Sadržaj prirucnik_Sadrzaj.doc · Web viewSadržaj Spisak tabela XXXV Aritmetika 1 Elementarna matematika 1 Brojevi 1 Prirodni, celi i racionalni brojevi 1 Iracionalni i transcendentni
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
1.1.1. Brojevi.....................................................................................................................................11.1.1.1. Prirodni, celi i racionalni brojevi.....................................................................................11.1.1.2. Iracionalni i transcendentni brojevi................................................................................11.1.1.3. Realni brojevi.................................................................................................................2
1.1.2. Metode dokazivanja................................................................................................................51.1.2.1. Neposredan dokaz.........................................................................................................51.1.2.2. Posredan dokaz ili dokaz pomoću suprotnog.................................................................51.1.2.3. Potpuna indukcija..........................................................................................................51.1.2.4. Konstruktivan dokaz......................................................................................................6
1.1.3. Zbirovi i proizvodi....................................................................................................................61.1.3.1. Zbirovi............................................................................................................................61.1.3.2. Proizvodi........................................................................................................................7
1.3.4. Penzijski račun......................................................................................................................241.3.4.1. Renta (penzija).............................................................................................................241.3.4.2. Renta jednakih uplata..................................................................................................251.3.4.3. Stanje na računu posle n isplata rente........................................................................25
1.4.1. Prave nejednakosti................................................................................................................281.4.1.1. Definicije......................................................................................................................281.4.1.2. Svojstva nejednakosti tipa I i II....................................................................................29
1.4.2.2. Nejednakosti apsolutnog iznosa razlike dva broja.......................................................301.4.2.3. Nejednačina za aritmetičku i geometrijsku sredinu.....................................................301.4.2.4. Nejednačina za aritmetičku i kvadratnu sredinu..........................................................301.4.2.5. Nejednakosti za srednje vrednosti dva realna broja....................................................301.4.2.6. Bernulijeva nejednakost..............................................................................................311.4.2.7. Binomna nejednakost..................................................................................................311.4.2.8. Koši-Švarcova nejednakost..........................................................................................311.4.2.9. Čebiševljeva nejednakost............................................................................................311.4.2.10. Poopštena Čebiševljeva nejednakost.........................................................................321.4.2.11. Helderova nejednakost..............................................................................................321.4.2.12. Nejednačina Minkovskog...........................................................................................33
1.4.3. Rešavanje nejednakosti 1. i 2. stepena.................................................................................331.4.3.1. Opšte...........................................................................................................................331.4.3.2. Nejednakosti 1. stepena..............................................................................................331.4.3.3. Nejednakosti 2. stepena..............................................................................................331.4.3.4. Opšti slučaj nejednakosti 2. stepena...........................................................................34
1.5. Kompleksni brojevi.........................................................................................................................341.5.1. Imaginarni i kompleksni brojevi............................................................................................34
1.5.2. Geometrijski prikaz...............................................................................................................351.5.2.1. Vektorski prikaz...........................................................................................................351.5.2.2. Jednakost kompleksnih brojeva...................................................................................351.5.2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.................................................................351.5.2.4. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva..................................................................361.5.2.5. Konjugirano kompleksni brojevi...................................................................................36
1.5.3. Računanje s kompleksnim brojevima....................................................................................361.5.3.1. Sabiranje i oduzimanje.................................................................................................361.5.3.2. Množenje......................................................................................................................371.5.3.3. Deljenje........................................................................................................................381.5.3.4. Opšta pravila za četiri osnovne računske operacije.....................................................381.5.3.5. Stepenovanje kompleksnog broja................................................................................381.5.3.6. Izračunavanje n-tog korena kompleksnog broja..........................................................38
1.6. Algebarske i transcedentne jednačine...........................................................................................381.6.1. Svođenje algebarskih jednačina na normalni oblik...............................................................38
1.6.1.1. Definicije......................................................................................................................381.6.1.2. Sistemi od n algebarskih jednačina.............................................................................391.6.1.3. Prividna rešenja...........................................................................................................39
1.6.2. Jednačine 1. do 4. stepena....................................................................................................391.6.2.1. Jednačine 1. stepena (linearne)...................................................................................391.6.2.2. Jednačine 2. stepena (kvadratne)................................................................................401.6.2.3. Jednačine 3. stepena (kubne)......................................................................................401.6.2.4. Jednačine 4. stepena...................................................................................................421.6.2.5. Jednačine 5. i većih stepena........................................................................................43
1.6.4. Svođenje transcendentnih jednačina na algebarske.............................................................451.6.4.1. Definicija......................................................................................................................451.6.4.2. Eksponencijalne jednačine...........................................................................................461.6.4.3. Logaritamske jednačine...............................................................................................461.6.4.4. Trigonometrijske jednačine..........................................................................................461.6.4.5. Jednačine sa hiperbolnim funkcijama..........................................................................47
2. Funkcije i njihovo zadavanje..................................................................................................................482.1. Pojam funkcije................................................................................................................................48
2.1.1. Definicija funkcije..................................................................................................................482.1.1.1. Funkcija........................................................................................................................482.1.1.2. Realna funkcija............................................................................................................482.1.1.3. Funkcija više promenljivih............................................................................................482.1.1.4. Kompleksna funkcija....................................................................................................482.1.1.5. Ostale funkcije.............................................................................................................482.1.1.6. Funkcionali...................................................................................................................482.1.1.7. Funkcija i preslikavanje................................................................................................49
2.1.3. Neki tipovi funkcija................................................................................................................502.1.3.1. Monotone funkcije........................................................................................................502.1.3.2. Ograničene funkcije.....................................................................................................512.1.3.3. Ekstremne vrednosti funkcija......................................................................................512.1.3.4. Parne funkcije..............................................................................................................512.1.3.5. Neparne funkcije..........................................................................................................512.1.3.6. Rastavljanje na parne i neparne funkcije.....................................................................522.1.3.7. Periodičke funkcije.......................................................................................................522.1.3.8. Inverzne ili obratne funkcije.........................................................................................52
2.1.4. Granična vrednost funkcije...................................................................................................532.1.4.1. Definicija granične vrednosti funkcije..........................................................................532.1.4.2. Svođenje na graničnu vrednost reda (v. s. 420)..........................................................532.1.4.3. Košijev kriterijum konvergencije..................................................................................532.1.4.4. Beskonačna granična vrednost funkcije......................................................................542.1.4.5. Leva i desna granična vrednost funkcije......................................................................542.1.4.6. Granična vrednost funkcije kada x teži beskonačnosti................................................542.1.4.7. Teoreme o graničnim vrednostima funkcija.................................................................552.1.4.8. Izračunavanje graničnih vrednosti...............................................................................552.1.4.9. Red veličine funkcija i simboli Landaua.......................................................................57
2.1.5. Neprekidnost funkcije...........................................................................................................582.1.5.1. Neprekidnost i mesto prekida......................................................................................582.1.5.2. Definicija neprekidnosti...............................................................................................592.1.5.3. Česti oblici prekida......................................................................................................592.1.5.4. Neprekidnost i mesta prekida elementarnih funkcija..................................................602.1.5.5. Svojstva neprekidnih funkcija......................................................................................61
2.2.1.1. Cele racionalne funkcije (polinomi)..............................................................................622.2.1.2. Razlomljene racionalne funkcije..................................................................................622.2.1.3. Iracionalne funkcije......................................................................................................63
2.6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije.........................................................................................722.6.1. Eksponencijalna funkcija.......................................................................................................722.6.2. Logaritamske funkcije...........................................................................................................732.6.3. Gausova zvonolika kriva.......................................................................................................732.6.4. Zbir eksponencijala...............................................................................................................732.6.5. Poopštena Gausova zvonolika kriva......................................................................................742.6.6. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije.........................................................................75
2.7. Trigonometrijske funkcije (ugla).....................................................................................................762.7.1. Osnove..................................................................................................................................76
2.7.1.1. Definicija i grafovi........................................................................................................762.7.1.2. Opsezi vrednosti i tokovi funkcija................................................................................78
2.7.2. Važne formule za trigonometrijske funkcije..........................................................................80
III
2.7.2.1. Odnosi trigonometrijskih funkcija................................................................................802.7.2.2. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike dva ugla (teorema o zbiru)802.7.2.3. Trigonometrijske funkcije višestrukih uglova...............................................................812.7.2.4. Trigonometrijske funkcije poluugla..............................................................................822.7.2.5. Zbirovi i razlike dve trigonometrijske funkcije.............................................................822.7.2.6. Proizvod trigonometrijskih funkcija..............................................................................822.7.2.7. Stepeni trigonometrijskih funkcija...............................................................................83
