tangenten 1/2005 1 Godt nyttår til alle dere som leser TANGEN- TEN. Det er kjekt å vite at det er langt over 3000 abonnenter nå som leser bladet. Like kjekt er det å se at vi også har mange engasjerte lesere som sender stoff til oss og som også påtar seg skriveoppgaver når redaksjonen ber om det. Vi kan være stolte av en slik dugnadsånd og et slikt felleskap. I desember skylte en ny bølge med resultater fra PISA- og TIMSS-undersøkelsen over oss, og mange er oppgitt over manglende fremgang trass iherdig innsats. Igjen ser Norge seg forbi- gått av Finland og mange andre land. Mange spør hvorfor? I analysen nå i etterkant ser vi stadig oftere at reformtempo, nye arbeids- former, skolens og lærernes autoritetstap blir nevnt som mulige forklaringer. Reformene har bidratt til en endring av elev- og lærerrollen som enkelte hevder har ført til dårligere mate- matikkunnskaper. Oppsummering og forkla- ring i timene gjennom en formidlende lærer er undervisningselementer på vikende front. Kan der være en sammenheng med dette og elevers manglende evne til å kunne strukturere isolerte kunnskapsbiter til et meningsfullt hele? Ut fra det finske utdanningssystemet kan det se ut til at en autoritetsheving gjennom større faglighet og større fagkompetanse hos lærerne kan være en vei å gå. Men hvordan får vi engasjerte, dyk- tige, kvalifiserte og interesserte lærere? Rune Herheim, som er nytt medlem i redak- sjonen for TANGENTEN, kommer med noen egne betraktninger omkring PISA- og TIMSS- studienes resultater og deres konsekvenser for vårt utdanningssystem. (Les side 2.) Også i dette heftet finner du en del bak- grunnsstoff om de nasjonale prøvene i mate- matikk. Kompetansebegrepet innen matema- tikk dannet en del av det didaktiske grunnlaget for utviklingen av prøvene. Mona Røsseland gir oss bakteppet for tenkningen bak de nasjo- nale prøvene i to artikler. Den første finner du i dette heftet. I neste hefte fortsetter hennes artikkel. År 2005 er også det første året Holmboepri- sen deles ut. Holmboeprisen er på sett og vis en ’spin-off’-effekt av Abelprisen. Prisen skal hedre stor innsats for matematikkfaget i skolen og premiere gode lærere eller gode lærerteam. Det er naturlig at Abel-komiteen ikke bare setter fokus på de store vitenskapelige, mate- matiske bragder, men også har undervisning og opplæringsdimensjonen med. Vi vet alle at vi kan lære mye av gode forbilder, og det gjel- der selvsagt også vårt fag. Det blir spennende å (fortsettes side 4)
72
Embed
Rune Herheim - Caspar Forlag AScaspar.no/tangenten/2005/t2005-1.pdf · en vei å gå. Men hvordan får vi engasjerte, dyk-tige, kvalifiserte og interesserte lærere? Rune Herheim,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
tangenten 1/2005 1
Godt nyttår til alle dere som leser TANGEN-
TEN. Det er kjekt å vite at det er langt over
3000 abonnenter nå som leser bladet. Like
kjekt er det å se at vi også har mange engasjerte
lesere som sender stoff til oss og som også påtar
seg skriveoppgaver når redaksjonen ber om
det. Vi kan være stolte av en slik dugnadsånd
og et slikt felleskap.
I desember skylte en ny bølge med resultater
fra PISA- og TIMSS-undersøkelsen over oss,
og mange er oppgitt over manglende fremgang
trass iherdig innsats. Igjen ser Norge seg forbi-
gått av Finland og mange andre land. Mange
spør hvorfor? I analysen nå i etterkant ser vi
stadig oftere at reformtempo, nye arbeids-
former, skolens og lærernes autoritetstap blir
nevnt som mulige forklaringer. Reformene har
bidratt til en endring av elev- og lærerrollen
som enkelte hevder har ført til dårligere mate-
matikkunnskaper. Oppsummering og forkla-
ring i timene gjennom en formidlende lærer er
undervisningselementer på vikende front. Kan
der være en sammenheng med dette og elevers
manglende evne til å kunne strukturere isolerte
kunnskapsbiter til et meningsfullt hele? Ut fra
det finske utdanningssystemet kan det se ut til
at en autoritetsheving gjennom større faglighet
og større fagkompetanse hos lærerne kan være
en vei å gå. Men hvordan får vi engasjerte, dyk-
tige, kvalifiserte og interesserte lærere?
Rune Herheim, som er nytt medlem i redak-
sjonen for TANGENTEN, kommer med noen
egne betraktninger omkring PISA- og TIMSS-
studienes resultater og deres konsekvenser for
vårt utdanningssystem. (Les side 2.)
Også i dette heftet finner du en del bak-
grunnsstoff om de nasjonale prøvene i mate-
matikk. Kompetansebegrepet innen matema-
tikk dannet en del av det didaktiske grunnlaget
for utviklingen av prøvene. Mona Røsseland
gir oss bakteppet for tenkningen bak de nasjo-
nale prøvene i to artikler. Den første finner du
i dette heftet. I neste hefte fortsetter hennes
artikkel.
År 2005 er også det første året Holmboepri-
sen deles ut. Holmboeprisen er på sett og vis
en ’spin-off ’-effekt av Abelprisen. Prisen skal
hedre stor innsats for matematikkfaget i skolen
og premiere gode lærere eller gode lærerteam.
Det er naturlig at Abel-komiteen ikke bare
setter fokus på de store vitenskapelige, mate-
matiske bragder, men også har undervisning
og opplæringsdimensjonen med. Vi vet alle at
vi kan lære mye av gode forbilder, og det gjel-
der selvsagt også vårt fag. Det blir spennende å
(fortsettes side 4)
1/2005 tangenten2
Rune Herheim
Aksepter, ta skuld og iverksett!PISA/TIMSS sett frå sidelinaTorsdag 16. desember var det fagkonferanse om
resultata frå TIMSS 2003 og PISA 2003. PISA-
undersøkinga, der OECD har eit overordna
koordineringsansvar, har sett på 10. klassingar
sine evner til å nytta kunnskap i matematikk,
naturfag, lesing og problemløysing. TIMSS-
undersøkinga har sett på 4. og 8. klassingar
sine skulekunnskapar i matematikk og natur-
fag. I begge undersøkingane har norske elevar
oppnådd svake resultat i matematikk og natur-
fag, både samanlikna med andre land, men òg
samanlikna med kva norske elevar tidlegare
har prestert i tilsvarande testar.
Eit av dei viktigaste poenga frå prosjektleia-
rane for PISA og TIMSS og fleire av innleiarane
på konferansen, mellom anna Per Aahlin frå
utdanningsforbundet, var at utdanningssyste-
met må akseptera desse resultata. Ein ynskte
ikkje at det no skulle brukast energi på å debat-
tera om undersøkingsresultata er gyldige og
pålitelege, men at kreftene skulle fokuserast
mot å løysa den norske realfagskrisa. At det er
lagt mykje arbeid ned i desse undersøkingane
er det ikkje tvil om. Ein har kvalitetssikra opp-
gåvetypar, oversetjingar, korrektur, søkt repre-
sentative utval av elevar og skular osv. Men skal
ein få med seg personar i ulike roller i utdan-
ningssystemet er ein avhengig av at alle dreg i
same retning. Oppnår ein dette ved å unngå
ein debatt om sjølve undersøkingane? Ein risi-
kerer at folk sit med spørsmål og kritikk mot
undersøkingane som dei ikkje har fått svar på.
For å nytta filosofen Hans Skjervheim [1] sine
omgrep; skal lærarar, foreldre og andre verta
samde om at ein bør justera realfagsundervi-
singa må dei overtydast om at det er naudsynt,
ikkje overtalast.
I det norske utdanningssystemet har ein
underleg trend utvikla seg. Studentar og elevar
har manglar i sin realfagskunnskap, men det
einaste som er sikkert er at det ikkje er ’vår
skuld’ … På universitet og høgskular skuldar
ein på dårlege førekunnskapar frå vidaregå-
ande trinn, på vidaregåande trinn skuldar ein
på ungdomstrinnet, medan på ungdomstrin-
net skuldar ein på barnetrinnet. Og så skul-
dar me alle på L97. Eit signal som kom tydeleg
fram under konferansen var at alle må ta skuld,
anten ein er utdanningsminister, lærarutdan-
nar eller lærar. Det er meir fruktbart å sjå kva
Rune Herheim er høgskolelektor i matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i Bergen, [email protected]
tangenten 1/2005 3
ein sjølv kan gjera betre, enn å konstatera at det
ein annan stad er gjort for dårleg arbeid. Me
har ein ’systemfeil’ vart det sagt fl eire gonger
på konferansen. Systemfeil er eit omgrep det
kan vera vanskeleg å knyta noko presist inn-
hald til. Langt viktigare enn å strø om seg med
vide omgrep er det å sjå på kva konkret som
bør gjerast for å styrka realfagsundervisinga.
På konferansen vart barne-, ungdoms- og vida-
regåande trinn trekt fram som satsingsområde.
Det er bra, men kva med førskuletrinnet? Det
er vel ingen som trur at elevar fyrst startar
oppbygginga av sin matematiske kompetanse
den dagen dei byrjar på skulen?
Tiltak må setjast i verk. Det vil ikkje seia
at alt må endrast, og undervisingsmetodar må
forkastast. Svært mykje av det arbeidet som
vert gjort i skulen er bra. Professor Svein Lie
kom i sitt innlegg under konferansen inn på
at det kan vera verdt å sjå på nokon av konse-
kvensane av L97. Det har vorte lagt opp til nye
roller i skulen, der lærar har gått frå formidlar
til rettleiar, og elevar har fått ansvar for eiga
læring. Formidling har nesten vorte uglesett,
og det har vore lagt føringar der mellom anna
tema- og prosjektarbeid har fått ei domine-
rande rolle. Lie sa at ein slik metodetvang ikkje
legg til rette for at ein lærar kan nytta sine beste
sider. Gjennom leik og tema- og prosjektarbeid
kan elevar oppnå viktige læringsmål, men som
Lie var inne på så kan ein spørje seg om det har
vore mindre læringsutbyte av desse metodane
enn det som har vore tenkt? Har lærarar ikkje
vore medvitne nok i å leggja til rette for læring,
eller sikra at elevar får eit læringsutbyte, i desse
metodane?
Men konsekvensar av L97 treng ikkje i seg
sjølv vera forklaring til svak utvikling innan
realfag. Ein kan faktisk spørja seg om L97
eigentleg har vorte realisert i den grad at det er
meining i å vurdera konsekvensane av denne
planen? I ein evalueringsrapport av L97 [2]
har ein funne at det langt på veg ikkje er til-
felle. Under klasseromsobservasjonar har dei
funne at det er to arbeidsformer som er domi-
nerande. Den eine er der lærar er forelesande
og den andre er når elevar arbeider individuelt
med lærebøkene.
Norske elevar ligg i verdstoppen når ein ser
på tiltru til eigne realfaglege evner. Som det
står i [3] kan dette forklarast med kulturelle
skilnadar, men det kan òg sjåast i høve til
Figur side 149 i Hva i all verden har skjedd i realfagene?
1/2005 tangenten4
meistringsaspektet. Har me i Noreg fokusert
så mykje på at elevar skal lukkast og utvikla
sjølvtillit i faget at dei ikkje har fått varierte
og store nok utfordringar? Har frykta for at
elevar ikkje skal lukkast ført til at me heller
har ’slakka litt av’ på dei faglege krava? Når
ein derimot snakkar om det å ha interesse
for faget og det å lika å arbeida med det, ligg
norske elevar igjen langt ned på lista. Her kan
det vera ein samanheng. Motivasjon får ein ved
å lukkast, og dess meir krevjande utfordrin-
gar ein løyser, dess større vert gleda og gnisten
til å arbeida vidare i faget. Det handlar såleis
ikkje berra om å løysa ei oppgåve, ein må òg få
strekkja seg.
Under konferansen kom det fram sterke
signal om at ein ynskte fagleg sterkare læra-
rar. I figuren på førre sida kan ein sjå noko av
bakgrunnen for dette. Av norske lærarar som
underviser i matematikk i 8. klasse har svært
få fordjuping i matematikk, og nesten ingen
har fordjuping i matematikk didaktikk. Dette
bilete er hakket verre for 4. klasse, og i tillegg
har norske lærarar lite relevant etterutdanning
for matematikkundervising.
