SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS
ASESORA
SISTEMAS ELCTRICOS (OGATA K. p. 87)
LEYES FUNDAMENTALES QUE GOBIERNAN LOS CIRCUITOS ELCTRICOS
Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos): la suma
algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es
cero, , la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a
la suma de las corrientes que salen del mismo (Ogata p. 87)
Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas): en cualquier
instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor
de cualquier malla en un circuito elctrico es cero, o la suma de
las cadas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de
voltaje alrededor de una malla.
CIRCUITO LRCPara el circuito mostrado en la figura a
continuacin, hallar la funcin de transferencia.
ieoei
Circuito elctrico en serie
Componentes del circuito elctrico:R = resistencia elctrica (ohm,
)L = impedancia elctrica (henry, H)C = capacitancia elctrica
(farad, F)
Para el circuito elctrico en serie mostrado en la figura,
aplicando Ley de voltaje de Kirchhoff al sistema:
(1)
(2)
Las ecuaciones (1) y (2) expresan el modelo matemtico del
circuito.
Tomando la Transformada de Laplace a las ecuaciones (1) y (2),
para condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene:
(3)
(4)
Se supone que ei es la entrada e eo la salida, la funcin de
transferencia de este sistema es:
De (3);
(5)
De (4);
(6)
Reemplazando (6) en (5), eliminando I(s);
(7)
Que es la funcin de transferencia del circuito RLC.
IMPEDANCIAS COMPLEJAS (OGATA, p.88)En las funciones de
transferencia para circuitos elctricos, a menudo se encuentra
conveniente escribir las ecuaciones transformadas directamente
mediante el mtodo de Laplace, sin escribir las ecuaciones
diferenciales.
Z1
Z2Z1
eieoZ2e2e1
e
(a)(b)
Circuitos elctricos: (a) en serie y (b) en paralelo
La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es
el cociente entre E(s), la transformada de Laplace a travs de los
terminales, e I(s), la transformada de Laplace de la corriente a
travs del elemento, bajo la suposicin de que las condiciones
iniciales son cero. Por tanto; Z(s) = E(s)/I(s)
Elementos de los sistemas elctricosImpedancias
complejas:Z(s)
ResistenciaR
Capacitancia1/Cs
InductanciaLs
Para impedancias complejas en serie: la impedancia total es la
suma de las impedancias complejas individuales.Para la figura
(a):
Z(s) = Z1(s) + Z2(s)
Para impedancias complejas en paralelo, como la que se muestra
en la figura (b), se tiene, que la funcin de transferencia del
circuito es:
Aplicando este concepto al circuito LRC, tenemos:
LsR
Ei(s)Eo(s)I(s)
eoiei
Circuito elctrico en serie Circuito equivalente en
impedancias
Para el caso se tiene:
Por tanto, la funcin de transferencia E0(s(/Ei(s) , es:
Que es igual a la expresin (7)
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE ELEMENTOS EN CASCADAR1
R2
i1i2eieoC2C1
Sistema elctrico (Ogata p.90)
Muchos sistemas realimentados tienen componentes que se cargan
uno al otro. Para el sistema la segunda etapa del circuito (R2C2)
produce un efecto de carga en la primera etapa (R1C1).Para el
sistema elctrico en paralelo mostrado en la figura, determine la
funcin de transferencia Eo(s)/Ei(s)
SOLUCINAplicando la ley de voltajes de Kirchhoff al sistema.
(1)
(2)
(3)
Las ecuaciones (1), (2) y (3) expresan el modelo matemtico del
circuito.
Tomando la transformada de Laplace a las ecuaciones (1), (2) y
(3), para condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene:
(4)
(5)
(6)
Eliminando I1(s) de las ecuaciones (4) y (5);
De (4);
(7)
De (5);
De donde;
Reemplazando I1(s) en (7)
(8)
De (6);
Reemplazando en (8);
Finalmente, la funcin de transferencia es:
ANALOGAS DE UN CIRCUITO ELCTRICO (Nise N. 3 edicin p. 94)Existe
una similitud entre las ecuaciones que resultan de las leyes de
Kirchhoff para sistemas elctricos y las ecuaciones de movimiento de
los sistemas mecnicos.
Las variables de circuitos elctricos se comportan exactamente
como las variables anlogas de un sistema mecnico. De hecho,
convertir sistemas mecnicos en redes elctricas, antes de escribir
las ecuaciones descriptivas, es un mtodo de resolucin de problemas
bastante utilizado.