2.8. Ciklometrijske (arkus) funkcije.......................................................................................................852.8.1. Definicija ciklometrijskih funkcija..........................................................................................852.8.2. Svođenje na glavne vrednosti...............................................................................................852.8.3. Odnosi glavnih vrednosti.......................................................................................................862.8.4. Formule za negativne argumente.........................................................................................872.8.5. Zbir i razlika arcsin x i arcsin y..............................................................................................872.8.6. Zbir i razlika arccos x i arccos y............................................................................................872.8.7. Zbir i razlika arctan x i arctan y............................................................................................872.8.8. Specijalne relacije za arcsin x, arccos x i arctan x................................................................88
2.9.3. Važne formule za hiperbolne funkcije...................................................................................902.9.3.1. Hiperbolne funkcije jedne promenljive........................................................................902.9.3.2. Predstavljanje jedne hiperbolne funkcije drugom uz isti argument.............................902.9.3.3. Formule za negativne argumente................................................................................902.9.3.4. Hiperbolne funkcije zbira i razlike dva argumenta.......................................................912.9.3.5. Hiperbolne funkcije dvostrukog argumenta.................................................................912.9.3.6. Moavreove formule hiperbolnih funkcija......................................................................912.9.3.7. Hiperbolne funkcije poluargumenta.............................................................................912.9.3.8. Zbirovi i razlike hiperbolnih funkcija............................................................................912.9.3.9. Veza hiperbolnih i trigonometrijskih funkcija izražena pomoću kompleksnih argumenata 92
2.10. Area funkcije.................................................................................................................................922.10.1. Definicije.............................................................................................................................92
2.10.1.1. Area sinus..................................................................................................................922.10.1.2. Area kosinus..............................................................................................................922.10.1.3. Area tangens.............................................................................................................932.10.1.4. Area kotangens..........................................................................................................93
2.10.2. Predstavljanje Area funkcija pomoću prirodnog logaritma..................................................932.10.3. Veze Area funkcija...............................................................................................................942.10.4. Zbirovi i razlike area funkcija..............................................................................................942.10.5. Formule za negativne argumente.......................................................................................94
2.13. Cikloide.......................................................................................................................................1012.13.1. Obična cikloida..................................................................................................................1012.13.2. Produžene i skraćene cikloide ili trohoide.........................................................................1022.13.3. Epicikloide.........................................................................................................................1032.13.4. Hipocikloida i astroida.......................................................................................................104
IV
2.13.5. Produžena i skraćena epicikloida i hipocikloida................................................................1052.14. Spirale........................................................................................................................................105
2.15. Različite druge krive...................................................................................................................1082.15.1. Lančanica ili katenoida......................................................................................................1082.15.2. Kriva vučenja ili traktrisa...................................................................................................108
2.18. Funkcije više promenljivih..........................................................................................................1202.18.1. Definicija i grafičko predstavljanje....................................................................................120
2.18.1.1. Definicija funkcija više promenljivih.........................................................................1202.18.1.2. Grafičko predstavljanje funkcija više promenljivih...................................................120
2.18.2. Različita područja definicije u ravni...................................................................................1212.18.2.1. Područje definicije funkcije zadate skupom tačaka.................................................1212.18.2.2. Dvodimenzionalna područja....................................................................................1212.18.2.3. Tro- i višedimenzionalna područja...........................................................................1212.18.2.4. Načini definisanja funkcije.......................................................................................1212.18.2.5. Oblici analitičkog zadavanja funkcije.......................................................................1232.18.2.6. Zavisnost funkcija....................................................................................................124
2.18.3. Granične vrednosti............................................................................................................1252.18.3.1. Definicija..................................................................................................................1252.18.3.2. Tačna formulacija....................................................................................................1252.18.3.3. Poopštenje na više promenljivih..............................................................................1252.18.3.4. Iterirane granične vrednosti.....................................................................................126
2.18.5.1. Bolcanov teorema o nul-tačkama............................................................................1262.18.5.2. Teorema o međuvrednosti.......................................................................................1262.18.5.3. Teorema o ograničenosti funkcije............................................................................1262.18.5.4. Vajerštrasov teorema o egzistenciji najveće i najmanje vrednosti funkcije.............127
2.19. Nomografija................................................................................................................................1272.19.1. Nomogrami.......................................................................................................................1272.19.2. Mrežne tabele...................................................................................................................1272.19.3. Nomogrami tačaka na pravim...........................................................................................128
2.19.3.1. Nomogram sa tri prave koje prolaze kroz istu tačku...............................................1282.19.3.2. Nomogram sa dve paralelne prave i trećom koja ih seče........................................1292.19.3.3. Nomogram sa dve paralelne prave i jednom krivom...............................................130
2.19.4. Mrežne tabele za više od tri promenljive..........................................................................1313. Geometrija...........................................................................................................................................132
V
3.1. Geometrija u ravni (planimetrija).................................................................................................1323.1.1. Osnovni pojmovi..................................................................................................................132
3.1.1.1. Tačka, prava, poluprava, odsečak.............................................................................1323.1.1.2. Ugao..........................................................................................................................1323.1.1.3. Uglovi dve prave koje se seku...................................................................................1333.1.1.4. Parovi uglova paralelnih pravih koje seče treča prava..............................................1333.1.1.5. Uglovi izraženi u stepenima i u radijanima................................................................134
3.1.2. Geometrijska definicija cirkularnih i hiperbolnih funkcija....................................................1343.1.2.1. Definicija cirkularnih ili trigonometrijskih funkcija.....................................................1343.1.2.2. Geometrijska definicija hiperbolnih funkcija..............................................................135
3.1.3. Trougao u ravni...................................................................................................................1363.1.3.1. Svojstva trouglova u davni........................................................................................1363.1.3.2. Simetrija....................................................................................................................137
3.1.4. Četvorougao u ravni............................................................................................................1393.1.4.1. Paralelogram..............................................................................................................1393.1.4.2. Pravougaonik i kvadrat..............................................................................................1393.1.4.3. Romb.........................................................................................................................1393.1.4.4. Trapez........................................................................................................................1393.1.4.5. Poopšteni četvorougao..............................................................................................1403.1.4.6. Tetivni četvorougao...................................................................................................1403.1.4.7. Tangentni četvorougao..............................................................................................141
3.1.5. Mnogouglovi (poligoni) u ravni............................................................................................1413.1.5.1. Poopšteni mnogougao...............................................................................................1413.1.5.2. Pravilni konveksni mnogouglovi.................................................................................1413.1.5.3. Neki pravilni konveksni mnogouglovi........................................................................142
3.1.6. Kružni likovi u ravni.............................................................................................................1433.1.6.1. Krug...........................................................................................................................1433.1.6.2. Otsečak (segment) i isečak (sektor) kruga................................................................1453.1.6.3. Kružni prsten..............................................................................................................145
3.2.1.1. Izračunavanje trouglova u pravolinijskim koordinatama...........................................1463.2.1.2. Izračunavanje trouglova u krivolinijskim koordinatama.............................................146
3.2.2. Geodetske primene.............................................................................................................1493.2.2.1. Geodetske koordinate................................................................................................1493.2.2.2. Uglovi u geodeziji.......................................................................................................1503.2.2.3. Primene u premeru zemljišta.....................................................................................152
3.3. Geometrija u prostoru (stereometrija)..........................................................................................1553.3.1. Prave i ravni u prostoru.......................................................................................................1553.3.2. Rubovi, ivice, prostorni uglovi.............................................................................................1563.3.3. Uglasta tela (poliedri)..........................................................................................................1573.3.4. Obla tela..............................................................................................................................160
3.4. Sferna trigonometrija...................................................................................................................1643.4.1. Osnovni pojmovi geometrije na kugli..................................................................................164
3.4.1.1. Krive, lukovi i uglovi na kugli.....................................................................................1643.4.1.2. Specijalni koordinatni sistemi....................................................................................1663.4.1.3. Sferni ugao................................................................................................................1673.4.1.4. Sferni trougao............................................................................................................1673.4.1.5. Polarni trougao..........................................................................................................1683.4.1.6. Ojlerovi i ne-Ojlerovi trouglovi...................................................................................1693.4.1.7. Triedar.......................................................................................................................169
3.4.2. Osnovna svojstva sfernih trouglova....................................................................................1693.4.2.1. Opšte teoreme...........................................................................................................1693.4.2.2. Osnovne formule i primene.......................................................................................1703.4.2.3. Ostale formule...........................................................................................................173
3.5. Vektorska algebra i analitička geometrija....................................................................................1863.5.1. Vektorska algebra...............................................................................................................186
3.5.1.1. Definicija vektora, pravila računanja.........................................................................1863.5.1.2. Skalarni i vektorski proizvod......................................................................................1893.5.1.3. Višestruki proizvodi....................................................................................................1913.5.1.4. Vektorske jednačine..................................................................................................194
VI
3.5.1.5. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora..................................................1943.5.1.6. Geometrijske primene vektorske algebre..................................................................195
