Sadr zaj - fmtu.lumens5plus.com · To cke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda funkcije f jednake nuli nazivaju se stacionarne to cke. Stacionarna to cka je kandidat za prve

Sadrzaj

1 Diferencijalni racun funkcija vise varijabli 21.1 Funkcije vise varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije vise varijabli . . . . 31.1.2 Parcijalne derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Parcijalne derivacije viseg reda . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Lokalni ekstremi funkcija vise varijabli . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Postupak za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije dvije

varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Ekstremi funkcija s ogranicenjem (uvjetom) . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Metoda supstitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Metoda Lagrangeovih multiplikatora . . . . . . . . . . 19

2 Elasticnost funkcije 232.1 Elasticnost funkcija u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Formula za koeficijent elasticnosti funkcije zadane tabli-com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Formula za koeficijent elasticnosti funkcije zadane al-gebarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3 Engelovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Koeficijenti parcijalne i krizne elasticnosti . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Eulerov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

Poglavlje 1

Diferencijalni racun funkcijavise varijabli

1.1 Funkcije vise varijabli

U pravilu ekonomske velicine ne ovise o jednoj nego o vise drugih ekonomskihvelicina. Zelimo li simbolicki iskazati da velicina y ovisi o nekim drugimmedusobno neovisnim velicinama x1, x2, ..., xn, pisemo ovako:

y = f(x1, x2, ..., xn).

Pritom se nista ne kaze o pravilu preslikavanja f kojim se uredenoj n-torcirealnih brojeva (x1, x2, ..., xn) pridruzuje realan broj y.

Primjer 1 Neka je f(x, y) = x3 − 3x2 + xy2 − y3. Odredite podrucje defini-cije (prirodnu domenu) funkcije f .

Funkcija f ovisi o dvije medusobno neovisne varijable x i y. Buduci da susve naznacene operacije definirane u skupu R za sve uredene parove (x, y),to je podrucje definicije f Kartezijev produkt skupa R sa samim sobom, tj.D(f) = R× R = R2.

2

POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RACUN FUNKCIJA VISE VARIJABLI3

1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije vise varijabli

Neka je zadana realna funkcija dviju (realnih) varijabli:z = f(x, y) Ako sepoveca samo neovisna varijabla x za ∆x (y ostaje nepromijenjen), onda semijenja i vrijednost ovisne varijable, koja se promijenila sa f(x, y) na

f(x+ ∆x, y).

Razliku∆xz = f(x+ ∆x, y)− f(x, y)

zovemo parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli x. Analogno sedefinira parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli y:

∆yz = f(x, y + ∆y)− f(x, y)

Ukupni (totalni) prirast funkcije z = f(x, y) iznosi:

∆z = f(x+ ∆x, y + ∆y)− f(x, y).

Primjer 2 Odredite parcijalne priraste i ukupni prirast funkcije f(x, y) =x2 + xy − 2y2 ako se x promijeni od 2 na 2.2 a y od 1 na 0.9.

Rjesenje:Ovdje su:

∆x = 2.2− 2 = 0.2,∆y = 0.9− 1 = −0, 1

f(x, y) = 22 + 2 · 1− 2 · 12 = 4

Parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli x iznosi:

∆xz = f(x+ ∆x, y)− f(x, y)

∆xz = 2.22 + 2.2 · 1− 2 · 12 − 4 = 1.04.

Parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli y iznosi:

∆yz = f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆yz = 22 + 2× 0.9− 2 · 0.92 − 4 = 0.18.

Ukupni prirast funkcije z = f(x, y):

∆z = f(x+ ∆x, y + ∆y)− f(x, y)

∆z = 2.22 + 2.2 · 0.9− 2 · 0.92 − 4 = 1.20


1.1.2 Parcijalne derivacije

Parcijalna derivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli x je:

zx =∂z

∂x= lim

∆x→0

f(x+ ∆x, y)− f(x, y)

∆x,

a parcijalna derivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli y je:

zy =∂z

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y.

Prilikom racunanja parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) po varijablix samo tu varijablu tretiramo kao varijablu koja se mijenja, a sve ostale var-ijable tretiramo kao konstante.Dakle, u slucaju funkcije dviju varijabli z = f(x, y) parcijalnu derivacijufunkcije z po varijabli x odredimo tako da koristimo pravila za deriviranjefunkcije jedne varijable tretirajuci y kao konstantu, a parcijalnu derivacijufunkcije z po varijabli y odredimo tako da varijablu x tretiramo kao kon-stantu.

Totalni diferencijal funkcije z = f(x, y) definiramo na sljedeci nacin:

dz = zxdx+ zydy.

Primjer 3 Odredite parcijalne derivacije funkcije i totalni diferencijal funkcijez = xy.

Pri racunanju parcijalne derivacije zx varijablu y tretiramo kao konstantu:zx = yxy−1.

Pri racunanju parcijalne derivacije zy varijablu x tretiramo kao konstantu,pa moramo primijeniti pravilo za deriviranje eksponencijalne funkcije: zy =xylnx.Totalni diferencijal funkcije z = f(x, y):

dz = zxdx+ zydy = yxy−1dx+ xylnxdy.


Primjer 4 Odredite parcijalne derivacije funkcije

u = x6 − y4 + 3z5.

Pri racunanju parcijalne derivacije ux varijable y i z tretiramo kao kon-stante:

ux = 6x5.

Pri racunanju parcijalne derivacije uy varijable x i z tretiramo kao konstante:

uy =∂u

∂y= −4y3.

Pri racunanju parcijalne derivacije uz varijable x i y tretiramo kao konstante:

uz =∂u

∂z= 15z4.

Primjer 5 Odredite parcijalne derivacije funkcije

u = x2 + y3 + xyz5.

Pri racunanju parcijalne derivacije ux varijable y i z tretiramo kao kon-stante:

ux = 2x+ yz5

Pri racunanju parcijalne derivacije uy varijable y i z tretiramo kao konstante:

uy = 3y2 + xz5

Pri racunanju parcijalne derivacije uz varijable x i y tretiramo kao konstante:

uz = 5xyz4.

Ako je zadana funkcija y = f(x1, ..., xn), onda se vektor cije su kompo-nente upravo parcijalne derivacije navedene funkcije zove gradijent funkcijey; oznaka ∇y (citamo nabla y).


1.1.3 Parcijalne derivacije viseg reda

Za funkciju z = f(x, y) imamo dvije parcijalne derivacije prvog reda:

∂f∂x

ili fx′ ili fx

∂f∂y

ili fy′ ili fy

i 4 parcijalne derivacije drugog reda:

∂2f∂x2

ili fxx′′ ili fxx

∂2f∂y2

ili fyy′′ ili fyy

∂2f∂x∂y

ili fxy′′ ili fxy

∂2f∂y∂x

ili fyx′′ ili fyx

Primjer 6 Odredite parcijalne zxxy i zyxx za funkciju

z = y2ex + x2y3 + 5.

zx = y2ex + 2xy3

zxx = y2ex + 2y3

zxxy = 2yex + 6y2

zy = 2yex + 3x2y2

zyx = 2yex + 6xy2

zyxx = 2yex + 6y2

Dakle, za razmatranu funkciju je zxxy = zyxx, to znaci (barem u ovomsluaaju) da je bitno koliko puta deriviramo po kojoj varijabli, a pritom nijebitan redoslijed deriviranja.

