Schriftenreihe - GESIS: Home · fouxjdlvoh efs gf .pefmmf jo efo wfshbohfofo g¼og[jh +bisfo "ctdimjf foe xjse ejf #FEFVUVOH EFT .PEFMMT NJU FJOFS #FEBSGTBOBMZTF EFS "SUJLFM EFS XJDIUJHTUFO

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Schriftenreihe

ISBN 978-3-86819-020-5ISSN 1869-2869

19,- EUR

Band 11

fem

logi

tBa

nd 1

1

femlogitImplementation und Anwendung der multinominalen logistischen Regression mit „fixed effects“

Klaus Pforr

Fixed-effects-Modelle sind zu einem wichtigen Werkzeug der Kausalanalyse geworden, da sie die Kontrolle von un-beobachteter Heterogenität ermöglichen. Bis heute wurden fixed-effects-Modelle für kontinuierliche und dichotome abhängige Variablen entwickelt und für viele Statistikpakete implementiert. Für multinominale abhängige Variable wurde von Chamberlain (1980) ein solches Modell entwickelt, es liegt aber keine allgemein anwendbare Umsetzung vor. Die vorliegende Arbeit schließt diese Forschungslücke mit der ersten Umsetzung des Modells von Chamberlain in einem weitverbreiteten Statistikpaket (Stata). Die Anwendbarkeit wird durch Erweiterungen der Arbeiten von Schröder (2010) im Bereich der Familiensoziologie und Kohler (2005) im Bereich der politischen Soziologie gezeigt.

Fixed effects models have become a prime tool for causal analysis, as they allow to control for unobserved hetero-geneity. As of today, fixed effects models have been derived and implemented for many statistical software packages for continuous, dichotomous and count-data dependent variables. For multinomial categorical dependent variables such a model has been derived in a seminal paper by Chamberlain (1980), but no implementation is available. The dis-sertation on hand closes this research gap by delivering the first implementation of Chamberlain’s model in a widely available statistical package (Stata). Its applicability is shown by extending Schröder’s (2010) work in the sociology of the family and Kohler’s (2005) work in political sociology.

femlogit: Implementation und Anwendung der multinominalen logistischen Regression mit „fixed effects“

GESIS-Schriftenreiheherausgegeben von GESIS – Leibniz-Institut für Sozialwissenschaften

Band 11

Klaus Pforrfemlogit: Implementation und Anwendung der multinominalen logistischen Regression mit „fixed effects“

Die vorliegende Arbeit wurde von der Fakultät für Sozialwissenschaften der Universität Mann-heim als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Sozialwissen-schaften (Dr. rer. soc.) angenommen.

Dekan: Prof. Dr. Michael Diehl

1. Gutachter: Prof. Dr. Josef Brüderl

2. Gutachter: PD Dr. Henning Best

Vorsitzender der Prüfungskommision: Prof. Dr. Frank Kalter

Tag der Disputation: 09. Oktober 2012

Klaus Pforr


GESIS – Leibniz-Institut für Sozialwissenschaften 2013

Bibliographische Information Der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbi-bliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN 978-3-86819-020-5 ISSN 1869-2869

Herausgeber, Druck u. Vertrieb: GESIS – Leibniz-Institut für Sozialwissenschaften Unter Sachsenhausen 6-8, 50667 Köln, Tel.: 0221 / 476 94 - 0 [email protected] Printed in Germany

©2013 GESIS – Leibniz-Institut für Sozialwissenschaften, Köln. Alle Rechte vorbehalten. Insbesondere ist die Überführung in maschinenlesbare Form sowie das Speichern in In-formationssystemen, auch auszugsweise, nur mit schriftlicher Einwilligung von GESIS gestattet.

vi GESIS-Schriftenreihe | Band 11

Klaus Pforr

GESIS-Schriftenreihe | Band 11 vii

Implementation und Anwendung der multinominalen logistischen Regression mit „fixed effects“

viii GESIS-Schriftenreihe | Band 11

Klaus Pforr

GESIS-Schriftenreihe | Band 11 ix


GESIS-Schriftenreihe | Band 11 1


yit = f(αi, xit, β, ǫit) yitxit β

i = 1, . . . , N

t = 1, . . . , T

2 GESIS-Schriftenreihe | Band 11

Klaus Pforr

αi

ǫit

αi

t




Klaus Pforr



ǫni i


Klaus Pforr

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

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An

teil

(P

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)

1970 1980 1990 2000 2010

Erscheinungsjahr




Klaus Pforr

αi



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0,5

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1970 1980 1990 2000 2010

Erscheinungsjahr




Klaus Pforr




Klaus Pforr

⇒

(1, 2, 3)(1, 3, 2)(2, 1, 3)(2, 3, 1)(3, 1, 2)(3, 2, 1)

1 2



2 3 1, 2, 3


Klaus Pforr







N J

B ∈ {1, . . . , J} J

i yi

y =

y1

yN

y∗jM xim

xim m


Klaus Pforr

i M Xi =

(xi1, . . . , xiM )

X =

X1

XN

=

x11 . . . x1M

xN1 . . . xNM

Xi

N i i = 1, . . . , N Ti

J

B ∈ {1, . . . , J}

J i yi i

t yit

yi =

yi1

yiTi

y =

�y11, . . . , y1T1

, y21, . . . , y2T2, . . . , yN1, . . . , yNTN

�′

y∗itj

M xitm

xitm m

i t m

Xit Xi X

Xit (xit1, . . . , xitM ) Xi

Xi =

xi11 . . . xi1M

xiTi1 . . . xiTiM

X =

x111 . . . x11M

x1T11 . . . x11M

xN11 . . . xN1M

xNTN1 . . . xNTNM



Ti = 1 i yit yi1 xitm

xi1m Xit Xi1 t

yi1 xi1m Xi1 yi xim Xi

i j αij

αj

m j βjm

j

βj = (βj1, . . . , βjM )

β = (β11, . . . , βJM ) αj β

(α, β)

β β

α

ǫij ǫitj

i j i j

t


Klaus Pforr

J j ∈ {1, . . . , J}

y∗j = αj +Xβ′j + ǫj

j j ∈ {1, . . . , J}

y∗j xm ǫj αj βjm



ǫj

∀j ∈ {1, . . . , J} : ǫj ∼ (ǫj) = γ (ǫj) =π2

6

π2/6

∀j ∈ {1, . . . , J} : (y = j) = (y∗j >k �=j

y∗k)

∀j ∈ {1, . . . , J} : fǫj |X = fǫj

∀j, k ∈ {1, . . . , J} : ǫj ⊥ ǫk

FX(x) = (− (−(x− µ)/σ)) (X) = µ+ σγ (X) = (π2/6)σ2 γ


Klaus Pforr

J = 2

B

αB = βB1 = · · · = βBM = 0

X

(X ′X) = M

(yi, Xi)i=1,...,N N

∀i, j ∈ {1, . . . , N} :

f(yi,Xi)(·) = f(yj ,Xj)(·)

f(yi,Xi)(·) ⊥ f(yj ,Xj)(·)



j y∗j

(y = j) = (y∗j ≥k �=j

y∗k) = (0 ≥k �=j

y∗k − y∗j )

y∗j ∼ (y∗j ) = γ + αj +Xβ′j (y∗j ) =

π2

6

y∗j y∗k

∗ =k �=j

y∗k ∼

(∗) = γ +∑

k �=j

(αk +Xβ′k)

(∗) =π2

6

∗ =k �=j

y∗k − y∗j ∼

F∗(x) =1

1 + (−(x− ((∑

k �=j (αk +Xβ′k))− (αj +Xβ′

j))))

=1

1 + (∑

k �=j (αk +Xβ′k)− αj +Xβ′

j − x)


Klaus Pforr

=1

1 +∑

k �=j (αk+Xβ′k)

