Initiation au traitement du signal - S´ eance 4 F. Sur - ENSMN Quelques propri´ et´ es de la TFD D´ ecroissance des coefficients de Fourier Effet de Gibbs La DCT Application ` a la compression La quantification Applications Compression des sons : MP3 Compression des images : JPEG Compression des vid´ eos : MPEG Conclusion Cours ´ electif CET42 Initiation au traitement du signal et applications S´ eance 4: compression avec perte Fr´ ed´ eric Sur ´ Ecole des Mines de Nancy www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/ 1/26 Initiation au traitement du signal - S´ eance 4 F. Sur - ENSMN Quelques propri´ et´ es de la TFD D´ ecroissance des coefficients de Fourier Effet de Gibbs La DCT Application ` a la compression La quantification Applications Compression des sons : MP3 Compression des images : JPEG Compression des vid´ eos : MPEG Conclusion S´ eance 4 1 Quelques propri´ et´ es de la TFD D´ ecroissance des coefficients de Fourier Effet de Gibbs La DCT Application ` a la compression 2 La quantification 3 Applications Compression des sons : MP3 Compression des images : JPEG Compression des vid´ eos : MPEG 4 Conclusion 3/26 Initiation au traitement du signal - S´ eance 4 F. Sur - ENSMN Quelques propri´ et´ es de la TFD D´ ecroissance des coefficients de Fourier Effet de Gibbs La DCT Application ` a la compression La quantification Applications Compression des sons : MP3 Compression des images : JPEG Compression des vid´ eos : MPEG Conclusion D´ ecroissance des coefficients de Fourier Soit f ∈ L 2 p (0, a) et cn(f )= 1 a a 0 f (t)e -2i πnt/a dt. Rappel de la s´ eance 1 : D´ ecroissance des coefficients de Fourier Si f ∈ L 2 p (0, a), alors cn(f ) → 0 quand |n|→ +∞. (en fait vrai pour f ∈ L 1 p (0, a)) On a mˆ eme : D´ ecroissance des coefficients de Fourier (bis) Si f ∈ C k p , alors cn(f )= O 1 |n| k . preuve : int´ egrations par parties successives. 4/26 Initiation au traitement du signal - S´ eance 4 F. Sur - ENSMN Quelques propri´ et´ es de la TFD D´ ecroissance des coefficients de Fourier Effet de Gibbs La DCT Application ` a la compression La quantification Applications Compression des sons : MP3 Compression des images : JPEG Compression des vid´ eos : MPEG Conclusion S´ erie de Fourier et r´ egularit´ e Cons´ equence : plus un signal est r´ egulier, plus ses coefficients d´ ecroissent vite. Exemples : 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 0 50 100 150 200 250 300 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 0 50 100 150 200 250 300 5/26
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Seance 4 - LORIA · 2016-07-05 · Les coe cients de la DCT sont reels ! quanti cation necessaire. (representation informatique nie) Exemple : coe cients dans un intervalle [ a;b],
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Initiation autraitement du
signal - Seance 4
F. Sur - ENSMN
Quelquesproprietes de laTFD
Decroissance descoefficients de Fourier
Effet de Gibbs
La DCT
Application a lacompression
La quantification
Applications
Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
Cours electif CET42
Initiation au traitement du signalet applications
Seance 4: compression avec perte
Frederic SurEcole des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/
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Quelquesproprietes de laTFD
Decroissance descoefficients de Fourier
Effet de Gibbs
La DCT
Application a lacompression
La quantification
Applications
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Conclusion
Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG
4 Conclusion
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Decroissance descoefficients de Fourier
Effet de Gibbs
La DCT
Application a lacompression
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Conclusion
Decroissance des coefficients de Fourier
Soit f ∈ L2p(0, a) et cn(f ) =
1
a
∫ a
0f (t)e−2iπnt/adt.
Rappel de la seance 1 :
Decroissance des coefficients de Fourier
Si f ∈ L2p(0, a), alors cn(f )→ 0 quand |n| → +∞.
(en fait vrai pour f ∈ L1p(0, a))
On a meme :
Decroissance des coefficients de Fourier (bis)
Si f ∈ C kp , alors cn(f ) = O
(1|n|k).
preuve : integrations par parties successives.
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Conclusion
Serie de Fourier et regulariteConsequence : plus un signal est regulier, plus sescoefficients decroissent vite.
Exemples :
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000
50
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150
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250
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Conclusion
Idee pour la compression ?
→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
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Decroissance descoefficients de Fourier
Effet de Gibbs
La DCT
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Conclusion
Idee pour la compression ?
→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
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1.5
2
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fonction originale reconstruction avec 81 coeff.
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Conclusion
Idee pour la compression ?
→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
fonction originale reconstruction avec 201 coeff.
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Conclusion
L’effet de Gibbs
Soit f 2π-periodique valant :
{ −π/4 entre − π et 0π/4 entre 0 et π
Sa serie de Fourier est :+∞∑k=0
sin ((2k + 1)x)
2k + 1.