Un circuito elctrico que es anlogo a un sistema de otra
disciplina se llama circuito elctrico anlogo. Las analogas se
pueden obtener al comparar las ecuaciones descriptivas; por
ejemplo, las ecuaciones de movimiento de un sistema mecnico, ya sea
con ecuaciones elctricas de mallas o de nodos. Cuando se compara
con ecuaciones de mallas, el circuito elctrico resultante se llama
anlogo en serie; cuando se compara con ecuaciones de nodos, el
circuito elctrico resultante se llama anlogo en paralelo.
ANLOGO EN SERIEEncuentre el sistema anlogo en serie del sistema
mecnico mostrado en la Figura (a)x(t)
i(t)
(a) Sistema mecnico(b) Sistema elctrico deseado
Desarrollo del anlogo en serieConsidere el sistema mecnico
traslacional que se ilustra en la figura (a), cuya ecuacin de
movimiento es:
Tomando transformada de Laplace, para condiciones iniciales
iguales a cero.
(1)
La ecuacin para el circuito elctrico que se ilustra en la figura
(b), es:
Aplicando la ley voltajes de Kirchhoff (o malla) al
circuito;
(2)
(3)
Tomando transformada de Laplace a (2) para condiciones iniciales
cero, tenemos;
(4)
Podemos observar que la ecuacin (1) no es directamente anloga a
(4), porque el desplazamiento y la corriente no son anlogos.
Podemos crear una analoga directa si manipulamos la ecuacin (1)
para convertir el desplazamiento en velocidad al dividir y
multiplicar por s el primer miembro, dando como resultado;
(5)
Al comparar las ecuaciones (4) y (5), vemos la analoga de los
sistemas, al comparar las impedancias de ambos sistemas.
Parmetros para el anlogo en serie:
Masa = Minductor = M henrys
Amortiguador viscosoresistor = B ohms
Resorte = kcapacitor = faradsFuerza aplicadafuente de voltaje =
f(t)
Velocidad = v(t)corriente de malla = v(t)BM
f(t)v(t)
c) parmetros para el anlogo en serie
ANLOGO EN PARALELOTambin se puede convertir en un sistema anlogo
en paralelo el sistema mecnico (a).
(a) Sistema mecnicob) Circuito RLC paralelo deseado
Desarrollo del anlogo en paraleloPara el sistema mecnico
traslacional que se ilustra en la figura a), tenemos la ecuacin de
movimiento dada por la ecuacin (5) deducida anteriormente:
(5)Para el circuito RLC, mostrado en la figura b), tenemos:
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (o nodos) al
circuito: iR + iL + iC = i(t)
Tomando transformada de Laplace, para condiciones iniciales
igual a cero, tenemos:
(6)
Al comparar las ecuaciones (5) y (6), identificamos la suma de
admitancias que demuestran que el sistema elctrico es anlogo del
sistema mecnico.
Parmetros para el anlogo en paralelo:
Masa = M capacitor = M farads
Amortiguador = bresistor =1/b ohms
Resorte =k inductor = 1/k henrys
Fuerza aplicada = f(t) fuente de voltaje = f(t)
Velocidad = v(t)voltaje de nodo = v(t)
Mf(t)
c) parmetros para el anlogo en paralelo
SISTEMA CON DOS GRADOS DE LIBERTADPROBLEMATrace el anlogo en
serie para el sistema mecnico (con dos grados de libertad) mostrado
en la figura
Figura 1 Sistema mecnico traslacional con dos grados de
libertad
Anlisis para el sistema mecnico
Diagrama de cuerpo libre de M1
M1M1
K1x1(t)
K2x2(t)K2x1(t)
f(t)
Fig. 2b) Fuerzas sobre M1 debidas slo al movimiento de M2
Fig.2a) Fuerzas sobre M1 debidas sloal movimiento de M1
(K1+K2)x1(t)M1
K2x2(t)
f(t)
Fig. 2c) Todas las fuerzas actuantes sobre M1
Diagrama de cuerpo libre de M2
M2M2
K2x2(t)
K3x2(t)
K2x1(t)
Fig.3b) Fuerzas sobre M2 debidas slo al movimiento de M1
Fig.3a) Fuerzas sobre M2 debidas sloal movimiento de M2
(K2+K3)x2(t)M2
K2x1(t)
Fig.3c) Todas las fuerzas actuantes sobre M2
La transformada de la Laplace de las ecuaciones de movimiento
correspondiente a la Fig.2c) y Fig.3c), respectivamente, son:
(1a)
(1b)
Queda como tarea, encontrar la funcin de transferencia
X2(s)/F(s)
Nota: para hallar el sistema elctrico anlogo ver Nise, p. 96,
Fig. 2.42
SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDOPara sistemas que implican el flujo
de lquidos, se distinguen dos regmenes de flujo:
Flujo laminar: nmero de Reynolds < 2 000; corrientes con
flujo estable; se representan mediante ecuaciones diferenciales
lineales.
