-
Universitatea ,,Al. I. Cuza”, Iaşi
Facultatea de Matematică
Lucrare de Doctorat
ALGORITMI NUMERICIPENTRU APROXIMAREASOLUŢIILOR ECUAŢIILOR
CU DERIVATE PARŢIALE DETIP ELIPTIC ŞI APLICAŢII
drd. Răzvan Ştefănescu
Coordonator ştiinţific
prof. dr. Viorel Arnăutu
-
Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme
de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Metode cu diferenţe
finite pentru ecuaţii eliptice . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de tip eliptic de ordinul
doigenerală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Aproximarea numerică a ecuaţiei Poisson . . . . . . . .
. . . . . . . . 61.1.3 Metode iterative pentru sisteme algebrice
liniare . . . . . . . . . . 71.1.4 Aplicarea metodelor iterative .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5
Descrierea algoritmilor şi rezultatele numerice obţinute . . . .
13
1.2 Metode spectrale pentru ecuaţii eliptice . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 191.2.1 Polinoame Legendre . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2
Aproximarea Galerkin a ecuaţiei Poisson . . . . . . . . . . . . .
. . . . 241.2.3 Operatori de proiecţie şi estimarea erorii . . .
. . . . . . . . . . . . . . 261.2.4 O metodă de colocaţie . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.5
Implementarea algoritmilor si̧ rezultate numerice . . . . . . . . .
. 34
1.3 O problemă de control optimal distribuit . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 391.3.1 Condiţiile de optimalitate . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.2 Aproximarea
Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 401.3.3 Rezultate de estimare a erorilor . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 411.3.4 Un algoritm numeric şi
rezultatele numerice obţinute . . . . . . 43
2 Probleme cu frontieră liberă şi aplicaţii . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 462.1 Problema Stefan cu o fază ı̂n cazul
unidimensional . . . . . . . . . 48
2.1.1 Problema Stefan inversă şi problema de control
optimalcorespunzătoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2 Condiţiile necesare de optimalitate . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 502.1.3 Implementarea algoritmului şi
rezultatele numerice obţinute 542.1.3 Rezultate numerice . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Problema Stefan cu două faze ı̂n cazul unidimensional . . .
. . . 612.2.1 Problema de control optimal . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 642.2.2 Aproximarea problemei de
control optimal . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.3 Condiţiile
necesare de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
662.2.3 Algoritm numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 672.2.4 Rezultate numerice . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3 O problemă cu frontieră liberă pentru un sistem de tip
pradă-prădător . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3.1
Descrierea modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 73
1
-
2.3.2 Aproximarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 752.3.3 Rezultate numerice . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3 Sisteme de tip Reacţie-Difuzie . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 803.1 Serii Fourier şi transformata
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Transformata
Fourier şi transformata Fourier inversă . . . . . . 853.1.3
Transformata Fourier discretă . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 863.1.4 Transformata Fourier rapidă . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Integratori exponenţiali . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3 Definirea modelelor . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 100
3.3.1 Modelul Gierer Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1013.3.2 Modelul Thomas . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.3
Modelul CIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1023.3.4 Modelul de transformare a glucozei
ı̂n acid lactic cu dega-
jare de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Aproximarea numerică şi
rezultatele numerice obţinute . . . . . 103
4 Modele de dinamica populaţiei . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1134.1 Descrierea modelulului . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2
Comportarea asimptotică a soluţiei sistemului dinamic . . . . . .
1154.3 Problema de recoltare optimală . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Un algoritm numeric . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1204.5 Simulări numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A Noţiuni de analiză funcţională şi convexă . . . . . . .
. . . . . . . . . 126A.1 Noţiuni de diferenţiabilitate pe spaţii
normate . . . . . . . . . . . . . . 126A.2 Noţiuni de analiză
convexă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 129A.3 Subdiferenţiala unei funcţionale convexe . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 132
Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2
-
Introducere
Introducere
Procesele şi fenomenele naturale, staţionare sau cele care se
desfăşoară evolutivı̂n timp, se modelează matematic prin
probleme la limită cu valori iniţiale pentruecuaţii cu derivate
parţiale. Pentru ca un model matematic să fie valabil şi
astfelutilizabil din punct de vedere practic, trebuie să reflecte
cât mai fidel realitateape care o simulează. Mai ı̂ntâi, trebuie
studiată existenţa şi unicitatea soluţiei ı̂nsens clasic sau
generalizat şi proprietăţile acestei soluţii. Modelul nu are
ı̂nsă nicio utilitate practică dacă nu este parcursă cea de a
doua etapă, aceea a studieriiunor metode de calcul a soluţiei,
mai precis de aproximare a ei, pentru că ı̂ngeneral rezolvarea
exactă nu este posibilă. La fel de importantă este şi cea de
atreia etapă prin care metodele de aproximare sunt implementate pe
calculator.Rezultatele numerice obţinute permit testarea
validităţii modelului, care abiadupă acestă ultimă fază poate
fi utilizat cu succes ı̂n practică.
Aşa cum spune şi titlul, ı̂n lucrarea de faţă ne-am
ı̂ndreptat atenţia asuprarezolvării numerice a ecuaţiilor cu
derivate parţiale de tip eliptic şi nu numai.Astfel, modelele
matematice studiate pe parcursul ı̂ntregii teze sunt tratate
ı̂nmaniera prezentată ı̂n primul paragraf, atenţia fiind
focalizată pe metodele deaproximare şi simulările numerice.
Lucrarea este structurată ı̂n patru capitole: I. Aproximarea
ecuaţiilor elipticeşi aplicaţii la probleme de control optimal;
II. Probleme cu frontieră liberă şiaplicaţii; III. Sisteme de
tip Reacţie - Difuzie; IV. Modele de dinamica
populaţiei,Introducere, Bibliografie, Anexă.
Primul dintre ele conţine studii numerice cu privire la
ecuaţia Poisson 2D şi oproblemă de control optimal cu ecuaţia
de stare de tip eliptic. În cazul problemeiPoisson, am folosit
pentru discretizare metoda diferenţelor finite, iar soluţia
sis-temului algebric liniar obţinut a fost determinată cu
ajutorul metodelor iterativeJacobi, Gauss-Seidel, suprarelaxării
(SOR). S-a efectuat o analiză comparativăasupra timpilor de
lucru, acurateţii soluţiilor aproximante şi gradului de
dificul-tate ı̂ntâmpinat la realizarea implementării
algoritmilor. În plus, am confirmatcu rezultate numerice ratele de
convergenţă estimate teoretic.
În cazul problemei de control optimal, sistemul de stare
corespunde ecuaţieiPoisson. Aceasta a fost rezolvată numeric din
nou, atât ı̂n cazul 1D şi 2D, metodade aproximare folosită fiind
o metodă spectrală. S-a discutat legătura careexistă ı̂ntre
metoda spectrală şi o metodă de colocaţie, liantul fiind
asiguratde formula de integrare numerică Gauss-Lobatto. Tot aici,
s-a construit unalgoritm de tip Newton-Raphson pentru calcularea
rădăcinilor polinoamelorLegendre. Problema de control optimal a
fost rezolvată cu metoda AzimuthMark şi cu un algoritm de tip
gradient. Soluţiile numerice obţinute cu programeC++, ı̂n cazul
1D şi 2D, sunt descrise ı̂n secţiunea 1.2.5.
În capitolul doi se studiază probleme cu frontieră liberă.
Două astfel de pro-bleme au fost supuse cercetării. Prima dintre
ele este cunoscută sub numele deproblema Stefan inversă. Modelul
matematic este o problemă de control optimalşi fenomenul vizat
corespunde unui proces de solidificare (topire). S-a considerat
3
-
Introducere
cazul problemei cu o fază, tratat cu o metodă cu domeniu
necilindric şi cazulproblemei cu două faze, tratat cu domeniu
cilindric. Algoritmii propuşi sunt detip Rosen şi se găsesc ı̂n
secţiunile 2.1.2 şi 2.2.3.
În cazul celei de a doua probleme, modelul matematic
corespunzător constăı̂ntr-un sistem de ecuaţii cu derivate
parţiale parabolice semiliniare şi caracte-rizează un fenomen
ecologic de migraţie a unor populaţii de tip pradă -
prădător.Luând ı̂n calcul dinamica sistemului, am construit un
algoritm cu care am deter-minat soluţia numerică. Sistemul de
ecuaţii algebrice neliniare, obţinut ı̂n urmadiscretizării, a
fost rezolvat cu metoda Newton-Raphson.
Capitolul trei este dedicat sistemelor de tip reacţie difuzie
cu aplicaţii ı̂nchimie şi biochimie. Rezolvarea numerică a unor
astfel de probleme implică o serieı̂ntreagă de dificultăţi, mai
ales ı̂n situaţia ı̂n care coeficientul difuziei este foartemic.
Problemele propuse aici au fost alese ı̂n aşa fel ı̂ncât, după
semidiscretizareaspaţială, să fie aduse la o formă ı̂n care
partea neliniară să fie separată de partealiniară, pentru ca
apoi, să folosim scheme numerice din categoria
integratorilorexponenţiali special construite pentru astfel de
cazuri.
Ultimul capitol tratează o problemă de recoltare optimală,
asociată unuisistem cu dependenţă de vârstă, cu termen
logistic şi cu rate vitale (natalitate,mortalitate) periodice.
S-au folosit condiţii necesare de optimalitate de ordinul1 şi s-a
obţinut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare
optimal. Înfinal au fost descrise simulările numerice
efectuate.
Programele de calculator corespunzătoare metodelor numerice din
lucrare aufost scrise ı̂n limbajele C/C++ şi Matlab.
Programul de cercetare a fost parţial finanţat de
CNCSIS-UEFISCSU, con-tract nr. 569/ 1.10.2007, cod TD-201.
Programul de cercetare a fost parţial finanţat de
CNCSIS-UEFISCSU, con-tract nr. 342/2009, tip IDEI.
4
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
1 Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii laprobleme de
control optimal
1.1 Metode cu diferenţe finite pentru ecuaţii eliptice
1.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de tip eliptic de ordinul
doi ge-nerală Fie următoarea problemă
a∂2u
∂x2 (x, y) + b∂u∂x (x, y) + c
∂2u∂y2 (x, y) + d
∂u∂y (x, y) + eu(x, y) = f(x, y),
(x, y) ∈ Ω ,u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω ,
unde Ω = (x1, x1 + C)× (y1, y1 + C), f ∈ C2(Ω̄), a, b, c, d, e,
x1, y1 sunt numerereale, iar C este un număr real pozitiv.
Pentru a rezolva această problemă vom folosi o metodă cu
diferenţe finite.Fie N un număr natural şi h = CN−1 . Construim
o reţea de noduri echidistante,de pas h, pe intervalele [x1, x1 +
C], respectiv [y1, y1 + C]
xi = x1 + (i− 1)h, i = 1, .., N, yj = y1 + (j − 1)h, j = 1, ..,
N.Metoda cu diferenţe finite constă ı̂n aproximarea soluţiei
exacte ı̂n punctele
grilei. Astfel spus, vom căuta un vector dublu indexat
(ui,j)i=2,..,N−1; j=2,...,N−1,care să reprezinte aproximarea
soluţiei ı̂n nodul M(xi, yj), calitatea aproximăriifiind cu atât
mai bună cu cât pasul h este mai mic.
Din condiţiile la frontieră obţinem{
u(x1, yj) = 0, u(x1 + C, yj) = 0u(xi, y1) = 0, u(xi, y1 + C) =
0, pentru i = 1, ..N, j = 1, .., N.
Presupunem că u ∈ C4(Ω̄). Utilizând dezvoltarea ı̂n serii
Taylor, ajungem laurmătoarele formule
∂2u
∂x2(xi, yj) =
u(xi+1, yj) + u(xi−1, yj)− 2u(xi, yj)h2
+ O(h2) ,
∂2u
∂y2(xi, yj) =
u(xi, yj+1) + u(xi, yj−1)− 2u(xi, yj)h2
+ O(h2) ,
∂u
∂x(xi, yj) =
u(xi+1, yj)− u(xi−1, yj)2h
+ O(h2),
∂u
∂y(xi, yj) =
u(xi, yj+1)− u(xi, yj−1)2h
+ O(h2).
Înlocuind aceste expresii ı̂n problemă obţinem
(2a + hb)u(xi+1, yj) + (2a− hb)u(xi−1, yj) + (2c + hd)u(xi,
yj+1)++(2c− hd)u(xi, yj−1) + (2eh2 − 4a− 4c)u(xi, yj) + O(h2) =
2h2f(xi, yj),pentru i = 2, ..N − 1, j = 2, ..N − 1.