I den norske skulen har me såleis eit sterkt
behov for ei større fagleg tyngde i matematikk.
For å utdanna lærarar med fagleg djupn bør
ein kanskje vurdera å ta oppatt dei linedelte
lærarhøgskuleutdanningane, eller syta for å ha
fordjupingsfag i matematikk som er aktuelle
og tilgjengelege for allmennlærarstudentane.
Då kan ein få ein gunstigare kombinasjon av
allmennutdanna lærarar og lærar med større
fagleg tyngde. Men då må det presiserast at på
same vis som ein skiskyttar må meistra både
langrenn og skyting, må ein lærar ha både
fagleg og fagdidaktisk kompetanse. Så viss ein
aksepterer at arbeidet med realfaga i skulen har
eit utviklingspotensiale og er sjølv viljug til å
forbetra seg, kan tiltak setjast i verk for å snu
den negative trenden for realfaga. Men det mest
grunnleggjande grepet ein bør gjera er å syta
for at dei som faktisk har kompetanse i mate-
matikkundervising òg underviser i faget.
Referansar[1] Skjervheim (2001): Eit grunnproblem i peda-
gogisk filosofi. I: Hans Skjervheim, Deltakar og tilskodar og andre essays, (pp. 214–230). Oslo: Aschehoug & Co, Idé og tanke
[2] Brekke, Breiteig og Alseth (2003): Syntese-rapport. Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering – matematikkfaget som kasus.
www.program.forskningsradet.no/reform97/
uploaded/nedlasting/brekke.doc[3] Grønmo, Bergem, Kjærnsli, Lie og Turmo
(2004): Hva i all verden har skjedd i realfagene? Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2003.
www.timss.no/ramme_3_03.html
se hvem som vinner årets Holmboepris.
Tangenten skal presentere vinneren så snart
han eller hun er utpekt. Tangenten håper denne
prisen kan være med å skape blest rundt faget
og matematikk som undervisningsfag. Fristen
for nominasjon av kandidater er nettopp gått
ut, så har du noen kandidater: ikke nøl med å
foreslå dem til neste års Holmboepris!
(fortsatt fra side 1)
tangenten 1/2005 5
Tallfølgen i annen potensJeg satt på rommet mitt og studerte rekken av
kvadrattall (1, 4, 9, 16, 25 …)
Lagde kvadrater som illustrasjon til tallene.
For hvert kvadrat illustrerte jeg også det fore-
gående som et mindre kvadrat inni det neste.
Y = 42
Y = 52
På tegningen kommer økningen for hvert kva-
drattall tydelig fram. Det så ut som økningen
Sindre Haugstad Torp
Eksponentielle tallfølger og geometriske figurer
Hallo, jeg har funnet ut en formel for hvordan
man kan finne neste kvadrattall i rekken av
kvadrattall. Jeg lurer på om dette er en kjent
formel?
y = x + kvadratroten av x ganger 2 + 1 der
x = et kvadrattall
y = neste kvadrattall i rekken av kvadrattall
1×1 = 1, 2×2 = 4, 3×3 = 9, 4×4 = 16,
5×5 = 25, 6×6 = 36
For eksempel: 75×75 = 5625
Det neste kvadrattallet i rekken blir da:
x + (kvadratroten av x) ganger 2 + 1,
det vil si 5625 + 75 ganger 2 + 1 = 5776
kvadratroten av 5776 = 76
Dette ble skrevet til Newtonredaksjonen av
12 år gamle Sindre Haugstad Torp nå elev
ved Solvang Ungdomsskole i Asker, men elev
ved Jansløkka grunnskole da utforskningen
startet. Nils Kr. Rossing fra Vitensenteret i
Trondheim oppfordret Sindre til å skrive
hvordan han tenkte da han kom fram til
regelen. Resultatet sees her hvor Sindre viser
hvordan han undersøkte videre og fant løs-
ning for kubikktall, tallfølger i fjerde potens
og en generell løsning.
1/2005 tangenten6
fulgte et mønster. Jeg gikk ned til stua og viste
tallene og kvadratene til faren min som sa: Kall
det lille kvadratet for X og det store for Y og
lag en regel. En stund etter hadde jeg formelen
skrevet på et papir.
Y X X= + × +2 1
Tallfølgen i tredje potensEn annen gang satt jeg med en ny oppgave.
Hvordan blir det for ’kubikkrekka’ (1, 8, 27,
64, 125 …)? Hva er sammenhengen mellom et
kubikktall Y og det foregående X? I hodet fore-
stilte jeg meg kuber som illustrerte tallene.
Hva måtte jeg legge til kuben X for å få
kuben Y? Jeg skjønte at det ville blitt alt for
komplisert å finne formelen direkte ved bare
å bruke X og Y.
Jeg innførte derfor Z (se figuren under).
= Z = X
= (X + 3Z2)
= (X + 3Z2 + 3Z)
= (X + 3Z2 + 3Z + 1)Formelen blir da:
Y X Z Z= + × + × +( )2 3 3 1
der Z = et helt tall, X Z= 3 og Y Z= +( )1 3 .
Løser vi ut Z får vi formelen:
Y X X X= + + +3 3 13 2 3 .
Tallfølgen i fjerde potensJeg prøvde av og til å få til ’i fjerde-rekka’. Jeg
hadde nå brukt flateinnhold for å finne forme-
len for kvadrattallene og kuber for kubikktal-
lene, men nå var det ikke flere dimensjoner å
bruke. Men en dag kom jeg til å tenke på en
ting: Tre i fjerde betyr jo bare tre ganger tre
ganger tre ganger tre. Tre i fjerde blir da tre ’tre
i tredje’ kuber. Z i fjerde blir Z antall ’Z i tredje
kuber’, der Z har samme betydning som før.
For å finne formelen må man være nøyaktig
med antall kuber og det som skal ’legges på’
(fortsettes side 18)
tangenten 1/2005 7
Per Arne Birkeland, Ole Mydland
På leting etter mønsterHvordan klarer elever å oppdage mønstre og
se generelle trekk ved dem? Greier de å bruke
algebra til å uttrykke slike trekk med utgangs-
punkt i en praktisk tilnærming?
Av og til sier lærere at å generalisere blir for
vanskelig for elevene. De klarer sjelden å opp-
dage generelle sammenhenger selv. Og hvis de
skal bruke algebra, blir det ekstra vanskelig.
Samtidig vet vi at L97 [1] gir klare beskjeder til
oss lærere om hva målet for elevene er:
De skal kunne tolke og bruke bokstaver som
symboler for ukjente og variable størrelser
og til å generalisere og bevise. Elevene skal
kunne bruke tall som et utgangspunkt for
fordypning og generalisering av ideer og
metoder. (L97, s. 166)
Som lærere i allmennlærerutdanningen ved
Høgskolen i Agder og med mange års erfaring
fra undervisning i ungdomsskolen, ville vi
undersøke i hvilken grad ungdomsskoleelever
ved samarbeid i grupper greier å oppdage gene-
relle mønstre. Vi fant en egnet oppgave fra et
tidligere nummer av Tangenten ([4], se farget
boks neste side), og allierte oss med Inger Mar-
grethe Haanes, som er matematikklærer i en 9-
klasse ved en skole i Kristiansand. Utprøvingen
skjedde i en dobbelttime en maidag i 2004.
Klassen ble delt inn i 5 grupper. Et lokalt
snekkerfirma hadde tatt utfordingen med å
lage terninger med mål 2 cm × 2 cm × 2 cm
slik at hver av gruppene hadde 125 småternin-
ger hver. På forhånd var vi litt usikre på om
gutter og jenter i 14- til 15-årsalderen ville
synes det var for barnslig å bygge med klosser,
og om de kunne ha noen hjelp av denne kon-
kretiseringen. Derfor sa vi på forhånd at klos-
sene kunne brukes hvis elevene hadde lyst til
det. Lærerne skulle observere, stille spørsmål
og gi hint etter behov.
Etter noen minutters informasjon i starten,
satte elevene i gang. Når de skulle finne hvor
mange sider som var synlige eller ikke, star-
tet alle gruppene med å bygge en 3-terning og
telle de ulike kategoriene. Det virket som ingen
av elevene ’så’ løsningen umiddelbart uten
den konkrete 3-terningen. Diskusjonen gikk
imidlertid livlig om hvordan småterningene i
Per Arne Birkeland er høgskolelektor i matematikk fagdidaktik ved Høgskolen i Agder, [email protected] Mydland er pensjonert høgskolelektor i matematikk.
1/2005 tangenten8
hvert tilfelle kunne telles opp. Det var spesielt
interessant å merke at ganske tidlig i proses-
sen begynte elever å lete etter mønster. Da ei
av gruppene skulle til å studere 4-terningen,
utbryter en gutt spontant: «Nå må vi til med et
mønster! Kan vi ikke ta sånn en tabell, en sånn
skala som passer til alle de andre?» Resten av
gruppa er enig. Og så begynner den mer eller
mindre bevisste letingen etter mønster, skritt
for skritt.
Her leter elever etter et system.
«Det er 4 klosser som har null sider synlig, det
er de fire der, de som er heilt inni der,» mener
ei jente og peker engasjert. Gutten er enig: «Ja,
for du har en der, en der, …, en, to, tre, fire …».
Men plutselig sier han: «Det er 8! Se der! En,
to, tre, fire – ikke sant? De fire i det laget der,
Oppgaven vi gavI denne oppgaven skal dere arbeide med en
terning som er satt sammen av små-ternin-
ger. På figuren under ser dere en terning
som er satt sammen av 3 terninger i hver
retning. En slik sammensatt terning kaller
vi en 3-terning.
I posen dere har fått på gruppa, er det
nok småterninger til å bygge en 5-terning.
Hvor mange småterninger består
en 3-terning av?
en 4-terning?
en 5-terning?
en 10-terning?
en n-terning?
Sidene på noen av småterningene er synlige,
det vil si at de enten vender ut i lufta eller
ned i bordet, og noen sider er skjulte.
I en 3-terning fins småterninger der 3
sider er synlige, 2 sider er synlige, 1 side er
synlig, og 0 sider er synlige.
Hvor mange av småterningene i en 3-ter-
ning har:
0 sider synlige?
1 side synlig?
2 sider synlige?
3 sider synlige?
Finn ut det samme på en 4-terning og en
5-terning. Dere har ikke nok terninger til
å bygge en 6-terning. Men kan dere likevel
finne ut hvor mange småterninger dere har
av hver type i en slik terning? Kan dere finne
ut det samme om en 10-terning?
Har dere funnet et mønster slik at dere
kan si med et tall eller et bokstavuttrykk
hvor mange dere har av hver type småter-
ning i en n-terning?
tangenten 1/2005 9
og fire i det laget der». Heile gruppa dras med
i prosessen, og gutten prøver å overbevise de
andre ved å lage en 2-terning: «Det er sånn en
terning som er gjemt inni der».
Tilsvarende arbeider gruppa med å finne
1 og 2 sider som er synlige på 4-terningen, og
kommer i begge tilfellene til at dette antallet
blir 4 ganger 6. Det kan virke som elevene bare
teller, men et noe uklart mønster avtegner seg
snart. Da de like etter studerer 5-terningen, går
det mye kjappere med å finne antall synlige og
usynlige sider på småterningene. Ikke fordi
elevene teller fortere, men fordi de har funnet
spesielle måter å telle på, eller tenke på. Lærer
oppmuntrer dem til å skrive ned ’regnestykket’
som viser hvordan de tenker.
Dette lille hintet hjelper elevene i den videre
letingen etter mønster: «Å var det vi ganga her
med? Vi kan bare se på den», sier ei jente. Elev-
ene går tilbake til 3-terningen og velger å lage
en tabell, en matrise. Kombinert med å telle, tar
de til å resonnere seg fram til hvert enkelt tall i
tabellen. En interessant og noe uventet uttalelse
fra en av guttene innleder denne viktige tan-
keprosessen: «Jeg vet ikke om jeg klarer å føre
det ned, men jeg vet i alle fall åssen en tenker»!