(αj+Xβ′j+x)

=(αj +Xβ′

j + x)

(αj +Xβ′j + x) +

∑k �=j (αk +Xβ′

k)

=(αj +Xβ′

j + x)∑J

k=1 (αk +Xβ′k)

= Fk �=j y∗

k−y∗

j(x)

j

(y = j) = (y∗j ≥k �=j

y∗k) = (0 ≥k �=j

y∗k − y∗j ) =

= Fk �=j y∗

k−y∗

j(0) =

(αj +Xβ′j)∑J

k=1 (αk +Xβ′k)

(y = j) =(αj +Xβ′

j)

1 +∑

k �=B (αk +Xβ′k)

j �= B

(y = B) =1

1 +∑

k �=B (αk +Xβ′k)

J = 2

(yi, Xi)i=1,...,N N



ℓi(α, β) i

fyi|Xi,α,β

ℓi(α, β) = fyi|Xi,α,β =

J∏

j=1

(yi = j|Xi, α, β)δyi,j

(α, β) = ( ℓi(α, β)) =1

N

N∑

i=1

J∑

j=1

δyi,j (yi = j|Xi, α, β)

(α, β)

(α, β)

(α, β) =(α,β)

(α, β)

(α, β)p−→ (α, β)

(α, β)d−→ N

((α, β),

− ( i(α, β))−1

N

)

( i(α, β))

( i(α, β)) =1

N

N∑

i=1

∂2 ℓi(α, β)

∂(α, β)′∂(α, β)

∣∣∣∣(α,β)

δa,b δa,b = 1a = b δa,b = 0 a �= b


Klaus Pforr

Xm

(y = j)

Xm

j

Xm,j =∂ (y = j)

∂Xm

∣∣∣∣X

= (y = j|X)

(βjm −

∑

k �=B

βkm (y = k|X)

)

0 = B 1 Xm 1

βm (y = 1|X)(1− (y = 1|X)

)

Xm

j Xm

Xm,j = (y = j|X1, . . . , Xm−1, Xm + 1, Xm+1, . . . , XM )

− (y = j|X)

Xm

j βjm

Xm

X1 XM

Xm j

Xm,j =∂ (y = j)

∂Xm

∣∣∣∣X



= (y = j|X)

(βjm −

∑

k �=B

βkm (y = k|X)

)

0 = B 1

Xm 1

∂ (y = 1)

∂Xm

∣∣∣∣X

= βm (y = 1|X)(1− (y = 1|X)

)

Xm j

Xm,j = (y = j|X1, . . . , Xm−1, Xm + 1, Xm+1, . . . , XM )

− (y = j|X)

Xm

j

Xm,j =1

N

N∑

i=1

∂ (y = j)

∂Xm

∣∣∣Xi

=1

N

N∑

i=1

((y = j|Xi)

(βjm −

∑

k �=B

βkm (y = k|Xi)

))

0 = B 1 Xm

1

1

N

N∑

i=1

∂ (y = 1)

∂Xm

∣∣∣Xi

= βjm

1

N

N∑

i=1

((y = 1|Xi)

(1− (y = 1|Xi)

))

Xm

Xm,j =1

N

N∑

i=1

((y = j|Xi1, . . . , Xim−1, Xim+1, Xim+1, . . . , XiM )

− (y = j|Xi))


Klaus Pforr

y∗jyj

x/4+1/2

exp(x)/(1+exp(x))

Discrete−change Effekt

Marginaler Effekt

0,0

0,3

0,5

0,8

1,0

−3 −2 −1 0 1 2 3

Xm

(x)/(1 + (x))

Xm

(y = 1|X) Xm

Xm = 0

Xm = 0

1/2

(1)

1 + (1)−

1

2≈ 0, 231



Xm = 0

( (y = j|X − 1)− (y = j|X))/− 1

Xm = 0

Xm = 0 y = x/4+1/2 1/4

( ) =

1/2

j

k

jk(X) =(y = j|X)

(y = k|X)


Klaus Pforr

=

(αj+Xβ′j)

1+∑

l �=B (αl+Xβ′l)

(αk+Xβ′k)

1+∑

l �=B (αl+Xβ′l)

=(αj +Xβ′

j)

(αk +Xβ′k)

= ((αj − αk) +X(βj − βk)′)

Xm

jk Xm

Xm

j k

jk(Xm) =jk(X1, . . . , Xm−1, Xm + 1, Xm+1, . . . , XM )

jk(X)

=((αj − αk) + (Xm + 1)(βjm − βkm)′ +X−m(βj−m − βk−m)′)

((αj − αk) +X(βj − βk)′)

βjm − βkm

=(βjm − βkm) ((αj − αk) +X(βj − βk)

′)

((αj − αk) +X(βj − βk)′)

jk(Xm) = (βjm − βkm)

Xm

Xm

X−m

j k (βjm − βkm) Xm

j

B

jB(Xm) = j(Xm) = (βjm − 0) = (βjm)

Xm

j k



Xm

j k

jk(Xm) =

((y = j|X + 1)

(y = k|X + 1)

/(y = j|X)

(y = k|X)

)

= ( (βjm − βkm)) = βjm − βkm

Xm j k

B

Xm j B

βjm

βjm

Xm j

βjm − βkm


Klaus Pforr

j k Xm



J

T j ∈ {1, . . . , J} t ∈

{1, . . . , T}

y∗tj = αj +Xtβ′j + ǫtj

j

t j ∈ {1, . . . , J} t ∈ {1, . . . , T}

y∗tj αj xtm ǫtjβjm

αj βjm

ǫtj

∀t ∈ {1, . . . , T}, ∀j ∈ {1, . . . , J} :

ǫtj ∼ (ǫtj) = γ (ǫtj) =π2

6

π2/6

∀t ∈ {1, . . . , T}, ∀j ∈ {1, . . . , J} : (yt = j) = (y∗tj >k �=j

y∗tk)

Ti

N


Klaus Pforr

y∗

y

∀t ∈ {1, . . . , T}, ∀j ∈ {1, . . . , J} : fǫtj |X1,...,XT ,αj= fǫtj

fα,X

∀t ∈ {1, . . . , T}, ∀j, k ∈ {1, . . . , J} : ǫtj ⊥ ǫtk

∀s, t ∈ {1, . . . , T}, ∀j ∈ {1, . . . , J} : ǫsj ⊥ ǫtj



B

αB

αB = βB1 = · · · = βBM = 0

�(X − X)′(X − X)

�= M X =

�1

T

T�

t=1

xtm

�

X X

T X − X i

∀i ∈ {1, . . . , N} : X − X =

xi11 −�Ti

t=1 xit1 . . . xi1M −�Ti

t=1 xitM

xiTi1 −�Ti

t=1 xit1 . . . xiTiM −�Ti

t=1 xitM

(yi, Xi)i=1,...,N N

Ti

Ti

T y X α

((yi1, . . . , yiTi), (Xi1, . . . , XiTi

))i=1,...,N

∀i, j ∈ {1, . . . , N} :

f(yi,Xi)(·) = f(yj ,Xj)(·)


Klaus Pforr

f(yi,Xi)(·) ⊥ f(yj ,Xj)(·)

j y∗j

∀t ∈ {1, . . . , T} : (yt = j) = (y∗tj ≥k �=j

y∗tk) = (0 ≥k �=j

y∗tk − y∗tj)

∀t ∈ {1, . . . , T} :

(yt = j) =(αj +Xtβ

′j)

1 +∑

k �=B (αk +Xtβ′k)

j �= B

(yt = B) =1

1 +∑

k �=B (αk +Xtβ′k)

J = 2

(yi, Xi)i=1,...,N N



Ti Ti

ℓi(β)

i fyi|Xi,α,β

ℓi(α, β) = fyi|Xi,α,β =

Ti∏

t=1

J∏

j=1

(yit = j|Xi, α, β)δyit,j

˜(α, β) = ( ℓi(α, β)) =1

N

N∑

i=1

Ti∑

t=1

J∑

j=1

δyit,j (yit = j|Xi, α, β)

