8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
1/36
GEOMETRI DIMENSI DUA
Mengidentifikasi sudut
1. Satuan Sudut
Satuan sudut ada 3 macam, yaitu derajat, radian dan gradian (gon)
a. Derajat
Besar sudut disebut satu derajat (1o), jika panjang busur
lingkarannya sama dengano360
1
dari keliling lingkarannya.
O Jadi : 1o =o360
1
. 2 r, dengan = 722
= 3,14159
Jika jari-jari r sama dengan satu satuan, maka besarnya
1o =o360
1
. 2 =o180
= 0.017 rad
Dari sistem satuan derajat dibagi lagi menjadi menit dan detik atau disebut sistem DMS (derajat,
menit dan detik) dengan konversi :
1o = 60' (menit)
1' = 60" (detik) atau
1o = 3600" (detik)
b. Radian
Besar disebut satu radian ditulis 1 rad, jika panjang busur
lingkarannya sama dengan jari-jari lingkaran.O AOB = = 1 rad dengan AB = r
Untuk panjang busur rsudut pusat = 1 radUntuk panjang busur 2 rsudut pusat = 360o
Terdapat hubungan : 2 rad = 360o atau rad = 180o
1 rad =
o180
= 57,3o
c. Gradian (gon)
Besar disebut satu gon dan ditulis 1g, jika panjang busur lingkarannya = 4001
dari keliling
lingkarannya. Jadi besar sudut pusat lingkaran = 400g.
Hubungan : 360o = 2 rad = 400g atau 180o = rad = 200g
1o = 180
200
= 1,11g atau 1g = 200
180
= 0,9o
1 rad =
200
(gon) atau 1g = 200
rad
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
2/36
2. Konversi Satuan Sudut
a. Derajat ke radian dan atau sebaliknya
Tabel Konversi satuan sudut derajat dengan radian
Derajat 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Radian 0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
b. Derajat ke gradian (gon) dan atau sebaliknya
keliling lingkaran = 1 putaran = 360o = 400g atau 180o = 200g
1o = 180
200
x 1g = 1,11g
1g = 200
180
x 1o = 0,9o
c. Radian ke gradian dan atau sebaliknya
1 putaran = 2 rad = 400 gon atau rad = 200 gon
1 rad =
200
x 1g = 63,66g
1g = 200
x 1 rad = 0,0157 rad
Keliling Dan Luas Daerah Bangun Datar
1. Rumus-rumus keliling dan luas bangun datar
a. Segitiga (jumlah sudutnya 180o)
Segitiga siku-siku
L = . alat . tinggi
b c L = . a . b
Kel. = a + b + c
aSegitiga sama kaki
L = . alas . tinggi
L = . a . t
b t c t =
22 a
2
1(c)
; b = c
a
Segitiga sedmbarang dengan sudut diketahui
L = . a . t t = b . sin L = . a . b . sin
b t c
a
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
3/36
dtc a
Segitiga sembarang dengan
semua sisi diketahui
L =c)(s.b)(s.a)(s.s
b c Keliling = a + b + c
s = . (a + b + c)
a
Hukum Pythagoras untuk segitiga siku-siku :
" Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya "
Dari hukum Pythagoras tersebut ada beberapa perbandingan untuk segitiga siku-siku, yaitu
(3 : 4 : 5) ; (5 : 12 : 13) ; (7 : 24 : 25) ; (8 : 15 : 17) atau kelipatannya.
b. Segiempat (jumlah sudutnya 360o)
1. Persegi panjangL = panjang . lebar
l L = p . l
Keliling = 2 . (p + l)
p
2. Bujur sangkar
L = sisi . sisi
L = a . a
a Keliling = 4a
a
3. Jajaran genjang
L = panjang alas . tinggi
b t L = a . t
L = a . b . sin a Keliling = 2 . (a + b)
4. Belah ketupat
b L = 2
1
. diagonal . diagonal
a L = 2
1
a . b
5. Trapesium
b L =x tinggi
2
sejajarsisijumlah
L = 2
1
(a + b) . t
a Keliling = a + b + c + d
6. Layang-layang
L = 21
. diagonal . diagonal
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
4/36
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
5/36
yang menggunakan sifat dari cermin datar.
c. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah suatu tarnsformasi yang memindahkan setiap titik dengan cara memutar setiap ttiik
tersebut denganm besar dan arah yang telah ditentukan.