Moze se dokazati da navedeni zakljucak vrijedi i opcenito.Vrijedi sljedeciteorem:

Teorem 1 (Scwarzov teorem):


Ako su funkcija z = f(x, y) i njene parcijalne derivacije zx, zy, zxy i zyxdefinirane i neprekidne u tocki T (x, y), onda je u toj tocki

zxy = zyx,

odnosno mjesovite parcijalne derivacije su jednake.

Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) za koju vrijedi prethodniteorem definiramo s:

d2z = zxxdx2 + 2zxydxdy + zyydy

2

Primjer 7 Odredite totalni diferencijal drugog reda za funkciju z = x2 +xy2 − 2x+ 5y = f(x, y).

z = x2 + xy2 − 2x+ 5y = f(x, y)

zx = (y = konst) = 2x+ y2 − 2

zy = (x = konst) = 2xy + 5

zxx = (y = konst) = (2x+ y2 − 2)x = 2

zxy = (x = konst) = (2x+ y2 − 2)y = 2y

zyx = (x = konst) = (2xy + 5)x = 2y

zyy = (x = konst) = (2xy + 5)y = 2x

Totalni diferencijal drugog reda navedene funkcije z = f(x, y) za kojuvrijedi prethodni teorem je:

d2z = zxxdx2 + 2zxydxdy + zyydy

2 = 2dx2 + 4ydxdy + 2xdy2

Uz funkciju z = f(x, y) vezana je Hesseova matrica oznaka H(x, y)),matrica ciji elementi su parcijalne derivacije 2. reda funkcije z:

H(x, y) =

[zxx zxyzyx zyy

].

Buduci da je zxy = zyx, rijec o simetricnoj matrici;

H(x, y) =

[zxx zxyzyx zyy

]=

[zxx zxyzxy zyy

].


Primjer 8 Odredite Hesseovu matricu za funkciju z = y2ex + x2y3 + 5

U prethodnom primjeru vidjeli smo da je

zx = y2ex + 2xy3

zxx = y2ex + 2y3

zyx = zxy = 2yex + 6xy2

zyy = 2ex + 6x2y

Dakle,

H(x, y) =

[y2ex + 2y3 2yex + 6xy2

2yex + 6xy2 2ex + 6x2y

].


1.2 Lokalni ekstremi funkcija vise varijabli

Kazemo da funkcija z = f(x, y) ima strogi lokalni maksimum f(a,b) utocki P (a, b) ako je za sve tocke T (x, y) razlicite od P, u nekoj okolini tockeP ispunjena nejednakost f(a, b) > f(x, y). Analogno, funkcija z = f(x, y) imastrogi lokalni minimum f(a,b) u tocki P (a, b) ako je za sve tocke T (x, y) ra-zlicite od P, u nekoj okolini tocke P ispunjena nejednakost f(a, b) < f(x, y).Strogi lokalni maksimum ili minimum funkcije zovemo strogim lokalnimekstremima te funkcije. Ako umjesto znaka stroge nejednakosti (< ili >)imamo znak nejednakosti (≤ ili ≥), govorimo o lokalnim ekstremimafunkcije. Analogno se definiraju lokalni ekstremi funkcija triju ili vise vari-jabli.

Primjer 9 Funkcije

f1(x, y) = x2 + y2 i f2(x, y) =√x2 + y2

imaju minimum (lokalni i globalni) u tocki (0,0).

Teorem 2 (Nuzan uvjet za lolani ekstrem funkcije dviju varijabli)Ako funkcija f : D → R, D ∈ R2, ima u tocki T0(x0, y0) ∈ D lokalni ekstremi ako je u toj tocki derivabilna, onda je

fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0.

Tocke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda funkcije f jednake nulinazivaju se stacionarne tocke.Stacionarna tocka je kandidat za prve dvije koordinate lokalnog ekstrema.

Teorem 3 (Dovoljan uvjet za lokani ekstrem funkcije dviju vari-jabli)Neka je T0(x0, y0) ∈ D stacionarna tocka funkcije f : D → R, D ∈ R2,te neka su parcijalne derivacije drugog reda funkcije f neprekidne u nekojokolini tocke T0(x0, y0). Neka su

D2 =

∣∣∣∣fxx(T0) fxy(T0)fxy(T0) fyy(T0)

∣∣∣∣ i D1 =∣∣fxx(T0)

∣∣Tada vrijedi:


a) Ako je D2 > 0 iD1 > 0, tada funkcija f u tocki T0 ima lokalni minimumf(T0);

b) Ako je D2 > 0 iD1 < 0, tada funkcija f u tocki T0 ima lokalni maksi-mum f(T0);

c) Ako je D2 < 0, f u tocki T0 nema lokalni ekstrem;

d) Ako je D2 = 0, tada nema odluke.


1.2.1 Postupak za odredivanje lokalnih ekstrema funkcijedvije varijabli

(i) Odredimo stacionarne tocke funkcije z = f(x, y). To su tocke (x0, y0) kojesu rjesenje sustava jednadzbi:

fx = 0, fy = 0

(ii) Racunamo parcijalne derivacije 2. reda

fxx, fxy, fyy.

(iii) Izracunamo vrijednost parcijalnih derivacija

D1 = h11 = zxx(x0, y0), h12 = zxy(x0, y0), h22 = zyy(x0, y0)

u svakoj stacionarnoj tocki.(iv) Formira se Hesseova matrica:

H =

[h11 h12

h12 h22

]i racuna vrijednost njene determinante D2 = detH = h11 · h22 − h2

12.Zakljucak :(a) Ako je D2 = detH > 0, onda funkcija f ima u promatranoj stacionarnojtocki strogi lokalni ekstrem i to: minimum ako je D1 = h11 > 0, odnosnomaksimum ako je D1 = h11 < 0.(b) Ako je D2 = detH < 0, onda funkcija f nema u promatranoj stacionarnojtocki lokalni ekstrem, nego sedlastu tocku, ako je

D1 = h11 · h22 < 0.

(c) Ako je D2 = detH = 0, onda za odluku o postojanju ili ne postojanjulokalnog ekstrema u promatranoj tocki valja izvrsiti dodatna ispitivanja kojase provode pomocu parcijalnih derivacija viseg reda.

Napomena: Korake (iii) i (iv) ponavljamo za svaku stacionarnu tocku.


Teorem 4 (Nuzan uvjet za lokalni ekstrem funkcije triju varijabli)Ako funkcija f : D → R, D ∈ R3, ima u tocki T0(x0, y0, z0) ∈ D lokalniekstrem i ako je u toj tocki derivabilna, onda je

fx(x0, y0, z0) = 0, fy(x0, y0, z0) = 0, fz(x0, y0, z0) = 0.

