Sabit Varyans

Sabit VaryansVar(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui

2) = 2 Eşit Varyans

Y

X

1

EKKY’nin varsayımlarından biri anakütle regresyon fonksiyonu ui lerin eşit varyanslı olmasıdır.

Her hata terimi varyansı bağımsız değişkenlerin verilen değerlerine göre 2 ye eşit aynı (sabit) bir değerdir. Bu nedenle eşit varyansa sabit varyans da denir.

2

Sabit Varyansta Hataların Dağılımı

xt

yt

...

....

...

...

..

..

. .. ... . .

. .. .. .

. ...

...

..

.

Gelir

Tüketim

3

..

xtx1 x2

y tf(yt)

Sabit Varyans Durumu

..

x3 x4 Gelir

Tüketi

m

Farklı Varyans Kavramı

4

• “Sabit varyans”(homoscedasticity) varsayımına göre verili açıklayıcı değişkenlerine bağlı olarak ’nin koşullu varyansı sabittir:

•“Farklı varyans” (heteroscedasticity) durumunda ise de-ğiştikçe ’nin koşullu varyansı da değişir:

•Farklı varyansa bir örnek olarak tasarrufların varyansının gelirle birlikte artmasını verebiliriz.

•Yüksek gelirli ailelerin tasarrufları, düşük gelirli ailelere oranla hem ortalama olarak daha çoktur hem de değişirliği daha fazladır.

i=1, 2,..,n

iX iY

iXiY

2 2iE(u )

2 2i iE(u )

Farklı Varyans

Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui2) = i

2 Farklı Varyans

Hata

Zaman

5

Farklı Varyansta Hataların Dağılımı

xt

yt

.

... .

. .. .

..

.

.

.

.

..

..

.

..

.

..

...

.

..

..

..... ..... .

..

Gelir

Tüketim

.

x tx1 x2

y tf(yt)

Tüketi

m

x3

..

Farklı Varyans Durumu

Gelir

Zengin bireyler

Yoksul bireyler

Farklı Varyansın Nedenleri

• Hata terimi varyansının değişken olma nedenlerinden bazıları şunlardır:

1. “Hata öğrenme” (error learning) modellerine göre bireyler bazı konuları öğrendikçe daha az hata yaparlar. Buna göre de nin de zamanla küçülmesi beklenir.

Örnek olarak, bilgisayarda klavye kullanma süresi arttıkça hem klavye hataları hem de bunların varyansları azalır.

8

2

2. Gelir düzeyi arttıkça gelirin harcanabileceği seçenekler de genişler. Böylece, gelir düzeyi ile birlikte hem harcamaların hem de bunların varyanslarının artması beklenir.

3. Zaman içerisinde veri derleme tekniklerinin gelişmesine koşut olarak de düşebilir.

4. Farklı varyans “dışadüşen”(outlier) gözlemlerin bir sonucu olarak da ortaya çıkabilir.Böyle gözlemlerin alınması ya da bırakılması, özellikle de örneklem küçükken sonuçları önemli ölçüde değiştirebilir.


2i


5. Farklı varyansın bir diğer nedeni de model belirleme (spesifikasyon) hatasıdır. Özellikle de önemli bir değişkenin modelden çıkartılması farklı varyansa yol açabilir.

6. Farklı varyans sorunu yatay kesit verilerinde zaman serisi verilerine oranla daha fazla görülebilmektedir. Bunun nedeni, zaman serilerinde değişkenlerin zaman içerisinde yakın büyüklüklerde olma eğilimidir.

10

Farklı Varyans ile Karşılaşılan Durumlar

•Kesit Verilerinde.

•Kar dağıtım modellerinde.

•Sektör modellerinde.

•Ücret modellerinde.

•Deneme - Yanılma modellerinde.