Sammen begynner gruppa med ’3 synlig’:
«Det blir 8 her uansett», skyter ei jente raskt
inn, «og der plusser vi bare på 12», fortsetter
hun. De er kommet til ’2 synlig’. En gutt følger
opp: «Det er 12 ganger 1, 12 ganger 2, 12 ganger
3,…», men så stopper det opp. Mønsteret som
de mener å ha funnet, passer ikke på 6- og 7-
terningen. Lærer spør elevene om hvordan en
kan kontrollere at tallene i tabellen stemmer.
De finner feilen, og letingen etter mønster kan
fortsette.
Gruppa er i ferd med å knekke koden
Ved ’2-synlig’ finner elevene en fast differanse,
12, mellom tallene i de forskjellige terningene.
Det er derfor ganske logisk at de også leter etter
en fast forskjell mellom tallene i rekka ved ’1-
synlig’. Men her må de tenke i andre baner.
«Har du funne systemet, det som var der?», spør
en av guttene. «Jaaa, det var 6 ganger …» Det
er antall småterninger med 1 synlig side i en
6-terning elevene leter etter. De finner at tallet
16 er sentralt her, men diskuterer ivrig hvilket
tall dette skal ganges med. Lenge holder de på
4, men til slutt ender de opp med 16 ganger 6.
Lærer spør elevene om hvordan de kom fram
til 16, om dette tallet også er et gangestykke.
«4 ganger 4», svarer ei jente kjapt. «Åssen kom
dere fram til tallet 4 da», spør lærer videre. Etter
hvert oppdager elevene at i en slik sammensatt
terning er det «to utenfor», som de sier. Da står
en igjen med: «4 i en 6-terning og 8 i en 10-ter-
ning. Og i en 20-terning 18». «I en n-terning
da», spør lærer? «n minus 2» svarer ei jente fort
og ler, som om hun ville si: Så enkelt!
1/2005 tangenten10
Til ei gruppe som hadde funnet at det er 96
småterninger som har 1 side synlig i en 6-ter-
ning, spør lærer: «Åssen fant du 96?». Et svar
kommer kontant og overbevisende: «Jeg må
tenke meg at det er en 6-terning vi holder på
med. Så da blir det 4. 4 på den sida, 4 på den, 4
på den, 4 på den, 4 på den og 4 på den – eller,
ja – ikke sant, det blir 16 på alle samma. 16
ganger 6 er 96». Fra 6-terning går gruppa over
til 10-terning, og tar også med 23-terning og
64-terning. De fyller ut tabellen og kontrollerer
hver linje i den ved addisjon.
En av guttene på gruppa har allerede i hodet
et løsningsmønster for de ulike kategoriene.
Lærer utfordrer ham til å forklare dette for de
andre. «På null blir det n – 2 i tredje …». «Du
må forklare hvorfor det blir n – 2». «Fordi du
må ta vekk 2 for å få det midterste …». «Hvor-
for tar du vekk 2?» «De ytterste, – de ytterste
lagene, så får vi bare den siden som er i midten,
der som ingen sider vil være ut». De tenkte på
at de måtte ’skrelle av’ et lag ytterst. Etter at
elevene på dette tidspunktet hadde jobbet med
oppgaven i en god klokketime, var alle grup-
pene kommet godt i gang med å skrive et alge-
braisk uttrykk for antall terninger i de ulike
kategoriene.
En viktig bit av denne dobbelttimen var
oppsummeringen. Vi hadde snakket på for-
hånd om hvor viktig det er for elevenes
læringsutbytte at elevene blir hjulpet til å se
tilbake på det de har gjort. Vi ønsket også å
spørre dem om hvordan de selv opplevde å
arbeide på denne måten.
Tilbakemeldingen vi fikk fra elevene, var
udelt positive. «Dette var gøy», sa de. Læreren
var også meget godt fornøyd, og syntes elev-
ene hadde klart mer enn hun hadde trodd på
forhånd.
Elevene viste i denne oppgaven at de i stor
grad var i stand til å oppdage generelle møn-
stre. Men de var ikke overlatt helt til seg selv.
Lærerens funksjon vurderer vi som meget
viktig. Hvis ikke det hadde vært en voksen til
stede som kunne stille de rette spørsmålene, og
som kunne gi de nødvendige ’puff ’ videre der
det stoppet litt opp, ville nok noen elever «stått
fast» og mistet interessen. At lærer gir hint, er
ikke ensbetydende med å frata elevene følelsen
av å mestre oppgaven selv. Her er det selvfølge-
lig en balansegang. Man må unngå å gi elev-
ene hele løsningen. Men erfaringer fra dette
og tilsvarende arbeid, viser tydelig at elevene
selv med viktige hint, ikke fratas følelsen av og
gleden ved å ha oppdaget ting selv.
Tidligere forskning støtter også opp om de
erfaringene vi gjorde i dette lille prosjektet. Det
er liten tvil om at elevene strever i deres møte
med algebra. Furinghetti og Paola [2] grup-
perte vanskelighetene slik:
– vanskeligheter med å sette opp formler
– vanskeligheter med å forstå formler og å
tangenten 1/2005 11
kontrollere dem
– vanskeligheter med å individualisere pro-
blemteksten
– vanskeligheter med å representere tanke-
gangen gjennom algebraisk manipulasjon
– vanskeligheter med å tolke foreslåtte
utsagn.
Men det er flere som har rapportert om gode
erfaringer med å tilnærme seg algebra ved å
studere mønstre i tilknytning til konkrete
materialer. Pegg og Redden [3] gjorde dette
med barn i 12-årsalderen, hvor de arbeidet
med å lage trekanter ved hjelp av fyrstikker.
Etter en lang erfaringsøkt med fyrstikkene der
tallene etter hvert ble satt inn i tabeller, vokste
bokstavbehovet gradvis frem ved at antall fyr-
stikker ble kalt f. Dette ble barna etter hvert
fortrolige med.
Påstanden om at elevene må ha nådd et visst
modenhetsnivå, er heller ikke et entydig resul-
tat fra forskningen. Mulig det kan vises dersom
forutsetningen er en undervisning uten bruk
av mønsterbasert innfallsvinkel. Men Zack [5]
rapporterer om at 10–11 åringer kan nå ganske
langt i evnen til å løse generaliseringsproblemer
når problemløsning er en viktig del av under-
visningen, og der det skjer i en oppmuntrende
atmosfære gjennom samarbeid. Behovet for å
bruke algebra vokste her frem som et resultat
av studier med mønstre tilknyttet situasjoner
som elevene kunne etterprøve og forstå.
Litteratur[1] Det kongelige kirke-, utdannings- og fors-
kningsdepartement.(1996). Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen. Oslo, Norway: Nasjonalt læremiddelsenter.
[2] Furinghetti, F. & Paola, D. (1995). A different approach to algebra and proof: Behaviours observed in classroom. In L. Meira & D. Carra-
her (Eds.): Proceedings of the Nineteenth Inter-national Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, p. 202). Recife, Brazil: Universidade Federal de Pernambuco.
[3] Pegg, J. & Redden, E. (1990). Procedures for, and experiences in, introducing algebra in New South Wales. Mathematics Teacher, 83, 386-391.
[4] Torkildsen, Ole E. (1995). Klasseoppgave. Tan-genten 2, 45-46.
[5] Zack, V. (1995). Algebraic thinking in the upper elementary school: The role of collaboration in making meaning of generalisation. In L. Meira & D. Carraher (Eds.): Proceedings of the Ninete-enth International Conference of the Internatio-nal Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 106-113). Recife, Brazil: Universidade Federal de Pernambuco.
1/2005 tangenten12
Mona Røsseland
Hva er matematisk kompetanse?Norge har nok en gang kommet dårlig ut i
undersøkelser som viser elevers kompetanse
i matematikk. Vi leter etter årsaker, og vi
prøver å finne den riktige veien framover. Før
vi kan enes om en hensiktsmessig strategi for
å gjøre norske barn og unge bedre i matema-
tikk, bør vi diskutere hva det innebærer å ha
matematisk kompetanse. Noen mener at bare
elevene kan de fire regningsartene (les algorit-
mene) når de går ut barneskolen, må vi være
fornøyde. Andre mener at det viktigste er at
elevene er kreative og klarer å finne løsninger
på problemløsningsoppgaver uten tanke på en
’riktig’ fremgangsmåte. Heldigvis er det mange
som mener at det er viktig at elevene behersker
flere ulike kompetanser i matematikk, men da
trenger vi en bevisstgjøring omkring hva det
vil si å ha matematiske kompetanse.
I Danmark har de kommet et stykke på vei
i dette arbeidet. I 2000 satte de i gang prosjek-
tet Kompetenceudvikling og Matematiklæring,
der målet var å prøve å skape en felles forstå-
else for hva det vil si å beherske matematikk.
matematikkbeherskelse, og hvordan dette kan
påvirke matematikkundervisningen og gjøre
den bedre. Arbeidet ble ledet av Mogens Niss,
professor ved Roskilde Universitetssenter, og
i 2002 kom rapporten Kompetancer og mate-
matiklæring [5] fra det danske Undervisnings-
ministeriet.
Rapporten er grunnlag for min beskrivelse
av de matematiske kompetansene. Det har
også vært inspirasjonskilde til de nasjonale
prøvene i matematikk i Norge. I disse prøvene
blir elevene testet i ulike oppgavetyper, og de
blir vurdert ut i fra en beskrivelse av matema-
tiske kompetanser. Etter prøvene skal lærerne
lage en profil over hver elev og for klassen som
helhet. Profilen beskriver hvilket nivå elevene
har i de ulike kompetansene. Kompetansebe-
grepene jeg gjør rede for her ligger til grunn for
arbeid med de nasjonale prøvene.
Den danske rapporten vender seg bort fra
den tradisjonelle, pensumbaserte beskrivelsen
av matematikkfaget. I stedet foreslår den at
hensikt og utbytte med undervisning karakte-
riseres ved hjelp av åtte kompetanser som en
ønsker at elevene skal utvikle. De åtte kom-
petansene er: Tankegang-, Resonnement-, Kommunikasjon-, Problembehandling-, Modellering-, Representasjon-, Symbol og
Mona Røsseland er nettverkskoordinator ved Matematikksenteret, [email protected]
tangenten 1/2005 13
formalisme- og Hjelpemiddelkompetansen.
Denne kompetansebaserte beskrivelsen av
matematikkfaget ønsker jeg å belyse gjennom
to artikler her i Tangenten. Den siste artikkelen
kommer i Tangenten nr 2 (2005).
Jeg velger å knytte beskrivelsen av kompe-
tansene opp mot undervisning gjennom å vise
hvilke type aktiviteter og situasjoner som kan
være med å stimulere utviklingen av kompe-
tansene hos elevene. Skal de nasjonale prøvene
bli et hjelpemiddel for lærerne, vil det være helt
vesentlig at lærerne har en god forståelse for
hva de ulike kompetansene står for. Det vil
også være av betydning at lærerne tar kompe-
tansebeskrivelsene med inn i klasserommet,
som grunnlag for undervisningen slik at det
får praktiske konsekvenser i norsk skole.
I denne artikkelen tar jeg for meg tanke-
gangs-, resonnements- og kommunikasjons-
kompetansen. I den siste artikkelen beskriver
jeg problembehandlings-, modellerings-, hjel-
pemiddel-, representasjons-, symbol- og for-
malismekompetansen. Der belyser jeg noen
problemstillinger i forhold til å bruke kom-
petansebeskrivelsene som grunnlag for vur-
dering, slik det blir gjort i forbindelse med de
nasjonale prøvene i matematikk.
En kompetansebeskrivelse av matematisk faglighetHvorfor er det så nødvendig å forandre på vår
tradisjonelle måte å se matematikkfaget på?
Hvorfor lage de nasjonale prøvene så kom-
pliserte, der en må forholde seg til mange nye
begreper, som disse matematiske kompetan-
sene?
Skolematematikken har vært preget av et
fokus på produktet og den riktige fremgangs-
måten, og en har arbeidet for å få større fokus
på prosessdimensjonen i faget. Vi ser det
tydelig at L97 understreker betydningen av
elevaktivitet, der elevene skal konstruere sin
egen kunnskap. Vi er nå blitt mer opptatte av
hvordan elevene bruker sin matematiske kom-
petanse, hvilke strategier de velger for å løse
oppgaver og problemer og hvilken begrepsfor-
ståelse de har.