α

X

y X

y X y− y

X − X

αi

αi

α

N − 1


Klaus Pforr

kij(yi1, . . . , yiT ) kij

αij

fyi|ki,αi= fyi|ki

j∑Ti

t=1 δyit,j

αij

yiαij

i

(αi1, . . . , αiJ)

B

αiB = 0 αi =

(αi1, . . . , αiB−1, αiB+1, . . . , αiJ)

ki = (ki1, . . . , kiB−1, kiB+1, . . . , kiJ)

kij =∑Ti

t=1 δyit,j

di (di1, . . . , diTi) di

yi kij di∑Ti

t=1 δdit,j = kijdi j

yi ∆i di

∆i ={(di1, . . . , diTi

)′|∀j = 1, . . . , J, j �= B :

Ti∑

t=1

δdit,j = kij

}

∆i diyi

j

Ti = 3 J = 3

yi = (1, 2, 3)

B = 1

ki2 = 1 ki3 = 1 ∆i



{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}

fyi|Xi,αi,β kii yi Xi

αi

fyi|ki,αi=

f(yi∧ki)|αi

fki

yi ki

f(yi∧ki)|αi

fki

=fyi|αi

fki

kiyi

fyi|αi

fki

=fyi|αi∑di∈∆i

fdi

diyi di

fyi|αi∑di∈∆i

fdi

=

∏Ti

t=1

∏Jj=1 (yit = j)δyit,j

∑di∈∆i

∏Ti

t=1

∏Jj=1 (dit = j)δdit,j

=

∏Ti

t=1

∏Jj=1

((αij+Xitβ

′j)

1+∑

Jk=1,k �=B (αik+Xitβ

′k)

)δyit,j

∑di∈∆i

(

∏Ti

t=1

∏Jj=1

(

(αij+Xitβ′j)

1+∑


′k)

)δdit,j)

kiαi αi

1 +∑J

k=1,k �=B (αik +Xitβ′k)


Klaus Pforr

j t

j

=

∏Ti

t=1

∏Jj=1

( (αij+Xitβ′j))

δyit,j

1+∑


′k)

∑di∈∆i

∏Ti

t=1

∏Jj=1

( (αij+Xitβ′j))

δdit,j

1+∑


′k)

=

∏Tit=1

∏Jj=1

( (αij+Xitβ′j))

δyit,j

∏Tit=1(1+

∑Jk=1,k �=B (αik+Xitβ

′k))

∑di∈∆i

∏Tit=1

∏Jj=1

( (αij+Xitβ′j))

δdit,j

∏Tit=1(1+


′k))

di

=

∏Tit=1

∏Jj=1

( (αij+Xitβ′j))

δyit,j

∏Tit=1(1+


′k))

∑di∈∆i

∏Tit=1

∏Jj=1

( (αij+Xitβ′j))

δdit,j

∏Tit=1(1+


′k))

=

∏Ti

t=1

∏Jj=1( (αij +Xitβ

′j))

δyit,j

∑di∈∆i

∏Ti

t=1

∏Jj=1( (αij +Xitβ

′j))

δdit,j

=

∏Ti

t=1

∏Jj=1,j �=B( (αij +Xitβ

′j))

δyit,j

∑di∈∆i

∏Ti

t=1

∏Jj=1,j �=B( (αij +Xitβ

′j))

δdit,j



αij +Xitβ′j

=

∏Ti

t=1

∏Jj=1,j �=B( (αij))

δyit,j∏Ti

t=1

∏Jj=1,j �=B( (Xitβ

′j))

δyit,j

∑di∈∆i

(∏Ti

t=1

∏Jj=1,j �=B( (αij))

δdit,j∏Ti

t=1


′j))

δdit,j

)

α

=

∏Jj=1,j �=B

∏Ti

t=1( (αij))δyit,j

∏Ti

t=1


′j))

δyit,j

∑di∈∆i

(∏Jj=1,j �=B

∏Ti

t=1( (αij))δdit,j

∏Ti

t=1


′j))

δdit,j

)

( (αij))δyit,j ( (αij))

δdit,j

j αij t

=

∏Jj=1,j �=B( (αij))

∑Tit=1 δyit,j

∏Ti

t=1


′j))

δyit,j

∑di∈∆i

(∏Jj=1,j �=B( (αij))

∑Tit=1 δdit,j

∏Ti

t=1


′j))

δdit,j

)

∆i di∑Ti

t=1 δyit,j = kij =∑Ti

t=1 δdit,j

=

∏Jj=1,j �=B( (αij))

∑Tit=1 δyit,j

∏Ti

t=1


′j))

δyit,j

∑di∈∆i

(∏Jj=1,j �=B( (αij))

∑Tit=1 δyit,j

∏Ti

t=1


′j))

δdit,j

)

di∆i

=

∏Jj=1,j �=B( (αij))

∑Tit=1 δyit,j

∏Ti

t=1


′j))

δyit,j

(∏Jj=1,j �=B( (αij))

∑Tit=1 δyit,j

)∑di∈∆i

(∏Ti

t=1


′j))

δdit,j

)

αi

=

∏Ti

t=1


′j))

δyit,j

∑di∈∆i

(∏Ti

t=1


′j))

δdit,j

)

f(yi|ki, αi)

αi kiαi


Klaus Pforr

β

δyit,j δdit,j

ℓi(β) = fyi|ki,αi=

(∑Ti

t=1

∑Jj=1,j �=B δyit,jXitβ

′j)∑

di∈∆i(∑Ti

t=1

∑Jj=1,j �=B δdit,jXitβ

′j)

(β) = ( ℓi(β))

=1

N

N∑

i=1

(∑Ti

t=1


′j)∑

di∈∆i(∑Ti

t=1


′j)

=1

N

N∑

i=1

( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

δyit,jXitβ′j −

∑

di∈∆i

( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

δdit,jXitβ′j

))

β

β =β

(β)

βp−→ β

βd−→ N

(β,

− ( i(β))−1

N

)

( (β))

( i(β)) =1

N

N∑

i=1

∂2 ℓi(β)

∂β′∂β

∣∣∣∣β



J

J = 2

j

i

yi = (yi1, . . . , yiTi)

yi1 = yi2 = · · · = yiTi

yi = (yi1, . . . , yiTi)

fyi|ki,αi(yi) = (yi = yi) =

(∑Ti

t=1


′j)∑

di∈∆i(∑Ti

t=1

∑Jj=1,j �=B δdit,j

Xitβ′j)

∆i

yi

(yi = yi) =

{1 yi = yi

0 yi �= yi

h

∆i

∀i ∈ {1, . . . , N} : kih = 0

kih �= 0 kih = 0

βh

βh

βh


Klaus Pforr

j αij +Xitβ′j

αi

αi

αi

Xm

i kiXm yi

DEXm,yi= (yi|Xi + 1, ki, αi)− (yi|Xi, ki, αi)

=(∑Ti

t=1

∑Jj=1,j �=B δyit,j(Xit + 1)β′

j)∑di∈∆i

(∑Ti

t=1

∑Jj=1,j �=B δdit,j(Xit + 1)β′

j)

−(∑Ti

t=1


′j)∑

di∈∆i(∑Ti

t=1


′j)




Klaus Pforr

Ti



t = 1 t = T

i

(yit, Xit, αi) t

i

si = (si1, . . . , siT )′ sit = 1 t

{(yi, Xi, αi, si)}i=1,...,N

Ti

i∑Ti

t=1 sit = Ti

i j

(yi, Xi, αi)

sitXit

αi


Klaus Pforr

(α, β)d−→ N

((α, β),

− ( i(α, β))−1

N

)