Teorem 5 (Dovoljan uvjet za lokalni ekstrem funkcije triju vari-jabli)Neka je T0(x0, y0, z0) ∈ D stacionarna tocka funkcije f : D → R, D ∈ R3,te neka su parcijalne derivacije drugog reda funkcije f neprekidne u nekojokolini tocke T0(x0, y0, z0). Neka su

D3 =

∣∣∣∣∣∣fxx(T0) fxy(T0) fxz(T0)fxy(T0) fyy(T0) fyz(T0)fxz(T0) fyz(T0) fzz(T0)

∣∣∣∣∣∣D2 =

∣∣∣∣fxx(T0) fxy(T0)fxx(T0) fyy(T0)

∣∣∣∣ i D1 =∣∣fxx(T0)

∣∣a) Ako je D3 > 0, D2 > 0, iD1 > 0, tada funkcija f u tocki T0 ima lokalni

minimum f(T0);

b) Ako je D3 < 0, D2 > 0, iD1 < 0, tada funkcija f u tocki T0 ima lokalnimaksimum f(T0);

c) U svim ostalim slucajevima, kada je D2 6= 0, f u tocki T0 nema lokalniekstrem;

d) Ako je D2 = 0, tada nema odluke.


Primjer 10 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = −x2 + 2xy+ 2y2− 4x−14y + 5.

Na temelju nuznih uvjeta za postojanje lokalnih ekstrema:

zx = −2x+ 2y − 4 = 0, zy = 2x+ 4y − 14 = 0

nalazimo da funkcija ima samo jednu stacionanu tocku:(1,3). Da bismoutvrdili ima li u toj tocki funkcija lokalni ekstrem, potrebno je ispitati zado-voljava li ona i dovoljne uvjete . Kako je

zxx = −2, zxy = 2, zyy = 4,

to je vrijednost determinante Hesseove matrice (neovisno o promatranoj tocki

D2 = detH =

∣∣∣∣−2 22 4

∣∣∣∣ = (−2) · 4− 22 = −12 < 0,

tj. u tocki (1,3) funkcija nema lokalni ekstrem.


Primjer 11 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = 2x3 + 2y3− 36xy+ 430.

Na temelju nuznih uvjeta za postojanje lokalnih ekstrema

zx = 6x2 − 36y = 0, zy = 6y2 − 36x = 0

nalazimo da funkcija ima dvije stacionarne tocke: (0, 0) i (6, 6). Sada nademoparcijalne derivacije 2. reda:

zxx = 12x, zxy = −36, zyy = 12y.

Sada je za stacionarnu tocku (0, 0):

h11 = zxx(0, 0) = 0, h12 = zxy(0, 0) = −36, h22 = zyy(0, 0) = 0,

odnosno

D2 = detH =

∣∣∣∣ 0 −36−36 0

∣∣∣∣ = 0 · 0− (−36)2 < 0,

pa navedena funkcija nema lokalni ekstrem u stacionarnoj tocki (0, 0).Za stacionarnu tocku (6,6) imamo:

h11 = zxx(6, 6) = 72, h12 = zxy(6, 6) = −36, h22 = zyy(6, 6) = 72,

odnosno

D2 = detH =

∣∣∣∣ 72 −36−36 72

∣∣∣∣ = 72 · 72− (−36)2 > 0.

Buduci da je h11 = 72 > 0, navedena funkcija ima strogi lokalni minimum ustacionarnoj tocki (6, 6) i taj minimum iznosi:

zmin = z(6, 6) = 2 · 63 + 2 · 63 − 36 · 6 · 6 + 430 = −2


Primjer 12 Pretpostavimo da je u podrucju A analiticki oblik funkcije po-traznje za nekim proizvodom

pA = −x5

+ 100,

a u podrucju B

pB = − y

15+ 200,

pri cemu je x kolicina potraznje (u komadima) u podrucju A, y kolicina po-traznje (u komadima) u podrucju B, a pA i pB su jedinicne cijene u navedenimpodrucjima izrazene u US dolarima. Izracunajte maksimalni ukupni prihodproizvodaca u oba razmatrana podrucja.

Funkcija ukupnog prihoda je

R(x, y) = x · pA + y · pB = x · (−x5

+ 100) + y · (− y

15+ 200).

Buduci da je

Rx = −2x

5+ 100, Ry = −2y

15+ 200,

to iz nuznog uvjeta za postojanje lokalnog ekstrema Rx = 0, Ry = 0 dobivamoda je stacionarna tocka x = 250 (komada), y = 1500 (komada). Kako suelementi Hesseove matrice:

h11 = −2

5, h12 = 0, h22 = − 2

15

te

D2 = detH(250, 1500) =

∣∣∣∣−25

00 − 2

15

∣∣∣∣ =4

75> 0

i

D1 = h11(250, 1500) = −2

5< 0

u stacionarnoj tocki (250, 1500) funkcija ukupnog prihoda dostize strogi lokalnimaksimum koji iznosi:

Rmax = R(250, 1500) = 162500.


Primjer 13 Dane su cijene dvaju dobara u ovisnosti o kolicinama potraznjep1 = 15−Q1 i p2 = 10−Q2, te funkcija ukupnih troskova

T(Q1, Q2) = 5Q1 + 4Q2 + 5.

Odredimo optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti.

Rjesenje:Prihodi:

R(Q1, Q2) = p1Q1+p2Q2 = (15−Q1)+(10−Q2)Q2 = 15Q1−Q12+10Q2−Q2

2

Troskovi:T(Q1, Q2) = 5Q1 + 4Q2 + 5

Dobit:

D(Q1, Q2) = R(Q1, Q2)−T (Q1, Q2) = 15Q1−Q12+10Q2−Q2

2−(5Q1+4Q2+5)

D(Q1, Q2) = −Q12 −Q2

2 + 10Q1 + 6Q2 − 5

Trazimo maksimalnu dobit.

DQ1 = −2Q1 + 10 = 0⇒ Q1 = 5

DQ2 = −2Q2 + 6 = 0⇒ Q2 = 3

(Q1, Q2) = (5, 3) je stacionarna tocka

DQ1Q1 = −2

DQ1Q2 = 0

DQ2Q2 = −2

D1(5, 3) = DQ1Q1(5, 3) = −2 < 0

D2(5, 3) =

∣∣∣∣−2 00 −2

∣∣∣∣ = 4 > 0 lokalni maksimum

D(5, 3) = −52 − 32 + 10 · 5 + 6 · 3− 5 = 29

M(5, 3, 29)

Maksimalna dobit se ostvaruje na razini proizvodnje Q1 = 5, Q2 = 3 iiznosi 29.


Primjer 14 Zadana je funkcija ukupnih troskova

T(Q1, Q2) = Q12 + 3Q2

2 +Q1Q2 + 10

i prodajne cijenep1 = 7, p2 = 20

Ispitajte uz koju se kolicinu Q1 i Q2 ostvaruje maksimum dobiti i koliko onaiznosi.

Rjesenje:Prihodi:

R(Q1, Q2) = p1Q1 + p2Q2 = 7Q1 + 20Q2

Troskovi:T(Q1, Q2) = Q1

2 + 3Q22 +Q1Q2 + 10

Dobit:

D(Q1, Q2) = R(Q1, Q2)−T (Q1, Q2) = 7Q1+20Q2−(Q12+3Q2

2+Q1Q2+10)

D(Q1, Q2) = 7Q1 + 20Q2 −Q12 − 3Q2

2 −Q1Q2 − 10

Trazimo maksimalnu dobit.