Også i PISA-undersøkelsen (Programme
for Internastional Student Assessment) har
prosessdimensjonen i faget grunnleggende
betydning. Her blir det understreket at det
kreves ulik matematisk kompetanse for å løse
forskjellige typer matematiske problemer.
PISA fokuserer altså i langt større grad på et
mer integrert spektrum av kunnskaper, fer-
digheter og holdninger enn det som har vært
vanlig i tester til nå. En legger vekt på elevenes
evne til å tolke informasjon og trekke slutnin-
ger på basis av kunnskap og ferdigheter som
de har, og på hvordan elevene bruker kunn-
skaper og ferdigheter i gitte sammenhenger
(Bergem [1]).
I PISA brukes tre kompetanseklasserOppgavene er delt inn i tre kategorier etter
hvilke kompetanser de krever:
Reproduksjonsklassen: Oppgavene er knyttet
til elevers bruk av faktakunnskaper og stan-
dardalgoritmer. En kan også finne enkle pro-
blemløsningsoppgaver her, men konteksten er
matematisk og fremgangsmåten (algoritmen)
gitt.
Forbindelsesklassen: Her skal elevene se for-
bindelser og kunne sette sammen informasjon
som grunnlag for problemløsningen. Elevene
må da ha evne til å se sammenhenger mellom
ulike deler av matematikken for å løse oppga-
vene, og de skal kunne bruke ulike represen-
tasjoner.
1/2005 tangenten14
Refleksjonsklassen: Her er oppgavetypene mer
sammensatte enn ved forrige klasse og krever at
elevene i tillegg har evne til å utvikle originale
løsningsstrategier. Kompetansen kjennetegnes
ved at elevene selv må finne fram til hva som er
oppgavens matematiske problem, og vise evne
til kritisk tenkning, analyse og refleksjon (Lie
m.fl. [2]).
Når de overordnede målene i matematikk kun
tydeliggjør hvilke matematiske emneområder
som skal læres, er det vanskelig å klargjøre hva
matematikkundervisning skal gå ut på. Vi vet
at det er langt mer gjennomgripende forhold
enn pensumbeherskelse som gjør seg gjeldende
i matematisk faglighet. Faren blir at en reduse-
rer matematisk faglighet til ’rette og feile svar’,
noe som igjen fører til et for lavt ambisjonsnivå
for undervisningen. En kompetansebeskrivelse
av faget går langt mer direkte på selve under-
visningen, for da vil en også sette fokus på fer-
digheter som vanskelig lar seg teste i en skrift-
lig prøve. Lærerne bør dermed sette flere krav
til sin undervisning, for eksempel bruke mer
tid på kommunikasjon, der elevene får forklare
hvordan de tenker og forstår.
En slik reduksjon av matematikkompe-
tanse kan sammenlignes med å identifisere
språkbeherskelse med en liste over ordforråd
og grammatiske regler en skal gjenkjenne og
kunne. Norsklærere har større ambisjoner for
undervisningen enn at elevene bare lærer dette.
De ønsker at elevene skal forstå stoffets opp-
bygging og indre sammenheng, og ikke minst
være skapende og analyserende i faget i forhold
til et mangfold av sjangrer og stilarter. En kan
selvsagt understreke at dette ikke går uten et
ordforråd og grammatikk, men ingen vil heller
mene at det i seg selv er nok for språkbeher-
skelse (Niss [4]). På samme måte blir det med
matematikken.
Å ha matematisk kompetanse kjennetegnes
ved å ha viten om, å forstå, utøve, anvende og
kunne ta stilling til matematikk og matematisk
virksomhet i et mangfold av sammenhenger.
Dette impliserer naturligvis en mangfoldighet
av konkret viten og konkrete ferdigheter innen
forskjellige matematiske områder, men mate-
matisk kompetanse kan ikke reduseres til disse
forutsetningene.
Beskrivelse av kompetanseneTankegangskompetansen
Denne kompetansen består først og fremt i det
å være klar over hvilke typer spørsmål som er
karakteristisk for matematikk, selv å kunne
stille slike spørsmål og ha blikk for hvilke typer
av svar som kan forventes. Matematisk tanke-
gang omfatter bevissthet rundt hvilke spørsmål
som er karakteristiske for matematikk. Det vil
også si å kjenne, forstå og kunne bruke matema-
tiske begreper, kunne abstrahere og generalisere
og kunne skille mellom påstander, antagelser
og bevis. For grunnskolen vil dette gjelde ele-
mentær matematikk, det vil si grunnbegrepene
for størrelse, tall og rom som det er naturlig at
de respektive aldersgrupper befatter seg med
(se NSMO [3]).
Denne kompetansen vil komme til syne
gjennom dialog mellom elevene og mellom
elevene og lærer. Elever med god tankegangs-
kompetanse kan stille spørsmål som – Finnes
det et tall som både er partall og oddetall? Hva
betyr brøk egentlig? Hvorfor blir svaret større
enn det vi deler med når en deler med et tall
mindre enn 1? Denne kompetansen henger
nøye sammen med resonnementskompetan-
sen, og til tider kan det være vanskelig å skille
dem fra hverandre. Disse to kompetansene,
sammen med kommunikasjonskompetansen
blir også slått sammen til en kompetanseprofil
i de nasjonale prøvene fra 2005.
tangenten 1/2005 15
Slik jeg ser det, vil denne kompetansen
være en betydningsfull lærerkompetanse. Det
er viktig at lærerne har evne til å stille gode
spørsmål til elevene, spørsmål som får elevene
til å reflektere. Ved hjelp av lærerens ledende
spørsmål klarer elevene selv å resonnere seg
frem til svar som gir innsikt og forståelse. Her
tror jeg vi har mye å lære, for vi har ofte en
higen etter å gi elevene svarene med en gang de
spør. Kanskje vi langt oftere skulle stille spørs-
mål tilbake til elevene, og så la dem få tid til å
tenke og gjerne komme med nye mer reflek-
terte spørsmål? Eksempelet med figurtall (ned-
enfor) viser lærerens tankegangskompetanse i
sin dialog med elevene.
Resonnementkompetansen
Kompetanse i matematisk resonnement inne-
holder å kunne tenke ut og gjennomføre ufor-
melle og formelle resonnementer, kunne
omforme resonnementer og antagelser til gyl-
dige bevis og kunne følge og bedømme mate-
matiske resonnementer og forstå hva et bevis
er (Niss m.fl. [5], s. 54).
Denne kompetansen er aktiv når en elev
klarer å bedømme holdbarheten av en mate-
matisk påstand, det innebærer også å overbe-
vise seg selv og andre om eventuell gyldighet av
denne. Det dreier seg både om regler og setnin-
gers riktighet, men også avgjørelsen om at gitte
svar på spørsmål, oppgaver eller problemer er
korrekte og tilstrekkelige. Resonnementskom-
petansen er den som aktiverer hvilke operasjo-
ner en skal bruke i en regneoppgave, hvis denne
aktiveringen stiller krav til oppfinnsomhet,
analyseevne eller overblikk. Denne kompe-
tansen henger nøye sammen med både model-
lerings- og problemløsningskompetansen, og
vi kan si at resonneringskompetansen er disse
kompetansenes ’juridiske’ side, den som vurde-
rer om svaret er rett eller galt (ibid. s. 210).
Å forstå et resonnement er for eksempel å
kunne forstå utsagn som: Tone har flere dukker
enn Kine, og Kine har flere dukker en Marit.
Da har Tone flere dukker enn Marit.
Eksempel på å kunne følge og forholde seg til
et elementært matematisk resonnement er:
– Utsagn: Berit og Anne bor henholdsvis 1,5
og 2 km fra skolen, så de må bo 3,5 km fra
hverandre.
– Resonnement: Nei, det trenger de ikke.
Det kan jo være de bor på samme vei til
skolen, og da vil det bare være 0,5 km
mellom dem.
På barnetrinnet vil elevenes resonnementer
være intuitive og uformelle eller konkrete,
basert på spesifikke opptellinger, utregnin-
ger eller tegninger. Det er derfor ikke forven-
tet at de skal gjennomføre noen bevisførsel i
en streng betydning av begrepet. Eksempelet
som følger viser både tankegangs- og resonne-
mentskompetansen gjennom en aktivitet med
figurtall.
Arbeid med figurtall– et undervisningsopplegg som legger til rette
for utvikling av tankegang- og resonnements-
kompetanse.
En fjerde klasse arbeider med figurtall. Læreren
har satt elevene i gang med å lage ulike figurer
ved hjelp av små kvadratiske brikker. Først skal
elevene lage en figur der de ikke får bruke mer
enn 8 biter. Neste steg blir å lage en noenlunde
tilsvarende figur, men den skal være større. Det
innebærer at de må bruke flere brikker. Så skal
de lage en tredje figur, som igjen er større enn
de forrige, men lik i form. Læreren ber elev-
ene finne ut hvor mange brikker de har brukt
i hver figur.
Kari og Lucie har funnet ut at de har brukt
1/2005 tangenten16
8 biter i første fi gur, 25 biter i andre fi gur og 52
biter i tredje fi gur. Læreren observerer jentene
i arbeidet, og kommer nå med noen spørs-
mål: – Kan dere fi nne ut hvor mange biter dere
trenger til fjerde fi guren, uten å legge den med
biter?
– Nei, går det an? svarer jentene tvilende.
– Jo, jeg tror det! sier læreren og går et stykke
unna jentene for å se hvordan de griper pro-
blemet an alene.
Jentene diskuterer en stund seg i mellom før de
spør: – Kan vi få tegne fi guren i stedet? Jentene
får ruteark og tegner den fjerde fi guren. De
teller antall biter og kommer til 89. Så kommer
læreren igjen med nye spørsmål: – Kan dere
nå fi nne ut hvor mange biter dere trenger til den
femte fi guren, og denne gangen uten å tegne den?
Jentene ser rådville ut, så læreren kommer med
et nytt tips: – Hvis dere skriver ned alle tallene
dere har funnet til nå i et skjema, blir det litt mer
oversiktelig. Læreren hjelper jentene i gang med
å lage en tabell:
Figur nr. 1 2 3 4 5
Antall biter
8 25 52 89
Voksermed
17 27 37
– Hva forteller tallene dere? Kan dere fi nne noe
mønster i dem? Læreren trekker seg nok en
gang litt i bakgrunnen, og lar jentene reson-
nere seg frem på egenhånd. Jentene begynner
å studere tallene: – Hvor mye større blir tallene
fra fi gur til fi gur? Kan det være at fi gurene hele
tiden vokser med 10 mer enn forrige gang? Det
går ikke så veldig lang tid før de kommer med
en hypotese: – Mon tro om ikke det neste fi guren
vokser med 47? – Lærer, vi tror at den femte fi gu-
ren vil ha 136 biter. De klarer nesten ikke sitte
stille på stolene, og de nesten roper ut. – Kan
vi få tegne nå?
Læreren synes det er en glimrende ide,
og berømmer jentene for deres fremragende
matematiske resonnement og fremgangsmåte.
Det tar heller ikke lang tid før de fornøyd kan
konstatere at femte fi gur virkelig består av 136
biter. – Går det an å fi nne ut hvor mange brikker
dere trenger til den 10. fi guren? spør læreren.
Lucie stønner litt: – Da trenger vi store ark til
å tegne på. – Trenger vi å fortsette å tegne, tro?
spør Kari. – Hvis vi vet hvordan fi gurene vokser,
kan vi kanskje regne det ut uten å tegne? Jentene
fi nner seg en kalkulator og går i gang med å
fylle ut tabellen. Timen er over for lengst og
deres medelever er gått ut, og læreren går til
lunsj. Da hun kommer tilbake, sitter jentene
med store smil, og de kan fortelle at den tiende
fi guren vil ha 521 biter!
tangenten 1/2005 17
KommunikasjonskompetanseKompetanse i kommunikasjon inneholder det
å kunne sette seg inn i og tolke andres matema-
tikkholdige skriftlige, muntlige eller visuelle
utsagn og ’tekster’. Det er å kunne uttrykke
seg om matematiske forhold på ulike måter
og på forskjellig nivå av teoretisk og teknisk
nøyaktighet, både skriftlig, muntlig og visuelt
for forskjellige kategorier av mottakere (ibid.,
s. 60).