βd−→ N

(β,

− ( i(β))−1

N

)

(α, β) β

β

f∗y|X,β

∗(β)

β =β

∗(β)



β∗ �= β

βp−→ β∗ �= β

βd−→ N

(β∗,

−(

i(β∗))−1 (

i(β∗)′ i(β

∗))−

(i(β

∗))−1

N

)

− ( i(β∗)) =

1

N

N∑

i=1

∂2 ℓ∗i (β)

∂β′∂β

∣∣∣∣β

i(β∗)

(i(β

∗)′ i(β∗))=

1

N

N∑

i=1

∂ℓ∗i (β)

∂β′

∂ℓ∗i (β)

∂β

∣∣∣∣β

β

β

f∗y|X,β

fy

=

( (fy

f∗y|X,β

))

f∗

f β

β

( (fy

f∗y|X,β

))=

( (fy

f∗y|X,β

))


Klaus Pforr

β

fyi|Xi

fyi|Xi=

Ti∏

t=1

fyit|Xit

∑Ti

yit αi

yi



j j Xj = X

βj

B

βB = 0

t

y∗j

y∗j = αj +Xβ′j + ǫj


Klaus Pforr

S

C j

y∗j = αj + Sβ′j + Cjγ

′ + ǫj

βB

CB = 0

Xβ′

(y = j) =(αj + S(βj − βB)

′ + (Cj − CB)γ′)

1 +∑

k �=B (αk + S(βk − βB)′ + (Cj − CB)γ′)j �= B

(y = B) =1

1 +∑

k �=B (αk + S(βk − βB)′ + (Cj − CB)γ′)

βB = 0 CB = 0

αj + Sβ′j + Cjγ

′

S C



S

C

C

j �= B

B Cj−CB

γ

γ1 = γ2 = · · · = γJ

γB = 0

(y = j) =(αj + (C1 − CB)γ

′ + (C2 − CB)γ′ + · · ·+ (CJ − CB)γ

′)

1 +∑

k �=B (αk +∑J

l=1 (Cl − CB)γ′)


Klaus Pforr

C

J−1 C1−CB CJ −CB

1

C2 − C1 C3 − C1

1 2 10− 5 = 5 7− 5 = 22 1 3− 4 = −1 10− 4 = 63 2 5− 1 = 4 7− 1 = 6

K1 KJ

S

K1 K2 K3 S K1S K2S K3S

K1S K2S K3S

γK1S γK2S γK3S




Klaus Pforr

yi1 = yi2 fαi|Xiαi

(yit = 1|Xit, αi) yit = 1t = 1, 2 yit = 0 t = 1, 2 yit

t αi

β

αij

j

αij = ∞

j αij = −∞

α



X

α

α

ǫ

α


Klaus Pforr

y∗

y

y αj + Xβ′j

αij

αj +Xβ′j

y∗j

zi

yi = α+Xiβ′ + zi + ǫi

= α+Xiβ′ + (zi + ǫi)



fy|X = fǫz

(zi + ǫi)

β z

αi


Klaus Pforr




Klaus Pforr

x f(x) = x/ (x)

x

ƒ(x)=x/exp(x)

ƒ′(x)=(1−x)/exp(x)

−0,5

0,0

0,5

1,0

0 1 2 3

x

x = 1

f ′(x) = (1 − x)/ (x)

x0 x0 = 0

f ′(x) β0

T (x0) = f ′(x0) + f ′′(x0)(x− x0)

=1− x0

(x0)+

x0 − 2

(x0)(x− x0)

= −2x+ 1



T (x0) x1

x1 = 1/2 T (x1)

f ′(x) x1

T (x1) = f ′(x1) + f ′′(x1)(x− x1)

=1− x1

(x1)+

x1 − 2

(x1)(x− x1)

=1

2 (1/2)−

3

2 (1/2)(x− 1/2)

=

(−

3

2x+

5

4

) (1

2

)

x0 x1 x2

ƒ(x)=x/exp(x)

ƒ′(x)=(1−x)/exp(x)

T(x0)=−2x+1 T(x1)=(−1,5x+1,25)exp(1/2)−0,5

0,0

0,5

1,0

0 1 2 3

x

r xr+1

xr+1 = xr −f ′(xr)

f ′′(xr)

(β) = ( ℓi(β)) (β)


Klaus Pforr

β

(β)

βjm

(β)

(β) =∂ (β)

∂β=

�∂ (β)

∂β1, . . . ,

∂ (β)

∂βB−1,∂ (β)

∂βB+1, . . . ,

∂ (β)

∂βJ

�

=

�∂ (β)

∂β11, . . . ,

∂ (β)

∂βB−1,M,

∂ (β)

∂βB+1,1, . . . ,

∂ (β)

∂βJM

�

(β)

β0

β0 = (β110, . . . , βB−1,M 0, βB+1,10, . . . , βJM 0) = (0, . . . , 0)

r βr+1

βr+1 = βr − (βr)−1 (βr)

′

(βr)

(β) =∂ (β)

2

∂β′∂β

=

∂ (β)2

∂β′1∂β1

. . .∂ (β)2

∂β′1∂βB−1

∂ (β)2

∂β′1∂βB+1

. . .∂ (β)2

∂β′1∂βJ

∂ (β)2

∂β′B−1

∂β1. . .

∂ (β)2

∂β′B−1

∂βB−1

∂ (β)2

∂β′B−1

∂βB+1. . .

∂ (β)2

∂β′B−1

∂βJ

∂ (β)2

∂β′B+1

∂β1. . .

∂ (β)2

∂β′B+1

∂βB−1

∂ (β)2

∂β′B+1

∂βB+1. . .

∂ (β)2

∂β′B+1

∂βJ

∂ (β)2

∂β′J∂β1

. . .∂ (β)2

∂β′J∂βB−1

∂ (β)2

∂β′J∂βB+1

. . .∂ (β)2

∂β′J∂βJ

=

∂ (β)2

∂β11∂β11. . .

∂ (β)2

∂β11∂βB−1,M

∂ (β)2

∂β11∂βB+1,1. . .

∂ (β)2

∂β11∂βJM

∂ (β)2

∂βB−1,M∂β11. . .

∂ (β)2

∂βB−1,M∂βB−1,M

∂ (β)2

∂βB−1,M∂βB+1,1. . .

∂ (β)2

∂βB−1,M∂βJM

∂ (β)2

∂βB+1,1∂β11. . .

∂ (β)2

∂βB+1,1∂βB−1,M

∂ (β)2

∂βB+1,1∂βB+1,1. . .

∂ (β)2

∂βB+1,1∂βJM

∂ (β)2

∂βJM∂β11. . .

∂ (β)2

∂βJM∂βB−1,M

∂ (β)2

∂βJM∂βB+1,1. . .