5
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Pentru h suficient de mic, putem neglija cantităţile O(h2) şi
astfel găsimproblema discretă corespunzătoare
(2a + hb)ui+1,j + (2a− hb)ui−1,j + (2c + hd)ui,j+1(+2c−
hd)ui,j−1) + (2eh2 − 4a− 4c)ui,j = 2h2fi,j ,i = 2, ..N − 1, j = 2,
..N − 1,u1,j = uN,j = ui,1 = ui,N = 0, i = 1, .., N, j = 1, ..,
N.
Am folosit mai sus următoarele notaţii{
ui,j ' u(xi, yj), fi,j = f(xi, yj), pentru i, j = 1, ...,
N.Observaţie 1.1. În fapt, problema discretă este un sistem
algebric liniar, carepoate fi rezolvat folosind atât metode
directe, cum ar fi metoda factorizării matri-cei, metoda matricei
inverse, metoda de eliminare a lui Gauss etc., cât şi
metodeiterative, din care amintim metoda Jacobi, metoda
Gauss-Seidel şi metoda supra-relaxării (SOR), acestea din urmă
fiind descrise mai amănunţit ı̂n subcapitoleleurmătoare.
Observaţie 1.2. Metoda cu diferenţe finite poate fi aplicată
şi pentru o problemămai generală, ı̂n care a, b, c, d şi e sunt
funcţii de x şi y.
1.1.2 Aproximarea numerică a ecuaţiei Poisson În cele ce
urmează, vomintroduce ecuaţia Poisson pentru cazul
bidimensional
(P ){
∆u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω ,
unde Ω = (x1, x1+C)×(y1, y1+C), iar f este proporţională cu
sursa de căldură,f ∈ C2(Ω̄). În aceste condiţii, există o
unică soluţie u ∈ C4(Ω̄).
Problema este rezolvată cu metoda diferenţelor finite, iar
soluţia sistemuluialgebric liniar obţinut este determinată cu
ajutorul metodelor Jacobi, Gauss-Seidel, suprarelaxării şi Gauss.
Pe baza rezultatelor numerice, calculate cu pro-grame realizate ı̂n
Matlab, vom ı̂ncerca să efectuăm o analiză comparativă
asupratimpilor de lucru, acurateţii soluţiilor aproximante,
gradului de dificultate ı̂ntâm-pinat ı̂n realizarea implementării
algoritmilor. În plus, vom verifica dacă ratelede convergenţă
estimate teoretic, ı̂n cazul metodelor iterative, concordă cu
rezul-tatele practice.
Fiind un caz particular al problemei generale prezentate
anterior, pentrua = c = 1, b = d = e = 0, vom continua prin a
introduce, fără informaţiisuplimentare, problema discretă
asociată (Ph), menţionând că am folosit, pentrudiscretizarea
domeniului, o reţea de noduri echidistantă similară.
(Ph)
ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j = h2fi,j ,i = 2, N −
1, j = 2, N − 1,u1,j = uN,j = ui,1 = ui,N = 0, i = 1, .., N, j = 1,
.., N.
Pentru mai multe detalii despre metodele cu diferenţe finite,
vezi [68].
6
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
1.1.3 Metode iterative pentru sisteme algebrice liniare Metodele
ite-rative permit, ı̂n principiu, găsirea soluţiei unui sistem de
ecuaţii liniare, pornindde la aproximarea iniţială a soluţiei.
Dacă sistemul este bine condiţionat numeric(matricea lui
satisface anumite condiţii), procesul iterativ converge către
soluţiaexactă a sistemului. Cu cât aproximaţia iniţială este
mai apropiată de soluţiaexactă, cu atât convergenţa metodelor
iterative este mai rapidă. Fie A o matricepătratică de ordinul n
nesingulară şi următorul sistem de ecuaţii liniare
Ax = b.
Introducem forma generală a metodelor iterative x(i+1) = Φ(xi),
i = 0, 1, ...Folosind o matrice pătratică nesingulară oarecare,
rescriem sistemul de ecuaţii
Bx + (A−B)x = b.
O metodă iterativă este dată prin
x(i+1) = (I −B−1A)x(i) + B−1b, (1.1)
unde I reprezintă matricea unitate. În continuare, descompunem
matricea Aastfel :
A = L + D + U,
unde D conţine partea diagonală a lui A cu 0 ı̂n rest, L
partea subdiagonală cu0 ı̂n rest, iar U cea superioară cu 0 ı̂n
rest.
Cu notaţiile H = I −B−1A şi b̃ = B−1b, ı̂nlocuim ı̂n (1.1), de
unde obţinem
x(i+1) = Hx(i) + b̃. (1.2)
În cazul metodei Jacobi, B = D, de unde deducem că matricea de
iteraţieare forma HJ = −D−1(L + U), iar pasul de iteraţie (i + 1)
este
x(i+1)j =
(bj −
∑
k 6=jajkx
(i)k
)/ajj , j = 1, 2, ..., n.
În cazul metodei Gauss-Seidel, B = D + L, astfel că, matricea
iterativă esteHGS = − (D + L)−1U , iar pasul de iteraţie (i + 1)
corespunzător este
x(i+1)j =
(bj −
j−1∑
k=1
ajkx(i+1)k −
n∑
k=j+1
ajkx(i)k
)/ajj , j = 1, 2, ..., n.
Pentru a găsi formula ı̂n cazul metodei suprarelaxării, vom
rescrie ecuaţia demai sus astfel
x(i+1)j = x
(i)j +
(bj−
j−1∑
k=1
ajkx(i+1)k −ajjx(i)j −
n∑
k=j+1
ajkx(i)k
)/ajj , j = 1, 2, ..., n
7
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
ı̂n care introducem parametru de relaxare
x(i+1)j = x
(i)j +
ω
ajj
(bj−
j−1∑
k=1
ajkx(i+1)k −ajjx(k)j −
n∑
k=j+1
ajkx(i)k
), j = 1, 2, ..., n .
De aici obţinem formula corespunzătoare metodei
suprarelaxării
x(i+1)j = (1−ω)x(i)j +
ω
ajj
(bj−
j−1∑
k=1
ajkx(i+1)k −
n∑
k=j+1
ajkx(i)k
), j = 1, 2, ..., n.
Mai departe, ı̂nmulţind expresia de mai sus cu aij , rescriem
expresia sub formămatriceală
(D + ωL)x(i+1) =[(1− ω)D − ωU
]x(i) + ωb .
Comparând cu (1.2), avem că
H = H(ω) = (D + ωL)−1[(1− ω)D − ωU ]=
(1ω D + L
)−1(1−ω
ω D − U)
= I −(
1ω D + L
)−1A,
de unde obţinem că B = 1ω D + L, ı̂n cazul metodei
suprarelaxării.
Observaţie 1.3. Dacă care ω = 1, metoda SOR coincide cu metoda
Gauss-Seidel.
Mai departe, prezentăm o serie de rezultate legate de
convergenţa metodeloriterative.
Definiţie 1.4. O metodă iterativă este convergentă, dacă
oricare ar fi o aproxi-mare iniţială a soluţiei x(0), şirul
{x(i)}i=0,1,.. converge la soluţia exactă x∗ =A−1b.
În continuare, vom ı̂nţelege prin ρ(C) raza spectrală a
matricei C.
Teoremă 1.5. (a) Metoda iterativă (1.2) coverge, dacă şi
numai dacă ρ(H) < 1.(b) Dacă există o normă matriceală
astfel ı̂ncât ||H|| < 1, atunci metoda (1.2)este
convergentă.
Teoremă 1.6. (a) Criteriul tare al sumei pe linii: Metodele
Jacobi şi Gauss-Seidel sunt convergente, dacă matricea A
satisface
| aii |>∑
k 6=i| aik | , i = 1, 2, ..., n .
(b) Criteriul tare al sumei pe coloane: Metoda Jacobi este
convergentă, dacăpentru elementele matricii A, este adevărată
inegalitatea
| akk |>∑
i 6=k| aik | , i = 1, 2, ..., n .
Mai mult, are loc ‖ HGS ‖≤‖ HJ ‖< 1.
8
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Această ultima relaţie afirmă că, dacă metoda Jacobi
converge, atunci acelaşilucru se ı̂ntâmplă şi cu metoda
Gauss-Seidel.
Teoremă 1.7. (Ostrowski-Reich) Dacă matricea de iteraţie este
hermitiană (si-metrică) şi pozitiv definită şi dacă 0 < ω
< 2, atunci metoda suprarelaxării esteconvergentă.
Pentru mai multe informaţii despre metodele iterative, vezi
[60] şi [25].
1.1.4 Aplicarea metodelor iterative În continuare, vom aplica
metodeleiterative descrise anterior, pentru rezolvarea numerică a
problemei (P ). Astfel,vom căuta să rescriem sistemul algebric Ph
sub formă matriceală. Pentru asta,vom construi doi vectori, unul
conţinând valorile ui,j , iar celălat valorile h2fi,j ,pentru i
= 2, ..., N − 1 şi j = 2, ..., N − 1
ū = [u2,2, u2,3, ..., u2,N−1, u3,2, ..., u3,N−1, ..., uN−1,2,
..., uN−1,N−1],
b = h2[f2,2, f2,3, ..., f2,N−1, f3,2, ..., f3,N−1, ..., fN−1,2,
..., fN−1,N−1].
Mai mult, definind l = (i − 2)(N − 2) + j − 1, pentru i = 2,
..., N − 1 şi j =2, ..., N−1, obţinem următorul sistem cu (N−2)2
ecuaţii şi (N−2)2 necunoscute
{ul+N−2 + ul−N+2 + ul+1 + ul−1 − 4ul = h2fl,i = 2, N − 1, j = 2,
N − 1.
Acum putem scrie sistemul ı̂n formă matriceală: Aū = b, unde
A este omatrice pătratică de ordinul (N − 2)2 × (N − 2)2.
A este partiţionată ı̂n blocuri Ai,j de ordinul N − 2,
consecinţă a modului ı̂ncare am organizat valorile ui,j şi fi,j
. Matricea A este rară, conţinând cel mult5 elemente nenule pe o
linie. În plus, matricea A nu satisface criteriul tare alsumei pe
linii (vezi teorema 1.6), existând linii ı̂n care | aii |=
∑k 6=i | aik |. Din
fericire, algoritmii funcţionează din punct de vedere
practic.Matricea de iteraţie ı̂n cazul metodei Jacobi are
structura următoare:
HJ = −D−1(L + U) = 14(L + U) ,
iar iteraţia k este dată prin{
u(k)l =
14
(u
(k−1)l+N−2 + u
(k−1)l−N+2 + u
(k−1)l+1 + u
(k−1)l−1 − h2fl
),
i = 2, N − 1, j = 2, N − 1. (1.3)
9
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
A =
−4 1 11
. . . . . . . . .
. . . . . . 1. . .
1 −4 11 −4 1 . . .
. . . 1. . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1. . .
1 1 −4 . . .. . . . . . 1
. . . . . . . . .. . . . . . . . .
. . . . . . 11 −4 1
. . . 1. . . . . .
. . . . . . . . . 11 1 −4
=
A1,1 A1,2 0
A2,1. . . . . .. . . . . . AN−3,N−2
0 AN−2,N−3 AN−2,N−2
Autovalorile matricei HJ pot fi determinate explicit. Astfel,
raza spectrală alui HJ este
ρ(HJ) = cosπ
N,
(vezi [57], Capitolul 17). Numărul de iteraţii k necesar
pentru a obţine o acurateţede 10−p
||u∗ − u(k)|| ≤ 10−p||u∗ − u(0)||, (1.4)unde prin u∗ şi u(0) am
notat soluţia exactă respectiv soluţia aproximativă lamomentul
iniţial, este estimat la :
k ≈ p ln10−ln ρ(HJ) .
10
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Demonstraţie Dacă u∗ este soluţia exactă, atunci avem{
u(k) = 14 (L + U)u(k−1) − 14b,
u∗ = 14 (L + U)u∗ − 14b.
Scazâind cele două expresii obţinem
u(k) − u∗ = 14(L + U)(u(k−1) − u∗).