DQ1 = 7− 2Q1 −Q2 = 0

DQ2 = 20− 6Q2 −Q1 = 0

Rjesnje sustava jednaddzbi :

7− 2Q1 −Q2 = 0, 20− 6Q2 −Q1 = 0

je stacionarna tocka (Q1, Q2) = (2, 3)

DQ1Q1 = −2

DQ1Q2 = −1

DQ2Q2 = −6

D1(2, 3) = DQ1Q1(2, 3) = −2 < 0

D2(2, 3) =

∣∣∣∣−2 −1−1 −6

∣∣∣∣ = 11 > 0 lokalni maksimum

D(2, 3) = 7 · 2 + 20 · 3− 22 − 3 · 32 − 2 · 3− 10 = 27

M(2, 3, 27)

Maksimalna dobit se ostvaruje na razini proizvodnje Q1 = 2, Q2 = 3 iiznosi 27.


1.3 Ekstremi funkcija s ogranicenjem (uvje-

tom)

Pretpostavimo da su f(x, y) i g(x, y) realne funkcije dviju realnih varijabli.Cilj nam je pronaci ekstreme funkcije f(x, y) na skupu tocaka (x, y) kojezadovoljavaju jednadzbu g(x, y) = 0. Dakle, rjesavamo problem:

f(x, y)→ min,max

uz ogranicenje: g(x, y) = 0.

1.3.1 Metoda supstitucije

Ako je moguce, iz uvjeta izrazimo jednu varijablu pomocu druge i to uvrstimou funkciju cije ekstrem trazimo. Na taj nacin problem ekstrema funkcijedvije varijable s ogranicenjem svodimo na problem ekstrema funkcije jednevarijable bez ogranicenja.

Primjer 15 Odredite ekstreme funkcije z = x2y uz uvjet x+ y = 3.

x+ y = 3⇒ y = 3− x

Uvrstimo li y u funkciju z = x2y, ona postaje funkcija jedne varijable: z(x) =x2(3− x) = 3x2 − x3

Nuzan uvjet za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable jest da je prvaderivacija jednaka nuli.

z′(x) = 6x− 3x2 ⇒ 6x− 3x2 = 0⇒ x1 = 0, x2 = 2

Kandidati za prvu koordinatu ekstrema funkcije z(x) = 6x2 − 3x2:

x1 = 0, x2 = 2

Kako je y = 3− x to su pripadne vrijednosti varijable y: y1 = 3, y2 = 1.Funkcija z = x2y ima 2 stacionarne tocke :

(0, 3), (2, 1)

Primjenjujemo dovoljan uvjet za lokalni ekstrem funkcije jedne varijable:

z”(x) = 6− 6x, z”(0) = 6 > 0, z”(2) = −6 < 0


Funkcija z = x2y ima u tocki (0, 3) lokalni minimum, a u tocki (2, 1) lokalnimaksimum. Kako jez(0, 3) = 02 · 3 = 0 i z(2, 1) = 22 · 1 = 4

Funkcija z(x, y) = x2y uz ogranicenje x+y = 3 lokalni minimum m(0, 3, 0i lokalni maksimum (2, 1, 4).

1.3.2 Metoda Lagrangeovih multiplikatora

Ekstreme funkcije f(x, y) uz ogranicenje: g(x, y) = 0 moguce rijesiti metodomLagrangeovih multiplikatora:

1. Definiramo Lagrangeovu funkciju

L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)

2. Odredimo stacionarne tocke (x0, y0, λ0) Lagrangeove funkcije, tj. tockekoje su rjesenja sustava jednadzbi Lx = 0, Ly = 0, Lλ = 0

3. Racunamo sve parcijalne derivacije drugog reda Lagrangeove funkcije:Lxx, Lxy, Lxλ, Lyy, Lyx, Lyλ, Lλλa potom determinantu

D =

∣∣∣∣∣∣Lxx Lxy LxλLxy Lyy LyλLxλ Lyλ Lλλ

∣∣∣∣∣∣4. Za svaku stacionarnu tocku provjeravamo njen karakter:

(a) Ako je D(x0, y0, λ0) < 0, (x0, y0) je tocka lokalnog minimuma.

(b) Ako je D(x0, y0, λ0) > 0, (x0, y0) je tocka lokalnog maksimuma.

Primjer 16 Odredimo ekstreme funkcije f(x, y) = −x − y uz ogranicenjex2 + y2 = 2

f(x, y) = −x− y, g(x, y) = 2− x2 − y2 = 0

L(x, y, λ) = −x− y + λ(2− x2 − y2)

Lx = −1− 2λx = 0⇒ λ = − 1

2x


Ly = −1− 2λy = 0⇒ λ = − 12y

λ = − 12x, λ = − 1

2y⇒ y = x

Lλ = 2− x2 − y2 ⇒ 2− x2 − x2 = 0⇒ x2 = 1⇒ x1 = −1, x2 = 1y1 = −1, y2 = 1, λ1 = 1

2, λ2 = −1

2

Dobili smo dvije stacionarne tocke:

T1(−1,−1) λ1 = 12

T2(1, 1) λ2 = −12

Lxx = −2λ Lxy = 0 Lxλ = −2xLyy = −2λ Lyλ = −2y Lλλ = 0

T1(−1,−1), λ1 =1

2

D =

∣∣∣∣∣∣−2λ 0 −2x

0 −2λ −2y−2x −2y 0

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣−1 0 20 −1 22 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 8 > 0⇒ lok. maksimum

f(−1,−1) = 1 + 1 = 2⇒M(−1,−1, 2)

T2(1, 1), λ2 = −1

2

D =

∣∣∣∣∣∣1 0 −20 1 −2−2 −2 0

∣∣∣∣∣∣ = −8 < 0⇒ lok. minimum

f(1, 1) = −1− 1 = −2⇒ m(1, 1,−2)

Primjer 17 Dana je funkcija troskova T (Q1, Q2) = 2Q12 +Q1Q2 +Q2

2, gdjesu Q1, Q2 ≥ 0 kolicine proizvodnje za dva proizvoda. Odredite Q1 i Q2 takoda troskovi budu minimalni, a da ukupna proizvodnja bude 20.

