SCHRÖDINGEROVA JEDNAČINA · 2019. 11. 10. · •Opšta parcijalana diferencijalna jednačina za svako talasno kretanje ima oblik: predavanja(2.16) • A njeno rešenje ima oblik:

SCHRÖDINGEROVA JEDNAČINA

• Talase koji odgovaraju zvuku i EM talase teško je fizički prikazati, za razliku od talasa koji nastaju kada se predmet ubaci u vodu.

• Putem ovih talasa se prenosi E sa mesta na mesto i ne dolazi do trajnog premeštanja sredine u kojoj se on prostire.

• Na slici je prikazano prosto harmonijsko oscilovanje predavanja

• Opšta parcijalana diferencijalna jednačina za svako talasno kretanje ima oblik: predavanja(2.16)

• A njeno rešenje ima oblik: (2.17 2.18)

• Ukoliko je uže zategnuto između dve tačke dobio bi se talas koji se prostire sa leva na desno i za amplitudu ϕ1 oscilovanja se može napisati:predavanja 2.17 2.18

• Kada talas stigne do desne tačke reflektovade se i on putuje sa desna na levo ima amplitudu

ϕ2

• Ovaj talas srešde se sa talasom koji dolazi s leva dodi de do interferencije i amplituda talasa bide: ϕ= ϕ1 + ϕ2

• Za amplitudu važi jednakost (na osnovu trigonometrije):

• Jednačina 2.20

• Na osnovu 2.20 sledi da de ϕ=0 kada je

sin2πx/λ =0 tj.

kada je 2πx/λ=nλ

i x=nλ/2 gde je n je ceo br.

• Ova mesta nazivaju se čvorovi prikazani su na slici 2.9. predavanja.

• Talasi se zovu stojedi talasi.

• Karakteriše ih to da imaju amplitudu 0 za određene vrednosti x, što nije pojava za talas dobijen putem užeta-čiji je samo jedan kraj učvršden.

• Pokazalo se da talasna jednačina kojom može da se opiše ponašanje e- u atomu odgovara talasnoj jednačini za stojedi talas:

• nλ=2πr ove de se ovo detaljnije razmatrati.

• Jednačina 2.20 moze se napisati u obliku:

• 2.21

• Dvostrukim diferenciranjem po x zatim po t dobija se 2.21a

• Zamenom vrednosti u jednačinu 2.16 dobija se 2.22

• Ova jednačina ne sadrži više parcijalne diferencijale i ne sadrži promenljivu t.

• Prihvatljiva rešenje za jednačinu 2.23 zahtevaju da f(x) treba biti konačno, kontinualno i da ima samo jednu vrednost za svaku vrednost x u posmatranim granicama.

SCHRÖDINGEROVA JEDNAČINA

• Primena talasne mehanike počinje 1927. kada

je Šredinger izveo talasnu jednačinu čija se

primena pokazala uspešnom na atom H.

• Nije moguće prikazati strogo matematičko

izvoĎenje i rešavanje talasne jednačine, pa će

zato u uprošćenom obliku biti prikazan način

njenog dobijanja i rezultati koji se dobijaju

njenim rešavanjem.

• Ako bi se elektron kretao samo u jednom pravcu tada bi pogodna talasna j-na trebalo da ima oblik kao j-na 2.23, pa se ona može napisati u obliku:

• Gde je f-ja f(x) zamenjena funkcijom Ψ

• Prihvatljiva rešenja talasne j-ne su ona koja zadovoljavaju uslove graničnosti i kontinualnosti.

• Funkcija treba da bude konačna i kontinualna i da ima samo jednu vrednost za svaku vrednost x u posmatranim granicama.

• Na slici je data funkcija koja predstavlja prihvatljiva rešenja-karakteristične sopstvene f-cije.

• Pri čemu su prihvatljiva rešenja za talasnu jednačinu kada je d=nλ/2.

• funkcije koje predstavlju prihvatljiva rešenja-karakteristične (sopstvene) f-cije.

• Ne postoje proizvoljne mogudnosti za oscilacije, koje bi odgovarale proizvoljnim rešenjima ψ funkcije; postoje samo sasvim određene frekvencije i oblici oscilacija, koje odgovaraju određenim graničnim uslovima.

• Ovi odnosi su najjednostavniji u slučaju jednodimenzionalne žice koja treperi.

• Granični uslov predstavlja činjenica da je žica pričvršdena na krajevima sa obeju strana.

• Na mestu na kome je žica pričvršdena moraju biti čvorovi oscilacija.

• Stacionaran proces oscilacije mogud je samo onda ako je dužina žice=celobrojnom umnošku polovine λ.

SCHRÖDINGEROVA JEDNAČINA

Pri čemu su prihvatljiva

rešenja kada je

Ako bi se elektron kretao u sva tri pravca tada je

ψ=ψ(x,y,z) i jednačina dobija oblik

n=1,2,3...

