Eidgenössisches Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation UVEK Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication DETEC Dipartimento federale dell'ambiente, dei trasporti, dell'energia e delle communicazioni DATEC Bundesamt für Strassen Office fédéral des routes Ufficio federale delle Strade Résistance à l’effort tranchant des poutres précontraintes à âme mince Querkraftwiderstand von vorgespannten Trägern mit dünnen Stegen Shear strength of thin-webbed post-tensioned girders Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Laboratoire de construction en béton Dr M. Fernández Ruiz Dr E. Hars Prof. Dr A. Muttoni Mandat de recherche AGB2001/486 sur demande du groupe de travail Recherche en matière de ponts (AGB) Décembre 2006
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Eidgenoumlssisches Departement fuumlr Umwelt Verkehr Energie und Kommunikation UVEKDeacutepartement feacutedeacuteral de lenvironnement des transports de leacutenergie et de la communication DETEC Dipartimento federale dellambiente dei trasporti dellenergia e delle communicazioni DATEC
Bundesamt fuumlr Strassen Office feacutedeacuteral des routes Ufficio federale delle Strade
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Querkraftwiderstand von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen
Shear strength of thin-webbed post-tensioned girders
Ecole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne Laboratoire de construction en beacuteton Dr M Fernaacutendez Ruiz Dr E Hars Prof Dr A Muttoni
Mandat de recherche AGB2001486 sur demande du groupe de travail Recherche en matiegravere de ponts (AGB) Deacutecembre 2006
Avant-propos
La recherche preacutesenteacutee dans ce rapport a comme but lrsquoeacutetude de la reacutesistance des poutres en beacuteton armeacute avec drsquoacircmes minces traverseacutees par des cacircbles de preacutecontraintes Ce problegraveme est actuel dans le cadrede la veacuterification des structures construites surtout dans les anneacutees rsquo60 ndash rsquo80 En effet les normes de leacutepoque ne tenaient pas compte de lrsquoeffet neacutegatif des cacircbles de preacutecontrainte qui peuvent affaiblir les bielles comprimeacutees Les normes actuelles preacuteconisent par contre une reacuteduction assez importante de la reacutesistance de sorte que les structures preacutecontraintes anciennes agrave acircme mince sont souvent classeacutees comme probleacutematiques selon les nouvelles meacutethodes de veacuterification
Ce rapport preacutesente les reacutesultats drsquoune recherche expeacuterimentale et theacuteorique sur ce sujet Lrsquointerpreacutetation des essais et le travail theacuteorique qui lrsquoaccompagne montrent que la diminution de reacutesistance preacuteconiseacutee par les nouvelles normes et en particulier par la SIA 262 de 2003 est justifieacutee Dans le cas des veacuterifications des ponts existants lrsquoapproche selon la SIA 262 repreacutesente un bon point de deacutepart Si la reacutesistance estimeacutee selon la norme est insuffisante des meacutethodes plus raffineacutees avec des champs de contraintes sont proposeacutees
Les auteurs tiennent agrave remercier minus le Canton du Tessin Deacutepartement du Territoire Division des Constructions pour le
soutien agrave la reacutealisation des essais sur poutres
minus lrsquoentreprise VSL International Subingen pour le soutien agrave la reacutealisation des essais sur prismes
minus lrsquoOffice feacutedeacuteral des routes et les membres de la commission accompagnante C de son groupe de travail laquo Recherche en matiegravere de ponts raquo (M P Matt preacutesident M M Donzel M H Figi M W Schuler Dr D Somaini) pour leur soutien et leurs preacutecieux commentaires
Lausanne le 20 deacutecembre 2006
Dr Miguel Fernaacutendez Ruiz
Dr Eckart Hars
Prof Dr Aurelio Muttoni
Reacutesumeacute La plupart des ponts suisses de moyenne porteacutee sont des ponts-poutres avec une section ouverte ou en caisson en beacuteton armeacute preacutecontraint Lrsquoeacutevolution dans leur utilisation les exigences concernant leur reacutesistance et lrsquoeacutetat des connaissances de ce type de structures ont souleveacute la question de savoir si certains des ponts existants reacutepondent aux exigences en matiegravere drsquoeffort tranchant de la norme actuelle SIA 262 (2003)