Flujo turbulento: nmero de Reynolds > 3 000 y 4 000; se
representan mediante ecuaciones diferenciales no lineales
RESISTENCIA Y CAPACITANCIA DE SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDOS
Resistencia R en la Vlvula de carga
H=H1-H2
H1
H2
Q
Flujo a travs del tubo corto que conecta los dos tanques:Se
define, R = resistencia para el flujo de lquido
El valor de R es distinta para flujo laminar y el flujo
turbulento
Fig. 3-22 Sistema de nivel de lquido (Ogata, p.93)
Para la figura, considerando que el flujo a travs de la vlvula
es laminar, la relacin entre el caudal en estado estable y la
altura en estado estable, es:
Q = K H
Q= caudal es estado estable (o velocidad de fuljo es estado
estable), m3/sK = coeficiente, m2/sH = altura en estado estable
Para flujo laminar, la resistencia Rl, se obtiene como:
(1)
La resistencia del flujo laminar es constante y anloga a la
resistencia elctrica.
Para flujo turbulento, a travs de la vlvula de carga, el caudal
en estado estable , es:
(2)
Q = caudal del lquido en estado estable, m3/sK = coeficiente,
m2,5/sH = altura en estado estable, m
Para flujo turbulento, la resistencia Rt, se obtiene a partir
de:
Derivando la ecuacin (2), tenemos;
Despejando de esta ecuacin dH/dQ y reemplazando K de (2),
tenemos;
Por tanto;
(3)
El valor de la resistencia de flujo turbulento Rt depende del
caudal y la altura. Sin embargo, el valor de Rt se considera
constante si los cambios en la altura y en el caudal son
pequeos.
Capacitancia C de un Tanque
La capacitancia C de un tanque se define como el cambio
necesario en la cantidad de lquido almacenado, para producir un
cambio de la unidad en el potencial (altura).
Debe sealarse que la capacidad (m3) y la capacitancia (m2) son
diferentes. La capacitancia del tanque es igual a su rea
transversal. Si sta es constante, la capacitancia es constante para
cualquier altura.
PROBLEMAPara el sistema de nivel de lquido mostrado en la
figura, determine la ecuacin que describe el comportamiento
dinmico.
SOLUCINDado que el flujo de entrada menos el flujo de salida
durante el pequeo intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad
adicional almacenado en el tanque, establecemos que:
A partir de la definicin de resistencia para flujo laminar, la
relacin qo y h se obtiene mediante;
Reemplazando, se tiene la ecuacin diferencial para el sistema
para un valor constante de R:
Tomando la transformada de Laplace en ambos miembros de la
ecuacin, suponiendo la condicin inicial de cero, tenemos:
(RC s + 1) H(s) = RQi(s)
Considerando qi la entrada y h la salida, la funcin de
transferencia del sistema es:
Si se toma qo coma salida y la entrada es la misma, la funcin de
transferencia es;De qo=h/R, tenemos: Qo(s) = (1/R)H(s), despejamos:
H(s) = R Qo(s). resmplazando en la expresin anterior, tenemos:
PROBLEMA (Bolton 8, pp. 76 y 77)Obtener la relacin entre la
altura h2 y el tiempo (dh2/dt) para el sistema hidrulico de la
figura. La inertancia es despreciable.
rea A1
rea A2
Suministro de carga constante
h1
q2q2h2
SOLUCIN
SISTEMAS TRMICOS
PROBLEMA (Bolton P11, pp. 76 y77)La figura ilustra un sistema
trmico que consta de dos compartimientos, uno de los cuales
contiene un calefactor. Si la temperatura del compartimiento que
contiene el calefactor es T1, la temperatura del otro
compartimiento es T2 y la temperatura alrededor de los
compartimientos es T3, desarrolle las ecuaciones que describan cmo
varan con el tiempo las temperaturas T1 y T2. Todas las paredes de
los contenedores tienen la misma resistencia y no almacenan calor.
Los dos contenedores tienen la misma capacitancia C.
qq1q3q2CCT1T2T3
SOLUCIN
Para el compartimiento 1:
(1)
De donde;
y
Reemplazando en (1);
Acomodando trminos:
(2)
Para el compartimiento 2:
(3)
De donde;
y
Reemplazando en (3);
Efectuando operaciones;
(4)
Las expresiones (2) y (4) describen la variacin de las
temperaturas T1 y T2 en sus respectivos compartimientos.
RP/15/4/14