Physique Chimie PTSI EN LIGNE Tout-en-un SCIENTIFIQUES Tout le cours avec : • Objectifs-clés • Démonstrations • Conseils méthodologiques Fiches de synthèse Entraînement intensif : • Vrai/faux • Exercices d’application • Exercices d’approfondissement • Problèmes types concours Tous les corrigés détaillés + d’exercices à télécharger L. Alméras • J. Appenzeller • M. Cavelier • J. Cubizolles G. Delannoy • C. Giroud • E. Jahier • C. Jorssen • C. Vilain Avec la contribution de Yann Lozier
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SCIENTIFIQUES Avec la contribution de Yann Lozier Physique ...
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PhysiqueChimie
PTSI
EN LIGNE
Tout-en-un
SCIENTIFIQUES
Tout le cours avec : • Objectifs-clés • Démonstrations • Conseils
L. Alméras • J. Appenzeller • M. Cavelier • J. Cubizolles G. Delannoy • C. Giroud • E. Jahier • C. Jorssen • C. Vilain
Avec la contribution de Yann Lozier
SCIENTIFIQUES
PhysiqueChimie
PTSI
Loïc Alméras est professeur en CPGE scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Jérôme Appenzeller est professeur en CPGE scientifique au lycée François-Rabelais à Saint-Brieuc.Marc Cavelier est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Julien Cubizolles est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Louis-le-Grand à Paris.Guillaume Delannoy est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à
Rennes.Claire Giroud est professeure en CPGE scientifique au lycée Saint-Louis à Paris.
Erwan Jahier est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Christophe Jorssen est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Jacques-Decour à Paris.Claire Vilain est responsable éditoriale du site institutionnel CultureSciences-Chimie et responsable del’épreuve pratique des Olympiades nationales de la chimie. Elle a enseigné de nombreuses années en
CPGE scientifiques.Avec la contribution de Yann Lozier, professeur en classe préparatoire scientifique au lycée
Activité 5.Fonction qui donne l’état del’eau selon la température
Activité 6.Donner la configurationélectronique d’un atomeselon le nombre d’électronsActivité 7.Convertir une quantité enmole
Activité 8.Fonction qui donne le ph
Ces activités sont également téléchargeablessur le site www.vuibert.fr à la page du livre.
ISBN : 978-2-311-40687-0
Conception de couverture : Hung Ho Thanh
Conception LaTeX : Sébastien Mengin
Mise en page : Hervé Soulard
La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductionsstrictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyseset les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle,faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cettereprésentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par lesarticles 425 et suivants du Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresserau Centre français d’exploitation du droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris.
Oscillateur harmonique1. Loi de Hooke — 2. Étude dynamique du systèmemasse-ressort — 3. Aspect énergétique — 4. Validationexpérimentale — 5. Une approche de la méthode du physicien
Objectifs et compétences du programmeCapacitésexigibles
Exercicesassociés
Travailréalisé
• Établir et reconnaître l’équation différentielle quicaractérise un oscillateur harmonique. La résoudrecompte tenu des conditions initiales.
→ Exercices 1, A, C �
• Caractériser le mouvement en utilisant lesnotions d’amplitude, de phase, de période, defréquence, de pulsation.
→ Exercices 2, 3, B, C �
• Contrôler la cohérence de la solution obtenueavec la conservation de l’énergie mécanique,l’expression de l’énergie potentielle élastique étantici affirmée.
→ Exercices 3, C �
Robert Hooke (1635 – 1703) scientifique anglaisRobert Hooke est connu pour avoir construit la première pompe à air quipermettra à un de ses collègues (Robert Boyle) d’étudier le comportementdes gaz. Il mène aussi quelques travaux en optique.Il restera dans l’histoire des sciences en raison de la loi de l’élasticité qu’ildécouvre en 1660 : il énonce, en latin, ut tension sic vis soit telle extension,telle force, ce que l’on traduit de manière contemporaine par « l’allongementest proportionnel à la force ».
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COURSOn rencontre dans la nature un grand nombre de situations dans lesquelles un phénomène se repro-duit identique à lui-même, au bout d’un certain temps : on parle de phénomènes périodiques. Certainssystèmes mécaniques présentent la particularité d’osciller autour d’une position particulière.
1. Loi de Hooke1.1. Manipulons...
a. Longueur à vide. b. Ressort comprimé. c. Ressort étiré.
Figure 1.1. Quelques manipulations qualitatives.
Commençons par manipuler un ressort (cela peut être, par exemple, le ressort présent dans certainsstylos à bille). Lorsque l’on n’exerce aucun effort sur le ressort (voir figure 1.1a), il possède une certaineforme que l’on peut typiquement caractériser par une longueur. On parle de longueur à vide du ressort.Notons-là `0.
Accrochons l’une des extrémités du ressort à un bâti fixe et cherchons à modifier sa longueur `.
• On peut d’abord comprimer le ressort, c’est-à-dire imposer ` < `0 (voir figure 1.1b). On constateque la force qu’exerce le ressort sur notre main s’oppose à cette compression.
• On peut aussi l’étirer, c’est-à-dire imposer ` > `0 (voir figure 1.1c). On constate que la force qu’exercele ressort sur notre main s’oppose à cet étirement.
• Si l’on recommence les expériences précédentes en étirant ou en comprimant davantage le ressort,on constate que plus la longueur du ressort s’éloigne de sa longueur à vide, plus l’action exercéepar le ressort sur notre main est importante.
Si l’on change de ressort (pensons, par exemple, à ceux présents dans les amortisseurs de voiture), l’actionà exercer pour le comprimer ou l’étirer change aussi. On peut donc penser qu’un deuxième paramètreest nécessaire pour caractériser un ressort : on parlera de raideur.
1.2. Modélisons...Cherchons à traduire mathématiquement les observations précédentes.
1.2.1. Vecteur force et composante
L’action mécanique exercée par le ressort se modélise par une force, représentée par un vecteur, que nousnoterons
#»F . Pour caractériser entièrement ce vecteur, nous devons préciser sa direction, son sens et sa
norme.
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Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
L’expérience montre que la direction de l’action est donnée par la direction de l’axe du ressort. Introdui-sons le vecteur unitaire #»ex « parallèle » au ressort, orienté du bâti vers son autre extrémité. On peut alorsécrire
#»F sous la forme :
#»F = Fx
#»ex .
Les informations concernant le sens et la norme sont ainsi entièrement contenues dans la grandeur Fx ,appelée composante de
#»F selon #»ex .
Telle que nous l’avons définie, Fx peut tout aussi bien être une grandeur positive que négative : il s’agitd’une grandeur algébrique. Si Fx > 0, alors le sens de la force est le même que celui de #»ex tandis que, siFx < 0, alors le sens de la force est opposé à celui de #»ex (voir figure 1.2).
`0
`
#»F = Fx
#»ex
#»ex
a. Le ressort est comprimé : Fx > 0.
`0
`
#»F = Fx
#»ex
#»ex
b. Le ressort est étiré : Fx < 0.