Cum expresia de mai sus are loc pentru orice k natural mai mare
sau egal cuunu, au loc
u(k−1) − u∗ = HJ(u(k−2) − u∗)...u(1) − u∗ = HJ (u(0) − u∗),
de unde obţinem
u(k)−u∗ = HkJ (u(0)−u∗) ⇒ ||u(k)−u∗|| = ||HkJ (u(0)−u∗)|| ≤ ||HJ
||k||u(0)−u∗||,unde || · || reprezintă o normă arbitrară
adecvată. Fie λi o autovaloare a luiHJ . Din HJu = λiu ⇒ ||HJu|| =
|λi| · ||u|| ⇒ |λi| = ||HJu||||u|| . Cum ρ(HJ) =max{|λi|, λi
−mulţimea autovalorilor lui HJ}, vom aveam că
||HJu||||u|| ≤ ρ(HJ).
Trecând la supremum ı̂n stânga, obţinem ||HJ || ≤ ρ(HJ) şi
mai departe ||HJ ||k ≤ρ(HJ)k. Pentru a ı̂ndeplini condiţia de
relaxare (1.4) trebuie să aibă loc :
ρ(HJ)k ≤ 10−p ⇒ k ln ρ(HJ) ≤ ln 10−p.Înmulţind cu −1 ultima
relaţie găsim
k ≥ p ln 10− ln(ρ(HJ )) .
Pentru valori ridicate ale lui N , raza spectrală este
ρ(HJ) ' 1− π2
2N2. (1.5)
Acurateţea de 10−p se obţine după un număr de iteraţii
k ' 2pN2ln10π2
' 12pN2 .
Numărul de iteraţii proporţional cu N2, evidenţiază
ineficacitatea practică ametodei Jacobi.
11
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Matricea de iteraţie, ı̂n cazul metodei Gauss-Seidel, are
forma
HGS = −(L + D)−1U ,iar formula pentru iteraţia k este
{u
(k)l =
14
(u
(k−1)l+N−2 + u
(k)l−N+2 + u
(k−1)l+1 + u
(k)l−1 − h2fl
),
i = 2, N − 1, j = 2, N − 1. (1.6)
Raza spectrală a matricii HGS este egală cu
ρ(HGS) = cos2π
N,
(vezi [57], Capitolul 17). Pentru valori mari ale lui N avem
că
ρ(HGS) ' 1− π2
N2.
Numărul de iteraţii k necesar pentru a obţine o acurateţe de
10−p este
k ' pN2ln10π2
' 14pN2 ,
ceea ce dovedeşte că metoda Gauss-Seidel este mai rapidă
decât metoda Jacobi.Metoda suprarelaxării se obţine pornind de
la metoda Gauss-Seidel, la care
se mai adaugă, după cum am văzut ı̂n secţiunea precedentă,
un parametru derelaxare ω. Este cunoscut faptul că metoda converge
pentru ω ∈ (0, 2) (veziteorema 1.7 - Ostrowski-Reich), iar pentru
valori ale lui ω ı̂ntre (0, 2) (cazulsuprarelaxării), convergenţa
poate fi mai rapidă decât ı̂n cazul metodei Gauss-Seidel.
Matricea de iteraţie ı̂n cazul metodei SOR are structura
HSOR = I − ( 1ω
D + L)−1A,
iar iteraţia k este dată prin{
u(k)l = (1− ω)u(k−1)l + 14ω
(u
(k−1)l+N−2 + u
(k)l−N+2 + u
(k−1)l+1 + u
(k)l−1 − h2fl
),
i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.(1.7)
În [57] găsim o valoare optimală pentru ω :
ω =2
1 +√
1− ρ(HJ)2.
Pentru această valoare optimală, raza spectrală este
ρ(HSOR) =
(ρ(HJ)
1 +√
1− ρ(HJ)2)2
.
12
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Pentru valori mari ale lui N , obţinem că
ω ' 2/(1 + πN
) şi ρ(HSOR) ' 1− 2πN
.
Numărul de iteraţii k necesar pentru a obţine o acurateţe de
10−p este
k ' pNln102π
' 13pN.
Comparând rezultatele, observăm că metoda SOR are nevoie de
un număr deiteraţii de ordinul O(N), faţă de ordinul O(N2)
iteraţii necesar ı̂n cazul metodelorJacobi şi Gauss-Seidel.
1.1.5 Descrierea algoritmilor şi rezultatele numerice obţinute
În con-tinuare, vom prezenta algoritmii numerici corespunzători
metodelor iterative des-crise anterior, precum şi rezultatele
numerice obţinute de programe implementateı̂n Matlab.
În cazul metodei Jacobi (vezi (1.3)), algoritmul calculează
valoarea lui u laiteraţia (k), ı̂ntr-un nod al reţelei M(xi, yj),
folosind valori ale lui u la pasul(k − 1) ı̂n cele 4 puncte vecine
lui M(xi, yj). Asfel, avem nevoie doar de doivectori pentru a stoca
informaţia la fiecare iteraţie. De asemenea, trebuie săfolosim
un criteriu de oprire, deoarece procedeul de iterare este
infinit.
||u(k) − u(k−1)||2 < 10−p. (1.8)
Spre deosebire de metoda Jacobi, algoritmul metodei Gauss-Seidel
permite proce-sarea soluţiei aproximative u la pasul (k),
ı̂ntrebuinţând pe lângă valori ale luiu obţinute la pasul (k −
1) şi valori ale lui u deja calculate la iteraţia (k). Dinnou, se
observă nevoia rezervării a doi vectori, unul pentru soluţia de
la iteraţiacurentă şi altul pentru soluţia de la iteraţia
precedentă, precum şi utilizării unuicriteriu de oprire.
În cazul metodei SOR, notând cu
ξl = u(k−1)l+N−2 + u
(k)l−N+2 + u
(k−1)l+1 + u
(k)l−1 − 4u(k−1)l − h2fl,
rescriem (1.7) astfel {u
(k)l = u
(k−1)l +
ω4 ξl,
i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.
Soluţia aproximativă va fi calculată folosind o tehnică de
numerotare diferită,bazată pe paritatea sumei indicilor, tehnică
care se mai numeşte odd/even sauwhite/black. Astfel, la fiecare
iteraţie, soluţia ı̂n nodurile impare este evaluatădoar
utilizându-se valorile din nodurile pare şi reciproc.
13
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Norma rezidului ξl poate fi folosită ca şi criteriu de oprire.
Cu tehnica Ceb̂ışevde accelerare, ω optim se actualizează la
fiecare jumătate de iteraţie astfel :
ω(0) = 1 ,ω
12 = 1/(1− ρ2Jacobi2 ),
ω(k+12 ) = 1/(1− ρ2Jacobiω(k)4 ), k = 12 , 1, ..,
limk→∞ ω(k) = ωoptimal.
În plus, norma rezidului scade după fiecare iteraţie.În
continuare, vă prezentăm rutinele pentru metodele Jacobi,
Gauss-Seidel
şi SOR ı̂mpreună cu tehnica Ceb̂ışev de accelerare şi
tehnica de numerotareodd/even pentru problema (P ).
Partea principală a programului este :
clear all;global x1 x2 y1 y2 h2;global x y;global N iter;global
u unew uold;N = input(′N : ′);x1 = input(′x1 : ′);y1 = input(′y1 :
′);q = input(′length : ′);tol = input(′precision : ′);maxit =
input(′maxiter : ′);disp(′1 = Jacobi, 2 = Gauss− Seidel, 3 =
SOR′);disp(′What do you want to choose : ′);M = input(′ ′);x2 = x0
+ q;y2 = y0 + q;h = q/(N − 1);h2 = h∧2;forj = 1 : N
temp = (j − 1) ∗ h;x(j) = x1 + temp ;y(j) = y1 + temp ;
enda = 1.0;b = 1.0;c = 1.0;d = 1.0;e = −4.0;rjac = 1.0− 0.5 ∗
(pi/N)∧2;ro = rjac∧2;u = zeros(N,N) ;
14
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
uold = zeros(N,N) ;unew = uold ;ifM == 3
kod = relax(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol);ifkod ∼= 0
error(′Sorfailed′);end
endifM == 1
Jacobi(a, b, c, d, e, ro,maxit, tol);disp(′Solution
obtained′);
endifM == 2
Gauss− Seidel(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol);disp(′Solution
obtained′);
endmesh(u)uiter
Funcţia corespunzătoare metodei Jacobi este:
function Jacobi(a, b, c, d, e, ro,maxit, tol)global x yglobal N
iterglobal u unew uoldflag = 0;iter = 0;while ∼ flag
iter = iter + 1;for i = 2 : N − 1
for j = 2 : N − 1unew(i, j) = −(a∗uold(i−1, j)+b∗uold(i+1,
j)+c∗uold(i, j−1)+
+ d ∗ uold(i, j + 1))/e + Fbvp(x(i), x(j))/e;end
endif all (abs(unew − uold) maxit)
disp(′Jacobifailure′);break
enduold = unew;
15
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
end
Funcţia corespunzătoare metodei Gauss-Seidel este prezentată
ı̂n rândurilede mai jos:
global x yglobal N iterglobal u unew uoldflag = 0;iter = 0;while
∼ flag
for i = 1 : Nunew(i, 1) = 0;unew(i,N) = 0;
endfor j = 1 : N
unew(1, j) = 0;unew(N, j) = 0;
enditer = iter + 1;for i = 2 : N − 1
for j = 2 : N − 1unew(i, j) = −(unew(i− 1, j) + uold(i + 1, j) +
unew(i, j − 1)+ uold(i, j + 1))/e + Fbvp(x(i), y(j))/e;
endendif all(abs(unew − uold) maxit)
error(′Gauss Seidel failure′);enduold = unew;
end
În rândurile următoare introducem funcţia corespunzătoare
metodei SOR :
function koderr = relax(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol)global x
yglobal Nglobal u unew uold iterkoderr = 1;anormf = 0.0;for j = 2 :
N − 1
for l = 2 : N − 1anormf = anormf + abs(Fbvp(x(j), y(l)));
16
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
end
end
omg = 1.0;for i = 1 : maxit
anorm = 0.0;for j = 2 : N − 1
for l = 2 : N − 1ifmod(j + l, 2) == mod(i, 2)resid = a∗u(j+1,
l)+b∗u(j−1, l)+c∗u(j, l+1)+d∗u(j, l−1)+e∗u(j, l)− Fbvp(x(j),
y(l));anorm = anorm + abs(resid);resid = (e∧ − 1) ∗ resid;u(j, l) =
u(j, l)− omg ∗ resid/e;
end
end
end
if i == 1omg = 1.0/(1.0− ro/2.0);
else
omg = 1.0/(1.0− ro ∗ omg/4.0);end
iter = i;if (i > 1)&(anorm < (tol ∗ anormf))
koderr = 0;disp(′Residual norm used for stopping
criterion′);break
end
if (mod(i, 2) == 0)unew = u;if all(abs(unew − uold)
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Rezultatele numerice au fost obţinute pentru
x1 = 1, y1 = 1, C = 4, maxit = 2000, N = 40
f(x, y) = −2(y − y1)(y − y1 − 4)− 2(x− x1)(x− x1 − 4).În aceste
condiţii, soluţia exactă este :
uexact(x, y) = −(x− x1)(x− x1 − 4)(y − y1)(y − y1 − 4).În
continuare, ne propunem să comparăm acurateţea soluţiilor
obţinute cu
cele trei metode, ı̂n raport cu soluţia exactă. Menţionând
că am folosit aceeaşicondiţie de oprire (1.8) pentru p = 3,
avem
Jacobi Gauss-Seidel SOR||u− uexact||2 5,9991 2,9843 0,03485
Nr. iter. 1236 726 92Nr. iter. aşteptat O( 12pN
2) O( 14pN2) O( 13pN)
Numărul de iteraţii obţinut confirmă estimările teoretice.
Astfel, putem afirmacă metoda SOR este mult mai rapidă, iar
acurateţea soluţiei este mai bună decâtı̂n cazul celorlate
două metode.
010
2030
40
0
10
20
30
40−20
−15
−10
−5
0
Fig. 1. Soluţia numerică ı̂n cazul metodei SOR cu tehnica
Ceb̂ışev de accelerareΩ = [0, 4]× [0, 4], N = 40, p = 14
Am rezolvat problema (P ) folosind şi metoda de eliminare a lui
Gauss. Fiindo metoda directă, ne-am aştepta ca eroarea faţă de
soluţia exactă să fie mai mică
18
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
decât ı̂n cazul metodelor iterative. Astfel am obţinut
||uGauss − uexact||2 = 7, 6575 · 10−13.