En particulier lrsquoinfluence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de la preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte dans les acircmes a eacuteteacute neacutegligeacutee dans les normes suisses jusqursquoagrave lrsquointroduction de la norme actuelle SIA 262 Selon cette norme de 2003 il est neacutecessaire de tenir compte drsquoune reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression des bielles qui se deacuteveloppent dans les acircmes ceci en fonction du rapport entre le diamegravetre des cacircbles preacutesents et la largeur de lrsquoacircme
Le preacutesent rapport deacutetaille les reacutesultats drsquoune recherche effectueacutee dans le but de mieux comprendre la reacuteponse structurale des eacuteleacutements agrave acircme mince avec cacircbles de preacutecontrainte Cette recherche vise aussi agrave deacuteterminer si la norme SIA 262 conduit agrave une estimation conservative et suffisamment preacutecise de la reacutesistance de ces eacuteleacutements
Une campagne drsquoessais a eacuteteacute effectueacutee pour eacutetudier certains aspects qui nrsquoeacutetaient pas encore couverts par la litteacuterature scientifique en ce domaine Sa premiegravere partie srsquointeacuteresse au comportement de panneaux munis de divers types de cacircbles (dans des gaines en acier ou en plastique avec injection ou dans des gaines en acier non injecteacutees) Les reacutesultats deacutemontrent que la SIA 262 (2003) conduit agrave des dimensionnement adeacutequats pour les cacircbles dans des gaines meacutetalliques injecteacutees ou non Par contre les solutions ne sont pas conservatrices pour les gaines en matiegravere plastique Une formulation tenant compte de ce type particulier de gaine est proposeacutee
La seconde partie de la campagne drsquoessais explore le comportement de poutres preacutecontraintes extraites drsquoun pont existant Leur mode de rupture a eacuteteacute par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme le long des cacircbles sous lrsquoeffet de lrsquoeffort tranchant Ces reacutesultats drsquoessais sont utiliseacutes pour comprendre les divers meacutecanismes de reprise des charges qui se deacuteveloppent dans les poutres et pour examiner lrsquoadeacutequation des approches proposeacutees par les normes de dimensionnement et la meacutethode des champs de contrainte pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de tels eacuteleacutements de structure Toutes les versions de la SIA 162 donnent des reacutesultats non conservateurs car cet effet nrsquoest pas consideacutereacute Par contre la SIA 262 et la meacutethode des champs de contrainte donnent des reacutesultats suffisamment preacutecis et conservateurs
En conseacutequence pour le dimensionnement de poutres preacutecontraintes agrave acircme mince lrsquoapproche suivie par la version actuelle de la SIA 262 peut ecirctre appliqueacutee ce qui conduit agrave des solutions suffisamment preacutecises et conservatrices Par contre pour la veacuterification de la capaciteacute de structures existantes il peut srsquoaveacuterer neacutecessaire si lrsquoapproche de la SIA 262 indique une reacutesistance insuffisante de deacutevelopper divers modegraveles de champs de contraintes avec une preacutecision grandissante pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoeacuteleacutement consideacutereacute
Zusammenfassung Die meisten Bruumlcken mittlerer Spannweite in der Schweiz sind vorgespannte Betonbalkenbruumlcken mit offenem oder Kastenquerschnitt Die Entwicklung der Nutzung Anforderungen an den Tragwiderstand und die Kenntnisse uumlber diese Tragwerke haben kuumlrzlich die Frage aufgeworfen ob manche bestehende Bruumlcken die Schubtragfaumlhigkeit nach aktueller Schweizer Norm SIA 262 (2003) auch tatsaumlchlich erreichen
Insbesondere der Einfluss der Groumlsse der Spannglieder im Steg auf die Schubtragfaumlhigkeit war bis zur Einfuumlhrung der aktuellen Norm SIA 262 vernachlaumlssigt worden Nach SIA 262 in 2003 muss der Druckwiderstand der im Steg entstehenden Druckstreben als Funktion des Verhaumlltnisses Huumlllrohrdurchmesser zu Stegdicke bestimmt werden
Dieser Bericht gibt im Detail die Ergebnisse einer Forschung wieder die auf das bessere Verstaumlndnis des Tragwerksverhaltens von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen abzielt Diese Forschung klaumlrt auch die Frage ob die aktuelle Schweizer Norm fuumlr Tragwerksbeton SIA 262 zu einer sicheren und ausreichend genauen Einschaumltzung des Widerstands solcher Traumlger fuumlhrt