3.5.2. Analitička geometrija u ravni..............................................................................................1953.5.2.1. Ravanski koordinatni sistemi i njihove transformacije...............................................1953.5.2.2. Istaknute tačke ravni.................................................................................................1983.5.2.3. Prava..........................................................................................................................2013.5.2.4. Krug...........................................................................................................................2043.5.2.5. Elipsa.........................................................................................................................2053.5.2.6. Hiperbola...................................................................................................................2073.5.2.7. Parabola.....................................................................................................................2103.5.2.8. Krive 2. reda..............................................................................................................212
3.5.3. Analitička geometrija u prostoru.........................................................................................2143.5.3.1. Osnove, prostorni koordinatni sistemi.......................................................................2143.5.3.2. Prava i ravan u prostoru............................................................................................2213.5.3.3. Površi 2. reda, jednačine u normalnom obliku...........................................................2273.5.3.4. Površi 2. reda, opšta teorija.......................................................................................231
3.6. Diferencijalna geometrija.............................................................................................................2333.6.1. Krive u ravni........................................................................................................................233
3.6.1.1. Načini definisanja ravanske krive..............................................................................2333.6.1.2. Lokalni elementi krive................................................................................................2343.6.1.3. Istaknute tačke krive i asimptote...............................................................................2393.6.1.4. Opšte ispitivanje krive preko njene jednačine...........................................................2443.6.1.5. Evolute i evolvente....................................................................................................2453.6.1.6. Obvojnica (anvelopa) porodice krivih........................................................................246
3.6.2. Krive u prostoru..................................................................................................................2473.6.2.1. Načini definisanja prostorne krive.............................................................................2473.6.2.2. Prateći triedar............................................................................................................2473.6.2.3. Zakrivljenost i izvijanje..............................................................................................250
3.6.3. Površi.................................................................................................................................252 3.6.3.1. Načini definisanja površi............................................................................................2523.6.3.2. Tangencijalna ravan i normala na površ....................................................................2533.6.3.3. Linijski element na površi..........................................................................................2543.6.3.4. Zakrivljenost površi...................................................................................................2563.6.3.5. Pravčaste površi i površi koje se mogu razmotati......................................................2593.6.3.6. Geodetske linije na površi..........................................................................................259
4.1.1. Definicija matrice................................................................................................................2614.1.2. Kvadratne matrice...............................................................................................................2624.1.3. Vektori.................................................................................................................................2634.1.4. Računske operacije s matricama........................................................................................2644.1.5. Pravila računanja s matricama............................................................................................2674.1.6. Norma vektora i matrice.....................................................................................................268
4.2.2. Pravila računanja s determinantama..................................................................................2704.2.3. Izračunavanje determinanata.............................................................................................271
4.3.4. Tenzori u krivolinijskim koordinatnim sistemima................................................................2764.3.4.1. Kovarijantni i kontravarijantni bazni vektori..............................................................2764.3.4.2. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate tenzora 1. reda......................................276
4.3.4.3. Kovarijantne, kontravarijantne i mešovite koordinate tenzora 2. reda 2774.3.4.4. Pravila računanja.......................................................................................................278
4.3.5. Psudotenzori.......................................................................................................................2794.3.5.1. Ogledanje tačke u odnosu na koordinatni početak....................................................2794.3.5.2. Uvođenje pojma pseudotenzora................................................................................280
4.4. Sistemi linearnih jednačina..........................................................................................................281
4.4.2. Rešavanje sistema linearnih jednačina...............................................................................2814.4.2.1. Definicija i rešivost.....................................................................................................2824.4.2.2. Primena postupka zamene........................................................................................2844.4.2.3. Kramerovo pravilo.....................................................................................................2854.4.2.4. Gausov algoritam.......................................................................................................286
4.4.3. Preodređeni sistemi linearnih jednačina.............................................................................2874.4.3.1. Preodređeni sistemi linearnih jednačina i linearni srednjekvadratni problemi...........2874.4.3.2. Uputstva za numeričko rešavanje linearnih srednjekvadratnih problema.................288
4.5. Zadaci sa sopstvenim vrednostima matrica.................................................................................2884.5.1. Opšte o problemu sopstvenih vrednosti..............................................................................2884.5.2. Specijalni problem sopstvenih vrednosti.............................................................................288
4.5.2.1. Karakteristični polinom..............................................................................................2884.5.2.2. Realne simetrične matrice, identičke transformacije.................................................2904.5.2.3. Transformacija glavnih osa kvadratnih formi.............................................................2914.5.2.4. Uputstva za numeričko određivanje sopstvenih vrednosti........................................293
4.5.3. Rastavljanje na singularne vrednosti..................................................................................2955. Algebra i diskretna matematika..........................................................................................................297
5.2. Teorija skupova............................................................................................................................3025.2.1. Pojam skupa, specijalni skupovi..........................................................................................3025.2.2. Operacije sa skupovima......................................................................................................3035.2.3. Odnosi i grafičko predstavljanje..........................................................................................3065.2.4. Odnosi ekvivalentnosti i uređenosti....................................................................................3085.2.5. Obim skupova.....................................................................................................................309
5.3.3.1. Definicija i osnovna svojstva......................................................................................3115.3.3.2. Podgrupe i direktni proizvodi.....................................................................................3125.3.3.3. Preslikavanja grupa...................................................................................................314
5.3.4. Prikazivanje grupa...............................................................................................................3155.3.4.1. Definicije....................................................................................................................3155.3.4.2. Specijalni prikazi........................................................................................................3155.3.4.3. Direktni zbirovi prikaza..............................................................................................3165.3.4.4. Direktni proizvodi prikaza..........................................................................................3175.3.4.5. Reducibilni i nereducibilni prikazi..............................................................................3175.3.4.6. Prva Šuršova lema.....................................................................................................3185.3.4.7. Klebš-Gordanov niz....................................................................................................3185.3.4.8. Nereducibilni prikazi simetrične grupe SM..................................................................318
5.3.5. Primene grupa.....................................................................................................................3195.3.5.1. Simetrične operacije, simetrični elementi..................................................................3195.3.5.2. Simetrične grupe.......................................................................................................3195.3.5.3. Simetrične operacije nad molekulama.......................................................................3205.3.5.4. Simetrične grupe u kristalografiji...............................................................................3225.3.5.5. Simetrične grupe u kvantnoj mehanici......................................................................3245.3.5.6. Ostali primeri primene iz fizike..................................................................................324
5.3.6. Prsteni i tela........................................................................................................................3255.3.6.1. Definicije....................................................................................................................3255.3.6.2. Potprstenovi, ideali....................................................................................................3265.3.6.3. Homomorfizmi, izomorfizmi, teorema o homomorfiji.................................................326
5.3.7. Vektorski prostori................................................................................................................3265.3.7.1. Definicija....................................................................................................................3265.3.7.2. Linearna zavisnost.....................................................................................................3275.3.7.3. Linearna preslikavanja...............................................................................................3275.3.7.4. Potprostori, formula za dimenziju..............................................................................3275.3.7.5. Euklidovi vektorski prostori, Euklidova norma...........................................................3285.3.7.6. Linearni operatori u vektorskim prostorima...............................................................329
5.4. Elementarna teorija brojeva.........................................................................................................330
VIII
5.4.1. Deljivost..............................................................................................................................3305.4.1.1. Deljivost i elementarna pravila deljenja.....................................................................3305.4.1.2. Prim brojevi................................................................................................................3305.4.1.3. Kriterijumi deljivosti...................................................................................................3325.4.1.4. Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički faktor...............................................3335.4.1.5. Fibonačijevi brojevi....................................................................................................334
5.4.2. Linearne Diofantove jednačine............................................................................................3355.4.3. Kongruencija i klase ostatka...............................................................................................3375.4.4. Teoreme Fermaa, Ojlera i Vilsona.......................................................................................3415.4.5. Kodovi................................................................................................................................341
5.5. Kriptologija...................................................................................................................................3445.5.1. Zadatak kriptologije............................................................................................................3445.5.2. Kriptosistemi.......................................................................................................................3445.5.3. Matematičko preciziranje....................................................................................................3445.5.4. Bezbednost kriptosistema...................................................................................................345
5.5.4.1. Metode klasične kriptologije......................................................................................3455.5.4.2. Zamenske šifre..........................................................................................................3465.5.4.3. Vigenerove šifre.........................................................................................................3465.5.4.4. Matrične zamene.......................................................................................................346
5.5.5. Metode klasične kriptoanalize.............................................................................................3475.5.5.1. Statistička analiza......................................................................................................3475.5.5.2. Test Kasiki-Fridmana..................................................................................................347
5.5.6. Traka za jednokratnu upotrebu...........................................................................................3485.5.7. Metoda javnog ključa..........................................................................................................348
5.5.7.1. Koncept Difija i Helmana............................................................................................3485.5.7.2. Jednosmerne funkcije................................................................................................3495.5.7.3. Postupak RSA.............................................................................................................349
