SDI Aritmeticos

8/17/2019 SDI Aritmeticos

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Sistemas Digitais I - 1420009

Circuitos Aritméticos

Prof. Denis Teixeira Franco

Engenharia EletrônicaCentro de Engenharias

Universidade Federal de Pelotas

Prof. Denis Teixeira Franco ( Engenharia Eletrônica Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas )

Sistemas Digitais I - 1420009 1 / 70

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Outline

1 Representação binária de valoresIntroduçãoNúmeros InteirosNúmeros Reais

2 Operações com inteiros

IntroduçãoAdição e SubtraçãoMultiplicaçãoDivisão

3 Operações com reais

4 Desempenho aritmético de processadores recentes



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Representação binária de valores

Outline

1 Representação binária de valoresIntroduçãoNúmeros InteirosNúmeros Reais

2 Operações com inteirosIntroduçãoAdição e SubtraçãoMultiplicaçãoDivisão





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Representação binária de valores Introdução

Sistema posicional

Prof. Denis Teixeira Franco ( Engenharia Eletrônica Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas )Sistemas Digitais I - 1420009 4 / 70

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Sistema posicional

Representação dos números:

N =n−1

i =−m

(x i · B i )

N → Número

B → Base do sistema de numeração

x i → D́ıgito na posição i

−m até n − 1 → Posição dos d́ıgitos relativa ao ponto (v́ırgula)

234, 18 = 2 · 102 + 3 · 101 + 4 · 100 + 1 · 10−1 + 8 · 10−2


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Representação numérica em computação


R ˜ bi ´ i d l I d ˜

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Representações convencionais:

Ponto fixo

Sinal magnitudeComplemento de 2

Notação em excessoBCD


R t ˜ bi ´ i d l I t d ˜

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Representaçao binaria de valores Introduçao



Ponto fixo



Ponto flutuante

Norma IEEE 754


Representacão binária de valores Introducão

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Representaçao binaria de valores Introduçao



Ponto fixo



Ponto flutuante

Norma IEEE 754

Outras representações: aplicações espećıficas

Redundant Number Systems

Residue Number Systems (RNS)


Representacão binária de valores Números Inteiros

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Representaçao binaria de valores Numeros Inteiros





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Sinal magnitude

Duas representações para zero : +0 e −0Hardware mais complexo



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Sinal magnitude


Complemento de 2

Uma única representação para zeroMesmo HW para adição e subtraçãoLevemente assimétrica (um valor negativo a mais)


Representação binária de valores Números Inteiros

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p ¸



Sinal magnitude


Complemento de 2


Notação em excesso

Permite comparação relativa entre magnitudes

Considera números como não sinalizados


Representação binária de valores Números Inteiros

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Sinal magnitude


Complemento de 2


Notação em excesso

Permite comparação relativa entre magnitudes

Considera números como não sinalizados

BCD

Representação intuitivaAplicações financeiras, contabilidade, etc


Representação binária de valores Números Reais

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Números reais

Métodos de representação finita:

Incapazes de representar todos os números reais

Representação aproximadaPonto fixo: precisão e alcance limitadosNúmeros racionais: dificulta operações aritméticasPonto flutuante: mais utilizadoSistema logaŕıtmico: e = log b |x |, caso especial de ponto flutuante



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Representação em ponto flutuante

Floating-point numbers :

Quatro componentes

SinalMantissa (s)Base do expoente (b)Expoente (e)



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Quatro componentes

SinalMantissa (s)Base do expoente (b)Expoente (e)

x = ±s × b e



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Quatro componentes

Sinal

Mantissa (s)Base do expoente (b)Expoente (e)

x = ±s × b e

Base normalmente impĺıcita



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Formato:

f e

Sinal: 0 → +; 1 → −

Expoente: Representação em excesso de N (biased notation)

Comparação rápida de expoentes

Mantissa: Normalizada para um MSB não zero (”1,” impĺıcito)s = 1, f

Valores entre 1 e ≈ 2



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Faixas de representação:

maxNúmeros negativos

Overflow

Números positivos0

Underf low

− +

Overflow

−min−max min

0, −∞ e + ∞ : representações especiais

max = maior mantissa × b maior expoente

min = menor mantissa × b menor expoente

Variação na densidade dos valores



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O padrão IEEE 754:

ANSI/IEEE Standard 754-1985



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IEEE 754-2008

Formatos definidos



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IEEE 754-2008

Formatos definidos

Meia precisão: 16 bits

Precisão simples: 32 bits

Precisão dupla: 64 bits

Precisão quádrupla: 128 bits



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IEEE 754-2008

Formatos definidos

Meia precisão: 16 bitse = 5 bits, bias = 15; mantissa = 10 + 1 bits

Precisão simples: 32 bits

e = 8 bits, bias = 127; mantissa = 23 + 1 bits

Precisão dupla: 64 bits


Precisão quádrupla: 128 bits




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IEEE 754-2008:

[1, 254]

0

0

Subnormal

NaN

±

0

±0

0

0

255

255

0

0

Normalizado



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IEEE 754-2008:Not-a-number: NaN



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Exemplo: 0/0NaN + valor = NaN



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±∞



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±∞

valor ÷ (+∞) = ±0(+∞)× valor = ±∞



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±∞

valor ÷ (+∞) = ±0(+∞)× valor = ±∞

Subnormal



http://find/


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±∞

valor ÷ (+∞) = ±0(+∞)× valor = ±∞

Subnormal

(0, 0001)2 × 2−126

Graceful underflow



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±∞

valor ÷ (+∞) = ±0(+∞)× valor = ±∞

Subnormal

(0, 0001)2 × 2−126

Graceful underflow Códigos especiais propagados até o final do cálculo



R ˜ fl

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±∞

valor ÷ (+∞) = ±0(+∞)× valor = ±∞

Subnormal

(0, 0001)2 × 2−126

Graceful underflow Códigos especiais propagados até o final do cálculo

Suporte a formatos estendidos



R ˜ fl

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Exemplo:

x = 100, 2510



R ˜ fl

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Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002



R t ˜ t fl t t

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Representaçao em ponto flutuante

Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002

0, 2510 = 0, 012



R t ˜ t fl t t

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Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002

0, 2510 = 0, 0121100100, 012 = 1, 10010001× 2

6



Representacão em ponto flutuante

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Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002

0, 2510 = 0, 0121100100, 012 = 1, 10010001× 2

6

f = 1001000100...




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Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002

0, 2510 = 0, 0121100100, 012 = 1, 10010001× 2

6

f = 1001000100...

e = 610 → 6 + 127 = 13310 → 100001012




http://find/


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Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002

0, 2510 = 0, 0121100100, 012 = 1, 10010001× 2

6

f = 1001000100...

e = 610 → 6 + 127 = 13310 → 100001012

x = 0 10000101 10010001000000000000000




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Exemplo:

x = 100, 2510

10010 = 11001002

0, 2510 = 0, 0121100100, 012 = 1, 10010001× 2

6

f = 1001000100...

e = 610 → 6 + 127 = 13310 → 100001012

x = 0 10000101 10010001000000000000000x = 42C 88000h


Operações com inteiros

Outline

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Outline

1

Representação binária de valoresIntroduçãoNúmeros InteirosNúmeros Reais

2

Operações com inteirosIntroduçãoAdição e SubtraçãoMultiplicaçãoDivisão




Operações com inteiros Introdução

Introducão

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Introduçao

Operações básicas:Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão


Operações com inteiros Introdução

Introducão

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Introduçao

Operações básicas:Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão

Blocos de base:

Half adder (HA)

Somador (2,2)

Full adder (FA)

Somador (3,2)


Operações com inteiros Adição e Subtração

Adicão e subtracão

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Adiçao e subtraçaoO somador completo



O somador ripple-carry

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O somador ripple carry



Subtracão

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Subtraçao



Subtração

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¸



A adição

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¸



A adição

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¸

Operação básica para as demais operações



A adição

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¸


O somador ripple-carry é simples mas lento



A adição

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Tempo de operação ∼= 2 · n ńıveis lógicos (para n bits)



A adição

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Tempo de operação ∼= 2 · n ńıveis lógicos (para n bits)

Somadores rápidos baseiam-se na quebra da cadeia de carry



O somador carry-select

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55/143

Tempo de operação ∼= (2 · n)/2 + 1 ńıveis lógicos (para n bits)