Figure 1.2. Fx est une grandeur algébrique.
À retenir.
La norme ‖#»F ‖ du vecteur #»
F est une grandeur positive. On a ‖#»F ‖= |Fx | et Fx =±‖#»
F ‖.
RemarqueLa norme ‖#»
F ‖d’une force contient moins d’informations que sa composante Fx puisqu’elle ne renseignepas sur le sens de
#»F . Notons néanmoins que la donnée de Fx est indissociable du vecteur unitaire #»ex , qu’il
faut donc systématiquement introduire.
À retenir.
Dans le secondaire, la notation Fx désigne très souvent la norme #»
F . Dans le supérieur, cette conven-
tion est très peu utilisée. Nous le soulignons de nouveau : Fx est une grandeur algébrique.
1.2.2. Variations de la force en fonction de l’allongementRevenons à nos observations pour tenter de déterminer le signe de Fx . À la lumière du paragraphe précé-dent, on peut directement conclure que Fx > 0, si ` < `0, et Fx < 0, si ` > `0. De plus, on a Fx = 0, si `= `0.Fx est donc une fonction décroissante de la variable ` (au moins dans le voisinage de `0).
Fx (`) =−k (`− `0).
À retenir.
Le coefficient k est appelé raideur du ressort et s’exprime en newton par mètre dans le systèmeinternational ([k ] =N.m−1).
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Physique-Chimie PTSI
`0
−k
0 `
Fx
Figure 1.3. Représentation graphique des variations deFx en fonction de la longueur du ressort `.
`00 `
Fx
Figure 1.4. Représentation graphique identique à cellede la figure 1.3 : le ressort y a été ajouté ainsi que la force
exercée par le ressort.
Résumons notre modélisation de l’action exercée par le ressort sur l’une de ses extrémités.
Loi 1.1. Loi de Hooke
L’action qu’exerce un ressort, de longueur à vide `0 et de raideur k , sur son extrémité M , située à ladistance ` de son autre extrémité O , est modélisée par une force dite force de rappel dont l’expressionest :
#»F =−k (`− `0)
#»ex , où #»ex =# »
O M
‖# »
O M ‖ .
2. Étude dynamique du système masse-ressort2.1. Présentation du problèmeDans ce paragraphe, nous allons nous intéresser au mouvement d’un objet de masse m accroché à l’unedes extrémités d’un ressort, de raideur k et de longueur à vide `0, dont l’autre extrémité O est accrochéeà un bâti fixe. Dans la suite, nous supposons que la seule action que subit l’objet est celle exercée par leressort (nous verrons plus tard comment il est possible, en pratique, de réaliser cela de manière appro-chée).
2.2. Mise en équation du problèmeConseils méthodologiquesLa mise en équation d’un problème de mécanique commence toujours par les étapes suivantes.
• On définit le système étudié : il s’agit ici de l’objet de masse m que l’on assimile à son centred’inertie M .
• On définit le référentiel dans lequel on se place pour étudier le mouvement : on choisit leréférentiel du laboratoire que l’on suppose galiléen dans les conditions de l’expérience.
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Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
• On réalise un « bilan des forces » : on recense l’ensemble des forces qui s’appliquent sur lesystème étudié. Dans ce problème, seule la force de rappel du ressort
#»F est prise en compte.
• On représente schématiquement la situation physique (voir figure 1.5) en introduisant lesnotations nécessaires.
O M#»ex`0
`
#»F
0 xM
Figure 1.5. Point M soumis à la force de rappel #»F d’un ressort étiré (` > `0).
2.2.1. Loi d’évolution : deuxième loi de Newton
À retenir.
L’évolution dans le temps du système est gouvernée, dans un référentiel galiléen, par la deuxièmeloi de Newton qui s’écrit :
d#»p
dt=
#»F , où #»p est la quantité de mouvement du système.
Notons #»v le vecteur vitesse instantané du point M . Par définition :
#»p =m #»v .
Or, dans le cas qui nous intéresse, la masse est constante :
d#»p
dt=
d(m #»v )dt
=md#»v
dt.
La deuxième loi de Newton se réécrit donc sous la forme :
md#»v
dt=
#»F ,
ou encore,m #»a =
#»F ,
en introduisant le vecteur accélération instantanés #»a =d#»v
dt.
RemarqueDans la suite, on omettra souvent l’adjectif « instantané » pour qualifier les vecteurs vitesse et accéléra-tion.
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Physique-Chimie PTSI
2.2.2. Description du mouvement du point M sur un axe de direction constante
Le mouvement s’effectue uniquement le long de l’axe (O , #»ex ) de direction constante : le mouvement estdit rectiligne.
Dans le repère (O , #»ex ), repérons le point M par son abscisse xM . Le vecteur position s’écrit alors# »
O M =(xM − xO )
#»ex , soit :# »
O M = xM#»ex ,
l’abscisse xO du point O , origine du repère, étant nulle.
Le vecteur vitesse #»v du point M s’écrit, par définition :
#»v =d
# »
O M
dt.
Dans notre cas, on a successivement :
#»v =d(xM
#»ex )dt
=dxM
dt#»ex ,
puisque le vecteur #»ex est un vecteur constant. La composante vx du vecteur vitesse selon #»ex s’écrit donc :
vx =dxM
dt.
À retenir.
• La composante vx est une grandeur algébrique. Lorsque vx > 0, l’abscisse xM du point M croîtau cours du temps tandis qu’elle décroît lorsque vx < 0.
• Une vitesse est homogène au rapport d’une longueur par un temps, ce qui se note :
dim vx =LT = LT−1.
L’unité de vitesse dans le système international est le mètre par seconde : [vx ] =m.s−1.
Le vecteur accélération #»a du point M s’écrit, par définition :
#»a =d#»v
dt.
Dans notre cas, on a :#»a =
d(vx#»ex )
dt=
dvx
dt#»ex .
La composante ax du vecteur accélération selon #»ex s’écrit donc :
ax =dvx
dt,
ou encore :
ax =d
dt
�dxM
dt
�=
d2 xM
dt 2,
oùd2 xM
dt 2est la dérivée seconde de xM par rapport au temps, c’est-à-dire la dérivée de la dérivée de xM .
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Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
À retenir.
• La composante ax est une grandeur algébrique. Lorsque ax > 0, la composante vx de la vitessedu point M croît au cours du temps, tandis qu’elle décroît lorsque ax < 0.
• Une accélération est homogène au rapport d’une longueur par un temps élevé au carré, ce quise note :
dim ax =LT2= LT−2.
L’unité d’accélération dans le système international est le mètre par seconde au carré : [ax ] =m.s−2.
2.2.3. Expression de la force de rappel en fonction de l’abscisse du point M
La loi de Hooke que nous avons énoncée à la section précédente s’écrit :#»F =−k (`− `0)
#»ex .
