Sampul - perpustakaan universitas hasanuddin

REDUKSI MATRIKS POLINOMIAL MENJADI MATRIKS

HESSENBERG ATAS DENGAN METODE ARNOLDI

SKRIPSI

MUAYYADAH

H111 14 002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2018

Sampul


i

Muayyadah

REDUKSI MATRIKS POLINOMIAL MENJADI MATRIKS HESSEBERG

ATAS DENGAN METODE ARNOLDI

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin Makassar

MUAYYADAH

H111 14 002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


MAKASSAR

2018

Halaman

Judul


ii

Muayyadah

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan dibawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh

bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:

REDUKSI MATRIKS POLINOMIAL MENJADI MATRIKS

HESSENBERG ATAS DENGAN METODE ARNOLDI

Adalah benar hasil karya saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah

dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 25 Mei 2018

MUAYYADAH

NIM. H111 14 002


iii

Muayyadah


iv

Muayyadah


v

Muayyadah

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIK

Sebagai civitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di

bawah ini :

Nama : Muayyadah

NIM : H111 14 002

Program Studi : Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Hasanuddin Hak Bebas royalti Non-eksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas skripsi saya yang berjudul :

“Reduksi Matriks Polinomial menjadi Matriks Hessenberg Atas dengan

Metode Arnoldi”

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka

pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola

dalam bentuk pangkalan data (database), merawat dan mempublikasikan skripsi

saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Makassar pada tanggal 25 Mei 2018

Yang menyatakan

MUAYYADAH


vi

Muayyadah

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamiin, segala puji dan syukur kita panjatkan atas

kehadirat Allah SWT karena limpahan rahmat dan hidayahNya yang telah

diberikan berupa ilmu pengetahuan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan

tugas akhir dalam bentuk skripsi dengan judul “ Reduksi Matriks Polinomial

menjadi Matriks Hessenberg Atas dengan Metode Arnoldi” sebagai salah satu

persyaratan dalam meraih gelar Sarjan Sains pada Program Studi Matematika

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin. Shalawat dan salam tak lupa penulis haturkan untuk

Baginda Rasulullah Muhammad SAW, suri tauladan dalam menjalankan

kehidupan, insan terbaik akal dan budi pekerti, dan sebagai Uswatun Hasanah.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat

kekurangan – kekurangan baik menyangkut materi maupun teknis, oleh karena itu

koreksi dan saran dari semua pihak sangat diperlukan demi kesempurnaan skripsi

ini. Penyusunan skripsi ini tentunya tidak lepas dari bantuan berbagai pihak baik

dukungan moriil maupun materiil. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis

menyampaikan ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan tak terhingga

kepada Ayahanda H. Jabaruddin dan Ibunda tercinta Hj. Masruhah yang telah

membesarkan dan mendidik penulis dengan cinta dan kasih sayang, kesabaran dan

keikhlasan yang mengiringi setiap langkah penulis dengan doa restunya, demi

kelanjutan dan kelancaran belajar penulis.

Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan

juga juga penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Rektor Universitas Hasanuddin beserta jajarannya, Bapak

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam beserta

jajarannya dan semua pihak birokrasi atas ilmu dan kemudahan-

kemudahan yang diberikan, baik dibidang akademik maupun dibidang

kemahasiswaan.

2. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc dan Bapak Amran, S.Si,

M.Si selaku Ketua DEPARTEMEN dan Sekretaris DEPARTEMEN

Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin.


vii

Muayyadah

3. Ibu Prof. Dr. Hasmawati, M.Si selaku pembimbing Akademik, yang

juga menjadi orang tua penulis selama masa studi, yang selalu

meluangkan waktunya untuk mendengarkan segala keluh kesah

penulis, dan memberikan kritikan, saran dan nasehat yang membangun

disetiap bimbingannya.

4. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc selaku pembimbing utama

dan Ibu Dra. Nur Erawaty, M.Si selaku pembimbing pertama, yang

selalu bersabar dalam membimbing penulis dengan sebaik baiknya dan

telah bersedia meluangkan waktu disela sela rutinitas yang padat demi

membimbing penulis dari awal hingga terselesaikan skripsi ini.

5. Ibu Prof. Dr. Hasmawati, M.Si selaku ketua tim penguji, Bapak Andi

Galsan Mahie, S.Si, M.Si selaku sekretaris tim penguji dan Ibu Dr.

Kasbwati, S.Si, M.Si yang telah meluangkan waktunya umtuk

memberikan saran, kritik dan arahan yang membangun kepada penulis

dalam penyusunan skripsi ini.

6. Bapak dan Ibu Dosen DEPARTEMEN Matematika dan Staf

DEPARTEMEN Matematika yang telah memberikan banyak ilmu

pengetahuan dan membantu dalam pengurusan akademik dan

administrasi.

7. Keluarga Besar dan Adik-adikku tercinta Zilhayai, Milka Muruah

dan Mujbira Uyuba atas dukungan dan doa selama masa studi

penulis.

8. Keluarga Besar Dompet Dhuafa dan Beastudi Etos dan terkhusus

untuk Keluarga Besar Beastudi Etos Makassar, Ibu Irma selaku

Koordinator Wilayah, kakak-kakak pendamping Kak Mimin, Kak

Apin, Kak Eki, Kak aty, Kak Eni, Kak Kaslam, Kak Uccang , dan

Kak Ipul yang telah memberikan banyak bimbingan kepada penulis

selama berada di asrama baik mengenai akdemik maupun akhlak

islami dan para pendamping yang siap mendengarkan keluh kesah dan

memberikan saran dan nasehat kepada penulis selama menjalani studi.