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56/143

Tempo de operação ∼= (2 · n)/2 + 1 ńıveis lógicos (para n bits)∼= 50% maior



O somador carry-lookahead

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Reinterpretação da tabela do somador completoO sinal de carry pode ser gerado pelos bits de entrada

O sinal de carry pode ser propagado a partir do carry precedente




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http://find/


61/143

G3 P3 G2 P2 G1 P1 G0 P0

c0

c1c2c3c4

i i i i i i i i

iiii

i




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G0/P0G1/P1G2/P2G3/P3

c1c2c3c4

Carry Lookahead Block

0G0/P0G1/P1G2/P20 00G3/P3

c1c2c3c4 0 0 0 0

c0 0Carry Lookahead Block

c0


c1c2c3c4

Carry Lookahead Block c0 1

1111

1 1 1 1

m−1

m−1m−1m−1

m−1 m−1 m−1 m−1

m−1

m = n/4 0m−1c4 = carry−out c0 = carry−in




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c1c2c3c4


0G0/P0G1/P1G2/P20 00G3/P3

c1c2c3c4 0 0 0 0


c0


c1c2c3c4


1111

1 1 1 1

m−1

m−1m−1m−1

m−1 m−1 m−1 m−1

m−1


Tempo de operação ∼= (4 · Log 4n) + 1 ńıveis lógicos (para n bits)




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c1c2c3c4


0G0/P0G1/P1G2/P20 00G3/P3

c1c2c3c4 0 0 0 0


c0


c1c2c3c4


1111

1 1 1 1

m−1

m−1m−1m−1

m−1 m−1 m−1 m−1

m−1


Tempo de operação ∼= (4 · Log 4n) + 1 ńıveis lógicos (para n bits)∼= 100% maior



Somadores rápidos

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Carry-skipCarry-save

Ling

Ladner-Fischer

Kogge-Stone

Brent-Kung

H́ıbrido B-K/K-S

Manchester

Carry-free

...


Operações com inteiros Multiplicação

Multiplicação

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Segunda operação mais frequente, após a adição

Implementada por diferentes algoritmos



Multiplicação

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Exemplo: Multiplicação por somas sucessivas

S = B × AS = A + A + ... + A + A (B vezes)



Multiplicação

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S = B × AS = A + A + ... + A + A (B vezes)Lento



Multiplicação

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S = B × AS = A + A + ... + A + A (B vezes)LentoLatência variável, dependente da magnitude de B



Multiplicação

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S = B × AS = A + A + ... + A + A (B vezes)LentoLatência variável, dependente da magnitude de B

Algoritmo básico: ”Desloca e soma” (shift and add )



Algoritmo básico

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Soma de produtos parciais deslocados: números não-sinalizados

Multiplicando (MD)

Multiplicador (MR)

Produto (PR)

B

A

S



Algoritmo básico

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Soma de produtos parciais deslocados: números não-sinalizados

B (m−bits) = S ((n + m)−bits)

01234567AAAAAAAA

01234567AAAAAAAA

B0

01234567AAAAAAAA

B0

01234567 AAAAAAAA

01234567

AAAAAAAA

01234567AAAAAAAA

01234567AAAAAAAA

01234567AAAAAAAA

01234567AAAAAAAA

SSSSSSSS01234567

Multiplicando (MD)

Multiplicador (MR)

Produto (PR)

B

A

S

BBBBBBB1234567

0= PP

SSSSSSS89101112

S131415

B1

= PP1

B = PPB = PP

B = PP

B = PP

B = PP

B = PP

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

Produtoparcial

A (n−bits)



Algoritmo básico

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Exemplo:

(46)

0100100

00000 0 0 0

111 100 0 0

(38)1



Algoritmo básico

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Exemplo:

(1748)

0100100

00000 0 0 0

1 0100100

1 0100100

00000 0 0 0

1 0100100

00000 0 0 0

1 0100100

00000 0 0 0

111 100 0 0

0000 0 0010

(38)

(46)

1011011

1



Algoritmo básico

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Geração dos produtos parciais:PP i = B i × A

PP i = 0PP i = A



Algoritmo básico

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Geração dos produtos parciais:PP i = B i × A