Or, il est possible d’expliciter la longueur du ressort selon :
`= ‖# »
O M ‖=Æ(xM − xO )2 =
qx 2
M = |xM |= xM ,
en tenant compte du fait que xM est nécessairement positif (le point M se situe « après » O quand on sedéplace sur l’axe (O , #»ex ) dans le sens de #»ex ). La longueur du ressort s’exprime donc très simplement enfonction de l’abscisse du point M :
`= xM .
Dès lors, on peut récrire la force de rappel du ressort sous la forme#»F = Fx
#»ex avec :
Fx =−k (xM − `0).
2.2.4. Équation différentielle vérifiée par l’abscisse du point M
Compte tenu de toutes les simplifications que nous avons établies précédemment, l’égalité vectorielledonnée par la deuxième loi de Newton peut se réduire à :
max = Fx ,
soit :
md2 xM
dt 2=−k (xM − `0),
soit :d2 xM
dt 2+
k
mxM =
k
m`0.
À retenir.
Cette égalité est une équation différentielle : elle lie la fonction du temps xM à sa dérivée seconded2 xM
dt 2. Elle est dite :
• du deuxième ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction xM ) ;• linéaire (l’un des membres de l’égalité est une somme dont chaque terme est constitué par lafonction xM ou une de ses dérivées, multipliée par un coefficient) ;
• à coefficients constants (les coefficients apparaissant dans la somme sont constants) ;• à second membre constant.
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Physique-Chimie PTSI
2.2.5. Pulsation propre
À retenir.
Il est commode d’introduire la grandeur ω0 appelée pulsation propre du système masse-ressort etdéfinie par :
ω0 =
√√ k
m.
Dans ces conditions, l’équation différentielle précédente se réécrit :
d2 xM
dt 2+ω2
0 xM =ω20`0.
Deux grandeurs physiques peuvent être additionnées à condition d’être homogènes, c’est-à-dire à condi-tion qu’elles aient la même dimension. Appliquons ce principe aux deux termes de l’addition :
dim
�d2 xM
dt 2
�= dim(ω2
0 xM ).
Or, d’une part,d2 xM
dt 2est une accélération, soit dim
�d2 xM
dt 2
�= LT−2 ; d’autre part :
dim(ω20 xM ) = (dimω0)
2 dim xM = (dimω0)2L.
Ainsi :dimω0 =T−1.
La pulsation propreω0 est donc homogène à l’inverse d’un temps. On verra que son unité est le radianpar seconde ([ω0] = rad.s−1), le radian étant une unité sans dimension.
2.2.6. Position d’équilibre
Un système mécanique occupe une position d’équilibre si sa vitesse et son accélération y sont nulles.Cherchons à l’aide de l’équation différentielle précédente la position d’équilibre xM ,e du point M . Enannulant l’accélération du point M , on obtient :
xM ,e = `0.
À retenir.
Le point M possède donc une seule position d’équilibre qui correspond à sa position lorsque le ressorta une longueur égale à sa longueur à vide.
2.2.7. Changement de variable : allongement du ressort
Posons x = xM −xM ,e , soit x = xM −`0. x est l’allongement du ressort. Réaliser ce changement de variablerevient à changer l’origine du repère en la plaçant de telle sorte qu’elle coïncide avec le point M lorsqu’ilse trouve dans sa position d’équilibre (voir figure 1.6).
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Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
O M#»ex`0
`
0 x
Figure 1.6. Nouvelle origine du repère : repérage de la position du point M via l’allongement.
À retenir.
L’allongement x = xM − xM ,e du ressort est une grandeur algébrique : si x > 0, le ressort est étiré et,si x < 0, le ressort est comprimé.
Remarquons ensuite quedxM
dt=
d(x + xM ,e )dt
=dx
dtpuisque xM ,e est une constante. De même,
d2 xM
dt 2=
d2(x + xM ,e )dt 2
=d2 x
dt 2.
2.2.8. Masse accrochée à un ressort : un oscillateur harmonique
Compte tenu du changement de variable précédent, l’équation différentielle se réécrit :
d2 x
dt 2+ω2
0(xM − xM ,e ) = 0, soit :d2 x
dt 2+ω2
0 x = 0.
Il s’agit toujours d’une équation différentielle du deuxième ordre, linéaire, à coefficients constants mais,cette fois, le second membre est nul.
À retenir.
d2 x
dt 2+ω2
0 x = 0 est l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique (non amorti, enrégime libre).
2.3. Évolution du système au cours du temps2.3.1. Fonctions solutions de l’équation différentielle
Une manière de lire l’équation différentielle caractéristique de l’oscillateur harmonique est de dire quel’allongement x est une fonction qui est telle que sa dérivée seconde lui est proportionnelle. « Peu » defonctions présentent cette particularité : on peut songer aux fonctions exponentielles et aux fonctionssinus ou cosinus. Intuitivement, on s’attend à ce que le mouvement du point M soit oscillant autour desa position d’équilibre. On cherche donc x sous la forme d’une fonction périodique.
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Physique-Chimie PTSI
À retenir.
L’allongement s’exprime selon :x (t ) = A cos(ω0t +ϕ),
où :• A est une constante positive, homogène à une longueur (dim A = L), appelée amplitude de x ;• ϕ est une constante, comprise entre −π et π, sans dimension (dimϕ = 1), appelée phase àl’origine des temps de x .
La représentation graphique de cette fonction est donnée dans la figure 1.7.
T0 2T0 3T0 4T0
−A
A
A cosϕT0
T0
0 t
x
Figure 1.7. Représentation graphique des variations de x en fonction de t , avec ϕ = −π/3.Le signe de la valeur de la dérivée à l’instant initial (−ω0A sinϕ) permet de savoir si la fonction
est « initialement » croissante ou décroissante.
À retenir.
t 7→ x (t ) est une fonction périodique de période T0, appelée période propre de l’oscillateur et définiepar :
T0 =2π
ω0.
Cela signifie que le mouvement se reproduit, identique à lui-même, au bout d’une durée multiple entièrede T0. T0 est homogène à un temps (dim T0 = T) et s’exprime en seconde dans le système international([T0] = s). On introduit également la fréquence propre f0 définie par :
f0 =1
T0=ω0
2π.
f0 est homogène à l’inverse d’un temps (dim f0 =T−1) et s’exprime en hertz dans le système international([ f0] =Hz= s−1).
Montrons que cette fonction est bien solution de l’équation différentielle. Commençons par calculer sadérivée première :
dx
dt(t ) =−Aω0 sin(ω0t +ϕ).
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Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
Calculons ensuite sa dérivée seconde en dérivant sa dérivée première :
d2 x
dt 2(t ) =
d
dt
�t 7→ −Aω0 sin(ω0t +ϕ)
�(t ) =−Aω2
0 cos(ω0t +ϕ).
On constate que :
d2 x
dt 2(t ) +ω2
0 x (t ) =−Aω20 cos(ω0t +ϕ) +ω2
0A cos(ω0t +ϕ) = 0.
x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est donc bien solution de l’équation différentielle, quelles que soient les valeurs deA et de ϕ.