En Küçük Kareler İle İlgili Özellikleri

1. En Küçük Kareler Tahmincileri doğrusal ve sapmasızdır.

2. Katsayı tahmincileri etkin değildir.

3. En Küçük kareler tahmincilerinin standart hataları doğru değildir.

4. Standart hata formulleri doğru olmadığından güven aralıkları ve hipotez testleri geçerli değildir.

yt = 1 + 2xt + et

Farklı varyans durumunda:

En küçük kareler varyans formulu geçersizdir:

var(b2) = 2

xt x

Enküçük kareler varyans formulu aşağıdaki gibi düzeltilmelidir.:

var(b2) = t2xt x

xt x

Farklı Varyansın Belirlenmesi

•Grafik Yöntemle.

•Sıra Korelasyonu testi ile.

•Goldfeld-Quandt testi ile.

•White testi ile.

•Lagrange çarpanları testi ile

14

Grafik Yöntem

YIL

50403020100

LM

AA

S 5.2

5.0

4.8

4.6

4.4

4.2

4.0

3.8

3.6

15

Grafik Yöntem

YIL

50403020100

E2 .7

.6

.5

.4

.3

.2

.1

0.0

-.1

16

Grafik Yöntem

YIL

50403020100

Sta

nd

ard

ize

d R

esid

ua

l

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-417

Sıra Korelasyonu Testi1.Aşama H0: = 0

H1: 02.Aşama = ? s.d.=?

3.Aşama

ttab =?

?r1

2nrt

2s

shes

4.Aşama

H0 hipotezi reddedilebilir

thes > ttab

?)1n(n

d61r

2

2i

s

18

Sıra Korelasyonu Testi

758895

125115127165172183225

Y

80100120140160180200220240260

X

7.05454.7091

-3.636411.0182-14.327-17.6724.9818

-3.3636-7.709118.9455

e Xs es didi

2

123456789

10

1

2

4

3

6

87

9

10

5

7

1

3

-1

3

-3-3

-3

0

-4

49

1

9

1

9

9 9

9

0

16

di2=112Mutlak değerli olarak bulundukları

yer itibariyle küçükten büyüğe sıra numarası verilir d=Xs -es


)1n(n

d61r

2

2i

s

)110(10

11261

2 = 0.3212

1.Aşama H0: = 0H1: 0

2.Aşama = 0.05 s.d.= 8

3.Aşama

ttab = 2.306

2hes)3212.0(1

2103212.0t

= 0.9593

4.Aşama

H0 hipotezi reddedilemez.

thes < ttab

20

Büyük örneklere uygulanan bir F testidir. Bu test 2i nin farklı

varyansının bağımsız değişkenlerden biri ile pozitif ilişkili olduğunu varsayar.

222 . ii X

2i Xi ile pozitif (aynı yönde) ilişkilidir ve 2

i farklı varyansı X’in karesi ile orantılıdır. Yani Xi değerleri arttıkça 2

i değeri de artmaktadır.

Goldfeld-Quandt Testi


Y X2s X3 ... Xk

Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ ... + bk Xk + u

I.Alt Örnek

n1

II.Alt Örnek

n2

Çıkarılan Gözlemler

YI = b11 + b21 X2 + b31 X3+ ... + bk1 Xk + u

YII = b12 + b22 X2 + b32 X3+ ... + bk2 Xk + u

n(1/6) < c < n(1/3)

e12=?

e22=? 22

Goldfeld-Quandt Testi1.Aşama H0: Eşit Varyans

H1: Farklı Varyans

2.Aşama = ?

3.Aşama

Ftab =?

?e

eF

21

22

hes

4.Aşama


Fhes > Ftab

?2

)k2cn(ff 21

23

X bağımsız değişkeninin değerleri küçükyen büyüğe doğru ilgili Y bağımlı değişkeninin değerleri de taşınarak sıralanır. Ortadan c kadar gözlem çıkarılır.

