
para 1 2, ,dist P F dist P F
P
V
2c a a c a 2a
daí
a a
,P x y
V ,0c ,0c
1 2, , 2 ,dist P F dist P F a
sabemos que
então vale que
2 22 2 2x c y x c y a
2 2
2 22 2 2x c y x c y a
22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y
2 2
2 2 2 22 ( )x c y a x c y
22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c
2 2 2( )a x c y xc a
22 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2a x a xc a c a y x c a xc a
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c
2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b
2 2 2 2 2 2b x a y a b
lembrando que resulta 2 2 2 ,c a b
2 2
2 21
x y
a b
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
y
x.
HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO
0,c
0, c
a
a
bb
2 2
2 21
x y
a b
2 2
2 21
y x
a b
aa
b
b
. ,0c ,0c
y
x
.
.b
y xa
by x
a
ay x
b
ay x
b
...
.
Uma técnica para esboçar hipérboles
Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .
Determine os valores e e desenhe um retângulo...
Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.
Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o gráfico da hipérbole.
x y
a b
Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles
mostrando os vértices, focos e assíntotas.
2 2
14 16
x y (a) 2 2 1y x (b)
Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice
e assíntotas 0, 8 4.
3y x
Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola.
Definição: Dados um ponto e uma reta (diretriz) de um plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano que equidistam do ponto e da reta Ou seja,
dF
, ,dist P F dist P DF .d
Parábola
Equações de parábolas na posição-padrão
Diretriz
Eixo de Simetria. .p p2p
2p
y
x
y
x. ,0p
x p x p
. ,0p
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃOCom vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox
.
2 4y px 2 4y px
.
y
x
y
x
. 0, p
y p
y p
. 0, p
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃOCom vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy
.
2 4x py 2 4y px
.
y
x.
,0F p
. ,D p y ,P x y.
Pela definição de parábola, sabemos que
dist PF dist PD
PF PD
dito de outra forma
2 22x p y x p
2 2PF x p y
2PD x p
considerando que
2 22x p y x p 2 2
2 22x p y x p
2 2 22x xp p y 2 22x xp p
22 2xp y xp
2 4y px
Uma técnica para esboçar parábolasDetermine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y. O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um termo y2, e está ao longo do eixo y se tiver um termo x2.Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo se forem negativos.Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do eixo de simetria.Usando a caixa como guia, esboce a parábola de forma que seu vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.
Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas.
e mostre o foco e a diretriz de cada um.
2 12x y(a) 2 8 0y x (b)
Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é simétrica em relação ao eixo , tem vértice na origem e passa no ponto .
y 5,2
CÔNICAS TRANSLADADAS
Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo 2
4y k p x h
24y k p x h
,h k x
[aberta à direita]
[aberta à esquerda]
Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo 2
4x k p y h
24x k p y h
,h k y
[aberta para cima]
[aberta para baixo]
Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo
,h k x
2 2
2 21
x h y k
a b
b a
Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo
,h k y
2 2
2 21
x h y k
b a
b a
Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo
,h k x
2 2
2 21
x h y k
a b
Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo
,h k y
2 2
2 21
y k x h
a b
Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que tenha seu vértice em e o foco em . 1,2 4,2
Exemplo 8: Determine o gráfico da equação
2 8 6 23 0y x y
Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação
2 216 9 64 54 1 0x y x y
Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação
2 2 4 8 21 0x y x y
CÔNICAS ROTACIONADAS
Uma equação da forma
É chamada de uma equação de segundo grau em e . O termo nesta equação é chamado de termo misto. Se o termo misto estiver ausente da equação , então a equação se reduz a e, neste caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada. Pode ser provado que se o termo misto estiver presente , então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada) rodada de sua orientação-padrão.
2 2 0ax bxy cy dx ey f
x ybxy
0b 2 2 0ax cy dx ey f
PROPRIEDADES DA REFLEXÃO
DAS
SEÇÕES CÔNICAS
TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta tangente em um ponto sobre a parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por e o foco.
PP
P
P
Eixo de simetria
Reta tangente em P
Foco
...P
Reta tangente em P
TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse): Uma reta tangente a uma elipse em um ponto faz ângulos iguais com as retas que unem aos focos.P
P
TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com as retas que unem P aos focos.
..
Reta tangente em P
P.
ANIMAÇÕES
Propriedade de Reflexão da Elipse
Propriedade de Reflexão da Hipérbole
Propriedade de Reflexão da Parábola