−A
A
A cosϕ
0 t
x
0 T0
8
T0
4
3T0
8
T0
2
5T0
8
3T0
4
7T0
8
T0
`0
Figure 1.8. Évolution de la forme du ressort au cours d’une période du mouvement.
2.3.2. Conditions initiales
Reste à savoir quelle(s) valeur(s) donner aux constantes A etϕ afin que la fonction x décrive correctementl’évolution de l’allongement du ressort en fonction du temps.
À retenir.
Les valeurs de A et de ϕ sont imposées par la donnée de conditions initiales, c’est-à-dire, dans notrecas, par la donnée de l’allongement initial x (0) et de la vitesse initiale dx
dt(0).
Posons x (0) = x0 etdx
dt(0) = v0 (ces deux grandeurs sont algébriques). Pour que la fonction x (t ) =
A cos(ω0t +ϕ) convienne, il faut que :(
x (0) = A cosϕ = x0dx
dt(0) =−Aω0 sinϕ = v0
soit
(A cosϕ = x0
A sinϕ =− v0
ω0
.
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Physique-Chimie PTSI
Expression de l’amplitude A Pour déterminer l’expression de A, sommons les égalités précédentes éle-vées au carré :
A2 cos2ϕ+A2 sin2ϕ = x 20 +
�− v0
ω0
�2
,
soit, en utilisant l’identité cos2ϕ + sin2ϕ = 1, A = ±√√√
x 20 +
v 20
ω20
. Conformément à sa définition, nous ne
retenons que la valeur positive de l’amplitude :
A =
√√√x 2
0 +v 2
0
ω20
.
Expression de la phase à l’origine des tempsϕ La phaseϕ est l’angle, compris entre−π etπ, qui vérifie :
cosϕ =x0Æ
x 20 + (v0/ω0)2
sinϕ =− v0/ω0Æx 2
0 + (v0/ω0)2
2.3.3. Quelques conditions initiales particulières
•x0 > 0 et v0 = 0 : x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est solution de l’équation différentielle. Les conditions initialesimposent :
x (0) = A cosϕ = x0
dx
dt(0) =−ω0A sinϕ = 0
Dans ces conditions, sinϕ = 0, ce qui implique que ϕ = 0 ou ϕ = ±π. Or, x0 > 0, ce qui impose quecosϕ > 0. Donc ϕ = 0. On en déduit que x0 = A cos 0= A. Finalement :
x (t ) = x0 cos(ω0t ).
T0 2T0 3T0 4T0
−x0
x0
0 t
x
Figure 1.9. Représentation graphique de x (t )pour x0 > 0 et v0 = 0.
T0 2T0 3T0 4T0
x0
−x0
0 t
x
Figure 1.10. Représentation graphique de x (t )pour x0 < 0 et v0 = 0.
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Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
•x0 = 0 et v0 > 0 : x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est solution de l’équation différentielle. Les conditions initialesimposent :
x (0) = A cosϕ = 0
dx
dt(0) =−ω0A sinϕ = v0
Dans ces conditions, cosϕ = 0, ce qui implique queϕ =±π2
. Or, v0 > 0, ce qui impose que sinϕ < 0. Donc
ϕ =−π2
. On en déduit que A =− v0
ω0 sin(−π/2) = +v0
ω0. Finalement :
x (t ) =v0
ω0cos
�ω0t − π
2
�=
v0
ω0sin(ω0t ).
3. Aspect énergétique3.1. À propos de l’énergieL’énergie est une grandeur omniprésente en physique. Il est pourtant bien difficile d’en donner une défi-nition. Dans le cadre de ce chapitre introductif, retenons les choses suivantes.
À retenir.
• L’énergie est une grandeur physique associée à l’état d’un système : c’est un attribut du sys-tème.
• L’énergie est une grandeur conservative. Cela signifie que l’énergie ne peut être ni créée, nidétruite. Elle ne peut être qu’échangée par transfert entre un système et un autre.
• Il existe différents types d’énergie. Citons l’énergie cinétique Ec , l’énergie potentielle Ep , l’éner-gie mécanique Em , l’énergie interne U , etc.
• Il existe deux types de transfert d’énergie : le travail, qui peut être mécanique, électrique,magnétique, chimique... et le transfert thermique.
3.2. Évolution de l’énergie mécanique du systèmemasse-ressort
Revenons au mouvement qui nous intéresse dans ce chapitre.
À retenir.
Le système constitué par le point M et le ressort (on parle de système masse-ressort) possède :• Une énergie due à sonmouvement que l’on appelle énergie cinétique et qui vaut, par définition :
Ec =1
2m v 2.
• Une énergie due à la déformation du ressort que l’on appelle énergie potentielle élastique etqui vaut, par définition,
Ep ,e =1
2k (`− `0) =
1
2k x 2.
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Physique-Chimie PTSI
RemarqueLa dimension d’une énergie (quelle qu’elle soit) se détermine facilement par la formule définissant l’éner-gie cinétique :
dimE= dim�
1
2m v 2
�= dim m (dim v )2 =M(LT−1)2 =ML2T−2.
L’unité d’énergie est le joule ([E] = J = kg.m2.s−2).
L’énergie mécanique Em du système masse-ressort s’écrit, par définition :
Em = Ec +Ep ,e ,
soit :
Em =1
2m v 2+
1
2k x 2.
En utilisant les expressions de x et de v établies précédemment, on a :
Em =1
2m [−ω0A sin(ω0t +ϕ)]2+
1
2k [A cos(ω0t +ϕ)]2,
soit, en se rappelant queω0 =
√√ k
m:
Em =1
2m
k
mA2 sin2(ω0t +ϕ) +
1
2k A2 cos2(ω0t +ϕ) =
1
2k A2.
À retenir.
On constate que l’énergie totale du système masse-ressort est une constante au cours du temps (voirfigure 1.11). Sa valeur est imposée par les conditions initiales :
Em =1
2m v 2
0 +1
2k x 2
0 .
T0
1
2k A2
1
2k A2 cos2ϕ
0 t
Em
Ec
Ep
Figure 1.11. Évolution temporelle des énergies cinétique et potentielle élastique : la somme deces énergies est une constante.
32
Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
COUR
S
RemarqueL’énergie totale d’un système ne peut varier que s’il y a échange d’énergie avec l’extérieur du système. Ily a deux possibilités pour que l’énergie totale reste constante : soit il n’y a pas d’échange d’énergie avecl’extérieur, soit il y a des échanges qui se compensent. Nous montrerons dans un chapitre ultérieur que,dans le cas considéré ici, il n’y a pas d’échange d’énergie avec l’extérieur.
4. Validation expérimentaleLe système que nous avons considéré dans ce chapitre est un système modèle. En appliquant les lois dela physique, nous avons prédit son mouvement. Afin de valider expérimentalement cette prédiction, ilest nécessaire de construire un système physique réel s’approchant au plus du système modélisé et deréaliser des mesures sur celui-ci.
