-
12.1 Giri 37112.2 Bir Kuvvetin ve Bir Momentin i 37112.3 Virtel
lkesi 37312.4 Genelletirilmi Koordinatlar 376
rnekler 37712.5 Potansiyel Enerji 38412.6 Srtnmeli Makinalar ve
Mekanik Verim 38812.7 Denge 389
rnekler 391 PROBLEMLER 395
Fransz matematikinin saylar kuramna, analitik mekanie ve gk
mekaniine ciddi katklar olmutur. Lagrangen gelitirdii deiimler
hesabyla, bir mekanik sistemin gerekte izledii yola gre kavramsal
olarak olanakl (virtel) yer deitir-melerden doan deiimleri bir
integral (ya da toplam) yapya getirilebildi ve siste-min baz
davranlar belirlenebildi. Bylece Lagrange denklemleri ve
genelleti-rilmi koordinatlar denen bamsz koordinatlarn kullanlmas
gerekleti. Sesin yaylmas, duraanlk (maksimum ve minimum) kavram
zerinde aratrmalar yapt ve makaleler yazd. Dneminin en mehur
matematikileri arasnda yer ald, Torino Bilimler Akademisinin
kurucusu oldu, Paris Bilimler Akademisinden dl ald. 1776 da Berlin
Bilimler Akademisinde Eulerden boalan yere getirildi. 1789 daki
Fransz Devrimi srasnda byk kimyac Antoine-Laurent Lavoisierin
giyotinle idamnn arkasndan, Onun kafasn drmek iin bir saniye yetti,
ama o kafann bir benzerini ortaya karabilmek iin belki bir yzyl akn
sre yetmeyecektir demitir.
Joseph-Louis LAGRANGE (1736-1813)
-
12.1 GR
Bir tayc sistemi oluturan paralara, onun ba koullar ile uyumlu
olacak biimde bir takm kk hareketler vermek mmkndr. O zaman bunlarn
zmnde denge denklemleri,
=F 0 ve =M 0
yerine, kuvvet ve kuvvet iftlerinin yapaca ii hesaplayarak
sonuca git-mek bazen daha kolay olabilir. ok paral bir sistem i
yntemi ile z-lrken, onu tek bir para gibi ele alnr ve daha sonra
sisteme giren ve kan enerji tanmlanr.
Enerji yntemleriyle zm, yap mekaniinde ok byk neme sahip-tir.
yle ki; zellikle inaat, makine, gemi ve uak mhendislii alann-daki
uygulamalar bilgisayar ortamnda zlrken kullanlan paket prog-ram
yazlmlarnn dayand "sonlu eleman" yntemi esas itibariyle enerji
tabanldr. O nedenle bu blm mhendislik eitiminde ileriye dnk bilgi
birikimi asndan yararl bir balangtr. 12.2 BR KUVVETN VE BR
MOMENTN
Skaler bir byklk olan ii, hesaplayabilmek iin, ekil (12.1) de
konu-mu r vektryle tanmlanm ve F kuvvetinin etkisi ile harekete
zorlanan P noktasn inceleyelim.
Bir Kuvvetin i: Bir cismin bir noktadan bir baka noktaya hareket
etmesine sebep olan ya da bu hareketten etkilenen her kuvvet bir i
yapar. u halde ekil (12.1) de P noktasndaki maddesel noktaya
etkiyen F kuvvetinin, rd kadar yer deitirerek P noktasna giderken
yapaca i,
-
372 STATK
d dU= F r (12.1)
olur ve skaler arpm kuralna gre,
d d cosU F s = , ( )0 (12.2)
yazlr. Skaler bir byklk olan enerjinin bir iareti vardr. nk; her
ne kadar 0F > ve d 0s> ise de, F ve rd vektrleri arasnda llen
as (12.2) den hesaplanacak enerjinin iaretini belirler. yle ki,
12
12
12
0 iin d 0iin d 0iin d 0
UUU
< > = = < < (12.3)
olur. (12.1) de eitliin sandaki vektrler, bileenleri
cinsinden,
d d d d
x y zF F F
x y z
= + += + +
F i j kr i j k
dir. Bunlar (12.1) de yerletirilip, denklem integre
edilirse,
( )d d dx y zL
U F x F y F z= + + (12.4)
elde edilir.