Yıl Tasarruf Gelir

1 264 8777

2 105 9210

3 90 9954

4 131 10508

5 122 10979

6 107 11912

7 406 12747

8 503 13499

9 431 14269

10 588 15522

11 898 16730

12 950 17663

13 779 18575

14 819 19635

15 1222 21163

16 1702 22880

17 1578 24127

Yıllar Tasarruf Gelir

18 1654 25604

19 1400 26500

20 2017 27430

21 1829 27670

22 1600 28150

23 2200 28300

24 2105 29560

25 2250 32100

26 2420 32500

27 1720 33500

28 2570 35250

29 1900 36000

30 2100 36200

31 2300 38200

Gelir bağımsız değişkenine göre tasarrufu da sıralıyoruz.

n1 Tasarrfuf Gelir n2 Tasarrfuf Gelir

1 264 8777 1 1829 27670

2 105 9210 2 1600 28150

3 90 9954 3 2200 28300

4 131 10508 4 2105 29560

5 122 10979 5 2250 32100

6 107 11912 6 2420 32500

7 406 12747 7 1720 33500

8 503 13499 8 2570 35250

9 431 14269 9 1900 36000

10 588 15522 10 2100 36200

11 898 16730 11 2300 38200

Gelire göre sırandı.

Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak.

İki alt grup oluşturuldu.

XS 088.063.7441

(195.4) (0.015)

9.15086721 e

XS 031.079.10502 (817.3) (0.025)

5.76376022 e

f1=f2=(n-c-2k)/2=9 sd de Ftab=3.18

06.59.1508675.763760

21

22

e

eFtest


Fhes > Ftab

lnMaas = b1 + b2 Yıl + b3 Yıl2

Goldfeld-Quandt Test

Dependent Variable: lnMaas

Included observations: 222

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.809365 0.041338 92.15104 0.0000

Yıl 0.043853 0.004829 9.081645 0.0000

Yıl2 -0.000627 0.000121 -5.190657 0.0000

R-squared 0.536179 Mean dependent var 4.325410

Adjusted R-squared 0.531943 S.D. dependent var 0.302511

S.E. of regression 0.206962 Akaike info criterion -0.299140

Sum squared resid 9.380504 Schwarz criterion -0.253158

Log likelihood 36.20452 F-statistic 126.5823

Durbin-Watson stat 1.618981 Prob(F-statistic) 0.00000029

n/3=222/3≈72

1.alt örnek sonuçları:

Goldfeld-Quandt Test

Dependent Variable: lnmaas

Sample: 1 75


Variable Coefficient Std. Errort-Statistic Prob.

C 3.954106 0.059538 66.41324 0.0000

Yıl -0.021930 0.021019 -1.043349 0.3003

Yıl2 0.004375 0.001600 2.733929 0.0079







Goldfeld-Quandt Test2.Altörnek Sonuçları:

Dependent Variable: lnmaas

Sample: 148 222


Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4.007507 0.976346 4.104598 0.0001

Yıl 0.019928 0.060603 0.328823 0.7432

Yıl2 -0.000102 0.000920 -0.110443 0.9124








1.Aşama H0: Eşit VaryansH1: Farklı Varyans

2.Aşama

= 0.05

3.Aşama

1.43<Ftab<1.53

?e

eF

21

22

hes

4.Aşama


Fhes > Ftab

722

)3.272222(ff 21

1099.1

6438.3 = 3.2830

32

White Testi

Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ uWhite Testi için yardımcı regresyon:

u2 = a1 + a2 X2 + a3 X3+ a4 X22 + a5 X3

2 + a6 X2X3 + vRy

2 = ?

White Testi Aşamaları:

1.Aşama

2.Aşama = ?

3.Aşama

4.Aşama

H0: a2 = a3 = a4 = a5 = a6=0

H1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır

s.d.= k-1 2tab=?

W= n.Ry2 = ?

W > 2tab H0 hipotezi reddedilebilir

33

White Testi

lnMaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl2

White Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: a2 = a3 = a4 = a5=0 ;


s.d.=5-1=4 2tab=9.4877

W= n.Ry2 = 222(0.0901)= 20.0022


e2= -0.0018 + 0.0002 Yıl + 0.0007 Yıl2- 0.00003 Yıl3 + 0.0000004Yıl4

Ry2 = 0.0901

34

Lagrange Çarpanları(LM) Testi

Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ u

LM testi için yardımcı regresyon:

Ry2 = ?

LM Testi Aşamaları:

1.Aşama

2.Aşama = ?