În cazul metodei SOR, cerând ca precizia să fie din ce ı̂n ce
mai mare, găsimurmătoarele valori
precizia-10−p Nr. iter ||uSOR − uexact||10−5 172 9, 222 ·
10−410−11 348 8, 992 · 10−1010−13 402 8, 474 · 10−1210−14 440 1,
3824 · 10−13
Observăm că pentru p = 14, eroarea este mai mică decât cea
obţinută cumetoda de eliminare a lui Gauss. Deşi soluţia a fost
determinată ı̂n 410 iteraţii,metoda SOR nu este cu mult mai
lentă decât metoda directă, timpii de lucrufiind sensibili
egali.
Graficul soluţiei numerice este prezentat ı̂n figura
1.Simplitatea codificării metodelor iterative sub formă de
programe, reprezintă
un argument ı̂n plus pentru folosirea metodei SOR cu tehnica
Ceb̂ışev de accele-rare ca alternativă la metodele directe.
Rezultate numerice ı̂n cazul unei probleme similare cu (P ), pot
fi găsite ı̂n[12]. În acest caz ı̂nsă, domeniul este o elipsă
iar discretizarea a fost realizată cumetoda elementului finit.
1.2 Metode spectrale pentru ecuaţii eliptice
Metodele spectrale reprezintă o altă modalitate de aproximare
a ecuaţiilor cuderivate parţiale, prin utilizarea de polinoame de
grad ı̂nalt. În acest subcapitol,ne propunem să rezolvăm numeric
problema Poisson folosind o astfel de metodă.Mai ı̂ntâi, vom
aminti o serie de proprietăţi ale polinoamelor Legendre şi
vomintroduce forma variaţională a ecuaţiei Poisson, precum şi
problema finit dimen-sională corespunzătoare, dezvoltată pe baza
aproximării de tip Ritz-Galerkin.În continuare, vom prezenta o
serie de rezultate cu privire la estimarea erorilor,de remarcat
fiind lipsa dependenţei dintre ordinul erorii şi soluţia
aproximativă.Mai departe, vom analiza legătura dintre o metodă
spectrală şi o metodă decolocaţie. Finalul acestei părţi este
dedicat dificultăţilor numerice ı̂ntâmpinateşi soluţiilor
numerice obţinute.
1.2.1 Polinoame Legendre Fie Ω = (−1, 1). Familia polinoamelor
Legendre(Ln)n≥0 se defineşte prin
(Li, Lj) = 0, pentru i 6= jLn este de grad n,Ln(1) = 1, Ln(−1) =
(−1)n, ∀n ∈ N,
19
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
unde (·, ·) este produsul interior din L2(Ω).Reamintim mai jos
câteva rezultate bine cunoscute pentru polinoamele
Legendre.
Propoziţie 1.8. Pentru orice n ≥ 0, polinomul (Ln)n≥0 satisface
ecuaţia diferen-ţială
d
dx[(1− x2)L′n] + n(n + 1)Ln = 0. (1.9)
Căutăm o soluţie a ecuaţiei sub următoarea formă
Ln(x) =∞∑
k=0
akxk+r.
Introducând Ln(x) ı̂n ecuaţia (1.9), se obţine după
identificarea coeficienţilor
a0r(r − 1) = 0,a1r(r + 1) = 0,
ak =−ak−2[n(n + 1)− (k + r − 2)(k + r − 3)− 2(k + r − 2)]
(k + r)(k + r − 1) , ∀k ≥ 2
Pentru r = 0 avem
a0 = a0,
a2 = −n(n + 1)2! a0,
a4 =n(n− 2)(n + 1)(n + 3
4!a0,
...........................................................
şia1 = a1,
a3 = − (n− 1)(n + 2)3! a1,
a5 =(n− 1)(n− 3)(n + 2)(n + 4)
5!a1,
...........................................................
Astfel, soluţia ecuaţiei (1.9) este
Ln(x) = a0
[1− n(n + 1)
2!x2 +
n(n− 2)(n + 1)(n + 3)4!
x4 − ...]+
+a1
[x− (n− 1)(n + 2)
3!x3 +
(n− 1)(n− 3)(n + 2)(n + 4)5!
x5 − ...],
20
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
cu a0, a1 ∈ R. Mulţimea de convergenţa pentru ambele serii
este (−1, 1).Alegând
a0 = (−1)n2 n!2n[(n2 )!]2,
a1 = (−1)n−1
2(n + 1)!
2n(n−12 )!(n+1
2 )!,
obţinem formula polinoamelor Legendre :
L0(x) = 1, L1(x) = x, L2(x) = 12 (3x2 − 1),
L3(x) = 12 (5x3 − 3x), L4(x) = 18 (35x4 − 30x2 + 3),
L5(x) = 18 (63x5 − 70x3 + 15x) şi aşa mai departe.
Pe scurt,
Ln(x) =N∑
k=0
(−1)k(2n− 2k)!2nk!(n− k)!(n− 2k)!x
n−2k, (1.10)
unde N = n2 , pentru n ∈ N par şi N = n−12 , pentru n ∈ N
impar.Se observă cu uşurinţă că
Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1)n, ∀n ∈ N.
Introducem operatorul diferenţial
Aϕ = − ddx
[(1− x2)ϕ′ ].
Înlocuind ı̂n (1.9) obţinem
ALn = n(n + 1)Ln (1.11)
şi deci Ln este o funcţie proprie pentru operatorul A. Prin
urmare, metoda deapro-ximare pe care urmează să o prezentăm
poartă numele de metodă spectrală.
Observaţie 1.9. A este un operator Sturm-Liouville autoadjunct
şi pozitiv ı̂nL2(Ω), cu domeniul
D(A) = {ϕ ∈ H1(Ω) (1− x2)ϕ′′ ∈ L2(Ω).
Detalii ı̂n privinţa operatorului A şi a domeniului său D(A)
se pot găsi ı̂n[33], cap. VIII.
Propoziţie 1.10. Şirul de polinoame Ln satisface formula lui
Rodrigues
Ln(x) =(−1)n2n · n! ·
dn
dxn[(1− x2)n] (1.12)
şi formează un sistem ortogonal ı̂n L2(−1, 1).
21
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Demonstraţie Plecând de la formula binomială, obţinem
(1− x2)n = (−1)nn∑
k=0
(−1)k n!(n− k)!k!x
2n−2k.
Derivând de n ori ı̂n raport cu x găsim
dn
dxn[(1− x2)n] = (−1)n
N∑
k=0
(−1)kn!(2n− 2k)!k!(n− k)!(n− 2k)!x
n−2k,
cu N = n2 , pentru n ∈ N par şi N = n−12 , pentru n ∈ N impar.
Comparând cu(1.10) se obţine formula (1.12).
Pentru a arăta că familia Ln formează un sistem ortogonal,
introducemurmătoarele notaţii : Im = xm, f(x) = (x2 − 1)n, iar f
(k) derivata de ordin ka funcţiei f . În cazul m ≤ n, integrând
prin părţi obţinem:
2n!(Im, Ln) =∫ 1−1
xmf (n)(x)dx = −m∫ 1−1
xm−1f (n−1)(x)dx = ...
= (−1)mm!∫ 1−1
f (n−m)(x)dx.
Cum pentru orice k ≤ n, f (k) = qk(x)(x2 − 1), unde qk(x) este
un polinom degrad (2n− k − 2), obţinem pentru m < n
2nn!(Im, Ln) = (−1)mm![f (n−m−1)(x)]1−1 = 0,
adică (Im, Ln). Dar Lm este un polinom de grad m ı̂n x, de unde
rezultă(Lm, Ln) = 0, ∀m 6= n.
Dacă m = n, atunci
(Ln, Ln) =(2n)!
2n(n!)2(In, Ln) =
(2n)!2n(n!)2
(−1)n∫ 1−1
f(x)dx =
=(2n)!
2n(n!)2(−1)n (−1)
n2n+1n!(2n + 1)(2n− 1) · · · 3 =
22n + 1
.
Deci Ln formează un sistem ortogonal pe (−1, 1).Mai departe,
vom aminti mai multe rezultate, dintre care primele două ne
vor permite să determinăm numeric valorile polinoamelor
Legendre.
Propoziţie 1.11. Polinomul Ln satisface pentru n ≥ 1 ecuaţia
integrală∫ x−1
Ln(t)dt =1
2n + 1(Ln+1(x)− Ln−1(x)).
22
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Propoziţie 1.12. Familia Ln satisface relaţia de
recurenţă{
L0(x) = 1, L1(x) = x,(n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1)xLn(x)− nLn−1(x),
n ≥ 1 (1.13)
Propoziţie 1.13. Familia derivatelor polinoamelor Legendre
(Ln)′ este o familiede polinoame ortogonale cu funcţia pondere
p(x) = 1− x2.Demonstraţie Înmulţim ecuaţia (1.9) cu Lm şi
integrând pe (−1, 1), obţinem
∫ 1−1
d
dx[(1− x2)L′n]Lmdx + n(n + 1)
∫ 1−1
LnLm = 0
Folosind integrarea prin părţi ajungem la∫ 1−1
(1− x2)L′nL′mdx = n(n + 1)∫ 1−1
LnLm = 0. (1.14)
Propoziţie 1.14. (a) Pentru orice ı̂ntreg l ≥ 0, operatorul
diferenţial A definitmai sus este continuu de la H l+2(Ω) la H
l(Ω).(b) Pentru orice ı̂ntregi k, l ≥ 0 operatorul diferenţial Ak
este continuu de laH l+2k(Ω) la H l(Ω)
Demonstraţie (a) Folosind inducţia şi definiţia operatorului
diferenţial avem
ds
dxs(Aϕ) = −(1− x2)d
s+2ϕ
dxs+2+ 2(s + 1)x
ds+1ϕ
dxs+1+ s(s + 1)
dsϕ
dxs+2,
şi deci există c ≥ 0 astfel ı̂ncât||(Aϕ)(s)||L2(Ω) ≤
c[||ϕs+2||L2(Ω) + ||ϕs+1||L2(Ω) + ||ϕs||L2(Ω)]
pentru 0 ≤ s ≤ l. De aici obţinem continuitatea lui A.(b) Se
iterează de k ori rezultatul de la punctul (a).
Aplicând punctul (b) din propoziţia precedentă, pentru l = 0
găsim
Observaţie 1.15. Pentru orice ı̂ntreg k ≥ 0 şi orice ϕ ∈
H2k(Ω) există c ≥ 0aşa ı̂ncât
||Akϕ||L2(Ω) ≤ c||ϕ||H2k(Ω).
În cazul ı̂n care luăm l = 1 ı̂n propoziţia 1.14 obţinem
Observaţie 1.16. Pentru orice ı̂ntreg k ≥ 0 şi orice ϕ ∈
H2k+1(Ω) există c ≥ 0astfel ı̂ncât
||Akϕ||H1(Ω) ≤ c||ϕ||H2k+1(Ω).
23
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
1.2.2 Aproximarea Galerkin a ecuaţiei Poisson Să considerăm
următoareaproblemă eliptică
(P ){−∆u = f pe Ω,
u = 0 pe Γ,
unde Γ este frontiera netedă a mulţimii deschise, mărginite
şi convexeΩ ⊂ Rd, d = 1, 2, 3 şi f ∈ L2(Ω). În aceste condiţii,
problema (P ) are soluţieunică.
Fie V = H10 (Ω) şi introducem forma biliniară a : V × V → R
definită prin
a(u, v) =∫
Ω
∇u∇vdx.
Aceasta este simetrică şi pozitivă ı̂n sensul
a(u, v) = a(v, u), ∀ u, v ∈ V, şi a(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ V.
Înmulţind ecuaţia din (P ) cu v ∈ V , obţinem folosind
formula lui Green
(P ′){
Să se determine u ∈ V astfel ı̂ncâta(u, v) = (f, v), pentru
orice v ∈ V.
Reamitim că (·, ·) este produsul interior din L2(Ω).În
continuare vom folosi următoarele norme echivalente pentru V = H10
:
||v||H1 =[∫ 1
0
(v2 + (∇v))2dx]1/2
, |v|H1 =[∫ 1
0
(∇v)2dx]1/2
= [a(v, v)]1/2.
Teoremă 1.17. Problema (P’) are soluţie unică u ∈ H10 (Ω) şi
aceasta satisfaceestimarea :
||u||H1(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω).
Demonstraţie Folosind inegalitatea lui Poincaré-Friederics
găsim
||u||2H1(Ω) =∫
Ω
u2dx +∫
Ω
(∇u)2dx ≤ c0∫
Ω
(∇u)2dx+ (1.15)∫
Ω
(∇u)2dx = (1 + c0)∫
Ω
(∇u)2dx, ∀u ∈ H1(Ω).