Bir Kuvvet iftinin i: Bir cisimde dnmeye sebep olan ya da bu
dn-meden etkilenen her kuvvet ifti ( , )-F F bu cisimde bir i
yapar. u hal-de ekil (12.2) deki kuvvet ifti ( , )-F F ye edeer = M
r F momen-tinin ii,
d dU = M (12.5)
dir. (12.5) de skaler arpm kural uygulanrsa,
d d cosU M = (12.6)
biiminde yazlr. Burada as, M ve d vektrleri arasnda llr. (12.6)
dan hesaplanacak enerjinin iareti, (12.3) de belirtildii gibi, asna
baldr. (12.5) deki eitliin sandaki vektrler, bileenleri
cin-sinden,
d d d dx y z
x y z
M M M
= + += + +
M i j k
i j k
dir. Bunlar (12.5) de yerletirilip, nokta arpm ilemi yapldktan
sonra ifade integre edilirse,
-
376 STATK
(12.14) n zde olarak salatlabilmesi, ancak parantez iindeki
ifadenin sfra eit olmas ile mmkndr. u halde,
0U = ( )cos 0
ve 0AFL M
- + =
cos 0AFL M- + = cosAM FL =
olur. Bu moment deeri iin sistem dengededir ve 0yC = olur. Ayrca
dikkat edilirse (12.14) de parantez iindeki ifade A noktasna gre
yaz-lacak moment denge denklemidir. Virtel i ilkesinde hesaplar
doru sonulandrabilmek iin serbestlik derecesi kavram iyi
bilinmelidir. 12.4 GENELLETRLM KOORDNATLAR
Virtel i kapsamnda serbestlik derecesinin tanm, bir tayc
sistemde-ki tm noktalarn konumlar belirlenirken gerekli olan bamsz
koordinat says diye yaplabilir. Bir baka tanm ise; sistemdeki bamsz
virtel yer deitirmelerin says biiminde olabilir. Bunlara ayn
zamanda genelletirilmi koordinatlarlar stnden de ulalabilir.
En basit sistemler tek serbestlik derecelidir. ekil (12.6a) daki
mekaniz-mada kol boylar AB ve BC belli ise, sadece AB kolunun
yatayla yap-t asn kullanarak tm noktalarn konumlarnn kolayca
belirlen-diini yukarda grdk. kinci rnek olarak ekil (12.7a) daki
makara sis-temini inceleyelim. Burada T kuvvetinin uyguland uzamasz
kablonun serbest ucuna verilecek bir yatay Tx yer deitirmesi
sonucu, W arl-nn deydeki yeni konumu Wy yi Tx cinsinden
hesaplanabilir. Tek ser-bestlikli sistemlere son bir rnek vermek
iin ekil (12.7b) deki mekaniz-may ele alalm. Burada AB , BC ve CD
kol boylar belli olmak koulu ile, rnein AB koluna ait as
biliniyorsa dier iki kola ait btn konumlar, asna bal olarak
hesaplanabilir. Bu rnekten de aka belli olduu gibi, tek serbestlik
dereceli sistemlerde, uygun seilmi bir koordinat yardmyla tm
sistemin konumu tam olarak belirlenir.
ki serbestlik dereceli sistemlere de iki rnek verelim. ekil
(12.7c) deki makara sisteminde W arlnn dey konumu, ancak uzamasz
kablo-nun serbest ularnda birbirlerinden tamamen bamsz her iki yer
dei-tirmenin de belli olmas halinde mmkndr. ekil (12.7d) deki
mafsal-larla bal drt ubuun oluturduu mekanizmada ubuk boylar
bilin-sin. imdi B, C ve D noktalarna ait konumlarn tam olarak
belirlenebil-mesi, ancak herhangi iki kola ait dnme asnn, rnein AB
ve DE kollar iin ve alarnn belli olmas ile mmkndr.
-
12. VRTEL YNTEM 389
( )giri ii sin cos dsW W s = + (12.42)
olur. W arln d sin dh s= kadar yukarya kartmak iin yaplmas
gereken yararl i ( )d sinW s , ya da,
( )k ii sin dW s= (12.43)
olur. Buna gre; (12.39) de (12.42) ile (12.43) yerletirilirse,
eik dzle-min verimi,
( )sin d 1
sin cos d 1tan
ss
W sW W s
= =+ + (12.44)
bulunur. Dikkat edilirse, (12.44) de 0s = iin 1 = ve 0s > iin
1 < olur.
12.7 DENGE
Denge ve potansiyel enerji arasndaki iliki, (12.18) de, / 0iX =
, ( 1, , )i n= biiminde kurulmutu. Tek serbestlik dereceli
sistemlerde salatlmas gereken koul,
1
0 = (12.45)
olup, (12.45) deki 1 , sistemin konumunu tanmlamakta kullanlan
bir genelletirilmi koordinat olup, bunun says sistemin serbestlik
derecesi-ne baldr. Denge hali iin seenek sz konusudur.
Kararl Denge: ekil (12.12a) daki i bkey kap iinde duran topu ele
alalm. Eer topa ufak bir dokunula ok kk bir sapma verirsek, top bu
sapma miktarn amayacak biimde kk salanmlar yapar ve daha teye de
gitmez. Eer kapla top arasnda ok az miktarda srtn-me varsa, o zaman
salanmlar yavaa sner. Her iki halde kararl den-geye iarettir.
Kararsz Denge: ekil (12.12b) deki d bkey kabn stnde dur-makta
olan topa ufak bir dokunu sonrasnda, top bir daha geri gelme-mek
zere gider.
Tarafsz Denge: ekil (12.12c) deki dzlemde durmakta olan topa
ufak bir donu yaptmzda, eer topla yzey arasnda da az miktar-da
srtnme varsa, top biraz teye gider ve orada tekrar durur. Top
hi