∂ (β)2

∂βJM∂βJM



(βr)−1 (βr)

′

βr

βr+1

(β)

ℓi(β) i

(β) = ( ℓi(β)) = 1/N∑N

i=1 ℓi(β)

(β) = ( i(β)) =

1/N∑N

i=1 ( i(β)) (β) = ( i(β)) = 1/N∑N

i=1 ( i(β))

˜(β) =∑N

i=1 ℓi(β)

1/N


Klaus Pforr

1/N

β

2



y X

β

βr

(βr) (βr) (βr)

ydX

βr

r βr (βr) (βr)

(βr) βr+1

β


Klaus Pforr

ℓi(β)

i(β)

(β) = ( i(β))

(β) (β)

i

ℓi(β) =(∑Ti

t=1


′j)∑

di∈∆i(∑Ti

t=1


′j)

ℓi(β) =

Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

δyit,jXitβ′j −

∑

di∈∆i

(

Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

δdit,jXitβ′j)

ℓi(β)

i

i

i(β) =∂ ℓi(β)

∂β

=

(∂ ℓi(β)

∂β1, . . . ,

∂ ℓi(β)

∂βB−1,∂ ℓi(β)

∂βB+1, . . . ,

∂ ℓi(β)

∂βJ

)

=

(∂ ℓi(β)

∂β11, . . . ,

∂ ℓi(β)

∂βB−1,M,∂ ℓi(β)

∂βB+1,1, . . . ,

∂ ℓi(β)

∂βJM

)



ℓi(β) i

βjm

∂ ℓi(β)

∂βjm

=

Ti∑

t=1

δyit,jxitm

−

∑di∈∆i

((∑Ti

t=1 δdit,jxitm) (∑Ti

t=1


′j))

∑di∈∆i

(∑Ti

t=1


′j)

( i(β))

(β) (J − 1)M × (J − 1)M

(β) =

(∂ (β)

2

∂βjm∂βlk

)=

(∂

(ℓi(β)

)2

∂βjm∂βlk

)=

( (∂ ℓi(β)

2

∂βjm∂βlk

))

ℓi(β)

βmj βlk

(∂ ℓi(β)

2

∂βjm∂βlk

)

=1

N

N∑

i=1

(( ∑

di∈∆i

(( Ti∑

t=1

ditjxitm

) ( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

ditjXitβ′j

))

·∑

di∈∆i

(( Ti∑

t=1

ditlxitk

) ( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

ditjXitβ′j

))/

( ( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

ditjXitβ′j

))2)−

( ∑

di∈∆i

(( Ti∑

t=1

ditjxitm

)

·( Ti∑

t=1

ditlxitk

) ( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

ditjXitβ′j

))/

( ( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

ditjXitβ′j

))))


Klaus Pforr

1N

i di∆i

βmj

=( Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

δdit,jXitβ′j

)

=(

11, . . . , B−1,M , B+1,1, . . . , JM

)

=

( Ti∑

t=1

δdit,1xit1, . . . ,

Ti∑

t=1

δdit,B−1xitM ,

Ti∑

t=1

δdit,B+1xit1, . . . ,

Ti∑

t=1

δdit,JxitM

)

i i

βmj

βmj βlk

=

Ti∑

t=1

J∑

j=1,j �=B

δyit,jXitβ′j

=∑

di∈∆i

=(

11, . . . , B−1,M , B+1,1, . . . , JM

)

=

( Ti∑

t=1

δyit,1xit1, . . . ,

Ti∑

t=1

δyit,B−1xitM ,

Ti∑

t=1

δyit,B+1xit1, . . . ,

Ti∑

t=1

δyit,JxitM

)

=(

11, . . . , B−1,M , B+1,1, . . . , JM

)

=∑

di∈∆i

·



=

1111 . . . 1,1,B−1,M 1,1,B+1,1 . . . 11JM

B−1,M,1,1 . . . B−1,M,B−1,M B−1,M,B+1,1 . . . B−1,M,J,M

B+1,1,1,1 . . . B+1,1,B−1,M B+1,1,B+1,1 . . . B+1,1,J,M

JM11 . . . J,M,B−1,M J,M,B+1,1 . . . JMJM

=�

di∈∆i

′ ·

ℓi(β)

i(β) (β)

ℓi(β) = − B

(β) = C −D

B

(β) =

� N�

i=1

D′D

B2−

E

B

�

y

X

J

B = 1


Klaus Pforr

2, . . . , J 1

X = (X1, . . . , XM )



M


Klaus Pforr

y

= 0 =

1 = 2

βr

ℓi(β)

X

y

−1, 0, 1, 3, 5 B = 1

=

−1 1

0 2

1 0

3 3

5 4



J

B = 1

N J M

ℓi(βr)

i(βr)

i(βr)

(J − 1) · M

i(βr)


Klaus Pforr

ℓi(β)

i(β) (β)

yiXi

ℓi(β) i(β) (β)

i



∆i i

yi

i

∆i i

yiyi

∆i

yi di


Klaus Pforr

ℓi(β) i

i(β) i(β)

i(β)



2


Klaus Pforr

= 1 = 2

= 1 t = 1

t = 2 t = 3

x

t = 1 t = 2

t = 3



( it = 1) =(αi + β1 it + β2 it)

1 + (αi + β1 it + β2 it)


Klaus Pforr



(2, 082 · 10−17,−1, 540 · 10−15)

(3.219 · 10−19 −1.702 · 10−19

−1.702 · 10−19 6.536 · 10−16

)

N = 4000 T = 5

J = 5

M = 1

x

αj

B = 1 α1 = 0


Klaus Pforr

(x) = (αj) = 0 (x) = (αi) = 1

x,αj= 1

5 αj

α2 αJ x1 xT

α2 α3 α4 α5 x1 x2 x3 x4 x5

α2 1 0 0 0 15

15

15

15

15

α3 0 1 0 0 15

15

15

15

15

α4 0 0 1 0 15

15

15

15

15

α5 0 0 0 1 15

15

15

15

15

x115

15

15

15 1 0 0 0 0

x215

15

15

15 0 1 0 0 0

x315

15

15

15 0 0 1 0 0

x415

15

15

15 0 0 0 1 0

x515

15

15

15 0 0 0 0 1

ǫ

ǫitj

(ǫitj) = γ (ǫitj) =π2

6

x

β1 β2 β5

β1 = 0

β = (β1, β2, β3, β4, β5) =

(0, 1, 2, 3, 4)

y∗itjj

j = 1 : y∗it1 = ǫit1

j �= 1 : y∗itj = αij + βjxit + ǫitj

Fǫ(x) = (− (−x))F−1ǫ (x) = − (− (x))



yit

yit = j ⇔k∈{1,...,J}

y∗itk = y∗itj

1

2

3

4

ges

chät

zer

Reg

ress

ion

sko

effi

zien

t

fe2

po

fe3

po

fe4

po

fe5

po

Modelltyp über Alterativen j


Klaus Pforr






Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr

Xit

Xi =1

Ti

∑Tit=1

Xit




Klaus Pforr



(β) (β) (β) (β)

0,051∗∗∗ 0,003∗∗∗ 0,056∗∗∗ 0,005∗∗∗

(0,005) (0,000) (0,006) (0,000)

0,037∗∗∗ 0,001∗∗∗ 0,033∗∗∗ 0,001∗∗∗

(0,005) (0,000) (0,005) (0,000)

0,030∗∗∗ 0,001∗∗∗ 0,040∗∗∗ 0,001∗∗∗

(0,006) (0,000) (0,010) (0,000)

1,418∗∗∗ 1,743∗∗∗ 1,176∗∗∗ 1,132∗∗∗

(0,045) (0,042) (0,035) (0,030)

2 0,983∗∗∗ 0,977∗∗∗ 0,995∗ 1,004(0,003) (0,002) (0,003) (0,002)

3 1,000∗∗∗ 1,000∗∗∗ 1,000 1,000(0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

1,353∗∗∗ 1,818∗∗∗ 1,130∗∗ 1,221∗∗∗

(0,040) (0,049) (0,042) (0,041)


Klaus Pforr

(β) (β) (β) (β)

2 0,987∗∗∗ 0,976∗∗∗ 1,001 1,008∗∗

(0,003) (0,002) (0,003) (0,003)

3 1,000∗∗∗ 1,000∗∗∗ 1,000 1,000∗∗∗

(0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

1,354∗∗∗ 1,962∗∗∗ 1,137∗ 1,206∗∗∗

(0,070) (0,109) (0,074) (0,067)

2 0,985∗∗ 0,965∗∗∗ 1,000 1,007(0,005) (0,005) (0,006) (0,005)

3 1,000∗ 1,001∗∗∗ 1,000 1,000(0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

0,632∗∗∗ 0,524∗∗∗ 0,767∗∗ 0,536∗∗∗

(0,055) (0,067) (0,071) (0,079)