La construction d’un système masse-ressort ne présente pas beaucoup de difficultés. Ce qui est moinsaisé, en revanche, c’est de faire en sorte que les frottements soient négligeables. Une méthode consisteraità réaliser l’expérience sur une surface glissante comme de la glace. En laboratoire, on préfère simulerl’absence de frottement en utilisant un dispositif soufflant de l’air sous l’objet : on parle de banc à coussind’air. Le dispositif utilisé est photographié dans la figure 1.12 : la position du mobile est repérée à l’aided’une fourche optique. L’évolution de la position, mesurée en fonction du temps, est représentée dans lafigure 1.13.
Figure 1.12. Dispositif expérimental.
2 4 6
−2 ·10−2
2 ·10−2
0 t (s)
x (m)
Figure 1.13. Nuage de points correspondant àl’acquisition de la position dumobile demasse m = 75±1 gà différents instants de dates régulièrement espacées
(raideur du ressort : k = 0,9±0,1 N.m−1).
On constate qualitativement que le mouvement du mobile est bien oscillant. Afin de vérifier quantita-tivement la compatibilité entre le modèle prévoyant une loi horaire de la forme x (t ) = A cos(ω0t +ϕ)et l’expérience, on peut utiliser un logiciel de modélisation. Le logiciel fournit A = 23,8±0,3 mm, ω0 =202,5±0,2 °.s−1 et ϕ = 212,3±0,9° et donne un « écart expérience-modèle » de 8, 6 %, ce qui est accep-
cette grandeur a été calculée à partir des incertitudes sur les valeurs de k et de m). Elle est compatibleavec la valeur donnée par le logiciel de modélisation. On peut donc conclure que la prédiction du modèleest compatible avec l’expérience.
Poussons la curiosité jusqu’à observer ce qu’il se passe pour une expérience de durée plus longue (voirfigure 1.15). Cette fois, pas besoin de logiciel de modélisation, il suffit de regarder qualitativement l’allure
33
Physique-Chimie PTSI
Figure 1.14. Capture d’écran du logiciel de modélisation(Regressi) : le modèle est en trait plein.
10 20 30
−2 ·10−2
2 ·10−2
0 t (s)
x (m)
Figure 1.15. Nuage de points correspondant à uneacquisition plus longue.
du nuage de points pour conclure qu’une modélisation par une fonction sinusoïdale ne conviendra pas.Le modèle élaboré dans ce chapitre ne sera donc pas compatible avec une expérience de durée pluslongue : il faudra l’adapter en tenant compte, par exemple, des forces de frottements. C’est ce que nousferons dans un chapitre ultérieur.
5. En guise de conclusion : une approche de laméthode du physicien
La physique est une science expérimentale qui repose sur des allers-retours constants entre théorie etexpérimentation. Ces interactions peuvent grosso modo se répartir en trois niveaux de conceptualisationet d’abstraction.
Approche qualitative Des phénomènes naturels sont observés et identifiés. L’expérimentation joue unrôle d’investigation et d’exploration en recensant les propriétés qualitatives des phénomènes. Lesmodèles permettent éventuellement d’identifier des phénomènes en se fondant sur des théoriesdéjà connues et permettent de concevoir et d’interpréter les expériences.
Approche quantitative Les propriétés observées et leurs corrélations suggèrent des relations entre pro-priétés. L’expérience permet d’élaborer des modèles en mesurant quantitativement les propriétésdes phénomènes observés.
Approche théorique L’interprétation des phénomènes est généralisée à d’autres phénomènes semblables(éventuellement pas encore observés). La théorie guide l’expérience. Les expériences jouent le rôlede justification a posteriori de la théorie, testent la validité de la prédiction du modèle et prouventl’existence d’objets prédits par la théorie.
34
FICHE
SYNTHÈSELoi de Hooke
La force de rappel qu’un ressort exerce sur le point M est donnée par la loi de Hooke : #»F =−k (`−
`0)#»ex , où k est la raideur du ressort, `0 sa longueur à vide, ` sa longueur et #»ex un vecteur unitaire
orienté de l’autre extrémité du ressort vers le point M .
Dans le cas d’un point matériel de masse constante se déplaçant le long d’un axe (O , #»ex ), la deuxième
loi de Newton s’écrit simplement : md2 xM
dt 2= Fx , où xM est l’abscisse du point M et Fx la composante
(algébrique) selon #»ex de la résultante des forces s’exerçant sur M .
Pulsation, période et fréquences propres du système masse-ressort
La pulsation propre ω0 associée au mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de raideur
k vaut : ω0 =
√√ k
m. On définit aussi la période propre T0 =
2π
ω0et la fréquence propre f0 =
ω0
2π.
La position d’équilibre d’un point M accroché à un ressort horizontal et ne subissant pas de frottementcorrespond à la position qu’il occupe lorsque le ressort n’est ni comprimé ni étiré. L’allongement x duressort est l’écart (algébrique) à cette position d’équilibre.
Équation différentielle de l’oscillateur harmonique
Le système masse-ressort horizontal non amorti est un oscillateur harmonique. L’allongement x est
solution de l’équation différentielle :d2 x
dt 2+ω2
0 x = 0, que l’on obtient à l’aide de la deuxième loi deNewton.
Solutions de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme : x (t ) = A cos(ω0t+ϕ), où A est l’amplitude(positive) du mouvement et ϕ la phase à l’origine du temps.Les valeurs de A et de ϕ sont déterminées en utilisant les conditions initiales, c’est-à-dire les valeursde x et de v à l’instant de date t = 0.
Aspect énergétique du système masse-ressort horizontal
L’énergie mécanique Em du système masse-ressort horizontal est la somme de son énergie cinétiqueEc =
1
2m v 2 et de son énergie potentielle élastique Ep ,e =
1
2k x 2.
L’énergie mécanique est constante au cours du mouvement.
35
EXERCICES
Vrai ou faux ?Vrai Faux
a) La force de rappel exercée par un ressort est constante. � �
b) Considérons le schéma suivant représentant une force#»F .
#»ex
#»F = Fx
#»ex
On a : Fx < 0.
� �
c) La pulsation propre d’un système masse-ressort est définie par
ω0 =
√√ k
m.
� �
d) L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique s’écrit :dx
dt+ω0 x = 0.
� �
e) La solution générale de l’équation différentielle vérifiée par unoscillateur harmonique peut s’écrire sous la formex (t ) = A sin(ω0t +ϕ).
� �
f) Si x (0) = x0 et v (0) = 0, avec x0 < 0, alors l’allongement du ressort peuts’écrire sous la forme x (t ) = x0 cos(ω0t ).
� �
g) La position d’un point M accroché à un ressort est donnée par
xM (t ) = `0 +A sin�
2π f0t +π
3
�. Cela revient à la même chose d’écrire
xM (t ) = `0 +A cos�
2πt
T0+π
3
�.
� �
h) Si l’amplitude du mouvement d’un système masse-ressort estmultipliée par deux, son énergie mécanique est multipliée par quatre.
