Ruch układu o zmiennej masie Fizyka 2
Mar 21, 2016
Ruch układu o zmiennej masie
Fizyka 2
Ciało o masie M porusza się z prędkością v. W przedziale czasu t wyrzuca masę M z prędkością u w pokazanym układzie współrzędnych.
uvy
x
Zgodnie z prawami Newtona
dtPdFzewn
Siły zewnętrzne
Zmiana pędu w czasie
Wyznaczmy zmianę pędu obiektu wyrzucającego masę M w czasie t
tPP
tP
dtPd pk
Różnica pędów: pk końcowego – początkowy pp
tMvvu
tvM
tvMUMVvMMFzewn
t → 0 wtedy v → 0, a v/ t należy zastąpić przez , a M /t przez
dtdM
dtdv
„- „ bo ubytek
dtdMu
dtdMv
dtvdMFzewn
Pochodna iloczynu
dtdMuvM
dtdFzewn
dtdMvuF
dtvdM
dtdMu
dtdMvF
dtvdM
zewn
zewn
Prędkość względna vwzgl
reakcjizewnwzglzewn FFdtdMvF
dtvdM
Równanie sił działających na układ o zmiennej masie sprowadza się w tym przypadku do sumy sił zewnętrznych i siły reakcji, jaką wywiera substancja wyrzucana na poruszające się ciało.Siłę reakcji nazywamy też siłą ciągu.
reakcjiwzgl FdtdMv
Przykłady
1. Na gładkim stole leży sznur, ¼ jego długości zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas po którym cały sznur spadnie ze stołu, jeżeli w chwili t = 0 jego prędkość jest równa zeru, a całkowita długość sznura wynosi l.
y
m– masa sznura, my - masa części zwisającejy(0) = ¼ ly(tk ) = l, tk - czas końcowy
gmdtydm y2
2gmy
yl
mm
y
gly
dtyd
2
2Rozwiązaniem takiego równania jest funkcja czasu i ma ogólną postać ert
gdzie t jest czasem, r – pewną stałą.
rt
rt
rt
erty
rety
ety
2''
'
Funkcje te wstawiamy do równania sił działających na sznur, działających wzdłuż osi y. Siły działające wzdłuż osi x równoważą się.
lgr
lgre
elger
rt
rtrt
0
0
2
2
Otrzymaliśmy wartość stałej r, która może być dodatnia i ujemna, z tego wynika że rozwiązanie jest sumą rozwiązań zaproponowanych z uwzględnieniem stałych A związanych z wymiarem sznura.
21
21
410 AAly
eAeAytlgt
lg
Stałe A wyznaczamy mając jeszcze informację, że prędkość początkowa jest zerowa.
Czas końcowy wyznaczamy na podstawie informacji, że y(tk ) końcowa wynosi l .
lAA
AA
eAeAlgy
tlgt
lg
81
0
'
21
21
21
kk tlgt
lg
tlgt
lg
lelel
leley
81
81
81
81
ktlgll
tlglty
cosh41
cosh41
Zapis równania z użyciem funkcji hiperbolicznej
ktlgcosh4
Funkcje hiperboliczne:
sinus hiperboliczny
cosinus hiperboliczny
2sinh
xx ee
2cosh
xx ee
vu
dtuvdvvmmv
tuvvvmmv
µ = 200 kg/s
Przyrosty skończone zastępujemy nieskończenie małymi.
Przykład 2Na kutrze o masie m = 2•100 000 kg ustawiono specjalny silnik pobierający wodę na dziobie i wyrzucający w kierunku przeciwnym do ruchu kutra 200 kg wody w ciągu sekundy z szybkością u = 5 m/s względem kutra. Znaleźć prędkość kutra po czasie 5 min. od rozpoczęcia ruchu. Opór wody pominąć. W chwili t = 0, v(0) = 0
Prawo zachowania pędu
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe, którego rozwiązanie ma postać następującą:
tmeuv
1 V = 1.3 m/s
0 dtuvmdv Następnie separujemy zmienne, a następnie całkujemy
Cdtmuv
dv
W chwili t = 0, v(0) = 0C – stała całkowania
Ctm
uv lnln
Rozwiązanie wykorzystujące równanie sil działających w przypadku zmiennej masy układu
dtdM
vudtdMvu
dtdvM
dtdMvF
dtvdM wzglzewn
)()(
CtM
uv
dtMuv
dv
uvdtdvM
lnln
Otrzymujemy równanie, jak w poprzedniej metodzie.
3. Rakieta o początkowej masie M0 startuje pionowo do góry. Szybkość spalania dM/dt materiału pędnego jest stała. Prędkość vwzgl wyrzucanych gazów względem rakiety jest również stała. Jaka będzie prędkość rakiety w dużej odległości od powierzchni Ziemi, kiedy można pominąć wszystkie działające na nią siły zewnętrzne?
dtdMv
dtvdM wzgl
Siły zewnętrzne są pomijalne, a prędkość wyrzucanych przez rakietę gazów jest stała
MdMvdv
dtdMv
dtdvM
wzgl
wzgl
Całkujemy to wyrażenie od chwili w której prędkość wynosi v0, a masa Mo
MMMv
MMvvv
MdMvdv
wzglo
wzglo
M
Mwzgl
v
v
01lnln
00
Prędkość rakiety zależy od prędkości wyrzucanych gazów i od ułamka masy wyrzucanej substancji.
4. Z nieruchomego zbiornika sypie się piasek z szybkością dM/dt na pas transportera, poruszającego się z prędkością v. Jaka jest wartość siły potrzebnej do utrzymania pasa w ruchu ze stałą prędkością? Wyznaczyć moc potrzebną.
vdM/dt
Jeżeli pas transportera porusza się ze stałą prędkością to równanie układu ze zmienną masą przyjmuje postać:
dtdMvF
dtdMvF
dtdMvF
dtvdM
wzglzewn
wzglzewn
wzglzewn
0
Ujemna wartość prędkości względnej wynika z tego, że zbiornik, z którego sypie się piasek jest nieruchomy
vvu
vuv
wzgl
wzgl
0dtdMvFzewn
Moc dostarczona przez siłę zewnętrzną wynosi:
dtdMvv
dtdMvFvvFp 2
4. Robotnik rozwija linę z leżącego na ziemi zwoju. Liniowa gęstość liny wynosi λ. Jaką siła musi on działać na linę, aby idąc wzdłuż prostej utrzymać stałą prędkość v0 (rozwinięta lina nie dotyka ziemi)?
dtdMvF
dtdMvF
dtdMvF
dtvdM
wzglzewn
wzglzewn
wzglzewn
0
Równanie sił działających na linę o masie M (masa części rozwiniętej)
0
0
0vv
u
vuv
wzgl
wzgl
0vdtdx
dtdM
xM
Robotnik porusza się wzdłuż prostej x, x jest długością części rozwiniętej.
20 )(vF