0,556∗∗∗ 0,317∗∗∗ 0,694∗∗∗ 0,395∗∗∗

(0,041) (0,031) (0,055) (0,042)

0,189∗∗∗ 0,036∗∗∗ 0,243∗∗∗ 0,065∗∗∗

(0,020) (0,005) (0,029) (0,009)

1,121 1,056 0,998 1,224∗

(0,160) (0,095) (0,122) (0,114)

0,913 0,753∗∗ 0,838 0,863(0,139) (0,079) (0,121) (0,090)

0,568∗∗∗ 0,278∗∗∗ 0,463∗∗∗ 0,298∗∗∗

(0,084) (0,025) (0,067) (0,029)

1,271 0,740∗ 1,573∗ 1,730∗∗∗

(0,264) (0,092) (0,314) (0,221)

0,921 0,715 0,469∗ 0,265∗∗∗

(0,350) (0,134) (0,160) (0,049)

1,286 1,593∗∗

(0,188) (0,260)

1,344 1,314(0,247) (0,288)

1,964∗∗∗ 2,212∗∗∗

(0,285) (0,360)

0,747 0,923(0,185) (0,248)

1,822∗∗ 1,915∗∗

(0,336) (0,393)

3,320∗∗∗ 2,595∗∗∗

(0,657) (0,567)

1,082 0,696∗∗

(0,120) (0,083)



(β) (β) (β) (β)

0,949 0,626∗∗∗

(0,119) (0,085)

0,627∗ 0,333∗∗∗

(0,128) (0,067)

0,942 0,706∗∗∗ 1,013 1,008(0,045) (0,021) (0,015) (0,011)

2 1,004 1,020∗∗∗

(0,003) (0,002)

χ2

2

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001


Klaus Pforr

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Alter des jüngsten Kindes (Jahre)

ein Kind zwei Kinder drei oder mehr Kinder

Anmerkung: Konfidenzintervalle berechnet in Anlehnung an Brambor et al. (2006).

= 0

= 0

0, 004



1

0,1

0,01

0,001

0,0001

Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20





Klaus Pforr

(β) (β) (β) (β)

0,005∗∗∗ 0,013∗∗∗ 0,085∗∗∗ 0,005∗∗∗

(0,001) (0,003) (0,030) (0,002)

0,002∗∗∗ 0,003∗∗∗ 0,054∗∗∗ 0,001∗∗∗

(0,001) (0,001) (0,022) (0,000)

0,002∗∗∗ 0,008∗∗∗ 0,023∗∗∗ 0,002∗∗∗

(0,001) (0,004) (0,013) (0,001)

1,687∗∗∗ 1,131 1,847∗∗∗ 1,392∗∗∗

(0,104) (0,074) (0,151) (0,107)

2 0,978∗∗∗ 1,004 0,969∗∗∗ 0,995(0,005) (0,005) (0,006) (0,006)

3 1,000∗∗ 1,000 1,000∗∗ 1,000(0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

1,753∗∗∗ 1,126 1,997∗∗∗ 1,473∗∗∗

(0,119) (0,096) (0,170) (0,147)

2 0,980∗∗∗ 1,016∗ 0,963∗∗∗ 1,003(0,006) (0,007) (0,007) (0,009)

3 1,000∗ 1,000∗ 1,001∗∗∗ 1,000(0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

1,775∗∗∗ 0,971 1,840∗∗∗ 1,293(0,242) (0,139) (0,290) (0,229)

2 0,971∗ 1,023 0,964∗ 1,002(0,014) (0,013) (0,016) (0,018)

3 1,001 0,999 1,001 1,000(0,000) (0,000) (0,000) (0,000)

0,443∗ 0,608 0,420 0,444(0,172) (0,262) (0,269) (0,207)

0,633 0,508∗ 1,302 0,612(0,192) (0,165) (0,527) (0,221)

0,029∗∗∗ 0,103∗∗∗ 0,057∗∗∗ 0,064∗∗∗

(0,012) (0,047) (0,043) (0,031)

1,005 1,054 1,031 1,066(0,290) (0,330) (0,526) (0,361)

0,561 0,654 0,783 0,651(0,177) (0,201) (0,399) (0,229)

0,239∗∗∗ 0,315∗∗∗ 0,372∗ 0,233∗∗∗

(0,062) (0,089) (0,167) (0,072)

0,686 1,937 0,327∗ 1,559(0,237) (0,686) (0,175) (0,630)



(β) (β) (β) (β)

0,558 0,274∗∗ 2,767 0,341(0,267) (0,134) (2,137) (0,202)

0,801∗∗ 1,026 0,899 0,954(0,063) (0,028) (0,107) (0,096)

2 1,013∗ 1,004 1,004(0,006) (0,008) (0,007)

χ2

2

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001


Klaus Pforr

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20




1

0,1

0,01

0,001

0,0001

Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20







Klaus Pforr

10

1

0,1

0,01

0,001

Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Alter des Kindes (Jahre)

ORvollzeit vs. erwerbslos(1 Kind vs. kinderlos)

ORteilzeit vs. erwerbslos(1 Kind vs. kinderlos)


10

1

0,1

0,01

0,001Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


ORvollzeit vs. erwerbslos(2 Kinder vs. kinderlos)

ORteilzeit vs. erwerbslos(2 Kinder vs. kinderlos)




10

1

0,1

0,01

0,001Od

ds

Rat

io (

log

. Sk

ala)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


ORvollzeit vs. erwerbslos(3+ Kinder vs. kinderlos)

ORteilzeit vs. erwerbslos(3+ Kinder vs. kinderlos)



Klaus Pforr




Klaus Pforr

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0W

ahrs

chei

nli

chk

eit

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Nicht erwerbstätig Teilzeit Vollzeit

Anmerkung: Pr(vollzeit|kinderlos)=0,68 Pr(teilzeit|kinderlos)=0,09Pr(nicht erwerbstätig|kinderlos)=0,22

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Wah

rsch

ein

lich

kei

t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20






0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0W

ahrs

chei

nli

chk

eit

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20





Klaus Pforr

αi∑t yit

α

αi αi

fα|Xfα|X

x

x{t=1,2,3}

(xt, xt−1){t=2,3}

(xt, xt−1, xt+1){t=2}






Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr



( it = )

( it �= )= αi + β it + ǫit

( it = )

( it �= )

= αi + β ( it − i,t−1) + ǫit

it − i,t−1

(yit = j)

(yit �= j)

= αij + βj1xit + ǫitj

βj1

xt

(−βj1xi,t−1 + βj1xi,t−1)

= αij + βj1xit − βj1xi,t−1 + βj1xi,t−1 + ǫitj

= αij + βj1(xit − xi,t−1) + βj1xi,t−1 + ǫitj


Klaus Pforr

(yit = j)

(yit �= j)

= αij + βj1xit + βj2xi,t−1 + ǫitj

βj2

xt−1

βj1 β∗j − βj2

= αij + (β∗j − βj2)xit + βj2xi,t−1 + ǫitj

= αij + β∗j xit − βj2xit + βj2xi,t−1 + ǫitj

βj2

= αij + β∗j xit + (−βj2)(xit − xi,t−1) + ǫitj

βj1xi,t−1

β∗j xit

ǫ

βj1 = 0

(xit − xi,t−1) ⊥ xi,t−1

β∗j = 0

(xit − xi,t−1) ⊥ xit




Klaus Pforr

β β β

→−0,81 −0,09 −0,02(−0,14) (−0,24)

→0,06 −0,07 0,22(0,80) (−0,57) (0,40)

→0,22 0,08 −1,11(0,74) (0,17) (−0,18)

→0,06 −0,04 0,56(0,13) (−0,10)

→0,71+ −0,07 0,16(1,74) (−0,15) (0,03)

→−0,28 0,38 −0,73(−1,35) (0,09) (−0,16)

→−0,27 0,23 −0,19(−1,40) (1,12) (−0,51)

→−0,65 −0,09 0,10(−0,80) (−0,47) (0,02)

→−0,21∗∗ −0,32+ 0,59(−3,19) (−1,65) (1,36)

→0,03 −0,14 0,49(0,11) (−0,29) (0,64)

→0,00 0,45 0,13(0,00) (1,29) (0,03)

→0,04 0,15 −0,59∗∗

(0,26) (0,81) (−2,83)

0,17+ −0,26 −0,04(1,73) (−1,41) (−0,22)

−0,21 0,20 0,01(−1,43) (0,94) (0,06)

0,08 −0,11 0,47∗

(0,32) (−0,54) (2,26)

0,20 0,06 −0,41(0,74) (0,30) (−1,32)

0,11 0,03 −0,02(0,61) (0,26) (−0,10)

0,40+ 0,09 0,28(1,87) (0,70) (1,38)

0,42∗∗ 0,14 −0,06(2,62) (0,93) (−0,26)

0,15 0,18 0,30(0,91) (1,30) (1,01)



β β β

−0,02 −0,11 0,07(−0,12) (−0,71) (0,28)

χ2

2

+ p < 0,1 ∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01


Klaus Pforr

β β β

→−0,67∗∗ −0,02 0,00(−2,83) (−0,12) (0,01)

→−0,13 −0,08 0,08(−1,34) (−0,95) (0,48)

→0,47∗ −0,16 −0,66∗

(2,53) (−0,82) (−2,12)

→0,14 −0,01 0,09(0,60) (−0,05) (0,24)

→0,60∗∗ −0,34∗ 0,48(2,84) (−2,27) (1,50)

→0,05 0,28 −0,09(0,28) (1,52) (−0,34)

→−0,11 0,07 −0,05(−1,15) (0,80) (−0,30)

→−0,24 0,30+ 0,14(−1,27) (1,86) (0,46)

→−0,09 −0,11 0,30∗

(−1,41) (−1,50) (2,30)

→−0,13 0,15 0,66∗

(−0,74) (0,73) (2,01)

→−0,27+ 0,42∗∗ −0,10(−1,70) (2,79) (−0,37)

→0,04 −0,07 −0,42∗∗∗

(0,59) (−0,99) (−3,59)



β β β

0,16∗∗ −0,19∗ −0,12(2,73) (−2,39) (−1,11)

−0,12∗ 0,10 0,10(−1,98) (1,25) (0,85)

0,30∗∗∗ 0,23∗ 0,37∗∗

(3,56) (2,33) (3,08)

−0,04 0,09 −0,10(−0,43) (0,80) (−0,83)

0,03 −0,02 0,14(0,46) (−0,25) (1,64)

0,18∗∗ 0,27∗∗∗ 0,17+

(2,92) (3,83) (1,78)

0,17∗ 0,15 −0,19(2,22) (1,60) (−1,53)

0,35∗∗∗ 0,03 0,28∗

(4,70) (0,29) (2,30)

−0,02 −0,04 0,05(−0,30) (−0,58) (0,53)

χ2

2

+ p < 0,1 ∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001


Klaus Pforr

β β β β β

→−0,64∗∗ −0,15 0,41 −0,07 −0,07(−2,62) (−0,84) (1,07)(−0,19) (−0,15)

→−0,13 −0,06 −0,42+ 0,06 −0,09(−1,33) (−0,61) (−1,74) (0,33) (−0,36)

→0,37+ −0,11 −0,11 −0,52 0,54(1,92) (−0,52) (−0,23)(−1,63) (0,91)



β β β β β

→0,09 0,09 −0,47 0,03 −0,09(0,36) (0,52) (−1,11) (0,08) (−0,17)

→0,64∗∗ −0,27+ −0,23 0,59+ −0,19(2,90) (−1,71) (−0,64) (1,79) (−0,29)

→−0,02 0,32+ −0,36 −0,21 −0,37(−0,13) (1,67) (−0,73)(−0,71) (−0,67)

→−0,14 −0,03 0,56∗ −0,09 −0,55∗

(−1,45) (−0,31) (2,45)(−0,51) (−2,29)

→−0,22 0,21 0,71+ 0,04 −0,20(−1,14) (1,21) (1,88) (0,14) (−0,37)

→−0,06 −0,11 −0,09 0,27∗ 0,17(−0,95) (−1,37) (−0,38) (2,06) (0,99)

→−0,04 0,19 −0,40 0,67∗ −0,60(−0,22) (0,89) (−0,77) (2,00) (−1,15)

→−0,29+ 0,44∗∗ 0,88∗ −0,14 0,66(−1,70) (2,69) (1,97)(−0,53) (1,52)

→0,01 −0,09 0,13 −0,41∗∗∗ 0,13(0,14) (−1,25) (0,58)(−3,34) (0,77)

0,16∗∗ −0,12 −0,50∗ −0,05 0,44∗∗

(2,58) (−1,45) (−2,04)(−0,48) (2,94)

−0,11+ 0,05 0,10 0,05 −0,29+

(−1,78) (0,63) (0,40) (0,45) (−1,90)

0,39∗∗∗ 0,31∗∗ 0,30 0,53∗∗∗ 0,27(4,50) (2,82) (1,38) (4,28) (1,18)

−0,10 0,05 0,25 −0,15 −0,67(−0,90) (0,44) (1,00)(−1,16) (−1,64)

0,05 −0,02 0,29 0,18∗ 0,14(0,81) (−0,25) (1,38) (2,03) (1,00)

0,24∗∗∗ 0,31∗∗∗ 0,42∗ 0,26∗∗ −0,01(3,73) (4,13) (2,46) (2,65) (−0,06)

0,16∗ 0,18+ −0,28 −0,12 −0,30(2,03) (1,85) (−0,99)(−0,94) (−1,23)

0,42∗∗∗ 0,08 0,37 0,45∗∗∗ 0,36(5,45) (0,89) (1,36) (3,59) (1,51)


Klaus Pforr

β β β β β

−0,01 −0,09 0,54∗∗ 0,07 0,34+

(−0,14) (−1,33) (2,72) (0,79) (1,90)

χ2

2

+ p < 0,1 ∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001

= (0,64)

= 1/ (−0,27)




Klaus Pforr

β β β β β

→−0,03 −0,06 −0,00 0,05 0,01(−0,38) (−0,79) (−0,01) (0,41) (0,06)

→0,08 0,16 0,19 0,08 0,07(0,72) (1,40) (0,82) (0,44) (0,31)

→0,01 0,05 −0,33 −0,04 0,03(0,15) (0,65) (−1,39)(−0,25) (0,18)

→0,05 0,11 0,08 0,10 −0,06(0,62) (1,45) (0,52) (0,85) (−0,42)

→0,16 0,06 −0,00 −0,42 −0,62∗

(1,06) (0,36) (−0,01)(−1,53) (−2,50)

→0,09 −0,03 0,12 −0,42∗ −0,07(1,01) (−0,38) (0,44)(−2,17) (−0,44)

→−0,08 0,11 −0,28 0,21 0,16(−0,79) (0,96) (−1,25) (1,30) (0,81)

→0,11 −0,07 0,05 −0,37 −0,38(0,72) (−0,45) (0,15)(−1,45) (−1,38)

→−0,07 0,09 0,23 −0,13 0,02(−0,52) (0,66) (0,59)(−0,55) (0,07)

→−0,01 −0,21∗∗ 0,10 0,11 0,01(−0,13) (−2,72) (0,46) (0,83) (0,08)

→−0,16∗ 0,02 0,22 −0,24 −0,19(−2,04) (0,20) (0,84)(−1,33) (−1,25)

→0,03 −0,26∗ −0,31 0,13 0,08(0,23) (−2,05) (−0,88) (0,66) (0,38)