� �
Exercices d’application du chapitre 1
Exercice 1 Voir plus loin « Aide à la résolution » 5 min.On considère un système masse-ressort. On adopte les notations de la figure 1.6. On note x l’allongementet #»a = ax
#»ex l’accélération du mobile. Représenter graphiquement les variations de ax en fonction de x .
36
Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
Exercice 2 Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.Un dispositif a réalisé l’acquisition de l’allongement d’un ressort au cours du temps. Les résultats sontprésentés graphiquement dans la figure 1.16.
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4
−5
0
5
P1
P2
P3
P4
t (min)
x(c
m)
Figure 1.16. Évolution temporelle de la position d’un oscillateur.
1. On cherche à exprimer l’allongement sous la forme x (t ) = A sin(2π f0t +ϕ). Déterminer graphique-ment les valeurs numériques de A, f0 et ϕ.
2. Représenter le système masse-ressort aux instants correspondant aux points P1, P2, P3 et P4. Repré-senter qualitativement les vecteurs vitesse et accélération.
Exercice 3 Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.Un système masse-ressort a un mouvement dont l’amplitude est de 12,3±0,5 cm et la période de 1,2±0,1 s.À l’instant de date t1, on mesure son énergie cinétique et son énergie potentielle. On trouve Ec (t1) =1,2±0,1 ·10−1 J et Ep ,e (t1) = 4,2±0,1 ·10−1 J. Les incertitudes données sont les estimations de type B desincertitudes-types sur les grandeurs, associées à une loi rectangulaire de densité de probabilité. Détermi-ner les meilleures estimations de la masse et de la constante de raideur ainsi que l’intervalle de confianceà 95 % associé. On pourra se servir du logiciel gum_mc, téléchargeable gratuitement à l’adresse http://jeanmarie.biansan.free.fr/gum_mc.html.
Exercices d’approfondissement du chapitre 1
Exercice A Voir plus loin « Aide à la résolution » 10 min.La figure 1.17 présente l’astronaute Tamara Jernigan en train d’utiliser un BMMD (Body Mass Measu-rement Device) au cours d’une mission en orbite autour de la Terre. Il s’agit essentiellement d’un siègepouvant se translater vers l’avant ou vers l’arrière et lié au bâti par des ressorts. Quel est l’intérêt d’un teldispositif ? On pourra consulter avec profit la page du site du CNES suivante : https://cnes.fr/fr/quest-ce-que-limpesanteur.
Exercice B Voir plus loin « Aide à la résolution » 5 min.L’élongation x d’un ressort est donnée (en centimètres) par : x (t ) = 5, 0 cos(2π× 0, 5× t )− 3, 2 sin(2π×0, 5× t ), où t est en secondes.
37
EXER
CICES
Physique-Chimie PTSI
Figure 1.17. Tamara Jernigan assise dans son BMMD.
1. Quelle est la fréquence du mouvement ?2. Déterminer les expressions de la vitesse vx et de l’accélération ax .
Exercice C Voir plus loin « Aide à la résolution » 30 min.
#»ex
−L/2 L/2−`/2 `/20
GM1 M2
O1
O2
`
L
a. Schématisation du dispositif à l’équilibre.
#»ex
−L/2 L/2xG − `/2 xG + `/2xG
0
GM1 M2
O1
O2
`1 ` `2
L
b. Schématisation du dispositif.
Figure 1.18. Masse accrochée à deux ressorts.
On considère le dispositif constitué par un mobile de masse m = 51 g, posé sur un banc à « coussin d’air »et accroché à deux points fixes O1 et O2 par l’intermédiaire de deux ressorts R1 et R2 de caractéristiquesidentiques. On note k leur raideur et `0 leur longueur à vide. Lorsque la soufflerie du banc à coussind’air est en fonctionnement, on admet que tout se passe comme si le mobile n’était soumis qu’à l’actionmécanique des ressorts. Le mouvement du mobile est rectiligne selon la direction
# »
O1O2.
Les notations sont introduites sur les schémas des figures 1.18a et 1.18b. On repère la position du mobilepar la position de son centre d’inertie G . L’origine du repère est prise lorsque le point G se trouve aumilieu du banc, les ressorts ayant alors la même longueur (voir figure 1.18a).
1. a. Exprimer la force#»F1 exercée par le ressort R1 sur le mobile en fonction de `1, `0, k et #»ex . En
déduire son expression en fonction de k , xG , `, L , `0 et #»ex .b. Exprimer de même la force
#»F2 exercée par le ressort R2 sur le mobile en fonction de `2, `0, k
et #»ex . En déduire son expression en fonction de k , xG , `, L , `0 et #»ex .2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par xG peut s’écrire sous la forme :
d2 xG
dt 2+ω2
0 xG =ω20 xG ,e .
38
Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
On précisera les expressions deω0 et de xG ,e .3. a. Montrer que la fonction xG (t ) = A cos(ω0t ) + B sin(ω0t ), où A et B sont deux constantes
réelles, est solution de l’équation différentielle. Préciser la dimension de A et de B .
b. On pose xG (0) = x0 etdxG
dt(0) = v0. Déterminer les expressions de A et de B en fonction de x0,
v0 et/ouω0. Vérifier la dimension de B .4. On admet que l’énergie potentielle élastique associée au système constitué par le mobile et les
deux ressorts peut s’écrire :Ep = k x 2
G .
Montrer que l’énergie mécanique du système est constante et exprimer cette constante en fonctionde x0, v0, m et k .
1 2 3
−5 ·10−2
5 ·10−2
0 t (s)
xG (m)
Figure 1.19. Variation de la position du mobile au coursdu temps.
0, 5 1 1, 5 2
−0, 4
−0, 2
0, 2
0, 4
F1
F2
F
0 t (s)
(N)
Figure 1.20. Variations des forces et de leur résultanteau cours du temps.
5. Les figures 1.19 et 1.20 présentent certaines mesures effectuées au cours de l’acquisition ou qui ensont déduites.
a. Déterminer graphiquement les valeurs de x0 et de T0.b. En déduire une mesure de la raideur des ressorts.c. On note
#»F1 = F1
#»ex ,#»F2 = F2
#»ex ,#»F =
#»F1+
#»F2 = F #»ex . La figure 1.20 présente l’évolution de F1, F2 et
F au cours de l’acquisition.
2 4 6 8 10
−5 ·10−2
5 ·10−2
0 t (s)
xG (m)
Figure 1.21. Évolution au cours du temps de l’abscisse xG du point G sur un intervalle de 10 s.
39
EXER
CICES
Physique-Chimie PTSI
Déterminer l’abscisse de la position d’équilibre. Pour quelle raison le mobile ne reste-t-il pasdans sa position d’équilibre lorsqu’il y passe ?
d. Sur un schéma, positionner le mobile, les ressorts et en représenter les vecteurs-force#»F1 et
#»F2
à l’instant de date 0,5 s. On ne tiendra compte que du signe de xG et pas de sa valeur précise. Onintroduira une échelle de représentation des vecteurs force. Représenter, sans souci d’échelle,les vecteurs vitesse et accélération (on précisera la méthode utilisée pour déterminer le sensde ces vecteurs).
e. La figure 1.21 présente l’évolution de l’abscisse du point G sur un intervalle de temps pluslong.
i. Qu’observe-t-on ? Comment peut-on le justifier ?ii. Le logiciel de traitement de données propose la modélisation suivante :
xG (t ) = e−t /τ[A cos(ω0t ) +B sin(ω0t )].