y Pada rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar P' (x', y') dengan arah positif, maka titik P (x, y)
menjadi titik P' (x', y')
x' = x cos y sin y' = x sin + y cos
P (x, y)
x
1. Rotasi sejauh 90o, matriks transformasinya adalah : T =
01
10
'
'
y
x
=
01
10
.
y
x
2. Rotasi sejauh 180o, matriks transformasinya adalah : T =
10
01
'
'
y
x
=
10
01
.
y
x
3. Rotasi sejauh 270o, matriks transformasinya adalah ; T =
0110
'
'
y
x
=
01
10
.
y
x
4. Rotasi sejauh derajat, matriks transformasinya adalah : T =
cossin
sincos
'
'
y
x
=
cossin
sincos
.
y
x
Untuk perputaran berlawanan arah jarum jam positif dan searah jarum jam negatif.
d. Dilatasi (perkalian)
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) dengan
suatu faktor skala.
P (x, y) P' (x', y') dengan x' = kx dan y' = ky
2. Komposisi Transformasi
a. Komposisi dua Translasi berurutan
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
6/36
T1
=
1
1
b
a
dan T2
=
2
2
b
a
T2
o T1
=
1
1
b
a
+
2
2
b
a
(T2
o T1) A (x, y) A" (x", y") dengan x" = x + (a
1+ a
2) dan y' = y + (b
1+ b
2)
b. Komposisi dua Refleksi berurutan
1. Pencerminan terhadap garis x1
= k dan x2
= l
P (x, y)lx,kx
xMoxM
21
12
==P" (2 (l k) + x , y)
2. Pencerminan terhadap garis y1
= m dan y2
= n
P (x, y)ny,my
yMoyM
21
12
==P" (x, 2 (n m) + y)
c. Komposisi dua Rotasi berurutan
Jika titik P (x, y) diputar sebesar1
dan diteruskan ke 2
dengan arah positif sama dan titik pusat
yang sama, maka bayangannya adalah : P" (x", y")
Dimana :
x" = x cos (1
+ 2) y sin (
1+
2)
y" = x sin (1
+ 2) + y cos (
1+
2)
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
7/36
GEOMETRI DIMENSI TIGA
Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya
1. Unsur-unsur bangun ruang
a. Kubus
Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar, dimana masing-masing
bidang datar berbentuk bujur sangkar. Kubus disebut juga dengan Hexaeder.
H G Perhatikan gambar kubus ABCD - EFGH
Enam bidang datar adalah :
E F ABCD, EFGH, ABEF, CDGH, BCFG, dan ADEHKubus mempunyai 12 rusuk, yaitu :
AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, CG, BF, AE, dan DH
D C Kubus juga mempunyai 8 titik sudut, yaitu titik :
A, B, C, D, E, F, G, dan H.
A B
Jika panjang sisi kubus = a, maka panjang diagonal bidangnya :
BD2 = AB2 + AD2 AB = AD = aBD2 = a2 + a2 = 2a2
BD = a 2
Panjang diagonal ruang :
BH2 = BD2 + DH2
= 2a2 + a2 = 3a2
BH = a 3
b. Balok
Balok adalah suatu bangun yang dibatasi oleh enam bidang datar yang berbentuk persegi
panjang. Pada balok ukuran rusuknya tidak sama, yaitu terdiri dari panjang, lebar dan tinggi.
Panjang, semua rusuk yang sejajar dengan bidang gambar
Lebar, semua rusuk yang arahnya ke belakang bidang gambar
Tinggi, semua rusuk tegak.
Perhatikan gambar balok ABCD EFGH
H G Panjang : AB, CD, EF, dan GH
Lebar : BC, AD, FG, dan EH
E F Tinggi : AE, BF, CG, dan DH
D C Balok mempunyai 12 sisi diagonal yang tidak sama
panjangnya.
AC = BD = EG = FH
A B BG = CF = AH = DE
AF = BE = CH = DGDiagonal ruang balok ada 4 buah yang sama panjang, yaitu : AG, BH, CE, dan DF.
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
8/36
c. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar (bidang alas dan bidang
atas) dan bidang tegak yang saling berpotongan menurut rusuk-rusuk sejajar.
Prisma tegak segi empat bentuknya sama dengan balok.
d. Limas
Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang alas yang berbentuk segi-n dan bidang
tegak yang berbentuk segitiga. Bentuk limas tergantung dari bentuk bidang alasnya.
T T
T
C
D C E
A A D
A B B C
B
Perhatikan gambar Limas segi empat T ABCD
Titik A, B, C, dan D merupakan titik sudut alas, sedangkan titik T merupakan titik puncak.
ABCD disebut bidang alas, sedangkan TAB, TBC, TCD, dan TAD disebut bidang tegak.AB, BC, CD, dan DA disebut rusuk alas, TA, TB, TC, dan TD disebut rusuk tegak
e. Tabung
Tabung adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk lingkaran, yang dibatasi oleh dua bidang
lingkaran sejajar (alas dan atas) dan sebuah bidang lengkung tegak
r = jari-jari tabung
t = tinggi tabung
t
r
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
9/36
f. kerucut
Kerucut adalah bangun limas yang bidang alasnya berbentuk lingkaran dengan jari-jari r dan
tinggi t.
r = jari-jari kerucut
t = tinggi kerucutt
r
g. Bola
Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung sebagai tempat kedudukan titik-
titik yang berjarak sama erhadap suatu titik pusat
r
Menghitung Luas Permukaan Bangun Ruang
1. KubusH G Jaring-jaring kubus
E F H G
D C D C G H D
A B
A B F E A
E F
Jika panjang sisi kubus adalah "a", maka :
Panjang diagonal bidang = a 2
Luas bidang sisi L = a2
Luas bidang diagonal = a2 2
Luas permukaan kubus Lp = 6a2
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
10/36
2. Balok
H G Jaring-jaring balok
G F
E FD C C B F G C
A B
D A E H D
H E
Luas permukaan balok :
Lp = 2 {(p . l) + (p . t) + (l . t)}
Volume balok : V = p . l . t
3. Prisma
T Jaring-jaring prisma
R S T
Q T R S T
O P
Q O P Q
Q
Luas selimut prisma segi-n = keliling bidang alas segi-n x tinggi prisma
Luas permukaan prisma segi-n = luas selimut + luas alas + luas atas
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
11/36
H GE
FD CA
B
4. Limas
T Jaring-jaring limas
T
D C
D C
A B T T
A B
T
Luas selimut = n . luas bidang segitiga n = jumlah segi bidang alasLuas permukaan = luas selimut + luas alas
5. Limas Terpancung
Jaring-jaring limas terpancung
Luas selimut = n . luas bidang trapesium n = jumlah segi bidang alasLuas permukaan = luas selimut + luas alas
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
12/36
6. Kerucut
T
Jaring-
jaring
T
A
t ss
A r B
r B
Luas selimut : Ls =
tegakbidanglingkaranluasxtegakbidanglingkarankel.
alaslingkarankel.
=
2sxs2
r2
= r sLuas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas
= r s + r2 = r (s + r)
7. Kerucut terpotong
T Jaring-jaring kerucut terpotong
Ts
1
s1
r r
s
R s
R
Luas selimut = (R + r) sLuas permukaan = luas selimut + luas alas + luas atas
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
13/36
8. Tabung
Jaring-jaring tabung
r
t
r 2 rt
Luas selimut : Ls = keliling lingkaran alas x tinggi tabung
= 2 . r . tLuas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas + luas atas.
9. Bola
Luas permukaan = 4 . r2Volume : V = 4/3 . . r3
r
Menerapkan konsep volum bangun ruang
1. Kubus
Volume kubus :
V = s . s . s
s = s3
2. Balok
Volume balok :
V = panjang x lebar x tinggi
t = p x l x t
lp
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
14/36
H GaEa F
tD CbA
b B
3. Prisma
Volume prisma :
V = luas alas x tinggi
4. Limas
T Volume limas :
V = 3
1
x luas alas x tinggi
D C
MA B
5. Limas Terpancung
Volume limas terpancung :
V = 3
1
. t . (b . b + b . a + a . a)
6. Kerucut
Volume kerucut
V = 3
1
x luas alas x tinggi
= 3
1
. . r2 . t
7. Kerucut terpotong
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
15/36
Volume kerucut terpotong :
r V = 3
1
. . t . (R2 + R . r + r2)
t
R
8. Tabung
Volume tabung :
V = luas alas x tinggi
V = . r2 . t
9. Bola
Volume bola :
V = 3
4
. r3 atau
V = 6
. d3
Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang
1. Jarak pada bangun ruang
a. Jarak titik ke titik
Jarak antara titik A ke titik B adalah penghubung terpendek antara A dan B, yaitu garis AB.
B
A
b. Jarak titik ke garis
Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan antara titik P ke
garis g.
P PP' adalah jarak antara titik P ke garis g
P' g
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
16/36
c. Jarak titik ke bidang
Jarak titik ke bidang adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke bidang.
P
P'
2. Sudut pada bangun ruang
a. Sudut dua garis bersilangan
sudut pada dasarnya terbentuk oleh dua garis yang saling berpotongan. Dengan demikian
sudut dua garis yang bersilangan sama artinya dengan membentuk sudut dua garis yang
berpotongan.
b. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk oleh perpotongan antara garis
dengan garis lain yang menempel pada bidang.
c. Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk dari perpotongan dua garis yang
terletak pada bidang.
KONSEP VEKTOR
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
17/36
00ff0000030004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f00400004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f00400000093010000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f112000000aa03000000000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f1120000
Menerapkan konsep vektor pada bidang datar
1. Pengertian dan Jenis-Jenis Vektor
a. Pengertian dan notasi vektor
y
P
j a
O i x
Perhatikan gambar, sebuah vektor disajikan dalam bentuk garis lurus OP atau bisa juga
dinyatakan dengan vektor tunggal a . Titik O disebut titik pangkal vektor, titik P disebut
titik ujung vekor, OP disebut vektor OP aau vektor a , dan besarnya vektor atau panjang
dari garis vektor dinyatakan denganOP
ataua
.
b. Penyajian vektor
Vektor a dapat disajikan dalam bentuk matriks kolom a =
2
1
a
a
, atau dalam bentuk
matriks baris a = (a1, a
2), atau dinyatakan dalam bentuk matriks satuan a = a
1i + a
2
j ,
dengan a1
komponen vektor horizontal (sumbu x), dan a2
komponen vektor verikal (sumbu
y). i vektor satuan untuk sumbu x dan j vektor satuan untuk sumbu y.
c. Besar vektor
Misalkan vektor a =
2
1
a
a
= a1i + a
2
j , besarnya vektor atau panjang vektor a
dinotasikan dengana
, yang besarnya adalah :a
=2
2
2
1 aa +
2. Operasi Vektor
a. Penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara segitiga dan cara jajaran
genjang.
1. Cara segitiga
Vektor c = a + b adalah :
a
b
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
18/36
000000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f11200000
000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f112000000aa0300b2f
00000000000000000000004401040000007f0100000100bf0100001000d10101000000ff0000030004000022f112000000
0004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f004000000930100f0000030004000022f112000000aa0300b2fb0ebf03008000803f0500000100000010f004000000
2. Cara jajaran genjang
a b
b. Pengurangan vektorPengurangan vektor merupakan penjumlahan dengan vektor inversnya (vektor negatif).
a b = a + (b )
b
a
b
a b
c. Perkalian skalar dengan vektor
Misalkan skalar m dikalikan dengan vektor a , maka hasilnya adalah suatu vektor yang
panjangnya merupakan k kali vektor a dan arahnya sama dengan arah vektor a .
a 2a 3a
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar :
1. m . a = a . m
2. m . ( a ) = m . a
3.a.m
=a.m
4. m . (a + b ) = ma + mb
5. (m + n) . a = ma + na
d. Resultan dua vektor
P1 R
P2
Jika P1
adalah panjang vektor 1p , P2
adalah panjang vektor 2p dan sudut yang
dibentuk oleh kedua vektor 1p dan 2p maka resultan kedua vektor tersebut adalah :
R =cos).)((2)()(
21
2
2
2
1
PPPP ++
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
19/36
e. Perkalian skalar dua vektor
Perkalian skalar dua vektor adalah perkalian dua vektor dengan bentuk perkalian titik (dot
product) dan hasilnya skalar.
Hasil kali vektor a dengan vektorb ditulis a . b (dibaca a dot b) adalah :
a . b =
a
.
b
. cos 0o 180oa
= besar (panjang) vektor a a
=2
2
2
1 )()( aa +
b= besar (panjang) vektorb
b=
2
2
2
1 )()( bb +
= sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b
Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
1. Panjang vektor
Jika a = a1i + a
2
j + a3k maka panjang vektora adalah :
a=
2
3
2
2
2
1 )()()( aaa ++
2. Operasi vektor
Operasi vektor dalam ruang sama seperti operasi vektor pada bidang, yaitu penjumlahan,pengurangan dan perkalian vektor dangan skalar.
3. Perbandingan vektor
Misalkan titik P membagi garis Ab dengan perbandingan AP : PB = m : n dengan a dan b
vektor posisi titik A dan B. Vektor posisi titik P adalah :
A
m
p
=
+ nm1
. (na
+ mb
) a P
p n
O b B
Koordinat titik P adalah :
xp
= nm
mxnx
++ 21
; yp
= nm
myny
++ 21
; zp
= nm
mznz
++ 21
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
20/36
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
21/36
ffffffffffffffffff000003000400ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
08a0100000000ffffffff5cf31200040000000300040004000000f0010300030000000000000000000000000000000000000
00f439b271000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000300040
c = b
b.a
b. Proyeksi vektor ortogonal
Pada gambar di samping, proyeksi vektor a pada b
adalah c .
c =
b.b
b.a2
6. Perkalian vektor dua vektor
Perkalian vektor dua vektor a dan b ditulis a x b (dibaca a cross b) atau disebut jugadengan perkalian silang (cross product). Hasil kalinya adalah :
a x b =a
.b
. sin
a x b =321
321
bbb
aaa
kji
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
22/36
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
23/36
Rumus Kombinasi :
nCr =!r)-(n.r!
!n
Menghitung peluang suatu kejadian
a. Peluang dari suatu kejadian
Peluang dari suatu kejadian adalah perbandingan antara banyaknya titik sampel dan ruang
sampel dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan :
P = s
n
n = titik sampel dan s = ruang sampel
misal : uang logam memiliki s = 2 ; dadu memiliki s = 6 ; kartu bridge s = 52
2 uang logam s = 22 = 4 ; 2 dadu memiliki s = 62 = 36
b. Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan adalah harapan munculnya kemungkinan dari suatu kejadian dan dirumuskan
dengan :
Frekuensi Harapan = peluang kejadian x banyaknya percobaan :
FH = P (A) . N
c. Kejadian saling lepas ( kata penghubung "atau")
Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling bebasantara A dan B adalah :
P ( A U B ) = P (A) + P (B)
d. Kejadian tidak saling lepas
Jika A adalah munculnya kejadian A dan B adalah munculnya kejadian B dimana A dan B tidak
saling lepas karena ada anggota A yang juga anggota B, maka peluang A atau peluang B adalah :
P ( A U B ) = P (A) + P (B) P ( A B )
e. Kejadian saling bebas (kata penghubung "dan")
Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling lepas
antara A dan B adalah :
P ( A B ) = P (A) x P (B)
e. Kejadian tidak saling bebas (kata penghubung "dan")
Jika P (A) adalah kejadian dari A dan P (B) adalah kejadian dari B, dengan kejadian B sangat
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
24/36
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
25/36
STATISTIK
Pengertian statistik, statistika, populasi dan sampel
Statistik : adalah kumpulan data yang berbentuk angka-angka atau keterangan-keterangan
yang disusun dan disajikan dalam bentuk tabel atau diagram.
Statistika : adalah suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan metode ilmiah untuk
mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, berdasarkan methode
analisis, sehingga dapat mengambil kesimpulan yang teliti serta keputusan yang
rasional dan logis.Data : adalah keterangan tentang sesuatu hal dari hasil pengamatan atau penelitian baik
yang berbentuk katagori maupun yang berbentuk bilangan.
Menurut jenisnya data dibedakan menjadi ;
a. Data Kuantitatif, yaitu data yang berbentuk bilangan.
Berdasarkan nilainya, data kuantitatif ada dua macam yaitu
1. Data variabel diskrit (hasil menghitung/membilang)
Contoh : Keluarga B sudah punya anak 2 laki-laki dan 3 perempuan
2. Data kontinu (hasil pengukuran)
Contoh : Tinggi badan Budi 167 cm
b. Data kualitatif, yaitu data yang berbentuk katagori (sifat)
Contoh : sembuh, sehat, sukses, dan sebagainya
Populasi : adalah seluruh data dari hasil perhitungan maupun pengukuran yang berbentuk data
kuantitatif maupun kualitatif dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas
yang ingin dipelajari sifat-sifatnya.
Sampel : adalah sebagian data yang diambil secara random/acak dari populasi.
Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram
1. Pengumpulan Data
Ada beberapa cara pengumpulan data, antara lain :1. Penelitian lapangan (penelitian langsung) atau observasi
Pengumpulan data dapat dilakukan dengan mengadakan penelitian langsung ke lapangan
atau di laboratorium terhadap objek penelitian. Hasilnya dicatat, kemudian dianalisa.
2. Wawancara (interview)
Data dikumpulkan dengan melakukan wawancara langsung kepada objek atau kepada
orang yang mengetahui persoalan objek.
3. Angket (kuesioner)
Pengumpulan data dengan menggunakan daftar atau isian atau pertanyaan yang telah
disiapkan dan disusun sedemikian rupa sehingga objek tinggal mengisi atau menandai
jawaban dari pertanyaan yang diberikan.
4. Dengan mengambil atau menggunakan sebagian atau seluruh data yang telah dicatat ataulaporan dari penelitian sebelumnya.
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
26/36
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
27/36
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median, fMe = frekuensi kelas median
b. Modus
Modus adalah data yang frekuensinya terbanyak atau data sering muncul.
Data tunggal : lihat data yang paling sering muncul
Data kelompok :
Mo =
)bb
b(pTb
21
1
++
Tb = tepi bawah kelas modus, p = interval kelas
b1
= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus
b2
= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas setelah kelas modus
Menentukan ukuran penyebaran data
1. Daerah Jangkauan (range)
Jangkauan data adalah selisih antara data tertinggi dengan data terendah.
Jangkauan data biasa juga disebut dengan range, dengan rumus :
R = Xmaks Xmin
2. Rata-rata simpangan
Rata-rata simpangan atau deviasi rata-rata adalah ukuran seberapa jauh penyebaran nilai-nilai
terhadap nilai rata-rata hiung (mean)
Rata-rata simpangan dirumuskan :
Rs = n
X-xn
1i
i=
(data tunggal) ; Rs = n
X-x.fn
1i
i1=
(data kelompok)
xi
= data ke i
X = rata-rata hitung (mean)
fi
= frekuensi data ke i
n = banyaknya data
3. Simpangan Baku dan Varians
a. Simpangan Baku (Deviasi Standar)
Ds = n
)X(xn
1i
2
i=
( data tunggal) ; Ds = n
)X(x.fn
1i
2
ii=
(data kelompok)
b. Varians sama dengan simpangan baku dipangkatkan dua (Ds2)
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
28/36
4. Kuartil dan Jangkauan Semi Inter Kuartil
a. Kuartil
Kuatil adalah kelompok data dibagi menjadi empat bagian yang sama
Syarat kuartil data harus diurut dari yang kecil ke besar
Data tunggal :
Letak kuartil bawah : Q1
= 4
1n +
Letak kuartil tengah : Q2
= 4
1)(n2 +
Letak kuartil atas : Q3
= 4
1)(n3 +
Data kelompok :
Nilai kuartil : Qi =
+fQi
Fi-4
n.i
.pTbi
Qi = nilai kuartil ke i, i = 1, 2, 3 ; Tbi = tepi bawah kelas kuartil ke I
p = interval kelas
n = banyaknya data
Fi = frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil ke I
FQi = frekuensi kelas kuartil ke i
b. Jangkauan semi inter kuartil
Qd = 2
1
( Q3
Q1
)
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
29/36
IRISAN KERUCUT
Irisan kerucut adalah irisan antara bidang datar dengan kerucut tegak. Irisan tersebut berupa
lingkaran, parabola, ellips, dan hiperbola tergantung posisi perpotongan antara bidang datar
dengan kerucut tegaknya, seperti terlihat pada gambar dibawah ini.
Lingkaran Parabola Ellips Hiperbola
Rumus dasar untuk menentukan rumus persamaan lingaran, parabola, ellips, dan hiperbola
adalah :
1. Rumus jarak titik A (x1, y
1) dan titik B (x
2, y
2) :
2
12
2
12 )()( yyxxAB +=
2. Rumus jarak titik A (x1, y
1) ke garis Ax + By + C = 0 :
22
11
BA
CByAxR
+
++=
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
30/36
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
31/36
sudut pusat = n
o360
, sudut segi =)2.(
180n
n
o
Jumlah sudut segi tiga = 180o dan segi empat = 360o
B. Garis Singgung
Suatu garis dikatakan menyinggung lingkaran dan disebut dengan garis singgung adalah jikamempunyai satu titik persekutuan.
Sifat-sifat garis singgung
a. hanya mempunyai satu titik persekutuan
b. tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgung.
P
O R
QOP = OQ = r
OPR = OQROR merupakan sumbu simetri dan PR = QR
Garis singgung persekutuan dalam dan luar
P
P Q
R R
r r
M N M N
Q
garis singgung persekutuan dalam garis singgung persekutuan luar
MN2 = PQ2 + (R + r)2 MN2 = PQ2 + (R r)2
C. Sudut Pusat dan Sudut Keliling
C D
C E
O
A B
D A B
AOD = 2 ACD , AOB = 2 ACB ACB = ADB = AEB
A
DC
C O D
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
32/36
A B
B
A + C = 180O , garis yang menyinggung lingkaran akan tegak lurus B + D = 180O jika dari titik singgungnya ditarik ke titik pusat.
AOB = 180O - ACB , AOB = 2 ADB
D. Persamaan Lingkaran
a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R
x2 + y2 = R2 atau22 yxR +=
b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R
A (x, y) PA = R
R Rbyax =+22
)()( atau :
P (a, b) (x a)2 + (y b)2 = R2
c. Persamaan Umum Lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan pusat lingkaran P { 2
1
A , 2
1
B} dan jari-jari R =CBA + 22
4
1
4
1
E. Persamaan Garis Singgung
a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y
1) adalah :
x1
x + y1
y = r2
b. Persamaan garis singgung lingkaran (x a)2 + (y b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y
1)
adalah :
(x1
a) (x a) + (y1
b ) (y b) = R2
c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y
1) adalah :
x1x +y
1y + 2
1
Ax1
+ 2
1
Ax + 2
1
By1
+ 2
1
By + C = 0
Menerapkan Konsep Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan dari titik-titik yang jaraknya dari titik tertentu dan garis
terentu sama. Titik tertentu iu disebut dengan fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Garis yang membagi dua bagian yang sama disebut sumbu simetri, dan perpotongan antara
sumbu simetri dengan kurva disebut puncak parabola.
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
33/36
A. Persamaan parabola
1. Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0)
a. Persamaan parabola dengan sumbu simetri sumbu x
Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0) dengan sumbu simetri sumbu x dan parameter
p adalah :
y2 = 4px
Dengan fokus F (p, 0) dan direktriks x = p
2. Persamaan parabola dengan puncak P (a, b)
Jika puncak parabola P (a, b), maka rumus-rumusnya adalah :
a. Sumbu simetrinya sumbu x :
Persaman parabola : (y b)2 = 4p(x a)
Koordinat fokus : F {(p + a), b}
Direktriks : x = a p
b. Sumbu simetrinya sumbu y :
Persamaan parabola : (x a)2 = 4p(y b)
Koordinat fokus : F {a, (p + b)}
Direktriks : y = b p
3. Bentuk Umum Persamaan ParabolaSumbu simetris di sumbu x
(y b)2 = 4p (x a)
y2 2by + b2 = 4px 4pa
y2 2by 4px + b2 + 4pa
y2 + Ay + Bx + C = 0 A = 2b ; B = 4p ; C = b2 + 4pa
Sumbu simetris di sumbu y
(x a)2 = 4p (y b)
x2 2ax + a2 = 4py 4pb
x2 2ax 4py + a2 + 4pb = 0
x2 + Ax + By + C = 0 A = 2a ; B = 4p ; C = a2 + 4pb
B. Garis Singgung Parabola
Persamaan parabola Garis singgung
y2 = 4px
x2 = 4py
y1y = 2px
1+ 2px
x1x = 2py
1+ 2py
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
34/36
(y b)2 = 4p (x a)
(x a)2 = 4p (y b)
(y1
b) (y b) = 2p (x1
a) + 2p (x a)
(x1
a) (x a) = 2p (y1
b) + 2p (y b)
y2 + Ay + Bx + C = 0
x2 + Ax + By + C = 0
y1y + Ay
1+ Ay + Bx
1+ Bx + C = 0
x1x + Ax
1+ Ax + By
1+ By + C = 0
Menerapkan Konsep Ellips
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak dari dua titik tertentu tetap.
Kedua titik tertentu tersebut dinamakan fokus (F1
dan F2). Garis yang
melalui kedua fokus disebut sumbu panjang atau sumbu mayor,
sedangkan garis yang melalui tengah-tengah fokus disebut sumbu pendek
atau sumbu minor.