Vi kan gjerne si at denne kompetansen er
todelt, i og med at kommunikasjonen skjer
mellom avsendere og mottakere. På denne
måten består denne kompetansen dels i å forstå
og tolke andre sine matematikkholdige tekster,
både visuelle, skriftlige (f. eks.i bøker og i opp-
gaver) og muntlige (eks. læreren gir en grublis
muntlig). Dette vil da betegne den mottakende
siden av kommunikasjonskompetansen. I til-
legg trenger elevene denne kompetansen når de
selv skal formidle sine matematiske kunnska-
per, for eksempel når de skal gjøre rede for et
matematisk resonnement, – Hvordan tenkte du
nå? – Hvordan kom du frem til svaret? og dette
kan de gjøre skriftlig, muntlig eller visuelt
gjennom f. eks. tegninger. Dette viser uttrykks-
siden av kommunikasjonskompetansen.
Eksempler på vurdering av kommunikasjonskompetansen hos to 4. klassingerKlassen jobber med problemløsningsoppgaver,
såkalte grubliser, og læreren går rundt og snak-
ker med elevene. Hun prøver å få elevene til å
formidle hvordan de forstår oppgavene og hva
de tenker når de løser dem.
Sissel klarer til en viss grad å forklare hva
hun tenker, men det er i et enkelt og dagligdags
språk. Hun bruker lite et matematisk språk,
som for eksempel sier hun ikke enere og tiere,
men ord som begynne bakerst når hun skal for-
klare hvordan hun tenker i addisjonsstykker.
Hun er også i stor grad avhengig av konkreter
for å forstå og forklare hva hun gjør. Hun viser
dårlig begrepsforståelse, noe som igjen reduse-
rer hennes muligheter til å forstå og sette seg
inn i de matematiske tekstene. Se eksempel fra
dialogen mellom henne og lærer da hun arbei-
der med oppgaven: Du har 80 kr og så kjøper du
to flasker brus til 15 kr stykk. Hvor mye penger
har du igjen?
Sissel resonnerer: – Jeg tar en tikroning, og
så en til … og så … Hun er veldig usikker og
lærer spør hvor mange tiere det er i 80. – Det
er 10–20 … 30–40–50–60 … 40, nei, 70–80.
Hun tegner nå 8 sirkler på papiret. Lærer hjel-
per videre og gjentar oppgaven med at hun skal
kjøpe to brus til 15 kr. Nå er hun veldig usik-
ker, men sier forsiktig: – Da kan jeg i hvert fall
ta bort en tikroning … Og så …, ja, nå må jeg
tenke … tror du det går an til å ta kroner også?
Nei, jeg forstår ikke hvordan jeg skal gjøre dette,
sier hun fortvilt. – Jeg klarer det ikke!
Lærer hjelper henne videre, med å gjenta
oppgaven. – Du har 80 kr og så skal du kjøpe
deg brus. Hvor mye må du betale i kiosken for
brusen? … Jeg må betale 20 kr … eller blir det
mer? Nå forslår lærer at hun tegner ned pen-
gene. Hun tegner ned en tier og fem kronestyk-
ker og sier videre: så tar jeg en tier til … Kan jeg
veksle en tikroning, tror du? Til slutt klarer hun
å finne frem til at det blir 30 kr, og teller seg
frem til at hun da vil ha 50 kr igjen av de 80.
Lars på sin side viser stor kompetanse i
kommunikasjon. Han forklarer løsningene
sine på en tydelig måte, og han bruker et mate-
matisk språk i sine forklaringer. Han sier blant
annet hundreplass, og han bruker helt naturlig
tiere og enere. Lars har heller ingen problemer
med å forstå innholdet i problemløsningsopp-
gavene, og han viser god begrepsforståelse. På
oppgaven – Du har 4 poser med kjærligheter.
1/2005 tangenten18
Det er 8 kjærligheter i hver pose. Hvor mange
kjærligheter har du? viser han at han både har
flere mulige løsningsmetoder og at han klarer
å formidle hvordan han tenker: Han sier: 16 +
16 er 32! Han skriver ned 8×4 = 32 mens han
forklarer: – Det er 8 i hver pakke og så er det 4
pakker, det blir 32. – Jeg kunne også ha skrevet
det slik: 8 + 8 + 8 + 8 = 32. Men jeg tenkte slik:
(8 + 8 = 16) ⇒ 16 + 16 = 32.
Eksemplene illustrerer at dialogen med
lærer er verdifull når vi skal vurdere elevene
sin matematiske kompetanse. For å få et full-
godt bilde av kompetansene til elevene våre, er
det ikke tilstrekkelig med en to timers prøve.
Men dette vil jeg komme nærere inn på i den
neste artikkelen.
Litteraturliste[1] Bergem, O. C. (2002) Utvikling av matematikk-
oppgaver i PISA. Hovedfagsoppgave levert til Institutt for læreutdanning og skoleutvikling ved UiO.
[2] Lie, S, Kjærnsli, M, Roe, A og Turmo, A; Nasjo-nal hovedrapport PISA 2000: Godt rustet for framtida? Norske 15-åringers kompetanse i lesing og realfag i et internasjonalt perspektiv. Acta Didactica 4/2001
[3] Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen
(NSMO); www.matematikksenteret.no Infor-masjon om de Nasjonale Prøver i matematikk.
[4] Niss, M (1999). Kompetencer og uddannelses-beskrivelse, Uddannelse 9: 21–29. Danmark
[5] Niss, M, Jensen, T. H. (2002) Utdannelsessty-relsens temahefter nr. 18- 2002; Kompetancer og matematiklæring. Undervisningsministeriet, København
(fortsatt fra side 6)
kubene. Følger ellers samme prinsipp som for
’i tredje rekka’.
Setter X Z= 4 , Y Z= +( )1 4 . Formelen blir
da:
Y X Z Z Z Z Z Z Z Z
Y X Z Z Z
= + × + × + + + + +
= + + + +
3 3 3 3 1
4 6 4 1
2 3 2
3 2
Løser vi ut Z får vi formelen:
Y X X X X= + + + +4 6 4 14 3 4 2 4( ) ( ) ( ) .
En generell løsningEtter hvert begynte jeg å undre meg om det
fantes en generell løsning for tall opphøyd i
hva som helst. Jeg hadde begynt å tenke på det
allerede når jeg holdt på med ’kubikkrekka’,
men nå så jeg en viss likhet mellom denne og
formelen for tall opphøyd i fjerde potens. Jeg
prøvde med mange generelle uttrykk uten å
lykkes.
Til slutt innså jeg at løsningen var enklere
enn jeg hadde trodd. Ved å bruke de samme
definisjoner for Y og Z som tidligere, og når n
er naturlige tall, får vi:
Y Z n= +( )1 .
Da X Z n= blir Z Xn= . Får da den generelle
likningen:
Y Xn n= +( )1 .
tangenten 1/2005 19
Per Storfossen
Lag et regnestykke med 25 som svarPå barnetrinnet møter elevene tallregningen
eller aritmetikken. Addisjon eller addisjons-
oppgaver blir først presentert. Deretter følger
ofte de andre basisregningsartene i rekkefølgen
subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Kan-
skje det er mulig og fruktbart samtidig å ta i
bruk alle de fire basisregningsartene for å hjelpe
elever til å se sammenhengen mellom dem når
tallene som oftest er små? Hvilken oppgavetype
kan i så fall stimulere til en slik elevaktivitet? En
slik problemstilling ga grunnlag for at elevene i
en fjerdeklasse ved Lovisenberg skole i Hamar
arbeidet med å løse oppgaven «Lag et regne-
stykke med 25 som svar».
Senere har vi oppdaget at den samme opp-
gavetypen er gitt i Nasjonale Prøver med opp-
gaveteksten «Lag fem forskjellige regnestykker
med 24 til svar».
Fokus var å se hvordan elever opplever
møtet med regningsartene. Elevene hadde ikke
tidligere erfaring med den oppgavetypen. Vi var
spente på hvordan de ville reagere på selve opp-
gaveformuleringen, og hvordan de ville komme
i gang med å løse en slik åpen oppgave. Ville de
for eksempel lage kun ett regnestykke som de
ble bedt om, eller mange regnestykker hvor alle
de fire basisregneartene kom i betraktning?
Vi prøvde å unngå presentasjon og bruk
av standardalgoritmer (effektive, rigide og
abstrakte ‘regnemaskiner’) når tallene er små,
og når elever selv foretrekker å bruke egne
metoder.
Elevene gikk til verketLæreren skrev bare oppgaveteksten på tavla, og
ga dem ikke veiledning eller forklaring. Hen-
sikten var å gi elevene en reell sjanse til å prøve
seg på utfordringene oppgaven ga. Elevene gikk
til verket.
Responsen til oppgaveteksten uteble ikke.
Noen satt som spørsmålstegn og spurte «Hva
skal jeg gjøre, jeg forstår ikke noe? Skal jeg
gange eller legge sammen?» Andre uttalte etter
en kort stund «Hei, det går ikke an å stoppe,
det er jo ørthen måter å gjøre dette på». Den
sistnevnte kommentaren reflekterte til opplev-
elsen av å se den store mengden av regnestykker.
De så for seg ‘uendelig av muligheter’. Vi lærere
fikk oppleve å se barns naturlige nysgjerrighet
og kreativitet komme til syne. Den umiddelbare
friheten ved det å komponere noe og å kaste seg
ut i et ‘undersøkelseslandskap’ var noe nytt og
spennende for dem. Det var også konkurranse
mellom noen av elevene om å lage flest mulig
regnestykker. Her ble det mye regnetrening!
Per Storfossen er høgskolelektor i matematikk fagdidaktikk ved Høgskolen i Hamar, studiested Elverum, [email protected]
1/2005 tangenten20
Den andre gruppen av elever hadde prob-
lemer med å komme i gang med oppgaven. Det
så ikke ut til at de fikk tak i hva som var menin-
gen med den, eller hva de skulle gjøre. Etter en
stund fikk de hjelp av læreren som foreslo hvor-
dan de kunne arbeide.
I etterkant snakket vi med noen elever for
å få nærmere kjennskap til framgangsmå-
tene deres. Vi så spor av flere mulige tanke-
modeller. I elevbesvarelse nr. 1 er det første
regnestykket 100 : 4 = 25, mens det siste er
1000000 : 40000 = 25. I linjen under dobles både
dividend og divisor slik at en får 200 : 8 = 25.
Neste regnestykke, 300 : 12 = 25, kan være en
transformasjon av 100 : 4 = 25 ved at dividend
og divisor er multiplisert med 3.
3000 : 120 = 25 kan være framkommet ved
å multiplisere med 10 i både teller og nevner
i det tidligere regnestykket 300 : 12, eller ved å
multiplisere med 30 i både teller og nevner i reg-
nestykket 100 : 4. Det er også mulig å komme
fram til det samme resultatet ved å addere
(kombinere resultater fra tidligere regnestykker)
tellerne og nevnerne hver for seg i regnestyk-
kene 100 : 4 og 200 : 8 ved at (100 + 200) : (4 + 8
) = 25. Resultatet er gyldig fordi 1004
2008
25= =
og 100 2004 8
100 1 24 1 2
25++
++= =( )
( ) ved at kvotienten (kon-
stanten) er den samme (25). Resultatet er gener-
aliserbart eller allmenngyldig fordi når ab
k ak b
= =⋅⋅
kvotient, vil a kab kb
a kb k
ab
++
++= = =( )
( )11
kvotient. Å nytte
at kvotienten er den samme krever en innsikt i
brøkbegrepet.
Et nytt regnestykke kan framkomme ved å
ta utgangspunkt i et tidligere regnestykke, for
deretter å multiplisere teller og nevner med en
ønsket konstant. Et eksempel er regnestykket
7000 : 280 = 25 som kan utledes fra det tidligere
regnestykket 1000 : 40, hvor den valgte kon-
stanten er 7. Flere regnestykker indikerer at
eleven kan ha en oppfattelse av multiplikas-
jon og divisjon som motsatte regneoperas-
joner. Vi får bekreftelser på dette når vi gjen-
Tre eksempler på elevarbeider
Elevbesvarelse nr. 1
Elevbesvarelse nr. 2
Elevbesvarelse nr. 3
tangenten 1/2005 21
kjenner dobling og halvering i regnestykket
100 4 100 200 200 8 251004
14
18
: := = ⋅ = ⋅ = = .