SCHRÖDINGEROVA JEDNAČINA

Nabla-Laplasov operator

jednačina 4

Primenjujući De Broljevu j-nu na elektron čijem

kretanju odgovara talasna dužina

, zamenom λ u j-nu (4) dobija se

jednačina 5

Ukupna energija čestice

Zamenom vrednosti za u j-nu (5) dobija se

• Talasne f-cije mora da sadrže konstante određenih vrednosti da bi zadovoljile Šredingerovu j-nu. Postoje 3 takve konstante i njihove vrednosti nazivaju se kvantni brojevi.

• Svaka kombinacija tri kv broja odgovara dopuštenom energetskom stanju atoma.

• Talasna fukcij koja odgovara kombinaciji 3 kv broja naziva se orbitala.

• Svaka orbitala odgovara određenoj vrednosti E.

• Orbitale sa istom vrednošdu E su degenerisane.

• Fizičko značenje veličine ψ je neodređeno u

slučaju kada se ponašanje elektrona prikazuje

talasnom j-nom

• Ali je odreĎeno je fizičko značenje kvadrata funkcije

ψ2 (amplituda) koji se može izjednačiti sa gustinom

e- ili verovatnoćom da će e- biti u datom elementu

zapremine

• Funkcija Ψ2(x,y,z) ima fizičko značenje i

odreĎuje verovatnoću da će elektron biti

naĎen u elementu zapremine dV, oko tačke

čije su koordinate x, y, z.tj.

Ψ2dxdydz=Ψ2dV

• Što je Ψ2 veće u nekom delu prostora

verovatnije je da će e- biti tamo.

• Prvo tvrĎenje da Ψ2dV predstavlja gustinu e-

ne može se lako dokazati kao drugo tvrĎenje da

Ψ2 predstavlja verovatnoću nalaženja e-.

• Zamislimo da možemo fotografisati položaj e- u

svakom trenutku. Ako bi se fotografisanje vršilo

iz tri pravca pod pravim uglom mogle bi se

dobiti koordinate x,y,z za e-.

• Elektron se nalazi u brzom kretanju i fotografija

koja bi bila načinjena posle prve ali samo za neki

deo sekunde kasnije,pokazala bi nov položaj e-.

• Ako bi se načinilo milion fotografija, tada bi

položaji e- na dijagramu predstavljali gomilu

razbacanih tačaka,koje bi ličile na oblak

• Oblak je veoma gust u oblastima gde je mnogo

tačaka, a difuzan u oblastima gde ima malo

tačaka

• Moguće je zamisliti sfernu površinu koja će

obuhvatati najveći broj tačaka 95%

• Ovakva interpretacija sledilo bi da je e- razmazan

u prostoru, pri čemu je gustina e- najveća na

onim mestima gde se e- kao čestica verovatno

nalazi

• Pošto je talasna funkcija kontinualna, važi da

svuda u prostoru postoji odreĎena verovatnoća za

nalaženje e-.

• Borov i Šredingerov model H-atoma se razlikuju.

• Pošto po talasnoj mehanici postoji određena verovatnoda, istina veoma mala, da se e- nađe na veoma velikom rastojanju od jezgra, to ovi oblaci nemaju određenu granicu.

• Da bi se razlikovala slika atoma po talasnoj

mehanici od slike po Boru, u talasnoj mehanici

slike atoma ne upotrebljava se pojam orbita, već

se elektronski oblak vezuje za ime orbitala-

atomska orbitala.

• AO definiše najverovatniju zapreminu u

prostoru gde e- može da se nalazi, pri čemu AO

može biti popunjena elektronima ili prazna.

• Veličina i oblik AO zavise od talasne funkcije ψ.

• Ili jednoelektronska talasna funkcija se naziva

ATOMSKA ORBITALA.

Rešenje Schrödingerove jednačine na atom

vodonika

• Atom vodinika ima 1 elektron mase m, ovakav

sistem se posmatra kao čestica redukovane mase

μ koja je data izrazom i koja se okreće oko jezgra

na rastojanju r od neke tačke

M masa jezgra, e-naelektrisanje elektrona

Elektrostatička potencijalna

energija ovog atomskog sistema

•

• Ako u jednačinu

zamenimo m sa μ , U sa –e2/r dobiće se

Ovo je diferencijalna jednačina drugog reda

Mogu imati veliki broj rešenja

Svako rešenje je definisano davanjem određenih

numeričkih vrednosti trima

parametrima,integracionim konstantama.

• Ove numeričke vrednosti dobile su naziv kvantni

brojevi-oni proizilaze iz rešenja Šredingerove j-ne

a ne na osnovu postulata kao po Boru.

Ova tri kvantna broja (n,l,ml) imaju uvek cele

vrednosti.