9. Saudara seperjuangan ISBAR 2014 (Fifi, Ani, Sukma, Jum, Lina,

Ima, Aya, Syamsiah, Nisa, Ros, Ikbal, sultan, Gaffar, Ampa,


viii

Muayyadah

Rahman, Uya) yang telah berbagi pengalaman selama berjalannya

studi ini, kakak-kakak LEADER 2012, RAIRDERS 2103 dan adik

etoser HOLISTER 2015, AFFAIR 2026.

10. Ukhtifillah (Mariani, Nini Adelia Ahmad, Nikita) yang selalu sabar

mendengarkan keluahan penulis, berbagi cerita suka dan duka, selalu

memberi dukungan dan nasehat kepada penulis, serta sahabat sahabat

bangku perkuliahan Selviani, Muliani, Utari, Ainun, Srimul, Indah,

Arni dan Afni yang selama ini berjuang bersama penulis

menyelesaikan masa studi. Dan Kak Nisri yang setia menemani dan

mendengarkan curhatan curhatan penulis selama meneyelesaikan

skripsi ini.

11. Teman-teman Seangkatan 2014 dan kakak-kakak mahasiswa prodi

Matematika kepada Ros, Annisaul, Vira, Tami, Nunu, Evi, Amel,

Ayu, Mira, Idah, Amy, Dian, Agnes, Eka, Rido, Tri, Faldy, Rusdi,

Azwar, Andika, Wardiman, Appi, Fandi, Aco, Syahrul, Kak Afif,

Kak Radah, Kak Ika, Kak Eka, Kak Koba serta teman-teman dan

kakak-kakak lainnya yang tidak dapat disebut satu per satu. Terima

kasih untuk dukungan dan waktunya saat berjuang sama-sama di dunia

perkuliahan. Terkhusus kepada Nasrullah, Jeriko, dan Muhclas,

yang selalu membantu mengerjakan soal, tugas, maupun pada saat

pengerjaan tugas akhir penulis.

12. Teman teman halaqoh Syandri, Retno, Wini, Tuti, Hanifa, Mey,

Nana, April, Nanda, Nisa, Devi, yang sama sama belajar Alquran dan

ilmu syar’i, dan terkhusus kepada Kak Indah yang setia dengan sabar

membimbing dan mengajar penuis sejak awal (MABA) hingga

selesainya studi ini.

13. Seluruh teman-teman KKN UNHAS GEL.96 Kec. Mandalle, Kab.

Pangkep terkhusus kepada teman posko Desa Tamarupa: Tiara,

Intasn, Retno, Kak Sandi, Kak Alwi dan Rani, Kak Rusdi yang

setia membantu sampai terselesaikan segala urusan KKN, serta warga

Tamarupa yang telah menjadi teman serta keluarga baru dan semoga


ix

Muayyadah

kedepannya silaturahmi yang telah dibangun bersama tetap terjalin

dengan baik.

14. Semua pihak yang telah banyak membantu penulis dan tak sempat

penulis sebutkan satu per satu.

Semoga bantuan dan harapan dan doanya bukanlah suatu hal yang sia-sia

dihadapan Allah SWT. Akhir kata penulis mengharapkan kritikan dan saran yang

bersifat membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Sebab penulis menyadari

kesalan dan kekurangan tidak pernah lepas dari setiap manusia sebagai makhluk

Allah. Serta semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah ilmu

pengetahuan bagi kita semua.

Semoga Allah SWT meridhoi segala langkah kita semua. Akhirnya dengan

segala kekurangan penulis mempersembahkan karya tulis ini.

Makassar,25 Mei 2018

Penulis


x

Muayyadah

ABSTRAK

Matriks Polinomial adalah matriks yang entri entrinya polinomial.

Penelitian ini membahas tentang bagaimana mereduksi matriks polinomial

menjadi matriks Hessenberg atas dengan menggunakan metode Arnoldi yang

bekerja pada subruang Krylov . Hasil penelitian ini

menunjukkan bahwa matriks polinomial dapat direduksi menjadi matriks

Hessenberg atas jika matriks polinomial adalah matriks polinomial selft-

adjoin dan vektor tidak nol sedemikian sehingga barisan vektor

adalah bebas linear. Dari hasil reduksi

menjadi matriks Hessenberg atas dapat diperoleh nilai eigen terbatas dan tak

terbatas matriks polinomial, dimana matriks polinomial dan matriks

Hessenberg atas adalah matriks similar sedemikian sehingga

.

Kata kunci : Matriks Polinomial, Self-adjoin, Metode Arnoldi, Subruang Krylov,

Nilai Eigen.


xi

Muayyadah

ABSTRACT

Matrix polynomial is a matrix whose entries are polynomials. This

research discuss about how to reduce the matrix polynomial to upper Hessenberg

matrix, and the method used is the Arnoldi method that works on Krylov

subspace. The result of this research showed that the matrix polynomial can be

reduce to upper Hessenberg matrix if the matrix polynomial is a matrix

polynomial self-adjoin and be a nonzero vector such that the vector

sequence is linearly independent. From the

reduction result to the upper Hessenberg matrix we can be obtain finite and

infinite eigenvalues of matrix polynomial, where the matrix polynomial and upper

Hessenberg are matrix similar matrix so that .

Key words : Matrix polynomial, Self-adjoin, Arnoldi method, Krylov subspace,

Eigenvalue.


xii

Muayyadah

DAFTAR ISI

HALAAN JUDUL ................................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN....................................................... ii

LEMBAR PERSETUJUAN................................... Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PENGESAHAN ................................ Error! Bookmark not defined.