A. Persamaan Ellips
1. Ellips dengan pusat (0, 0)
Jika titik fokus F1
(c, 0) dan F2
(-c, 0) serta panjang sumbu panjang 2a dan panjang sumbu
pendek 2b maka persamaan ellips dengan pusat (0, 0) adalah :
2
2
a
x
+2
2
b
y
= 1 ellips horizontal
2
2
b
x
+2
2
a
y
= 1 ellips vertikal
a = jari-jari sumbu panjang
b = jari-jari sumbu pendek
Fokus = c2 = a2 b2
2. Ellips dengan pusat di titik (h, k)
Persamaan Puncak Fokus
1)()(
2
2
2
2
=
+
b
ky
a
hx (h a, k)
(h, k b)
(h c, k)
1)()(
2
2
2
2
=+a
ky
b
hx (h, k a)(h b, k)
(h, k c)
3. Bentuk umum persamaan ellips.
Ellips horizontal :
1)()(
2
2
2
2
=
+
b
ky
a
hx
b2 (x h)2 + a2 (y k)2 = a2.b2
b2 (x2 2hx + h2) + a2 (y2 2ky + k2) a2.b2 = 0
b2x2 2b2hx + b2.h2 + a2y2 2a2ky + a2.k2 a2.b2 = 0
b2x2 + a2y2 2b2hx 2a2ky + b2.h2 + a2.k2 a2.b2 = 0
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
A = b2 ; B = a2 ; C = 2b2h ; D = 2a2k ; E = b2.h2 + a2.k2 a2.b2
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
35/36
Ellips vertikal :
1)()(
2
2
2
2
=
+
a
ky
b
hx
a2 (x h)2 + b2 (y k)2 = a2.b2
a2 (x2 2hx + h2) + b2 (y2 2ky + k2) a2.b2 = 0
a2
x2
2a2
hx + a2
.h2
+ b2
y2
2b2
ky + b2
.k2
a2
.b2
= 0a2x2 + b2y2 2a2hx 2b2ky + a2.h2 + b2.k2 a2.b2 = 0
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
A = a2 ; B = b2 ; C = 2a2h ; D = 2b2k ; E = a2.h2 + b2.k2 a2.b2
B. Garis Singgung Ellips.
Persamaan Garis Singgung
2
2
ax
+2
2
by
= 1
2
2
b
x
+2
2
a
y
= 1
12
12
1 =+byy
axx
12
1
2
1=+
a
yy
b
xx
1)()(
2
2
2
2
=
+
b
ky
a
hx
1)()(
2
2
2
2
=
+
a
ky
b
hx
2
1
2
1 )).(()).((
b
kyky
a
hxhx +
= 1
2
1
2
1 )).(()).((
a
kyky
b
hxhx +
= 1
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A(x1 + x) + B(y1 + y) + C(x1 + x) + D(y1 + y) + E = 0
Menerapkan Konsep Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik
tertentu tetap sebesar 2a. Kedua titik tertentu tesebut
adalah F1
dan F2
dan disebut fokus.
Garis yang membagi kurva menjadi dua bagian yang
sama disebut sumbu. Sumbu yang melalui fokus
disebut sumbu mayor (real) dan sumbu lainnya disebut
sumbu minor (khayal).
A. Persamaan Hiperbola
1. Persamaan Hiperbola dengan pusat (0, 0)
12
2
2
2
=b
y
a
x
Hiperbola horizontal
Puncak : (a, 0)Fokus : c2 = a2 + b2
2a = panjang sumbu real dan 2b = panjang sumbu khayal
Created by Sukani, S.Pd
Email: [email protected]
8/9/2019 Rumus Mat Semester Genap Kls Xi Rpl Tkj Mrsukani Poenyadoc
36/36
Asimtot : y = a
b
x
12
2
2
2
=b
x
a
y
Hiperbola vertikal
Puncak : (a, 0)
Fokus : c2 = a2 + b2
2a = panjang sumbu real dan 2b = panjang sumbu khayal
Asimtot : y = b
a
x
2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat (h, k)
Persamaan Puncak Fokus Asimtot
1)()(
2
2
2
2
=
b
ky
a
hx (h a, k) (h c, k)
y k = a
b
(x h)
1)()(
2
2
2
2
=
b
hx
a
ky (h, k a) (h, k c)
y k = b
a
(x h)
B. Garis Singgung hiperbola
Persamaan Garis Singgung
2
2
a
x
2
2
b
y
= 1
2
2
a
y
2
2
b
x
= 1
121
2
1
= b
yy
a
xx
12
1
2
1 =b
xx
a
yy
1)()(
2
2
2
2
=
b
ky
a
hx
1)()(
2
2
2
2
=
b
hx
a
ky
2
1
2
1 )).(()).((
b
kyky
a
hxhx
= 1
2
1
2
1 )).(()).((
b
hxhx
a
kyky
= 1
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A(x1
+ x) + B(y1
+ y) + C(x1
+ x) + D(y1
+ y) + E = 0