Jednačina se najlakše rešava ako se uvedu sferne

polarne koordinate (r,θ,φ) umestoDekartovih

(x,y,z)

Između svernih polarnih i dekartovih postoje relacije

Kada se sve sredi, zameni i koristi dug matematički put

dobija se jednačina

• Jednačina

• Talasna jednačina jednačina ne zavisi od

vremena

• Može se rastaviti na proizvod tri funkcije

• Ako sada ψ zamenimo sa R, θ, φ i ceo izraz

pomnožimo sa

• dobiće se izraz

•

• Izraz

• Treći član u jednačini ne zavisi od r i Θ i može

se napisati i izjednačiti sa konstantom:

• Zamenom ove jednačine u jednačinu gore i

deljenjem sa sin2θ dobija se jednačina koja

sadrži samo R i Θ promenljive

• Jednačina

• Drugi i treći član zavise od θ, a prvi i poslednji

zavise od r

• Za članove koji sadrže r biće uzeto da su jednaki

β, dobija se izraz

• Da bi bila zadovoljena jednačina

Članovi koji sadrže θ,moraju se izjednačiti sa –β i

dobija se izraz dat j-nom

• Jednačina

Rešavanjem ovih jednačina dobijajuj se vrednosti

za Φ,R,Θ kao i za energiju E

Talasne funkcije ψ, R, Θ, Φ moraju biti: konačne,

kontinualne i jednoznačne da bi se njihov

kvadrat mogao izjednačiti sa verovatnoćom

nalaženja elektrona na odreĎenom mestu.

• Pošto ψ2dV predstavlja verovatnoću da se e-

naĎe u elementu zapremine dV, talasna

funkcija za e- u atomu H mora da zadovolji

uslov da je integral

• Integraljenje se vrši po celom prostoru

• Talasna funkcija koja zadovoljava ovaj uslov

je NORMIRANA

• Kao krajnja rešenja dobijenih jednačina

dobijaju se kvantni brojevi:n,l,ml,

• Granični uslovi za rešavanje jednačine

su takvi da se rešenja dobijaju samo za ml=0, ±1,±2

• Kada se vrednosti za ml uvrste u j-nu

i j-na reši po Θ, dozvoljene vrednosti za Θ dobijaju

se samo za β=l(l+1) gde je l=ml,ml+1, ml+2, pri

čemu je ml apsolutna vrednost od ml.

• Najzad sa ovim vrednostima za β iz j-ne

Dobijaju se sa vrednošću –E zadovoljavajući rezultati

samo uz vrednosti koje su identične sa n=1,2,3...

Važna činjenica:dok su kvantni brojevi po Borovoj

teoriji uvedeni proizvoljno na bazi određenih

pretpostavki, oni su sada posledica rešavanja

Šredingerove j-ne.

• Rešavanje je-ne

kao talasne j-ne za H atom preko sferno polarnih

koordinata ne daje spinski kvantni broj

• Kada je Dirak modifikovao Šreding jedn, da bi

bila saglasna sa teorijom relativiteta, pokazalo

se da se e- obrće oko svoje ose i da postoje

samo dva smera što je posledica Dirakove

relativističke talasne j-ne

• Vrednosti Φ dela ukupne talasne funkcije ψ

zavise samo od ml.

• Vrednosti Θ zavise od l i ml, dok R zavisi samo od l

i n.

• Za potpunu talasnu funkciju za e- u atomu H pišemo

Ψn,l,ml(r,Θ,φ)=Rnl(r)·Θlm(θ)·Φm(φ)

Ovakva talasna funkcija koja opisuje jedan e- jeste

ATOMSKA ORBITALA

Za svaku AO vezana su tri kvantan broja koji su

međusobno povezani a posledica su rešavanja

Šred. Jedn.

U talasnoj mehanici je usvojeno isto obeležavanje

kao i kod Bora da se kada je l=0 orbitala naziva s;

l=1 p; l=2 d; l=3 f

Vrednosti glavnog kvantnog broja pišu se ispred

oznake orbitale 2s, 3p, 4d

Potrebno je navesti poslednji rezultat koji je tražen

od Šredingerove jednačine, a to je vrednost za

ukupnu energiju

• Rešavanjem jed.

• Dobija se vrednost ukupne energije u H-atomu

Identična je jednačini koju je dao Bor

• U pogledu AO i kvantnih brojeva vezanih za njih

može se reći da:

Glavni kvantni broj n-određuje veličinu orbitala i

reguliše dozvoljene energetske nivoe u atomu

Orbitalni kvantni broj l-određuje oblik orbitale

Magnetni kvantni broj ml –određuje orjentacije

AO u prostoru

Spinski kvantni broj ms-određuje smer obrtanja

e- oko svoje ose

Kvantni brojevi

Oznaka Naziv Moguće vrednosti

n Glavni kvantni broj

K L M nivo

1 2 3

l Orbitalni kvantni broj s p d podnivo

0 1 2....(n-1)

ml Magnetni kvantni broj 0, ±1, ±2,....±l

ms Spinski kvantni broj ±1/2