PP i = 0PP i = A

PPi

Bi

Bi

PPi

A

MUX0

nn

n

1

A0



Algoritmo básico

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Soma dos produtos parciais:

Sequencial

Otimização da área de implementação

Aumento da latênciaParalela

Otimização da latênciaAumento da área de implementação



Desloca-soma sequencial

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Circuito de multiplicação sequencial (sem a PC):

PR

n n

n

n

n

MR MD

0

0 1MUX

PP



Desloca-soma sequencial

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Caracteŕısticas:

Área reduzida

Número fixo de ciclos de operação na versão śıncrona

Números sinalizados:

Multiplicando negativo

Implementar extensão de sinal nos produtos parciais

Multiplicador negativo

Subtrair o produto parcial gerado pelo bit de sinal

Topologia do multiplicador padrão, com pequenas modificações



Desloca-soma paralelo

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Desloca-soma paralelo

Circuito de multiplicacão paralelo:

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Circuito de multiplicaçao paralelo:

n+1

n

n

n

PP1

n

n

PP0

PP

PP2

3

n+1

Implementação paralela:

Área proporcional à largura dos operandos

Para operandos de n-bits: n-1 somadores de n-bits

Latência fixa

Pode ser amplamente otimizado

Prof. Denis Teixeira Franco ( Engenharia Eletrônica Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas )Sistemas Digitais I - 1420009 36 / 70 Operações com inteiros Multiplicação

Multiplicadores rápidos

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Aceleração da multiplicação:

Multiplicação vista como adição de múltiplos operandos

Otimização posśıvel através da:

Prof. Denis Teixeira Franco ( Engenharia Eletrônica Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas )Sistemas Digitais I - 1420009 37 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


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Redução do número de produtos parciaisManipulação simultânea de mais de um bit do multiplicador

Prof Denis Teixeira Franco ( Engenharia Eletrônica Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas )Sistemas Digitais I - 1420009 37 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


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Redução do número de produtos parciaisManipulação simultânea de mais de um bit do multiplicadorAceleração das somasPipeline, árvores, etc



http://find/


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Multiplicadores otimizáveis por três elementos:

Circuitos de formação dos produtos parciais

Portas ANDMultiplexersRecodificadores de Booth

´Arvores de redução dos produtos parciaisNormalmente baseados em árvores do tipo carry-save

WallaceDaddaArray

Conversor de representação redundante para o resultado finalSomador rápidoCarry-lookahead



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Dot representation/notation:



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Multiplicador matricial (array ):

0000



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0000



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Full adders, half adders: números sem sinal

FAs, HAs, FAs e HAs modificados: números com sinal

Método de Baugh-Wooley



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Estrutura regular, adequada para VLSI

Prof Denis Teixeira Franco ( Engenharia Eletrônica Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas )Sistemas Digitais I 1420009 41 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


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Estrutura regular, adequada para VLSI

Implementa a função MAC (multiply-accumulate)


Multiplicadores rápidosO algoritmo de Booth

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Booth’s recoding :

Redução do número de produtos parciais

Recodificação de sequências de 1s

32+16+8+4 = 60

0 0 1 1 1 1 0 0


Multiplicadores rápidosO algoritmo de Booth

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Booth’s recoding :

Redução do número de produtos parciais

Recodificação de sequências de 1s

64 −4 = 60

0 0 1 1 1 1 0 0

32+16+8+4 = 60

0 1 0 0 0 0 01


Multiplicadores rápidosO algoritmo de Booth modificado

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Modified Booth’s recoding :

MR

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

i i−1MR MR

0

1

0

1

MRi+1

0

1

0

1

0

MD

MD

2MD

−2MD

−MD

−MD

PP j

Tabela de recodificação

−0

MD

−MD

−0

−2MD

0 00 0

11

00

0 1 11 1 1

00 0

MD

1



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Modified Booth’s recoding : exemplo Booth-2

− 0

1 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 02 * multiplicand

signextension

partial

products

Result

1 1 1 1 1

0 0 0

0

−2 * multiplicand

(630)

0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0

− 0

group

3−bit

0 0 00 0 1

0 1 00 1 1

1 0 01 0 1

1 1 0

1 1 1

0 1 1 1 1 0

Multiplicand

Multiplier

0 1 0 1 0 1Partial

product

0multiplicand

multiplicand2 * multiplicand

−2 * multiplicand

− multiplicand− multiplicand

(30)