Problem glasi: minizirati funkciju troskova

T (Q1, Q2) = 2Q12 +Q1Q2 +Q2

2

uz ogranicenje Q1 +Q2 = 20

I. Metoda supstitucije: Q2 = 20−Q1

T (Q1, Q2) = T (Q1) = 2Q12 +Q1(20−Q1) + (20−Q1)2

T (Q1) = 2Q12 − 20Q1 + 400


T ′(Q1) = 4Q1 − 20 = 0⇒ Q1 = 5T ′′(Q1) = 4 > 0⇒ T ′′(5) = 4 > 0 lokalni minimumQ2 = 20− 5 = 15, T (5, 15) = 350⇒ m(5, 15, 350)

II. Metoda Lagrangeovih multiplikatora

L(Q1, Q2, λ) = 2Q12 +Q1Q2 +Q2

2 + λ(20−Q1 −Q2)

LQ1 = 4Q1 +Q2 − λ = 0⇒ λ = 4Q1 +Q2 LQ2 = Q1 + 2Q2 − λ = 0⇒λ = Q1 + 2Q2

4Q1 +Q2 = Q1 + 2Q2 ⇒ Q2 = 3Q1

Lλ = 20−Q1 −Q2 = 0⇒ 20−Q1 − 3Q1 = 020− 4Q1 = 0⇒ Q1 = 5Q2 = 3Q1 ⇒ Q2 = 15

λ = 4Q1 +Q2 ⇒ λ = 35

Dobili smo stacionarnu tocku: T (5, 15), λ = 35LQ1Q1 = 4, LQ1Q2 = 1, LQ1λ = −1LQ2Q2 = 2, LQ2λ = −1, Lλλ = 0

Za T (5, 15), λ = 35, determinanta Hesseove matrice: D =

∣∣∣∣∣∣4 1 −11 2 −1−1 −1 0

∣∣∣∣∣∣ =

−4 > 0⇒ lokalni minimum

f(5, 15) = 350 ⇒ m(5, 15, 350)

Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 35:Ako ukupnu kolicinu proizvodnje povecamo za jednu (beskonacno malu) je-dinicu, ukupni troskovi ce se povecati za 35 jedinica.

Primjer 18 Potrosaceva funkcija korisnosti za dva dobra je

u(x1, x2) = 2x1x2 + 2x1 + x2

Ako je cijena prvog dobra 2, a drugog 1, nadite maksimalnu korisnost uzbudzet 8.


Problem glasi: maksimizirati funkciju troskova

u(x1, x2) = 2x1x2 + 2x1 + x2

uz ogranicenje 2x1 + 1x2 = 8

I. Metoda supstitucije: x2 = 8− 2x1

u(x1, x2) = u(x1) = 2x1(8− 2x1) + 2x1 + 8− 2x1

u(x1) = −4x12 + 16x1 + 8− 2x1

u′(x1) = −8x1 + 16 = 0⇒ x1 = 2u′′(x1) = −8 < 0⇒ u′′(2) = −8 < 0 lokalni maksimumx2 = 8− 2 · 2 = 4, u(2, 4) = 24⇒M(2, 4, 24)

II. Metoda lagrangeovih multiplikatora:

L(x1, x2, λ) = 2x1x2 + 2x1 + x2 + λ(8− 2x1 − x2)

Lx1 = 2x2 + 2− λ = 0⇒ λ = x2 + 1 Lx2 = 2x1 + 1− λ = 0⇒ λ = 2x1 + 1

x2 + 1 = 2x1 + 1⇒ x2 = 2x1

Lλ = 8− 2x1 − x2 = 0⇒ 8− 2x1 − 2x1 = 08− 4x1 = 0⇒ x1 = 2x2 = 2x1 ⇒ x2 = 4

λ = 2x1 + 1⇒ λ = 5

Dobili smo stacionarnu tocku: T (2, 4), λ = 5Lx1x1 = 0, Lx1x2 = 2, Lx1λ = −2Lx2x2 = 0, Lx2λ = −1, Lλλ = 0 Za T (2, 4), λ = 5, determinanta Hesseove

matrice: D =

∣∣∣∣∣∣0 2 −22 0 −1−2 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 > 0⇒ lokalni maksimum

f(2, 4) = 24 ⇒ M(2, 4, 24)

Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 5:Ako budzet povecamo za jednu (beskonacno malu) jedinicu, korisnost ce sepovecati za 5 jedinica.

Poglavlje 2

Elasticnost funkcije

2.1 Elasticnost funkcija u ekonomiji

Elasticnost u ekonomiji je sposobnost neke ekonomske velicine da reagiramanje ili vise intenzivno na promjenu neke druge velicine o kojoj ona na bilokoji nacin ovisi.Velicina je to elasticnija sto je reakcija jaca. Kao mjeru reakcije uzimamorelativnu promjenu promatranih velicina.

Primjer 19 Cijena proizvoda A je a = 5 kn, proizvoda B je b = 1000 kn.Ako jedan i drugi proizvod poskupi za 5 kn, koji je od njih relativno viseposkupio?

Apsolutno poskupljenje ∆a = ∆b = 5 kn je jednako.Relativno poskupljenjeje:

∆a

a=

5

10= 0.5 = 50%,

∆b

b=

5

1000= 0.005 = 0.5%,

pa je poskupljenje proizvoda A daleko vece (100 puta vece) od poskupljenjaproizvoda B.

U praksi se koriste dvije formule za mjerenje elasticnosti. Koja od njih ce sekoristiti ovisi o tome u kojem je obliku zadana veza izmedu ovisne varijable(npr. potraznje) i neovisne varijable (npr. cijene). Ekonomske funkcije cestose zadaju u obliku tablice, a mogu se zadati i algebarski. Za svaki od ovih ob-lika postoji odgovarajuca formula za izracunavanje koeficijenta elasticnosti.

23

POGLAVLJE 2. ELASTICNOST FUNKCIJE 24

2.1.1 Formula za koeficijent elasticnosti funkcije zadanetablicom

Neka je y = y(x) funkcija. Mjera elasticnosti je koeficijent elasicnosti Ey,xvelicine y u odnosu na velicinu x, definiran kao kvocijent:

Ey,x =relativna promjena od y

relativna promjena od x=

∆yy

∆xx

=x

y· ∆y

∆x

uz uvjet da se radi o malim promjenama velicina x i y. Uzmemo li da je∆xx

= 1100

, bit ce

Ey,x =

∆yy

1100

=∆y

y· 100%

Dakle, koeficijent elasticnosti pokazuje za koliko se % promijeni funkcija yako se neovisna varijabla x, sa neke vrijednosti (razine), poveca za 1%.

Primjer 20 Dani su sljedeci podaci o potraznji q za robom ovisno o cijenip:

Cijena Potraznja30 1832 1734 1636 1538 1440 1342 12

Izracunajte koeficijent elasticnosti potraznje kada je cijena 32.

Eq,p = pq· ∆q

∆p= 32

17· 16−17

34−32= −16

17= −0.94

Interpretacija: Ako se cijena na nivou p = 32 poveca za 1%, potraznja cese smanjiti za 0.94%.


2.1.2 Formula za koeficijent elasticnosti funkcije zadanealgebarski

Ako je y = f(x) neprekidna funkcija zadana formulom, koeficijent elasticnostimozemo napisati u obliku:

Ey,x = lim∆x→0

∆yy

∆xx

= lim∆x→0

x

y· ∆y

∆x.

Odatle slijedi Marshallova formula

Ey,x =x

y· dydx.

Interpretacija (znacenje) koeficijenta elasticnosti:Ey,x pokazuje za koliko se postotaka priblizno (i u kojem smjeru)promjeni y ako se x (na danoj razini) poveca za 1% .