5.5.8. Algoritam DES (Data Encryption Standard).........................................................................3505.5.9. Algoritam IDEA (International Data Encryption Algorithm).................................................350
5.6. Univerzalna algebra......................................................................................................................3515.6.1. Definicija.............................................................................................................................3515.6.2. Odnosi kongruentnosti, faktorske algebre..........................................................................3515.6.3. Homomorfizmi.....................................................................................................................3515.6.4. Teorema o homomorfiji.......................................................................................................3525.6.5. Varijeteti..............................................................................................................................3525.6.6. Konačne algebre, slobodne algebre....................................................................................352
5.8. Algoritmi teorije grafova...............................................................................................................3595.8.1. Osnovni pojmovi i oznake...................................................................................................3595.8.2. Tok neusmerenih grafova...................................................................................................362
5.9.2.4. Princip proširenja.......................................................................................................3805.9.2.5. Neisključiva funkcija komplementa............................................................................380
5.9.3. Odnosi fazi vrednosti...........................................................................................................3815.9.3.1. Fazi odnosi.................................................................................................................3815.9.3.2. Proizvod fazi relacija R○S..........................................................................................383
5.9.4. Fazi zaključivanje................................................................................................................3845.9.5. Metode defazifikacije..........................................................................................................3865.9.6. Baze znanja s fazi zaključivanjem.......................................................................................387
5.9.6.1. Metoda Mamdanija....................................................................................................3875.9.6.2. Metoda Šugenoa........................................................................................................3875.9.6.3. Kognitivni sistemi.......................................................................................................3885.9.6.4. Interpolaciona baza znanja........................................................................................390
6. Diferencijalni račun..............................................................................................................................3936.1. Diferenciranje funkcija jedne promenljive....................................................................................393
6.1.1. Diferencijalni količnik..........................................................................................................3936.1.2. Pravila diferenciranja funkcija jedne promenljive................................................................394
6.1.2.1. Izvodi elementarnih funkcija......................................................................................3946.1.2.2. Osnovna pravila diferenciranja..................................................................................394
6.1.3. Izvodi višeg reda.................................................................................................................4006.1.3.1. Definicija izvoda višeg reda.......................................................................................4006.1.3.2. Izvodi višeg reda najjednostavnijih funkcija...............................................................4006.1.3.3. Lajbnicovo pravilo......................................................................................................4006.1.3.4. Izvodi višeg reda parametarski predstavljenih funkcija.............................................4016.1.3.5. Izvodi višeg reda inverznih funkcija...........................................................................401
6.1.4. Glavne teoreme diferencijalnog računa..............................................................................4026.1.4.1. Uslovi monotonosti....................................................................................................4026.1.4.2. Fermaova teorema....................................................................................................4026.1.4.3. Roleova teorema........................................................................................................4036.1.4.4. Teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu............................................4036.1.4.5. Tejlorov teorema o funkcijama jedne promenljive.....................................................4046.1.4.6. Poopšteni teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu............................404
6.1.5. Određivanje tačaka ekstrema i prevoja..............................................................................4046.1.5.1. Maksimumi i minimumi..............................................................................................4046.1.5.2. Nužni uslovi za egzistenciju relativnog ekstrema funkcije.........................................4056.1.5.3. Relativni ekstremi diferencijabilne, eksplicitno zadate funkcije y = f(x)....................4056.1.5.4. Određivanje tačaka globalnih ekstrema....................................................................4066.1.5.5. Određivanje ekstrema implicitno zadate funkcije......................................................406
6.2. Diferenciranje funkcija više promenljivih......................................................................................4076.2.1. Parcijalni izvodi...................................................................................................................407
6.2.1.1. Parcijalni izvod funkcije..............................................................................................4076.2.1.2. Geometrijsko značenje kod funkcija dve promenljive................................................4076.2.1.3. Pojam diferencijala....................................................................................................4076.2.1.4. Osnovna svojstva diferencijala..................................................................................4086.2.1.5. Parcijalni diferencijal..................................................................................................409
6.2.2. Potpuni diferencijal i diferencijali višeg reda.......................................................................4096.2.2.1. Pojam potpunog diferencijala funkcije više promenljivih (totalni diferencijal)...........4096.2.2.2. Izvodi i diferencijali viših redova................................................................................4106.2.2.3. Tejlorov teorema za funkcije više promenljivih..........................................................411
6.2.3. Pravila diferenciranja funkcija više promenljivih.................................................................4126.2.3.1. Diferenciranje složenih funkcija.................................................................................4126.2.3.2. Diferenciranje implicitnih funkcija.............................................................................412
6.2.4. Zamena promenljivih u diferencijalnim izrazima i transformacija koordinata.....................4146.2.4.1. Funkcija jedne promenljive........................................................................................4146.2.4.2. Funkcija dve promenljive...........................................................................................415
6.2.5. Ekstremi funkcija više promenljivih.....................................................................................4166.2.5.1. Definicija....................................................................................................................4166.2.5.2. Geometrijsko značenje..............................................................................................4166.2.5.3. Određivanje ekstrema funkcije dve promenljive........................................................4176.2.5.4. Određivanje ekstrema funkcije n promenljivih..........................................................4176.2.5.5. Približno rešavanje zadataka.....................................................................................4176.2.5.6. Određivanje ekstrema kada su zadati dopunski uslovi..............................................418
7.2.4. Neki specijalni redovi..........................................................................................................4257.2.4.1. Zbirovi nekih redova konstantnih članova.................................................................4257.2.4.2. Bernulijevi i Ojlerovi brojevi.......................................................................................427
7.3.3. Redovi potencija..................................................................................................................4317.3.3.1. Definicija, konvergencija............................................................................................4317.3.3.2. Računanje s redovima potencija................................................................................4317.3.3.3. Razvoj u Tejlorov i u Meklorenov red.........................................................................433
7.3.4. Formule za približno računanje...........................................................................................4347.3.5. Asimptotski konvergentni redovi potencija.........................................................................434
7.4. Furijeovi redovi.............................................................................................................................4367.4.1. Trigonometrijski zbir i Furijeovi redovi................................................................................437
7.4.1.1. Osnovni pojmovi........................................................................................................4367.4.1.2. Najvažnija svojstva Furijeovih redova........................................................................437
7.4.2. Određivanje koeficijenata simetričnih funkcija....................................................................4387.4.2.1. Različite simetrije......................................................................................................4387.4.2.2. Oblici razvoja u Furijeov red......................................................................................439
7.4.3. Određivanje koeficijenata numeričkim metodama..............................................................4407.4.4. Furijeov red i integral..........................................................................................................4407.4.5. Uputstva za primenu tabele nekih Furijeovih redova..........................................................441
8.1.1. Primitivna funkcija ili integral..............................................................................................4438.1.1.1. Neodređeni integrali..................................................................................................4448.1.1.2. Integrali elementarnih funkcija..................................................................................444
8.1.2. Pravila integracije...............................................................................................................4448.1.3. Integracija racionalnih funkcija...........................................................................................447
8.1.3.1. Integrali celih racionalnih funkcija (polinoma)...........................................................4478.1.3.2. Integrali razlomljenih racionalnih funkcija.................................................................4488.1.3.3. Četiri sučaja prilikom rastavljanja na parcijalne razlomke.........................................448
8.1.4. Integracija iracionalnih funkcija..........................................................................................4508.1.4.1. Zamena radi svođenja na integrale racionalnih funkcija...........................................4508.1.4.2. Integracija binomnih argumenata..............................................................................4518.1.4.3. Eliptički integrali........................................................................................................452
8.1.6. Integracija ostalih transcendentnih funkcija.......................................................................4558.1.6.1. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama..................................................................4558.1.6.2. Integrali sa hiperbolnim funkcijama...........................................................................4558.1.6.3. Primena parcijalne integracije...................................................................................455
XI
8.1.6.4. Integrali transcendentnih funkcija.............................................................................4568.2. Određeni integrali.........................................................................................................................456
8.2.1. Osnovni pojmovi, pravila i teoreme....................................................................................4568.2.1.1. Definicija i egzistencija određenih integrala..............................................................4568.2.1.2. Svojstva određenih integrala.....................................................................................4578.2.1.3. Ostale teoreme o granicama integracije....................................................................4598.2.1.4. Izračunavanje određenih integrala............................................................................460
8.2.2. Primene određenih integrala...............................................................................................4638.2.2.1. Opšti princip za primenu određenih integrala............................................................4638.2.2.2. Primene u geometriji.................................................................................................4648.2.2.3. Primene u mehanici i fizici.........................................................................................467
8.2.3. Nepravi integrali, Stiltjesovi i Lebegovi integrali.................................................................4698.2.3.1. Popštenje pojma integrala.........................................................................................4698.2.3.2. Integrali sa beskonačnim granicama integracije.......................................................4708.2.3.3. Integrali sa neograničenim integrandima..................................................................473
8.2.4. Parametarski integrali.........................................................................................................4758.2.4.1. Definicija parametarskog integrala............................................................................4758.2.4.2. Diferenciranje pod znakom integrala.........................................................................4758.2.4.3. Integraljenje pod znakom integrala...........................................................................476
8.2.5. Integracija razvojem u red, istaknute neelementarne funkcije...........................................4768.3. Krivolinijski integrali.....................................................................................................................479
8.3.2. Krivolinijski integrali 2. vrste...............................................................................................4818.3.3. Opšti krivolinijski integrali...................................................................................................4838.3.4. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije.....................................................485
