Equazioni e disequazioni logaritmiche 1 LOGARITMI Come si risolve l’equazione 2 3 = x ? Ossia esiste l’esponente da dare alla base 3 per ottenere 2? Come lo posso calcolare? La risposta è: esiste e si può calcolare. Dal grafico si osserva che le due funzioni x y 3 = e y = 2 si intersecano nel punto x che per definizione è uguale a 2 log 3 (si legge ogaritmo in base 3 di 2) Praticamente applico l’operazione inversa dell’esponenziale che si chiama logaritmo. Definizione di logaritmo: b x b a a x log = ⇔ = (a si chiama base, b si chiama argomento o numero) Si chiama logaritmo in base a di b e si indica con b a log l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b. Le basi più usate sono: - base 10 à b x = 10 b Log b x = = 10 log (Logaritmi decimali) - base e b e x = b b b x e ln log log = = = (Logaritmi naturali o neperiani) (e numero di Nepero e = 2,7182….) Se a e b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivono sotto forma di logaritmi : 2 log 2 3 3 = ⇒ = x PROPRIETÀ DEI LOGARITMI (seguono dalle proprietà delle potenze) Esempio di equazione esponenziale risolubile tramite i logaritmi. Risolviamo l'equazione: 7 3 5 = ⋅ x Poiché il logaritmo è una funzione biunivoca, possiamo trasformare l'equazione eseguendo il logaritmo (in una base qualsiasi, per esempio in base 10) del primo e del secondo membro: ( ) 7 3 5 3 Log Log = ⋅ 7 3 5 Log Log Log x = + proprietà 2) dei log. 7 3 5 Log Log x Log = ⋅ + proprietà 1) dei log. Isolando x otteniamo: 3 5 7 Log Log Log x − = (*) In alternativa potevamo isolare x 3 , ottenendo: 5 7 3 = x Prendendo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri si ha: 5 7 5 7 3 3 3 log log log x − = = Utilizzando la formula di cambiamento di base 4) si riottiene (*). Funzione logaritmica Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo : . x a a x log y a + ∈ ≠ > = R fissato, 1 e 0 con , La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale. Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R + ; il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R . GRAFICO DELLA FUNZIONE y=log a x, x>0 I grafici della funzione logaritmica si ottengono da quelli della funzione esponenziale per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante ( x y = ). Si distinguono due casi: EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare nell'argomento di uno o più logaritmi. Prima di risolvere l’equazione calcolo il C.E. (dominio dell’equazione) ossia i valori che l’incognita x può assumere affinché l’equazione abbia senso. Quindi tutti gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi. Es. 1 25 2 Log Logx = C.E. x>0 25 2 Log Logx = 5 25 2 ± = → = x x x=-5 non acc. La soluzione è x=5. Es. 2 ( ) 4 2 3 log 2 = − x C.E. 3x - 2>0 Per def. 4 2 2 3 = − x perciò si ha ⎩ ⎨ ⎧ = − > − 16 2 3 0 2 3 x x ⎩ ⎨ ⎧ = > e accettabil soluzione x x 6 3 / 2 Es. 3 2 4 ) 1 ( ) 3 ( 2 Log x Log x Log + − = + C.E. ⎩ ⎨ ⎧ > − > + 0 1 0 3 x x à ⎩ ⎨ ⎧ > − > 1 3 x x 4 2 2 ) 1 ( ) 3 ( Log x Log x Log + − = + ) 1 ( 16 ) 3 ( 2 − = + x Log x Log passiamo agli argomenti ) 1 ( 16 ) 3 ( 2 − = + x x perciò si ha 1 , 1 , 0 , log 1 log ) 7 1 , 1 , 0 , , log log log ) 6 log 1 log ) 5 0 , 1 , 0 log log ) 4 log 1 log ) 3 log log log ) 2 0 , 0 ) ( log log log ) 1 0 ≠ ≠ > = ≠ ≠ > = ∈ ⋅ = > ≠ > ⋅ = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − > > ⋅ = + b a b a a b base di o cambiament del formula c a c b a a b b N n b n b b a a b m b n n n m n m n m m n n m b a c c a a n a a m a a a a a a a a a 2 log 3 a>1 (es. a=2) y = log2x 0<a<1 (es. a=1/2) y = log1/2x 0<a<1 funzione decrescente ; y log x log y x a a < ⇒ > a>1 funzione crescente ; y log x log y x a a > ⇒ > a poichè b a x b a a b x b a a b a x a = = = ℜ ∈ > ≠ > = ⇔ = 1 0 log 1 0 1 log , 0 , 1 , 0 log c a c a = log es. 3 2 2 log 3 =
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Equazioni e disequazioni logaritmiche
1
LOGARITMI
Come si risolve l’equazione 23 =x ? Ossia esiste l’esponente da dare alla base 3 per ottenere 2? Come lo posso calcolare? La risposta è: esiste e si può calcolare. Dal grafico si osserva che le due funzioni
xy 3= e y = 2 si intersecano nel punto x che per definizione è uguale a 2log3 (si legge logaritmo in base 3 di 2)
Praticamente applico l’operazione inversa dell’esponenziale che si chiama logaritmo. Definizione di logaritmo:
bxba ax log=⇔=
(a si chiama base, b si chiama argomento o numero)
Si chiama logaritmo in base a di b e si indica con balog l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b. Le basi più usate sono: - base 10 à bx =10 bLogbx == 10log
(Logaritmi decimali) - base e bex = bbbx e lnloglog ===
(Logaritmi naturali o neperiani) (e numero di Nepero e = 2,7182….)