Definicija 1 Neka je dan koeficijent elasticnosti funkcije y u odnosu na var-ijablu x:

Ey,x =x

y· y′

Ako je | Ey,x |> 1, kazemo da je y elasticna velicina u odnosu na x, a akoje | Ey,x |< 1, y je neelasticna . Analogno, imamo | Ey,x |= 1(jedinicnoelasticna ), | Ey,x |= 0(savrseno neelasticna ), | Ey,x |=∞ (savrsenoelasticna ).Podrucje elasticnosti velicine y je skup

Pel(y) = {x : x ∈ D(y), |Ey,x| > 1},

gdje je D(y) podrucje definicije varijable y. Podrucje neelasticnosti veliciney je skup

Pneel(y) = {x : x ∈ D(y), |Ey,x| < 1},

Svojstva koeficijenta elasticnosti(y, u, v- funkcije, c- konstanta)

(1) Ecy,x = Ey,x,

(2) Ex,y = 1Ey,x

(elasticnost inverne funkcije),


(3) Eu·v,x = Eu,x + Ev,x

(4) Euv,x = Eu,x − Ev,x

(5) Ey,x = d(log y)d(log x)

(6) Koeficijent elasticnosti mozemo izraziti i na sljedeci nacin:

Ey,x =x

x· dydx

=

dyy

dxx

=d(loga y)

d(loga x)

Primjer 21 Zadana je funkcija y = −x3 + x+ 2

(a) Izracunajte koeficijent elasticnosti od y u odnosu na x za x=1 te inter-pretirajte rezultat,

(b) Izracunajte koeficijent elasticnosti od x u odnosu na y za x=1 te inter-pretirajte rezultat

(a)

Ey,x =x

y· y′ = x

−x3 + x+ 2· (−3x2 + 1)

Ey,x(x = 1) =1

−13 + 1 + 2· (−3 · 12 + 1) = −1

Interpretacija:Povecanje varijable x na nivou x = 1 za 1% uzrokujesmanjenje funkcije y za 1%.

(b)

Ex,y =1

Ey,x=

1

−1= −1

y = −x3 + x+ 2⇒ y = −13 + 1 + 2 = 2

Interpretacija:Povecanje varijable y na nivou y = 2 za 1% uzrokujesmanjenje funkcije x za 1%.

Primjer 22 Zadana je funkcija potraznje q = 300− p2, gdje je p cijena.

a) Odredite domenu (podrucje varijabiliteta) ove funkcije.

b) Odredite koeficijent elasticnosti ove funkcije i interpretirajte rezultat narazinini cijene p = 5 i p = 15.


c) Na kojoj razini cijene je funkcija:

1. jedinicno elasticna,

2. savrseno elasticna,

3. savrseno neelasticna?

d) Odredite podrucja elasticnosti i neelasticnosti funkcije q.

Rjesenje:

a) Kod ekonomskih funkcija osim opcenitih pravila za odredivanje domene,sve varijable su nenegativne, tj. ≥ 0. Imamo q ≥ 0 i p ≥ 0: 300− p2 ≥0⇒ p ∈ [0, 10

√3]

Dakle, D(q) = [0, 10√

3]

b) Eq,p = pq· dqdp

= pq· q′ = p

300−p2 · (−2p) = −2p2

300−p2

Eq,p(p = 5) = − 211, Eq,p(p = 15) = −6

Interpretacija:Ako se cijena poveca za 1% na razini p = 5, onda sepotraznja smanji priblizno za 2

11% ≈ 0.182%.

Ako se cijena poveca za 1% na razini p = 15, onda se potraznja smanjipriblizno za 6%.

c) 1. |Eq,p| = 1⇒ | −2p2

300−p2 | = 1⇒ p = 10

2. |Eq,p| =∞⇒ | −2p2

300−p2 | =∞⇒ 300− p2 = 0⇒ p = 10√

3

3. |Eq,p = 0⇒ −2p2

300−p2 = 0⇒ −2p2 = 0⇒ p = 0

d) Podrucje elasticnosti: |Eq,p| > 1 ⇒ −2p2

300−p2 > 10 ⇒ p > 10 ⇒ Pel =

〈10, 10√

3] Podrucje neelasticnosti: Pneel = [0, 10〉 >


2.1.3 Engelovi zakoni

To su zakoni dobiveni empirijskom analizom izdataka iz budzeta prosjecnogdomacinstva. Pretpostavljamo da se poveca ukupni prihod domacinstva ipromatramo kako se povecavaju pojedini izdaci.

I. Engelov zakon: Neka je x prihod (dohodak, budzet) domacinstva, ay izdaci za hranu.Tada je y funkcija od x.

Ako prihodi domacinstva rastu, izdaci za hranu relativno opadaju.(yx

)′< 0⇒ xy′ − y

x2< 0⇒ xy′ − y < 0⇒ xy′ < y ⇒ x

yy′ < 1⇒

Ey,x < 1

Izdaci prosjecnog domacinstva za hranu su neelasticni.

II. i III Engelov zakon:Izdaci domacinsttva za odijevanje(II.) i stan (III.) pri-blizno su jedinicne elasticnosti, Ey,x ≈ 1.

IV. Engelov zakon: Izdaci domacinstva za kulturne potrebe su elasticni,Ey,x > 1.

Primjer 23 Za koje vrijednosti dohotka x funkcija izdataka za kulturne potrebe

y = 20.05x2

potvrduje IV. Engelov zakon?

Primjenjujemo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije:(au)′

= au · ln a · u′

y′ =(

20.05x2)′

=(

20.05x2)· ln 2 · (0.05x2)′ = 20.05x2 · ln 2 · 0.05 · 2x

Ey,x =x

y· y′ = x

20.05x2· 20.05x2 · ln 2 · 0.01 · x = 0.1 · ln 2 · x2 > 1

Za x > 1√0.1·ln 2

≈ 3.798.

Primjer 24 Izracunajte koeficijent elasticnosti funkcije y = 1x2.


Ey,x = ex

y· dydx

=x

y· −2x

x4=

x1x2

· −2

x3= −2.

Buduci da koeficijent elasticnosti ne ovisi o varijabli x, to znaci da ako sex poveca za 1% na bilo kojoj razini, velicina y se smanji za priblizno 2%.

Primjer 25 Izracunajte koeficijent elasticnosti funkcije: y = 3xx−4

Ey,x = xy· dydx

= xy· 3(x−4)−3x

(x−4)2= − 12

x−4.

Sada vidimo da je Ey,x = Ey,x(x), pa zelimo li interpretirati dobivenikoeficijent elasticnosti, moramo naznaciti na kojoj razini (to jest za kojuvrijednost velicine x zelimo to uciniti.Za x = 8 dobijemo

Ey,x(8) = − 12

8− 4= −3,

a za x = 0

Ey,x(0) = − 12

0− 4= 3.

Primjer 26 Odredite podrucje elasticnosti i neelasticnosti funkcije potraznje:q(p) = −100p+ 400.

Buduci da je rijec o ekonomskoj funkciji ona ima smisla za p ≥ 0 i q ≥ 0,odakle se dobije da je 0 ≤ p ≤ 4, tj. p ∈ [0, 4]. Koeficijent elasticnosti iznosi:

Eq,p =p

q· dqdp

=p

−100p+ 400· (−100) =

p

p− 4.