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................................. v

KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi

ABSTRAK .............................................................................................................. x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ......................................................................................... 1

1.2. Rumusan Masalah .................................................................................... 3

1.3. Batasan Masalah ....................................................................................... 3

1.4. Tujuan Penelitian ...................................................................................... 3

1.5. Manfaat Penelitian .................................................................................... 3

1.6. Sistematika Penulisan ............................................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................. 5

2.1 Fungsi Polinomial dan Matriks Polinomial .............................................. 5

2.1.1 Fungsi Polinomial ............................................................................. 5

2.1.2 Algoritma Pembagian Polinomial ..................................................... 5

2.1.3 Matriks Polinomial ............................................................................ 6

2.2 Matriks Polinomial Self -Adjoin .............................................................. 6

2.3 Lapangan Fungsi Rasioanl ....................................................................... 6

2.4 Nilai Eigen ................................................................................................ 8

2.5 Matriks Hessenberg .................................................................................. 9

2.6 Merentang ............................................................................................... 10

2.7 Bebas Linear ........................................................................................... 10

2.8 Hasilkali Dalam ...................................................................................... 11

2.9 Proses Gram-Schmidt ............................................................................. 11

2.10 Metode Arnoldi Dan Subruang Krylov .................................................. 12

2.10.1 Subruang Krylov ............................................................................. 12

2.10.2 Metode Arnoldi ............................................................................... 12

DAFTAR ISI


xiii

Muayyadah

HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 13

3.1 Lapangan Fungsi Rasional ..................................................................... 13

3.2 Matriks Polinomial ................................................................................. 13

3.3 Matriks Polinomial Self –Adjoin ........................................................... 13

3.4 Matriks Similar ....................................................................................... 14

3.5 Hasilkali Dalam ...................................................................................... 15

3.6 Metode Arnoldi Dan Subruang Krylov .................................................. 16

3.6.1 Subruang Krylov ............................................................................. 16

3.6.2 Metode Arnoldi ............................................................................... 17

3.7 Reduksi Matriks Polinomial menjadi Matriks Hessenberg atas ............. 18

3.8 Nilai Eigen Matriks Polinomial .............................................................. 29

BAB IV PENUTUP ............................................................................................. 36

4.1 Kesimpulan ............................................................................................. 36

4.2 Saran ....................................................................................................... 37

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 38


1

Muayyadah

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Perkembangan ilmu dan tekhnologi merupakan salah satu pemicu

terjadinya perubahan yang cepat dan kompleks. Matematika merupakan salah satu

cabang ilmu pengetehuan yang penting untuk dipahami karena sangat dibutuhkan

diberbagai bidang kehidupan dengan kecepatan dan ketepatannya dalam pencarian

solusi.

Aljabar linear merupakan salah satu bagian dari matematika yang

mempelajari tentang matriks, vektor, ruang vektor, transformasi linear dan sistem

persamaan linear. Matriks pertama kali ditemukan oleh Arthur Cayley (1821-

1895) pada tahun 1859 di Inggris dalam sebuah studi sistem persamaan dan

transformasi linear. Namun pada awalnya, matriks hanya dianggap permainan

karena belum bisa diaplikasikan. Kemudian pada tahun 1925, matriks digunakan

pada mekanika kuantum. Selanjutnya matriks mengalami perkembangan yang

pesat dan digunakan dalam berbagai bidang.

Matriks merupakan suatu alat atau instrumen yang memudahkan dalam

membuat analisis yang mencakup hubungan variabel veriabel suatu persoalan,

mulai dari merumuskan sampai memecahkan persoalan, karena matriks

menetapkan notasi secara jelas dan singkat. Pada umumnya analisis yang

dilakukan hanya terbatas pada matriks konstan (matriks yang entrinya bilangan

konstan), akan tetapi pada kenyataannya terdapat juga masalah yang

memunculkan sebuah matriks polinomial (matriks yang entrinya polinomial)

(Trisnayanti, 2006).

Polinomial merupakan suatu jumlahan dari suku suku berhinga yang setiap

sukunya merupakan perkalian dari elemen himpunan bilangan real dengan

perpangkatan dari . disimbolkan sebagai matriks polinomial

berukuran dalam variabel x (Trisnayanti, 2006). Polinomial karakteristik

suatu matriks dapat digunakan untuk memperoleh nilai eigen suatu matriks A

yaitu dengan rumus yang disebut sebagai persamaan karakteristik

yang digunakan pada matriks konstan (matriks yang entrinya bilangan riil atau

kompleks).


2

Muayyadah

Nilai eigen dan vektor eigen memiliki peran penting dalam perkembangan

tekhnologi dan perkembangan teori dalam dunia keilmuan. Nilai eigen pada

awalnya hanya digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yaitu

dalam bidang geometri dan sebagai metode standar untuk menyelesaikan

persamaan differensial ordo ke-n dengan koefisien konstan yang diperkenalkan

oleh Leonhard Euler (Fraleigh,1987). Nilai eigen juga muncul dalam persoalan

nilai batas, seperti dalam penentuan daerah daerah yang rawan gempa dan dalam

menentukan pusat energi dari sebuah atom. Sedangkan vektor eigen muncul

secara alami dalam telaah getaran, elektris, genetika, reaksi kimia dan mekanika

kuantum (Leon, dkk, 2006).

Dalam penelitian (Cameron, 2016) mengembangkan metode untuk

menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks polinomial yang sama

dengan metode yang telah digunkana untuk matriks konstan (matriks real dan

kompleks). Metode yang dikembangkan adalah metode Arnoldi yang beroperasi

pada koefisien matriks dan secara efisien memproyeksikan masalah besar ke

masalah yang lebih kecil. Dan akan ditunjukkan bahwa setiap matriks polinomial

dapat direduksi menjadi bentuk segitiga (triangular) atau quasi-segitiga (quasi

triangular), dengan tetap mempertahankan derajat dan pembagi dasar terbatas dan

tak terbatas dari matriks polinomial.