I elevbesvarelse nr. 2 starter eleven med å
skrive addisjonstykket 21 + 4 = 25. I linjene
under legger eleven til en i den ene addenden
for samtidig å trekke fra en i den andre, slik at
regnskapet holdes i orden. Dette indikerer elev-
ens forståelse av at subtraksjon og addisjon er å
betrakte som motsatte regneoperasjoner. For-
holdet kommer fram for eksempel av transfor-
masjonen 25 + 0 = 25 til 31 – 6 = 25. Vi merker
oss også at det trer fram et tallmønster gjennom
elevenes tallregninger.
I besvarelse nr. 3 viser eleven hvordan reg-
ningsartene kreativt kan anvendes og settes i
sammenheng med hverandre. I regnestykket
5 · 6 – 5 = 25 benyttes eksempelvis både mul-
tiplikasjon og subtraksjon. Vi antar at eleven
har en tallforståelse ved at ett tall kan uttrykkes
på ulike måter ved hjelp av ulike regneoperas-
joner.
De tre elevbesvarelsene viser at vi ikke bare
fikk ett regnestykke som vi ba om, men mange
regnestykker. I alle eksemplene brukes likhets-
tegnet riktig som en balanse ved å assosiere
det med å gjøre sammenlikninger. Dette skjer
når eleven går fra et regnestykke til det neste
regnestykket. Til venstre for likhetstegnet lager
eleven et regnestykke (regneoperasjon) og til
høyre for likhetstegnet finnes svaret på reg-
nestykket (25). Denne dualismen med bruken
av likhetstegnet kommer til syne i eksemplene.
Alle regnestykkene kunne derfor føres under
hverandre, noe elevene var vant til. Vi opplevde
at oppgaven stimulerte elevenes fantasi og
kreativitet. Den var utfordrende å arbeide med
for lærere og elever. Arbeid som dette kan gi
grunnlag for videre bevisstgjøring av likhets-
tegnets funksjon og av hvordan regneartene
henger sammen.
En gjennomgang av elevarbeidene viser at
alle utregningene gjøres med hoderegning. Reg-
nestykkene føres rett inn i kladdeboka uten mel-
lomregninger. De valgte ikke å bruke kalkulator
som alle hadde tilgjengelig. Kladdebøkene viser
at det sjelden forekom regnefeil i utegningene.
Monografisk metode Flere av elevarbeidene viser at det falt dem
naturlig å anvende alle regningsartene. I opp-
gaven utnyttet de sammenhenger mellom dem.
Denne anskueliggjørelsen er gjort før. Gudrun
Malmer [3] beskriver en metode kalt for mono-
grafisk metode. Metoden tar hensyn til at de
fire regningsartene henger tett sammen. Hun
mente at barnet opplever denne helheten i sine
tidlige møter med matematikken. Hun refererer
til tyskeren Grube [2] som utviklet metoden på
midten av 1800 tallet. Grube foreslo at det var
bedre å arbeide med alle regningsartene samti-
dig (under ett) for å se den tette sammenhen-
gen mellom dem, enn i stedet å behandle dem
som strengt atskilte regningsarter hvor addisjon
kom først. Metoden representerer en slags hel-
hetstenkning der en går fra helhet til deler, og
kaller den for analytisk metode. Forfatteren R.
Braun [1] gjør rede for Grubes arbeide og den
monografiske metode. Også Heiberg Solem og
Lie Reikerås [4] oppfordrer til monografisk til-
nærming.
Referanser[1] Braun R. (1979). Mathematikunterricht und
Erziehung: die monographische Methode A. W. Grubes als didaktisch-methodisches Konzept eines erziehenden Rechenunterrichts, zugleich ein Beitrag zur Geschichte der Grundschul-didaktik der Mathematik. Europäische Hoch-schulschriften. Reihe 11, Pädagogik; 68. Frankfurt am Main.
[2] Grube A. W. (1860). Pädagogische Studien und Kritiken für Lehrer und Erzieher. Leipzig: Brandstetter.
[3] Malmer G. (1991). Kreativ matematikk. Ekelunds Forlag AB
Barbro Grevholm er professor i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Agder, Norge og Högskolan Kristianstad, Sverige, [email protected], [email protected]
Barbro Grevholm
Kognitiva verktyg för lärande i matematik – tankekartor och begreppskartor InledningFör en alltför stor grupp elever är matematik
det besvärligaste skolämnet att komma till
rätta med. Läraren finns där för att stödja och
hjälpa eleven när det blir svårt att gå vidare i
lärandet. I aktuella rapporter från PISA-under-
sökningen visar det sig att norska elever ligger
under genomsnittet i matematik i OECD-län-
derna. Detta har väckt debatt i stora kretsar
och många undrar varför det måste vara så när
Norge är ett land med så goda resurser mänsk-
ligt och materiellt.
Det finns en tradition i matematik för lärare
att diagnosticera sina elever med olika typer
av prov och diagnoser. Därmed kan lärare
i regel ganska klart peka ut var eleven står i
sin lärandeprocess och vad som ännu inte
är uppnådda kunskaper. I Norge har omfat-
tande arbete utförts för att utveckla lärares och
elevers möjligheter till diagnoser och att följa
upp dem på ett meningsfullt sätt och en del av
arbetet är utgivet i serien ’Kartlegging av mate-
matikkforståelse’ utgivet av Læringssenteret. Se
till exempel Streitlien, Wiik och Brekke [11]. I
Norge betonar kursplanen L97 begreppsbild-
ning och begreppslig förståelse.
Men hur går man vidare därifrån och hur
kan eleven få individuell hjälp och stöd att ta
ett steg till i utvecklingen? Var kan läraren få
hjälp med att välja ut de åtgärder som är lämp-
liga för just en viss elev med klart fastlagda
svårigheter? Söker man efter litteratur som
läraren kan dra nytta av i en sådan situation
är det svårt att finna något. Lärares professio-
nella kunskaper är i hög grad talade eller tysta
kunskaper som förs över med traditioner från
en generation av lärare till nästa.
Det finns dock forskning som kan ge upp-
slag om lämpliga utvägar för läraren och eleven
i samarbetet. För lärare finns det i regel inte
tid avsatt att på egen hand sätta sig in i sådana
forskningsrapporter och dra ut lämpliga kon-
sekvenser av dem.
Vad säger forskningen?Ett exempel som kan nämnas är Ebbe Möl-
leheds avhandling [9] om problemlösning i
matematik. Han visar att den viktigaste fak-
torn som påverkar eleven när det gäller fram-
gång i att lösa problem är förmågan att förstå
tangenten 1/2005 23
texten i uppgiften. Det resultatet stämmer med
flertalet lärares egna erfarenheter. Men hur ofta
sker aktiviteter i klassrummet med avsikt att få
eleverna att fokusera på betydelsen av att förstå
en problemtext? Ytterst få läroböcker innehål-
ler övningstyper som arbetar med textförstå-
else. Detta är bara ett exempel på att många
vet vad som krävs men trots det arbetar vi inte
aktivt med uppgiften på ett sätt som stämmer
med våra kunskaper om problemen.
Många forskare använder modeller i form
av nätverk eller kognitiva strukturer där ny
kunskap kopplas till den tidigare genom länkar
för att beskriva hur kunskapen utvecklas hos
individen (Hiebert & Lefevre [4]; Novak [7]).
Det ligger då nära till hands att använda kog-
nitiva verktyg som anknyter till nätverk.
En annan aspekt som också är välkänd är
att det är svårt för elever att själva bygga upp
en struktur och överblick över sina kunskaper.
Här kan lärare vara till god hjälp om de förser
eleverna med sådana kognitiva verktyg som
passar för att skapa struktur och visa helhe-
ter. Jag ska ta upp och diskutera några sådana
kognitiva verktyg och deras användningsmöj-
ligheter.
Begreppskartor som kognitiva verktygBegreppskartor förekommer i många olika
former, som namn på bilder som knyter
samman företeelser och fenomen som kan
associeras till varandra. Det kan vara i form
av en spindelvävsliknande struktur eller i en
hierarkisk struktur. De förra kallas ofta tanke-
kartor (Buzan, [1]). Tankekartans egenskaper
och användningsmöjligheter kan kort sam-
manfattas så här:
– kan ge skiss av ett område översiktligt
– kan vara en sammanfattning
– kan vara en självdiagnos efter studier
– för repetition
– för redovisning
– är en mental kartbild
– kan knyta samman nyckelord och
begrepp
Begreppskartorna introducerades på 70-talet
av Joseph Novak [6–8] som ett kraftfullt verk-
tyg för lärande. Egentligen utarbetade Novak
och hans medarbetare från början begrepps-
kartor som ett instrument för att i en samlad
bild sammanfatta huvuddragen i elevers
begreppsuppfattning av det som kom fram i
en forskningsintervju. I lärarutbildningen har
jag använt dem för att synliggöra och disku-
tera centrala begrepp och hur de utvecklas.
Studenter bedömer verktyget som användbart
både i eget lärande och i sin egen undervisning
(Grevholm, [2, 3]).
Figur 1, som presenterades på LUMA 1998
(konferens för lärarutbildarna i matematik
i Sverige), är min begreppskarta över vad en
begreppskarta är. Begreppskartan är en bild
som representerar en persons kunskaper vid
ett visst tillfälle uttryckta genom påståenden.
Påståendena länkar olika begrepp till varan-
dra med hjälp av länkord, som oftast är verb.
Begreppen är i regel substantiv. Begreppen
är hierarkiskt strukturerade i begreppskar-
tan. Länkarna visar hur de olika begreppen
är förbundna med varandra i ett nätverk, en
kognitiv struktur. Länkorden har en viktig
roll i att ge mening åt kartans delar och skiljer
begreppskartor från tankekartor, där det i regel
saknas.
Begreppskartor kan användas både vid
undervisning, inlärning, diagnosticering och
bedömning. De skiljer sig från tankekartor
genom att de är byggda av kunskapspåståen-
den och är hierarkiska. Länkorden är viktiga
och saknas i regel i en tankekarta. Konstruk-
tion av kunskap är en komplex produkt av
1/2005 tangenten24
den mänskliga kapaciteten, den kulturella
kontexten och förändringar i utvecklingen av
relevanta kunskapsstrukturer och verktyg för
att erövra ny kunskap (Novak 1998). Novak
hävdar att begrepp spelar en central roll i både
lärandets psykologi och teorier om kunskap.
Novak definierar ett begrepp som uppfattade
regelbundenheter i händelser eller objekt och
som vi har infört en etikett eller benämning
för. Etiketten kan vara ett ord eller en symbol.
Novak har använt begreppskartor som ett
verktyg för att representera strukturer eller
ramverk av begrepp/påståenden, som har här-
letts från kliniska intervjuer eller konstruerats
av lärande subjekt. Begreppskartor har visat
sig vara användbara verktyg vid planering av
undervisning och för att hjälpa studenter att
lära sig hur man lär.
Några exempel på begreppskartor i matematikFigur 2 är ett exempel på en begreppskarta
som ritats av en matematiklärare i Sverige,
som deltog i en workshop om begreppskar-
tor. Läraren hade aldrig tidigare ritat sådana
kartor. Andra lärare ritade kartor som till stora
delar liknade den här, så den är på intet sätt
specifik. Vad kan jag då läsa ut ur denna karta?
För det första ser jag att läraren ritar in fler
begrepp än vad jag brukar få från mina lärar-
studerande. Ett sådant exempel är olösbar, som
egenskap för en ekvation. Kanske ser vi också
att läraren är mest inriktad på polynomekva-
tioner eftersom hon tar upp att ekvationer kan
vara av olika grad. Det är vanligt att lärarstu-
derande är mera kategoriska och skriver ’har
olika grad’. De glömmer då helt bort att de löst
många andra typer av ekvationer såsom tri-
gonometriska, exponentiella osv. När exempel
Figur 1
tangenten 1/2005 25
nämns blir det oftast sådana som varit kun-
skaper länge hos den som ritar, alltså de första
mera grundläggande kunskaperna mera ofta
än de mest färska. Vi ser även att läraren är
medveten om till vad ekvationer kan användas
och att de kan beskriva olika skeenden. Det är
mindre vanligt att elever visar fram den sor-
tens övergripande kunskaper. Läraren ger även
exempel på tre olika sätt att lösa ekvationer
och visar även där prov på god överblick. Inga
irrelevanta eller triviala påståenden finns med,
vilket kan förekomma hos yngre elever som har
svårt att fokusera på väsentligheterna.