Eine Versuchsserie wurde durchgefuumlhrt um gewisse Aspekte die von der betreffenden Literatur nicht behandelt werden zu untersuchen Der erste Teil konzentriert sich auf das Verhalten von Prismen unter Druckbelastung mit verschiedenen Typen von Spanngliedern (injizierte Stahl- und Kunststoff-Huumlllrohre sowie nichtinjizierte Stahlhuumlllrohre) Die Ergebnisse zeigen dass unter Benutzung der SIA 262 angemessene Ergebnisse fuumlr injizierte und nichtinjizierte Stahl-Huumlllrohre erzielt werden Fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre werden allerdings Werte auf der unsicheren Seite erzielt Ein angemessener Wert fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre passend zum Format der SIA 262 wird vorgeschlagen
Der zweite Teil der Versuchsserie untersucht das Verhalten von vorgespannten Traumlgern die aus einer bestehenden Bruumlcke ausgebaut worden waren Die Traumlger versagten auf Schub durch Stegdruckbruch entlang der Spannglieder Die Versuchsergebnisse werden benutzt um die einzelnen Tragmechanismen die sich im Traumlger entwickeln zu verstehen und um die Angemessenheit der Ansaumltze von Bemessungsnormen und der Spannungsfeldmethode zur Bestimmung der Schubtragfaumlhigkeit solcher Traumlger zu ermitteln Die SIA 162 liefert Ergebnisse auf der unsicheren Seite Auf der anderen Seite ergeben SIA 262 und die Spannungsfeldmethode ausreichend genaue und sichere Resultate
Demzufolge kann fuumlr die Bemessung von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen der Ansatz der aktuellen Norm SIA 262 verfolgt werden was zu ausreichend genauen und auf der sicheren Seite liegenden Ergebnissen fuumlhrt Andererseits erscheint bei der Uumlberpruumlfung bestehender Bauwerke ein inkrementeller Ansatz angemessener in Faumlllen wo unzureichender Widerstand nach SIA 262 gefunden wird In solchen Situationen wird es notwendig sein mehrere Spannungsfelder zu entwickeln und dabei progressiv die Genauigkeit der Schubtragfaumlhigkeitsabschaumltzung zu erhoumlhen
Summary Most concrete bridges in Switzerland covering medium spans are post-tensioned concrete girder bridges with open or box-shaped cross-sections The evolution in the use strength requirements technology and structural knowledge of these structures have recently raised the question whether some existing post-tensioned bridges may not satisfy the shear strength requirements of the current Swiss code SIA 262 (2003)
In particular the influence on the shear strength due to post-tensioning tendons in the web was neglected in the Swiss code until the introduction of the current SIA 262 According to SIA 262 (2003) a reduction in the compressive strength of the struts developing in the web has to be considered as a function of the duct size to web thickness ratio
The present report details the results of a research performed with the aim of better understanding the structural response of post-tensioned members with thin webs in the presence of post-tensioning tendons This research also aims at determining whether the Swiss Code for structural concrete SIA 262 leads to a safe and sufficiently accurate estimate of the strength of such members
An experimental campaign has been conducted to explore some aspects not covered by the current literature of the subject The first part focuses on the behaviour of panels loaded in compression with various types of tendons (injected steel and plastic ducts and non-injected steel ducts) The results show that adequate designs are obtained using SIA 262 for injected and non-injected steel ducts However unsafe results are obtained for plastic ducts A suitable value for plastic ducts according to SIA 262 format is proposed
The second part of the campaign investigates the behaviour of post-tensioned girders extracted from an existing bridge The girders failed in shear by crushing of the web along the post-tensioning tendons The test results are used to understand the various load-carrying mechanisms developed in the girder and to investigate the suitability of the approaches proposed by design codes and the stress field method to estimate the shear strength of such members All versions of SIA 162 which do not consider this effect provide unsafe results On the other hand SIA 262 and the stress field method give sufficiently accurate and conservative results
Consequently for the dimensioning of post-tensioned girders with thin webs the approach followed by the current SIA 262 can be followed leading to sufficiently accurate and conservative designs For the checking of existing structures on the other hand an incremental approach seems more appropriate in cases where an insufficient strength is found with the SIA 262 formulae In such situations it becomes necessary to develop various stress fields progressively improving their accuracy to estimate the shear strength of the member