De aici obţinem că
a(u, u) ≥ 11 + c0
||u||2H1(Ω), oricare ar fi u ∈ H1(Ω).
Din definiţia normei |u|H1 rezultă că forma a este
V−eliptică, indiferent denorma pe care o adoptăm pe spaţiul V =
H10 (Ω).
24
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
În condiţiile ı̂n care forma biliniară a este V−eliptică,
teorema lui Lions-Stampacchia (vezi [13], cap. II) asigură
existenţa şi unicitatea soluţiei problemei(P ′).
Mai departe, luăm v = u ı̂n (P ′) şi obţinem∫
Ω
(∇u)2dx =∫
Ω
fudx ≤ ||f ||L2(Ω) · ||u||L2(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω) · ||u||H1(Ω).
Folosind inegalitatea de mai sus ı̂n (1.15) ajungem la
||u||H1(Ω) ≤ (1 + c0)||f ||L2(Ω)||u||H1(Ω),
de unde se obţine concluzia.
Introducem acum problema finit dimensională. Fie Xn ⊂ H10 (Ω)
un spaţiu finitdimensional cu dimXn = n.
(P ′n){
Să se determine un ∈ Xn astfel ı̂ncâta(un, vn) = (f, vn),
pentru orice vn ∈ XN .
În continuare, fixăm o bază ı̂n Xn = spam{ϕ1, ϕ2, ..., ϕn}.
Atunci,
un =n∑
i=1
ûiϕi, vn =n∑
i=1
v̂jϕj .
Astfel ecuaţia din (P ′n) devine
a
( n∑
i=1
ûiϕi,
n∑
j=1
v̂jϕj
)=
(f,
n∑
j=1
v̂jϕj
),
n∑
i=1
n∑
j=1
ûiv̂ja(ϕi, ϕj) =n∑
j=1
v̂j(f, ϕj).
Notămai,j = a(ϕi, ϕj), i, j = 1, 2, ..., n
bj = (f, ϕj), j = 1, 2, ..., n
şi obţinemn∑
j=1
[(
n∑
i=1
ai,j ûi − bj)v̂j]
= 0.
Cum expresia de mai sus are loc pentru orice vn ∈ Xn, ı̂nseamnă
că are locşi pentru orice v̂j ∈ R. Deci obţinem un sistem de n
ecuaţii algebrice cu nnecunoscute
n∑
i=1
ai,j ûi = bj , j = 1, 2, ..., n.
25
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Matricea sistemului A = [ai,j ] este simetrică şi pozitiv
definită, ultima proprie-tate rezultând din V−elipticitatea lui
a. Astfel, matricea sistemului fiind nesin-gulară, teorema lui
Cramer asigură existenţa şi unicitatea soluţiei
sistemuluiliniar.
Mai jos, prezentăm un rezultat cunoscut sub numele de lema lui
Céa.
Lema 1.18. Fie u soluţia problemei (P ) şi un soluţia
problemei (P ′n). Există oconstantă c > 0 care nu depinde de u
şi de Xn astfel ı̂ncât
|u− un|H1(Ω) ≤ c|u− vn|H1(Ω), pentru orice vn ∈ Xn.
Demonstraţie Dacă luăm v = vn ı̂n (P ) obţinem a(u, vn) =
(f, vn), pentru oricevn ∈ Xn. Scădem (P ′n) din ecuaţia de mai
sus şi găsim
a(u− un, vn) = 0, pentru orice vn ∈ Xn.Din definiţia formei
biliniare a avem
|u− un|2H1(Ω) = a(u− un, u− un) = a(u− un, vn − un) + a(u− un,
u− vn) == a(u− un, u− vn) ≤ c|u− un|H1(Ω) · |u− vn|H1(Ω),
de unde rezultă inegalitatea căutată.
Observaţie 1.19. Lema lui Céa este adevărată şi ı̂n cazul
ı̂n care ı̂n loc de| · |H1(Ω), folosim || · ||H1(Ω).
1.2.3 Operatori de proiecţie şi estimarea erorii Considerăm Ω
= (−1, 1)şi notăm cu PN (Ω) spaţiul polinoamelor de grad mai mic
sau egal cu N , iar cuP 0N spaţiul
P 0N (Ω) = {p ∈ PN (Ω); p(1) = p(−1) = 0}.Spaţiul polinoamelor
peste Ω este un subspaţiu dens al spaţiului C(Ω̄) şi
deci al lui L2(Ω). Ca urmare orice ϕ ∈ L2(Ω) poate fi dezvoltat
după familia depolinoame Legendre:
ϕ =∞∑
n=0
ϕ̂nLn,
unde
ϕ̂n =(ϕ,Ln)L2(Ω)||Ln||2L2(Ω)
=
∫ 1−1 ϕLndx
||Ln||2L2(Ω).
Definim operatorul de proiecţie ortogonală πN : L2(Ω) → PN (Ω)
ı̂n următoareamanieră
πNϕ =N∑
n=0
ϕ̂nLn.
In cele ce urmează, vom da un rezultat de estimarea erorii pe
L2(Ω)
26
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Teoremă 1.20. Pentru orice ı̂ntreg m ≥ 0, există o constantă
c > 0 care depindenumai de m astfel ı̂ncât
||ϕ− πNϕ||L2(Ω) ≤ cN−m||ϕ||Hm(Ω),
pentru orice ϕ ∈ Hm(Ω).
Demonstraţie Din dezvoltarea ı̂n serii Fourier a lui ϕ şi din
definiţia opera-torului de proiecţie avem :
ϕ− πNϕ =∞∑
n=N+1
ϕ̂nLn. (1.16)
Formula coeficienţilor din dezvoltarea Fourier a lui ϕ şi şi
(1.11) conduc la
ϕ̂n =1
||Ln||2L2(Ω)· 1n(n + 1)
∫ 1−1
ϕ(x)(ALn)(x)dx =
=1
||Ln||2L2(Ω)· 1n(n + 1)
∫ 1−1
(Aϕ)(x)Ln(x)dx.
Aplicăm de p ori formula (1.11) şi obţinem
ϕ̂n =1
||Ln||2L2(Ω)· 1[n(n + 1)]p
∫ 1−1
(Apϕ)(x)Ln(x)dx.
Introducem expresia de mai sus ı̂n formula (1.16) şi folosind
proprietatea deortogonalitate a polinoamelor Legendre pe L2(Ω)
găsim
||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) =∞∑
n=N+1
ϕ̂2n||Ln||2L2(Ω) =
=∞∑
n=N+1
[n(n + 1)]−2p ·[∫ 1−1(A
pϕ)(x)Ln(x)dx||Ln||2L2(Ω)
]2· ||Ln||2L2(Ω).
Cum n(n + 1) ≥ N2 avem că 1/[n(n + 1)] ≤ 1/N2 şi deci
||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤ N−4p ·∞∑
n=0
[(Apϕ, Ln)||Ln||2L2(Ω)
]2· ||Ln||2L2(Ω) =
= N−2m||Apϕ||2L2(Ω).Din observaţia 1.15 avem ||Apϕ||L2(Ω) ≤
c||ϕ||H2p(Ω), care ı̂mpreună cu ine-
galitatea precedentă dau
||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤ cN−2m||ϕ||Hm(Ω),
27
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
de unde rezultă estimarea căutată.Trecem acum la cazul când
m = 2p + 1. Iterăm formula (1.11) de p + 1 ori şi
obţinem
ϕ̂n =1
||Ln||2L2(Ω)· 1[n(n + 1)]p+1
∫ 1−1
(Ap+1ϕ)(x)Ln(x)dx. (1.17)
Ţinem cont de
Ap+1ϕ = A(Apϕ) = −[(1− x2)(Apϕ)′]′
şi integrând prin părţi avem
∫ 1−1
(Ap+1ϕ)(x)Ln(x)dx =∫ 1−1
(Apϕ)′L′n(x)(1− x2)dx.
Folosind (1.17) ajungem la
||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) =∞∑
n=N+1
ϕ̂2n||Ln||2L2(Ω) = (1.18)
=∞∑
n=N+1
[n(n + 1)]−2(p+1)
||Ln||2L2(Ω)·[∫ 1−1
(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx]2
.
Conform propoziţiei 1.13, orice ψ ∈ L2(Ω) se poate dezvolta sub
forma
ψ =∞∑
n=0
ψ̂nLn,
unde
ϕ̂n =
∫ 1−1 ψ(x)L
′n(x)(1− x2)dx∫ 1
−1[L′n(x)]2(1− x2)dx
.
Din (1.14) obţinem pentru m = n
∫ 1−1
[L′n(x)]2(1− x2)dx = n(n + 1)
∫ 1−1
L2n(x)dx = n(n + 1)||Ln||2L2(Ω).
Atunci ∫ 1−1
[ψ(x)]2(1− x2)dx =∞∑
n=0
ψ̂2n
∫ 1−1
[L′n(x)]2(1− x2)dx =
=∞∑
n=0
1n(n + 1)
· 1||Ln||2L2(Ω)·[∫ 1−1
ψ(x)L′n(x)(1− x2)dx]2
.
28
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Luăm ψ = (Apϕ)′ şi obţinem
∫ 1−1
[(Apϕ)′(x)]2(1− x2)dx =
=∞∑
n=0
1n(n + 1)
· 1||Ln||2L2(Ω)·[∫ 1−1
(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx]2
.
Folosind şi (1.18) facem următorul calcul
||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤
≤∞∑
n=0
1[n(n + 1)](2p+2) · ||Ln||2L2(Ω)
·[∫ 1−1
(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx]2≤
≤ N−2(2p+1)∫ 1−1
[(Apϕ)′(x)]2(1− x2)dx ≤
≤ N−2m||(Apϕ)′||2L2(Ω) ≤ N−2m||Apϕ||2H1(Ω).Din observaţia 1.16
avem
||Apϕ||H1(Ω) ≤ c||ϕ||H2p+1(Ω),
care se combină cu inegalitatea anterioară şi se obţine
imediat estimarea căutată.
Pentru operatorul de proiecţie ortogonală π1,0N : H10 (Ω) → P
0N (Ω), care se
defineşte prin∫ 1−1
(ϕ− π1,0N ϕ)′(x)ψ′N (x)dx = 0, pentru orice ψN ∈ P 0N (Ω),
avem următorul rezultat de estimare a erorii.
Teoremă 1.21. Pentru orice ı̂ntreg m ≥ 1, există o constantă
c > 0 care depindenumai de m astfel ı̂ncât pentru orice ϕ ∈
Hm(Ω) ∩ H10 (Ω) au loc următoareleinegalităţi
|ϕ− π1,0N ϕ|H1(Ω) ≤ cN1−m||ϕ||Hm(Ω),||ϕ− π1,0N ϕ||L2(Ω) ≤
cN−m||ϕ||Hm(Ω).
29
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
1.2.4 O metodă de colocaţie
Cazul 1-Dimensional. Dacă subspaţiul finit dimensional Xn ⊂
H10 (Ω), dinaproximarea Galerkin a problemei (P ), este ales Xn = P
0N (Ω), atunci problemafinit dimensională (P ′n) devine
(P ′N ){
Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâta(uN , vN ) = (f,
vN ), pentru orice vN ∈ P 0N (Ω),
cu Ω = (−1, 1). Problema finit dimensională (P ′N ) conduce la
un sistem algebricliniar (vezi paragraful 1.2.2)
AÛ = F,
unde P 0N (Ω) = span{ϕ1, ϕ2, ..., ϕN}, A = [ai,j ], Û = (û1,
û2, ..., ûN )T , iar ûi esteun coeficient din dezvoltarea lui uN
∈ P 0N (Ω), F = (f1, f2, ..., fN )T şi
ai,j = a(ϕi, ϕj), i, j = 1, 2, ..., N
bj = (f, ϕj), j = 1, 2, ..., N.
Este binecunoscut că punctele de extrem şi punctele ı̂n care
se anulează poli-noamele Legendre şi Ceb̂ışev, se pot utiliza
ı̂n cadrul unor formule de quadraturanumerică de ı̂naltă
precizie. Mai mult, ı̂n situaţia ı̂n care se folosesc spaţii de
poli-noame cu grad ı̂nalt, acest tip de metode oferă soluţii
exacte.Amintim aici două astfel de metode, Gauss şi
Gauss-Lobatto, care sunt descriseı̂n detaliu ı̂n [32].
