Sección II CONCEPTOS PREVIOS 2.1. DIVISIBILIDAD ...

DIVISIBILIDAD

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Sección II CONCEPTOS PREVIOS

2.1. DIVISIBILIDAD

Definición 2.1. Se dice que un número entero ! es divisible por otro entero ! (distinto de cero) si existe un tercer entero ! tal que !   =  ! · !. Se expresa como !|!, que se lee ! es divisible por ! (o ! divide a ! , o ! es divisor de !, o también ! es múltiplo de !).  Si ! no divide a ! se expresa ! ∤ !.

Ejemplos.

1) 6 es divisible por 3, ya que ∃  2   ∈ ℤ tal que 6   =  3 · 2 2) 15 es divisible por 5, ya que ∃  3 ∈ ℤ tal que 15 = 5 ∙ 3 3) 28 es divisible por 7, ya que ∃  4   ∈ ℤ tal que 28 = 7 ∙ 4

Contra-ejemplos.

1) 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero !   ∈  ℤ tal que 6   =  4 · !. 2) 12 no es divisible por 5,   pues no existe un entero !   ∈  ℤ tal que 12 = 5 ∙ !. 3) 10 no es divisible por 3,   pues no existe un entero !   ∈  ℤ tal que 10 = 3 ∙ !.

Observaciones.

1) ! y −! tienen los mismos divisores. 2) Todo divisor de ! es menor o igual a ! 3) Un entero no nulo tiene un número finito de divisores.

Propiedades.

Sean !, !, !   ∈  ℤ    !"#    ! ≠ 0; entonces:

1) Se tiene 1|!,!|0, !|!. 2) Si !|! entonces !|(−!)

Las demostraciones de las propiedades (1) y (2) quedan a cargo del estudiante.

3) Si !|! y !|! entonces ! = ±!.

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Demostración

!|!⟹ ! = !"      (!"#  !   ∈  ℤ)

!|!⟹ ! = !"      (!"#  !   ∈  ℤ)

Por tanto:

! = !" = !" ! = ! !" ⟹ !" = 1⟹ ! = ! = 1⟹ ! = !! = ! = −1⟹ ! = −!

4) Si !|! entonces !|! · !  (∀!   ∈  ℤ)

Demostración

Si !|! entonces ! = !" , para algún !   en  ℤ,    de donde !" = !(!"), luego !|!"

5) !|! y !|! entonces !|!.

Demostración

!|! ⇒ ! = ! ∙ ! para algún ! en ℤ y !|! ⇒ ! = ! ∙ !, para algún ! en ℤ, luego sustituyendo tenemos que ! = ! ∙ ! ∙ ! = ! ∙ (!") por lo tanto !|!.

2.2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DIVISIBILIDAD

A continuación presentamos algunos teoremas que se desprenden del concepto de divisibilidad, algunos de las cuales usaremos más adelante. Teorema 2.1. Si !|! y !|! , entonces !|(! ± !). Demostración. Por hipótesis tenemos que:

!|!   ⇒ !   =  !"  ,  para algún ! en ℤ  !|!   ⇒ !   =  !"’,  para algún ! en ℤ  

Sumando (y restando) miembro a miembro estas igualdades, tenemos:

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!  ±  !     =  !"  ±  !"’       Factorizando por !, tenemos:

!  ±  !   =  !(!  ±  !’)   Relación que establece que !|(! ± !) , que era lo que queríamos demostrar. Teorema 2.2. Si !|!, pero ! ∤ !, entonces, ! ∤ (! + !).

Demostración. Sea !  +  !   =  !, y por hipótesis !|! y ! ∤ !. Luego, se desprende que !  –  !   =  !. Supongamos que !|! entonces !| ! − ! = !, por teorema 2.1. pero ! ∤ ! lo que produce una contradicción a nuestra hipótesis, por lo tanto ! ∤ !, es decir, ! ∤ (! + !).

2.3. NÚMEROS PRIMOS

Definición 2.2. Decimos que un entero positivo ! es primo si !   ≥  2 y los únicos enteros positivos que dividen a ! son 1 y el propio !.

Ejemplos. 1) 2 es primo, dado que sus únicos divisores enteros positivos son 1 y 2. 2) 3 es primo, dado que sus únicos divisores enteros positivos son 1 y 3. 3) 5 es primo, dado que sus únicos divisores enteros positivos son 1 y 5.