Metode Arnoldi merupakan metode yang digunakan untuk memperoleh

matriks Hessenberg atas, matriks Hessenberg ditemukan oleh ilmuan dari Jerman

bernama Karl Hessenberg. Matriks Hessenberg merupakan matriks bujur sangkar

yang hampir segitiga yang terdiri dari matriks Hessenberg atas dan matriks

Hessenberg bawah. Nilai eigen matriks polinomial dapat diperoleh dari hasil

reduksi matriks polinomial menjadi matriks Hessenberg.

Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk mengkaji lebih dalam

tentang matriks Hessenberg atas dari hasil reduksi matriks polinomial dalam

bentuk tulisan skripsi dengan judul

“Reduksi Matriks Polinomial menjadi Matriks Hessenberg Atas

dengan Metode Arnoldi”


3

Muayyadah

1.2. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana mereduksi matriks polinomial menjadi bentuk matriks

Hessenberg atas dengan metode Arnoldi.?

2. Bagaimana menentukan nilai eigen matriks polinomial berdasarkan

hasil reduksi ke bentuk matriks Hessenberg atas.?

1.3. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini akan dipilih matriks polinoimial self-adjoin

berukuran dengan entri bilangan kompleks kemudian direduksi

menjadi matriks Hessenbeg atas.

1.4. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, maka penelitian ini bertujuan :

1. Mereduksi matriks polinomial menjadi bentuk matriks Hessenberg atas

dengan metode Arnoldi.

2. Menentukan nilai eigen matriks polinomial setelah direduksi menjadi

matriks Hessenberg atas.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang ingin dicapai dalam penulisan yaitu dapat menjadi

bahan referensi dalam kajian dan pengembangan ilmu pengetahuan

khususnya untuk masalah mereduksi matriks polinomial menjadi matriks

Hessenberg atas, dan penentuan nilai eigen pada matriks polinomial.

1.6. Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari empat bab sebagai berikut :

a. Bab I sebagai pendahuluan yang memuat latar belakang, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan

sistematika penulisan.

b. Bab II membahas mengenai konsep dasar yaitu matriks polinomial,

self adjoin matriks polinomial, lapangan fungsi rasional, nilai eigen,

matriks Hesssenberg, metode Arnoldi, subruang Krylov.


4

Muayyadah

c. Bab III membahas tentang hasil dan pembahasan dari penulisan tugas

akhir yaitu mereduksi matriks polinomial menjadi matriks Hessenberg

atas dan menentukan nilai eigen dari matriks polinomial.

d. Bab IV penutup yang membahas kesimpulan dari hasil penulisan ini,

dan saran yang dapat membangun pengembangan penulisan ini

menjadi lebih baik.


5

Muayyadah

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Fungsi Polinomial dan Matriks Polinomial

2.1.1 Fungsi Polinomial

Polinomial dengan koefisien dalam indeterminate ( bilangan

real) adalah sebuah bentuk penjumlahan

hal ini dapat disingkat dengan

dimana adalah koefisien

dari . Jika setiap maka disebut polinomial nol dan ditulis

(Adawiyah, 2004).

Jika pada persamaan ( ) maka polinomial disebut monik

(monic), himpunan dari semua polinomial dengan koefisien bilangan

kompleks ditulis .

2.1.2 Algoritma Pembagian Polinomial

Misalkan dan adalah polinomial-polinomial dalam

, maka terdapat polinomial dan yang unik dalam , dimana

adalah polinomial nol atau berderajat kurang dari derjat , sedemikian

sehingga

dengan atau derajat derajat .

Polinomial dan ditentukan secara tunggal oleh dan yang

diperlukan. Dalam hal ini, disebut sisa dalam pembagian oleh .

Jika , disebut membagi sedangkan dan disebut

pembagi dari (Trisnayanti, 2006).


6

Muayyadah

2.1.3 Matriks Polinomial

Matriks polinomial adalah sebuah matriks dengan entri polinomial,

disimbolkan sebagai himpunan matriks polinomial berukuran

dalam variabel .

Diberikan sebuah matriks polinomial , minor ordo i adalah

determinan dari semua submatriks bujur sangkar berordo dalam .

Misalkan matriks

matriks tersebut merupakan matriks polinomial, karena

.

Pembagi determinan dari adalah polinomial

,

adalah pembagi bersama terbesar (FPB) dari semua minor ordo i

yang tidak nol. Bilangan bulat r yang disebut rank adalah ordo maksimum

dari minor yang tidak nol. Semua minor dengan ordo lebih besar dari r sama

dengan nol dan tidak ada pembagi determinan untuk ordo yang lebih besar dari r

(Trisnayanti, 2006).

2.2 Matriks Polinomial Self –Adjoin

Definisi 2.1 (Gohberg, dkk, 2009) Sebuah matriks dikatakan self-adjoin jika

dimana ntuk kasus matriks yang entrinya bilangan riil

, sehingga matriks adalah matriks simetris.

2.3 Lapangan Fungsi Rasioanl

Definisi 2.2 (Trisnayanti, 2006) Diberikan dua buah polinomial

, maka adalah fungsi rasional jika


7

Muayyadah

Dimana dan masing masing disebut polinom pembilang dan polinom

penyebut dari fungsi rasional .

Himpunan fungsi rasional adalah

Secara aljabar disebut lapangan fungsi rasional.

Untuk membuktikan bahwa adalah lapangan, maka harus dibuktikan bahwa

, maka berlaku sifat:

penjumlahan adalah suatu elemen unik dari

untuk setiap elemen di dan terdapat suatu elemen 0 di

sedemikian sehingga

untuk elemen di terdapat suatu elemen unik di

sedemikian sehingga

perkalian adalah suatu elemen unik dari

untuk setiap elemen di terdapat suatu elemen di

sedemikian sehingga

untuk elemen di terdapat suatu elemen di

sedemikian sehingga


8

Muayyadah

2.4 Nilai Eigen

Definisi 2.3 (Anton, dkk, 2005) Jika adalah sebuah matriks berukuran ,

maka sebuah vektor tak nol disebut vektor eigen dari , jika adalah

sebuah perkalian skalar dari , yang memenuhi persamaan

untuk skalar sebarang . skalar disebut niilai eigen (eigenvalue) dari . dan

disebut sebagai vektor eigen dari yang sesuai dengan ..