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1 : b0s.d.= 1 2

tab=?

LM= n.Ry2 = ?

LM > 2tab

vYbae 2**2

H0 hipotezi reddedilebilir35


lnmaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl2

LM Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1 : b0

s.d.=1 2tab=3.84146

LM= n.Ry2 = 222(0.0537)= 11.9214

LM > 2tab H0 hipotezi reddedilebilir

e2 = -0.2736 + 0.0730 (lnmaas-tah)2

Ry2 = 0.0537

36

UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir.

Aile Sayısı Y X u Aile Sayısı Y X u1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.254122 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.742473 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.410324 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.493135 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.111646 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.469337 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.908188 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.488419 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352

10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.3055611 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.1414212 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.230113 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.7609414 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.5693815 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.5137316 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.3048237

UYGULAMA: Yi = 0 + 1Xi + i modeli için sabit varyans varsayımının geçerli olup olmadığını

•Grafik Yöntemle.

•Sıra Korelasyonu testi ile.

•Goldfeld-Quandt testi ile.

•White testi ile.

•Lagrange çarpanı testi ile

inceleyiniz.

38

Grafik Yöntem

39

Sıra Korelasyonu Testi1.Aşama H0: = 0

H1: 02.Aşama = 0.05 s.d.=?

3.Aşama

ttab =?

?r1

2nrt

2s

shes

4.Aşama


thes > ttab

?)1n(n

d61r

2

2i

s

40


)1n(n

d61r

2

2i

s 2

36301 6

32(32 1)

1.Aşama H0: = 0H1: 0

2.Aşama = 0.05 s.d.= 30 ttab = 2.042

hes 2

0.3347 32 2t

1 (0.3347)

= 1.9454

4.Aşama

H0 hipotezi reddedilemez.

thes < ttab

41


c = 32 / 5 = 6.4 6 gözlem atılacak. (14.-19. gözlemler)

13 gözlemden oluşan iki grup için modeller

1.-13. gözlemler için

Yi = 0.5096 + 0.6078Xi

21e 3.6201

20.-32. gözlemler için

Yi = 3.8153 + 0.1723Xi

22e 49.9631

42

Goldfeld-Quandt Testi1.Aşama H0: Eşit Varyans

H1: Farklı Varyans

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

Ftab =2.82

22

hes 21

e 49.9631F 13.8016

e 3.6201

4.Aşama


Fhes > Ftab

1 2

(32 6 2* 2)f f 11

2

43

White Testi

White Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: a2 = a3 = 0 ;


s.d.=3-1=2 2tab=5.99

W= n.Ry2 = 32(0.2296) = 7.3472


e2= -0.6909 + 0.3498X – 0.0058X2 Ry2 = 0.2296

iY 2.2528 0.2507X

44


LM Testi için yardımcı regresyon:

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1 : b0

s.d.=2-1=1 2tab=3.84146

LM= n.Ry2 = 32(0.201) = 6.432

LM > 2tab H0 hipotezi reddedilebilir

Ry2 = 0.201

iY 2.2528 0.2507X

22e 0.417 + 0.060 Y

45

nin BİLİNMESİ HALİ

FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI

2i

nin BİLİNMEMESİ HALİ2i

Farklı varyans durumunda EKKY tahmincileri etkinlik özelliklerini kaybettiklerinden güvenilir değildirler. Bu sebeple farklı varyans ortadan kaldırılmadan EKKY uygulanmamalıdır. Yi lerin (veya ui lerin) farklı varyansları 2

i nin bilinip bilinmemesine göre farklı varyansı kaldıran iki yol vardır:

nin BİLİNMESİ HALİ2i

Yi = b1 + b2 Xi + ui2i

i

i

i

i2

i1

i

i uXb

1b

Y

2i2

i

2

i

i uE1u

E

11 2

i2i

2

* * * * *i 1 i iY b b X u

• Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

Sabit terimi yoktur.