În continuare, ne propunem să rezolvăm problema (P ′N ),
folosind formula deintegrare numerică Gauss-Lobatto. Fie
−1 = θ0 < θ1 < ... < θN = 1,
rădăcinile polinomului (1 − x2)L′N (x). Atunci pentru orice
funcţie g ∈ C(Ω̄)avem ∫ 1
−1g(x) =
N∑
j=0
ρjg(θj) + RN+1, (1.19)
unde ρj sunt coeficienţii formului şi RN+1 este restul.
Aceşti coeficienţi se de-termină ı̂n mod unic astfel ı̂ncât
∫ 1−1
q(x) =N∑
j=0
ρjq(θj), pentru orice q ∈ P2N−1(Ω) (1.20)
Pentru f ∈ C(Ω̄), integralele care definesc ai,j şi fi se
aproximează cu ajutorulformulei Gauss-Lobatto. Astfel, rescriem
problema (P ′N )
(P̃ ′N ),{
Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâtaN (uN , vN ) = (f,
vN )N pentru orice vN ∈ P 0N (Ω).
30
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
undeaN (uN , vN ) =
∑Nj=0 ρju
′N (θj)v
′N (θj),
(f, vN )N =∑N
j=0 ρjf(θj)vN (θj).
Mai departe, avem
aN (uN , vN ) =∫ 1−1
u′N (x)v′N (x)dx
şi integrând prin părţi obţinem, folosind şi faptul că vN
(−1) = uN (1) = 0,
aN (uN , vN ) =∫ 1−1
u′′N (x)v′N (x)dx = −
N∑
j=0
ρju′′N (θj)vN (θj).
Introducem o bază Lagrange pe spaţiul P 0N (Ω) = span{ψ1, ψ2,
..., ψN−1}, astfelı̂ncât
ψi(θj) = δi,j , pentru i, j = 1, 2, ..., N − 1,unde δi,j este
simbolul lui Kronecker.
Proprietatea ψi(θ0) = ψi(θN ), pentru i = 1, 2, ..., N −1,
permite să eliminămfuncţiile ψ0 şi ψN din bază. Fie
vN =N−1∑
i=1
v̂iψi.
Atunci, ı̂nlocuind pe vN ı̂n expresia lui aN (uN , vN )
determinată mai sus obţinem
aN (uN , vN ) = −N∑
j=0
ρju′′N (θj)
(N−1∑
i=1
v̂iψi(θj))
=
= −N−1∑
i=1
v̂i
( N∑
j=0
ρju′′N (θj)ψi(θj)
)= −
N−1∑
i=1
v̂iρiu′′N (θi).
Pe de altă parte,
(f, vN )N =N∑
j=0
ρjf(θj)(N−1∑
i=1
v̂iψi(θj))
=
=N−1∑
i=1
v̂i
( N∑
j=0
ρjf(θj)ψi(θj))
=N−1∑
i=1
v̂iρif(θi).
Înlocuind rezultatele obţinute ı̂n (P̃ ′N ) găsim
−N−1∑
i=1
v̂iρiu′′N (θi) =
N−1∑
i=1
v̂iρif(θi),
31
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
adicăN−1∑
i=1
v̂i(ρiu′′N (θi) + ρif(θi)) = 0.
Cum vN este oarecare ı̂n P 0N (Ω) atunci (v̂i) este oarecare ı̂n
RN−1 şi deci, ecuaţiade mai sus conduce la
−ρiu′′N (θi) = ρif(θi), i = 1, 2, ..., N − 1.
Deoarece uN ∈ P 0N (Ω), am obţinut problema de colocaţie
(PC1){−u′′N (θi) = f(θi), i = 1, 2, ..., N − 1,
uN (−1) = uN (1) = 0.
Aici ecuaţia −u′′ = f este satisfăcută doar ı̂n punctele de
colocare θi, pentrui = 1, 2, ..., N − 1, care sunt tocmai
rădăcinile polinomului L′N (x).
Cazul 2-Dimensional. Fie (Ω) = (−1, 1)× (−1, 1) şi introducem
problema (P ′N )adaptată la domeniul bidimensional.
(P ′N ){
Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâta(uN , vN ) = (f,
vN ), pentru orice vN ∈ P 0N (Ω),
unde P 0N (Ω) = span{lj(x)lk(y); 0 ≤ j, k ≤ N, lp ∈ P 0N (−1,
1)}.După cum am văzut ı̂n prima parte a paragrafului, o astfel de
problemă
conduce la un sistem algebric liniar compatibil determinat care,
ı̂n cazul de faţă,are N2 ecuaţii şi N2 necunoscute.
În continuare, considerăm grila Gauss-Lobatto
ΩN = {(θj , θk); j, k = 0, ..., N},
cu (θi)i=0,...,N rădăcinile polinomului (1− x2)L′N
(x).Considerăm f ∈ C(Ω̄). Aproximăm integralele care definesc
elementele ma-
tricei sistemului şi elementele vectorului termen liber cu
formulele Gauss-Lobatto(1.19), (1.20) şi obţinem
(P̃ ′N ),{
Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâtaN (uN , vN ) = (f,
vN )N , pentru orice vN ∈ P 0N (Ω).
unde
aN (uN , vN ) =N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρk
[∂uN∂x
(θj , θk) · ∂vN∂x
(θj , θk)+
+∂uN∂y
(θj , θk) · ∂vN∂y
(θj , θk)],
32
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
(f, vN )N =N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρkf(θj , θk)vN (θj , θj).
Mai departe, folosind formula (1.19) ajungem la
aN (uN , vN ) =∫ 1−1
N∑
k=0
ρk∂uN∂x
(x, θk) · ∂vN∂x
(x, θk)dx+
+∫ 1−1
N∑
j=0
ρj∂uN∂y
(θj , y) · ∂vN∂y
(θj , y)dy.
Integrând prin părţi şi ţinând cont că vN (−1, ·) = vN
(1, ·) = vN (·,−1) == vN (·, 1) = 0, obţinem
aN (uN , vN ) =N∑
k=0
ρk
[∂uN∂x
(x, θk) · vN (x, θk)∣∣∣∣1
−1−
−∫ 1−1
∂2uN∂x2
(x, θk) · vN (x, θk)dx]
+N∑
j=0
ρj
[∂uN∂y
(θj , y) · vN (θj , y)∣∣∣∣1
−1−
−∫ 1−1
∂2uN∂y2
(θj , y) · vN (θj , y)dy]
= −N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρk
[∂2uN∂x2
(θj , θk) · vN (θj , θk)+
+∂2uN∂y2
(θj , θk) · vN (θj , θk)]
= −N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρk(∆uN (θj , θk)vN (θj , θk).
Înlocuim ı̂n ecuaţia din (P̃ ′N ) şi găsim
−N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρk(∆uN (θj , θk)vN (θj , θk) =N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρkf(θj , θk)vN (θj , θj), (1.21)
∀vN ∈ P 0N (Ω).Introducem o bază Lagrange pe spaţiul P 0N (Ω)
= span{lj(x)lk(x); j, k =
1, .., N − 1}, cu lj(θk) = δj,k, pentru j, k = 1, .., N − 1.
Relaţia de mai sus estesatisfăcută pentru orice vN ∈ P 0N (Ω)
dacă şi numai dacă este satisfăcută pentruorice funcţie din
bază.
Luând vN = lp(x)lq(y) ı̂n (1.21) avem
−N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρk(∆uN (θj , θk)lp(θj)lq(θk) =N∑
j=0
N∑
k=0
ρjρkf(θj , θk)lp(θj)lq(θk).
De unde−ρpρq(∆uN (θp, θq) = ρpρqf(θp, θq) şi mai departe
33
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
−(∆uN )(θp, θq) = f(θp, θq) p, q = 1, 2, ..., N − 1.S-a obţinut
astfel o problemă de colocaţie corespunzătoare problemei (P ′N
)
(PC2){ −(∆uN )(x, y) = f(x, y), pe ΩN ∩Ω,
u = 0, pe ΩN ∩ ∂Ω.
1.2.5 Implementarea algoritmilor si̧ rezultate numerice Aici vom
des-crie paşii necesari obţinerii soluţiilor numerice
corespunzătoare problemelor decolocaţie introduse mai sus. Mai
ı̂ntâi trebuie să determinăm rădăcinile polino-mului (1−
x2)L′N (x). Cum gradul lui L′N este N − 1, putem scrie
L′N (x) = k(x− x1)(x− x2)...(x− xN−1).
Având o aproximaţie iniţială x(0)1 a rădăcinii x1, metoda
Newton-Raphson per-mite găsirea unei aproximaţii ı̂nbunătăţite
x(1)1 , ca intersecţie a tangentei dusă lagraficul lui L′N (x)
ı̂n punctul de coordonate (x
(0)1 , L
′N (x
(0)1 )), cu axa Ox. Procesul
se iterează şi obţinem următoarea formula de
recurenţă:
x(k)1 = x
(k−1)1 −
L′N (x
(k−1)1 )
L′′N (x
(k−1)1 )
.
Odată determinat x1, construim un alt polinom f(x) de grad N −
2
f(x) = k(x− x2)...(x− xN−1).
Aplicând aceiaşi tehnica pentru f(x), găsim rădăcina x2.
Astfel, după p iteraţii,obţinem următorul polinom
f(x) =L′N (x)∏p−1
i=1 (x− xi),
iar pentru a-i determina o rădăcină, care corespunde cu
rădăcina xp a lui L′N (x),se foloseşte formula
x(k)p = x(k−1)p −
f(x(k−1)p )
f ′(x(k−1)p ).
Dar
f′(x) =
1∏p−1i=1 (x− xi)
[L′′N (x)− L
′N (x)
p−1∑
i=1
1(x− xi)
],
de unde ajungem la
x(k)p = x(k−1)p −
L′N (x
(k−1)p )
L′′N (x
(k−1)p )− L′N (x(k−1)p )
∑p−1i=1
1
(x(k−1)p −xi)
,
34
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
pentru p = 1, 2, ..., N − 1. Din relaţia de recurenţă (1.13)
se obţin următoareleformule pentru Li(x) , L
′i(x) şi L
′′i (x)
{L0(x) = 1, L1(x) = x,Li(x) = 2i−1i xLi−1(x)− i−1i Li−2(x), ∀i =
2, 3, ..., N
{L′0(x) = 0, L
′1(x) = 1,
L′i(x) =
2i−1i Li−1(x) +
2i−1i xL
′i−1(x)− i−1i L
′i−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N
{L′′0 (x) = 0, L
′′1 (x) = 0,
L′′i (x) = 2 · 2i−1i L
′i−1(x) +
2i−1i xL
′′i−1(x)− i−1i L
′′i−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N
Descrierea algoritmului este completă, odată cu enunţarea
aproximaţiiloriniţiale folosite
x01 = −1, x0i = xi−1 + 3 · 10−3, i = 2, 3, ..., N − 1
şicondiţiilor de oprire utilizate
{|x(k)p − x(k−1)p | < ε, |L′N (x(k)p )| < ε, p = 1, 2,
..., N − 1,
unde ε reprezintă o eroare prestabilită.Odată cu găsirea
răcinilor polinomului L′N (x), avem toate ingredientele nece-
sare rezolvării problemelor (PC1) şi (PC2). Mai ı̂ntâi ne
ocupăm de cazul uni-dimensional. Soluţia problemei (PC1)
aparţine spaţiului
P 0N (−1, 1) = {p ∈ PN (Ω); p(−1) = p(1) = 0} = span{ψ1, ψ2,
..., ψN−1}.Alegem ψj(x) = (1 − x2)L′j(x), j = 1, 2, ..., N − 1,
unde Lj sunt polinoameleLegendre. Fie atunci
uN =N−1∑
j=1
ûjψj .
Ecuaţiile −u′′N (θi) = f(θi), i = 1, 2, ..., N−1 conduc la
următorul sistem algebricliniar
N−1∑
j=1
(−ψ′′j (θi))ûj = f(θi), i = 1, 2, ..., N − 1.
Din definiţia funcţiei ψj se obţin
ψ′j(x) = −2xL
′j(x) + (1− x2)L
′′j (x),
ψ′′j = −2L
′j(x)− 4xL
′′j (x) + (1− x2)L
′′′j (x).
Sistemul algebric liniar cu N − 1 ecuaţii şi N − 1 necunoscute
a fost rezolvatcu metoda de eliminare a lui Gauss.
Exemplul numeric următor a fost realizat pentru
f(x) = 42x5 − 20x3 − 24x2 + 4.
35
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
−1 −0.5 0 0.5 1−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
u
10
uexact
u25
Fig. 2. Soluţia exactă: (1 − x2)(x5 − 2x2); Soluţia
aproximativă pentru N = 25 şipentru N = 10.