Contoh 2.1. :

Diberikan vektor dan matriks

.

Maka, vektor disebut vektor eigen dari matriks

yang sesuai

dengan nilai eigen .

Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks berukuran , persamaan

dapat ditulis kembali menjadi

.

Agar λ dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat satu solusi tak nol dari persamaan

ini. Persamaan ini memiliki solusi taknol jika dan hanya jika

persamaan diatas disebut sebagai persmaan karakteristik dari matriks , skalar-

skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai nilai eigen dari matriks .

Persamaan karakteristik tersebut dapat dituliskan:

apabila diperluas, atau adalah sebuah polinom dalam

variabel λ yang disebut sebagai polinomial karakteristik dari matriks .


9

Muayyadah

Contoh 2.2. :

Tentukan nilai nilai eigen dari

.

Pertama, menentukan matriks

Selanjutnya mencari determinan dari matriks

dengan menggunakan persamaan karakteristik, diperoleh

dengan menggunakan rumus kuadratik maka solusi untuk (

adalah dan , sehingga diperoleh nilai nilai eigen dari matriks ,

yaitu :

2.5 Matriks Hessenberg

Matriks Hessenberg adalah matriks bujur sangkar yang terdiri dari matriks

Hessenberg atas dan matriks Hessenberg bawah.


10

Muayyadah

Definisi 2.4

Matriks Hessenberg atas adalah matriks bujur sangkar yang memiliki entri nol di

bawah sub-diagonal pertama. Secara formal dapat ditulis, untuk sebuah matriks

berukuran , dengan dimana .

Matriks Hessenberg bawah adalah matriks bujur sangkar yang memiliki entri nol

di atas sub-diagonal pertama. Secara formal, untuk sebuah matriks

berukuran dimana .

.

Matriks Hessenberg khususnya mastriks Hessenberg atas dapat diperoleh dari

proses numerik aljabar linear sebagai hasil transformasi ortogonal dari suatu

matriks untuk memecahkan masalah nilai eigen pada matriks yang umum

(Fiedler, dkk, 2003).

2.6 Merentang

Jika adalah vektor vektor pada ruang vektor , dikatakan

merentang jika masing masing vektor di dapat dibuat sebagai kombinasi

linear dari (Anton, dkk, 2005).

2.7 Bebas Linear

Definisi 2.5 (Anton, dkk, 2005) Jika adalah sebuah ruang vektor dan

adalah himpunan vektor takkosong, maka peersamaan vektor

Hanya terdapat satu solusi,yaitu

jika ini adalah satu-satunya solusi, maka disebut himpunan bebas linear. Dan

jika terdapat solusi lain, maka disebut himpunan tidak bebas linear.


11

Muayyadah

2.8 Hasilkali Dalam

Definisi 2.6 (Anton, dkk, 2005) Hasilkali dalam (inner product) pada sebuah

ruang vektor real adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah

bilangan real , dengan pasangan vektor dan di dalam sedemikian

sehingga aksioma aksioma berikut ini terpenuhi untuk semua vector dan

di dalam dan semua bilangan skalar k.

i.

ii.

iii.

iv. dan jika dan hnya jika

Definisi 2.7 (Cameron, 2016) Dua vektor didalam sebuah ruang

hasilkali dalam dikatakan ortogonal jika

2.9 Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt digunakan untuk menghasilkan sebuah basis

ortogonal, setelah semua basis ortogonal diperoleh, kemudian dinormalisasikan

untuk memperoleh sebuah basis ortonormal. Berikut ini langkah langkah untuk

menghasilkan basis orthogonal dari vektor-vektor

untuk . Misalkan , maka diperoleh (Anton &

Rorres, 2005).

untuk .

Contoh 2.3. :

Diberikan ruang vektor yang memiliki hasilkali dalam, terapkan proses

Gram-Schmidt untuk memperoleh basis ortogonal dari vektor basis

dan

.

Misalkan


12

Muayyadah

2.10 Metode Arnoldi Dan Subruang Krylov

2.10.1 Subruang Krylov

Teknik subruang Krylov banyak digunakan untuk memecahkan masalah

sistem persamaan linear dan masalah nilai eigen yang melibatkan matriks skala

besar. Subruang Krylov dimanfaatkan sebagai teknik dasar untuk memperoleh

informasi sebuah matriks berukuran yang berkaitan dengan masalah

komputasi, dan termasuk metode terbaik dalam menghitung iterasi suatu vektor

hingga normalisasi (Hoffnung, dkk., 2005).

Definisi 2.8 (Cameron, 2016) Diberikan suatu mariks polinomial

berukuran , dan , subruang yang direntang oleh vektor

disebut subruang Krylov.

Selanjutnya, subruang Krylov vektor yang direntang oleh

dan dinotasikan dengan

.

2.10.2 Metode Arnoldi

Basis standar pada subruang Krylov yaitu

. Diketahui bahwa vektor konvergen ke arah vektor

eigen yang sesuai dengan nilai eigen terbesar (di modulus) dari matriks .

Prosedur yang mudah untuk diterapkan pada vektor basis tersebut adalah proses

ortogonalisasi Gram-Schmidt (Arbenz, 2016).

Dengan mengambil nilai awal , maka proses metode Arnoldi yaitu

dan

untuk dengan adalah skalar, dan .