Contra-ejemplos. 1) 4 no es primo, dado que además de tener como divisores al 1 y si mismo (4), es

divisible también por 2. 2) 6 no es primo, dado que además de tener como divisores al 1 y si mismo (6), es

divisible también por 3 y por 2. 3) 8 no es primo, dado que además de tener como divisores al 1 y si mismo (8), es

divisible también por 2 y por 4.

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Nota: A los números que no son primos se les llama compuestos.

2.3.1. Propiedades. 1) El conjunto de los números primos es infinito. 2) El único primo par es el 2. 3) Si ! y  ! son primos y !|!, entonces ! = ! 4) Si ! es un entero compuesto, ! tendrá un divisor (primo) menor o igual a !.

Teorema 1.1. Todo número compuesto !   ∈  ℕ admite, al menos, un divisor primo distinto de 1. Teorema 1.2. Todo número compuesto !   ∈  ℕ puede expresarse mediante el producto de factores primos.

! =  !!!! ∙ !!!! ∙…   ∙  !!!"  (∗ 1)

Donde !!,!!,…   ,!! son números primos distintos, !!, !!,… , !! enteros positivos. El número de divisores positivos de ! es:

!! + 1 ∙   !! + 1 ∙… .∙ !! + 1 (**2)

Ejemplos. 1) 15 es compuesto y puede expresarse como:

15 = 3 ∙ 5

!!!! = 3 y !!!! = 5, además, !! = 1 y !! = 1, entonces, el número de divisores positivos de ! es:

1+ 1 ∙ 1+ 1 = 2 ∙ 2 = 4 Por lo tanto 15 tiene 4 divisores positivos, a saber: 1, 3, 5 y 15

2) 28 es compuesto y puede expresarse como:

28 = 2! ∙ 7

1 (*)Ver [7] página 329. 2 (**)Ver [7] página 333.

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!!!! = 2! y !!!! = 7, además, !! = 2 y !! = 1, entonces, el número de divisores positivos de ! es:

2+ 1 ∙ 1+ 1 = 3 ∙ 2 = 6 Por lo tanto 28 tiene 6 divisores positivos, a saber: 1, 2, 4, 7, 14  !    28

3) 100 es compuesto y puede expresarse como:

100 = 2! ∙ 5!

!!!! = 2! y !!!! = 5!, además, !! = 2 y !! = 2, entonces, el número de divisores positivos de ! es:

2+ 1 ∙ 2+ 1 = 3 ∙ 3 = 9 Por lo tanto 100 tiene 9 divisores positivos, a saber: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50  !  100  

2.3.2. CRIBA DE ERATÓSTENES.

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite “colar” todos los números primos menores que un número natural dado !, eliminando los números compuestos de la lista 2, 3,… ,! . Es simple y razonablemente eficiente para valores no muy grandes de !.

Primero tomamos una lista de números 2, 3,… ,! y eliminamos de la

lista los múltiplos de 2. Luego consideramos el primer entero después de 2 que no fue borrado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente. Los números que permanecen en la lista son los primos 2, 3, 5, 7,…

Ejemplo. Primos menores que ! = 10

Lista Inicial 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Eliminar múltiplos de 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resultado 2 3 5 7 9 Eliminar múltiplos de 3 2 3 5 7 9 Resultado 2 3 5 7

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2.3.3. ALGORITMO PARA DESARROLLAR LA CRIBA DE ERATÓSTENES

2.3.3.1. Primer refinamiento: “Tachar” sólo pares

Excepto el 2, los pares no son primos, así que podríamos “tachar” sólo sobre la lista de impares ≤ !:

3, 5, 7, 9,… = 2! + 3     ∶ ! = 0, 1,…! − 32

3

El último impar es ! o ! − 1. En cualquier caso, el último impar es 2 ∙ !!!!

+ 3 pues, Si ! es impar, ! = 2! + 1 y !!!

!= ! − 1⟹ 2 ! − 1 + 3 = !

Si ! es par, ! = 2! y !!!

!= ! − 2⟹ 2 ! − 2 + 3 = 2! − 1 = ! − 1

2.3.3.2. Segundo refinamiento: “Tachar” de !!! en adelante

En el paso k-ésimo hay que tachar los múltiplos de primo !! desde !!! en adelante.

Esto es así pues en los pasos anteriores ya se tacharon

3 ∙ !! , 5 ∙ !! ,… ,!!!! ∙ !!. Por ejemplo, cuando nos toca tachar los múltiplos del primo 7, ya se han

eliminado los múltiplos de 2, 3 y 5, es decir, ya se han eliminado 2 ∙ 7, 3 ∙ 7, 4 ∙ 7, 5 ∙ 7 y 6 ∙ 7. Por eso iniciamos en 7!.

2.3.3.3. Tercer refinamiento: “Tachar” mientras !!! ≤ !

En el paso k-ésimo hay que tachar los múltiplos del primo !! sólo si !!! ≤ !. En otro caso, nos detendremos ahí, ya que en el paso anterior hemos tachado los

3 La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así:    ! ! =   ! , donde [!] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: !(!)  ≤  !   <  !(!)  +  !

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múltiplos del primo !! desde !!!   en adelante, así que si !!! > ! ya no hay nada que tachar.

Ejemplo 1. Encontrar los primos menores que 20. El proceso termina cuando el cuadrado del número mayor confirmado como primo es < 20. Solución.

1. La lista inicial es 2, 3, 5, 7, 9  , 11, 13, 15, 17, 19 (no se registran los pares con excepción del 2.

2. Como 3! ≤ 20, tachamos los múltiplo de 3 desde 3! = 9 en adelante:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

3. Como 5! > 20 el proceso termina aquí.

4. Primos < 20:   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Ejemplo 2. Encontrar los primos menores que 150. El proceso termina cuando el cuadrado del número mayor confirmado como primo es < 150. Solución.

1) La lista inicial es

{2, 3, 5, 7, 9  , 11, 13, 15, 17, 19, 21,23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39,41, 43, 45, 47, 49, 51, 53,     55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103,     105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141 143, 145, 147, 149}

(no se registran los pares con excepción del 2).

2) Como 3! ≤ 150, tachamos los múltiplo de 3 desde 3! = 9 en adelante:

{2, 3, 5, 7, 9  , 11, 13, 15, 17, 19, 21,23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39,41, 43, 45, 47, 49, 51, 53,   55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79,81, 83, 85, 87  89, 91, 93, 95, 97, 99  101, 103,   105, 107, 109, 111, 113, 115, 117119, 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141,   143, 145,147, 149}

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3) Como 5! ≤ 150, tachamos los múltiplo de 5 desde 5! = 25 en adelante:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73,   77,79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131, 133,   137, 139, 143, 145, 149}

4) Como 7! ≤ 150, tachamos los múltiplo de 7 desde 7! = 49 en adelante:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149}

5) Como 11! ≤ 150, tachamos los múltiplo de 11 desde 11! = 121 en adelante:

{  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149}

6) Como 13! > 150, el proceso termina aquí:

7) Primos < 150:  { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79,

83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139,149}

2.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 2.4.1. Máximo Común Divisor (MCD)

Definición 2.4. Sean !, !   ∈ ℤ, con !   ≠  0  !  ! ≠ 0, el máximo común divisor (!"#) de ! y ! es el entero más grande ! que divide a ! y ! a la vez.

En base a la definición precedente, para demostrar que un entero positivo ! es el máximo común divisor de dos enteros ! y !, con !   ≠  0  !  ! ≠ 0, es suficiente probar que: (i) !|!  !  !|! (ii) Si !|!    !  !|!, entonces ! ≤ !.  

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Descomponiendo en factores primos El !"# de dos o más números se puede calcular descomponiendo cada número en un producto de sus factores primos, utilizando las potencias, quedando este procedimiento definido por: El !"# de dos o más cantidades queda determinado por el producto de los factores primos comunes a todos los números, elevados al menor exponente con que se encuentren. Ejemplos 1) Determinar !"# 270,368 . Solución. Descomponemos cada número en factores primos:

⟹ 270 = 2 ∙ 3! ∙ 5 ⟹ 368 = 2! ∙ 23

Luego, el máximo común divisor entre estos números corresponde al producto de los factores comunes con menor exponente, como en este caso sólo existe uno, tenemos que:

!"#   270,268 = 2 2) Determinar !"# 296,340 . Solución. Descomponemos cada número en factores primos:

⟹ 148 = 2! ∙ 37 ⟹ 340 = 2! ∙ 5 ∙ 17

270 2 135 3 45 3 15 3 5 5 1

368 2 184 2 92 2 46 2 23 23 1

296 2 148 2 74 2 37 37 1

340 2 170 2 85 5 17 17

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Luego, el máximo común divisor entre estos números corresponde al producto de los factores comunes con menor exponente, como en este caso sólo existe uno, tenemos que:

!"# 270,268 = 2! = 4 3) Determinar !"# 84, 120 . Solución. Descomponemos cada número en factores primos:

⟹ 84 = 2! ∙ 3 ∙ 7 ⟹ 120 = 2! ∙ 3 ∙ 5

Luego, el máximo común divisor entre estos números corresponde al producto de los factores comunes con menor exponente y tenemos que:

!"# 270,268 = 2! ∙ 3 = 12 Observaciones del MCD

• Si !   =  !   =  0, entonces !"# !, ! no existe. • Si !   ≠  0 y !   =  0, entonces !"# !, ! = ! y si ! = 0 y ! ≠ 0,   entonces

!"# !, ! = ! . • El !"# !, ! ≥  1. • Si ! es múltiplo de !, o bien, ! es divisor de !, entonces el !"#(!, !)  =  !. • Si ! y ! son primos, entonces el !"#(!, !)  =  1. • Si ! y ! son compuestos, pero no tienen divisores comunes, entonces

!"# !, ! =  1. 2.4.2. Algoritmo de Euclides

El Algoritmo de Euclides proporciona un método para calcular el !"# de dos números. Consiste en aplicar reiteradas veces el siguiente teorema: Teorema 2.1. Sean !, !  !    ℤ! tales que !   =  !"  +  !. Entonces !"# !, ! = !"# !, ! .

84 2 42 2 21 3 7 7 1

120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

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Demostración. Es inmediata de la definición de máximo común divisor. Sean ! = !"#(!, !) y ! = !"#(!, !) los máximos comunes divisores de !, ! y de !, !, respectivamente. Despejando ! se tiene que ! = ! − !". Como !|! y !|!, se obtiene por propiedad de la división, que ! también divide a ! y luego, por definición de !, ! ≤ !. Además ! es también un divisor de ! y, por definición de !, ! ≤ !. Por lo tanto no queda otra alternativa que ! = !. Para calcular !"#(!, !) procedemos de la siguiente manera. Aplicando el algoritmo de la división sucesivamente obtenemos la siguiente cadena de igualdades:

! = !! ∙ ! + !!,                        0 ≤ !! < !, ! = !! ∙ !! + !!,                        0 ≤ !! < !!, !! = !! ∙ !! + !!,                        0 ≤ !! < !!,

⋮ !!!! = !! ∙ !!!! + !!,                        0 ≤ !! < !!!!, !!!! = !!!! ∙ !! + !!!!,                  !!!! = 0.

Detenemos el proceso al encontrar el primer resto nulo. Esto siempre sucede puesto que el resto de una etapa es estrictamente menos que el resto de la etapa anterior y !!, el primer resto, es estrictamente menor que !. Aplicando el teorema se obtiene que:

!"# !, ! = !"# !, !! = !"# !!, !! = ⋯ = !"# !!!!, !! = !!"#(!!, 0) = !! Corolario 2.1. ! y ! serán primos entre sí cuando también los sean ! y !.

Ejemplos. 1) Hallar el !"# de 250 y 111. Solución. Tenemos:

250111

==

111 ∙ 2+ 283 ∙ 28+ 27

28 = 1 ∙ 27+ 127 = 27 ∙ 1+ 0

En este ejemplo ! = 111, ! = 250 y los correspondientes restos son !! = 28,  !! = 27, !! = 1   y !! = 0. Luego !"#(250,111)  = 1

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2) Calcular el !"#(414, 943) Solución. Tenemos:

943414115

===

2 ∙ 414+ 1153 ∙ 115+ 691 ∙ 69+ 46

69 = 1 ∙ 46+ 2346 = 1 ∙ 23+ 0

En este ejemplo ! = 414, ! = 943 y los correspondientes restos son !! = 115,  !! = 69, !! = 46, !! = 23 y !! = 0. Luego !"# 414, 943 = 23

2.4.3. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Definición 2.5. Sean !, !   ∈ ℤ, con !, !   ≠  0. Sea ! un múltiplo de ambos. Se dice que ! es el mínimo común múltiplo de ! y ! cuando es el más pequeño de todos sus múltiplos comunes y distinto de cero. Si ! es el mínimo común múltiplo entre ! y ! se anota:

!"!(!, !)  =  !

En base a la definición precedente, para demostrar que un entero positivo ! es el mínimo común múltiplo de dos enteros ! y ! con !, !   ≠  0, es suficiente probar que: (i) !|!  !  !|! (ii) Si !|!    !  !|!, entonces ! ≤ !. Descomponiendo en factores primos El !"! de dos o más números se puede calcular descomponiendo cada número en un producto de sus factores primos, utilizando las potencias, quedando este procedimiento definido por: El !"! de dos o más cantidades queda determinado por el producto de los factores primos comunes, elevados al mayor exponente con que se encuentren, por los factores primos no comunes.

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Ejemplo. 1) Determinar el !"!(18,24) Solución. Descomponemos en factores primos cada número:

⟹ 2 ∙ 3! ⟹ 2! ∙ 3

Luego, !"! 18,24 = 3! ∙ 2! = 9 ∙ 8 = 72   2) Determinar el !"!(40,58)

Solución. Descomponemos en factores primos cada número:

⟹ 2! ∙ 5 ⟹ 2 ∙ 29

Luego, !"! 18,24 = 2! ∙ 5 ∙ 29 = 8 ∙ 5 ∙ 29 = 1.160 Observaciones del !"!

• Si  ! es un múltiplo de ! y !, entonces  !"! !, ! |!. • Si  ! > 0  !  ! > 0,   entonces      !"! !, ! = !"

!"#(!,!).

• Si  ! > 0,   entonces  !"! !", !" =  ! ∙!"!(!, !) • Si ! es múltiplo de !, o bien, ! es divisor de !, entonces el !"!(!, !)  =  ! • Si ! y ! son primos, entonces el !"!(!, !)  =  !" • Si ! y ! son compuestos, pero no tienen divisores comunes, entonces

!"! !, ! =  !".

24 2 12 2 6 2 3 3 1

18 2 9 3 3 3 1

58 2 29 29 1

40 2 20 2 10 2 5 5 1

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2.5. EJERCICIOS RESUELTOS 1) Sean A=23· 310 ·5 ·72 y B=25·3·11, encontrar MCD (A,B) y MCM (A,B).

Solución.

MCD (A,B) = 23· 31 ·50 ·70·110 = 24

MCM (A,B) = 25· 310 ·51 ·72·111

2) Demostrar que !!  +  !! es divisible por ! para cualquier número natural !.

Solución.

Para todo número entero n se tiene que: !!    +  2! = !(!!    +  2)

Aplicando el algoritmo de la división a ! y 3 se obtiene:

!   =  3!  +  !,            0 ≤ !   <  3  

Caso 1: !   =  0

!   =  3!  +  0  ⟹ n es múltiplo de 3, luego !(!!    +  2) es múltiplo de 3

Caso 2: !   =  1

!   =  3!  + 1  ⟹ !!    +  2   =  9!!  +  6!  +  3   =  3   3!!  + 2!  +  1 ⟹ !!  +  2 es múltiplo de 3.

Luego !(!!    +  2) es múltiplo de 3

Caso 3: !   =  2

!   =  3!  + 2  ⟹ !!    +  2 = 9!! +  12!  +  6   = 3   3!! +  4!  +  2 ⟹ !!    +  2 es múltiplo de 3.

Luego !(!!    +  2) es múltiplo de  3

Por lo tanto, !!    +  2! es múltiplo de 3 para todo número entero !.

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3) ¿Cuántos divisores pares tiene el número !.!""? Solución. Descomponemos al número 3.200 en sus factores primos, obteniendo lo siguiente:

3.200 = 2! ∙ 5! Luego los exponentes obtenidos son 7 y 2 De ahí tenemos que el número de divisores de 3.200 = 7+ 1 2+ 1 = 8 ∙ 3 = 24 Por lo tanto 3.200 tiene 24 divisores. De estos tenemos que sólo son pares aquellos que sean divisibles por 2. Además tenemos que los divisores de 3.200 serán los términos del producto:

(1+ 2+ 2! + 2! + 2! + 2! + 2! + 2!) ∙ 1+ 5+ 5! = 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 128 (1+ 5+ 25)

y una forma práctica de calcularlos es determinando los números impares, que corresponden a 1, 5  !  5!, es decir 1, 5 y 25. Luego, los divisores impares son 3, por lo tanto los divisores impares son 24 – 3 = 21. 4) ¿Cuántos divisores impares tiene el número !.!""? Solución. Primero descompongamos el número 3.300 para determinar cuántos divisores tiene: Por lo que al descomponer 3.300 en factores primos tenemos que:

3.300 = 2! ∙ 3 ∙ 5! ∙ 11 Observando los exponentes de los factores tenemos que: 3.300 tiene 2+ 1 1+ 1 2+ 1 1+ 1 = 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 = 36 divisores. Además tenemos que los divisores de 3.200 serán los términos del producto:

(1+ 2+ 2! ) ∙ 1+ 5+ 5! ∙ 3 ∙ 11 = 1+ 2+ 4 1+ 5+ 25 (1+ 3)(1+ 11)

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Ahora, determinemos cuáles de ellos son impares. Consideremos la tabla del ejemplo anterior, pero no consideremos aquellos múltiplos de 2.

1 5 25 x 3 3 15 75 x 11 11 55 275 33 165 825

Luego, 3.300 tiene 9 divisores impares. 5) ¿Cuál es la descomposición en factores primos del número más pequeño

que tiene exactamente 33 divisores? Solución. Tenemos que 33 = 11 ∙ 3 = 10+ 1 (2+ 1) por lo que los exponentes de los factores son 2 y 10. Como se refiere al número más pequeños, los factores deben ser 2 y 3   por lo tanto la descomposición del número debe ser:

2!" ∙ 3! No consideramos la factorización 3!" ∙ 2! porque se pide el número más pequeño y éste no lo es. 2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Resolver:

i. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño que tiene exactamente 6 divisores?

¿Y el que tiene 10?

ii. ¿Cuál es la característica de los números que tienen un número impar de divisores?

iii. ¿Cuántos cuadrados perfectos son divisores de 400?

iv. ¿Cuántos divisores pares tiene el número 210?

v. ¿Cuántos divisores impares tiene el número 345?

DIVISIBILIDAD

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vi. Si un número n tiene 7 divisores ¿Cuántos divisores tiene n2?

vii. El número n es múltiplo de 7 y tiene 5 divisores ¿Cuántos divisores tiene 3n?

viii. El número p es múltiplo de 6 y tiene 9 divisores ¿Cuántos divisores tiene 10n?

2) ¿Cuántos múltiplos puede tener un número n? ¿Y cuántos divisores? Determinar estos conjuntos con los números 80, 135 y 141. ¿Mientras más grande el número mayor es el conjunto de elementos de múltplos y divisores?

3) El residuo de la división de 84 entre 9 es 3. Diga sin efectuar la división, ¿cuál será el residuo de dividir 168 entre 28; 28 entre 3? ¿Por qué?

4) ¿Cuáles de los siguientes números son primos: 57, 91, 97, 113, 143, 187, 221,

223, 289, 589, 593, 607, 701, 943, 961, 1003, 1009?

5) Probar que !! + 4! es un múltiplo de 5 para cualquier entero n.

6) Determinar un número natural n tal que entre 200 y 300 hay exactamente 13 múltiplos de n

7) Expresar la descomposición en productos de factores de las siguientes parejas de

números. Expresar y calcular el mcm y el MCD de ambos:

a) 24 y 36 b) 50 y 35 c) 40 y 28 d) 32 y 48

8) ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de cada uno de los números del 1 al 9?

9) Un gatito tarda 12 segundos dar la vuelta a una pista circular, mientras que otro

gatito lo hace en 16 segundos. Los dos parten al mismo tiempo de la línea de salida y la carrera termina 1 minuto 40 segundos más tarde. ¿Cuántas veces, durante la carrera, se encuentran simultáneamente en la línea de salida?

10) Calcular por el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:

a) 172 y 16 b) 2656 y 848 c) 31278 y 842