Vi kan jämföra denna karta med en som är
ritad av en lärarstuderande nio månader efter
att hon avslutat sina kurser i matematik (F6
9912, figur 3).
Vi finner många gemensamma element
i kartorna. Båda säger att en ekvation är en
likhet som innehåller variabler eller okända.
Båda talar om att det kan finnas en eller flera
lösningar. Vilka skillnader finns det? Den
lärarstuderande har vissa triviala påståenden
som att den okända kallas x, y eller z. Den
lärarstuderande drar in begreppet ekvations-
system, som ingår i kursen i funktionslära för
dem. Hon skriver också om lösningsmetoder,
men kopplar lösningsmetoder för ekvations-
system till ekvationer istället för ekvations-
system. Här ser vi alltså kopplingar som bör
strukturers om. Av metoder för att lösa ekva-
tioner nämner hon enbart grafisk och gissa och
pröva. Hon har givetvis löst ekvationer både
algebraiskt och numeriskt, men de kunska-
perna kommer inte fram vid det här tillfället.
När den lärarstuderande fick rita om sin karta
ett halvt år senare såg den ut som i figur 4.
Nu har bilden fått en bättre struktur. Ekva-
tionssystem och deras lösningsmetoder är rätt
hopkopplade. Lösningsmetoder för ekvationer
har blivit faktorisering och prövning, fortfa-
rande lite ofullständigt. Men den lärarstu-
derande nämner fortfarande ingenting om
vad ekvationer kan användas till. Begreppet
Figur 2
1/2005 tangenten26
okänd har utgått till förmån för variabel och
hon talar fortfarande om att de brukar kallas
x, y eller z. Under tiden som gått från decem-
ber 1999 till juni 2000 hade denna lärarstude-
rande inga kurser i matematik och heller inte
någon skolpraktik i matematik. Trots det har
det hänt något med hennes begreppsstruktur,
den har förfinats och blivit mer logisk och
tydlig. Hennes matematiska språk har förbätt-
rats. Detta är tydligt även för andra studenter,
vars kartor jag studerat. Det tyder på att det
händer något med begreppsstrukturen även
då den lärande inte aktivt arbetar med ämnet.
Det är en spännande observation, som det vore
intressant att veta mer om.
När är en begreppskarta en bra begreppskarta?För den individ som ritar kartan är den alltid
rätt i den meningen att den utgör den bild av
begreppsstrukturen som individen har just
då. För en lärare kan däremot kartan signa-
lera sådana observationer som jag har beskri-
vit ovan. Kanske ser man att vissa underbe-
grepp saknas. Kanske är vissa kopplingar lite
märkliga och kan behöva ifrågasättas. Kanske
är vissa delar ofullständiga. I samtal mellan
lärare och elev om en karta kan sådana ting
komma fram. Eleven kan få uppgifter som gör
det möjligt att tillägna sig den kunskap som är
ofullständig eller saknas helt. Om vissa kopp-
lingar är märkliga behöver det kanske utma-
nas i en problemsituation? Det är alltså inte så
fruktbart att tänka i termer av en bra karta. En
karta ska vara en bild av hur den ritande just då
uppfattar sin begreppsstruktur. Och en karta
ska vara ens egen. Lärarens kartor bör nog inte
användas som instrument i undervisningen.
Eleven ska rita så som hon har konstruerat sin
egen kunskap, allt i konstruktivistisk anda.
Figur 3
tangenten 1/2005 27
Däremot kan det vara fruktbart för elever att
jämföra sina kartor och ställa frågor om vad
som skiljer och förenar.
Hur kan begreppskartor användas?I litteraturen finns beskrivet en rad olika sätt
att använda begreppskartor (Novak 1998). Vid
starten av ett nytt avsnitt kan läraren inleda
med en kartläggning av elevernas förkunska-
per genom att de får berätta allt de vet genom
påståenden. Dessa kan skrivas upp på tavlan
och därefter sammanfogas i en begrepps-
karta. Kartan blir ett synligt bevis på klassens
utgångsläge inför nya kunskaper. Efter det att
klassen arbetat igenom det nya avsnittet kan
en ny karta ritas. Jämförelse med den tidi-
gare kartan kan då synliggöra nya kunskaps-
strukturer och begrepp. Detta är då exempel
på kartor som innehåller en grupps samlade
kunskaper. I en jämförelse blir det tydligt för
både lärare och elever om några luckor finns i
associationerna mellan begrepp eller om elever
har olika uppfattning om hur begreppen ska
länkas samman.
En elev som vet hur begreppskartor ritas
och fått en viss vana att göra det kan använda
verktyget i sitt eget lärande. När ett nytt avsnitt
bearbetats kan eleven försöka rita sin egen
karta över de nya kunskaperna. Det visar sig
att kartorna är högst individuella. Steg för steg
kan eleven i kartan rita in sin egen kunskaps-
utveckling och se om det sker nytt lärande eller
Figur 4
1/2005 tangenten28
inte. I samtal med läraren kan eleven diskutera
om hans karta stämmer med en mera allmän
syn på begreppen eller om eleven kanske fått
en vag eller oklar bild av hur begreppen hänger
samman.
För att skapa utmaningar i lärandet kan
läraren låta elever rita sina egna enskilda
begreppskartor och därefter be dem att i små
grupper jämföra sina kartor inbördes. Elever
upptäcker då likheter och skillnader och vär-
defulla diskussioner uppstår om varför de har
olika uppfattningar på vissa punkter. Det kan
leda till att någon elev ändrar uppfattning och
ser nya möjligheter att förstå begreppssam-
banden. Elever kan upptäcka att vissa kartor
är rikare än andra och har fler länkar. De kan
få impulser att införliva fler delar i sin egen
karta och på så sätt utvidga sin syn på begrep-
pen inom området. I samtalen får elever till-
fälle att utveckla ett matematiskt språk och får
ge uttryck för hur de tänker matematiskt och
motivera det för kamraterna. Resonemang och
samtal av detta slag är väsentliga för lärandet
(Schoenfeld, [10]).
Kartorna kan användas för läraren att skapa
sig en bild av hur en student tänker. De fung-
erar då som ett alternativt diagnosinstrument,
som kan användas upprepade gånger. Lärare
kan använda begreppskartor för sin egen del.
Att rita en karta inför ett nytt avsnitt inne-
bär att du som lärare tydliggör för dig själv
vilka centrala begrepp och delbegrepp du vill
behandla och hur du ser sambanden mellan
dem. Det kan tydliggöra för dig som lärare
vissa kopplingar, som du kanske annars inte
hade betonat så starkt. Om elever ska få en god
begreppsuppfattning måste de få de viktiga
begreppen belysta ur olika aspekter så ett de
får en rik och nyanserad begreppsbild (Niss,
[5]).
Sammanfattningsvis gör jag en översikt
över hur begreppskartor kan användas dels i
grupp eller klass dels för enskilda elever:
I grupp eller klass
En begreppskarta kan fungera
– som inledning eller brainstorm för att
diagnosticera kunskaper
– som avslutning, för att sammanfatta och
ge en helhetsbild
– vid genomgång för att se var man fogar
till ny kunskap till den tidigare
– som startpunkt för jämförelser och dis-
kussion
För enskilda elever
En begreppskarta kan fungera
– genom att dokumentera elevens kunskaper
för henne själv
– för att skapa överblick
– för att kunna visa hur ny kunskap utvecklas
och fogas till den tidigare
– som jämförelse över tid för att eleven ska
kunna iaktta sin egen utveckling
– vid samtal med kamrat för jämförelser
– för att utveckla sitt språk inom ämnet
– för att se var det finns luckor i kunskaperna
eller outvecklade föreställningar
– för att sammanfatta studier
– för att repetera vid senare tillfälle
För läraren själv
En begreppskarta kan användas
– för att skapa överblick vid förberedelser av
undervisning
– för att strukturera sin undervisning
– för att bedöma och examinera elevers kun-
skaper
– för att prioritera vid val av stoff
– för att granska sin egen bild av kunskaper
inom ett område
tangenten 1/2005 29
Begreppskartor är kraftfulla verktyg men man
måste själv ha prövat på för att verkligen känna
styrkan i dem. Det finns god datorprogamvara
tillgänglig på nätet utan kostnad. Med ett pro-
gram som Cmap kan man enkelt rita tydliga
och bra kartor som kan vara till stor hjälp i
arbetet.
Litteratur [1] Buzan, T. (1982). Använd huvudet bättre.
Stockholm: Undervisningstjänst.[2] Grevholm, B. (2000a). Teacher education in
transition: The case of Sweden. Kristianstad: Högskolan Kristianstad.
[3] Grevholm, B. (2000b). Research on student teachers learning in mathematics and mathe-matics education. I Proceedings from Interna-tional Conference of mathematics Education 9, Makuhari, Tokyo, Japan.
[4] Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics. An introductory analysis. I J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: the case of mathematics. (pp 1–27). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
[5] Niss, M. (2001). Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status. I B. Grev-holm (ed.) Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
[6] Novak, J. D. (1985). Metalearning and metaknowledge strategies to help students learn how to learn. I L. West & A. Pines (eds.), Cognitive structure and conceptual change, pp. 189–207. New York: Academic Press.
[7] Novak, J. D. (1998). Learning, creating and using knowledge. Mahwah, New Jersey: Law-rence Erlbaum.
[8] Novak, J. D. & Gowin, D. B. (1984). Learning how to learn. Cambridge: Cambridge Univer-sity Press.
[9] Möllehed, E. (2001). Problemlösning i grund-skolan. Malmö: Malmö Högskola.
[10] Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metakogni-tion and sense-making in mathematics. I D. A. Grouws (red), Handbook for research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan.
[11] Streitlien, Å., Wiik, L. & Brekke, G. (2001). Tanker om matematikkfaget hos elever og lærere. Læringssenteret.
1/2005 tangenten30
Nils Kristian Skiple
Kva må gjerast for at elevane skal bli flinkare i matematikk?
Utgangspunktet for denne teksten er evalu-
eringa av L97 (Brekke m.fl. 2003) og resultata
frå den internasjonale undersøkinga PISA2000
(Kjærnsli og Lie 2003).
Evalueringa av L97 viser at elevane sine
rekneferdigheiter har gått ned frå 1995 til 2003,
og at intensjonane i læreplanen i liten grad er
følgd opp i praksis.
Resultata frå PISA2000 viser at Noreg gjer
det spesielt dårleg i matematikk.
Det er difor nødvendig å gjera noko, men
kva?
Brekke foreslår ein tydlegare læreplan og
meir kursing av matematikklærarane. Eg er
einig i det, spesielt at det trengst ein tydlegare
læreplan. Men for at den læreplanen skal bli
god er det viktig at ’kvardagsperspektivet’ frå
’grasrota’ kjem fram.
For det første, lærarane får så utruleg mange
føringar frå styresmaktene, kva garantiar har
me då for at føringane knytt til matematikk
skal bli prioritert?
Og for det andre, når læreplanen ikkje blir
følgd opp i praksis, så må det også vera grun-
nar for det knytt til den einskilde elev, lærar og
skule. Vil elevane læra matematikk? Kva sosio-
økonomisk bakgrunn har dei? Kva haldningar
har dei til skulearbeid generelt? Kva tenkjer
eigentleg lærarane? Kva haldningar har dei til
faget? Kva erfaringar har dei? Kva identitet har
dei? Korleis er arbeidsmiljøet på den einskilde
skule? Er realfaglærarane inkludert i felles-
skapen, er det rom for refleksjon, er det rom
for nytenking, korleis er dei fysiske forholda
på skulen, korleis er budsjettet, kor sterke er
føringane frå kommunen og staten? Dette er
eit utval spørsmål meir direkte knytt til sku-
lekvardagen og livet i skulen. Og når desse
vert drøfta trur eg det er viktig å ha eit ’ned-
anfrå og opp-perspektiv’, i motsetning til det
meir vanlege ’ovanfrå og ned-perspektivet’. I
det følgjande vil eg avgrensa meg til lærarane
ved å laga ei historie om to ulike lærartypar,
Nils Kristian Skiple studerer matematikk fagdidaktikk ved Universitetet i Bergen, [email protected]
tangenten 1/2005 31
og drøfta kva som skal til for at dei skal dra i
same retning.