13

Muayyadah

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Lapangan Fungsi Rasional

Suatu matriks polinomial berukuran dan derajat tertinggi ,

didefinisikan sebagai

,

dimana , dan . Misalkan adalah lapangan fungsi

rasional dalam dan adalah ruang vektor pada setiap -tuple yang entri

etrinya fungsi rasioanal dengan koefisien bilangan kompleks. Hal ini akan

digunakan untuk menentukan matriks polinomial , dimana

adalah skalar polinom pada , dengan -koefisien pada entri pada k-

koefisien matriks . Matriks polinomial dapat dianggap sebagai transformasi

linear . Dalam kasus ini matriks polinomial pada dapat ditulis

sebagai basis standar (Cameron, 2016).

3.2 Matriks Polinomial

Matriks polinomial adalah sebuah matriks dengan entri polinomial,

disimbolkan sebagai himpunan matriks polinomial berukuran

dalam variabel .

Misalkan matriks

,

matriks tersebut merupakan matriks polinomial, karena

.

3.3 Matriks Polinomial Self –Adjoin

Definisi 3.1 (Gohberg, dkk, 2009) Sebuah matriks polinomial dikatakan self-

adjoin jika dimana dalam kasus matriks yang entrinya

bilangan riil, , sehingga matriks adalah matriks simetris dan dalam

kasus matriks kompleks, matriks self-adjoin disebut sebagai matriks Hermitian.


14

Muayyadah

.

Contoh 3.1.

Misalkan diberikan matriks polinomial

.

Berdasrkan Definisi 3.1, matriks self-adjoin dari adalah

,

sehingga diperoleh, .

Misalkan terdapat dua matriks dan similar, maka

dan sifat sifat penting dari matriks polinomial self-adjoin adalah dan

, sehingga (3.3) menjadi atau , dimana

adalah perkalian skalar baru yang terkoneksi dengan perkalian skalar biasa

dengan identitas . Oleh karena itu relatif self-adjoin terhadap

perkalian skalar .

3.4 Matriks Similar

Definisi 3.2. (Gohberg, dkk, 2009) Dua buah matriks berukuran ,

dikatakan similar, jika terdapat matriks , sedemikian sehingga det S

adalah fungsi rasional tidak nol, dan .

Teorema 3.1. jika dua buah matriks berukuran dan A similar

pada B, maka

i. Tr(A)=Tr(B)

ii. det(A)=det(B)

Bukti .

i.


15

Muayyadah

ii.

3.5 Hasilkali Dalam

Definisi 3.3 (Cameron, 2016) Didefinisikan hasil kali dalam

dengan

dimana adalah perkalian dan penjumlahan pada fungsi rasional, dan

adalah koefisien konjugat dari bilangan kompleks dengan Selanjutnya

akan ditunjukkan sebuah teorema yang menunjukkan bahwa hasil kali dalam

jika dan hanya jika .

Teorema 3.2 (Cameron, 2016) Diberikan dan , maka

Bukti.

adalah ruang vektor pada lapangan fungsi rasional , diperoleh seperti

berikut ini

dan

.

Jika , maka terbukti bahwa . Untuk membuktikan,

pertama untuk setiap elemen dari dapat di express menjadi

dimana

adalah polinom dengan derajat . Misalkan maka ditulis

, oleh karena itu u dapat ditulis seperti dibawah ini


16

Muayyadah

dengan linearisasi hasilkali dalam

,

dimana,

Jika maka derajat tertinggi dari . Akan tetapi ini

mengisyaratkan bahwa dan dapat ditunjukkan dengan argumen yang

sama untuk , untuk . Sehingga untuk

dan terbukti bahwa

3.6 Metode Arnoldi Dan Subruang Krylov

3.6.1 Subruang Krylov

Definisi 3.4 (Cameron, 2016) Misalkan P adalah matriks polinomial berukuran

, dan misalkan vektor tidak nol, maka barisan vektor

diketahui bahwa barisan subruang Krylov dibangun oleh vektor dan matriks

polinomial . Ruang vektor pada n-dimensi lapangan fungsi rasional

adalah barisan Krylov yang dapat menghasilkan n vektor bebas linear, seperti

berikut

,

adalah vektor bebas linear. Maka bentuk basis suatu vektor untuk k-dimensi pada

subruang Krylov yaitu

Merentang .

Bilangan asli menyatakan banyaknya vektor dalam . Tidak ada

jaminan bahwa vektor dalam bebas linear, oleh karena itu dimensi

dan derajat matriks polinomial .


17

Muayyadah

3.6.2 Metode Arnoldi

Metode Arnoldi merupakan modifikasi dari proses Gram-Schmidt untuk

mencari vektor-vektor ortogonal dari himpunan vektor yang diberikan. Metode

Arnoldi merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari basis

subruang Krylov . Langkah langkah metode Arnoldi dituliskan sebagai

berikut.

Dengan mengambil nilai awal maka diperoleh

dan

untuk dengan adalah skalar, dan

dengan vektor skalar tersebut, kita dapat menggunakan proses Gram-Schmidt

untuk barisan vektor , oleh karena itu,

untuk

Proses Arnoldi dapat dikombinasi dengan hasilkali dalam untuk menghitung

basisi ortogonal untuk subruang Krylov, jika , maka proses Arnoldi dapat

menghasilkan basis ortogonal pada dan matriks menjadi matriks

Hessenberg atas dari basis yang diperoleh (Cameron, 2016).

Contoh :

Misalkan

dan vektor . Dengan

menerapkan metode Arnoldi, dengan skalar , maka dapat diperoleh

matriks ortogonal, seperti berikut ini


18

Muayyadah

Sehingga diperoleh matriks ortogonal kolom dari basis

.

3.7 Reduksi Matriks Polinomial menjadi Matriks Hessenberg atas

Setelah diketahui langkah langkah dari metode Arnoldi, maka matriks

polinomial dapat direduksi menjadi matriks Hessenberg atas

menggunakan Teorema 3.2 berikut.