Conclure quant à la validité du modèle choisi dans ce problème pour décrire la situationexpérimentale envisagée.
40
AIDE À LA RÉSOLUTIONDES EXERCICES
Exercices d’application du chapitre 1Exercice 1Il s’agit d’écrire l’équation différentielle vérifiée par x et d’utiliser la définition du vecteur accélération.
Exercice 2La figure donne accès à une mesure graphique de la période et de l’amplitude de x (t ). Le signe et la valeurde la vitesse s’obtient à l’aide des tangentes au graphe de x en fonction de t . L’accélération est liée defaçon simple à la position (voir l’exercice 1).
Exercice 3L’énergie mécanique s’exprime en fonction de k et de A. La meilleure estimation d’une grandeur est appe-lée « Estimateur » dans gum_mc. Consulter l’aide à la page : http://jeanmarie.biansan.free.fr/telechargement/lazarus/gum_mc/aide/Aide_GUM_MC.html.
Exercices d’approfondissement du chapitre 1Exercice APenser à une méthode indirecte de mesure de la masse.
Exercice BLa solution x (t ) de l’équation différentielle peut s’exprimer de plusieurs façons, en particulier sous laforme x (t ) = A cos(ω0t ) +B sin(ω0t ). Attention aux unités.
Exercice CAttention à l’orientation du ressort fixé en O2 : vérifier physiquement l’expression proposée de
#»F2.
41
CORRIGÉSCorrigés des Vrai/Fauxa) Faux. La force de rappel exercée par un ressort est une fonction affine de sa longueur (ou une fonctionlinéaire de son allongement).
b) Faux.#»F a le même sens que #»ex : Fx > 0.
c) Vrai.
d) Faux. L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique est du deuxième ordre :d2 x
dt 2+ω2
0 x = 0.
e) Vrai.
f) Vrai. Néanmoins on préfère prendre une amplitude positive et introduire un déphasage : x (t ) =−x0 cos(ω0t ±π).g) Faux. Cela revient au même d’écrire xM (t ) = `0+A sin
�2πt
T0+π
3
�ou bien xM (t ) = `0+A sin
�2π f0t +
π
3
�.
h) Vrai. L’énergie mécanique est proportionnelle à l’amplitude du mouvement au carré.
Corrigés des exercices d’applicationdu chapitre 1Exercice 1La deuxième loi de Newton appliquée à la masse s’écrit m #»a =
#»F où
#»F =−k (`−`0)
#»ex =−k x #»ex . Le mouve-
ment étant rectiligne, on a #»a = ax#»ex . Ainsi, max =−k x , soit ax =−
k
mx , soit, en introduisant la pulsation
propre :ax =−ω2
0 x .
On en déduit que ax : x 7→ −ω20 x est une fonction linéaire de x de pente −ω2
0. Voir la figure 1.22 pour sareprésentation graphique.
Exercice 21. On mesure, sur la figure 1.23, 2T0 = 0, 42− 0, 02 = 0,40 min, soit T0 = 0,20 min = 12 s et 2A = 8− (−8) =
16 cm, soit A = 8 cm. On en déduit f0 =1
T0, soit f0 = 8,3 ·10−2 Hz. À l’instant initial, x (0) = 6 cm. Or, x (0) =
A sinϕ, soit sinϕ =x (0)
A=
6
8=
3
4.
2. Voir les figures 1.24.
42
CORR
IGÉS
Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
−ω20
0 x
ax
Figure 1.22. Variations de ax en fonction de x .
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4
−5
0
5
P1
P2
P3
P4
2T0
2A
t (min)
x(c
m)
Figure 1.23. Détermination graphique des paramètresde l’oscillateur harmonique.
O M
0x#»v
#»a
a. Position P1.
O M
0x
#»v #»a
b. Position P2.
O M
0 x
#»v#»a
c. Position P3.
O M
0 x#»v
#»a
d. Position P4.
Figure 1.24. Vecteurs vitesse et accélération pour différentes positions de la masse.
Exercice 3L’énergie mécanique du système masse-ressort est constante. On a montré que Em =
1
2k A2. Or, par défi-
nition, Em = Ec + Ep ,e . On en déduit que k =2[Ec (t1) +Ep ,e (t1)]
A2. Par ailleurs, T0 =
2π
ω0= 2π
sm
k, soit
m =k T 2
0
4π2. Afin de déterminer les meilleures estimations ainsi que les incertitudes associées, on utilise le
logiciel gum_mc. Il donne k = 7±2 ·101 N.m−1 et m = 2,6±0,1 kg.
Corrigés des exercices d’approfondissementdu chapitre 1Exercice AL’astronaute se trouvant en orbite autour de la Terre est en impesanteur : l’utilisation d’une balance afinde mesurer la masse est impossible. Le BMMD permet de mesurer indirectement la masse en mesurant
la période des oscillations du système astronaute-siège-ressorts : T0 =2π
ω0= 2π
pmk , soit m =
k T 20
4π.
43
Physique-Chimie PTSI
Exercice B1. L’allongement est exprimé sous la forme x (t ) = λcos(2π f t ) + µsin(2π f t ). Par identification, on af = 0,5 Hz (t étant en secondes).
2. La vitesse est la dérivée première de la position : vx =dxM
dt. Or, la position est égale, à une constante
additive près s’annulant après dérivation, à l’élongation : xM = `0+ x . Donc, vx (t ) =dx
dt(t ) =−5, 0×2π×
0, 5 sin(2π×0, 5× t )−3, 2×2π×0, 5 cos(2π×0, 5× t ) =−5, 0πsin(2π×0, 5× t )−3, 2πcos(2π×0, 5× t ) (enm.s−1).L’accélération est la dérivée seconde de la position, ce qui correspond à la dérivée première de la vitesse :
ax =dvx
dt. Ainsi, ax (t ) =−5, 0π2 cos(2π×0, 5× t ) +3, 2π2 sin(2π×0, 5× t ) (en m.s−2).
RemarqueIl est aussi possible de remarquer que, d’une part, ω0 = 2π× 0, 5 (en rad.s−1) et, d’autre part, que ax =−ω2
0 x d’après la deuxième loi de Newton. Ainsi, ax =−(2π×0, 5)2[5, 0 cos(2π×0, 5×t )−3, 2 sin(2π×0, 5×t )](en m.s−2). On retrouve bien entendu le même résultat.
Exercice C
1. a. D’après la loi de Hooke,#»F1 = −k (‖# »
O1M1‖ − `0)# »
O1M1
‖# »
O1M1‖. Or
# »
O1M1
‖# »
O1M1‖= #»ex et ‖# »
O1M1‖ = `1. Donc
#»F1 =−k (`1− `0)
#»ex .
