Kaedah Runge-Kutta Bab 25
Di akhir bab ini, anda sepatutnya:Boleh menjelaskan gambaran visual kaedahEuler, Heun dan titik tengahFaham hubungan antara kaedah Euler dan siri Taylor dan ralat yang berkaitanDapat membezakan ralat (local & global truncation errors)Tahu bentuk umum kaedah Runge_Kutta; faham terbitan peringkat kedua kaedah RK dan bagaimana ia dikaitkan dengan siri Taylor dan faham terdapat pelbagai versi kaedah RK peringkat kedua dan lebih tinggi
Di akhir bab ini, kamu sepatutnya:Tahu bagaimana untuk menggunakan mana-mana kaedah RK ke dalam persamaan sistem; boleh mengurangkan peringkat ke-n ODE ke dalam n sistem ODE peringkat pertama.
Kaedah Runge-Kutta
anggarancerun
Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa (ODE) dalam bentuk:
Untuk mendapatkan nilai y yang baru :
),( yxfdxdy
),( yxfdxdy
hyy ii 1 (25.1)
Daripada rajah, nilai cerun, pada xi
di mana merupakan persamaan pembezaan pada xi dan yi.Masukkan ke dalam persamaan (25.1):
),( ii yxf),( ii yxf
hyxfyy iiii ),(1 (25.2)
dikenali sebagi kaedah Euler atau
Euler-Cauchy
Dengan ralat
)(
atau!2
),('kecil,cukuphJika
)(...!2
),('
2
2
12
hOE
hyxfE
hOhyxfE
a
iia
niit (25.7)
(25.8)
(25.9)
ingat!penyelesaian sebenar:y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+1Contoh
Gunakan kaedah Euler untuk mengamirkan secara berangka fungsi berikut dari x =0 hingga x = 4 dengan saiz langkah 0.5.
Keadaan awal pada x = 0 adalah y = 1.
5.820122 23 xxxdxdy
Penyelesaian
Untuk langkah kedua:
25.5)5.0(5.81)5.0(5.85.8)0(20)0(12)0(2)1,0(
:0 x padacerunanggarandan1y(0)manadi5.0)1,0()0()5.0(
23
yf
fyy
875.55.05.8)5.0(20)5.0(12)5.0(225.5
5.0)25.5,5.0()5.0()1(23
fyy
*nilai sebenary(0.5)=3.21875
dengan ralat-2.03125(-63.1%)
ContohGunakan persamaan (25.7) untuk menganggar ralat pada persamaan di dalam contoh sebelum ini, seterusnya tentukan ralat yang disebabkan oleh siri taylor peringkat tinggi
Penyelesaian(1)
Oleh kerana fungsi adalah dalam bentuk polinomial, siri Taylor boleh digunakan untuk menentukan ralat menggunakan kaedah Euler.Menggunakan persamaan (25.7),
432
!4),('
!3),('
!2),(' hyxfhyxfhyxfE iiiiii
t
Penyelesaian(2)
03125.203125.05.05.2
03125.0)5.0(2412
5.0)5.0(6
24)0(12
5.2)5.0(2
20)0(24)0(6:peringkatpadaralatMaka
12),(
2412),(''20246),('
4,3,2,
44,
33,
22
2,
)3(
2
tttt
t
t
t
ii
ii
ii
EEEE
E
E
E
yxf
xyxfxxyxf
perhatikan nilai ralat yang didapati adalah tepat untuk langkah pertama
*perhatikan bagaimana siri Taylor dapat
menganggarkan ralat bagi kaedah Euler
Kesan pada pengurangan saiz langkah pada kaedah Euler
Gunakan kaedah Euler untuk mengamirkan secara berangka fungsi berikut dari x =0 hingga x = 4 dengan saiz langkah 0.25.
Keadaan awal pada x = 0 adalah y = 1.
5.820122 23 xxxdxdy
Menggunakan dua persamaan – penganggardan pembetul:
hyxfyxfyy
yxfyxfyy
yxfy
hyxfyy
yxfy
iiiiii
iiiiii
iii
iiii
iii
2),(),(
2),(),(
2''y'
:adalahcerunPurata),('
),(
seterusnyanilaimanadi),('
01
1
011
011
01
(25.12)
(25.13)
(25.14)persamaanpenganggar
persamaanpembetul
Contoh
Gunakan kaedah Heun dengan saiz langkah, h = 1, untuk mengamirkan persamaan
dari x = 0 hingga x = 4 dengan keadaan awal x = 0 dan y = 2.
yey x 5.04' 8.0
hyxfyy iiii ),(:penganggarPersamaan*
01Penyelesaian(1)
1. cerun pada (x0, y0) adalah2. Gunakan psn penganggar mencari y pada x = 1.0
3. Cari nilai y’1
4. Cari nilai purata y’
3)2(5.04' 00 ey
5)1(3201y
402164.6)5(5.04' )1(8.01 ey
701082.42402164.63'y
Kaedah Titik Tengah
Kaedah ini menggunakan kaedah Euler bagimencari titik tangah nilai y:
Bagi cerun pada titik tengah,
2),(2/1hyxfyy iiii (25.25)
),(' 2/12/12/1 iii yxfy (25.26)
Kaedah Titik Tengah
Cerun ini kemuadian digunakan untuk mencari nilai yi+1
hyxfyy iiii ),( 2/12/11
(25.27)
Kaedah Heun dengan pembetul tunggal
Dengan andaian a2 = ½, maka a1 = ½ danp1=q11=1.
di mana k1 = f(xi,yi) dan k2 = f(xi +0.5h, yi + 0.5k1h)
hkkyy ii 211 21
21
(25.36)
(25.36b)(25.36a)
Kaedah Titik Tengah (a2 = 1)
Dengan andaian a2 = 1, maka a1 = 0 danp1=q11=1/2.
di mana k1 = f(xi,yi) dan k2 = f(xi +h, yi + k1h)
hkyy ii 21 (25.37)
(25.37a)
(25.37b)
Kaedah Ralston ( a2 = 2/3 )Dengan andaian a2 = 2/3, maka a1 = 1/3 danp1=q11=3/4.
di mana k1 = f(xi,yi) dan k2 = f(xi +0.75h, yi + 0.75k1h)
(25.38)
(25.38a)
(25.38b)
hkkyy ii )32
31( 211
Contoh
Menggunakan kaedah titik tengah dan kaedah Ralston, kamirkan secara berangka:
dari x = 0 hingga x = 4 dengan saiz langkah 0.5. Keadaan awal adalah x = 0 dan y =1.
5.820122),( 23 xxxyxf
Penyelesaian(1)
Menggunakan kaedah titik tengah,
109375.3)5.0(21875.41)5.0(menganggaruntukdigunakanbolehgah titik tendicerun
21875.45.8)25.0(20)25.0(12)25.0(2
5.85.8)0(20)0(12)0(223
2
231
y
k
k
Penyelesaian(2)Menggunakan kaedah Ralston,
27734375.3)5.0(5546875.41)5.0(menganggaruntukdigunakanbolehmanayang
5546875.4)58203125.2(32)5.8(
31
puratacerundengan58203125.2
5.8)375.0(20)375.0(12)375.0(2 232
y
k
Kaedah Runge-Kutta peringkat ke-3
)2,(
)21,
21(
),(manadi
)4(61
213
12
1
3211
hkhkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
hkkkyy
ii
ii
ii
ii (25.39)
(25.39a)
(25.39b)
(25.39c)