9.1.1. Diferencijalne jednačine 1. reda..........................................................................................5059.1.1.1. Teorema o egzistenciji, polje smerova.......................................................................5059.1.1.2. Važne metode integracije..........................................................................................5069.1.1.3. Implicitne diferencijalne jednačine............................................................................5099.1.1.4. Singularni integrali i singularne tačke........................................................................5109.1.1.5. Približne metode integracije diferencijalnih jednačina 1. reda..................................513
9.1.2. Diferencijalne jednačine višeg reda i sistemi diferencijalnih jednačina..............................5159.1.2.1. Osnovna razmatranja.................................................................................................5159.1.2.2. Snižavanje reda jednačine.........................................................................................5169.1.2.3. Linearne diferencijalne jednačine n-tog reda.............................................................5189.1.2.4. Rešavanje linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima.............5209.1.2.5. Sistemi linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima..................5229.1.2.6. Linearne diferencijalne jednačine 2. reda..................................................................525
9.1.3. Problemi rubnih uslova........................................................................................................5329.1.3.1. Postavka problema....................................................................................................5329.1.3.2. Osnovna svojstva sopstvenih funkcija i sopstvenih vrednosti...................................533
XII
9.1.3.3. Razlaganje na sopstvene funkcije..............................................................................5349.1.3.4. Singularni slučajevi....................................................................................................534
9.2.2. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 2. reda...........................................................5409.2.2.1. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa dve nezavisne promenljive5409.2.2.2. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa više od dve nezavisne promenljive
....................................................................................................................................5429.2.2.3. Metode integracije linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina 2. reda.................543
9.2.3. Parcijalne diferencijalne jednačine u prirodnim naukama i tehnici.....................................5549.2.3.1. Postavka problema i rubni uslovi...............................................................................5549.2.3.2. Talasna jednačina......................................................................................................5559.2.3.3. Jednačina provođenja i difuzije toplote u homogenom medijumu.............................5569.2.3.4. Jednačina potencijala.................................................................................................5579.2.3.5. Šredingerova jednačina.............................................................................................557
10.2.1. Izoperimetarski problem...................................................................................................57310.2.2. Problem brahistohrone......................................................................................................573
10.3. Varijacioni zadaci sa funkcijama jedne promenljive...................................................................57410.3.1. Jednostavan varijacioni zadatak i ekstremala...................................................................57410.3.2. Ojlerova diferencijalna jednačina varijacionog računa......................................................57410.3.3. Varijacioni zadaci sa rubnim uslovima..............................................................................57610.3.4. Varijacioni zadaci sa višim izvodima.................................................................................57710.3.5. Varijacioni zadaci sa više traženih funkcija.......................................................................57710.3.6. Parametarski zadati varijacioni zadaci..............................................................................578
10.4. Varijacioni zadaci sa funkcijama više promenljivih.....................................................................57910.4.1. Jednostavni varijacioni zadaci...........................................................................................57910.4.2. Opšti varijacioni zadaci.....................................................................................................580
10.6.1. Prva i druga varijacija........................................................................................................58210.6.2. Primene u fizici..................................................................................................................582
12.1.5. Linearni operatori i funkcionali..........................................................................................62012.1.5.1. Preslikavanja............................................................................................................62012.1.5.2. Homomorfizam i endomorfizam...............................................................................62112.1.5.3. Izomorfni vektorski prostori.....................................................................................621
12.1.6. Pretvaranje realnih vektorskih prostora u kompleksne.....................................................62112.1.7. Uređeni vektorski prostori.................................................................................................621
12.2. Metrički prostori.........................................................................................................................62412.2.1. Pojam metričkog prostora.................................................................................................624
12.2.1.1. Kugle i okoline.........................................................................................................62512.2.1.2. Konvergencija nizova u metričkom prostoru...........................................................62612.2.1.3. Zatvoreni skupovi i zatvaranje.................................................................................62612.2.1.4. Gusti skupovi i separabilni metrički prostori............................................................627
12.2.2. Potpuni metrički prostori...................................................................................................62712.2.2.1. Košijev niz................................................................................................................62712.2.2.2. Potpun metrički prostor...........................................................................................62812.2.2.3. Nekoliko osnovnih teorema o potpunim metričkim prostorima...............................62812.2.2.4. Nekoliko primena principa kontrakcije.....................................................................62912.2.2.5. Upotpunjenje metričkog prostora............................................................................630
12.4. Hilbertovi prostori.......................................................................................................................63512.4.1. Pojam Hilbertovog prostora...............................................................................................635
12.4.1.1. Skalarni proizvod.....................................................................................................63512.4.1.2. Unitarni prostori i nekoliko njihovih svojstava.........................................................63512.4.1.3. Hilbertov prostor......................................................................................................636
12.5.1. Ograničenost, norma i neprekidnost linearnih operatora..................................................63912.5.1.1. Ograničenost i norma linearnih operatora...............................................................639
XIV
12.5.1.2. Prostor linearnih neprekidnih operatora..................................................................63912.5.1.3. Konvergencija opertorskih nizova............................................................................640
12.5.2. Linearni neprekidni operatori u Banahovim prostorima....................................................64012.5.3. Elementi spektralne teorije linearnih operatora................................................................642
12.5.3.1. Skup rezovenata i rezolvente jednog operatora......................................................64212.5.3.2. Spektar operatora....................................................................................................642
12.5.4. Neprekidni linearni funkcionali..........................................................................................64312.5.4.1. Definicija..................................................................................................................64312.5.4.2. Neprekidni linearni funkcionali u Hilbertovom prostoru, Risova teorema................64412.5.4.3. Neprekidni linearni funkcionali u Lp.........................................................................644
12.5.5. Produženje linearnih funkcionala......................................................................................64412.5.6. Razdvajanje konveksnih skupova......................................................................................64512.5.7. Bidualni prostor i refleksivni prostori................................................................................646
12.9. Mera i Lebegov integral..............................................................................................................65412.9.1. Sigma-algebre i mere........................................................................................................65412.9.2. Merljive funkcije................................................................................................................656
12.9.2.1. Merljive funkcije.......................................................................................................65612.9.2.2. Svojstva klase merljivih funkcija..............................................................................656
12.9.3. Integracija.........................................................................................................................65612.9.3.1. Definicija integrala...................................................................................................65612.9.3.2. Nekoliko svojstava integrala....................................................................................65712.9.3.3. Teoreme o konvergenciji.........................................................................................657
12.9.5.1. Formule za parcijalnu integraciju.............................................................................65912.9.5.2. Poopšteni izvod (derivacija).....................................................................................65912.9.5.3. Distribucija...............................................................................................................65912.9.5.4. Izvod distribucije......................................................................................................660
13. Vektorska analiza i teorija polja66113.1. Osnovni pojmovi teorije polja.....................................................................................................661
13.1.1. Vektorska funkcija jedne skalarne promenljive.................................................................66113.1.1.1. Definicije..................................................................................................................66113.1.1.2. Izvod (derivacija) vektorske funkcije.......................................................................66113.1.1.3. Pravila diferenciranja vektora..................................................................................66113.1.1.4. Razvoj vektorske funkcije u Tejlorov red.................................................................662
13.1.2. Skalarna polja...................................................................................................................66213.1.2.1. Skalarno polje ili skalarna funkcija tačke.................................................................66213.1.2.2. Važni slučajevi skalarnih polja.................................................................................66213.1.2.3. Izražavanje skalarnih polja pomoću koordinata.......................................................66313.1.2.4. Nivo-površi i nivo-linije.............................................................................................663
13.1.3. Vektorska polja.................................................................................................................66313.1.3.1. Vektorsko polje ili vektorska funkcija tačke.............................................................66313.1.3.2. Važni slučajevi vektorskih polja...............................................................................664
XV
13.1.3.3. Izražavanje vektorskih polja pomoću koordinata.....................................................66513.1.3.4. Prelaz sa jednog koordinatnog sistema na drugi.....................................................66613.1.3.5. Linije polja................................................................................................................667
13.2. Prostorne operacije diferenciranja..............................................................................................66813.2.1. Strujnice i izvod po obimu.................................................................................................668
13.2.1.1. Strujnice skalarnog polja..........................................................................................66813.2.1.2. Strujnice vektorskog polja.......................................................................................66813.2.1.3. Prostorni izvod ili izvod po obimu............................................................................669
13.2.2. Gradijent skalarnog polja..................................................................................................66913.2.2.1. Definicija gradijenta.................................................................................................66913.2.2.2. Gradijent i strujnice.................................................................................................67013.2.2.3. Gradijent i izvod po obimu.......................................................................................67013.2.2.4. Ostala svojstva gradijenta.......................................................................................67013.2.2.5. Gradijent skalarnog polja u različitim koordinatama...............................................67013.2.2.6. Pravila računanja.....................................................................................................671
13.2.4.1. Definicija divergencije..............................................................................................67113.2.4.2. Divergencija u različitim koordinatama...................................................................67213.2.4.3. Pravila za izračunavanje divergencije......................................................................67213.2.4.4. Divergencija centralnog polja..................................................................................672
13.2.5. Rotacija vektorskog polja..................................................................................................67313.2.5.1. Definicija rotacije.....................................................................................................67313.2.5.2. Rotacija u različitim koordinatama..........................................................................67413.2.5.3. Pravila za izračunavanje rotacije.............................................................................67413.2.5.4. Rotacija potencijalnog polja.....................................................................................675