(21)

0



http://find/http://find/


96/143


Manipulação direta de números sinalizados (complemento de 2)

Latência fixa: metade dos produtos parciais

Versões paralelas e sequenciais



http://find/


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Booth-3: 0, MD, 2MD, 3MD, 4MD, -4MD, -3MD, -2MD, -MD, -0

Um terço dos produtos parciais

P f D is T i i F ( E h i El t ˆ i C t d E h i s U i sid d F d l d P l t s )Sist s Di it is I 1420009 45 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


http://find/


98/143





Booth-3: 0, MD, 2MD, 3MD, 4MD, -4MD, -3MD, -2MD, -MD, -0

Um terço dos produtos parciaisGeração de ±3MD não é trivial

P f D i T i i F ( E h i El t ˆ i C t d E h i U i id d F d l d P l t )Si t Di it i I 1420009 45 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


http://find/


99/143

Wallace Tree: árvore de redução



http://find/


100/143

Wallace Tree: árvore de redução



http://find/


101/143

Wallace Tree: primeiro ńıvel

P f D i T i i F ( E h i El ˆ i C d E h i U i id d F d l d P l )Si Di i i I 1420009 47 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


http://find/


102/143

Wallace Tree: primeiro ńıvel

P f D i T i i F ( E h i El ˆ i C d E h i U i id d F d l d P l )Si Di i i I 1420009 47 / 70 Operações com inteiros Multiplicação


http://find/


103/143

Wallace Tree: segundo ńıvel




http://find/


104/143

Wallace Tree: segundo ńıvel




http://find/


105/143

Wallace Tree: terceiro ńıvel




http://find/


106/143

Wallace Tree: terceiro ńıvel




http://find/


107/143

Wallace Tree: quarto ńıvel




http://find/


108/143

Wallace Tree: quarto ńıvel




http://find/


109/143

Wallace Tree: somador final




http://find/


110/143

Wallace Tree: somador final




http://find/


111/143

Wallace Tree:

Redução do número de ńıveis em relação a um multiplicador matricial

16 PPs ⇒ 6 ńıveis32 PPs ⇒ 8 ńıveis

64 PPs ⇒ 10 ńıveis




http://find/


112/143

Wallace Tree:



64 PPs ⇒ 10 ńıveisRedução do tamanho do somador final




http://find/


113/143

Wallace Tree:




Pode ser combinado com recodificação




http://find/


114/143

Wallace Tree:




Pode ser combinado com recodificação

Estrutura irregular




http://find/http://goback/


115/143

Dadda Tree:

Similar ao Wallace

Redução ḿınima em cada ńıvel (máxima para Wallace)

Fase de redução com menos HW

Somador final mais longo






116/143

Multiplicação por constantes:

Aplicação em filtros, matrizes, etc

Somas e deslocamentos correspondentes aos bits em 1Recodificação: somas, subtrações e deslocamentos






117/143

Multiplicação por constantes:11310 = 11100012







118/143

p ¸ p

11310 = 11100012

R 1 × 113







119/143

p ¸ p

11310 = 11100012

R 1 × 113

R 2 = R 1


120/143

p ¸ p

11310 = 11100012

R 1 × 113

R 2 = R 1


121/143

11310 = 11100012

R 1 × 113

R 2 = R 1


122/143

11310 = 11100012

R 1 × 113

R 2 = R 1


123/143

11310 = 11100012

R 1 × 113

R 2 = R 1


124/143

11310 = 11100012

R 1 × 113

R 2 = R 1


125/143

Ou:

113 = 128− 16 + 1






126/143

Ou:

113 = 128− 16 + 1

R 8 = R 1


127/143

Ou:

113 = 128− 16 + 1

R 8 = R 1


128/143

Ou:

113 = 128− 16 + 1

R 8 = R 1


129/143

Ou:

113 = 128− 16 + 1

R 8 = R 1


130/143

2 somadores, 2 deslocadores

Multiplicação por múltiplas constantes:

Compartilhamento de subexpressões

9A = 5A + 4A13A = 5A + 8A

18A = 2 • 9A

21A = 5A + 16A

Algoritmos para determinação das subexpressões

Robert Bernstein

Vincent Lefèvre




Multiplicador matricial Pipeline:

http://find/


131/143


Operações com inteiros Divis̃ao

Divisão

http://find/


132/143

Duas classes de algoritmos:

Baseados em subtração

Lento, latência proporcional à largura do operando

Baseados em multiplicaçãoMais rápidos, latência proporcional ao log 2 da largura do operandoEtapas mais complexas



Divisão baseada em subtração

Exemplo:

http://find/


133/143

Exemplo:

(2)

0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 01 0 1

1

1 0

1 0 1

0 0

1 0 1 0

1

1 0 Resto

Quociente

(74) (8)

(9)

1




Implementacão sequencial:

http://find/


134/143

Implementaçao sequencial:

DD

QCDR

controle

RM




Implementação sequencial:

Mais complexa que a multiplicação

Interdependência das acões (no mesmo ciclo)

http://find/


135/143

Interdependencia das açoes (no mesmo ciclo)Ciclo lento, para acomodar as diferentes ações

Números sinalizados:

Com restauro do resto parcial

Ajuste prévio do sinal dos operandosAjuste do sinal do resultado e do resto

Sem restauro do resto parcial

Sem ajuste prévio

Ajuste do sinal do resultado e do restoAjuste do sinal do resto

DD = QC × DR + RM




Implementacão matricial:

http://find/


136/143

Implementaçao matricial:

caminho crítico

XOR

FA

1



Divisão baseada em multiplicação

http://find/


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Multiplicação do dividendo pelo inverso (rećıproco) do divisor.

O problema é determinar o valor rećıproco...

Dois métodos principais

Expansão em séries (Maclaurin)Método iterativo de Newton-Raphson

Look-up tables


Operações com reais

Outline

1 Representação binária de valoresIntroduçãoNúmeros Inteiros

http://find/


138/143

Numeros InteirosNúmeros Reais






Adição e subtração em ponto flutuante

http://find/


139/143

(±s 1× b e 1) + (±s 2× b e 2) = ±s × b e

1 Verifica operandos com valor zero2 Alignment shift 3

Adição/subtração das mantissas4 Normalization shift

Possibilidade de overflow/underflow



Multiplicação e divisão em ponto flutuante

Multiplicação

(±s 1× b e 1) × (±s 2× b e 2) = ±(s 1× s 2) × b e 1+e 2

1 Verifica operandos com valor zero

http://find/


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p2 Multiplicação das mantissas3 Adição dos expoentes4 Normalização do resultado


Divisão

(±s 1× b e 1) ÷ (±s 2× b e 2) = ±(s 1÷ s 2) × b e 1−e 2

1 Verifica operandos com valor zero2 Divisão das mantissas

3 Subtração dos expoentes4 Normalização do resultado




Conversão e exceções

http://find/


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Arredondamento: 5 tipos

Exceções

Adição: (+∞) + (−∞)

Multiplicação: 0 ×∞Divisão: 0/0 ou ∞/∞


Desempenho aritmético de processadores recentes

Outline

1 Representação binária de valoresIntroduçãoNúmeros Inteiros

http://find/


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Números Reais





Desempenho aritmético de processadores recentes

Desempenho de processadores recentes

Latência: números de ciclos para resultado com dependência

Latência de despacho: número de ciclos para iniciar uma novaoperacão

http://find/


143/143

operaçao

Valores do tipo NaN, overflow, underflow e subnormal, podemadicionar 100+ ciclos

Pentium 4 Sandy Bridge Atom BulldozerLat̂encia Lat. Desp. Latência Lat. Desp. Latência Lat. Desp. Latência Lat. Desp.

ADD/SUB 0,5 0,25 1 0,33 1 0,5 1 0,5IMUL 14 4,5 3 1 7 7 4 2IDIV 50 23 21-24 11-14 38 38 23 20FADD/FSUB 5 1 3 1 5 1 5-6 1FMUL 7 2 5 1 5 2 5-6 1

FDIV 43 43 10-24 10-24 71 71 10-42 5-18FSIN 180 170 47-100 - 260 - 65-210 65-210FCOS 207 207 47-115 - 260 - 160 160

http://find/

SDI Aritmeticos

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