0,10∗∗∗ −0,03 −0,30∗∗∗ 0,24∗∗∗ 0,11∗

(3,43) (−0,91) (−3,95) (4,60) (1,96)

−0,10∗ −0,11∗ 0,31∗ −0,11 −0,10(−2,57) (−2,37) (2,53)(−1,54) (−1,21)

0,55∗∗∗ 0,43∗∗∗ 0,59∗∗ 0,50∗∗∗ 0,17(6,95) (4,62) (3,10) (4,65) (1,19)

0,16∗ 0,20∗ 0,08 0,20∗ −0,23(2,05) (2,42) (0,52) (2,28) (−1,51)



β β β β β

−0,02 0,15∗∗ 0,38∗∗ 0,15∗ 0,00(−0,50) (3,16) (3,21) (2,15) (0,00)

0,30∗∗∗ 0,08 0,16 0,13 0,04(3,50) (0,85) (0,82) (1,18) (0,27)

0,11 0,12 0,25 0,09 −0,08(1,53) (1,47) (1,21) (0,77) (−0,59)

0,34∗∗∗ 0,16∗ 0,15 0,31∗∗ −0,13(5,18) (2,16) (0,79) (2,91) (−1,05)

−0,05 0,02 0,15 0,07 −0,06(−1,03) (0,43) (1,16) (1,00) (−0,59)

χ2

2

+ p < 0,1 ∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001


Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr






Klaus Pforr






Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr



β β β

→−0,80∗∗∗ −0,02∗∗∗ 0,08∗∗∗

(−278,70) (−12,36) (20,40)

→−0,07∗∗∗ 0,15∗∗∗ 0,20∗∗∗

(−69,19) (162,29) (119,35)

→0,26∗∗∗ 0,29∗∗∗ −0,99∗∗∗

(165,57) (146,65) (−306,29)

→0,17∗∗∗ −0,03∗∗∗ 0,16∗∗∗

(69,42) (−15,38) (39,46)

→0,95∗∗∗ −0,23∗∗∗ 0,30∗∗∗

(371,90) (−149,89) (90,30)

→−0,32∗∗∗ 0,53∗∗∗ −0,81∗∗∗

(−175,34) (292,30) (−319,94)

→−0,15∗∗∗ 0,02∗∗∗ −0,15∗∗∗

(−148,34) (17,46) (−87,94)

→−0,77∗∗∗ −0,00+ 0,11∗∗∗

(−352,22) (−1,65) (34,08)

→−0,17∗∗∗ −0,19∗∗∗ 0,32∗∗∗

(−240,05) (−242,62) (236,82)

→−0,02∗∗∗ −0,20∗∗∗ 0,79∗∗∗

(−11,37) (−89,24) (195,18)

→0,04∗∗∗ 0,34∗∗∗ 0,27∗∗∗

(23,14) (200,90) (109,18)

→0,12∗∗∗ 0,10∗∗∗ −0,51∗∗∗

(167,71) (132,32) (−413,82)

0,16∗∗∗ −0,26∗∗∗ −0,01∗∗∗

(222,01) (−295,41) (−6,84)

−0,18∗∗∗ 0,20∗∗∗ −0,02∗∗∗

(−258,90) (222,95) (−19,14)

0,12∗∗∗ −0,06∗∗∗ 0,46∗∗∗

(122,52) (−64,20) (366,61)

0,17∗∗∗ 0,05∗∗∗ −0,38∗∗∗

(175,96) (39,84) (−392,58)

0,11∗∗∗ 0,02∗∗∗ −0,04∗∗∗

(182,49) (30,45) (−48,92)

0,36∗∗∗ 0,15∗∗∗ 0,29∗∗∗

(629,15) (248,92) (325,70)

0,39∗∗∗ 0,10∗∗∗ −0,03∗∗∗

(472,09) (110,02) (−22,99)

0,21∗∗∗ 0,12∗∗∗ 0,31∗∗∗

(259,29) (132,45) (245,98)


Klaus Pforr

β β β

−0,03∗∗∗ −0,11∗∗∗ 0,07∗∗∗

(−47,84) (−169,11) (77,04)

χ2

2

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001



β β β

→−0,04 0,03 −0,02(−0,71) (0,62) (−0,19)

→0,12 0,19∗ −0,04(1,56) (2,52) (−0,38)

→0,01 −0,09 −0,11(0,24) (−1,55) (−1,07)

→0,09+ 0,07 0,04(1,69) (1,38) (0,45)

→0,07 0,12 −0,29+

(0,67) (1,29) (−1,65)

→0,21∗∗∗ −0,11+ −0,30∗

(3,68) (−1,87) (−2,26)

→−0,16∗ 0,01 0,25∗

(−2,27) (0,18) (2,28)

→0,09 −0,20∗ −0,40∗

(0,83) (−2,08) (−2,30)

→0,01 −0,03 −0,05(0,13) (−0,32) (−0,35)

→−0,02 −0,10+ 0,05(−0,41) (−1,93) (0,52)

→−0,17∗∗ 0,17∗∗ −0,34∗∗

(−3,26) (2,84) (−2,83)

→0,07 −0,10 −0,01(0,85) (−1,20) (−0,06)

0,06∗∗∗ −0,09∗∗∗ 0,15∗∗∗

(3,35) (−4,65) (4,44)

−0,09∗∗∗ −0,02 −0,12∗∗

(−3,59) (−0,61) (−2,58)

0,53∗∗∗ 0,47∗∗∗ 0,38∗∗∗

(9,80) (7,78) (5,06)

0,14∗∗ 0,16∗∗ 0,14∗

(2,87) (3,02) (2,35)

0,06+ 0,20∗∗∗ 0,08(1,88) (6,38) (1,59)

0,20∗∗∗ 0,09 0,10(3,58) (1,60) (1,38)

0,07 0,18∗∗∗ −0,11(1,42) (3,31) (−1,40)

0,27∗∗∗ 0,07 0,36∗∗∗

(6,18) (1,46) (4,92)


Klaus Pforr

β β β

−0,02 0,06+ 0,09+

(−0,51) (1,74) (1,77)

χ2

2

∗ p < 0,05 ∗∗ p < 0,01 ∗∗∗ p < 0,001




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr




Klaus Pforr



Schr

iften

reih

e

Schriftenreihe

ISBN 978-3-86819-020-5ISSN 1869-2869

19,- EUR

Band 11

fem

logi

tBa

nd 1

1


Klaus Pforr

Fixed-effects-Modelle sind zu einem wichtigen Werkzeug der Kausalanalyse geworden, da sie die Kontrolle von un-beobachteter Heterogenität ermöglichen. Bis heute wurden fixed-effects-Modelle für kontinuierliche und dichotome abhängige Variablen entwickelt und für viele Statistikpakete implementiert. Für multinominale abhängige Variable wurde von Chamberlain (1980) ein solches Modell entwickelt, es liegt aber keine allgemein anwendbare Umsetzung vor. Die vorliegende Arbeit schließt diese Forschungslücke mit der ersten Umsetzung des Modells von Chamberlain in einem weitverbreiteten Statistikpaket (Stata). Die Anwendbarkeit wird durch Erweiterungen der Arbeiten von Schröder (2010) im Bereich der Familiensoziologie und Kohler (2005) im Bereich der politischen Soziologie gezeigt.

Fixed effects models have become a prime tool for causal analysis, as they allow to control for unobserved hetero-geneity. As of today, fixed effects models have been derived and implemented for many statistical software packages for continuous, dichotomous and count-data dependent variables. For multinomial categorical dependent variables such a model has been derived in a seminal paper by Chamberlain (1980), but no implementation is available. The dis-sertation on hand closes this research gap by delivering the first implementation of Chamberlain’s model in a widely available statistical package (Stata). Its applicability is shown by extending Schröder’s (2010) work in the sociology of the family and Kohler’s (2005) work in political sociology.

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