13.2.6. Operator nabla, Laplasov operator...................................................................................67513.2.6.1. Operator nabla.........................................................................................................67513.2.6.2. Pravila računanja za operator nabla........................................................................67513.2.6.3. Vektorski gradijent...................................................................................................67613.2.6.4. Dvostruka primena operatora nabla........................................................................67613.2.6.5. Laplasov operator....................................................................................................676
13.2.7. Pregled prostornih operacija diferenciranja......................................................................67713.2.7.1. Principijelne veze i rezultati diferencijalnih operatora.............................................67713.2.7.2. Pravila računanja za diferencijalne operatore..........................................................67713.2.7.3. Izrazi vektorske analize u pravougaonim, cilindričnim i sfernim koordinatama.......678
13.3. Integracija u vektorskim poljima................................................................................................67913.3.1. Krivolinijski integral i potencijal u vektorskom polju.........................................................679
13.3.1.1. Krivolinijski integral u vektorskom polju..................................................................67913.3.1.2. Značenje krivolinijskih integrala u mehanici............................................................68013.3.1.3. Svojstva krivolinijskih integrala...............................................................................68013.3.1.4. Poopšteni krivolinijski integral.................................................................................68113.3.1.5. Integral cirkulacije vektorskog polja........................................................................68113.3.1.6. Konzervativno ili potencijalno polje ........................................................................681
13.3.2. Površinski integrali............................................................................................................68213.3.2.1. Vektor elementarne ravne površi............................................................................68213.3.2.2. Izračunavanje površinskih integrala........................................................................68313.3.2.3. Površinski integrali i tok polja..................................................................................68313.3.2.4. Površinski integrali u pravougaonim koordinatama kao površinski integrali 2. vrste684
13.3.3. Teoreme o integraciji........................................................................................................68513.3.3.1. Gausov teorema i formula za integraciju.................................................................68513.3.3.2. Stoksov teorema o integraciji..................................................................................68513.3.3.3. Grinove teoreme o integraciji..................................................................................686
13.4. Izračunavanje polja....................................................................................................................68713.4.1. Čisto polje izvora...............................................................................................................68713.4.2. Čisto vrtložno polje ili bezizvorno vrtložno polje...............................................................68713.4.3. Vektorska polja sa tačkastim izvorima..............................................................................688
13.4.3.1. Kulonovo polje tačkastog naelektrisanja.................................................................68813.4.3.2. Gravitaciono polje tačkaste mase............................................................................688
14. Teorija funkcija 69114.1. Funkcije jedne kompleksne promenljive.....................................................................................691
14.2. Integracija u kompleksnoj ravni..................................................................................................70614.2.1. Određen i neodređen integral...........................................................................................706
14.2.1.1. Definicija integrala u kompleksnoj ravni..................................................................70614.2.1.2. Svojstva i izračunavanje kompleksnih integrala......................................................707
14.2.2. Košijev teorema o integraciji, osnovni teorema teorije funkcija........................................70814.2.2.1. Košijev teorema o integraciji za jednostruko povezana područja............................70814.2.2.2. Košijev teorema o integraciji za višestruko povezana područja..............................709
14.2.3. Košijeve formule za integraciju.........................................................................................70914.2.3.1. Analitička funkcija unutar područja.........................................................................70914.2.3.2. Analitička funkcija izvan područja............................................................................709
14.3. Razvoj analitičkih funkcija u red potencija.................................................................................71014.3.1. Konvergencija redova s kompleksnim članovima.............................................................710
14.3.1.1. Konvergencija niza brojeva s kompleksnim članovima............................................71014.3.1.2. Konvergencija beskonačnog reda s kompleksnim članovima..................................71014.3.1.3. Redovi potencija u kompleksnoj ravni.....................................................................711
14.3.2. Tejlorov red.......................................................................................................................71214.3.3. Princip analitičkog produženja..........................................................................................71214.3.4. Loranov razvoj funkcije.....................................................................................................71314.3.5. Izolovane singularne tačke i teorema o reziduumu...........................................................713
14.4. Izračunavanje realnih integrala integracijom u kompleksnoj ravni............................................71514.4.1. Primena Košijevih formula za integraciju..........................................................................71514.4.2. Primena teoreme o reziduumu..........................................................................................71514.4.3. Primene Žordanove leme..................................................................................................716
14.4.3.1. Žordanova lema.......................................................................................................71614.4.3.2. Primeri za Žordanovu lemu......................................................................................717
14.5. Algebarske i elementarne transcendentne funkcije...................................................................71914.5.1. Algebarske funkcije...........................................................................................................71914.5.2. Elementarne transcendentne funkcije..............................................................................71914.5.3. Opis krivih u kompleksnom obliku....................................................................................722
14.6. Eliptičke funkcije........................................................................................................................72314.6.1. Veza sa eliptičkim integralima..........................................................................................72314.6.2. Jakobijeve funkcije............................................................................................................72514.6.3. Theta funkcije...................................................................................................................72614.6.4. Vajerštrasove funkcije.......................................................................................................727
15. Integralne transformacije 72815.1. Pojam integralne transformacije................................................................................................728
15.2.1.1. Laplas-transformirano, originalno i preslikano područje..........................................73115.2.1.2. Pravila računanja za Laplasovu transformaciju........................................................73215.2.1.3. Slike specijalnih funkcija..........................................................................................73515.2.1.4. Dirakova delta funkcija i distribucije........................................................................738
15.2.2. Obratna transformacija u originalno područje...................................................................73915.2.2.1. Obratna transformacija pomoću tabela...................................................................73915.2.2.2. Rastavljanje na parcijalne razlomke........................................................................73915.2.2.3. Razvoj u red.............................................................................................................74015.2.2.4. Obratni integral........................................................................................................741
15.2.3. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Laplasove transformacije...........................74215.2.3.1. Obične diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima................................74215.2.3.2. Obične diferencijalne jednačine s promenljivim koeficijentima...............................74315.2.3.3. Parcijalne diferencijalne jednačine..........................................................................744
15.4. Z transformacija.........................................................................................................................75515.4.1. Svojstva Z transformacije.................................................................................................755
15.4.1.1. Diskretne funkcije....................................................................................................75515.4.1.2. Definicija Z transformacije.......................................................................................75515.4.1.3. Pravila računanja.....................................................................................................75615.4.1.4. Veza sa Laplasovom transformacijom.....................................................................75715.4.1.5. Obrnuta Z transformacija.........................................................................................758
15.4.2. Primene Z transformacije..................................................................................................75915.4.2.1. Opšte rešenje linearnih diferencijalnih jednačina....................................................75915.4.2.2. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadata početna vrednost)...................................76015.4.2.3. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadat rubni uslov)...............................................760
16. Teorija verovatnoće i matematička statistika 76616.1. Kombinatorika............................................................................................................................766
16.1.1. Permutacije.......................................................................................................................76616.1.2. Kombinacije.......................................................................................................................76616.1.3. Varijacije...........................................................................................................................76716.1.4. Pregled formula kombinatorike.........................................................................................768
16.2. Teorija verovatnoće....................................................................................................................76816.2.1. Događaji. Učestanosti i verovatnoće.................................................................................768
16.2.1.1. Događaji...................................................................................................................76816.2.1.2. Učestanosti i verovatnoće.......................................................................................76916.2.1.3. Uslovne verovatnoće. Bajesov zakon.......................................................................771
16.2.2. Slučajne veličine. Funkcija distribucije..............................................................................77216.2.2.1. Slučajne promenljive...............................................................................................77216.2.2.2. Funkcija distribucije.................................................................................................77216.2.2.3. Očekivana vrednost i rasipanje događaja, Čebiševljeva nejednakost......................77316.2.2.4. Višedimenzionalne slučajne promenljive.................................................................775
16.2.5. Zakoni velikih brojeva. Teoreme graničnih vrednosti.......................................................78516.2.6. Stohastički procesi i stohastički lanci................................................................................786
16.2.6.1. Osnovni pojmovi, Markovljevi lanci..........................................................................78616.2.6.2. Poasonovi procesi....................................................................................................788
16.3. Matematička statistika...............................................................................................................79116.3.1. Funkcije merenja...............................................................................................................791
16.3.1.1. Temeljna celovitost, merenje, slučajni vektor..........................................................79116.3.1.2. Funkcije merenja.....................................................................................................792
16.3.3. Važni postupci merenja.....................................................................................................79516.3.3.1. Merenje i normalna distribucija................................................................................79516.3.3.2. Distribucija srednjih vrednosti merenja...................................................................79716.3.3.3. Granice pouzdanosti srednje vrednosti....................................................................79816.3.3.4. Granice pouzdanosti rasipanja.................................................................................79916.3.3.5. Princip mernog postupka.........................................................................................800
16.3.4. Korelacija i regresija..........................................................................................................80016.3.4.1. Linearna korelacija kod dve merljive osobine..........................................................80016.3.4.2. Linearna regresija kod dve merljive osobine...........................................................80116.3.4.3. Višedimenzionalna regresija....................................................................................802
16.3.5. Metoda Monte Karlo..........................................................................................................80416.3.5.1. Simulacija................................................................................................................80416.3.5.2. Slučajni brojevi........................................................................................................80416.3.5.3. Primer Monte Karlo simulacije.................................................................................80616.3.5.4. Primene metode Monte Karlo u numeričkoj matematici..........................................80616.3.5.5. Ostale primene metode Monte Karlo.......................................................................808
