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Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION
MATHEMATIQUES
Semestre 1
________ Calcul et analyse ________
COURS
Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section DUT Maths S1.
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SOMMAIRE
1 POURCENTAGES ET INDICES 3
1.1 PROPORTIONNALITE 3
1.2 INDICES 4
1.3 TAUX ET POURCENTAGES 5
2 MATHEMATIQUES FINANCIERES 8
2.1 CONTEXTE 8
2.2 LES INTERETS SIMPLES 9
2.3 LES INTERETS COMPOSES 10
2.4 LES EMPRUNTS INDIVIS 12
3 METHODES DU 1ER DEGRE 14
3.1 PRESENTATION ET RESULTATS 14
3.2 SYSTEMES D’EQUATIONS 16
4 1ER DEGRE : INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE 17
4.1 MISE EN EQUATION DES CONTRAINTES 17
4.2 REPRESENTATION GRAPHIQUE - POLYGONE DES CONTRAINTES 18
1.2.2 Compléments : définition et propriétés (non exigible) Un indice est un rapport entre deux valeurs Pi et P0 prises aux époques i et 0 afin de mesurer l’évolution d’un
phénomène dans le temps. Les indices synthétiques permettent de combiner l’évolution simultanée de
plusieurs phénomènes.
Indice simple ou indice élémentaire
Un indice est dit élémentaire lorsqu’il ne concerne qu’un seul phénomène.
Soient Pi et P0 deux valeurs prises aux époques i et 0, Ii/0 = Pi
P0.
Ii/0 est l’indice de la valeur P à l’époque i par rapport à l’époque 0 (base).
Il arrive qu’on exprime ce ratio en pourcentage, il suffit donc de le multiplier par 100. Dans ce cas, on dit
que la base 100 est à l’époque 0 et les indices suivants seront appelés « pourcentages ».
Indice synthétique
Un indice synthétique permet de mesurer l’évolution de plusieurs grandeurs simultanément. Cela revient
à calculer la moyenne des différents indices simples des différentes grandeurs.
L’élaboration d’un indice synthétique pose deux problèmes :
- Le choix d’une moyenne : la moyenne arithmétique est la plus utilisée
- Le choix de la pondération : pour tenir compte de l’importance du poids de chaque composante dans
l’ensemble des grandeurs, on pondère les indices élémentaires par un coefficient (quantités pour
calculer un indice de prix…). En définitive, il existe un grand nombre de pondérations. On n’en
présentera que deux ici :
* Méthode de Laspeyres : les poids sont choisis à l’époque 0
* Méthode de Paasche : les poids sont choisis à l’époque 1
Indices Laspeyres Paasche
Des prix LP(1/0) = Σ (P1 Q0)
Σ (P0 Q0) PP(1/0) =
Σ (P1 Q1)
Σ (P0 Q1)
Des quantités LQ(1/0) = Σ (Q1 P0)
Σ (Q0 P0) PQ(1/0) =
Σ (Q1 P1)
Σ (Q0 P1)
Propriétés
- La transférabilité : Elle permet de changer de base très facilement : I2/0 = I2/1 × I1/0
- La réversibilité : Elle permet de transférer l’indice sous une autre forme : I1/0 = 1
I0/1
- La circularité : Elle découle des deux propriétés précédentes : I2/0 × I0/1 × I1/2 = 1
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1.3 Taux et pourcentages
1.3.1 Taux et pourcentages fixes
* Le taux d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le rapport t = v
V .
Taux de 20 par rapport à 25 : 20/25 = 0,8 = 80%
Taux de 50 par rapport à 48 : 50/48 ≈ 1,042 = 104,2%
Taux de 8 par rapport à 32 : 8/32 = 0,25 = 25% (exercice 3)
Taux de 56 par rapport à 28 : 56/28 = 2 = 200%
* Le "symbole" % :
« % » signifie « /100 » ; c’est une opération.
La conversion d’un rapport en une fraction sur 100, par exemple : 20/25 = 0,8 = 80/100 est extrêmement
courante depuis longtemps, et l’écriture manuelle souvent rapide de cette division par 100 s’est déformée
au fil des siècles jusqu’à ce que l’un des zéros de 100 se retrouve du mauvais côté du trait de fraction et
que le 1 de 100 disparaisse.
Dire 80%, c’est donc dire 80/100, c’est-à-dire : 80% = 0,8.
* Pourcentage fixe :
Le pourcentage d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le nombre p = 100 100× = ×vt
V .
pourcentages…
de 20 par rapport à 25 : 80 de 50 par rapport à 48 : 104,2
de 8 par rapport à 32 : 25 de 56 par rapport à 28 : 200
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* Pourcentage fixe et proportion :
Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est :
calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100.
Les listes (v ; V) et (p ; 100) sont proportionnelles.
Exemple :
valeur pourcentage
testée 20 80
référence 25 100
" 20 représente 80 % de 25 ".
valeur pourcentage
testée 50 104,2
référence 48 100
" 50 représente 104,2 % de 48 ".
valeur pourcentage
testée 8 25
référence 32 100
" 25 % de 32 valent 8 ".
valeur pourcentage
testée 56 200
référence 28 100
" 200 % de 28 valent 56 ".
1.3.2 Taux et pourcentages de variation
On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2.
La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale.
La variation est égale à v2 - v1.
Le taux de variation est le nombre v v
v
−2 1
1
(le pourcentage vaut cent fois le taux).
Taux de variation de 20 vers 25 : , %25 20 5
0 25 2520 20
− = = = +
Taux de variation de 50 vers 48 :
, %48 50 2
0 04 450 50
− −= = − = −
Taux de variation de 28 vers 56 : %56 28 28
1 10028 28
− = = = +
Taux de variation de 56 vers 28 : , %28 56 28
0 5 5056 56
− −= = − = −
* Pourcentage de variation et proportion :
tableau de proportion mettant en rapport : * la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale
Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ?
valeur pourcentage
valeur initiale (référence) 35 100
variation -14 -40
valeur finale 21 60
"La remise vaut 14€ et le prix soldé est 21€. Le prix soldé représente 60% du prix initial."
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* Coefficient multiplicateur :
Augmenter une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul :
v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.
Mais comme % signifie /100 : ( )2 1 1 11 1100
= + × = + × = ×
pv v t v c v
Diminuer une valeur v1 de p%, nous donne une valeur v2 : ( )2 1 1 11 1100
= − × = − × = ×
pv v t v c v
On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation p à une valeur, pour la diminuer ou pour
l'augmenter, revient à la multiplier par un coefficient c.
Exemples :
1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à
19,6%. Quel sera le montant TTC de la facture ?
,, , , , €2 1
19 61 1 248 5 1 196 248 5 297 21
100 100
= + × = + × = × ≈
pv v
2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans
la remise ?
,2 1 1 1
151 1 0 85
100 100
= − × = − × = ×
pv v v v , donc
,, €
, ,
21
71 2583 82
0 85 0 85= = ≈v
v .
* Variations successives et taux moyen :
Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté
à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.
1. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date.
% , , %
, , %
12 23
34
96 32 64 140 96 442 200 0 4583 45 83
32 32 96 96
40 140 1000 7143 71 43
140 140
− −= = = = + = = ≈ = +
− −= = ≈ − = −
t t
t
2. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4.
, %14
40 32 80 25 25
32 32
−= = = = +t
3. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?
On recherche un taux de variation tM qui, appliqué trois fois de suite à partir de 32,
nous fasse obtenir 40 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
, , ,
3 3
1
33
32 1 1 1 40 32 1 40 1 1 25
1 1 25 1 25 1 07722
× + × + × + = ⇔ × + = ⇔ + =
⇔ + = = ≈
M M M M M
M
t t t t t
t
Donc tM = 0,07722 = 7,722%.
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2 Mathématiques financières
2.1 Contexte
2.1.1 Introduction
La valeur de l’argent évolue dans le temps ; en général : un euro aujourd’hui vaut moins qu’un euro dans le
passé (il y a la plupart du temps inflation des prix). D’autre part, il est possible de faire fructifier une somme
déposée sur un compte, dont le montant augmente donc avec le temps. Enfin, un montant emprunté sera
remboursé avec suppléments. Bref, que ce soit « naturellement » ou « artificiellement », une somme
d’argent évolue avec le temps.
Les mathématiques financières présentent les façons dont on peut calculer l’évolution d’un montant (placé
ou à rembourser). On ne pourra mentionner un montant qu’en faisant clairement référence à la période à
laquelle on se place et on ne pourra comparer deux montants que si on les exprime à la même période.
2.1.2 Intérêts
Les créanciers prêtent des capitaux contre une rémunération : les intérêts, ce que l’on rembourse en plus
du capital emprunté. Nous percevons également des intérêts lorsque nous plaçons notre argent sur un
produit bancaire qui rapporte un certain taux d’intérêts (périodique). Les intérêts augmentent bien entendu
avec la durée : plus nous mettons longtemps à rembourser un emprunt, plus nous payons d’intérêts
(suppléments par rapport à la somme empruntée) ; plus nous laissons de temps à l’argent que nous avons
placé sur un compte rémunéré, plus nous gagnons d’intérêts (suppléments par rapport à la somme placée).
2.1.3 Actualisation et capitalisation
Le fait de « gagner » de l’argent en déposant une somme sur un compte s’appelle la capitalisation d’une
somme. Le fait de calculer quelle somme il faudrait placer actuellement pour obtenir un montant désiré au
bout d’une certaine durée s’appelle l’actualisation : on cherche la valeur actuelle de la somme désirée.
2.1.4 Mesure du temps
Par convention, une année se compose de 360 jours, partagés en 12 mois de 30 jours. Par exemple, un
placement effectué du 1er février 2015 au 31 juillet 2016 est financièrement parlant un placement de 18
mois, soit 540 jours, ou encore 1,5 année – alors qu’en réalité ce placement a duré 547 jours, soit 547/365e
de l’année.
Cependant, pour des opérations relevant de durées inférieures à un an (typiquement : prêts courts, reports
de paiement en calculs d’intérêts simples), le nombre de jours qui séparent la date de placement de la date
de versement est calculé en comptant le nombre réel de jours (jours calendaires), le premier jour n’est pas
pris en compte et le dernier jour est pris en compte entièrement.
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2.2 Les intérêts simples
La rémunération d’une somme déposée sur un compte est dite à intérêts simples lorsque tout au long du
placement ceux-ci sont calculés uniquement sur la valeur du capital de départ placé. Lorsqu’une durée n
s’est écoulée depuis le début du remboursement, le montant total des intérêts simples payés est
proportionnel à n (on parle de prorata temporis).
Les intérêts simples sont utilisés pour des placements ou des prêts de courte durée, en général : moins
d’un an ; ils sont souvent réglés en une fois en début ou en fin de période.
Attention : lorsqu’une période courte est mise en jeu, le nombre de jours réel doit être pris en compte !
Notons : C0 le capital emprunté ou placé initialement
t le taux d’intérêts annuel
n la durée de remboursement ou de placement
2.2.1 Calcul de l’intérêt simple : I
n en années : I = C0×t×n n en jours : I = C0×t×360
n
2.2.2 Valeur acquise d’un capital placé à intérêts simples : Cn
Valeur acquise = valeur totale, notée le plus souvent Cn
si n est donné en années : Cn = C0 + i = C0(1 + nt)
2.2.3 Valeur actuelle d’un capital :
C’est la somme C0 que l’on doit placer aujourd’hui pour obtenir Cn dans n années.
On a immédiatement : C0 = n
C
nt+1 .
« Actualiser » un montant, c’est déterminer sa valeur actuelle.
2.2.4 Taux proportionnels
En intérêts simples, un taux annuel t correspond par exemple à deux taux semestriels t/2.
(placer 1000 € pendant un an au taux d’intérêts de 8% annuels revient au même que de placer 1000 €
pendant un an à 4% semestriels – cela ne sera plus vrai en intérêts composés !).
En effet, au bout de six mois, n = 1/2 année ; ainsi, un capital placé C0 aura rapporté en intérêts la somme
I = C0×t×1/2, soit la moitié des intérêts qu’il rapporterait en un an.
On peut déduire de ce principe que les intérêts accumulés ou payés sont proportionnels à la durée et que le
taux correspondant l’est aussi, bien entendu.
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2.3 Les intérêts composés
Un capital est dit placé ou rémunéré à intérêts composés lorsque les intérêts s’ajoutent périodiquement au
capital actuel pour constituer le capital de la période suivante et pour générer à leur tour des intérêts.
On parle alors de capitalisation.
Ils sont utilisés dans le cas d’emprunts ou de placements à moyen et long terme.
2.3.1 Valeur acquise d’un capital placé à intérêts composés : Cn
Notons : C0 le capital emprunté ou placé initialement
t le taux d’intérêts annuel
n la durée de remboursement ou de placement, ici en années
Expliquons le processus en détail, période après période, sur l’exemple d’un placement :
# année
(= période)
Capital de début
d’année Intérêts de l’année Capital de fin d’année