İki tane bağımsız değişken vardır.

i

i

i

i2

i1

i

i uXb

1b

Y


2

* * ** *

1 ii iY b b X e *i i ie e

2* *2* * *

1 2i i ie Y b b X min

2* *2

1 2i i i i i i ie Y b 1 b X 2i iw 1

2* *2

1 2i i i i iw e w Y b b X


* *

2 *1 2i i 1 i i iw e b 2 w Y b b X 1

* *

2 *1 2i i 2 i i i iw e b 2 w Y b b X X

2 *i i 1w e b 0

2 *i i 2w e b 0

* *

1 2i i i i iw Y b w b w X

* *2

1 2i i i i i i iw X Y b w X b w X

* ** *1 2b Y b X

i i i i i i i i*

2 22i i i i i

w w X Y w X w Yb

w w X w X

*

i i iX w X w*

i i iY w Y w

EKKY ve GEKKY Arasındaki Fark

22i i 1 2 ie Y b b X EKKY

GEKKY 2* *2

1 2i i i i iw e w Y b b X

min

min2

i iw 1


1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER

i 1 2 i iY b b X u i 1 2 i iln Y ln b b ln X v

2 .HAL: 2 2 2 2i i iE u X

i 1 2 i iY b b X u i i 1 i 2 i i i iY X b 1 X b X 1 X u X

1 i 2 i b 1 X b v

22 2 2 2 2 2i i i i i i2

i

1E v E u X 1 X E u X

X


3 .HAL: 2 2 2i i iE u X

i 1 2 i iY b b X u

i i 1 i 2 i i i iY X b 1 X b X 1 X u X

1 i 2 i i b 1 X b X v

22 2 2 2i i i i i i i iE v E u X 1 X E u 1 X X

4 .HAL: 22 2 2i i 0 1 iE u a a X


2 2 2i iE u f (X)

2

0 1 i 0 1 if X a a X a a X

i 1 2 i iY b b X u 0 1 ia a X bölünür

5 .HAL: 22 2 2i i iE u E Y


i 1 2 i iY b b X u

i i 1 i 2 i i i iY E Y b E Y b X E Y u E Y

1 i 2 i i i b 1 E Y b X E Y v

UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir.

Aile Sayısı Y X u Aile Sayısı Y X u1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.254122 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.742473 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.410324 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.493135 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.111646 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.469337 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.908188 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.488419 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352

10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.3055611 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.1414212 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.230113 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.7609414 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.5693815 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.5137316 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482

56

1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER

i iln Y 0.2546 0.5742ln X

t (1.5691) (8.1077)

prob (0.1271) (0.0000)

2R 0.6866

22ln e 0.0472 0.0123ln Y 2R 0.0178

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1: b 0

s.d.=2-1=1 2tab=3.84146

LM= n.Ry2 = 32(0.0178) = 0.5696

LM < 2tab H0 hipotezi reddedilemez.

2 .HAL: 2 2 2 2i i iE u X

i i iY X 1.277 1 X 0.3652

t (5.151) (8.109)

prob (0.000) (0.000)

2R 0.4694

22e 0.0118 0.0297Y 2R 0.0509

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1: b 0

s.d.=2-1=1 2tab=3.84146

LM= n.Ry2 = 32(0.0509) = 1.6288


3 .HAL: 2 2 2i i iE u X

i i i iY X 22.246 1 X 8.3144 X

t (-4.686) (15.337)

prob (0.001) (0.000)

2R 0.7938

22e 2.7482 0.0749Y 2R 0.2365

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1: b 0

s.d.=2-1=1 2tab=3.84146

LM= n.Ry2 = 32(0.2365) = 7.568

LM > 2tab H0 hipotezi reddedilebilir.

5 .HAL: 22 2 2i i iE u E Y

i ii i i

1 1Y E Y 1.839 0.292

E Y X E Y

t (5.2630) (7.4167)

prob (0.0000) (0.0000)

2R 0.0442

22e 0.0439 0.1182Y 2R 0.0290

1.Aşama

2.Aşama = 0.05

3.Aşama

4.Aşama

H0: b = 0

H1: b 0

s.d.=2-1=1 2tab=3.84146

LM= n.Ry2 = 32(0.0290) = 0.928


Sabit Varyans

Documents