Rappel : en quel sens a lieu la convergence ?
41 termes −3 −2 −1 0 1 2 3
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
On peut montrer que la valeur de l’“oscillation residuelle”est constante et vaut : ∼ 0.14.
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Conclusion
Effet de Gibbs et periodicite
Rappel : TFD d’un signal de N echantillons =approximation des N/2 premiers coefficients de Fourier(cn et c−n) du signal periodise .
Exemple : N = 128, on garde les 21 coefficients centraux.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
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Conclusion
Une solution pour eliminer Gibbs aux bords
On symetrise, puis TFD.
50 100 150 200 250
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
signal symetrise 21 coefficients centraux
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Conclusion
Signal symetrique et TFD
Rappel : TFD d’un signal (yn) de longueur N :
Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN ou n ∈ {0, . . .N − 1} et ωN = e2iπ/N .
On suppose (yn) symetrise (donc de longueur 2N).
Yn =1
2N
2N−1∑k=0
ykω−nk2N
=1
2N
N−1∑k=0
yk
(ω−nk
2N + ω−n(2N−1−k)2N
)=
1
Ne iπn/(2N)
N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)
car ω−nk2N + ω
−n(2N−1−k)2N = 2e
2iπ2N
n2
(e
2iπ2N (−nk−n/2) + e
2iπ2N (nk+n/2)
)10/26
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Conclusion
Transformee discrete en cosinus (1)
Yn =1
Ne iπn/(2N)
N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)
Definition - Discrete Cosine Transform (DCT)
Yn =N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)pour n ∈ {0, . . . ,N − 1}
est la transformee discrete en cosinus du signal (yn)
Proposition - DCT inverse
yn =1
NY0 +
2
N
N−1∑k=1
Yk cos
(πk(n + 1/2)
N
)pour n ∈ {0, . . . ,N − 1}
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Conclusion
Transformee discrete en cosinus (2)
Yn =N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)
yn =1
NY0 +
2
N
N−1∑k=1
Yk cos
(πk(n + 1/2)
N
)
Remarque 1 : si (yn) est reel, alors (Yn) aussi.
Remarque 2 : Yn = Y 2N−n ete iπn/(2N) = −e−iπ(2N−n)/(2N), donc Y2N−n = −Yn.
Remarque 3 : plusieurs manieres de symetriser un signaldiscret, donc plusieurs definitions de la DCT.(ici DCT-II et inverse= DCT-III.)
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Conclusion
Compression perceptuelle
Avantages de la DCT par rapport a la TFD :
pas d’effet de Gibbs aux bords si discontinuite ;
decroissance plus rapide des coefficients (car symetriseecontinue).
→ idee de compression : on garde seulement les coefficientssignificativement non nuls (|Yn| 6 Sn).
Seuils Sn fixe sur des criteres perceptuels :difference signal reconstruction / signal original aussi peuvisible (ou audible) que possible.
Attention : va de pair avec etape de quantification. . .
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Conclusion
Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG
4 Conclusion
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Conclusion
Quantification des coefficients
Les coefficients de la DCT sont reels→ quantification necessaire.(representation informatique finie)
Exemple : coefficients dans un intervalle [a, b], constructionde boıtes de quantification.
Quantification uniforme,
suivant la densite de probabilite,
et / ou argument perceptuel.
Remarque : apres quantification, le signal est une suite desymboles sur un alphabet fini !→ codage sans perte (Huffman : cf seance 3).
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Conclusion
Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG
4 Conclusion
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Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
MP3 : sons
Mpeg 1 Layer 3 (normalisation ∼ 1994).
Compression (par rapport a PCM) a un taux ' 1/10sans defauts audibles (debit 128 kbit/s).(CD : 44.1 kHz × 16 bits × 2 = 1378 kbit/s).
Etapes de la compression d’un signal sonore :
decoupage temporel du signal ;
(modified) DCT + modele psycho-acoustique +quantification→ compression (la qualite depend de l’encodeur) ;
Huffman ;
formatage.
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Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
JPEG : imagesJoint Photographics Experts Group (normalise en 1993).
Compression (par rapport a image 24 bits RGB) a un taux' 20 sans perte de qualite visible.
Preliminaires :
DCT 2D :
Yn,m =N−1∑k=0
N−1∑l=0
yk,l cos
(πn(k + 1/2)
N
)cos
(πm(l + 1/2)
N
)
RVB → YCbCr (credit image : Wikipedia.org)
original Y Cb Cr
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Application a lacompression
La quantification
Applications
Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
JPEG : schema de l’algorithme (1)
Etapes de la compression d’une image couleur :
RVB → YCbCr ;
definition de Cb-Cr divisee par 2 (argumentpsycho-visuel) ;
decoupage des canaux en blocs 8x8 ;
puis. . .
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Application a lacompression
La quantification
Applications
Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
JPEG : schema de l’algorithme (2)DCT sur les blocs (DCT = comb. lineaire de “blocs 8x8”) :