16.4. Teorija grešaka pri merenju........................................................................................................80916.4.1. Greške merenja i njihova distribucija................................................................................809
16.4.1.1. Distribucija grešaka merenja prema kvalitativnim osobinama................................80916.4.1.2. Gustina distribucije grešaka merenja......................................................................80916.4.1.3. Distribucija grešaka merenja prema kvantitativnim osobinama..............................81116.4.1.4. Prikaz rezultata merenja sa granicama pogrešaka..................................................81416.4.1.5. Proračun grešaka neposrednih merenja jednake tačnosti.......................................81416.4.1.6. Proračun grešaka neposrednih merenja nejednake tačnosti...................................815
16.4.2. Umnožavanje i analiza grešaka.........................................................................................81616.4.2.1. Gausov zakon umnožavanja grešaka.......................................................................81616.4.2.2. Analiza grešaka........................................................................................................817
17. Dinamički sistemi i haos 81917.1. Obične diferencijalne jednačine i preslikavanja..........................................................................819
17.1.1. Dinamički sistemi..............................................................................................................81917.1.1.1. Osnovni pojmovi......................................................................................................81917.1.1.2. Invarijantni skupovi..................................................................................................821
17.1.2. Kvalitativna teorija običnih diferencijalnih jednačina........................................................82217.1.2.1. Egzistencija toka i struktura faznog prostora...........................................................82217.1.2.2. Linearne diferencijalne jednačine............................................................................82417.1.2.3. Teorija stabilnosti.....................................................................................................82517.1.2.4. Invarijantne mnogostrukosti....................................................................................82917.1.2.5. Poenkareovo preslikavanje......................................................................................83217.1.2.6. Topološka ekvivalentnost diferencijalnih jednačina.................................................832
17.1.4.3. Generička svojstva...................................................................................................83717.2. Kvantitativni opis atraktora........................................................................................................838
17.2.1. Mere verovatnoće atraktora..............................................................................................83817.2.1.1. Invarijantna mera....................................................................................................83817.2.1.2. Elementi ergodičke teorije.......................................................................................839
17.2.4.1. Metričke dimenzije...................................................................................................84417.2.4.2. Dimenzije koje se svode na invarijantne mere........................................................84617.2.4.3. Lokalna Hausdorfova dimenzija prema Duadi-Esterleu...........................................84917.2.4.4. Primeri atraktora......................................................................................................849
17.2.5. Usamljeni atraktori i haos.................................................................................................85117.2.6. Haos u jednodimenzionalnom preslikavanju.....................................................................852
17.3. Teorija bifurkacija i putevi u haos...............................................................................................85217.3.1. Bifurkacije u Morze-Smaleovim sistemima .......................................................................852
17.3.1.1. Lokalne bifurkacije blizu stabilnih tačaka................................................................85317.3.1.2. Lokalne bifurkacije blizu periodičke orbite...............................................................85817.3.1.3. Globalne bifurkacije.................................................................................................861
17.3.2. Prelazi u haos....................................................................................................................86217.3.2.1. Kaskade udvostručenja perioda...............................................................................86217.3.2.2. Naizmeničnost (intermitencija)................................................................................86317.3.2.3. Globalne homokline bifurkacije................................................................................86317.3.2.4. Raspad torusa..........................................................................................................865
18.1.1. Postavka problema i grafičko predstavljanje....................................................................87018.1.1.1. Oblici linearnog programiranja................................................................................87018.1.1.2. Primeri i grafička rešenja.........................................................................................871
18.1.2. Osnovni pojmovi linearnog programiranja, normalni oblik................................................87218.1.2.1. Stranica i baza.........................................................................................................87218.1.2.2. Normalni oblik zadatka linearnog programiranja.....................................................874
18.1.3. Postupak Simpleks............................................................................................................87518.1.3.1. Simpleks tabela.......................................................................................................87518.1.3.2. Prelaz u novu Simlpeks tabelu.................................................................................87518.1.3.3. Određivanje prve Simpleks tabele...........................................................................87718.1.3.4. Revidirani postupak Simpleks..................................................................................87818.1.3.5. Dvojnost linearnog programiranja...........................................................................880
18.1.4. Specijalni problemi linearnog programiranja....................................................................88118.1.4.1. Problem transporta..................................................................................................88118.1.4.2. Problem dodeljivanja...............................................................................................88318.1.4.3. Problem raspodele...................................................................................................88418.1.4.4. Problem zatvorene putanje .....................................................................................88418.1.4.5. Problem redosleda...................................................................................................884
18.2. Nelinearno programiranje (optimizovanje).................................................................................88518.2.1. Postavka problema i teorijske osnove...............................................................................885
18.2.7. Postupci s funkcijom kazne i sa barijerom........................................................................89818.2.7.1. Postupak s funkcijom kazne.....................................................................................89818.2.7.2. Postupak sa barijerom.............................................................................................899
18.2.8. Postupak sa odsečnim ravnima.........................................................................................90018.3. Diskretno dinamičko programiranje (optimizovanje)..................................................................901
18.3.1. Diskretni dinamički modeli odlučivanja.............................................................................90118.3.1.1. n-stepeni procesi odlučivanja..................................................................................90118.3.1.2. Problemi dinamičkog programiranja........................................................................901
18.3.2. Primeri diskretnih modela odlučivanja..............................................................................90218.3.2.1. Problem kupovine....................................................................................................90218.3.2.2. Problem punjenja ranca...........................................................................................902
18.3.3. Belmanove funkcionalne jednačine...................................................................................90218.3.3.1. Svojstva funkcije troškova.......................................................................................90218.3.3.2. Formulisanje funkcionalnih jednačina......................................................................903
18.3.4. Belmanov princip optimalnosti..........................................................................................90418.3.5. Belmanova metoda funkcionalnih jednačina.....................................................................904
18.3.6. Primeri primene metode funkcionalnih jednačina.............................................................90518.3.6.1. Optimalna politika kupovine....................................................................................90518.3.6.2. Problem punjenja ranca...........................................................................................906
19. Numerička matematika.......................................................................................................................90719.1. Numeričko rešavanje nelinearnih jednačina s jednom promenljivom........................................907
19.1.2. Rešavanje jednačina s polinomima...................................................................................91019.1.2.1. Hornerova šema......................................................................................................91019.1.2.2. Položaj nultačaka.....................................................................................................91119.1.2.3. Numerički postupak.................................................................................................911
19.2. Numeričko rešavanje sistema jednačina....................................................................................91319.2.1. Sistemi linearnih jednačina...............................................................................................913
19.2.1.1. Rastavljanje matrice na trouglaste matrice (UDUt)..................................................91419.2.1.2. Postupak Holeskog kod simetričnih matrica koeficijenata.......................................91619.2.1.3. Postupak ortogonalizovanja.....................................................................................91619.2.1.4. Iteriranje celog postupka i pojedinačnih koraka......................................................918
19.2.2. Sistemi nelinearnih jednačina...........................................................................................91919.2.2.1. Uobičajen postupak iteriranja..................................................................................91919.2.2.2. Njutnov postupak.....................................................................................................92019.2.2.3. Gaus-Njutnov postupak bez izračunavanja izvoda...................................................920
19.3. Numerička integracija................................................................................................................92119.3.1. Opšta formula za kvadraturu (numeričko izračunavanje površine ispod krive)................92119.3.2. Interpolacione kvadrature.................................................................................................922
19.3.2.1. Formula za pravougaonike......................................................................................92219.3.2.2. Formula za trapeze..................................................................................................92219.3.2.3. Ermitova formula za trapeze....................................................................................92319.3.2.4. Simpsonova formula za trapeze..............................................................................923
19.3.3. Formule za kvadraturu Gausovog tipa..............................................................................92319.3.3.1. Gausove formule za kvadraturu...............................................................................92319.3.3.2. Lobatove formule za kvadraturu..............................................................................924
19.4.2. Zadaci s rubnim uslovima.................................................................................................93119.4.2.1. Metoda diferencija...................................................................................................93119.4.2.2. Metoda prislanjanja..................................................................................................932
XXI
19.4.2.3. Metoda gađanja.......................................................................................................93319.5. Približna integracija parcijalnih diferencijalnih jednačina...........................................................934
19.5.1. Metoda diferencija.............................................................................................................93419.5.2. Metoda prislanjanja...........................................................................................................93519.5.3. Metoda konačnih elemenata (FEM)...................................................................................936
19.6.1.1. Njutnova formula za interpolaciju............................................................................94119.6.1.2. Interpolaciona formula prema Lagranžu..................................................................94119.6.1.3. Interpolacija prema Ejtken-Nevilu............................................................................942
19.6.3. Čebiševljeva aproksimacija...............................................................................................94719.6.3.1. Postavka zadatka i teorema o alternantama...........................................................94719.6.3.2. Svojstva Čebiševljevih polinoma..............................................................................94719.6.3.3. Remov algoritam.....................................................................................................94919.6.3.4. Diskretna Čebiševljeva aproksimacija i optimizovanje............................................949
19.6.4. Harmonska analiza............................................................................................................95019.6.4.1. Formule za trigonometrijsku interpolaciju...............................................................95019.6.4.2. Brza Furijeova transformacija (FFT).........................................................................951
19.7. Prikazivanje krivih i površi pomoću splajnova............................................................................95519.7.1. Kubni splajnovi..................................................................................................................955
19.8.2. Numerički problemi prilikom izračunavanja u računarima................................................96419.8.2.1. Uvod, vrste grešaka.................................................................................................96419.8.2.2. Normalizovani decimalni brojevi i zaokruživanje.....................................................96419.8.2.3. Tačnost numeričkih proračuna................................................................................966
