[sb] คณิตฯเพิ่มเติม ม4 เล่ม1 N1 002-043academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1520491093_example.pdf · ∧“ผู้พันได้คะแนน

คณตศาสตร

ผเรยบเรยงนางกนกวล อษณกรกล รศ.ดร. อาพล ธรรมเจรญ นายไอศรย สดประเสรฐ

นางจนดา อยเปนสข นายรณชย มาเจรญทรพย นายวฒชย ศรวสธากล

นางนพรตน วนแกว นางสาวสายสณ สทธจกษ

ผตรวจดร. ขวญ เพยซาย นางสาวรจรา พพธพจนการณ นางสาวบรนาถ เฉยฉน

บรรณาธการนางสาวจนทรเพญ ชมคช

ตามผลการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม

ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 1

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2561

พมพครงท 1 จานวนพมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-768-9

รหสสนคา 3416004

คาแนะนาในการใชสอ

¤ÇÃÃÙŒ¡‹Í¹àÃÕÂ¹

•สมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยวคอสมกำรพหนำมตวแปรเดยวทมดกรเทำกบ2

•รปทวไปของสมกำรก�ำลงสองคอax2+bx+c=0เมอa,b,cเปนคำคงตวและa≠0

•กำรแยกตวประกอบพหนำมดกรสองในรปax2+bx+cเมอb≠0และc=0โดยใชสมบตกำรแจกแจงเชนx2+2x=x(x+2)

•กำรแยกตวประกอบพหนำมดกรสองในรปax2+bx+c เมอa=1,b≠0และc≠0 เชน x2+5x+6=(x+2)(x+3) เมอa≠1,b≠0และc≠0 เชน 6x2-x-2 =(3x-2)(2x+1)

•กำรแยกตวประกอบพหนำมดกรสองทอยในรปก�ำลงสองสมบรณ

x2+2ax+a2=(x+a)2 เชน x2+6x+9=(x+3)2 x2-2ax+a2=(x-a)2 เชน x2- 6x+9=(x-3)2

•กำรแยกตวประกอบพหนำมดกรสองทอยในรปผลตำงของก�ำลงสอง

x2-a2=(x-a)(x+a) เชน x2-25=(x-5)(x+5)

•คำสมบรณของจ�ำนวนเตมหมำยถงระยะหำงระหวำงจ�ำนวนนนกบศนยบนเสนจ�ำนวน

•เมอaเปนจ�ำนวนเตมใดๆ เขยนแทนคำสมบรณของaดวยสญลกษณ∙a∙

•คำสมบรณของจ�ำนวนเตมใดๆ ทไมใชศนยจะเปนจ�ำนวนเตมบวก และคำสมบรณของศนย

เทำกบศนยเสมอ

เซตของจ�ำนวนจรง(R)

เซตของจ�ำนวนตรรกยะ(Q)

เซตของจ�ำนวนเตมลบ(I-){…,-3,-2,-1}

เซตของจ�ำนวนเตมบวก(I+){1,2,3,…}

เซตของจ�ำนวนเตมศนย(I0){0}

เซตของจ�ำนวนอตรรกยะ(Q′)

เซตของจ�ำนวนเตม(I) เซตของจ�ำนวนตรรกยะทไมเปนจ�ำนวนเตม

จ�ำนวนจรง 109

A พดไมจรงคะ

B พดจรงครบ

E

ปรศนา¨Ñºá¡Ð??

D เปนแกะครบหนไมไดเปน

แกะคะ

E ไมไดเปนแกะครบ

มนกเรยน 5 คน ก�าลงวงเลนไลจบ โดยนกเรยนหนงคนจะรบบทบาทเปนแกะคอยหนการไลจบจาก

เพอน ๆ คณครทเดนผานมาเกดความสนใจ จงถามนกเรยนวา “ใครเลนเปนแกะคะ” นกเรยนแตละคน

จงตอบครคนละหนงประโยค และมนกเรยน 3 ใน 5 คน เทานนทพดจรง ดงตอไปน

แนวคด พจารณาคาความจรงจากค�าพดของแตละคนโดยใชคาความจรงจากค�าพดของ A เปนหลก ไดดงน

นกเรยนคดวา ขอมลทงหมดเพยงพอทจะใหผลสรปวาใครเปนแกะไดหรอไม ถาสามารถสรปผลได

นกเรยนคนใดเปนแกะ

ถาAพดจรง(Dเปนแกะ)

ถาAพดเทจ:Dพดจรง

Bเปนแกะ Bไมไดเปนแกะ

A D เปนแกะครบ T F F

B หนไมไดเปนแกะคะ T F T

C E ไมไดเปนแกะครบ T T F

D A พดไมจรงคะ F T T

E B พดจรงครบ T F T

DC

BA

นกเรยนทราบแลววาตรรกศาสตรเปนวชาทเกยวของกบการใหเหตผล แตการฝกสมองใหคดอยาง

เปนเหตเปนผลและเปนระบบอาจดไมสนก ใหนกเรยนลองจนตนาการถงนกหมากรก 2 คน ก�าลงขบคด

วางแผน วางกลอบายเพอใหชนะฝายตรงขาม หรอการแกโจทยปญหายาก ๆ และมความซบซอนทาง

คณตศาสตรทยงคดเทาไรกคดไมออก แตถาพดถงเกมนกเรยนหลาย ๆ คน คงจะยมออก และกลบมา

สนใจเรองนอกครง

ดวยความกาวหนาทางวทยาศาสตรและเทคโนโลยจงไดมการวจยและพฒนารปแบบเกมตาง ๆ เปนจ�านวน

มาก ทจะชวยพฒนาระบบการคดในเชงตรรกะ การวางแผนและการแกปญหาอยางเปนระบบ

ใหนกเรยนพจารณาและศกษากระบวนการแกปญหาจากสถานการณตอไปน

กจกรรม คณตศาสตร

ตรรกศาสตร 101

ปรศนาสามทหารเสอ?? นายทหารหนมใหญสามคนแหงกองทพ ผพนยอดชาย พลตรองอาจ และนายพลเยยมยทธ นดกน

ไปซอมยงปนในคาย หลงจากแตละคนยงครบจงออกไปตรวจสอบคะแนนบนเปายงของตนเอง

ผพนยอดชาย : “ผมยงไดคะแนนรวม 180 คะแนน”

“คะแนนของผมมากกวาทานนายพลตง 40 คะแนน”

“แตคะแนนของผมนอยกวาคะแนนของพลตรองอาจอย 20 คะแนน”

พลตรองอาจ : “คะแนนของทานนายพลสงทสดคอ 240 คะแนน”

“คะแนนของผมหางจากทานนายพลตง 60 คะแนน”

“แตคะแนนของผมไมเปนทโหลหรอกนะ”

นายพลเยยมยทธ : “ผมไดคะแนนนอยกวาพลตรองอาจแฮะ”

“ผพนไดคะแนน 220 คะแนน”

“สวนพลตรองอาจไดคะแนนมากกวาผพนยอดชาย 60 คะแนน”

ค�ากลาวอางของสามทหารเสอแตละคนม1ประโยคทไมเปนจรงนกเรยนทราบหรอไมวาประโยคใดบาง

ทไมเปนจรงและแตละคนยงปนไดคะแนนคนละเทาไร

ใหนกเรยนสรางเกมเชงตรรกะจ�านวน1เกมพรอมทงวางแผนและแสดงการแกปญหา

กรณท1 ถา A พดจรง นนคอ D เปนแกะ จะพบวาคนทพดเทจมเพยง D คนเดยวซงไมสอดคลองกบ

เงอนไขของโจทย

กรณท2 ถา A พดเทจจะพบวา D พดจรง จงท�าใหผตองสงสยทจะเปนแกะ คอ B, C และ E

• ถา B เปนแกะ นนคอ B พดเทจ E จะพดเทจดวย

และ C จะพดจรง ซงไมสอดคลองกบเงอนไข

ของโจทย

• ถา B ไมไดเปนแกะ นนคอ B พดจรง E จะพดจรงดวย

และ C จะพดเทจ ซงสอดคลองกบเงอนไขของโจทย

ดงนน ถา C พดเทจ จะทราบวา E เปนแกะ

ใหนกเรยนลองวางแผนและแสดงการแกปญหาโดยเรมจากค�าพดของนกเรยนคนอน

จากตวอยางการแกปรศนาขางตนใหนกเรยนวางแผนและแสดงกระบวนการแกปญหาในปรศนาทก�าหนด

ตอไปน

F

T

F

T

T

F

B

B

E

E

C

C

102

ใหนกเรยนพจารณาคาความจรงของรปแบบของประพจน p ∧ ∼p จากตารางคาความจรง

ทก�าหนด

จะเหนวา คาความจรงของรปแบบของประพจน p ∧ ∼p มคาความจรงเปนเทจทกกรณซง

ตรงขามกบการเปนสจนรนดร เราเรยกรปแบบของประพจน p ∧ ∼p วาขอขดแยง(Contradiction)

รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนเทจทกกรณ เรยกวา ขอขดแยงบทนยาม

Thinking Time ใหนกเรยนหาคาความจรงของรปแบบของประพจน ∼[(p ∨ ∼p) ∨ (p ∧ ∼p)]

แนวขอสอบ PAT 1

ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร

1. [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] 2. ∼[(p ∨ q) ∨ r] ↔ [∼(p ∧ q) ∧ ∼r]

3. [(p → r) ∧ (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r] 4. [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)]

แนวคด

1. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

ดงนน [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ไมเปนสจนรนดร

2. ∼[(p ∨ q) ∨ r] ≡ ∼(p ∨ q) ∧ ∼r

ดงนน ∼[(p ∨ q) ∨ r] ↔ [∼(p ∧ q) ∧ ∼r] ไมเปนสจนรนดร

3. (p → r) ∧ (q → r) ≡ (∼p ∨ r) ∧ (∼q ∨ r)

≡ (∼p ∧ ∼q) ∨ r

≡ ∼(p ∨ q) ∨ r

≡ (p ∨ q) → r

ดงนน [(p → r) ∧ (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r] ไมเปนสจนรนดร

4. (p ∨ q) → r ≡ ∼r → ∼(p ∨ q)

≡ ∼r → (∼p ∧ ∼q)

ดงนน [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)] เปนสจนรนดร

p ∼p p ∧ ∼p

T F F

F T F

ตรรกศาสตร 77คณตนาร

∀ แทนตวบงปรมาณค�าวา ∃ แทนตวบงปรมาณค�าวา

“ส�าหรบทงหมด” (for all) “ส�าหรบบาง” (for some)

“ส�าหรบทก” (for every) “มอยางนอยหนง” (there exist) “ส�าหรบแตละ” (for each)

ตวอยางท 23

ใหเขยนขอความตอไปนใหอยในรปสญลกษณเมอเอกภพสมพทธเปนเซต

ของจ�านวนจรง

1) ส�าหรบ x ทกจ�านวน x + 0 = x 2) ส�าหรบจ�านวนจรง x บางจ�านวน x + 3 = 2x 3) มจ�านวนจรง x อยางนอยหนงจ�านวนท ∙x∙ < 3

4) ส�าหรบ x ทกจ�านวน ถา x เปนจ�านวนตรรกยะ แลว x เปนจ�านวนจรง

5) จ�านวนนบทกจ�านวนเปนจ�านวนจรง

6) มจ�านวนเตมบางจ�านวน x + x = 3x

วธท�า 1) ∀x[x + 0 = x], 𝒰𝒰 = R

2) ∃x[x + 3 = 2x], 𝒰𝒰 = R

3) ∃x[∙x∙ < 3], 𝒰𝒰 = R

4) ∀x[x∊Q → x∊R], 𝒰𝒰 = R

5) ∀x[x∊N], 𝒰𝒰 = R

6) ∃x[x∊I ∧ x + x = 3x], 𝒰𝒰 = R

ใหเขยนขอความตอไปนอยในรปสญลกษณ เมอเอกภพสมพนธเปนเซตของจ�านวนจรง1) ส�าหรบ x บางจ�านวน x2 - x = 02) ส�าหรบ x ทกจ�านวน x + x = 2x3) มจ�านวนจรง x อยางนอยหนงจ�านวน ∙x∙ > 54) จ�านวนนบทกจ�านวนเปนจ�านวนตรรกยะ5) จ�านวนอตรรกยะทกจ�านวนเปนจ�านวนจรง6) มจ�านวนเตมบางจ�านวน 3x + x = 5x

ลองทาด

88

1. ใหพจารณาวาประโยคหรอขอความทก�าหนดในแตละขอ เปนประพจนหรอไมเปนประพจน

เพราะเหตใดและในกรณทเปนประพจนใหบอกคาความจรงของประพจนนน

1) จงอธบายดวยเหตผล

2) โลกเปนบรวารของดวงอาทตย

3) กรณารบบตรควคะ

4) นธศเปนนกเรยน

5) หนงสอเรยนเลมแรกของประเทศไทย ชอวา “จนตมณ”

