S3: Números complejos , números realesquieroaprobarmatematicas.com/ETSII/Matematicas I/nuevo/Problem… · Definición de la forma polar Todo número complejo ≠ r puede escribirse

S3: Números complejos , números reales Cada número complejo se corresponde con un punto en el plano. Este punto puede estar definido en coordenadas cartesianas (figura 1) o en coordenadas polares (figura 2)

𝑋

𝑌

(𝑥, 𝑦)

𝑥

𝑦

Figura 1 Coordenadas cartesianas

𝑋

𝑌

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

Figura 2 Coordenadas polares

𝑥

𝑦 𝑟 𝜃 𝑧 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

tg 𝜃 =𝑦

𝑥⟹ 𝜃 = arctg

𝑦

𝑥

𝑥 = 𝑟cos 𝜃 = 𝑧 cos (𝜃) 𝑦 = 𝑟sen 𝜃 = 𝑧 sen(𝜃)

Definición del argumento de 𝒛 Llamaremos argumento del número complejo 𝑧 ≠ 0, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 y lo representaremos por 𝐚𝐫𝐠 𝒛 , a cualquier número real 𝜃 que cumple:

𝑥 = 𝑟cos 𝜃 = 𝑧 cos (𝜃) 𝑦 = 𝑟sen 𝜃 = 𝑧 sen(𝜃)

OBSERVACIONES I) 𝜃 no es único porque al ser 𝜃 un ángulo, si cumple las ecuaciones anteriores también lo cumplirán 𝜃 + 2𝜋𝑘, para cualquier 𝑘 ∈ ℤ. II) 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑧 cos 𝜃 + 𝑖 𝑧 sen 𝜃 = 𝑧 cos 𝜃 + 𝑖sen(𝜃) .

III) Representaremos a 𝑧 = 𝑧 cos 𝜃 + 𝑖sen(𝜃) por la expresión 𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃

Definición de la forma polar Todo número complejo 𝑧 ≠ 0 puede escribirse en la forma

𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃 donde 𝑒𝑖𝜃 representa a cos 𝜃 + 𝑖sen(𝜃) .

La función 𝑒𝑖𝜃 representa a la conocida función exponencial. Con las propiedades:

𝑒𝑖𝛼𝑒𝑖𝛽 = 𝑒𝑖 𝛼+𝛽

𝑒𝑖𝛼

𝑒𝑖𝛽= 𝑒𝑖 𝛼−𝛽

Con tres casos particulares a destacar: 𝑒𝑖∗0 = 1

𝑒𝑖𝜋 = −1

𝑒𝑖𝛼 𝑛= 𝑒𝑖𝑛𝛼 para ∀𝑛 ∈ ℤ

Podemos multiplicar , dividir a los números complejos mediante la forma polar:

Sean 𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝛼 y 𝑤= 𝑤 𝑒𝑖𝛽 dos números complejos , entonces :

Su producto es 𝑧𝑤 = 𝑧𝑤 𝑒𝑖 𝛼+𝛽

Su cociente es 𝑧

𝑤=

𝑧 𝑒𝑖𝛼

𝑤 𝑒𝑖𝛽 =𝑧

𝑤𝑒𝑖 𝛼−𝛽

También podemos calcular mediante la forma polar la potencia enésima de un número complejo 𝑧:

𝑧𝑛 = 𝑧 𝑒𝑖𝛼 𝑛= 𝑧 𝑛𝑒𝑖𝑛𝛼

Definición de la raíz 𝒏-ésima Un número complejo 𝑤 es una raíz enésima de otro número complejo 𝑧 ≠ 0 si se cumple que 𝑤𝑛 = 𝑧, 𝑛 ∈ ℕ

Ejemplo 1 Vamos a calcular la raíz cúbica de −8.