Par ailleurs, `1 = |xM1− xO1
|= xM1− xO1
=�
xG −`
2
�− −L
2= xG −
`
2+
L
2.
Ainsi,#»F1 =−k
�xG −
`
2+
L
2− `0
�#»ex .
b. D’après la loi de Hooke,#»F2 = −k (‖# »
O2M2‖− `0)# »
O2M2
‖# »
O2M2‖. Or
# »
O2M2
‖# »
O2M2‖= −#»ex et ‖# »
O2M2‖ = `2. Donc#»F2 =
+k (`2− `0)#»ex .
Par ailleurs, `2 = |xM2−xO2
|=−(xM2−xO2
) =−�
xG +`
2
�+
L
2=−xG− `2+
L
2. Ainsi,
#»F2 = k
�−xG − `2 +
L
2− `0
�#»ex .
2. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen dans les conditions de l’expérience. Onétudie le système constitué par le mobile. Étant donné les hypothèses formulées dans l’énoncé, les seulesactions mécaniques à considérer sont les forces de rappel
#»F1 et
#»F2. De plus, le mouvement étant rectiligne
dans la direction# »
O1O2 colinéaire à #»ex , les vecteurs position, vitesse et accélération s’écrivent# »
OG = xG#»ex ,
#»v =dxG
dt#»ex et #»a =
d2 xG
dt 2#»ex . La deuxième loi de Newton donne m #»a =
#»F1+
#»F2, soit, en ne retenant que les
composantes selon #»ex :
md2 xG
dt 2=−k
�xG −
`
2+
L
2− `0
�+k
�−xG −
`
2+
L
2− `0
�,
soit après simplification et réarrangement :
d2 xG
dt 2+
2k
mxG = 0.
On obtient bien la forme demandée en posantω0 =
√√2k
met xG ,e = 0.
3. a. Calculons d’abord la dérivée de xG :dxG
dt(t ) =−Aω0 sin(ω0t )+Bω0 cos(ω0t ). Calculons ensuite la
dérivée seconde de xG :d2 xG
dt 2(t ) =
d
dt
�dxG
dt
�=−Aω2
0 cos(ω0t )−Bω20 sin(ω0t ). On constate que
d2 xG
dt 2=
44
CORR
IGÉS
Chapitre 1 – Oscillateur harmonique
−ω20 xG (t ), ce qui signifie que xG est bien solution de l’équation différentielle
d2 xG
dt 2+ω2
0 xG = 0.
A et B sont homogènes à une longueur. En effet, une égalité, pour être homogène, doit avoir ses deuxmembres de même dimension. Or dim xG = L. Donc A cos(ω0t ) et B sin(ω0t ) sont homogènes à unelongueur. Or, les fonctions cos et sin sont sans dimension. Ainsi, dim A = dim B = L.
b. xG (0) = A cos(0) +B sin(0) = A. Donc A = x0.dxG
dt(0) = Bω0 cos(0) = Bω0. Donc Bω0 = v0, soit B =
v0
ω0.
On a dim B =dim v0
dimω0=
LT−1
T−1= L, ce qui est cohérent.
4. Par définition,Em = Ec+Ep . Or, d’une part, par définition,Ec =1
2m�
dxG
dt
�2
, soitEc (t ) =1
2m [−x0ω0 sin(ω0t )+
v0 cos(ω0t )]2, soit :
Ec (t ) =1
2m�x 2
0ω20 sin2(ω0t )−2x0ω0v0 sin(ω0t )cos(ω0t ) + v 2
0 cos2(ω0t )�
.
D’autre part, Ep = k x 2G , soit Ep (t ) = k
�x0 cos(ω0t ) +
v0
ω0sin(ω0t )
�2
, soit :
Ep (t ) = k
�x 2
0 cos2(ω0t ) +2x0v0
ω0cos(ω0t )sin(ω0t ) +
v 20
ω20
sin2(ω0t )
�.
En utilisant le fait queω0 =
√√2k
m, on a alors
Em (t ) =1
2m x 2
0
2k
msin2(ω0t )− 1
2m2x0
√√2k
mv0 sin(ω0t )cos(ω0t ) +
1
2m v 2
0 cos2(ω0t )
+k x 20 cos2(ω0t ) +2k x0v0
sm
2kcos(ω0t )sin(ω0t ) +k v 2
0
m
2ksin2(ω0t ),
soit
Em = k x 20 [sin2(ω0t ) + cos2(ω0t )]+
1
2m v 2
0 [cos2(ω0t ) + sin2(ω0t )]
+ (−x0v0
p2k m + x0v0
p2k m )cos(ω0t )sin(ω0t ),
soit finalement, compte tenu de l’identité trigonométrique cos2 θ + sin2 θ = 1 :
Em (t ) =1
2m v 2
0 +k x 20 .
L’énergie mécanique est donc constante.5. a. On obtient x0 par lecture de la valeur de xG à l’instant initial : x0 =−5,8 cm. On mesure 3T0 = 2,4 s,soit T0 = 0,8 s.
b. Par définition,ω0 =2π
T0. De plus,ω0 =
√√2k
m, soit k =
2π2m
T 20
. On en déduit que k =2× (3, 14)2×50 ·10−3
(0, 8)2'
1,5 N.m−1.c. i. La position d’équilibre correspond à une résultante des forces nulle. On constate, par exemple, queF (0,2 s) = 0. On en déduit que la position d’équilibre a pour abscisse xG (0,2 s) = 0.ii. On constate que la pente de la tangente à la courbe (extrapolée) représentative de xG (t ) en t = 0,2 sn’est pas nulle. Cela signifie que la vitesse n’est pas nulle : le mobile passe par sa position d’équilibre maisne s’y immobilise pas.d. À t = 0,5 s, on lit graphiquement que F1 = −0,36 N et que F2 = 0,2 N : |F1|> F2. En raison de leur signe,les deux forces sont de sens opposés. Par ailleurs, on lit xG (0,5 s) = 3,2 cm : le mobile se trouve à droitedu point O . La vitesse correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative de xG (t ). Or, à
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Physique-Chimie PTSI
t = 0,5 s, cette pente est négative : le mobile se déplace vers les xG décroissants (#»v a un sens opposé à #»ex ).Enfin, d’après la deuxième loi de Newton, l’accélération est colinéaire, de même sens que la résultantedes forces. Or, F =−0,15 N < 0 : l’accélération a un sens opposé à #»ex .e. i. On constate que l’amplitude diminue avec le temps. Cela peut s’expliquer par la présence de frot-tements.ii. Le modèle n’est pas compatible avec l’expérience, si cette dernière dure trop longtemps. On ne peutplus alors négliger les frottements. Le modèle semble en revanche compatible pour les expériences decourte durée.
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www. .fr
ISBN : 978-2-311-40687-0
SCIENTIFIQUES
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MathsOlivier Coulaud
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