În acest caz soluţia exactă a problemei (P ) este egală
cu
uexact = (1− x2)(x5 − 2x2). (1.22)Pentru N = 10 şi pentru o
valoare a erorii ε = 10−3, am obţinut următoarelerădăcini ale
polinomului L′10(x)
θ1 = −0.934, θ2 = −0.784, θ3 = −0.565 θ4 = −0.295, θ5 = 0θ6 =
0.295, θ7 = 0.565, θ8 = 0.784 θ9 = 0.934
De asemenea, am găsit următoarele valori pentru coeficienţii
ûj
û1 = −0.4, û2 = 0.0793, û3 = 0.26666, û4 = 0.00519, û6 =
0.011544.Ceilalţi ûj sunt egali cu 0. Astfel, soluţia este:
u10(x) = −0.4(1− x2)L′1(x) + 0.0793(1− x2)L′2(x)+
+0.26666(1− x2)L′3(x) + 0.00519(1− x2)L′5(x) + 0.011544(1−
x2)L
′6(x).
Pentru a desena graficul soluţiei exacte (1.22), am folosit o
reţea de 201 noduriechidistante pe intervalul (−1, 1). În figura
2, putem observa că soluţiile aproxi-mante coincid cu soluţia
exactă ı̂n punctele de colocaţie, de unde concluzionăm
36
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
că un numar mai mare de astfel de puncte θi, conferă soluţiei
aproximante oacurateţe mai bună. Ultima afirmaţie este valabilă
pentru situaţia ı̂n care Neste mai mic sau egal cu gradul
soluţiei exacte. În caz contrar, calitatea soluţieinu se
ı̂mbunătăţeşte, dar cu cât numărul de puncte folosit pentru
reprezentareasa grafică creşte, cu atât graficul ei este mai
apropiat de graficul soluţiei exacte.
Trecem acum la problema (PC2). Soluţia ei aparţine
spaţiului
P 0N (Ω) = span{li(x)lj(y); 0 ≤ i, j ≤ N, lp ∈ P 0N (−1,
1)},
cu Ω = (−1, 1)× (−1, 1). Alegem o bază formată din
ψi,j(x, y) = (1− x2)(1− y2)L′i(x)L′j(y),
unde Lj sunt polinoame Legendre. Fie atunci
uN =N−1∑
i=1
N−1∑
j=1
āi,jψi,j . (1.23)
Mai departe, renumerotăm indicii coeficienţilor āi,j ,
respectiv funcţiilor din bazăψi,j , construind următorii doi
vectori
â = (ā1,1, ā1,2, ..., ā1,N−1, ā2,1, ..., ā2,N−11,, ...,
āN−1,1, .., āN−1,N−1)
ψ̂ = (ψ̂1,1, ψ̂1,2, ..., ψ̂1,N−1, ψ̂2,1, ..., ψ̂2,N−11,, ...,
ψ̂N−1,1, .., ψ̂N−1,N−1).
Astfel (1.23) devine
uN =M∑
l=1
âlψ̂l, unde M = (N − 1)(N − 1).
Înlocuim ı̂n ecuaţia problemei (PC2) şi obţinem
−M∑
l=1
âlψ̂l
(∂2ψ̂l∂x2
(θp, θk) +∂2ψ̂l∂y2
(θp, θk))
= f(θp, θk), 1 ≤ p, q ≤ N − 1.
Dacă reorganizăm modul de numerotare al perechilor (θp,
θq)
θ̂ =[(θ̂1, θ̂1), (θ̂1, θ̂2), ..., (θ̂1 θ̂N−1), (θ̂2, θ̂1),
..
],
obţinem următorul sistem de (N−1)(N−1) ecuaţii şi (N−1)(N−1)
necunoscute
−M∑
l=1
âlψ̂l
(∂2ψ̂l∂x2
(θ̂k) +∂2ψ̂l∂y2
(θ̂k))
= f(θ̂k), k = 1, 2, .., (N − 1)(N − 1), (1.24)
37
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
−1
−0.5
0
0.5
1
−1−0.5
00.5
1−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Fig. 3. Soluţia uN a problemei de colocaţie (PC2), pentru
N=12
unde ∂2ψ̂l
∂x2 ,∂2ψ̂l∂y2 sunt calculate după formulele:
∂2ψ̂l∂x2
=[−2L′i(x)− 4xL′′i (x) + (1− x2)L′′′i (x)
](1− y2)L′j(y),
∂2ψ̂l∂y2
=[−2L′j(y)− 4yL′′j (x) + (1− y2)L′′′j (x)
](1− x2)L′i(x).
Metoda de eliminare a lui Gauss a fost aleasă pentru rezolvarea
sistemului(1.24).
Pentru f(x, y) = 2x7 + 42x5y2 − 44x5 + 18x3 − 8x3y2 + 20x2y3 −
6x2y++6xy4 − 18xy2 + 2x + 2y5 − 22y3 + 6y, soluţia exactă a
problemei (P ) este
uexact = (1− x2)(1− y2)(x5 + y3 + xy2).
În figura 3, găsim graficul soluţiei aproximative obţinută
pentru N = 12şi ε = 10−3. Soluţia numerică este precisă ı̂n
punctele de colocaţie, după cumobservăm din următorul
rezultat
||uN − uexact|| = 0, 035726.
Soluţia continuă ce se obţine ı̂n urma rezolvării sistemelor
algebrice liniarederivate din (PC), constituie un plus, deloc
lipsit de importanţă, pentru metoda
38
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
de colocaţie ı̂n comparaţie cu metoda diferenţelor finite. De
fapt, această ca-racteristică este comună metodelor spectrale
ı̂n general, clasă din care face parteşi metoda prezentată
aici.
1.3 O problemă de control optimal distribuit
În această secţiune vom descrie o problemă de control
optimal, ı̂n care sistemulde stare este dat de ecuaţia Poisson.
Mai departe, vom introduce o aproximarede tip Ritz-Galerkin a
problemei, precum şi o serie de rezultate teoretice cuprivire la
estimarea erorilor. Mai mult, vom vedea ı̂n ce fel acurateţea
soluţieisistemului de stare se reflectă ı̂n comportamentul
perechii optimale. Apoi vomprezenta un algoritm, cu ajutorul
căruia vom obţine soluţii numerice descrise lafinal.
Fie Ω = (−1, 1) şi considerăm din nou problema
(P ){−∆y = u, pe Ω,
y = 0, pe Γ .
Introducem spaţiile V = H10 (Ω), U = H = L2(Ω), V ∗ = H−1(Ω)
şi forma
variaţională a lui (P )
(SE){
Să se determine y ∈ V astfel ı̂ncâta(y, v) = (u, v)H , ∀v ∈
V,
unde prin (·, ·)X , ı̂nţelegem produsul interior din X. Definim
funcţionala de cost
J(y, u) =12||y − yd||2H +
12||u||2U ,
unde yd ∈ V este o funcţie dată şi introducem problema de
control optimal :(P ∗) Să se minimizeze J(y, u), pentru u ∈ U şi
y ∈ V soluţiile ecuaţiei de
stare (SE).Este cunoscut că (P ∗) admite o unică pereche
optimală. O problemă mai
generală este descrisă ı̂n [11].
1.3.1 Condiţiile de optimalitate Introducem starea adjunctă p
∈ V soluţiaecuaţiei adjuncte:
(AE) a(p, v) = (y − yd, v)H , pentru orice v ∈ V.De asemenea
considerăm funţionala de cost
Φ(u) = J(y, u),
unde y este soluţia lui (SE) corespunzătoare lui u. Dacă [u +
λw, y + λθ] este opereche admisibilă pentru sistemul de stare, iar
[u, v] soluţia optimală a lui (P ∗)atunci, din condiţiile de
optimalitate deducem că
Φ(u + λw) ≥ Φ(u), pentru orice w ∈ U.
39
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
De aici se obţine
(y − yd, θ)H + (u,w)U + λ2 [||w||2U + ||θ||2H ] ≥ 0.
Trecem la limită λ → 0 şi găsim
(∇Φ(u), w) = (y − yd, θ)H + (u,w)U ≥ 0.
Cum [u, v] şi [u + λw, y + λθ] satisfac ecuaţia de stare (SE)
avem
a(y + λθ, v) = (u + λw, v)a(y, v) = (u, v), ∀v ∈ V.
Scăzând cele două expresii se ajunge la
a(θ, v) = (w, v)H , pentru orice v ∈ V. (1.25)
Dacă considerăm v = θ ı̂n ecuaţia adjunctă obţinem
a(p, θ) = (y − yd, θ)H (1.26)
şi luând v = p ı̂n (1.25), găsim ı̂n baza simetriei lui a,
că a(p, θ) = (w, p)H , deunde egalând cu (1.26) se obţine
(y − yd, θ)H = (p, w)U .
Introducem acest rezultat ı̂n formula gradientului funţionalei
de cost obţinutămai sus şi ajungem la
(∇Φ(u), w) = (u + p, w)U ≥ 0 pentru orice w ∈ U,
şi deci ∇Φ(u) = 0. Astfel, condiţiile de optimalitate pentru
problema (P )∗ suntdate de (SE), (AE) şi u + p = 0.
1.3.2 Aproximarea Galerkin Considerăm spaţiile finit
dimensionale Vn =PN ∩ V = P 0N , Un = PN ∩ U şi operatorii de
proiecţie π1,0N : V → Vn, πUN : U →Un, definiţi la fel ca cei din
paragraful 1.2.3. Aproximarea Galerkin a ecuaţiei(SE) este dată
prin
(SEN ){
Să se găsească yN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâta(yN , vN ) = (uN
, vN ), ∀vN ∈ P 0N (Ω).
Existenţa şi unicitatea soluţiei yN a fost discutată ı̂n
secţiunea 1.2.2 (vezi [20],teorema 3.2, p. 62). Funcţionala de
cost corespunzătoare este
JN (yN , uN ) =12||yN − π1,0N yd||2L2(Ω) +
12||uN ||2L2(Ω).
40
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Introducem problema de control discretă
(P ∗N ) Să se minimize JN (yN , uN ) pentru uN ∈ UN şi yN ∈ VN
soluţia sis-temului de stare (SEN ).
Fie pn ∈ Vn starea adjunctă care satisface ecuaţia
adjunctă(AEN ) a(pN , vN ) = (yN − π1,0N yd, vN ), pentru orice vN
∈ VN .
Într-o manieră similară, ca ı̂n cazul problemei (P ∗), se
obţine
uN + pN = 0,
care ı̂mpreună cu ecuaţiile (SEN ) şi (AEN ) dau condiţiile
de optimalitate pentru(P ∗N ).
1.3.3 Rezultate de estimare a erorilor În continuare, vom da
câteva rezul-tate teoretice, cu privire la acurateţea soluţiilor
problemelor (SEN ) şi (AEN ).Pentru demonstrarea unora dintre ele,
vom face apel la teoremele deja introduseı̂n paragraful 1.2.3.
Teoremă 1.22. Fie y soluţia ecuaţiei SE şi yN soluţia
ecuaţiei SEN . Dacăy ∈ Hm(Ω) atunci, pentru orice ı̂ntreg m ≥ 1
are loc următoarea inegalitate
||y − yN ||L2(Ω) ≤ cN−m||y||Hm(Ω),unde c > 0 este o
constantă care depinde numai de m.
Demonstraţie Aplicăm Lema 1.18 pentru vn = π1,0N şi
obţinem
|y − yN |H1(Ω) ≤ c1|y − π1,0N y|H1(Ω), c1 > 0Apoi, folosim
prima inegalitate din teorema 1.21 pentru y şi găsim
|y − π1,0N y|H1(Ω) ≤ c2N1−m||y||Hm(Ω), c2 > 0.Mai mult, din
inegalitatea Poincaré-Friederics avem
||y − yN ||L2(Ω) ≤ c3|y − yN |H1(Ω), c3 > 0,de unde se
obţine estimarea ce trebuia demonstrată.