Teorema 3.3 (Cameron, 2016) Misalkan adalah matriks polinomial

berukuran dan vektor tidak nol sedemikain sehingga barisan

vektor

adalah bebas linear, maka dengan menerapkan proses Arnoldi akan diperoleh

basis ortogonal Adapun representasi matriks

terhadap basis yang diperoleh adalah matriks Hessenberg atas, dan jika


19

Muayyadah

adalah matriks self-adjoin maka representasi matriks tersebut adalah matriks

tridiagonal.

.Bukti .

Jika barisan vektor adalah bebas linear

maka kombinasi linear

(

hanya mempunyai satu solusi yaitu , kemudian

terapkan metode Arnoldi untuk memperoleh basis ortogonal

yang akan berbentuk matriks ortogonal kolom,

maka kolom pada matriks adalah bebas linear. Dan representasi matriks

terhadap basis yang diperoleh adalah matriks Hessenberg atas, didefinisikan

dimana

adalah matriks self-adjoin, dan dengan mempertimbangkan koefisien

Fourier, diperoleh

jika Berdsarkan Definisi 3.2 dan fakta bahwa adalah matriks self-

adjoin, maka diperoleh, dengan

.

dengan dimana maka akan diperoleh matriks Hessenberg

atas dari representasi matriks dan matriks ortogonal kolom

menggunkan metode Arnoldi dan adalah matriks tridiagonal.

Dari Teorema 3.3 dapat dibuat langkah langkah untuk mereduksi matriks

polinomial dengan entri bilangan kompleks menjadi matriks Hessenberg

atas , seperti berikut ini :

1. Pilih matriks polinomial dengan entri bilangan kompleks berukuran

yang self-adjoin dan vektor yang tidak nol sedemikian

sehingga barisan vektor


20

Muayyadah

adalah bebas linear.

2. Terapkan metode Arnoldi untuk memperoleh basis orthogonal

,

dan

untuk dengan adalah skalar, dan .

3. Kemudian dapat diperoleh matriks Hessenberg atas berdasarkan basis

ortogonal yang telah diperoleh, dengan menentukan entri-entri matriks

dimana

Contoh 3.3

Misalkan diberikan matriks polinomial self-adjoin berukuran dengan

entri bilangan kompleks dan vektor tak nol

dan

,

Maka dengan menerapkan Teorema 3.3 dapat diperoleh matriks Hessenberg atas

.

Penyelesaian :

1. Langkah pertama, karena matriks berukuran , maka diketahui ,

untuk itu akan ditunjukkan bahwa barisan vektor

adalah bebas linear, sebagai berikut.

diketahui

dan

maka diperoleh nilai dan , sebagai berikut


21

Muayyadah

Setelah diperoleh nilai , selanjutnya akan

ditunjukkan bahwa kombinasi linear

adalah bebas linear, maka

dapat ditulis menjadi,

atau secara ekuivalen, dapat ditulis


22

Muayyadah

sehingga diperoleh nilai dan ,

untuk persamaan

untuk persamaan

untuk persamaan

untuk persamaan

.

Jadi dari empat persamaan tersebut disimpulkan bahwa, barisan vektor

adalah bebas linear karena hanya

terdapat satu solusi yaitu .

2. Selanjutnya dengan menggunakan metode Arnoldi dapat diperoleh basis

ortogonal , dengan rumus

dan

untuk dengan adalah skalar dan maka

dengan mengambil nilai awal maka diperoleh


23

Muayyadah


24

Muayyadah

jadi diperoleh matriks ortogonal kolom dari vektor .

.

3. Setelah diperoleh basis ortogonal kolom, maka dapat diperoleh matriks

Hessenberg atas berukuran

dengan menentukan entri entri pada pada matriks dimana

,

oleh karena itu akan diperoleh entri entri matriks seperti berikut ini


25

Muayyadah


26

Muayyadah


27

Muayyadah


28

Muayyadah


29

Muayyadah

.

Dari entri entri matriks yang telah diperoleh, maka terbentuklah

matriks berukuran

,

dan terbukti bahwa matriks adalah representasi dari matriks polinomial

terhadap basis ortogonal adalah matriks Hessenberg atas dan didefinisikan

dimana

merupakan skalar, dan matriks adalah matriks tridiagonal.

3.8 Nilai Eigen Matriks Polinomial

Misalkan adalah matriks polinomial berukuran dan

adalah vektor tidak nol. Maka dengan menggunakan metode Arnoldi untuk

memperoleh matriks Hessenberg atas yang similar pada dan

dengan Teorema 3.4 berikut dapat diperoleh nilai eigen terbatas dan tak terbatas

pada matriks polinomial dari matriks Hessenberg atas .

Teorema 3.4 (Cameron, 2016 ) Misalkan adalah matriks

similar. Maka det det untuk setiap .

Bukti.

Berdasarkan Definisi 3.2, Jika similar pada , maka terdapat

dengan kolom bebas linear sedemikian sehingga

, dan untuk itu det adalah fungsi


30

Muayyadah

rasional tidak nol. Karena similar pada maka berdasarkan Teorema 3.1

yaitu det det . Selain itu, dengan perkalian pada determinan, Maka

det det .

Nilai eigen terbatas pada adalah akar akar dari det . Oleh karena

itu, berdasarkan Toerema nilai eigen terbatas pada dan adalah

sama. Dan nilai eigen tak terbatas pada didefinisikan sebagai akar-kar pada

det . Jika dan , maka Teorema menunjukkan

bahwa

det ,

dan dapat diperoleh nilia eigen tak terbatas pada dari .

Contoh 3.4

Beradsarkan Contoh , dengan matriks polinomial yang telah

direduksi menjadai matriks Hessenberg atas , maka dapat diketahui nilai

eigen pada matriks polinomial dengan menggunakan Teorema .