Solución

Sabemos que −2 3 = −8 , luego −2 es raíz cubica de − 8. Si se tratará de números reales sería la única raíz cubica. Pero como estamos tratando con números complejos hay más raíces, que encontraremos siguiendo el siguiente procedimiento:

Escribimos el número complejo en su forma polar 𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃:

𝑧 = −8 + 𝑖 ∗ 0 ⇒ 𝑧 = −8 2 + 02 = 8

𝑧 = −8 2 + 02 = 8

𝜃 = 𝜋 ⟹ 𝑧 = 8𝑒𝑖𝜋

𝑋

𝑌

𝑥 = −8

Figura 3

𝜃 = 𝜋

Buscamos un número complejo 𝑤= 𝑤 𝑒𝑖𝛼 tal que 𝑤 = 𝑧3 o lo que es igual a 𝑤3 = 𝑧, es decir:

𝑤 𝑒𝑖𝛼 3= 8𝑒𝑖𝜋 ⟺ 𝑤 3𝑒𝑖3𝛼 = 8𝑒𝑖𝜋 ⟺ 𝑤 3 = 8

3𝛼 = 𝜋 + 2𝜋𝑘para cualquier 𝑘 ∈ ℤ.

𝑤 3 = 83𝛼 = 𝜋 + 2𝜋𝑘

para cualquier 𝑘 ∈ ℤ.

Entonces:

𝑤 3 = 8 ⟹ 𝑤 = 83

= 2

𝛼 =𝜋

3+

2𝜋𝑘

3, 𝑘 ∈ ℤ

ℤ = −∞ − ⋯ − 3, −2, −1,0, 1 2, 3, … ∞

Demos valores a 𝑘 y calculemos, descubriremos que solo hay 3 que no se repiten

𝒌 = 𝟎: 𝛼0 =𝜋

3+

2𝜋∗0

3=

𝜋

3

𝒌 = 𝟏: 𝛼1 =𝜋

3+

2𝜋

3=

3𝜋

3= 𝜋

𝒌 = 𝟐: 𝛼2 =𝜋

3+

4𝜋

3=

5𝜋

3

= 300° = −60° = 𝛼−1

𝒌 = 𝟑: 𝛼3 =𝜋

3+

6𝜋

3=

7𝜋

3= 𝛼0

𝒌 = −𝟏: 𝛼−1 =𝜋

3−

2𝜋

3= −

𝜋

3

𝒌 = −𝟐: 𝛼−2 =𝜋

3−

4𝜋

3= −

3𝜋

3= −𝜋 = 𝛼1

𝒌 = −𝟑: 𝛼−3 =𝜋

3−

6𝜋

3= −

5𝜋

3= 𝛼0

𝒌 = 𝟒: 𝛼3 =𝜋

3+

8𝜋

3=

9𝜋

3= 3𝜋 = 𝛼1

𝒌 = −𝟒: 𝛼−4 =𝜋

3−

8𝜋

3= −

7𝜋

3= 𝛼−1

𝛼−1 = −𝜋

3= −60°

𝑋

𝑌 Figura 4

𝛼2 =5𝜋

3=

5 ∗ 180°

3= 300° = 270° + 30° = 𝛼−1

60°

30°

𝑥 = −2

420° = 360° + 60°

−300° = 60°

−420° = −60°

𝒌 = 𝟎: 𝛼0 =𝜋

3+

2𝜋∗0

3=

𝜋

3

𝒌 = 𝟏: 𝛼1 =𝜋

3+

2𝜋

3= 𝜋

𝒌 = −𝟏: 𝛼−1 =𝜋

3−

2𝜋

3= −

𝜋

3

𝑋

𝑌 Figura 5

−2 2

𝑤0

𝑤1

𝑤2

𝑤0 = 2𝑒𝑖𝜋3 = 2 cos

𝜋

3+ 𝑖sen

𝜋

3= 2

1

2+ 𝑖

3

2= 1 + 𝑖 3

𝑤1 = 2𝑒𝑖𝜋 = 2 cos 𝜋 + 𝑖sen 𝜋 = 2 −1 + 𝑖 ∗ 0 = −2

𝑤2 = 2𝑒−𝑖𝜋3 = 2 cos −

𝜋

3+ 𝑖sen −

𝜋

3= 2

1

2− 𝑖

3

2= 1 − 𝑖 3

P1) Calcula las potencias que se indican, efectuando las operaciones en forma polar, y expresando el resultado en forma binómica:

Solución

a) Primero expresamos el número complejo en su forma polar :

𝑧 = −2 + 2 3𝑖 ⟹ 𝑧 = −2 2 + 2 32

= 4 + 12 = 4

sen 𝜃 =𝑦

𝑧=

2 3

4=

3

2, cos 𝜃 =

𝑥

𝑧=

−2

4= −

1

2⟹ 𝜃 = 120° =

2𝜋

3

𝑥 = 𝑟cos 𝜃 = 𝑧 cos (𝜃) 𝑦 = 𝑟sen 𝜃 = 𝑧 sen(𝜃)

tg 𝜃 =𝑦

𝑥⟹ 𝜃 = arctg

𝑦

𝑥

a) −2 + 2 3𝑖6

b) 1−𝑖

1+ 3𝑖

10

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃

𝑧 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

Entonces:

𝑧 = 4𝑒2𝜋𝑖

3 ⟹

𝑧6 = 4𝑒2𝜋𝑖

3

6

= 46𝑒12𝜋𝑖

3 = 46𝑒4𝜋𝑖 = 46 cos 4𝜋 + 𝑖sen(4𝜋 ) = 46

b) 𝟏−𝒊

𝟏+ 𝟑𝒊

𝟏𝟎 Primero expresamos el número complejo en su forma polar :

𝑧 =1 − 𝑖

1 + 3𝑖=

1 − 𝑖

1 + 3𝑖×

1 − 3𝑖

1 − 3𝑖=

1 − 3 − 𝑖 − 3𝑖

1 + 3=

1 − 3

4−

1 + 3

4𝑖

𝑧 =1 − 3

4

2

+ −1 + 3

4

2

=1 − 2 3 + 3 + 1 + 2 3 + 3

42 =8

4=

2

2

sen 𝜃 =𝑦

𝑧=

−1 + 3

4

22

= −1 + 3

2 2, cos 𝜃 =

𝑥

𝑧=

1 − 34

22

=1 − 3

2 2

El seno y el coseno son negativos, luego el ángulo esta en el tercer cuadrante. Calculamos el seno en el primer cuadrante y utilizaremos que sen 180° + 𝛼 = −sen 𝛼 :

sen 𝛼 =1+ 3

2 2= 0.9659 ⟹ 𝛼 = 75° =

5𝜋

12 ⟹ 𝜃 = 𝛼 + 𝜋 =

17𝜋

12= 255°

Si lo queremos negativo sería 𝜃 = −360° + 255° = −105° = −𝜋

2−

𝜋

12= −

7𝜋

12

Entonces:

𝑧 =2

2𝑒−

7𝜋𝑖

12 ⟹

𝑧10 = =2

2𝑒−

7𝜋𝑖12

10

=25

210𝑒−

70𝜋𝑖12 =

1

32𝑒−

35𝜋𝑖6 =

1

32cos −

35𝜋

6+ 𝑖sen −

35𝜋

6

−35𝜋

6= −1050° = −720° − 330° → Si quitamos las vueltas, el ángulo está en el primer

cuadrante (figura 6), y como:

sen −360° + 𝛼 = sen 𝛼 → sen −360° + 30° = sen 30° = sen𝜋

6=

1

2

cos −360° + 𝛼 = cos 𝛼 → cos −360° + 30° = cos 30° = cos𝜋

6=

3

2

Finalmente:

𝑧10 =1

32cos

𝜋

6+ 𝑖sen

𝜋

6=

1

32

3

2+

1

2𝑖 =

3

64+

1

64𝑖

𝑋

𝑌

Figura 6

30°

−330°

𝐍𝐎𝐓𝐀 Si tomamos el ángulo positivo 𝜃 =17𝜋

12, obtenemos que 𝑧10 =

1

32𝑒

170𝜋𝑖

12 =1

32𝑒

𝜋

6𝑖∗

*Porque 170𝜋

12= 2550° → si quitamos las vueltas (2550°=360°*7+30°)→

𝜋

6 y obtenemos el

mismo resultado.