19.8.3. Biblioteke numeričkih metoda..........................................................................................96919.8.3.1. Biblioteka NAG.........................................................................................................97019.8.3.2. Biblioteka IMSL........................................................................................................97019.8.3.3. Ahenska biblioteka...................................................................................................971
19.8.4. Primena sistema računarskih algebri................................................................................97119.8.4.1. Mathematica............................................................................................................97119.8.4.2. Maple.......................................................................................................................975
20. Sistemi računarskih algebri.................................................................................................................97820.1. Uvod...........................................................................................................................................978
20.1.1. Karakteristike računarskih algebarskih sistema ukratko...................................................97820.1.2. Uvodni primeri za glavna područja primene.....................................................................979
20.1.2.1. Rad sa formulama....................................................................................................97920.1.2.2. Numerički proračuni................................................................................................97920.1.2.3. Grafičko predstavljanje............................................................................................98020.1.2.4. Programiranje u računarskim algebarskim sistemima.............................................980
20.1.3. Građa računarskih algebarskih sistema i rad sa njima......................................................98020.1.3.1. Osnovni elementi strukture.....................................................................................980
20.2. Mathematica...............................................................................................................................98220.2.1. Osnovni elementi strukture...............................................................................................98220.2.2. Vrste brojeva u programu Mathematica............................................................................983
20.2.2.1. Osnovni tipovi brojeva.............................................................................................98320.2.2.2. Specijalni brojevi......................................................................................................98320.2.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva........................................................................984
20.2.4. Liste..................................................................................................................................98520.2.4.1. Pojam i značenje......................................................................................................98520.2.4.2. Strukturirane liste....................................................................................................98620.2.4.3. Operacije s listama..................................................................................................98620.2.4.4. Specijalne liste.........................................................................................................986
20.2.5. Vektori i matrice kao liste.................................................................................................98720.2.5.1. Pravljenje namenskih lista.......................................................................................98720.2.5.2. Operacije s matricama i vektorima..........................................................................987
20.2.7. Modeli................................................................................................................................98920.2.8. Operacije s funkcionalima.................................................................................................99020.2.9. Programiranje....................................................................................................................99120.2.10. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama........................................................992
20.3. Maple..........................................................................................................................................99420.3.1. Osnovni elementi strukture...............................................................................................994
20.3.1.1. Tipovi i objekti..........................................................................................................99420.3.1.2. Ulaz i izlaz................................................................................................................995
20.3.2. Vrste brojeva u programu Maple.......................................................................................99520.3.2.1. Osnovni tipovi brojeva u programu Maple...............................................................99520.3.2.2. Specijalni brojevi......................................................................................................99620.3.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva........................................................................996
20.3.3. Važni operatori u programu Maple....................................................................................99720.3.4. Algebarski izrazi................................................................................................................99720.3.5. Nizovi i liste.......................................................................................................................99820.3.6. Tabelarne strukture i strukture polja, vektori i matrice.....................................................999
20.3.6.1. Tabelarne strukture i strukture polja.......................................................................99920.3.6.2. Jednodimenzionalna polja......................................................................................100020.3.6.3. Dvodimenzionalna polja.........................................................................................100020.3.6.4. Specijalna uputstva u vezi sa vektorima i matricama............................................1001
20.3.7. Funkcije i operatori.........................................................................................................100120.3.7.1. Funkcije..................................................................................................................100120.3.7.2. Operatori................................................................................................................100220.3.7.3. Diferencijalni operatori..........................................................................................100320.3.7.4. "Map", operator funkcionala..................................................................................1003
20.3.8. Programiranje u Mapleu..................................................................................................100320.3.9. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama........................................................1004
20.3.9.1. Kori{ćenje Mapleove biblioteke.............................................................................100420.3.9.2. Promenljive okruženja............................................................................................100420.3.9.3. Podaci i poruke......................................................................................................1005
20.4. Primene sistema računarskih algebri.......................................................................................100520.4.1. Rad sa algebarskim izrazima..........................................................................................1005
20.4.2. Rešavanje jednačina i sistema jednačina........................................................................101020.4.2.1. Mathematica..........................................................................................................101120.4.2.2. Maple.....................................................................................................................1012
20.4.3. Elementi linearne algebre...............................................................................................101420.4.3.1. Mathematica..........................................................................................................101420.4.3.2. Maple.....................................................................................................................1016
20.4.4. Diferencijalni i integralni račun.......................................................................................101920.4.4.1. Mathematica..........................................................................................................101920.4.4.2. Maple.....................................................................................................................1022
20.5. Grafika u sistemima računarskih algebri..................................................................................102520.5.1. Grafika u programu Mathematica...................................................................................1025
20.5.1.7. Prikazivanje površi i prostornih krivih....................................................................103120.5.2. Grafika u programu Maple..............................................................................................1033
21. Tabele 103921.1. Često kori{ćene konstante.......................................................................................................103921.2. Prirodne konstante...................................................................................................................103921.3. Važni redovi..............................................................................................................................104121.4. Furijeovi redovi.........................................................................................................................104621.5. Neodređeni integrali.................................................................................................................1049
21.5.1. Integrali racionalnih funkcija...........................................................................................104921.5.1.1. Integrali sa X = ax + b...........................................................................................104921.5.1.2. Integrali sa X = ax2 + bx +c..................................................................................105121.5.1.3. Integrali sa X = a2 ± x2.........................................................................................105221.5.1.4. Integrali sa X = a3 ± x3.........................................................................................105421.5.1.5. Integrali sa X = a4 + x4.........................................................................................105521.5.1.6. Integrali sa X = a4 - x4............................................................................................105521.5.1.7. Neki slučajevi rastavljanja na parcijalne razlomke................................................1055
21.5.2. Integrali iracionalnih funkcija..........................................................................................105621.5.2.1. Integrali sa √x i a2 ± b2x........................................................................................105621.5.2.2. Ostali integrali sa √x..............................................................................................105621.5.2.3. Integrali sa √(ax+b)...............................................................................................105721.5.2.4. Integrali sa √(ax+b) i √(fx+g)................................................................................105821.5.2.5. Integrali sa √(a2 - x2)..............................................................................................105921.5.2.6. Integrali sa √(x2 + a2).............................................................................................106021.5.2.7. Integrali sa √(x2 - a2)..............................................................................................106221.5.2.8. Integrali sa √(ax2 + bx + c)....................................................................................106421.5.2.9. Integrali sa ostalim iracionalnim izrazima..............................................................106621.5.2.10. Rekurzione formule za integral sa binomnim diferencijalom...............................1066
21.5.3. Integrali trigonometrijskih funkcija.................................................................................106721.5.3.1. Integrali sa funkcijom sinus...................................................................................106721.5.3.2. Integrali sa funkcijom kosinus................................................................................106921.5.3.3. Integrali sa funkcijama sinus i kosinus...................................................................107221.5.3.4. Integrali sa funkcijom tangens...............................................................................107521.5.3.5. Integrali sa funkcijom kotangens...........................................................................1075
21.5.4. Integrali ostalih transcendentnih funkcija.......................................................................107621.5.4.1. Integrali sa hiperbolnim funkcijama.......................................................................107621.5.4.2. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama..............................................................107721.5.4.3. Integrali sa logaritamskim funkcijama...................................................................107921.5.4.4. Integrali sa inverznim trigonometrijskim funkcijama.............................................108021.5.4.5. Integrali sa inverznim hiperbolnim funkcijama......................................................1081
21.6. Određeni integrali.....................................................................................................................108221.6.1. Određeni integrali trigonometrijskih funkcija..................................................................108221.6.2. Određeni integrali eksponencijalnih funkcija..................................................................108321.6.3. Određeni integrali logaritamskih funkcija.......................................................................108421.6.4. Određeni integrali algebarskih funkcija...........................................................................1085
21.7. Eliptički integrali.......................................................................................................................108721.7.1. Eliptički integrali 1. vrste.................................................................................................108721.7.2. Eliptički integrali 2. vrste.................................................................................................108721.7.3. Potpuni eliptički integrali K i E.........................................................................................1088
21.8. Gama funkcija..........................................................................................................................108921.9. Beselove funkcije (cilindrične funkcije)....................................................................................109021.10. Ležandrovi polinomi 1. vrste (sferne funkcije)........................................................................109221.11. Laplasove transformacije.......................................................................................................109321.12. Furijeove transformacije.........................................................................................................1099