แบบฝกทกษะ 2.1

ระดบพนฐาน

ระดบกลาง

ระดบทาทาย

2. ใหพจารณาวาประโยคหรอขอความทก�าหนดในแตละขอ เปนประพจนหรอไมเปนประพจน

เพราะเหตใดและในกรณทเปนประพจนใหบอกคาความจรงของประพจนนน

1) ∅ ∩ { 0 } = { 0 } 2) { 1, 2, 3 } - { 0 } = { 1, 2 }

3) P({ 1, a, 2, b, 3 }) มสมาชก 8 ตว

4) 11∉{ 1, 3, 5, 7, ..., 99 }

5) 2 เปนค�าตอบหนงของสมการ x2 + x = 6

3. ใหเขยนประโยคหรอขอความทเปนประพจนมา5ประพจนพรอมทงบอกคาความจรงของ

ประพจนนนๆ

4. ใหเขยนประโยคหรอขอความทไมเปนประพจนมา 5 ประโยค พรอมทงบอกเหตผลทท�าให

ประโยคหรอขอความนนๆ ไมเปนประพจน

5. ใหพจารณาขอความตอไปนวาเปนประพจนหรอไมเพราะเหตใด

1) ก�าหนด x เปนจ�านวนจรงใด ๆ x2 - 2x + 1 ≥ 0

2) ก�าหนด x เปนจ�านวนจรงใด ๆ x2 - 2x + 3 > 0 ÑดรÙ»อÊÁกÒรเ»šนกíาลÑงÊองÊมºÙรณ�

แนะแนวคด


คณตศาสตรในชวตจรง

นำงสำววณำเดนซอของในซปเปอรมำรเกตดวยรถเขนคนหนง ซงมมวลหนก 4 กโลกรม

โดยทควำมเรวมคำเปนบวก ถำนำงสำววณำเขนรถดวยควำมเรวใหมซงมคำมำกกวำสองเทำของ

ควำมเรวเดมอย1เมตรตอวนำทท�ำใหมพลงงำนจลนเพมขน80จลนำงสำววณำจะเขนรถดวย

ควำมเรวเดมเทำใด

พลงงำนจลน(kineticenergy)

เปนพลงงำนของวตถขณะทวตถก�ำลงเคลอนท ซงจะหำพลงงำนจลนไดจำกปรมำณงำน

ทท�ำไดทงหมดของวตถทก�ำลงเคลอนทไปท�ำงำนอยำงหนงจนกระทงวตถหยดนง โดยสำมำรถเขยน

ควำมสมพนธระหวำงพลงงำนจลนของวตถกบมวลและควำมเรวของวตถไดดงน

Ek=12 mv

2

เมอEkคอพลงงำนจลนมหนวยเปนจล(J)

และmคอมวลของวตถมหนวยเปนกโลกรม(kg)

และvคอควำมเรวของวตถมหนวยเปนเมตรตอวนำท(m/s)

สถำนกำรณ

140

4แบบฝกทกษะ ประจาหนวยการเรยนรท

คาชแจง : ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. ใหหาเศษเหลอทไดจากการหารp(x)ดวยx-cในแตละขอตอไปน

1) p(x)=x3-2x2+4x-5,c=2 2) p(x)=x4-3x2+5x-7,c=-1 3) p(x)=3x4-4x3+2x2-4x+8,c=1 4) p(x)=(x2+3x+1)(x2-5x+4),c=-32 2. ใหหาเซตค�าตอบของสมการในแตละขอตอไปน

1) x3-4x2-15x+18=0 2) 2x3-3x2-29x+60=0 3) 6x4-11x3-39x2+14x=0 4) 9x4+3x3-68x2+28x+48=0

3. ใหหาเซตค�าตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) x+12x-5≥3

2) x2-11x-12>0

3) (x2-4)(x+3)≤0

4) x2-x-6

x2+x-6>0

4. ใหหาเซตค�าตอบของสมการคาสมบรณในแตละขอตอไปน

1) ∙ 4x-5∙=3 2) ∙ 3x-2∙=∙ 2x+4∙ 3) ∙ 4-3x∙=x+2 4) ∙ x+3∙+∙ 2x-3∙ =∙3x∙

5. ใหหาเซตค�าตอบของอสมการคาสมบรณในแตละขอตอไปน

1) 2x>∙ x+2∙ 2) ∙ x+3∙≥∙ 2x-6∙

3) ∙ x-1∙+∙ 3x-6∙ <11 4) ∙ x+1 ∙-1∙ x+1 ∙

≤23

พหนามและเศษสวนของพหนาม

211

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 1 จดทาขน

สาหรบใชประกอบการเรยนการสอน ชนมธยมศกษาปท 4 โดยดาเนนการจดทาใหสอดคลองตามผลการเรยนร

ในสาระการเรยนรเพมเตม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560) ตามหลกสตรแกนกลาง

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ทกประการ สงเสรมทกษะทจาเปนสาหรบการเรยนรในศตวรรษท 21

ทงทกษะดานการคดวเคราะห การคดอยางมวจารณญาณ การแกปญหา การคดสรางสรรค การใชเทคโนโลย

การสอสาร และการรวมมอ เพอใหผเรยนรเทาทนการเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และ

สภาพแวดลอม สามารถแขงขนและอยรวมกบประชาคมโลกได

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 น คณะผเรยบเรยงไดจดแบง

ออกเปน 2 เลม ดงน

QR Codeรองรบการเรยนรผานสอดจทอล

ลองทาดเพอใหผเรยนไดฝกทาจนเกดความชานาญ

กจกรรมคณตศาสตรเพอสงเสรมการเรยนรแบบ Active Learning

แนวขอสอบเขาศกษาตอในระดบอดมศกษา เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคดกอนสอบจรง

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรเพอประเมนความรความเขาใจของผเรยนประจาหนวยการเรยนร

แนะแนวคดเทคนคตาง ๆ ทชแนะวธการแกโจทยทางคณตศาสตร

แบบฝกทกษะแบงระดบความยากงาย เหมาะสมกบระดบการเรยนรของผเรยน

องคประกอบตาง ๆ ในแตละหนวย

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 4หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 3

1. การเชอมประพจนดวยตวเชอม“และ” (Propositional Connectives with “and”) ใหนกเรยนพจารณาประพจนตอไปน

ก�าหนด p แทน2เปนจ�านวนเฉพาะ

q แทน3เปนจ�านวนค

เมอเชอมประพจนทงสองดวย“และ”จะไดรปแบบของประพจนคอ

2 เปนจ�านวนเฉพาะและ3เปนจ�านวนค

ใชสญลกษณp ∧ qแทน p และ q

การเชอมประพจนดวย“และ”มขอตกลงวารปแบบของประพจนทเกดขนจะมคาความจรง

เปนจรงในกรณทประพจนทน�ำมำเชอมมคำควำมจรงเปนจรงทงค สวนกรณคาความจรงอนๆ

รปแบบของประพจนมคาความจรงเปนเทจ

นกเรยนสามารถเขยนตารางแสดงคาความจรง(TruthTable)ของp∧qทขนอยกบคาความจรง

ของpและคาความจรงของqไดดงน

p q p ∧ q

T T T

T F F

F T F

F F F

นกเรยนอาจสรปความหมายของค�าวา“และ”ในตรรกศาสตรหมายถงทกประพจนดงนน

ประพจนทเชอมดวย“และ”จะเปนจรงได เมอประพจนยอยทกประพจนเปนจรงทงหมด

พจารณาคาความจรงของ“2เปนจ�านวนเฉพาะและ3เปนจ�านวนค”

2 เปนจ�านวนเฉพาะ มคาความจรงเปนจรง

3 เปนจ�านวนค มคาความจรงเปนจรง

ดงนนรปแบบของประพจน“2เปนจ�านวนเฉพาะและ3เปนจ�านวนค”มคาความจรงเปนจรง

พจารณาคาความจรงของ“2+2=4และ2+4=8”

2+2=4 มคาความจรงเปนจรง

2+4=8 มคาความจรงเปนเทจ

ดงนนรปแบบของประพจน“2+2=4และ2+4=8”มคาความจรงเปนเทจ

52 การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” โดยการน�าเสนอดวยแผนภาพเวนน

เซตหนวยการเรยนรท1

จำกกำรส�ำรวจควำมชอบขนมมำกำรองไสตำงๆ ของนกเรยนกลมหนงพบวำมไสยอดนยมสำมชนดคอมำกำรองไสคสตำรด มำกำรองไสชอกโกแลต และมำกำรองไสบตเตอรครม ทงนนกเรยนหนงคนอำจชอบไสมำกำรองมำกกวำ1ชนดหรอไมชอบเลยกได

ÍÂÒ¡·ÃÒºÇ‹Ò¹Ñ¡àÃÕÂ¹·ÕèªÍºÁÒ¡ÒÃÍ§·Ñé§ÊÒÁª¹ Ô ÁÕ Ó¹Ç¹à·‹Òã´ áÅÐãªŒ¤ÇÒÁÃÙŒàÃ×èÍ§à«µã¹¡ÒÃËÒ¤ÓµÍº

ä´ŒÍÂ‹Ò§äÃ

ผลการเรยนร• เขำใจและใชควำมรเกยวกบเซตในกำรสอสำรและสอควำมหมำยทำงคณตศำสตร

สาระการเรยนรเพมเตม• ควำมรเบองตนและสญลกษณพนฐำนเกยวกบเซต• ยเนยนอนเตอรเซกชนและคอมพลเมนตของเซต

ผลการเรยนรทสอดคลองกบเนอหาในหนวยการเรยนร

ประพจน

รปแบบของประพจนทสมมลกน

สรปแนวคดหลก

ตรรกศาสตร

• ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมคาความจรงเปนจรงหรอเทจอยางใดอยางหนงเทานน

• ตวเชอม “และ” มคาความจรงทเปนจรง กรณเดยวคอT∧T

• ตวเชอม “หรอ” มคาความจรงทเปนเทจ กรณเดยวคอF∨F

• ตวเชอม “ถา...แลว” มคาความจรงทเปนเทจ กรณเดยวคอ T → F• ตวเชอม “ก ตอเมอ” มคาความจรงเปนจรง สองกรณ คอ คาความจรงเหมอนกน T ↔T และ F ↔F

1.กฎการสลบท(CommutativeLaw)

p∧q ≡ q∧p p ∨q ≡ q∨p

p↔q ≡ q↔p

2.กฎการเปลยนกลม(AssociativeLaw)

(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r) (p ∨q) ∨r ≡ p ∨(q ∨r)

3.กฎการแจกแจง(DistributiveLaw)

p ∨(q∧r) ≡ (p ∨q)∧(p ∨r) p∧(q ∨r) ≡ (p∧q) ∨(p∧r)

5. กฎการนเสธสองชน(LawofDoubleNegation)

∼(∼p) ≡ p

6. กฎการสมมล(LawofEquivalence)

p ↔q ≡ (p → q)∧(q → p)

7. กฎการมเงอนไข(LawofImplication)

∼p → q ≡ p∨q p → q ≡ ∼p ∨q

8. กฎการแยงสลบท(LawofContrapositive)

p → q ≡ ∼q→∼p4. กฎเดอมอรแกน(DeMorgan'sLaw)

∼(p∧q) ≡ ∼p ∨∼q ∼(p ∨q) ≡ ∼p∧∼q

การเชอมประพจน

• ตวเชอมของประพจนม 5 ตวเชอม ดงตาราง

p q p∧q p∨q p→q p↔q ∼p

T T T T T T F

T F F T F F F

F T F T T F T

F F F F T T T

• ก�าหนด p, q และ r เปนประพจน

104

การอางเหตผล

( p1∧p2∧…∧pn) → cเหต ผล

• การตรวจสอบความสมเหตสมผลของ การอางเหตผลใหใชวธการตรวจสอบ สจนรนดร - ถาไดประพจนเปนสจนรนดร จะสรป

ไดวาการอางเหตผลสมเหตสมผล - ถาไมไดประพจนเปนสจนรนดร

จะสรปไดวาการอางเหตผล ไมสมเหตสมผล

นเสธของประโยคเปดทมตวบงปรมาณ

ประโยคเปด• ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปรและไมเปนประพจน แตเมอแทนคาตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวเปนประพจน

สจนรนดร• การตรวจสอบวารปแบบของประพจนใดเปนสจนรนดร สามารถตรวจสอบได 3 วธ 1. การสรางตารางคาความจรง ถาคาความจรงเปนจรงทกรณ แสดงวารปแบบของประพจนนนเปนสจนรนดร 2. วธการหาขอขดแยง สมมตใหรปแบบของประพจนทตองการตรวจสอบมคาความจรงเปนเทจ จากนนหาคาความจรงของประพจนยอย แลวพจารณาวาขดแยงกนหรอไม - ถามขอขดแยงเกดขน แสดงวารปแบบของประพจนเปนสจนรนดร - ถาไมมขอขดแยงเกดขน แสดงวารปแบบของประพจนไมเปนสจนรนดร 3. ใชรปแบบของประพจนทสมมลกน