P2)

a) Calcula las raíces cuadradas de 2 − 2 3𝑖

Solución

a) Primero expresamos el número complejo en su forma polar :

𝑧 = 2 − 2 3𝑖 ⟹ 𝑧 = 2 2 + −2 32

= 4 + 12 = 4

sen 𝜃 =𝑦

𝑧=

−2 3

4= −

3

2, cos 𝜃 =

𝑥

𝑧=

2

4=

1

2⟹ 𝜃 = 300° =

3𝜋

2+

𝜋

6=

5𝜋

3,

o si lo queremos negativo 𝜃 = −

𝜋

3

Entonces:

𝑧 = 4𝑒5𝜋𝑖

3 , sea 𝑤 = 𝑤 𝑒𝑖𝛼 ⟹ 𝑤2 = 𝑤 2𝑒2𝛼𝑖 , y como 𝑤2 = 𝑧 ⟹ 𝑤 2𝑒2𝛼𝑖 = 4𝑒5𝜋𝑖

3 ⟹

𝑥 = 𝑟cos 𝜃 = 𝑧 cos (𝜃) 𝑦 = 𝑟sen 𝜃 = 𝑧 sen(𝜃)

𝑧 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

tg 𝜃 =𝑦

𝑥⟹ 𝜃 = arctg

𝑦

𝑥

𝑤 = 4 = 2

2𝛼 =5𝜋

3+ 2𝜋𝑘, donde 𝑘 = 0,1.

𝛼 =5𝜋

6+ 𝜋𝑘, donde 𝑘 = 0,1.

𝑘 = 0: 𝛼0 =5𝜋

6 𝑘 = 1: 𝛼1 =

5𝜋

6+ 𝜋 =

11𝜋

6= 330°, o −30° = −

𝜋

6

Por lo tanto las raíces cuadradas son:

𝑤0 = 2𝑒5𝜋6 𝑖 = 2 cos

5𝜋

6+ 𝑖sen

5𝜋

6= 2 −

3

2+

1

2𝑖 = − 3 + 𝑖

𝑤1 = 2𝑒−𝜋6𝑖 = 2 cos −

𝜋

6+ 𝑖sen −

𝜋

6= 2

3

2−

1

2𝑖 = 3 − 𝑖

P3) Calcula las raíces cúbicas de −𝑖

Solución

𝑥 = 𝑟cos 𝜃 = 𝑧 cos (𝜃) 𝑦 = 𝑟sen 𝜃 = 𝑧 sen(𝜃)

𝑧 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

tg 𝜃 =𝑦

𝑥⟹ 𝜃 = arctg

𝑦

𝑥

Primero expresamos el número complejo en su forma polar :

𝑧 = 0 − 𝑖 ⟹ 𝑧 = 0 2 + −1 2 = 1 = 1

sen 𝜃 =𝑦

𝑧=

−1

1= −1, cos 𝜃 =

0

𝑧=

0

1= 0 ⟹ 𝜃 = 270° =

3𝜋

2,

o si lo queremos negativo 𝜃 = −𝜋

2

Entonces:

𝑧 = 𝑒3𝜋𝑖

2 , sea 𝑤 = 𝑤 𝑒𝑖𝛼 ⟹ 𝑤3 = 𝑤 3𝑒3𝛼𝑖 , y como 𝑤3 = 𝑧 ⟹ 𝑤 3𝑒3𝛼𝑖 = 𝑒3𝜋𝑖

2 ⟹

𝑤 = 13

= 1

3𝛼 =3𝜋

2+ 2𝜋𝑘, donde 𝑘 = 0,1,2.