Table des matiegraveres 1 Introduction et but de la recherche 1
Objectifs de la recherche 2 2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute 5
Composante verticale de la force de preacutecontrainte 5 Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton 6 Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes 7 Gaines non-injecteacutees 7 Gaines injecteacutees 7
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces 11 Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature 11 Programme expeacuterimental 13 Reacutesultats expeacuterimentaux 15
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince 19 Campagne expeacuterimentale 19 Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif 24
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes 29 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute 30 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute 31 Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus 33 Analyse par champs de contraintes continus 36 Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement 38
6 Conclusions 41 7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines 43
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique 43 Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees 44 Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees 47
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte 49 Conditions drsquoeacutequilibre 49 Compatibiliteacute des deacuteformations 51 Comportement des mateacuteriaux 52 Reacutesistance de lrsquoacircme 53 Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre 57
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262 61 10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262 63 11 Reacutefeacuterences 65 12 Symboles 67
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
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g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
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(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
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[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
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preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
20
(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
21
Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
Avant-propos
La recherche preacutesenteacutee dans ce rapport a comme but lrsquoeacutetude de la reacutesistance des poutres en beacuteton armeacute avec drsquoacircmes minces traverseacutees par des cacircbles de preacutecontraintes Ce problegraveme est actuel dans le cadrede la veacuterification des structures construites surtout dans les anneacutees rsquo60 ndash rsquo80 En effet les normes de leacutepoque ne tenaient pas compte de lrsquoeffet neacutegatif des cacircbles de preacutecontrainte qui peuvent affaiblir les bielles comprimeacutees Les normes actuelles preacuteconisent par contre une reacuteduction assez importante de la reacutesistance de sorte que les structures preacutecontraintes anciennes agrave acircme mince sont souvent classeacutees comme probleacutematiques selon les nouvelles meacutethodes de veacuterification
Ce rapport preacutesente les reacutesultats drsquoune recherche expeacuterimentale et theacuteorique sur ce sujet Lrsquointerpreacutetation des essais et le travail theacuteorique qui lrsquoaccompagne montrent que la diminution de reacutesistance preacuteconiseacutee par les nouvelles normes et en particulier par la SIA 262 de 2003 est justifieacutee Dans le cas des veacuterifications des ponts existants lrsquoapproche selon la SIA 262 repreacutesente un bon point de deacutepart Si la reacutesistance estimeacutee selon la norme est insuffisante des meacutethodes plus raffineacutees avec des champs de contraintes sont proposeacutees
Les auteurs tiennent agrave remercier minus le Canton du Tessin Deacutepartement du Territoire Division des Constructions pour le
soutien agrave la reacutealisation des essais sur poutres
minus lrsquoentreprise VSL International Subingen pour le soutien agrave la reacutealisation des essais sur prismes
minus lrsquoOffice feacutedeacuteral des routes et les membres de la commission accompagnante C de son groupe de travail laquo Recherche en matiegravere de ponts raquo (M P Matt preacutesident M M Donzel M H Figi M W Schuler Dr D Somaini) pour leur soutien et leurs preacutecieux commentaires
Lausanne le 20 deacutecembre 2006
Dr Miguel Fernaacutendez Ruiz
Dr Eckart Hars