U podrucju elasticnosti su svi p za koje vrijede uvjeti 0 < p ≤ 4 i | Eq,p |> 1.Dakle treba rijesiti jednadzdu:

| p

p− 4|> 1.

Kada rijesimo ovu jednadzbu, uzimajuci u obzir da p mora ispunjavati uvjet0 < p ≤ 4, nalazimo da je podrucje elasticnosti

Pel(q) =< 2, 4 > .

Analogno, kako su u podrucju neelasticnosti svi

p ∈ D(q)


za koje | Eq,p |< 1, valja rijesiti jednadzbu

| p

p− 4|< 1.

Lako nalazimo da jePel = 〈0, 2〉.

Na razini cijene p = 4 razmatrana funkcija potraznje je savrseno elasticnajer je

limp→4

Eq,p =∞,

a na razini cijene p=0 razmatrana funkcija potraznje je savrseno neelasticnajer je

limp→0

Eq,p = 0.

Primjer 27 Funkcija izdataka za hranu ima oblik:y = 4xx+50

, gdje je x doho-dak domacinstva. Izracunajte koeficijent elasticnosti izdataka za hranu premapromjeni dohotka domacinstva i interpretirajte rezultat.

Ey,x =x

y· dydx

=x4xx+50

· 4(x+ 50)− 4x

(x+ 50)2=

200

x+ 50.

Buduci da je x dohodak domacinstva, to je x > 0. Stoga vrijedi:

x+ 50 > 50 > 0.

Dijeljenjem s x+ 50, dobivamo da je

1 >50

50 + x> 0,

odnosno 1 > Ey,x > 0.Interpretacija:Izdaci za hranu su neelasticna velicina (na bilo kojojrazini dohotka domacinstva) jer povecanje dohotka x za 1% dovodido povecanja tih izdataka za manje od 1%.

Primjer 28 Zadana je cijena p kao funkcija potraznje q:

p(q) =1− 5q

30q.

Izracunajte koeficijent elasticnosti potraznje u odnosu na promjenu cijene narazini p = 8 i interpretirajte rezultat.


Iz p(q) = 1−5q30q

nalazimo da je q(p) = 130p+5

, pa je koeficijent elasticnostipotraznje u odnosu na promjenu cijene

Eq,p =p

q· dqdp

=p1

30p+5

· −30

(30p+ 5)2= − 30p

30p+ 5= − 6p

6p+ 1.

Dakle, Eq,p(p = 8) = − 6·86·8+1

= 4849,sto znaci da ako se cijena poveca za 1%

na razini p = 8, onda se potraznja smanji priblizno za 4849

% ≈ 0.97959%.

Primjer 29 Odredite vrijednost realnih parametara a i b tako da za funkcijuy = xa · ebx vrijedi da je za x = 1 Ey,x = 5, a za x = 2 Ey,x = 8.

Ey,x = xy· dydx

= xxa·ebx ·

(axa−1ebx+xabebx)1

= a+ bx.Iz Ey,x = a+ bx za x = 1 i Ey,x = 5 dobivamo jednadzbua+ b = 5, a za x = 2 i Ey,x = 8 dobivamo jednadzbua+ 2b = 8. Rjesenje sustava

a+ b = 5

a+ 2b = 8

je a = 2, b = 3.

Primjer 30 Izracunajte koeficijent elasticnosti funkcije potraznje q(p) =1p−1

, gdje je q kolicina potraznje, a p cijena te interpretirajte na nivou ci-jene p = 3.

Eq,p =p

q· dqdp

=p1p−1

· −1

(p− 1)2= − p

p− 1

Eq,p(p = 3) = −3

2= −1.5,

sto znaci da ako se cijena na nivou 3 poveca za 1%, potraznja ce se smanjitipriblizno za 1.5%. Potraznja je elasticna u odnosu na promjenu cijene jer jepostotak njene promjene veci od postotka promjene cijene.

Primjer 31 Zadana je funkcija ukupnih troskova proizvodnje T (Q) = 0.5Q2+Q + 600. Izracunajte koeficijent elasticnosti varijabilnih troskova na nivouproizvodnje Q = 10.


Ukupni troskovi = varijabilni troskovi + fiksni troskovi. Buduci da sufiksni troskovi jednaki Tf (Q) = T (0) = 600, varijabilni troskovi su: Tv(Q) =T (Q)− T (0) = (0.5Q2 +Q+ 600)− 600 = 0.5Q2 +Q.

ETv ,Q =Q

Tv· dTvdQ

=Q

0.5Q2 +Q· (Q+ 1) =

Q2 +Q

0.5Q2 +Q=

Q+ 1

0.5Q+ 1

ETv ,Q(Q = 10) = 116

= 1.83Interpretacija: Ako se proizvodnja na nivou Q = 10, poveca za 1%, varija-bilni troskovi ce se povecati priblizno za 1.83%.


2.2 Koeficijenti parcijalne i krizne elasticnosti

Koeficijent elasticnosti Ey, x je mjera promjene ovisne varijable y = f(x)prouzrokovane relativnom promjenom neoviosne varijable x. Ekonomske velicineu pravilu ne ovise samo o jednoj velicini nego o vise drugih velicina. Tako,primjerice potraznja q1 dobra 1 ovisi o cijeni tog dobra p1, ali i o cijenamap2, p3, ..., pn nekih drugih dobara, zatim o dohotku d potrosaca te eventualnoo vremenu t. To simbolicki izrazavamo formulom

q1 = q1(p1, p2, ..., pn, d, t).

Da bismo mogli izmjeriti utjecaj samo jednog faktora od navedenih n + 2,moramo pretpostaviti da se ostali faktori ne mijenjaju. Koeficijent parci-jalne elasticnosti

E(q1, p1) =p1

q1

· ∂q1

∂p1

mjeri smjer i intenzitet promjene potraznje q1 promatranog dobra 1 ako sveostale neovisne varijable ostaju nepromijenjene.Koeficijentima krizne elasticnosti

E(q1, pi) =piq1

· ∂q1

∂pi,

gdje je i 6= 1 mjerimo smjer i intenzitet potraznje q1 promatranog dobra 1kada se mijenja cijena pi, i 6= 1, a sve ostale neovisne varijable ostaju ne-promijenjene.

Ako zelimo izmjeriti smjer i intenzitet promjene potraznje q1 dobra 1 kadse mijenja dohodak potrosaca, a cijene svih ostalih dobara ostaju nepromi-jenjene, govorimo o koeficijentu dohodovne elasticnosti

E(q1, d) =d

q1

· ∂q1

∂d.

Mjera elasticnosti potraznje q1 dobra 1 prema tijeku vremena racuna se for-mulom

E(q1, t) =t

q1

· ∂q1

∂t.

Supstituti ili supstitutivna dobra su proizvodi koji se u upotrebi mogumedusobno zamijeniti.