𝛼 =𝜋

2+

2𝜋𝑘

3, donde 𝑘 = 0,1,2. 𝑘 = 0: 𝛼0 =

𝜋

2

𝑘 = 1: 𝛼1 =𝜋

2+

2𝜋

3=

7𝜋

6= 210° 𝑘 = 2: 𝛼1 =

𝜋

2+

4𝜋

3=

11𝜋

6= 330°

Por lo tanto las tres raíces cubicas son:

𝑤0 = 𝑒𝜋2𝑖 = cos

𝜋

2+ 𝑖sen

𝜋

2= 0 + 𝑖 = 𝑖

𝑤1 = 𝑒7𝜋

6𝑖 = cos

7𝜋

6+ 𝑖sen

7𝜋

6= −

3

2−

1

2𝑖

𝑤2 = 𝑒11𝜋

6𝑖 = cos

11𝜋

6+ 𝑖sen

11𝜋

6=

3

2−

1

2𝑖

P6) Calcula los ceros de 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 16 ∈ ℂ y factoriza 𝑝 𝑥 como producto de polinomios

irreducibles en ℂ. A continuación factoriza 𝑝 𝑥 como producto de polinomios irreducibles en ℝ.

𝑥4 + 16 = 𝑥2 − 4𝑖 𝑥2 + 4𝑖

𝑥2 − 4𝑖 = 𝑥 − 2 𝑖 𝑥 + 2 𝑖

Vamos a necesitar valorar 𝑖. Para calcularlo hacemos ( ver pagina siguiente):

𝑖 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ⇔ 𝑖 = 𝑎2 − 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑖 ⇔ 𝑎2 = 𝑏2, ⇔ 𝑎 = 𝑏 ⇔ 2𝑎𝑏 = 1 ⇔ 𝑎 =1

2=

2

2

(NOTA 𝒂 = −𝒃 conduce a la misma solución)

= 𝑥 − 2 − 𝑖 2 𝑥 + 2 + 𝑖 2

𝑖 =2

2+

2

2𝑖 ⇒ 2 𝑖 = 2 + 𝑖 2

𝑥2 + 4𝑖 = 𝑥 − 2𝑖 𝑖 𝑥 + 2𝑖 𝑖

= 𝑥 − 𝑖 2 − 𝑖2 2 𝑥 + 𝑖 2 + 𝑖2 2

= 𝑥 + 2 − 𝑖 2 𝑥 − 2 + 𝑖 2

Descomposición en ℂ:

𝒙𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝑥 − 2 − 2𝑖 𝑥 + 2 + 2𝑖 𝑥 + 2 − 𝑖 2 𝑥 − 2 + 𝑖 2

Para la descomposición en ℝ reagrupamos el primer término con el cuarto y el segundo con el tercero:

𝒙𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝑥 − 2 − 𝑖 2 𝑥 − 2 + 𝑖 2 𝑥 + 2 + 𝑖 2 𝑥 + 2 − 𝑖 2

𝑥 − 22

− 𝑖 22

𝑥 + 22

− 𝑖 22

= 𝑥2 − 2 2𝑥 + 4 𝑥2 + 2 2𝑥 + 4

𝑖 = 𝑎 + 𝑖𝑏. Esta ecuación significa que el número complejo 𝑖 se puede escribir con una parte real y una imaginaria que no conocemos y queremos calcular (Definición de número complejo).

Como no conozco los valores de 𝑎 y de 𝑏 y como 𝑖 = 𝑖1

2 , si elevo al cuadrado los miembros de igualdad siguiente obtengo:

𝑖 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ⟺ 𝑖1

2

2

= 𝑎 + 𝑖𝑏 2 ⟺ 𝑖 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2

El lado izquierdo de la igualdad es:

𝑖12

2

= 𝑖 = 0 + 1 ∗ 𝑖

(Un numero complejo con parte real igual a cero y parte imaginaria igual a 1).

El lado derecho de la igualdad es: (𝑎2 − 𝑏2) + 2𝑎𝑏𝑖

Un numero complejo con parte real igual a (𝑎2 − 𝑏2) y parte imaginaria igual a 2𝑎𝑏

Igualando: 0 + 1 ∗ 𝑖 = (𝑎2−𝑏2) + 𝑖(2𝑎𝑏)

La igualdad anterior nos dice que el número complejo de la izquierda para ser igual al número complejo de la derecha se debe cumplir que:

(𝑎2 − 𝑏2)=0 y 2𝑎𝑏 = 1