ตวบงปรมาณ• ประโยคเปดทมตวบงปรมาณ และมเอกภพสมพทธเปนประพจน ก�าหนดให P(x) แทนประโยคเปดทม x เปนตวแปร ∀x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตวใน

เอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรงทงหมด ∀x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตว

ในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจ ∃x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตว

ในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรง ∃x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตวใน

เอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจทงหมด

• เปลยนจาก ∀ เปน ∃ และจาก ∃ เปน ∀ โดยไมมการสลบต�าแหนง และใสนเสธทประโยคเปด ซงอยภายในเครองหมายวงเลบ เชน

ให 𝒰𝒰 = { a1, a2, ..., an } ∀x[P(x)] ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧ ... ∧ P(an) ∃x[P(x)] ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∨ ... ∨ P(an) ∼∀x[P(x)] ≡ ∼P(a1) ∨ ∼P(a2) ∨ ... ∨ ∼P(an) ≡ ∃x[∼P(x)] ∼∃x[P(x)] ≡ ∼P(a1) ∧ ∼P(a2) ∧ ... ∧ ∼P(an) ≡ ∀x[∼P(x)]


คาถามประจาหนวยการเรยนรทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยการเรยนร

ควรรกอนเรยนทบทวนความรเดม เพอเชอมโยงเขาสเนอหาใหม

คณตนารเสรมความร หรอขอสงเกตทไดจากเนอหาทเรยน

Thinking Timeคาถามกระตนใหผเรยนไดคดตอยอดจากเนอหาทเรยน


ทเชอมโยงความรคณตศาสตรไปใชในชวตจรง

สรปแนวคดหลกโดยรวมของหนวยการเรยนร เพอทบทวนความรใหแกผเรยน

สาระการเรยนรเพมเตมขอบขายเนอหาในหนวยการเรยนร

สารบญ คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 1

หนวยการเรยนรท 1

หนวยการเรยนรท 2 หนวยการเรยนรท 4

เซต 2

1.1 เซต 4

1.2 เอกภพสมพทธ 10

1.3 สบเซตและเพาเวอรเซต 12

1.4 แผนภาพเวนน 16

1.5 การดาเนนการของเซต 19

1.6 จานวนสมาชกของเซตจากด 29

คณตศาสตรในชวตจรง 38

สรปแนวคดหลก 39

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 42

พหนามและเศษสวนของพหนาม 146

4.1 ตวประกอบของพหนาม 148

4.2 สมการพหนามตวแปรเดยว 164

4.3 สมบตของการไมเทากน 168

4.4 ชวงและการแกอสมการพหนาม 171

4.5 การดาเนนการของเศษสวนของพหนาม 187

4.6 สมการและอสมการเศษสวนของพหนาม 193

4.7 สมการและอสมการคาสมบรณของพหนาม 198




บรรณานกรม 212


2.1 ประพจน 46

2.2 การเชอมประพจน 50

2.3 การหาคาความจรงของรปแบบของประพจน 59

2.4 การสรางตารางคาความจรง 63

2.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน 66

2.6 สจนรนดร 72

2.7 การอางเหตผล 79

2.8 ประโยคเปด 85

2.9 ตวบงปรมาณ 87

2.10 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว 90

2.11 สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ 96




จานวนจรง 108

3.1 จานวนจรง 110

3.2 สมบตของระบบจานวนจรง 116

3.3 การนาสมบตของจานวนจรงไปใชในการแกปญหา 131

3.4 คาสมบรณ 137




หนวยการเรยนรท 3

เซตหนวยการเรยนรท1 ¤ÇÃÃÙŒ¡‹Í¹àÃÕÂ¹

จำกกำรส�ำรวจควำมชอบขนมมำกำรองไสตำงๆ ของนกเรยนกลมหนงพบวำมไสยอดนยมสำมชนดคอมำกำรองไสคสตำรด มำกำรองไสชอกโกแลต และมำกำรองไสบตเตอรครม ทงนนกเรยนหนงคนอำจชอบไสมำกำรองมำกกวำ1ชนดหรอไมชอบเลยกได

ÍÂÒ¡·ÃÒºÇ‹Ò¹Ñ¡àÃÕÂ¹·ÕèªÍºÁÒ¡ÒÃÍ§·Ñé§ÊÒÁª¹ Ô ÁÕ Ó¹Ç¹à·‹Òã´ áÅÐãªŒ¤ÇÒÁÃÙŒàÃ×èÍ§à«µã¹¡ÒÃËÒ¤ÓµÍº

ä´ŒÍÂ‹Ò§äÃ

ผลการเรยนร• เขำใจและใชควำมรเกยวกบเซตในกำรสอสำรและสอควำมหมำยทำงคณตศำสตร

สาระการเรยนรเพมเตม• ควำมรเบองตนและสญลกษณพนฐำนเกยวกบเซต• ยเนยนอนเตอรเซกชนและคอมพลเมนตของเซต

ในโลกนมสตวหลำยชนดนกวทยำศำสตรจงไดแบงสตวเปน2ประเภทโดยใชกระดกสนหลง

เปนเกณฑดงน

จำกตำรำง เปนตวอยำงกำรแบงสตวออกเปนกล มทมลกษณะโครงสรำงแตกตำงกน

ส�ำหรบวชำคณตศำสตรมกำรแบงกลมสงตำงๆ ทสนใจเชนจ�ำนวนจรงแบงไดเปนจ�ำนวนตรรกยะ

จ�ำนวนอตรรกยะจ�ำนวนเตมบวกจ�ำนวนเตมลบและจ�ำนวนเตมศนยเปนตนซงกำรแบงกลมตำงๆ น

นกเรยนจะศกษำละเอยดไดในเรองเซต

เซต 3

1. กลมปลำ

2. กลมสตว

สะเทนน�ำสะเทนบก

3. กลมสตวเลอยคลำน

4. กลมสตวปก

5. กลมสตว

เลยงลกดวยน�ำนม

1. พวกฟองน�ำ

2. สตวทมล�ำตวกลวง

หรอล�ำตวมโพรง

3. หนอนตวแบน

4. หนอนตวกลม

5. สตวทมล�ำตวเปนปลอง

6. สตวทะเลผวขรขระ

7. พวกหอยและหมก

8. สตวทมขำเปนขอ

สตวม

กระดกสนหลง

สตวไมม

กระดกสนหลงจ�ำแนกออกเปน

5ประเภท

จ�ำแนกออกเปน

8ประเภท

1. เซต (Set) ในชวตประจ�ำวน นกเรยนเรยกกำรรวมอยของสงตำงๆ วำ กอง หม ฝง กลม ฯลฯ เชน

กองหนงสอหมบำนฝงนกกลมดำวเปนตนเมอกลำวถงกลมของสงตำงๆ ททรำบแนนอนวำ

สงใดอยในกลมและสงใดไมอยในกลมเชนกลมของสระในภำษำองกฤษกลมของจ�ำนวนเตมบวก

และกลมของสงตำงๆ ทไมทรำบแนนอนวำสงใดอยในกลมและสงใดไมอยในกลมเชนกลมของ

สำวสวยกลมของคนดกลมของคนเกง

ในทำงคณตศำสตรเรยกกลมของสงตางๆ ททราบแนนอนวา สงใดอยในกลมและสงใด

ไมอยในกลมวา“เซต”และเรยกสงทอยในเซตวำสมาชก(element)เชน

เซตของสระในภำษำองกฤษมสมำชกไดแกa,e,i,oและu

เซตของจ�ำนวนเตมบวกระหวำง-3กบ6มสมำชกไดแก1,2,3,4และ5

โดยทวไปวธกำรเขยนเซตมสองแบบคอ

1) แบบแจกแจงสมาชก ใชเมอสำมำรถเขยนสมำชกแตละตวได กำรเขยนเซตแบบน

จะเขยนสมำชกทกตวของเซตลงในวงเลบปกกำ“{}”และใชเครองหมำยจลภำค(,)คนระหวำง

สมำชกแตละตวเชน

เซตของจ�ำนวนเตมคบวกทนอยกวำหรอเทำกบ8เขยนแทนดวย{2,4,6,8}และจะเขยน

สมำชกแตละตวเพยงครงเดยวเชนเซตของพยญชนะในค�ำวำ“กรรมกร”เขยนแทนดวย{ก,ร,ม}

เซตของสระในภำษำองกฤษเขยนแทนดวย{a,e,i,o,u}

โดยทวไปเซตจะแทนดวยตวอกษรภำษำองกฤษตวพมพใหญเชนA,B,C

ใหAแทนเซตของจ�ำนวนเตมคลบทมำกกวำ-6เขยนเซตAแบบแจกแจงสมำชกไดดงน

A={-4,-2}อำนวำAเปนเซตทม-4และ-2เปนสมำชก

กรณทสมำชกมจ�ำนวนมำกๆ นยมใชจดสำมจด “...” เพอแสดงวำยงมสมำชกอนๆ อยใน

เซตนนเชน

ใหBแทนเซตของจ�ำนวนนบทนอยกวำ100เขยนเซตBแบบแจกแจงสมำชกไดดงน

B={1,2,3,...,99}

1.1 เซต (Set) 2) แบบบอกเงอนไขของสมาชก โดยทวไปใชส�ำหรบเซตทไมสำมำรถเขยนสมำชกแตละตว

ไดจงตองใชกำรบรรยำยลกษณะของสมำชกหรอเงอนไขของสมำชก หรอควำมสมพนธระหวำง

สมำชกกำรเขยนเซตแบบนประกอบดวยวงเลบปกกำและใชตวแปรแทนสมำชกของเซตโดยได

ก�ำหนดเงอนไขของสมำชกไวหลงเครองหมำย“�”แทนค�ำวำ“โดยท”เชน

ใหBแทนเซตของชอวนในหนงสปดำหเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมำชกไดดงน

B={x�xเปนวนในหนงสปดำห}

กำรเขยนเซตแบบบอกเงอนไขอำจเขยนไดมำกกวำ1แบบเชนถำC={0,1}จะเขยนไดดงน

C={x�xเปนจ�ำนวนเตมและ-1<x<2}หรอ C={x�xเปนจ�ำนวนเตมและx2-x=0}

2. เซตจากด (Finite Set) และเซตอนนต (Inf inite Set) พจำรณำเซตตอไปน

A={1,2,3,...,100}มจ�ำนวนสมำชกเทำกบ100ตว

B={x�xเปนจ�ำนวนเตมบวกและ3<x<4}มจ�ำนวนสมำชกเทำกบ0ตว C={1,2,3,...}มจ�ำนวนสมำชกนบไมถวนและไมสำมำรถบอกจ�ำนวนสมำชกได

จำกเซตAและเซตBนกเรยนสำมำรถบอกจ�ำนวนสมำชกของเซตไดเรยกเซตลกษณะนวำ

เซตจ�ากดและจำกเซตCนกเรยนไมสำมำรถบอกจ�ำนวนสมำชกของเซตไดเรยกเซตลกษณะนวำ

เซตอนนต

สญลกษณ“∊” ใชแสดงวาเปนสมาชกของหรออยใน สญลกษณ“∉”ใชแสดงวาไมเปนสมาชกของหรอไมอยใน

Thinking Time {∅}เปนเซตวำงหรอไมเพรำะเหตใด

จ�ำนวนสมำชกของเซตจ�ำกด A ใดๆ เขยนแทนดวย

สญลกษณn(A)

จำกเซตAจะไดวำ -4 เปนสมำชกของเซตA เขยนแทนดวย-4∊A

-6 ไมเปนสมำชกของเซตA เขยนแทนดวย-6∉A

เซตจากด เปนเซตทมจานวนสมาชกเทากบศนยหรอเทากบจานวนเตมบวกใด ๆ

เซตอนนต เปนเซตทไมสามารถบอกจานวนสมาชกของเซตได

บทนยาม

เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชกอยเลย บทนยาม

เซตจ�ำกดทมจ�ำนวนสมำชกเทำกบศนยคอเซตทไมมสมำชกอยเลยเรยกวำเซตวาง(EmptySet)

เขยนแทนดวยสญลกษณ{}หรอ∅ คณตนาร∅เปนอกษรกรกตรงกบค�ำ

ภำษำองกฤษอำนวำphi(ฟ)

เซต4 5

ในการเขยนเซตของจ�านวนสามารถใชสญลกษณแทนเซตของจ�านวนตางๆ ดงน

I+ แทนเซตของจ�ำนวนเตมบวก หรอ I+ = {1,2,3,...}

I- แทนเซตของจ�ำนวนเตมลบ หรอ I- = {-1,-2,-3,...}

I0 แทนเซตของจ�ำนวนเตมศนย หรอ I0 = {0}

I แทนเซตของจ�ำนวนเตม หรอ I = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

N แทนเซตของจ�ำนวนนบ หรอ N = {1,2,3,...}

Q แทนเซตของจ�ำนวนตรรกยะ หรอ Q = {x�xเปนจ�ำนวนตรรกยะ} Q′แทนเซตของจ�ำนวนอตรรกยะ หรอ Q′= {x�xเปนจ�ำนวนอตรรกยะ} R แทนเซตของจ�ำนวนจรง หรอ R = {x�xเปนจ�ำนวนจรง}

คณตนาร ในหนงสอบำงเลมอำจก�ำหนดZแทนเซตของจ�ำนวนเตม

3. เซตทเทากน (Equal Sets)

พจำรณำ A = {1,2,3,4,5}

B = {x�xเปนจ�ำนวนเตมและ1≤x<6}={1,2,3,4,5} และ C = {x�xเปนจ�ำนวนเตมและ1<x≤6}={2,3,4,5,6}

จะเหนวำ เซตAและเซตBมสมำชกเหมอนกนทกตว และมจ�ำนวนสมำชกเทำกนจะถอ

วำเซตทงสองคอเซตเดยวกนหรอกลำวไดวำเซตAเทากบเซตBเขยนแทนดวยA=B

เซต B และเซต C มจ�ำนวนสมำชกทเทำกนแตมสมำชกไมเหมอนกน นนคอมสมำชก

อยำงนอยหนงตวของเซตBทไมใชสมำชกของเซตCหรอมสมำชกอยำงนอยหนงตวของเซตC

ทไมใชสมำชกของเซตBหรอกลำวไดวำเซตBไมเทากบเซตCเขยนแทนดวยB≠C



ก�าหนดA={2,3,4},B={3,4},C={3,4,2}และD={1,2,3,4}

ใหพจารณาวาเซตใดบางทเทากนและเซตใดบางทไมเทากน

วธท�า A≠Bเพรำะม2เปนสมำชกของเซตAแตไมเปนสมำชกของเซตB B≠Cเพรำะม2เปนสมำชกของเซตCแตไมเปนสมำชกของเซตB A≠Dเพรำะม1เปนสมำชกของเซตDแตไมเปนสมำชกของเซตA A=CเพรำะสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตCและสมำชกทกตวของ

เซตCเปนสมำชกของเซตA

ก�าหนด A={x�xเปนจ�านวนเตมทอยระหวาง-3ถง0} B={x�xเปนจ�านวนเตมและ-1<x≤2} และ C={x�xเปนจ�านวนเตมลบและ-2≤x<5} ใหพจารณาวาเซตใดบางทเทากนและเซตใดบางทไมเทากน

วธท�ำ เขยนเซตAเซตBและเซตCแบบแจกแจงสมำชกไดดงน

A={-2,-1},B={0,1,2}และC={-2,-1}

พจำรณำเซตAและเซตBจะเหนวำสมำชกทกตวของเซตAไมเปนสมำชกของเซตB

และสมำชกทกตวของเซตBไมเปนสมำชกของเซตA ดงนนA≠B พจำรณำเซตBและเซตCจะเหนวำสมำชกทกตวของเซตBไมเปนสมำชกของเซตC

และสมำชกทกตวของเซตCไมเปนสมำชกของเซตB ดงนนB≠C พจำรณำเซตAและเซตCจะเหนวำสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตC

และสมำชกทกตวของเซตCเปนสมำชกของเซตA ดงนนA=C

ก�ำหนดA={1,5,7,9},B={5,7},C={5,9,1,7}และD={9,7,5}

ใหพจำรณำวำเซตใดบำงทเทำกนและเซตใดบำงทไมเทำกน

ก�ำหนด A={x�xเปนจ�ำนวนเตมทอยระหวำง-1ถง5} B={x�xเปนจ�ำนวนเตมและ-1≤x≤5}และ C={x�xเปนจ�ำนวนเตมและ-2<x<6}ใหพจำรณำวำเซตใดบำงทเทำกนและเซตใดบำงทไมเทำกน

ลองทาด

ลองทาด

เซต A เทากบเซต B หมายถง สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และสมาชก

ทกตวของเซต B เปนสมาชกของเซต A

บทนยาม

เซต6 7

1. ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) เซตของสบนธงชำตไทย

2) เซตของจงหวดในประเทศไทยทมพนทตดทะเล

3) เซตของสระในภำษำองกฤษทอยในค�ำวำ“mathematics”

4) เซตของจ�ำนวนนบทมสองหลกและมเลขโดด7อยำงนอยหนงหลก

5) เซตของพหคณของ5

6) เซตของจ�ำนวนเตมบวกทมคำนอยกวำ-3

7) {x�xเปนจ�ำนวนเตมทอยระหวำง1กบ2} 8) {x�xเปนจ�ำนวนเตมบวกทมำกกวำ-4และนอยกวำ4} 9) {x�xเปนจ�ำนวนนบและx≤5} 10) {x�xเปนจ�ำนวนเตมลบและx2-1=0}




2. ใหบอกจ�านวนสมาชกของเซตตอไปน

1) A={1,2,3}

2) B={1,2,{1},{1,2,3}}

3) C={x�xเปนจ�ำนวนเตมทอยระหวำง-5กบ5} 4) D={x�xเปนจ�ำนวนเตมลบทมำกกวำ0} 5) E={x�xเปนจ�ำนวนเตมบวกและx2-4=0}

3. ใหเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสมาชก

1) M={...,-4,-2,0,2,4,...}

2) N={1,4,7,10,...,34}

3) P={0,1,4,9,16,...}

4) R={7,14,21,...,343}

5) S={{-1,1},{-2,2},{-3,3},{-4,4},...}


4. เซตตอไปนเซตใดเปนเซตจ�ากดเซตใดเปนเซตอนนต

1) {1,2,3,...,1000}

2) {x�xเปนจ�ำนวนเตมทหำรดวย2ลงตว} 3) {x�xเปนจ�ำนวนเตมทหำรดวย2ลงตวและนอยกวำ100} 4) {x�x= n

n+1โดยทnเปนจ�ำนวนนบ}

5) {x�xเปนจ�ำนวนเฉพำะทมำกกวำ5และนอยกวำ7}

5. เซตในแตละขอตอไปนมเซตใดบางทเทากน

1) A={1,2,3}

B={3,2,1}

2) A={123}

B={321}

3) A={x�x=1- nn+1เมอnเปนจ�ำนวนนบ}

B={12,13,14,15,...}

4) A={x�xเปนจ�ำนวนคทนอยกวำ8} B={0,2,4,6}

6. ใหพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอเทจเพราะเหตใด

1) ab∊{a,b,{ab},c}

2) {0}∊{x�xเปนจ�ำนวนคบวก} 3) 15∉{x�x=n2-1เมอnเปนจ�ำนวนนบ} 4) {x�xเปนจ�ำนวนนบและx2<0}=∅ 5) ถำA={x�xเปนจ�ำนวนเตมและ(x+12)

2≤0} แลวเซตAเปนเซตจ�ำกด

เซต8 9

ในกำรเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมำชกนกเรยนตองก�ำหนดเซตขนมำเซตหนงโดย

จะไมกลำวถงสงใดนอกเหนอจำกสมำชกของเซตทก�ำหนดเรยกเซตนนวำเอกภพสมพทธ

เขยนแทนดวยสญลกษณ𝒰

พจำรณำA={x�-5<x<5}เมอ𝒰=I-

จะเหนวำ 𝒰 เปนเซตของจ�ำนวนเตมลบ ซงเซต A มสมำชกเปนจ�ำนวนเตมทอยระหวำง

-5และ5จะไดสมำชกในเซตAคอ-4,-3,-2,-1

ดงนนA={-4,-3,-2,-1}

1.2 เอกภพสมพทธ (Relative Universe)

ตวอยางท 3 ก�าหนดB={x�-15≤x<5และxหารดวย3ลงตว}เมอ𝒰=I

ใหเขยนเซตBแบบแจกแจงสมาชก

วธท�า เมอ𝒰เปนเซตของจ�ำนวนเตมซงเซตBมสมำชกเปนจ�ำนวนเตมทมำกกวำ

หรอเทำกบ-15แตนอยกวำ5และหำรดวย3ลงตว

จะไดสมำชกในเซตBคอ-15,-12,-9,-6,-3,0,3

ดงนนB={-15,-12,-9,-6,-3,0,3}

1) ก�ำหนดA={x�-10≤x≤5}เมอ𝒰=I+ใหเขยนเซตAแบบแจกแจงสมำชก

2) ก�ำหนดB={x�-10≤x≤30และxหำรดวย5ลงตว}เมอ𝒰=N

ใหเขยนเซตBแบบแจกแจงสมำชก

ลองทาด

ตวอยางท 4 ก�าหนดC={x�x2-x=0} 1) ใหเขยนเซตCแบบแจกแจงสมำชกเมอ𝒰=I 2) ใหเขยนเซตCแบบแจกแจงสมำชกเมอ𝒰=I+

วธท�า 1) เมอ𝒰เปนเซตของจ�ำนวนเตมจะไดสมำชกในเซตCคอ0,1

ดงนนC={0,1} เมอ𝒰=I

ก�ำหนดC={x�3x2-5x-2=0}

1) ใหเขยนเซตCแบบแจกแจงสมำชกเมอ𝒰=I

2) ใหเขยนเซตCแบบแจกแจงสมำชกเมอ𝒰=I+

ลองทาด

จำกตวอยำงท 4 กำรก�ำหนดเอกภพสมพทธทตำงกน

อำจท�ำใหผลลพธทไดตำงกน ดงนน เพอไมใหเกดกำรสบสน

จงก�ำหนดเอกภพสมพทธในกำรเขยนเซตแบบบอกเงอนไข

เชน {x∊I+�x2-x=0}={1} {x∊I�x2-x=0}={0,1}

1. ใหเขยนเซตแตละขอตอไปนแบบแจกแจงสมาชกตามเซต𝒰ทก�าหนด

1) {x∊N�x2-3x=0} 2) {x∊I�x2-3x=0} 3) {x�x2-3x=0}




2. ใหเขยนเซตแตละขอตอไปนแบบแจกแจงสมาชกตามเซต𝒰ทก�าหนด

1) {x∊N�xเปนจ�ำนวนเฉพำะ}และ{x∊N�3<x<20}

2) {x∊N�มจ�ำนวนเตมnซงx=1n}และ{x∊N�x>0.001}

3) {x∊I�มจ�ำนวนเตมnซงx=7n}และ{x∊N�x<300}

4) {x∊I-�มจ�ำนวนเตมnซงx=2n+1}และ{x∊N�10<x≤20}

5) {x∊I+�3<x<15และxหำรดวย3ลงตว}

คณตนาร ถ ำกล ำวถงเซตของ

จ�ำนวนและไมไดก�ำหนดวำ

เซตใดเปนเอกภพสมพทธ

ในระ ดบช นน ให ถ อว ำ

เอกภพสมพทธคอเซตของ

จ�ำนวนจรง(R)

เอกภพสมพทธ คอ เซตทกาหนดขอบขายในการพจารณาสมาชกของเซตทกลาวถงบทนยาม

2) เมอ𝒰เปนเซตของจ�ำนวนเตมบวกจะไดสมำชกในเซตCคอ1

ดงนนC={1} เมอ𝒰=I+

เซต10 11

1. สบเซต (Subset) และสบเซตแท (Proper Subset) ควำมสมพนธระหวำงเซตทงสองเซตทนกเรยนทรำบมำแลวคอกำรเทำกนของเซตในหวขอ

นนกเรยนจะไดศกษำควำมสมพนธอกกรณหนง

พจำรณำควำมสมพนธระหวำงเซตAและเซตBดงน

ก�ำหนด A={1,2}และB={1,2,3,4}

สมำชกทงหมดของเซตAคอ1และ2

สมำชกทงหมดของเซตBคอ1,2,3และ4

จะเหนวำสมำชกทงหมดของเซตAเปนสมำชกของเซตBดวยแตมสมำชกบำงตวของเซตB

ไมเปนสมำชกของเซต A เชน 3 เปนสมำชกในเซต B แตไมเปนสมำชกในเซต A เรยก

เซตAวาเปนสบเซตของเซตBและเซตBไมเปนสบเซตของเซตAหรอกลำวไดวำ เซตA

เปนสบเซตแทของเซตB

1.3 สบเซต (Subset) และเพาเวอรเซต (Power Set)


ก�าหนดA={3,5},B={3,5,7}และC={1,3,5,7,9}

ใหพจารณาวาเซตคใดบางทเปนสบเซตกน

วธท�า เนองจำก สมำชกทงหมดของเซตAเปนสมำชกของเซตBจะไดวำA⊂B สมำชกทงหมดของเซตBเปนสมำชกของเซตCจะไดวำB⊂C สมำชกทงหมดของเซตAเปนสมำชกของเซตCจะไดวำA⊂C

ก�ำหนดA={2,4,6,8},B={4,6,8}และC={2,4}ใหพจำรณำวำเซตคใดบำงทเปนสบเซตกน

ลองทาด

ถำA,BเปนเซตและA⊂BแลวสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตBและB⊂AแลวสมำชกทกตวของเซตBเปนสมำชกของเซตAจะไดวำA=B

ในทำงตรงกนขำมเมอพจำรณำเซตAและเซตBเมอA=Bจะไดวำสมำชกทกตวของ

เซตAเปนสมำชกของเซตBนนคอA⊂BและสมำชกทกตวของเซตBเปนสมำชกของเซตAนนคอB⊂A ดงนนจงสรปไดตำมบทนยำมดงน


ก�าหนดA={a,b,c}ใหหาสบเซตทเปนไปไดทงหมดของเซตA

วธท�า เนองจำกเซตAมสมำชก3ตวจงท�ำใหเซตทเปนสบเซตของAมสมำชกไมมำกกวำ

3ตวคอ0,1,2และ3ตว

สบเซตทงหมดของเซตAทมสมำชก0ตวหรอไมมสมำชกคอ∅

สบเซตทงหมดของเซตAทมสมำชก1ตวคอ{a},{b},{c}

สบเซตทงหมดของเซตAทมสมำชก2ตวคอ{a,b},{b,c},{a,c}

สบเซตทงหมดของเซตAทมสมำชก3ตวคอ{a,b,c}=A

ดงนนสบเซตทงหมดของเซตAคอ∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}

ก�ำหนดB={1,2,3}ใหหำสบเซตทเปนไปไดทงหมดของเซตB

ลองทาด

กาหนด A และ B เปนเซต กลาววา

เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B

เขยนแทนดวย A ⊂ B เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B กตอเมอ มสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต A ทไมเปน

สมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A ⊄ B เซต A เปนสบเซตแทของเซต B กตอเมอ A ⊂ B แต A ≠ B

บทนยาม

กาหนด A และ B เปนเซต กลาววา A ⊂ B และ B ⊂ A กตอเมอ A = Bบทนยาม

ขอสงเกต

1.เซตวำงเปนสบเซตของทกเซตนนคอถำเซตAเปนเซตใดๆ แลว∅⊂A 2.เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเองนนคอถำเซตAเปนเซตใดๆ แลวA⊂A

เซต12 13


ก�าหนดA={1,2,{1}}ใหหาเพาเวอรเซตของเซตA

วธท�า เพำเวอรเซตของเซตAคอ

P(A)={∅,{1},{2},{{1}},{1,2},{1,{1}},{2,{1}},{1,2,{1}}}

ก�ำหนดB={m,{n},{p}}ใหหำเพำเวอรเซตของเซตB

ลองทาด

พจารณาความสมพนธระหวางจ�านวนสบเซตทงหมดของเซตAกบจ�านวนสมาชกของAตอไปน

เมอ A={1}จะพบวำสบเซตของเซตAประกอบดวย∅และ{1}จะมจ�ำนวนสบเซต

เทำกบ2เซตเขยนในรปเลขยกก�ำลงเทำกบ21เซต

เมอ A = {1,2} จะพบวำ สบเซตของเซต A ประกอบดวย ∅,{1},{2} และ {1,2}

จะมจ�ำนวนสบเซตเทำกบ4เซตเขยนในรปเลขยกก�ำลงเทำกบ22เซต

เมอ A={1,2,3}จะพบวำสบเซตของเซตAประกอบดวย∅,{1},{2},{3},{1,2},

{1,3},{2,3}และ{1,2,3}จะมจ�ำนวนสบเซตเทำกบ8เซตเขยนในรปเลขยกก�ำลงเทำกบ23เซต

จะเหนวำเมอAเปนเซตจ�ำกดจ�ำนวนสบเซตของAเขยนในรปเลขยกก�ำลงของฐำน2ได

2. เพาเวอรเซต (Power Set) เซตของสบเซตทงหมดของเซตAเรยกวำเพำเวอรเซตของเซตAเขยนแทนดวยP(A)

ก�ำหนด A = {1,2,3}

จะไดสบเซตทงหมดของเซตAคอ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

ดงนนP(A) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

ถำAเปนเซตจ�ำกดทมสมำชกnตวแลวเพำเวอรเซตของเซตAมจ�ำนวนสมำชกเทำกบ

2nตวนนคอn(P(A))=2n

ถำเซต A มจ�ำนวนสมำชกเทำกบ n ตว แลวจ�ำนวนสบเซตทงหมดของเซต A เทำกบ

2nเซตและจ�ำนวนสบเซตแททงหมดของเซตAเทำกบ2n-1เซต

1. ใหหาสบเซตทงหมดของเซตตอไปน

1) {4} 2) {5,7} 3) {5,{6},{7}}

2. ก�าหนดA={1,2,3,4}ใหหา

1) สบเซตทงหมดของเซตAทมสมำชก2ตว






3. ใหหาเพาเวอรเซตของเซตตอไปน

1) {∅} 2) {1,2,{1,2}} 3) {{a},b,{ab}}

4. ก�าหนดA={∅,1,{2},{1,2,3}}ใหพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด

1) ∅⊂∅ 2) ∅∊A 3) {∅}∊P(A)

4) {1}⊂A 5) {1,2,3}⊂A 6) {∅,1,2}⊂A 7) 1,{2}∊P(A) 8) {{∅,1}}⊂P(A) 9) {∅,1,{2},{1,2,3}}⊂A

5. ใหหาจ�านวนสมาชกของเซตAเมอก�าหนดจ�านวนสมาชกของP(A)ดงน

1) n(P(A))=8 2) n(P(A))=16 3) n(P(A))=128


6. ก�าหนดn(P(P(A)))=256ใหหาn(A)

7. ก�าหนดA={a,b,c,d,e,f}และB={a,b}ใหหาจ�านวนสมาชกของเซตX

ซงท�าใหB⊂X⊂A

8. ใหพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอเทจเพราะเหตใด

1) {1,2}∊P({1,2,{1,2}})

2) {1,{2}}∊P({0,1,{2}})

3) {∅,{0}}∊P({0,∅,{0}}) จำกตวอยำงท7เซตAมสมำชก3ตวP(A)มสมำชก23=8ตว

เซต14 15

ในกำรแกปญหำตำงๆ ดวยเซตนกคณตศำสตรสองทำนคอจอหนเวนนและเลออนำรด

ออยเลอรพบวำกำรเขยนแผนภำพแทนเซตจะชวยสอควำมคดท�ำใหเหนภำพของปญหำชดเจนขน

ซงแผนภำพออยเลอรจะแสดงควำมสมพนธระหวำงเซตทเกดขนจรงหรอมอยจรงสวนแผนภำพ

เวนนจะแสดงควำมสมพนธระหวำงเซตทสำมำรถเปนไปไดทงหมดโดยไมค�ำนงถงวำสำมำรถเกด

ขนไดจรงหรอไมในอดตนยมเรยกแผนภำพแทนเซตวำแผนภาพเวนน-ออยเลอรเพอเปนเกยรตแกนกคณตศำสตรทงสองแตในปจจบนเรยกแผนภำพดงกลำววำแผนภาพเวนนเนองจำกแผน

ภำพเวนนและแผนภำพออยเลอรมควำมแตกตำงตำมทกลำวขำงตนและบำงครงเพอควำมสะดวก

จะเรยกอยำงสนๆ วำแผนภาพ

กำรเขยนแผนภำพนยมแทนเอกภพสมพทธ(𝒰)ดวยรปสเหลยมผนผำหรออำจเปนรปปด

อนๆ กไดสวนเซตอนๆ ทเปนสบเซตของเซต𝒰นยมแทนดวยวงกลมวงรรปสเหลยมเลกหรอ

รปปดอนๆ ซงเขยนไวภำยในรปปดของเซต𝒰ดงรป

1.4 แผนภาพเวนน (Venn Diagram)

จำกรปกรปขและรปคแสดงวำเซตAและเซตBเปนสบเซตของ𝒰

จำกรปกสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตBจะไดวำเซตAเปนสบเซตของเซตB

จำกรปขเซตAและเซตBมสมำชกบำงสวนรวมกน

เซตทมสมำชกบำงสวนรวมกนเรยกวำเซตมสวนรวม(jointsets)

จำกรปคเซตAและเซตBไมมสมำชกรวมกนเลย

เซตทไมมสมำชกรวมกนเลยเรยกวำเซตไมมสวนรวม(disjointsets)

รปข รปครปก

𝒰 𝒰 𝒰AB

A B A B



ก�าหนดA={1,3,5,7}และB={2,3,5,9}ใหเขยนแผนภาพแทนเซตA

และเซตB

วธท�า จำกเซตAและเซตBมสมำชกรวมกนคอ3และ5

เขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตBไดดงน

ก�าหนดA={1,2},B={1,2,3}และC={5,6}ใหเขยนแผนภาพแทน

เซตAเซตBและเซตC

วธท�า จะไดวำสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตBหรอเซตAเปนสบเซตของเซตB

เซตAและเซตBไมมสมำชกรวมกบเซตC

เขยนแผนภำพแทนเซตAเซตBและเซตCไดดงน

BA

29

35

17

𝒰

B C

A

12

356

𝒰

ก�ำหนดA={3,6,8}และB={3,7,8,9}ใหเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตB

ก�ำหนดA={5,7},B={2,5,7}และC={1,9}ใหเขยนแผนภำพแทนเซตA

เซตBและเซตC

ลองทาด

ลองทาด

เซต16 17


ก�าหนดA={2,3},B={5,6,7},C={5,6,8,9}และD={1,2,3,4}

ใหเขยนแผนภาพแทนเซตAเซตBเซตCและเซตD

วธท�า จะไดวำสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตDหรอเซตAเปนสบเซตของเซตD

เซตBและเซตCมสมำชกรวมกนคอ5และ6

เขยนแผนภำพแทนเซตAเซตBเซตCและเซตDไดดงน

ก�ำหนดA={1,2,3,4},B={3,4},C={5,6,7,8}และD={7,8,9,10}ใหเขยนแผนภำพแทนเซตAเซตBเซตCและเซตD

ลองทาด

D B

C

7A

2356

89

14

𝒰

1. ใหเขยนแผนภาพแทนเซตตอไปนเมอก�าหนด𝒰เปนเซตของจ�านวนนบ

1) A={1,2,3,4,...,10} 2) A={1,2,3,4,...,10}

B={2,4,6,8,10} B={1,3,5,7,9,11,13,15}




2. ใหเขยนแผนภาพแทนเซตตอไปนเมอก�าหนด𝒰เปนเซตของจ�านวนนบ

1) A={1,2,3,4,...,10} 2) A={1,2,3,4,...,10}

B={1,3,4,5,7} B={4,6,8}

C={1,4,5} C={3,5,7,9}

กำรด�ำเนนกำรของเซตเปนกำรสรำงเซตใหมจำกเซตทก�ำหนดซงเปนสบเซตของ

เอกภพสมพทธเดยวกนดวยวธกำรตอไปน

1. ยเนยน (Union) ถำ𝒰เปนเอกภพสมพทธและA,Bเปนเซตใดๆ ใหA={1,3,5,7}และB={5,6,7,9}

สรำงเซตCซงเปนเซตทสมพนธกบเซตAและเซตBโดยทสมำชกของเซตCเปนสมำชกของ

เซตAหรอเซตBหรอของทงสองเซตดงน

C={1,3,5,6,7,9}จะเหนวำเซตCประกอบดวยสมำชกดงน

1,3 เปนสมำชกทอยในเซตAเทำนน

6,9 เปนสมำชกทอยในเซตBเทำนน

5,7 เปนสมำชกทอยในเซตAและเซตB

เรยกเซตCวำยเนยนของเซตAและเซตBเขยนแทนดวยA∪B

เขยนแผนภำพแทนA∪Bไดดงน

1.5 การดาเนนการของเซต (Set Operation)


ก�าหนดA={1,2,3}และB={2,3,4,5}ใหหาA∪B

วธท�า จำกA∪B={x�x∊Aหรอx∊Bหรอxเปนสมำชกของทงสองเซต} จะได A∪B={1,2,3,4,5}

A B𝒰

กาหนด A และ B เปนเซต กลาววา

A ∪ B = { x�x∊A หรอ x∊B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต }

บทนยาม

เซต18 19



ก�าหนดA={1,2,3,4}และB={1,2,3,4,5,6}ใหหาA∪B

วธท�า เนองจำกสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตBและจำกบทนยำมA∪B จะได A∪B={1,2,3,4,5,6}=B

ก�าหนดA={a,b},B={c,d,e}และC={f,g}ใหหา

1) A∪B 3) (A∪B)∪C

2) B∪C 4) A∪(B∪C)

วธท�า จำกA∪B={x�x∊Aหรอx∊Bหรอxเปนสมำชกของทงสองเซต} 1) จะไดA∪B={a,b,c,d,e} 2) จะไดB∪C={c,d,e,f,g} 3) จะได(A∪B)∪C={a,b,c,d,e}∪{f,g}={a,b,c,d,e,f,g} 4) จะไดA∪(B∪C)={a,b}∪{c,d,e,f,g}={a,b,c,d,e,f,g}

ก�ำหนดA={m,n,k}และB={m,n,p,k}ใหหำA∪B

ก�ำหนดA={1,2,3},B={3,4,5}และC={6,7}ใหหำ(A∪B)∪C

และA∪(B∪C)

ลองทาด

ลองทาด

2. อนเตอรเซกชน (Intersection) ถำ𝒰เปนเอกภพสมพทธและA,Bเปนเซตใดๆ ใหA={2,3,7}และB={1,2,3,5}

สรำงเซตCทมสมำชกเปนสมำชกของทงเซตAและเซตBไดดงน

C={2,3}จะเหนวำสมำชกแตละตวของเซตCเปนสมำชกของทงเซตAและเซตBเรยกเซตC

วำอนเตอรเซกชนของเซตAและเซตBเขยนแทนดวยA∩B

เขยนแผนภำพแทนA∩Bไดดงน

A B𝒰


ก�าหนดA={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8,9}

C={10,11,12}และD={1,4,5}

1) ใหหำA∩BและเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตB 2) ใหหำA∩CและเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตC 3) ใหหำA∩DและเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตD

วธท�า จำกA∩B={x�x∊Aและx∊B}

1) จะไดA∩B={4,5,6} เขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตBไดดงน

123

456

789

A B 𝒰

2) จะไดA∩C=∅ เขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตCไดดงน

พชคณตของเซต(AlgebraofSets)

ก�ำหนดA,BและCเปนเซต

1. กฎเอกลกษณ(IdentityLaw)

ม∅เปนเอกลกษณของกำรยเนยนจะได∅∪A=A=A∪∅ 2. กฎนจพล(IdempotentLaw) 4. กฎกำรเปลยนหม(AssociativeLaw)

A∪A=A (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 3. กฎกำรสลบท(CommutativeLaw) ขอสงเกตถำA⊂BแลวA∪B=B A∪B=B∪A

กาหนด A และ B เปนเซต กลาววา A ∩ B = { x�x∊A และ x∊B }บทนยาม

A123456

101112

C𝒰

เซต20 21

3. คอมพลเมนต (Complement) จำกกำรด�ำเนนกำรยเนยนและอนเตอรเซกชนของเซต จะเหนวำ สมำชกทอยในเซตใด

เซตหนงหรออย ในเซตทงสองเซต และผลลพธทได เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ 𝒰

ถำสนใจเฉพำะสมำชกทไมอย ในเซตใดเซตหนงแตยงเปนสมำชกของเอกภพสมพทธ เชน

ใหAเปนเซตของจ�ำนวนตรรกยะและสนใจเฉพำะเซตของสมำชกทไมอยในเซตAนนคอเซตของ

จ�ำนวนอตรรกยะเรยกเซตของสมาชกทอยในเซต𝓤แตไมอยในเซตAวาคอมพลเมนตของเซตA

เขยนแทนดวยA′

เขยนแผนภำพแทนเซตA′ไดดงน


ก�าหนด𝒰={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6}และB={1,5,6}ใหหาA′และB′

วธท�า จำกคอมพลเมนตของเซตใดๆ คอเซตทมสมำชกอยในเซต𝒰แตไมเปนสมำชกของเซตนน

จะได A′={1,3,5}และB′={2,3,4}

A′ 𝒰

A


ก�ำหนดA,BและCเปนเซต

1. กฎเอกลกษณ(IdentityLaw)

ม∅เปนเอกลกษณของกำรอนเตอรเซกชนจะได∅∩A=∅=A∩∅ 2. กฎนจพล(IdempotentLaw)

A∩A=A 3. กฎกำรสลบท(CommutativeLaw)

A∩B=B∩A 4. กฎกำรเปลยนหม(AssociativeLaw)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

กาหนด 𝒰 เปนเอกภพสมพทธ และ A เปนเซต กลาววา A′ = { x∊𝒰�x∉A }บทนยาม

ตวอยางท 15 ก�าหนดA={a,b,c},B={c,d,e}และC={a,c,e,f}ใหหา

1) A∩B 2) B∩C 3) (A∩B)∩C 4) A∩(B∩C)

วธท�า จำกA∩B={x�x∊Aและx∊B}

1) จะไดA∩B={c} 2) จะไดB∩C={c,e} 3) จะได(A∩B)∩C={c}∩{a,c,e,f}={c} 4) จะไดA∩(B∩C)={a,b,c}∩{c,e}={c}

Thinking Time ก�ำหนด

(A∩B)∩C = ∅ โดยท

A≠∅,B≠∅และC≠∅

ใหนกเรยนเขยนแผนภำพ

ทเปนไปไดทงหมดแสดง

ควำมสมพนธ ของเซต

ทงสำม

ก�ำหนดA={1,3,6,9},B={6,9,12}และC={6,9,12,15}ใหหำ

1) A∩B 2) B∩C 3) (A∩B)∩C 4) A∩(B∩C)

ก�ำหนด A = {x�xเปนจ�ำนวนเตมบวกทนอยกวำ6} B = {x�xเปนจ�ำนวนเตมบวกและ3<x≤7} C = {x�xเปนจ�ำนวนเตมบวกทหำรดวย3ลงตวและ8<x<16}และ D = {x�xเปนจ�ำนวนเฉพำะและ1≤x≤5}

1) ใหหำA∩BและเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตB2) ใหหำA∩CและเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตC3) ใหหำA∩DและเขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตD

ลองทาด

ลองทาด

3) จะไดA∩D={1,4,5}=D เขยนแผนภำพแทนเซตAและเซตDไดดงน

A145

2 36D

𝒰

5. กฎกำรแจกแจง(DistributiveLaw)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ขอสงเกตถำA⊂BแลวA∩B=A

เซต22 23


ก�าหนด 𝒰 = {x�xเปนจ�านวนเตมบวก} และ A = {x�xเปนจ�านวนคบวก} ใหหาA′

วธท�า จะได 𝒰 = {1,2,3,4,5,6,7,...}

และ A = {1,3,5,7,9,...}

จะได A′= {2,4,6,8,...}หรอA′={x�xเปนจ�ำนวนคบวก}

1) ก�ำหนด𝒰={1,2,3,4,5,6,7,8,9}และเซตA={2,5,8}ใหหำA′

2) ก�ำหนด𝒰={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}และเซตB={-5,-3,0,3,5}ใหหำB′

ลองทาด

ถำเซต A และเซต B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธเดยวกน เรยกคอมพลเมนตของ

เซตหนงเทยบกบอกเซตหนงวำผลตางระหวางเซต(differenceofsets)ดงน

1) ผลตำงระหวำงเซตAและเซตBหมำยถงเซตทมสมำชกอยในเซตAแตไมอยในเซตB

เขยนแทนดวยA-BเรยกวำคอมพลเมนตของเซตBเมอเทยบกบเซตA

2) ผลตำงระหวำงเซตBและเซตAหมำยถงเซตทมสมำชกอยในเซตBแตไมอยในเซตA

เขยนแทนดวยB-AเรยกวำคอมพลเมนตของเซตAเมอเทยบกบเซตB

เขยนแผนภำพแทนผลตำงระหวำงเซตไดดงน

A

A-B

B𝒰

A

B-A

B𝒰

กาหนด A และ B เปนเซต กลาววา A - B = { x�x∊A และ x∉B }บทนยาม

กาหนด A และ B เปนเซต กลาววา B - A = { x�x∊B และ x∉A }บทนยาม

ตวอยางท 19 ก�าหนด 𝒰 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {2,3,6,8,9}

และ B = {1,4,6,7,8}

ใหหา(A∪B)′และA′∩B′โดยใชแผนภาพ

วธท�า เขยนแผนภำพแทนเซตทก�ำหนดใหไดดงน

จำกภำพจะได A′ = {1,4,5,7,10} B′ = {2,3,5,9,10} A∪B = {1,2,3,4,6,7,8,9} (A∪B)′ = {5,10} A′∩B′ = {5,10}

ก�ำหนด𝒰={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={1,2,4,5,7}และB={3,5,7,9,10}

ใหหำ(A∩B)′และA′∪B′โดยใชแผนภำพ

ลองทาด

A B239

68

147

510

𝒰


ก�าหนดA={1,2,3,4,5,6}และB={4,5,6,7,8}ใหหาA-BและB-A

วธท�า เนองจำกA-B={x�x∊Aและx∉B}และB-A={x�x∊Bและx∉A}

จะได A-B={1,2,3}

B-A={7,8}

ก�ำหนดA={2,5,7,8,9}และB={1,3,5,7,8}ใหหำA-BและB-A

ลองทาด

Thinking Time ใหนกเรยนพจำรณำ

ขอควำมตอไปนถกหรอไม

1) A-B=B-A

2) A-∅=A

3) ∅-B=∅

เซต24 25

แนวขอสอบ PAT 1

ก�าหนดP(S)แทนเพาเวอรเซตของเซตSใหA,BและCเปนเซตใดๆ พจารณาขอความ

ตอไปนขอใดถกตอง

1. A∪(B∩C)=(A∪B)∩C 2. P(A-B)⊂P(A)-P(B) 3. P(∅)⊂P(P(∅))เมอ∅แทนเซตวาง

แนวคด

1.เขยนแผนภำพเวนนของเซตA∪(B∩C)และ(A∪B)∩Cดงน

A B

C

𝒰

A∪(B∩C)

A B

C

𝒰

(A∪B)∩C

ดงนนA∪(B∩C)≠(A∪B)∩C


ก�ำหนดAและBเปนสบเซตของเอกภพสมพทธ𝒰

1. 𝒰′=∅และ∅′=𝒰

2. (A′)′=A

3. A∩A′=∅และA∪A′=𝒰

4. A-B=A∩B′

5. ถำA⊂BแลวB′⊂A′

6. A∩B=∅กตอเมอA⊂B′และB⊂A′

7. กฎของเดอมอรแกน(DeMorgan'sLaw)

(A∪B)′=A′∩B′และ(A∩B)′=A′∪B′

2.ใหA={1,2}และB={1}

จะได A-B={2}

ดงนนP(A-B)={∅,{2}}

และ P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}

P(B)={∅,{1}}

จะได P(A)-P(B)={{2},{1,2}}

ดงนน P(A-B)⊄P(A)-P(B)

3.เนองจำกถำA⊂BแลวP(A)⊂P(B)และ∅⊂P(A)

จะได ∅⊂P(∅)และP(∅)⊂P(P(∅))

ดงนนP(∅)⊂P(P(∅))

ดงนนขอ3ถกตอง

1. ก�าหนด𝒰 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,3,4,5,8}

และ B = {3,5,7,9,10}

ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) A∩B 2) A∪B 3) A′ 4) B′

5) (A′)′ 6) (B′)′

7) A-B 8) B-A

9) A∩B′ 10) B∩A′

11) (A∩B)′ 12) A′∪B′

13) (A∪B)′ 14) A′∩B′

15) A′-B 16) B′-A

17) (A-B)′ 18) A′-B′

19) (A∩B′)′ 20) A′∪B



เซต26 27



2 ก�าหนด𝒰 = {1,2,3,…,20}

A = {3,5,6,7,8,11,15}

B = {1,4,5,7,9,10,11,15,19}

และ C = {1,2,4,7,11,13,17}

ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) (A∩B)∩C 2) A∪(B∪C) 3) (A∩B)∪C 4) A∩(B∪C) 5) (A-B)-C 6) A-(B-C)

7) A∩(B∪C)′ 8) A-(B∪C) 9) A-(B∩C) 10) (A-B)∩(A-C)

3. ก�าหนด 𝒰={1,2,3,…,30}

A={x�xเปนจ�านวนเตมทหารดวย2ลงตว} B={x�xเปนจ�านวนเตมทหารดวย3ลงตว} และ C={x�xเปนจ�านวนเตมทหารดวย6ลงตว} ใหเขยนแผนภาพแทนเซตตอไปน

1) (A∩B)∩C 2) [(A∪B)∪C]′ 3) (A-B)∩C′

4) (C-B)′∪(C-A)′

4. ก�าหนด(A∩B)∩C≠∅ใหเขยนแผนภาพและแรเงาเพอแสดงเซตตอไปน

1) (A∩B∩C)∪(A∩B∩C)′ 2) [(A∩B)-C]∪[(A∩C)-B]∪[(B∩C)-A] 3) [A-(B∪C)]∪[B-(A∪C)]∪[C-(A∪B)]

ในหวขอนนกเรยนจะศกษำกำรประยกตสมบตของเซตและกำรแทนเซตดวยแผนภำพเพอชวย

แกปญหำเกยวกบกำรหำจ�ำนวนสมำชกของเซตจ�ำกด

พจำรณำแผนภำพตอไปน

จำกแผนภำพจะไดวำ 𝒰 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

n(𝒰) = 10

A = {1,2,3,4,5}

n(A) = 5

B = {4,5,6,7,8}

n(B) = 5

A∪B = {1,2,3,4,5,6,7,8} n(A∪B) = 8 A∩B = {4,5} n(A∩B) = 2 (A∪B)′ = {9,10} และ n(A∪B)′ = 2 และสำมำรถหำ n(𝒰)-n(A∪B) = 10-8=2 จงสรปไดวำ

n(A∪B)′=n(𝒰)-n(A∪B)

นอกจำกจะหำจ�ำนวนสมำชกจำกแผนภำพแลวนกเรยนสำมำรถหำสมกำรควำมสมพนธของ

n(A),n(B),n(A∪B)และn(A∩B)โดยใชแผนภำพไดดงน

1.6 จานวนสมาชกของเซตจากด

A B1

2

3

6

7

8

4

5

910

𝒰

เซต28 29

ก�ำหนดAและBเปนเซตจ�ำกดเมอA∩B≠∅

จำกแผนภำพจะไดวำ

n(A-B)+n(A∩B) = n(A) ดงนน n(A-B) = n(A)-n(A∩B) ......➊ n(B-A)+n(A∩B) = n(B) ดงนน n(B-A) = n(B)-n(A∩B) ......➋ และ n(A∪B) = n(A-B)+n(A∩B)+n(B-A) จำกสมกำร➊และ➋จะไดวำ

n(A∪B) = [n(A)-n(A∩B)]+n(A∩B)+[n(B)-n(A∩B)] = n(A)+n(B)-n(A∩B)

ดงนน n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)เมอA∩B≠∅

ในกรณทเซตAและเซตBไมมสมำชกรวมกนจะไดวำn(A∩B)=0ซงเขยนแผนภำพไดดงน

จำกแผนภำพจะไดวำn(A∪B)=n(A)+n(B)เมอA∩B=∅

A B𝒰

𝒰A B

A-B B-AA∩BA

C

B𝒰

นกเรยนสำมำรถหำสมกำรแสดงควำมสมพนธของn(A),n(B),n(C),n(A∪B∪C),n(A∩B),n(A∩C),n(B∩C)และn(A∩B∩C)โดยใชแผนภำพไดดงน

ก�ำหนดA,BและCเปนเซตจ�ำกดเมอA∩B∩C≠∅

จำกแผนภำพจะไดวำ

n(A∪B∪C) = n[(A∪B)∪C] จำกn(A∪B)=[n(A)+n(B)-n(A∩B)]จะไดวำ n(A∪B∪C) = n(A∪B)+n(C)-n[(A∪B)∩C] = [n(A)+n(B)-n(A∩B)]+n(C)-n[(A∩C)∪(B∩C)] = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-[n(A∩C)+n(B∩C)

-n[(A∩C)∩(B∩C)]] = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)

+n(A∩B∩C) ดงนน n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)

เมอA∩B∩C≠∅

ในกรณทเซตAเซตBและเซตCไมมสมำชกรวมกนจะไดวำn(A∩B∩C)=0ซงเขยนแผนภำพไดดงน

จำกแผนภำพจะไดวำn(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)เมอA∩B∩C=∅

A

C

B𝒰

เซต30 31


ในการประกวดวงดนตรเยาวชนครงหนงปรากฏวามเยาวชนเขาประกวดทงสน158คน

เปนผเขาประกวดทเลนดนตร 125 คน และเปนนกรอง 102 คน อยากทราบวา

มจ�านวนผเขาประกวดทเลนดนตรและเปนนกรองกคน

วธท�า ให 𝒰 แทนเซตของผเขำประกวดวงดนตร

A แทนเซตของผเขำประกวดวงดนตรทเลนดนตร

B แทนเซตของผเขำประกวดวงดนตรทเปนนกรอง

A∪B แทนเซตของผเขำประกวดทงหมด

A∩B แทนเซตของผเขำประกวดทเลนดนตรและเปนนกรอง

n(A∪B) แทนจ�ำนวนของผเขำประกวดทงหมด

n(A∩B) แทนจ�ำนวนของผเขำประกวดทเลนดนตรและเปนนกรอง

จะได n(A∪B) = 158 n(A) = 125

n(B) = 102

จำก n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) จะได n(A∩B) = n(A)+n(B)-n(A∪B) = 125+102-158

= 69

นนคอมผเขำประกวดทเลนดนตรและเปนนกรองเทำกบ69คน

จำกตวอยำงท20อำจท�ำไดอกวธหนงโดยใชแผนภำพเวนนคอสมมตใหจ�ำนวนผเขำประกวด

ทเลนดนตรและเปนนกรองเปนxคน

จำกแผนภำพจะไดสมกำรคอ158 = (125-x)+x+(102-x) x = 69

A B

125-x 102-xx

𝒰


บรษทน�าหอมแหงหนงตองการส�ารวจความนยมกลนน�าหอมของผหญงจงเชญอาสา

สมครผหญงจ�านวนหนงใหทดลองใชน�าหอมของบรษทสามกลนไดแกกลนลาเวนเดอร

กลนกหลาบและกลนมาดามปรากฏวาม30%ชอบกลนกหลาบม40%ชอบกลน

มาดาม ม 50% ชอบกลนลาเวนเดอร ม 10% ชอบกลนกหลาบและกลนมาดาม

15% ชอบกลนกหลาบและกลนลาเวนเดอร ม 20% ชอบกลนมาดามและกลน

ลาเวนเดอรและม3%ชอบทงสามกลนอยากทราบวา

1) จ�ำนวนผหญงทชอบน�ำหอมอยำงนอยหนงกลนมกเปอรเซนต

2) จ�ำนวนผหญงทไมชอบน�ำหอมทงสำมกลนมกเปอรเซนต

วธท�า ให 𝒰 แทนเซตของอำสำสมครผหญงททดลองใชน�ำหอมทงหมด

A แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนกหลำบ

B แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนมำดำม

C แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนลำเวนเดอร

A∩B แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนกหลำบและกลนมำดำม

A∩C แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนกหลำบและกลนลำเวนเดอร

B∩C แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนมำดำมและกลนลำเวนเดอร

A∩B∩C แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนน�ำหอมทงสำมกลน

A∪B∪C แทนเซตของอำสำสมครผหญงทชอบกลนน�ำหอมกลนกหลำบ

กลนมำดำมหรอกลนลำเวนเดอรอยำงนอยหนงกลน

(A∪B∪C)′ แทนเซตของอำสำสมครผหญงทใชน�ำหอมกลนอนทไมใชกลนกหลำบกลนมำดำมหรอกลนลำเวนเดอร

A

C

B𝒰

เซต32 33

สมมตวำมกำรสอบถำมอำสำสมครผหญงททดลองใชน�ำหอมทงหมด100คน

จะได n(𝒰) = 100

n(A) = 30

n(B) = 40

n(C) = 50

n(A∩B) = 10 n(A∩C) = 15 n(B∩C) = 20 n(A∩B∩C) = 3

1) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)

= 30+40+50-10-15-20+3

= 78

ดงนนผหญงทชอบน�ำหอมอยำงนอยหนงกลนม78%

2) จ�ำนวนผหญงทไมชอบน�ำหอมทงสำมกลนหมำยควำมวำไมชอบกลนกหลำบหรอ

กลนมำดำมหรอกลนลำเวนเดอรเลยหำไดจำกจ�ำนวนสมำชกของอำสำสมครผหญง

ททดสอบใชน�ำหอมทงหมด100%ลบดวยจ�ำนวนสมำชกของอำสำสมครผหญง

ทชอบกลนกหลำบกลนมำดำมหรอกลนลำเวนเดอรซงม78%

ดงนนจ�ำนวนผหญงทไมชอบน�ำหอมทงสำมกลนเทำกบ100%-78%=22%

1) จำกกำรสอบถำมนกเรยนชนมธยมศกษำตอนปลำยจ�ำนวน150คนพบวำมนกเรยนวำยน�ำเปนประจ�ำ80คนและมนกเรยนเลนเทนนสเปนประจ�ำ90คนมนกเรยนทวำยน�ำและเลนเทนนสเปนประจ�ำทงหมดกคน

2) จำกกำรส�ำรวจผใชบรกำรขนสงสำธำรณะในกรงเทพมหำนครกลมหนงพบวำมผใชบรกำรรถไฟฟำBTSจ�ำนวน150คนผใชบรกำรรถยนตโดยสำรปรบอำกำศจ�ำนวน200 คน ผใชบรกำรรถจกรยำนยนตรบจำงจ�ำนวน 100 คน ผใชบรกำรรถไฟฟำBTSและรถยนตโดยสำรปรบอำกำศจ�ำนวน25คนผใชบรกำรรถไฟฟำBTSและรถจกรยำนยนตรบจำงจ�ำนวน50คนผใชบรกำรขนสงสำธำรณะอนๆ ทไมใชสำมแบบขำงตน จ�ำนวน 25 คน ไมมผ ใชบรกำรรถยนตโดยสำรปรบอำกำศและรถจกรยำนยนตรบจำงและไมมผใชบรกำรขนสงสำธำรณะทงสำมแบบอยำกทรำบวำจ�ำนวนผทถกส�ำรวจในครงนมกคน

ลองทาด

1. บนสถานรถไฟฟาBTSแหงหนงในวนทมฝนตกพบวาผโดยสาร48คนถอรมและ52คน

ใสเสอกนฝนและม40คนทใสเสอกนฝนและถอรมอยากทราบวามผโดยสารถอรมแตไม

ใสเสอกนฝนและใสเสอกนฝนแตไมถอรมรวมกคน

2. การส�ารวจความสมพนธของการสบบหรทมผลตอการเปนมะเรงปอดของกระทรวงสาธารณสข

โดยสมผปวยจ�านวน2,000คนทมอายเกน45ปจากโรงพยาบาลทวประเทศพบวาผทไมสบ

บหรและไมเปนมะเรงม1,560คนผทสบบหรม930คนและผทเปนมะเรงปอดม550คน

ใหหาจ�านวนผทสบบหรและเปนมะเรงปอด และคดเปนรอยละเทาใดของจ�านวนผทสบบหร

ทงหมด

3. จากการส�ารวจนกเรยนหองหนงพบวาม45คนทเลอกเรยนภาษาฝรงเศสหรอคณตศาสตร

ถาเลอกเรยนภาษาฝรงเศสแลวจะไมเรยนคณตศาสตรม28คนทไมเรยนคณตศาสตรและม

25คนทไมเรยนภาษาฝรงเศสใหหาจ�านวนนกเรยนทไมเรยนทงสองวชา




4. จากการส�ารวจความนยมเกยวกบเพลงจากกลมวยรนจ�านวน300คนพบวาแตละคนชอบ

เพลงลกทงลกกรงหรอสากลอยางนอยหนงประเภทโดยปรากฏผลดงน

120คนชอบเพลงลกทง

70คนชอบเพลงลกกรงอยางเดยว

80คนชอบเพลงสากลอยางเดยว

45คนชอบเพลงลกกรงและเพลงสากล

30คนชอบเพลงลกทงและเพลงลกกรงแตไมชอบเพลงสากล

50คนไมชอบเพลงลกกรงและไมชอบเพลงสากล

ใหหาจ�านวนวยรนทชอบเพลงลกทงและเพลงสากลแตไมชอบเพลงลกกรง

เซต34 35

5. จากการส�ารวจผถอหนในตลาดหลกทรพย พบวามผถอหนบรษทก. 200 คน มผถอหน

บรษทข.250คนมผถอหนบรษทค.300คนมผถอหนบรษทก.และบรษทข.50คนมผถอหน

บรษทข.และบรษทค.40คน

ใหหาจ�านวนผถกส�ารวจทงหมดตามเงอนไขในแตละขอตอไปน

1) มผถอหนบรษทก.และบรษทค.30คนแตไมมผถอหนทงสำมบรษท

2) มผถอหนบรษทก.และบรษทค.20คนและมผถอหนทงสำมบรษท5คน

3) ไมมผถอหนบรษทก.และบรษทค.และไมมผถอหนทงสำมบรษท

6. ในการโยนลกเตาสองลกพรอมๆ กน120ครงพบวา67ครงไดผลรวมของหนาทหงาย

ขนทงสองลกมากกวา6และ72ครงไดผลรวมของหนาทหงายขนทงสองลกนอยกวา8

ใหหาจ�านวนครงของการโยนและไดผลรวมตามเงอนไขในแตละขอตอไปน

1) เทำกบ7 2) นอยกวำ7 3) มำกกวำ7

7. นกศกษากลมหนงจ�านวน500คนแตละคนตองเรยนวชาเคมวชาฟสกสหรอวชาชววทยา

อยางนอยหนงวชา หลงการลงทะเบยนปรากฏวา มนกเรยน 200 คน ไมเรยนวชาเคม

มนกเรยน 190 คน ไมเรยนวชาฟสกส และมนกเรยน 217 คน ไมเรยนวชาชววทยา

มนกเรยน147คนเรยนทงสามวชามนกเรยน139คนเรยนทงวชาเคมและวชาชววทยา

และมนกเรยน195คนเรยนทงวชาฟสกสและวชาชววทยาใหหาจ�านวนนกเรยนทเรยนวชา

เคมอยางเดยวหรอวชาชววทยาอยางเดยว

8. ในการส�ารวจนกกฬาจ�านวน100คนพบวาชอบเลนฟตบอลหรอเทนนสหรอปงปอง

อยางนอยหนงประเภทปรากฏผลดงน

ม75คนชอบเลนฟตบอล

ม70คนชอบเลนเทนนส

ม80คนชอบเลนปงปอง

มนกกฬาอยางมากกคนทชอบเลนกฬาทงสามประเภท


กจกรรม คณตศาสตร

ในกำรแขงขนกฬำซเกมสป 2017 มเหรยญรำงวล 3 ประเภท คอ เหรยญทอง เหรยญเงน

และเหรยญทองแดงซงประเทศไทยไดรบเหรยญรำงวลในกำรแขงขนกฬำทงหมด38รำยกำรโดยขอยก

ตวอยำงรำยกำรทแขงขนมำ10รำยกำรดงตำรำงตอไปน

ตารางสรปเหรยญรางวลในการแขงขนกฬา10รายการ

รายการ รายการกฬาทแขงขนเหรยญทอง(เหรยญ)

เหรยญเงน(เหรยญ)

เหรยญทองแดง(เหรยญ)

รวมเหรยญรางวล(เหรยญ)

1 กรฑำ 9 13 11 33

2 ตะกรอ 6 1 0 7

3 มวย 2 3 0 5

4 แบดมนตน 2 0 3 5

5 วอลเลยบอล 2 0 0 2

6 รกบ 1 0 1 2

7 ขมำ 0 2 2 4

8 บำสเกตบอล 0 1 1 2

9 ฟตบอล 1 1 0 2

10 สควอช 0 0 2 2

ทมำ:www.bugaboo.tv/sport/seagames2017/medaltable

จากขอมลในตารางใหนกเรยนเขยนจ�านวนสมาชกลงในแผนภาพทก�าหนดใหแลวตอบค�าถามตอไปน

1. ใหหำจ�ำนวนของรำยกำรกฬำทไดเหรยญเพยงชนดเดยว

2. ใหหำจ�ำนวนของรำยกำรกฬำทไดเหรยญอยำงนอยสองเหรยญ

3. ใหหำจ�ำนวนของรำยกำรกฬำทไดเหรยญรำงวลทงสำมเหรยญ

4. ใหหำจ�ำนวนของรำยกำรกฬำทไดเหรยญทองและเหรยญเงน

5. ใหหำจ�ำนวนของประเภทกฬำทไดเหรยญทองแตไมไดเหรยญทองแดง

เหรยญเงน(B)

เหรยญทองแดง(C)

เหรยญทอง(A)

𝒰

เซต36 37


ประกนภยรถยนต(AutoInsurance)

ประกนภยรถยนตคอประกนภยทคมครองควำมเสยหำยทเกดจำกกำรใชรถยนตคนทเอำประกน

ไมวำจะเปนคำเสยหำยคำรกษำพยำบำลคำชดเชยคำสนไหมทดแทนคำสนไหมกรณำซงมกำรท�ำ

ขอตกลงและท�ำสญญำเพอออกใบกรมธรรมประกนภยโดยเรยกวำผเอำประกนภยกบผรบประกนภย

จำกกำรสอบถำมบรษทประกนภยรถยนตแหงหนง มผเอำประกนภยจ�ำนวน 10,000 คนโดยจ�ำแนกตำมวยเพศและสถำนภำพสมรสของผเอำประกนภยดงน

(i) วยท�ำงำนหรอวยสงอำย (ii) เพศหญงหรอเพศชำย (iii) สมรสหรอโสด จากจ�านวนผเอาประกนภยทงหมดพบวา 3,000 คนเปนโสด 4,600 คนเปนเพศชำย 7,000 คนสมรสแลว 1,320 คนเปนวยท�ำงำนเพศชำย 3,010 คนเปนเพศชำยทสมรสแลว 1,400 คนเปนวยท�ำงำนทแตงงำนแลว 600 คนเปนวยท�ำงำนเพศชำยทสมรสแลว อยำกทรำบวำผเอำประกนทเปนวยท�ำงำนเพศหญงและโสดมจ�ำนวนกคน

สถานการณ

เซต

• เซตคอกลมของสงตำงๆ ททรำบแนนอนวำสงใดอยในกลมและสงใดไมอยในกลม

• กำรเขยนเซตม2แบบคอ

1) แบบแจกแจงสมำชกเชนA={1,2,3,4,5}

2) แบบบอกเงอนไขเชนA={x∊N�x≤5}• เซตวำงคอเซตทไมมสมำชกเขยนแทนดวยสญลกษณ∅

• เซตจ�ำกดคอเซตทมจ�ำนวนสมำชกเทำกบจ�ำนวนเตมบวกใดๆ หรอศนย

• เซตอนนตคอเซตทไมสำมำรถบอกจ�ำนวนสมำชกของเซตได

• เซตทเทำกนคอเซตทมสมำชกเหมอนกนและมจ�ำนวนสมำชกเทำกนเขยนแทนดวยสญลกษณA=B

เชนA={1,2,3},B={3,2,1}จะไดวำA=B={1,2,3}มจ�ำนวนสมำชก3ตว

เอกภพสมพทธ

• เซตทก�ำหนดขนโดยตกลงวำจะไมกลำวถงสมำชกทอยนอกเหนอเซตทก�ำหนด

เขยนแทนดวยสญลกษณ𝒰

• เอกภพสมพทธคอเซตทก�ำหนดขอบขำยในกำรพจำรณำสมำชกของเซตทกลำวถง

สบเซตและเพาเวอรเซต

• เซตAเปนสบเซตของเซตBกตอเมอสมำชกทกตวของเซตAเปนสมำชกของเซตB

เขยนแทนดวยA⊂B•ถำเซตAมสมำชกจ�ำนวนnตวแลวจ�ำนวนสบเซตทงหมดของเซตAเทำกบ2nเซต

• เพำเวอรเซตคอเซตของสบเซตทงหมดเขยนแทนดวยP(A)

แผนภาพเวนน

• แผนภำพทใชแทนเอกภพสมพทธจะเปนรปสเหลยมผนผำหรอรปปดสวนในกรอบจะแทนดวยเซต

แตละเซตทเปนสบเซตของเซต𝒰ซงจะเขยนเปนวงกลมหรอวงร

สรปแนวคดหลก

เซต

A B𝒰

เซต38 39

การดาเนนการของเซต

ก�ำหนด𝒰เปนเอกภพสมพทธAและBเปนเซต

•ยเนยนA∪B={x�x∊Aหรอx∊Bหรอxเปนสมำชกของทงสองเซต}

A B𝒰

•อนเตอรเซกชนA∩B={x�x∊Aและx∊B}

A B𝒰

•คอมพลเมนตA′={x∊𝒰�x∉A}

𝒰

AA′

•ผลตำงระหวำงเซตA-B={x�x∊Aและx∉B}

A B𝒰

•ผลตำงระหวำงเซตB-A={x�x∊Bและx∉A}

A B𝒰

จานวนสมาชกของเซตจากด

ใหA,BและCเปนเซตจ�ำกด

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

พชคณตของเซต(AlgebraofSets)ก�ำหนดA,BและCเปนเซต

• ยเนยน

1. กฎเอกลกษณ(IdentityLaw) ม∅เปนเอกลกษณของกำรยเนยน จะได∅∪A=A=A∪∅ 2. กฎนจพล(IdempotentLaw) A∪A=A

• อนเตอรเซกชน

1. กฎเอกลกษณ(IdentityLaw) ม∅เปนเอกลกษณของกำรอนเตอรเซกชน จะได∅∩A=∅=A∩∅ 2. กฎนจพล(IdempotentLaw) A∩A=A 3. กฎกำรสลบท(CommutativeLaw) A∩B=B∩A

• คอมพลเมนตและผลตำง

1. 𝒰′=∅และ∅′=𝒰 2. (A′)′=A 3. A∩A′=∅และA∪A′=𝒰 4. A-B=A∩B′ 5. ถำA⊂BแลวB′⊂A′ 6. A∩B=∅กตอเมอA⊂B′และB′⊂A 7. กฎของเดอมอรแกน(DeMorgan'sLaw) (A∪B)′=A′∩B′และ(A∩B)′=A′∪B′

3. กฎกำรสลบท(CommutativeLaw) A∪B=B∪A 4. กฎกำรเปลยนหม(AssociativeLaw) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ขอสงเกตถำA⊂BแลวA∪B=B

4. กฎกำรเปลยนหม(AssociativeLaw) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 5. กฎกำรแจกแจง(DistributiveLaw) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ขอสงเกตถำA⊂BแลวA∩B=A

เซต40 41

คาชแจง:ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. ใหเขยนเซตในแตละขอตอไปนแบบแจกแจงสมำชกและแบบบอกเงอนไข

1) เซตของจ�ำนวนนบทมำกกวำ-2แตนอยกวำ227

2) เซตของจ�ำนวนนบทอยระหวำง1กบ2

3) เซตของจ�ำนวนนบทเปนพหคณของ10

2. ก�ำหนดA,BและCเปนเซตใดๆ ใหพจำรณำขอควำมตอไปนวำเปนจรงหรอเทจ

เพรำะเหตใด

1) ถำA≠BและB≠CแลวA≠C 2) ถำA=BและB=CแลวA=C

3) ถำA∊BและB∊CแลวA∊C

4) ถำA∉BและB∉CแลวA∉C

5) ถำA⊂BและB⊂CแลวA⊂C 6) มA,BและCซงA≠BและB≠CแตA∊C

3. ยกตวอยำงเซตA,เซตBและเซตCใหสอดคลองกบเงอนไขในแตละขอตอไปน

1) A⊂BและB⊂C 2) A⊂BและB⊂CแตA⊄C 3) A⊂∅ 4) A∊BและA⊂B

4. ก�ำหนดA,BและXเปนเซตใดๆ ใหพจำรณำขอควำมตอไปนวำเปนจรงหรอเทจ

เพรำะเหตใด

1) ถำX⊂AแลวX∊P(A)

2) ถำX∊Aแลว{X}∊P(A)

3) ถำ∅⊂P(A)แลว∅∊P(A)

4) ถำ{∅}⊂P(A)แลว{∅}∊P(A)

5) A⊂P(A)แลวA∊P(A)

6) P(∅)≠{P(∅)}

1แบบฝกทกษะ ประจาหนวยการเรยนรท 5. ก�ำหนด 𝒰={1,2,3,4,5,6,7,8},A={0,2,4,6,8}

B={1,3,5,7}และC={3,4,5,6}

ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมำชกพรอมทงเขยนแผนภำพของแตละเซต

1) B∩C 2) A∪C 3) A′∩B 4) A′∩C′

5) A′∪C 6) B-C

7) (A∩C)∪B 8) (A∪C)∩B

6. ก�ำหนดAและBเปนเซตทมจ�ำนวนสมำชกเทำกนโดยทn(A∪B)=20และn(A∩B)=6ใหหำวำเซตB-Aมจ�ำนวนสมำชกกตว

7. ก�ำหนดIแทนเซตของจ�ำนวนเตมและNแทนเซตของจ�ำนวนนบใหพจำรณำขอควำม

ตอไปนวำเปนจรงหรอเทจเพรำะเหตใด

1) {x∊N�x2-2≠0} เปนเซตจ�ำกด

2) {x∊N�3x2-6x=0}เปนเซตวำง 3) {x∊I�x2+1=0} เปนเซตอนนต

4) {x∊I�x3≠x2+x} เปนเซตอนนต

8. ก�ำหนด𝒰={1,2,3...,15}ถำA={2,4,6,8,10,12,14}

และB={1,2,3,5,6,9,10,13,15}ใหหำจ�ำนวนสมำชกของเพำเวอรเซตของ

[(A′∩B)∩B]′

9. จำกกำรส�ำรวจนกเรยน500คนพบวำชอบวชำคณตศำสตร356คนชอบวชำเคม225คน

และชอบทงสองวชำ118คนใหหำ

1) จ�ำนวนนกเรยนทชอบวชำคณตศำสตรอยำงเดยว

2) จ�ำนวนนกเรยนทชอบวชำเคมอยำงเดยว

3) จ�ำนวนนกเรยนทไมชอบทงสองวชำ

10. จำกกำรส�ำรวจพนกงำนบรษทแหงหนง พบวำ 60% ชอบดมกำแฟ 45% ชอบดมชำ

15%ชอบดมนม20%ชอบดมกำแฟและชำ28%ชอบดมชำและนม30%ชอบดมกำแฟ

และนม12%ชอบดมทงสำมชนดนอยำกทรำบวำ

1) พนกงำนทชอบดมเครองดมอยำงนอยสองชนดในสำมชนดนมกเปอรเซนต

2) พนกงำนทไมชอบดมเครองดมทงสำมชนดนมกเปอรเซนต

เซต42 43

[sb] คณิตฯเพิ่มเติม ม4 เล่ม1 N1 002-043academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1520491093_example.pdf · ∧“ผู้พันได้คะแนน

Documents