Diketahui

dan

,

sehingga dapat diperoleh nilai eigen terbatas dan tak terbatas matriks polinomial

yaitu sebagai berikut.

Nilai eigen terbatas pada adalah akar akar dari det . Adapun

determinan yaitu :

det

untuk menentukan determinan matriks akan digunakan metode ekspansi

Laplace dengan melakukan ekspansi pada kolom pertama, sehingga diperoleh

det


31

Muayyadah

det

.

Nilai eigen terbatas pada matriks polinomial diperoleh dari akar akar

determinan , dimana

det

det dapat difaktorkan menjadi

misalkan , maka diperoleh

dan

dengan kelengkapan kuadrat sempurna maka dapat diperoleh akar akar dari det

, seperti berikut ini.

Untuk


32

Muayyadah

subtitusi , maka diperoleh

.

Untuk

subtitusi maka diperoleh

jadi diperoleh nilai eigen terbatas matriks polinomial , sebagai berikut

.


33

Muayyadah

Selanjutnya nilai eigen tak terbatas pada matriks polinomial adalah

akar kar dari , dimana , karena derajat tertinggi pada entri

matriks polinomial adalah 2, maka diperoleh

dengan menggunakan metode ekspansi Laplace dapat diperoleh determinan

matriks yaitu dengan melakukan ekspansi pada kolom pertama,

sehingga diperoleh

det

det

det

((

.

Nilai eigen tak terbatas pada matriks polinomial yang diperoleh dari matriks

Hessenberg atas adalah akar akar dari

dapat difaktorkan menjadi

misalkan , maka diperoleh


34

Muayyadah

dan

dengan kelengkapan kuadrat sempurna maka dapat diperoleh akar akar dari det

, seperti berikut ini.

Untuk

.

Subtitusi maka diperoleh

.

Untuk


35

Muayyadah

dan

subtitusi , diperoleh

dan

jadi diperoleh nilai eigen tak terbatas matriks polinomial , sebagai berikut

.


36

Muayyadah

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan maka dapat disimpulkan bahwa

1. Matriks polinomial dengan entri bilangan kompleks dapat direduksi

menjadi matriks Hessenberg atas dengan langkah langkah seperti

berikut :

a. Pilih matriks polinomial dengan entri bilangan kompleks

berukuran yang self-adjoin dan vektor yang tidak

nol sedemikian sehingga barisan vektor

adalah bebas linear.

b. Terapkan metode Arnoldi untuk memperoleh basis orthogonal

,

dan

untuk dengan adalah skalar, dan

c. Kemudian dapat diperoleh matriks Hessenberg atas berdasarkan

basis ortogonal yang telah diperoleh, dengan menentukan entri-entri

matriks

dimana

2. Nilai eigen pada matriks polinomial dapat diperoleh dari matriks

Hessenberg atas yang telah direduksi dengan metode Arnoldi. Diketahui

bahwa matriks polinomial dan matriks Hessenberg atas adalah

matriks similar sedemikian sehingga . Nilai eigen

matriks polinomial terbagi atas nilai eigen terbatas dan tak terbatas. Nilai

eigen terbatas matriks polinomial diperoleh dari akar akar

determinant matriks polinomial dan nilai eigen tak terbatas matriks

polinomial adalah akar akar dari dimana adalah


37

Muayyadah

derajat tertinggi pada matriks polinomial Untuk itu akan lebih

mudah untuk memperoleh nilai eigen pada matriks polinomial cukup

dengan menentukan determinan matriks Hessenberg atas yang

berbentuk matriks tridiagonal.

4.2 Saran

Mereduksi matriks polinomial self adjoin yang berukuran

dengan entri bilanagan kompleks menjadi matriks matriks Hessenberg atas

dengan metode Arnoldi , dan menentukan matriks nilai eigen matriks polinomial

dapat dikembangkan lebih lanjut yaitu bagaimana mereduksi matriks

polinomial menjadi matriks Hessenberg atas dan menentukan nilai eigen matriks

polinomial, jika matriks polinomial self adjoin yang berukuran

dengan entri bilangan riil atau entri bilangan kompleks.


38

Muayyadah

DAFTAR PUSTAKA

Adawiyah Robiatul. 2004. Bentuk Kanonik Smith Atas Gelanggang Polinomial.

Skripsi Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar.

Anton, H., Rorres, C. 2005. Elelemantary Linear Algebra, Ninth Edition. New

York: John Wiley & Sons.

Arbenz Peter. 2016. Lecture Notes on Solving Large Scale Eigenvalue Problems.

Computer Science Department ETH Zurich.

Cameron, Thomas R. 2016. On the Reduction of Matrix Polinomial to Hessenberg

Form. Electronic Journal of Linear Algebra. Washinton State University.

Vo. 31, Hal:321-334.

Fiedler, M., Vavrin, Z. 2003. Generalized Hessenberg Matrices. Linear Algebra

and its Aplications. Academic of Sciences of the Czech Republic.

Fraleigh, John. B and Raymond A. Beauregd. 1987. Linear Algebra. Addison-

Wesley Publishing Company. Inc, Rhode Island.

I. Gohberg, P. Lancaster and L. Rodman. 2009. Matrix Polynomials. SIAM,

Philadelphia, PA.

Leon, Steven. J. 2006. Linear Algebra With Aplication. Pearson Education. Inc,

New Jersey.

L. Hoffnung, R. C. Li and Q. Ye. 2006. Krylov Type Subspace Methods for

Matrix Polinomials. Linear Algebra Appl., Vol. 415, Hal:52-81.

Trisnayanti. 2006. Bnetuuk Smith-McMillan Matriks Rasional. Skripsi Jurusan

Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar.

Sampul - perpustakaan universitas hasanuddin

Documents