Lærar A er ein mann i 50-åra med universitets-
utdanning innan realfaga, og lærar B er ei ung
forholdsvis nyutdanna kvinne med allmenn-
lærarutdanning. Dei jobbar på ein bynær, stor
ungdomsskule, me er i år 2000, og L97 er offi-
sielt ferdig innførd.
Lærar A underviser framleis på gamlemå-
ten; omgrep og algoritmar blir gjennomgått
ved hjelp av tavla, elevane øver på dei ved hjelp
av læreboka. Elevane til lærar A får dei beste
eksamensresultata, elevane er fornøyde, forel-
dra er fornøyde og rektor er fornøyd. Rektor
veit at læreplanen ikkje blir følgd, men når
alle er fornøyde, så er det lett ’å sjå gjennom
fingrane’ med det. Elles er det verdt å merka
seg, at når alle elevane til lærar A er fornøyde,
så betyr ikkje det at alle jobbar med matema-
tikken, ein fjerdedel av elevane avskyr faktisk
matematikk. Dei putlar med forskjellige små-
ting i timane eller dagdrøymer, men dei har
bøkene framme og er rolege. Dette ser lærar
A, men han seier ikkje noko så lenge dei ikkje
forstyrrar undervisninga. Elevane skjøn-
nar denne innforståtte avtalen og held seg i
ro. Resultat, alle er fornøyde og harmonien
rår. Når lærar A lar dei som ikkje jobbar med
matematikk få vera i fred, så gjer han det, fordi
han ut frå erfaring veit at det er umogeleg å
læra dei umotiverte noko, og han veit heller
ikkje noko om korleis han eventuelt skal endra
motivasjonen deiras.
Lærar B har lest grundig i læreplanen og har
på lærarskulen vorte fora med idear om kon-
tekstavhengig matematikk og konstruktivisme.
Ho prøvar etter beste evne å realisera dette.
Elevane jobbar i grupper med forskjellige
lærebøker, dei set sine eigen læringsmål og
lagar sine eigne arbeidsplanar, dei ’tar ansvar
for eiga læring’ for å bruka ei noko slitt frase.
Lærar B ser på seg sjølv som rettleiar, tavla
blir ikkje brukt til gamaldags formidling frå
lærar til elev. På gode dagar opplever ho at
elevane bruker tavla til å forklara kvarandre
eit eller anna matematisk problem, det gjer ho
veldig glad. Vanlegvis er ho i godt humør, men
ho vert av og til litt lei og sur. Spesielt når dei
mest initiativfattige av elevane og klagar på
at dei ikkje lærer noko. Ho er litt redd for at
dei skal få foreldra til å gå til rektor og klaga,
men veit innerst inne at ho har sitt på det tørre,
fordi ho held seg til læreplanen.
Resultata til klassen på dei felles heildags-
prøvane har vore under middels, ho fryktar litt
for korleis det skal gå til eksamen. Ho skjønar
at ho ikkje enno har funne den beste måten å
organisera undervisninga, difor prøver ho ut
stadig nye måtar å gruppera elevane på, utvi-
klar stadig nytt materiell som ho gjev dei, og
eksperimenter med ulike leikar, spel og dra-
matiseringar. Ekskursjonar har ho slutta med,
fordi det rett og slett krevde for mykje forar-
beid, sjølv om dei andre lærarane på teamet var
positive. Lærar B brukar veldig mykje tid til å
førebu seg, men det tar på, ho er i ferd med å
bli litt sliten.
Elevane er vanlegvis fornøyde, dei får vera
aktive, og får prata om alt muleg i matema-
tikktimane. Det er ikkje alltid dei snakkar
om matematikk, men dei har lært at dei må
snakka om matematikk når frøken nærmar seg
det bordet dei sit ved, for elles vert ho sur, og
det er så plagsomt. Alle elevane tykkjer det er
kjekt med leikar, spel og drama. Til og med dei
som til vanleg ikkje orkar å ta ’ansvar for eiga
læring’ ved å laga eigne planar og følgja dei.
Alt i alt, elevane er fornøyde, men ein del
av dei flinke og ambisiøse elevane skjønar at
dei lærer lite på skulen, difor jobbar dei mykje
1/2005 tangenten32
heime med matematikkoppgåver som har
fasitsvar. Men dei klagar ikkje, for det er moro
å vera på skulen i matematikktimane.
Lærar A og lærar B står for kvar sin ytterkant,
lærar A for tradisjonen og lærar B for det nye
knytt til L97. Det er positive og negative aspekt
knytt til både lærar A og B si undervisning.
Kva skal til for at dei skal samarbeida, slik
at det nye kan bli ei blandinga av det beste frå
begge? Det er eit godt spørsmål, som eg i det
følgjande skal prøva å svara på.
For det første, den nye læreplanen lyt til ein
viss grad legitimera den tradisjonelle overlæ-
ringa av omgrep og algoritmar. Det grunngjev
eg ut frå Skovsmose [2] som argumenter for
at matematikken kan forståast som eit fram-
andt språk, og McLaughlin (1987, referert i
Sjøberg [2]) som meiner at eit framandt språk
best kan lærast ved at ein del grunnleggjande
ferdigheiter vert automatisert. Ein annan
grunn er sjølvsagt den at lærar A vil ta den nye
læreplanen meir alvorleg, når den inneheld
ein metode han av erfaring veit har fungert.
I L97 låg det underforstått at hans læringssyn
var ein anakronisme, og indirekte vart han då
ein gamal stabukk, ikkje så rart då at L97 vart
lagt på hylla.
For det andre, skulane lyt etablera fagsek-
sjonar og dei må få ein agenda. Først på agen-
daen til matematikkfaget lyt det stå matema-
tikkfilosofi og vitskapsteori, kva er eigentleg
matematikk, kva er kunnskap, kva er læring,
kva er målet for matematikkundervisninga i
skulen?...Altså at dei matematikkdidaktiske
spørsmåla, kva? og kvifor?, vert diskuterte.
Kanskje kan det virka litt framandt og sært
at lærarane skal vera fokuserte på filosofiske
spørsmål, men eg støttar meg til Quale (Jorde
og Bungum [1]).
Det må utarbeidast materiell som lærarane
kan bruka som diskusjonsgrunnlag, og haldast
kurs for nokre utvalde lærarar, men det vik-
tigaste er diskusjonen på den einskilde skule.
Denne diskusjonen lyt stå på agendaen ei god
stund før ein diskuterer korleis ein skal organi-
sera den nye undervisninga. I Noreg har skule-
utviklinga på den einskilde skule, i motsetning
til for eksempel i svensk skule, hatt for sterkt
fokus på ”korleis-spørsmålet”. Dette må det
takast høgde for i utforming av den nye agen-
daen jamfør idealet innan didaktikken; først
kva, så kvifor og til slutt korleis.
For at det skal vera realistisk å oppretta fun-
gerande fagseksjonar, så må noko anna priori-
terast ned. Etter mitt skjønn må det bli alt det
funksjonæraktige arbeidet i team/ trinn knytt
til det å leggja timeplanar, årsplanar, tverr-
faglege planar o.s.v. Timeplanen, eller eit sett
med timeplanar for ulike behov, bør lagast av
administrasjonen, og den nye læreplanen må
vera så spesifisert at den kan erstatta dei fleste
planane som vert laga rundt på skulane i dag.
På den måten kan det frigjevast tid til interes-
sante fagdidaktiske spørsmål.
For det tredje, lærarane må få høve til å
hospitera, for på den måten å få nye impulsar.
Det kan vera hospitering innan skulen, følgt
opp av tid til samtale mellom dei to lærarane
etterpå. Men gjerne og hospitering knytt til
andre skular og/eller relevante arbeidsplassar
som ikkje er knytt til utdanningssektoren. Min
påstand er at norske lærarar er lærevillige, og
vil ta i mot slike tilbod med glede. Føresetna-
den er at det vert lagt til rette, slik at det ikkje
kjem på toppen av alt anna, sagt med andre
ord, at ein ikkje sjølv lyt organisera det og
ordna med vikar. Statens utdanningskontor
og/eller kommuneadministrasjonen lyt altså
vera tutorar for dette.
(fortsettes side 43)
tangenten 1/2005 33
Reidar Mosvold
Takvinkler til besvær?I matematikkundervisningen ønsker vi ofte å
trekke inn eksempler på hvordan matematikk
brukes i hverdagen. Ulike yrker gjør bruk av
ulike typer matematisk kunnskap, og proble-
met er ofte for læreren å ha oversikten over
dette. Byggebransjen gjør bruk av mye mate-
matikk, og vi skal nå se et eksempel på kunn-
skaper og hjelpemidler byggfolk gjør bruk av
når de skal konstruere og bygge et tak. Her
støter vi på et teknisk hjelpemiddel som ofte
blir brukt i vinkelberegninger ved takkon-
struksjon, men som kanskje ikke er så kjent
for folk flest.
Alle hus har tak, men formene på taket kan
variere. Vi har grovt sett tre hovedtyper: pult-
tak, saltak og valmtak (se figur 1).
Et pulttak har fall bare mot den ene siden,
og blir på folkemunne ofte kalt for flatt tak,
selv om det stort sett har en helling og derfor
strengt tatt ikke er helt flatt. Saltak har fall mot
to sider, og mannen i gata ville kanskje kalle
dette for et vanlig skråtak. Når et hus med
saltak blir sett fra siden, vil en matematiker
kunne si at det ser ut som et rektangel med en
likebeint trekant plassert oppå. Takets hellings-
vinkel kan variere. Den tredje formen er valm-
tak, som har helling mot fire sider. Et hus med
valmtak har vannrett gesims rundt hele huset
og får derfor ingen gavl slik som hus med saltak
får. Å konstruere et slikt tak er slett ingen enkel
oppgave, og det er mye matematikk som ligger
til grunn for de ulike takkonstruksjonene. Her
Figur 1
Reidar Mosvold er høgskolelektor ved Høgskolen i Telemark, [email protected]
1/2005 tangenten34
vil vi gjøre en del forenklinger, og vi tar særlig
for oss utregningen av de ulike sperrene som
brukes i byggingen. Vi behandler her materia-
lene som lengder, og tar ikke hensyn til alt en
tømmermann må tenke på når det gjelder kut-
ting og slike ting.
Vi skal først se på et enkelt saltak. Saltak
har som nevnt helling mot to sider, og bjelkene
eller sperrene som holder taket oppe kalles for
alminnelig sperr. Vinkelen som en alminnelig
sperr danner med planet kalles for hellingsvin-
kelen. I en hustegning får vi som regel oppgitt
spennvidden på huset, som er husets bredde fra
svill til svill. Svillene er noe forenklet den øver-
ste kanten på huset før en setter på
taket. Når vi ser huset fra siden,
kan vi si at loddlinja fra mønet
deler huset i to like halvdeler med
lengde L. Vi kan derfor kalle spen-
nvidden for 2L, som på figur 3.
En hustegning vil også inne-
holde enten takhøyden, som er
den loddrette linjen fra svillen til
mønet, eller hellingsvinkelen. På
vår hustegning har vi fått oppgitt spennvidden
til 8000 mm og takhøyden til 2038 mm. For å
bygge et slikt tak, må vi først regne ut hellings-
vinkelen, og så bruke den til å regne ut lengden
på alminnelig sperr. Hellingsvinkelen v kan vi
enkelt regne ut ved å bruke tangens.
tan( )v
v
=
= °
2038
400027
For å regne ut lengden på alminnelig sperre
(AS) kan vi nå bruke cosinus til v, slik at vi
får:
Figur 2
Figur 3
tangenten 1/2005 35
AS
L
v= = =
(cos( )) (cos( ))
4000
274488
Vi ser at lengden på alminnelig sperre er
4488 mm, og vi kan nå starte med å kutte
til sperrene og bygge taket. Noen praktiske
forhold kommer selvsagt med i betraktning.
Sperrene skal for eksempel passe sammen
på toppen, og derfor må kuttes på skrå i en
bestemt vinkel, men det velger vi å utelate her.
Til tross for at vi forenkler en god del i forhold