Fie [u∗, y∗] şi [u∗N , y∗N ] perechile optimale pentru (P
∗) şi (P ∗N ) şi introducemurmătoarele variabile de
interpolare:
rN−soluţia ecuaţieia(rN , vN ) = (u∗, vN )H , ∀vN ∈ Vn,
(1.27)
qN−soluţia ecuaţieia(qN , vN ) = (rN − π1,0N yd, vN )H , ∀vN ∈
Vn, (1.28)
41
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
sN−soluţia ecuaţiei
a(sN , vN ) = (y∗ − yd, vN )H , ∀vN ∈ Vn. (1.29)
Pentru demonstraţia următorului rezultat facem trimitere la
[11], secţiunea6:
Lema 1.23. Următoarele relaţii sunt adevărate:
(pN − qN , u∗N − u∗)U ≥ 0, (1.30)
(zN − z, u∗N − u∗)U = 0 (1.31)unde
z = −(p + u) şi zN = −(pN + u∗N ).Teoremă 1.24. Fie [u∗, y∗]
şi [u∗N , y
∗N ] perechile optimale pentru (P
∗) şi (P ∗N ).Atunci are loc
||u∗ − u∗N ||U ≤ ||p− qN ||U . (1.32)
Demonstraţie Din definiţia lui z şi a lui zN avem
p− qN = (pN − qN ) + (u∗N − u∗) + (zN − z)
de unde găsim
(p− qN , u∗N − u∗)U = (pN − qN , u∗N − u∗)U + ||u∗N − u∗||2U +
(zN − z, u∗N − u∗)U .
Folosind (1.30) şi (1.31) se obţine
(p− qN , u∗N − u∗)U ≥ ||u∗N − u∗||2Uşi aplicând inegalitatea
lui Schwarz găsim (1.32).
Mai departe, observăm ı̂n baza teoremei 1.22, că dacă y ∈
Hm(Ω), are loc :
||y − yN ||H ≤ c1N−m, m ∈ Z∗, c1 > 0. (1.33)Din a două
inegalitate din teorema 1.21, secţiunea 1.2.3, deducem că
pentru
yd ∈ Hm(Ω) ∩H10 (Ω) este adevărată expresia:
||yd − π1,0N yd||H ≤ c2N−m, m ∈ Z∗, c2 > 0. (1.34)
Cum seminorma | · |H1(Ω) este echivalentă cu norma pe H1(Ω)
pentru ele-mente din V = H10 (Ω), ı̂n cazul ı̂n care y
∗ ∈ Hm(Ω)∩H10 (Ω), obţinem, folosindprima estimare din teorema
1.21, următorul rezultat:
||y∗ − π1,0N y∗||V ≤ c3N1−m, m ∈ Z∗, c3 > 0. (1.35)
Acum, suntem ı̂n măsură să introducem următoarele
estimari:
42
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Teoremă 1.25. Fie [u∗, y∗] perechea optimală a problemei (P ∗)
şi u∗N controluloptimal pentru problema (P ∗N ). Dacă yd, y
∗ ∈ Hm(Ω)⋂ H10 (Ω), pentru m ∈ Z∗,atunci are loc:
||u∗ − u∗N ||L2(Ω) = O(N−m).
Teoremă 1.26. Fie y∗ starea optimală a problemei (P ∗) şi y∗N
starea optimalăpentru problema (P ∗N ). Atunci, dacă yd, y
∗ ∈ Hm(Ω) ⋂ H10 (Ω) pentru m ∈ Z∗,are loc:
||y∗ − rN ||L2(Ω) = O(N−m),unde rN este soluţia ecuaţiei
(1.27) şi
||y∗ − y∗N ||H1(Ω) = O(N1−m).
Teoremă 1.27. Fie [u∗, y∗] şi [u∗N , y∗N ] perechile optimale
pentru (P
∗) şi (P ∗N ).În ipotezele teoremei 1.25 avem
|J(y∗, u∗)− JN (y∗N , u∗N )| = O(N1−m).
Demonstraţiile ultimilor trei rezultate pot fi consultate ı̂n
[11], secţiunea 6.
1.3.4 Un algoritm numeric şi rezultatele numerice obţinute
Pentrutestele numerice efectuate, am luat
yd = (1− x2)(x6 + x2 + 1).
Introducem din nou o bază pe spaţiul P 0N (Ω) astfel
ı̂ncât
P 0N (−1, 1) = span{ψ1, ψ2, ..., ψN−1},
cu ψj = (1 − x2)L′j(x), ∀ j = 1, 2, ..., N − 1, unde Lj
reprezintă polinomul Le-gendre de grad j. Astfel, după cum am
văzut ı̂n secţiunea 1.2.5, folosind metodade colocaţie, ştim
să determinăm soluţiile problemelor (SEN ) şi (AEN ).
În continuare, prezentăm pas cu pas, un algoritm cu ajutorul
căruia amobţinut soluţiile numerice pentru problema (P ∗N )
Algoritm ALG(S0) Se alege u
(0)N ∈ Un şi se fixează k = 0.
(S1) Se calculează y(k)N din (SEN ).
(S2) Se calculează p(k)N din (AEN ).
(S3) Se calculează g(k) = ∇Φ(u(k)N ) = u(k)N + p(k)N , unde Φ
este funţionala decost : Φ(uN ) = JN (yN , uN ).
(S4) Se calculează ρk ≥ 0, soluţia problemei de minimizare
:
min{Φ(u(k)N − ρkg(k)), ρk ≥ 0} =
43
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
= min{Φ((1− ρk)u(k)N − ρkp(k)N ), ρk ≥ 0}Se alege u(k+1) = (1−
ρk)u(k)N − ρkp(k)N .(S5) Condiţia de oprire :
Dacă |Φ(u(k))−Φ(u(k−1))| < ε, atunci algoritmul se opreşte,
furnizând soluţiau = u(k), ı̂n caz contrar k = k + 1 şi se reia
procedeul de la pasul (S1).
A fost dificil de găsit un control iniţial adecvat pentru
startarea algoritmuluiALG. Am căutat să ı̂mbunătăţim
performanţele funcţionalei de cost, alegânddiferite valori
constante pozitive pentru u(0)N , care le-am notat cu R.
În tabelul următor, putem observa valori ale lui Φ respectiv
Φ1, corespunzătoareunor valori R crescătoare şi pentru N = 21,
unde Φ1 = 12 ||yN − π1,0N yd||L2(Ω)2 .
R Φ Φ1R = 1 Φ = 500.774 Φ1 = 499.774R = 2 Φ = 487.610 Φ1 =
483.610R = 32 Φ = 1146.26 Φ1 = 122.255R = 64 Φ = 4096.40 Φ1 =
0.39500R = 128 Φ = 16956.9 Φ1 = 572.942
Am ı̂ncercat să găsim valori mai bune pentru Φ. Astfel, am
folosit metodaAzimuth Mark(numită şi metoda mirei) ı̂n raport cu
R. Pentru o descriere de-taliată a acestei proceduri vezi [59]. Am
folosit două strategii: una ı̂n care nune-a interesat marimea
controlui şi cealată ı̂n care u a fost luat ı̂n calcul. Astfelam
avut condiţii de oprire diferite pentru ALG:
(I) |Φ1(u(k+1)N )− Φ1(u(k)N )| < 0.001,
(II) |Φ(u(k+1)N )− Φ(u(k)N )| < 0.001.
Am obţinut următoarele rezultate :
I.-după 25 de iteraţii, cu metoda mirei am obţinut R = 62,
332, Φ1N (u(0)N ) =
0.0256, ||y(0)N − yd||max = 0.2657, ΦN (u(0)N ) =
3885.31.II.-după 20 de iteraţii, cu metoda mirei am obţinut R =
7.309, ΦN (u
(0)N ) =
509.098, ||y(0)N − yd||max = 27.2046, Φ1N (u(0)N ) = 455.669.În
continuare, am modificat formula de căutare pentru u(k+1)N ,
datorită valo-
rilor mici ale lui p(k)N obţinute şi astfel algoritmul ALG s-a
modificat. Pasul S3 afost eliminat, iar pasul (S4) a devenit:
(S4) Se calculează ρk ≥ 0, soluţia problemei de
minimizare:
min{Φ(u(k)N − ρkp(k)N ), ρk ≥ 0}
Se alege u(k+1) = u(k)N − ρkp(k)N .
44
-
Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de
control optimal
Rezultatele obţinute ı̂n baza algoritmului ALG sunt:
I. În acest caz am folosit două condiţii de oprire
diferite
a. |Φ1(u(k+1)N )− Φ1(u(k)N )| < 0.001 -după 3 iteraţii:
uN (i) = 62.37, 62.47, 62.61, ..., 62.61, 62.47, 62.37.
Φ1N (uN ) = 0.0218, ||y(0)N − yd||max = 0.2592,ΦN (uN ) =
3891.85.
b. |Φ(u(k+1)N )− Φ(u(k)N )| < 0.001 -după 2 iteraţii:
uN (i) = 62.35, 62.40, 62.46, , ..., 62.46, 62.40, 62.35.
ΦN (uN ) = 3884.24, ||y(0)N − yd||max = 0.2689Φ1N (uN ) =
0.02395.
II.-după 2 iteraţii:
uN (i) = 7.34, 7.43, 7.56, ..., 7.56, 7.43, 7.34.
ΦN (uN ) = 453.764, ||y(0)N − yd||max = 26.626,Φ1N (uN ) =
385.931.
Observăm că numărul de iteraţii necesare convergenţei
procedurii ALG esteextrem de mic, datorită metodei mirei folosite
la pasul S0. De asemenea, reţinemcă structura controlului
iniţial este modificată pe parcursul algoritmului ALG.
Pentru un algoritm similar, facem trimitere la [10]. Următorul
obiectiv esterezolvarea cazului ı̂n care controlul este
restricţionat, pentru cazurile 1D şi 2D.Pentru cazul
bidimensional, problema de control corespunde unui fenomen
fizic,prin care o bară fixată la ambele capete este deformată de
o forţă transversalău(x)dx pe unitatea de suprafaţă dx, pentru
a o aduce la forma dorită yd.
45
-
Probleme cu frontieră liberă şi aplicaţii
2 Probleme cu frontieră liberă şi aplicaţii
Problemele cu frontieră liberă constituie un subiect modern de
cercetare mate-matică, caracterizat prin apariţia unor frontiere
a căror poziţie este necunoscutăapriori. Această categorie de
probleme a beneficiat de un interes redus până decurând, când,
ı̂n anii şaizeci- şaptezeci, abordarea modernă a teoriei
ecuţiilor cuderivate parţiale a condus la dezvoltarea unor noi
metode de studiu. În ultimeledecenii, atenţia deosebită a
cercetătorilor faţă de acest sector l-a confirmat caun domeniu
interdisciplinar important ce cuprinde subiecte de modelare
mate-matică, ecuaţii diferenţiale, ecuaţii cu derivate
parţiale, analiză numerică, calculvariaţional, control optimal,
etc.
În acest capitol am realizat un studiu pentru două astfel de
probleme. Primadintre ele este cunoscută sub numele de problema
Stefan inversă. Modelul mate-matic este o problemă de control
optimal şi se vizează conducerea unui proces desolidificare
(topire) ı̂n concordanţă cu anumiţi parametri prescrişi. Am
consideratcazul problemei cu o fază, tratat cu o metodă cu
domeniu necilindric şi cazulproblemei cu două faze tratat cu
domeniu cilindric. În cazul celei de-a douaprobleme, modelul
matematic corespunzător constă dintr-un sistem de ecuaţii
cuderivate parţiale parabolice semiliniare şi caracterizează un
fenomen ecologic demigraţie a unor populaţii de tip
pradă-prădător. Existenţa şi unicitatea soluţiilorclasice,
ı̂n cazul ambelor probleme, sunt cunoscute. Luând ı̂n calcul
dinamicasistemelor, am construit algoritmi, ce au contribuit la
rezolvarea numerică aproblemelor propuse ı̂n cazul 1D, iar
rezultatele obţinute sunt prezentate ı̂ncontinuare.
Problema Stefan
Modelul standard pentru problema Stefan se referă la un proces
de solidificare aunui lichid(apă), sau la un proces de topire a
unui solid(gheaţă). Domeniul Ω ⊂R2 este alcătuit din două
părţi: Ω1(t) este domeniul ce corespunde fazei solide iarΩ2(t)
fazei lichide. Interfaţa dintre cele două faze este notată cu
S(t). Frontieraı̂ntregului domeniu este ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2. În
interiorul suprafeţei delimitate deΓ1 se află un dispozitiv, ce
antrenează procesul de solidificare sau topire prinmodificarea
temperaturii Γ1. Prin urmare, S(t) este ı̂ntr-o permanentă
mişcareşi de aceea poartă numele de frontieră liberă (vezi
figura 4). Fie Ts temperaturade solidificare (topire) şi T1(x, t)
temperatura fazei solide pentru t ∈ (0, T ) şix ∈ Ω1(t).
Temperatura T1 satisface următoarele ecuaţii: