UNCIONES COMPUESTA S Y REGLA DE LA CADENA Ing. Luis Fernando García Ing. Edon S!i"en Meneses Secci#n $%.& ' $%.(
7/18/2019 Sec 13.4 y 13.5 Cadena y Taylor
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UNCIONES COMPUESTASY REGLA DE LA CADENA
Ing. Luis Fernan
Ing. Edon S!i"e
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REGLA DE LA CADENA.
Sean x = x(t) e y = y(t) diferenciables en t, y sea
diferenciable en ( x(t), y(t))
Teorema A
dF f dx f dy
dt x dt y dt
∂ ∂= +
∂ ∂
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REGLA DE LA CADENA.
Suponga que , donde y . Determ3 z x y= 2 x t =
2 y t =
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂= +
∂ ∂
2 3
2 2 3
4
(3 )(2) ( )(2 )
6(2 ) ( ) 2(2 ) ( )
40
x y x t
t t t t
t
= +
= +
=
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REGLA DE LA CADENA.
udimos !aber resuelto el e"emplo anterior sin usar
la cadena. or una sustituci#n.
De modo que . Sin embargo, el m$todo de
directa no siempre est% disponible o no es co
obser&emos el siguiente e"emplo.
3 3 2
(2 ) z x y t t t = = =
440dz dt t =
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REGLA DE LA CADENA.
*l calentar un cilindro circular recto s#lido, su radio
h aumenta' por lo tanto, tambi$n lo !ace el %rea de
superficie. Suponga que en el instante en que
cent+metros y ! -00 cent+metros, r esta creciendo a
0.2 cent+metros por !ora y h aumenta a 0. cent+me
1u$ tan r%pido crece S en ese instante
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REGLA DE LA CADENA.
a f#rmula para el %rea total de la superficie de un cili
*s+
5n r -0 y h -00,
22 2S rh r π π = +
dS S dr S dh
dt r dt h dt
∂ ∂= +
∂ ∂
(2 4 )(0.2) (2 )(0.h r r π π π = + +
(2 -00 4 -0)(0.2) (2 -0)(0.)dS
dt
π π π = + + centimπ =
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REGLA DE LA CADENA. )*.+
Suponga que , donde y . 5nton
sentido preguntarse por , .
Suponga que y tienen primeras deri&ad
en y sea diferenciable en . 5ntonces tien
deri&adas parciales dadas por
Teorema
B
( , ) z f x y= ( , ) x x s t = ( , ) y y s t =
z s∂ ∂ z t ∂ ∂
( , ) x x s t = ( , ) y y s t =
( , ) s t ( ( , ), ( , )) x s t y s t
-.s
z z x z y
x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂2.
z z x
t x t
∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂
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FORMULA DE TAYLOR YTEOREMA DEL )ALORMEDIO
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Suposición es continuo y tiene un mínimo “m” y máximo “intervalo
$. FORMULA DE TAYLOR
* partir de
Se 7btiene la 8ormula de 9aylor
'
•
FormaIntegral
ForLag
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$. FORMULA DE TAYLOR
Se puede escribir que:
En donde el error de la aproxiaci!n est" dado por
:a 8#rmula de 9aylor es una apro;imaci#n, la apro;imaci#n de una f
f(;) por un polinomio de grado finito, con que nos permite se<alar los
error incurrido.=>.?reenberg.
•
TérminoDesconocido
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$. FORMULA DE TAYLOR
Si se suone !ue se tiene"•
Serie de Taylor
de f en elpunto a• Serie #onver $a en un
intervalo x• Función a la cual
converge la serie
Igualar f(x) enalg%n intervalo I
reresenta a f en I
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$. FORMULA DE TAYLOR
ProblemaCon el fn derepresentara sobre unintervalo x
Expandir un(x) en una
serie deTaylor en unpunto x=a
No garantizaque la serie
Converja
Es pon(x)
!
Con el fn derepresentara sobre unintervalo x
Expandir un(x) en una
serie deTaylor en unpunto x=a
No garantizaque la serie
Converja
Es pon(x)
!
Se Garantiza
en unIntervalo x
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$. FORMULA DE TAYLOR
"ig# $# Conse!uen!ia delas su%as par!iales de
&'sta serie reresenta a la(unci)n tal !ue se uedaescri*ir"
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$.*. TEOREMA DEL )ALOR MEDI
Si ( es continua en unintervalo cerrado ydi(erencia*le en el intervaloa*ierto + 'ntonces existe unn%mero en , tal !ue"
•
"ig# &# epresenta!idel teore%a del va
para la deriva
-
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*. E,TENSI-N A FUNCIONES DEDE UNA )ARIA/LE
'n las series de Taylor se conoce todo so*re (-x. en x/a, i+e+ (0
&Se uede considerar en más varia*les2
"ig# # *untos de
+nter,s
Suposición:
• Se conocen todos los valore(xx, (yy13asta el término “n”
Se tiene
-
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*. E,TENSI-N A FUNCIONES DEDE UNA )ARIA/LE
•
Si F es di(erencia*le se uede escri*ir la ()rmula Taylor como"
TérminosDesconocidos
-
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*. E,TENSI-N A FUNCIONES DEDE UNA )ARIA/LE
•
Reemplazando en:
• aciendo t!"# F(")!f(xo# $o)# Se %btiene:
F45M6L7 D' T78L95': D9S ;75I7<L'S
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FORMULA DE TAYLOR Y TEOREDEL )ALOR MEDIO
( -)2 @@( ) ( )
( ) ( ) @( )( ) ( ) ... ( 2A ( -)A
n f a f a f x f a f a x a x a x
n
−
= + − + − + + −
−
2 , , B 2, 2C x
e a−
= −
2@( ) 2 x f x e−= −
2@@( ) 4 x
f x e−=
2@@@( ) x f x e−= −
2(0)( ) f a e−
=
-0 -0 -0 2 -0 34 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2A 3A
f x e e x e x e x− − − −= − − + − − − +
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FORMULA DE TAYLOR Y TEOREDEL )ALOR MEDIO
.T/.0
%%%%%Función Real%%%%%
x1 = -3:0.1:3;
y1 = 1./(4+x1);
syms x;
f = inline('1/(4+x)');
fi = fiu!e();
se"(fi#'c$l$!'#'&i"e')
l$"(x1#y1#'inei"&'#3);
!i $n;
xla*el('x');
yla*el('y');
%%%%%ayl$!%%%%%%%%
, = "ayl$!(f(x)##0);
&$l $n;
&=el$"(,#-3#3);
se"(&#'c$l$!'#'!'#'lines"yle'#'--')
se"(&#'inei"&'#2);
leen('Funci$n Real'#'xansi$n e a
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/I/LIOGRAF0A
-. ?55EF5?, Gic!ael. *d&anced 5ngineering Gat!em5dition. rentice Hall. Ini&ersity of DelaJare, DelaJare.
2. LH**, Ste&en' L*E*5, aymond. G$todos num$
ingenieros, ta. 5dici#n, Gc?raJ Hill, 200M.