Se a e b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivono sotto forma di logaritmi :
2log23 3 =⇒=x PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
(seguono dalle proprietà delle potenze) Esempio di equazione esponenziale risolubile tramite i logaritmi.
Risolviamo l'equazione: 735 =⋅ x Poiché il logaritmo è una funzione biunivoca, possiamo trasformare l'equazione eseguendo il logaritmo (in una base qualsiasi, per esempio in base 10) del primo e del secondo membro:
( ) 735 3 LogLog =⋅
735 LogLogLog x =+ proprietà 2) dei log. 735 LogLogxLog =⋅+ proprietà 1) dei log.
Isolando x otteniamo: 357
LogLogLogx −
= (*)
In alternativa potevamo isolare x3 , ottenendo:
573 =x
Prendendo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri si ha:
57
57
333 logloglogx −==
Utilizzando la formula di cambiamento di base 4) si riottiene (*).
Funzione logaritmica Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo :
.xaaxlogy a+∈≠>= R fissato, 1 e 0con ,
La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale. Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R+ ; il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R .
GRAFICO DELLA FUNZIONE y=logax, x>0
I grafici della funzione logaritmica si ottengono da quelli della funzione esponenziale per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante ( xy = ). Si distinguono due casi:
EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare nell'argomento di uno o più logaritmi. Prima di risolvere l’equazione calcolo il C.E. (dominio dell’equazione) ossia i valori che l’incognita x può assumere affinché l’equazione abbia senso. Quindi tutti gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi. Es. 1 252 LogLogx = C.E. x>0
252 LogLogx =
5252 ±=→= xx x=-5 non acc. La soluzione è x=5. Es. 2 ( ) 423log2 =−x C.E. 3x - 2>0
Per def. 4223 =−x perciò si ha
⎩⎨⎧
=−
>−
1623023
xx
⎩⎨⎧
=
>
eaccettabilsoluzionexx63/2
Es. 3 24)1()3(2 LogxLogxLog +−=+
C.E. ⎩⎨⎧
>−
>+
0103
xx
à ⎩⎨⎧
>
−>
13
xx
42 2)1()3( LogxLogxLog +−=+
)1(16)3( 2 −=+ xLogxLog passiamo agli
argomenti )1(16)3( 2 −=+ xx perciò si ha
1,1,0,log1log)7
1,1,0,,loglog
log)6
log1log)5
0,1,0loglog)4
log1log)3
logloglog)2
0,0)(logloglog)1
0
≠≠>=
≠≠>=
∈⋅=
>≠>⋅=
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
>>⋅=+
babaa
b
basediocambiamentdelformula
cacbaab
b
Nnbn
b
baabmb
nn
nmnm
nmmnnm
ba
c
ca
an
a
am
a
aa
aaa
aaa
2log3
a>1 (es. a=2) y = log2x
0<a<1 (es. a=1/2) y = log1/2x
0<a<1 funzione decrescente ; ylogxlogyx aa <⇒>
a>1 funzione crescente
; ylogxlogyx aa >⇒>
aapoichéa
apoichè
ba
xbaabxba
a
a
ba
x
a
==
==
=
ℜ∈>≠>=⇔=
1
0
log
1log
101log
,0,1,0log
ca ca =log es. 32 2log3=
Equazioni e disequazioni logaritmiche
2
-3 1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++
>−
>+
161696
0103
2 xxx
xx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
>
−>
02510
13
2 xx
xx
525255 =−±=x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>
−>
513
xxx
⎩⎨⎧
=
>
..51
accsolxx
Es. 4 ( ) ( ) 2log2log1log 333 −=−−+ xxx
C.E. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>⇒
>
>
−>
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>−
>+
2 021
0
0201
xxxx
xxx
Per la propr.3) e osservando che 2
3 3log2 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+233 32
1 xlogxxlog
Uguagliando gli argomenti si ha:
2157110911
202..92
1
2,12 ±
=⇒=−−⇒
≠→≠−=−
+
xxx
xxECxxx
Il valore 215711−
=x è minore di 2, quindi non
è compatibile con le condizioni di esistenza. L'unica soluzione dell'equazione è data da:
215711+
=x
Es. 5 6log3log4 82 =− xx C.E. x >0
68log
log3log42
22 =−
xx 63
log3log4 22 =
//−
xx
6log3 2 =x 2log2 =x 422 ==x
⎩⎨⎧
=
>
..40
accettsoluzxx
Es. 6 312 =+Logx
Logx
C.E. ⎩⎨⎧
≠
>
00
Logxx
⎩⎨⎧
≠
>
10
xx
0132 2 =+− LogxLogx poniamo Logxy =
0132 2 =+− yy
413
4893
2,1±
=−±
=y 211 == yy
101 =→= xLogx soluz. accett.
101021 2
1
==→= xLogx soluz. accett.
DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
Una disequazione si dice logaritmica se l’incognita compare come argomento di uno o più logaritmi.
)(log)(log xgxf aa ≤ se a>1 f(x)≤ g(x)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
>
>
→
)()(0)(0)(
xgxfxgxf
se 0<a<1 f(x) ≥g(x) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
>
>
→
)()(0)(0)(
xgxfxgxf
Es. 1 01log2 3 ≤−x C.E. x > 0
21log3 ≤x 2
1
33 3loglog ≤x 21
3≤x
3≤x ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>→
3
0
x
x
S: 30 ≤< x Es. 2 1log
21 −<x C.E. x > 0
1
21
21 2
1loglog−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<x 2>→ x
⎩⎨⎧
>
>
20
xx
S: x >2
Es. 3 ( ) 2log2log3log
2133 ≥−− xx
C.E. ⎩⎨⎧
>
>−
003
xx
cioè x>3
Poiché 91log22log2 3
21 =−= allora,
( )91loglog3log 333 +≥− xx
( ) xx91log3log 33 ≥− poiché la base è >1
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
>
>
→>−
82730
913
x
xx
xx quindi 827
≥x
Es. 4 0log4log 2
22 <+ xx ossia
( ) 0log4log 22
2 <+ xx C.E. x >0 poniamo xy 2log=
042 <+ yy 042 =+ yy 0)4( =+yy
0=y 4−=y
da cui -4 < y < 0 ossia -4 < x2log < 0
⎩⎨⎧
<<−
>
0log40
2 xx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
−>
>
0log4log
0
2
2
xx
x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>
>
11610
x
x
x
S:
161 < x < 1
Es. 5 0)52(loglog 3
21 >−x
1log)52(loglog213
21 >−x
C.E. ⎩⎨⎧
>−
>−
0)52(log052
3 xx
Per risolvere la disequazione passo agli argomenti, dato che ho due logaritmi con la
stessa base ad entrambi i membri. Il logaritmo con la base minore di 1 è decrescente. Quindi cambia il verso della disequazione che diventa:
1)52(log3 <−x
0 2
0 3
⊕ -4 - 0 ⊕
0 1/16 1
Equazioni e disequazioni logaritmiche
3
Le soluzioni finali saranno accettabili se sono verificate contemporaneamente le condizioni di esistenza dei logaritmi:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
>−
>−
1)52(log0)52(log
052
3
3
xx
x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
>−
>−
3log)52(log1log)52(log
052
33
33
xx
x
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−
>−
>
352152
25
xx
x
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
>
>
4325
xx
x
S: 3 < x < 4
5/2 3 4
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