Koeficijent krizne elasticnosti pokazuje koliku elasticnost ima potraznjajednog dobra u odnosu na cijenu nekog drugog dobra. Krizna elastiznost jevelika i pozitivna ako su ta dva dobra supstituti. Sto je taj koeficijent veci, toje rijec o boljim supstitutima . Komplementarno dobro je proizvod kojiu svojoj potrosnji ili koristenju moze zamijeniti neki drugi proizvod. Kriznaelasticnost je velika i negativna ako se dobra komplementiraju.

Napomena: Neka je qi = qi(p1, p2, ..., pn) kolicina potraznje za dobromi. Ako je

E(qi, pj) =pj

qi· ∂qi∂pi

> 0,

za i 6= j,onda su dobra i i j supstituti.Ako je

E(qi, pj) =pj

qi· ∂qi∂pi

< 0,

za i 6= j, onda su i i j komplementarna dobra.

Primjer 32 Zadana je funkcija potraznje za dobrom A qA(pA, pB) = 12·p2A+

5pB

u ovisnosti o cijeni dobara A i B. Izracunajte i interpretirajte koeficijent

parcijalne (krizne) elasticnosti EqA,pB na nivou cijena pA = 1 i pB = 2.

EqA, pB = pBqA· ∂qA∂pA

= pB12·p2A+ 5

pB

· (− 5p2B

)

EqA, pB(pA = 1, pB = 2) = − 512·1·2+5

= −56

= −0.83.

Interpretacija: Ako se cijena dobra B na nivou 2 (uz konstantnu cijenudobra A na nivou 1) poveca za 1%, potraznja za dobrom A ce pasti pribliznoza 0.83%. Proizvodi su komplementarni jer je

EqA, pB(pA = 1, pB = 2) = −0.83 < 0.

Primjer 33 Zadana je funkcija potraznje za teletinom u ovisnosti o pt ipp(cijeni teletine i puretine), te o ovisnosti o dohotku d:q = 4000 − 5pt +1.5pp+0.1d. Izracunajte krizne i dohodovne koeficijente elasticnosti na nivoupt = 100, pp = 40 i d = 5000.

Eq, d = dq· ∂q∂d

= d4000−5pt+1.5pp+0.1d

· 0.1 Eq, d(pt = 100, pp = 40, d =

5000) = 50004000−500+60+500

· 0.1 = 0.123.Interpretacija: Potraznja je neelasticna u odnosu na promjenu dohotka.


Eq, pp = ppq· ∂q∂pp

= pp4000−5pt+1.5pp+0.1d

· 1.5Eq, pp(pt = 100, pp = 40, d = 5000) = 40

4000−500+60+500· 1.5 = 0.015.

Interpretacija: Kako je koeficijent krizne elasticnosti pozitivan, teletina ipuretina su supstituti.

Primjer 34 Izracunajte koeficijente parcijalne elasticnosti Cobb-Douglasoveproizvodne funkcije:

Q(L,C) = α · Lα · Cβ,

gdje su C,L, α, β > 0, β < 1 (L je ulozeni rad, a C ulozeni kapital).

E(Q,L) =L

Q· ∂Q∂L

=L

α · Lα · Cβ· α2 · Lα−1 · Cβ = α

E(Q,C) =C

Q· ∂Q∂C

=C

α · Lα · Cβ· α · Lα · βCβ−1 = β.


2.2.1 Eulerov teorem

Teorem 6 Neka je funkcija y = f(x1, x2, ..., xn) homogena stupnja t. Tadaje zbroj umnozaka svake neovisne varijable xi i parcijalne derivacije funkcije fpo toj varijabli jednak umnosku stupnja homogenosti funkcije i same funkcije,to jest

x1 · Ey,x1 + x2 · Ey,x2 + · · ·+ xn · Ey,xn = t · y

Teorem 7 (Eulerov teorem u terminima elasticnosti)Neka je funkcija y = f(x1, x2, ..., xn) homogena stupnja t. Tada je zbroj

koeficijenata parcijalnih elasticnosti jednaka stupnju homogenosti, to jest

Ey,x1 + Ey,x2 + · · ·+ Ey,xn = t.

Primjer 35 Proizvodnja P u nekoj tvornici ovisi o ulozenom radu L i ulozenomkapitalu C na sljedeci nacin:

P (L,C) = L2 · lnCL

+ C2.

Ako se oba proizvodna faktora povecaju istovremeno za 10%, za koliko sepromijeni proizvodnja?

Istovremeno povecanje oba proizvodna faktora za jednak postotak (10%),znci da treba izracunati vrijednost funkcije na nivou neovisnih varijabli, tj.treba izracunati vrijednost P (1.1L, 1.1C) jer povecanje znaci da je L i Cpotrebno pomnoziti sa 1+ 10

100= 1.1. Trazena promjena izrazena u postocima

u odnosu na pocetni nivo proizvodnje) dobije se na sljedeci nacin:

∆P

P=P (1.1L, 1, 1C)− P (L,C)

P (L,C)· 100% =

=1.12L2 · ln1.1C

1.1L+ 1.1C2 − (L2 · lnC

L+ C2)

L2 · lnCL

+ C2·100% = (1.12−1)·100% = 21%.

Uocimo da je navedena funkcija P(L,C) homogena funkcija stupnja ho-mogoniteta t=2 jer vrijedi:

P (tL, tC) = (tL)2 · lntCtL

+ (tC)2 = t2 · (L2 · lnCL

+ C2) = t2 · P (L,C).


To znaci da smo promjenu proizvodnje P mogli izracunati bez obzira zakoliko se postotaka promijene neovisne varijable L i C. Jedino je vazno dasu te promjene jednakog intenziteta (u promatranom primjeru 10%) i istogsmjera (u primjeru je rijec o povecanju). Buduci da se faktor t izracuna nasljedeci nacin:

t = 1 +p

100= 1.1,

trazenu promjenu proizvodnje mogli smo jednostavnije ozracunati ovako:

∆P

∆P=P (1.1L, 1.1C)− P (L,C)

P (L,C)· 100% = (t2 − 1) · 100% = 21%.

Razmatrani primjer omogucuje popcenje interpertacije stupnja homogenosti,sto je u ekonomiji veoma znacajno. Naime, vrijedi tvrdnja: Neka se sveneovisne varijable x1, x2, ..., xn funkcije y = f(x1, x2, ..., xn) istovremenopovecaju ili smanje za jednak postotak p te neka je

i = 1 +p

100.

Ako je y homogena funkcija stupnja t, onda se ovisna varijabla poveca ilismanji za

(it − 1) · 100%.

Primjer 36 Proizvodnja P u nekoj tvornici ovisi o ulozenom radu L i ulozenomkapitalu C na sljedeci nacin:

P (L,C) = L2 · lnCL

+ C2.

Izracunajte zbroj koeficijenata parcijalnih elasticnosti.

Funkcija P (L,C) je homogena funkcija supnja 2 jer je

P (tL, tC) = (tl)2 · tCtL

+ (tC)2 = t2 · P (L,C).

To znaci da mozemo primijeniti Eulerov teorem, pa je

EP,L + EP,C = 2.

Sadr zaj - fmtu.lumens5plus.com · To cke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda funkcije f jednake nuli nazivaju se stacionarne to cke. Stacionarna to cka je kandidat za prve

Documents