Prof Dr Aurelio Muttoni
Reacutesumeacute La plupart des ponts suisses de moyenne porteacutee sont des ponts-poutres avec une section ouverte ou en caisson en beacuteton armeacute preacutecontraint Lrsquoeacutevolution dans leur utilisation les exigences concernant leur reacutesistance et lrsquoeacutetat des connaissances de ce type de structures ont souleveacute la question de savoir si certains des ponts existants reacutepondent aux exigences en matiegravere drsquoeffort tranchant de la norme actuelle SIA 262 (2003)
En particulier lrsquoinfluence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de la preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte dans les acircmes a eacuteteacute neacutegligeacutee dans les normes suisses jusqursquoagrave lrsquointroduction de la norme actuelle SIA 262 Selon cette norme de 2003 il est neacutecessaire de tenir compte drsquoune reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression des bielles qui se deacuteveloppent dans les acircmes ceci en fonction du rapport entre le diamegravetre des cacircbles preacutesents et la largeur de lrsquoacircme
Le preacutesent rapport deacutetaille les reacutesultats drsquoune recherche effectueacutee dans le but de mieux comprendre la reacuteponse structurale des eacuteleacutements agrave acircme mince avec cacircbles de preacutecontrainte Cette recherche vise aussi agrave deacuteterminer si la norme SIA 262 conduit agrave une estimation conservative et suffisamment preacutecise de la reacutesistance de ces eacuteleacutements
Une campagne drsquoessais a eacuteteacute effectueacutee pour eacutetudier certains aspects qui nrsquoeacutetaient pas encore couverts par la litteacuterature scientifique en ce domaine Sa premiegravere partie srsquointeacuteresse au comportement de panneaux munis de divers types de cacircbles (dans des gaines en acier ou en plastique avec injection ou dans des gaines en acier non injecteacutees) Les reacutesultats deacutemontrent que la SIA 262 (2003) conduit agrave des dimensionnement adeacutequats pour les cacircbles dans des gaines meacutetalliques injecteacutees ou non Par contre les solutions ne sont pas conservatrices pour les gaines en matiegravere plastique Une formulation tenant compte de ce type particulier de gaine est proposeacutee
La seconde partie de la campagne drsquoessais explore le comportement de poutres preacutecontraintes extraites drsquoun pont existant Leur mode de rupture a eacuteteacute par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme le long des cacircbles sous lrsquoeffet de lrsquoeffort tranchant Ces reacutesultats drsquoessais sont utiliseacutes pour comprendre les divers meacutecanismes de reprise des charges qui se deacuteveloppent dans les poutres et pour examiner lrsquoadeacutequation des approches proposeacutees par les normes de dimensionnement et la meacutethode des champs de contrainte pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de tels eacuteleacutements de structure Toutes les versions de la SIA 162 donnent des reacutesultats non conservateurs car cet effet nrsquoest pas consideacutereacute Par contre la SIA 262 et la meacutethode des champs de contrainte donnent des reacutesultats suffisamment preacutecis et conservateurs
En conseacutequence pour le dimensionnement de poutres preacutecontraintes agrave acircme mince lrsquoapproche suivie par la version actuelle de la SIA 262 peut ecirctre appliqueacutee ce qui conduit agrave des solutions suffisamment preacutecises et conservatrices Par contre pour la veacuterification de la capaciteacute de structures existantes il peut srsquoaveacuterer neacutecessaire si lrsquoapproche de la SIA 262 indique une reacutesistance insuffisante de deacutevelopper divers modegraveles de champs de contraintes avec une preacutecision grandissante pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoeacuteleacutement consideacutereacute
Zusammenfassung Die meisten Bruumlcken mittlerer Spannweite in der Schweiz sind vorgespannte Betonbalkenbruumlcken mit offenem oder Kastenquerschnitt Die Entwicklung der Nutzung Anforderungen an den Tragwiderstand und die Kenntnisse uumlber diese Tragwerke haben kuumlrzlich die Frage aufgeworfen ob manche bestehende Bruumlcken die Schubtragfaumlhigkeit nach aktueller Schweizer Norm SIA 262 (2003) auch tatsaumlchlich erreichen
Insbesondere der Einfluss der Groumlsse der Spannglieder im Steg auf die Schubtragfaumlhigkeit war bis zur Einfuumlhrung der aktuellen Norm SIA 262 vernachlaumlssigt worden Nach SIA 262 in 2003 muss der Druckwiderstand der im Steg entstehenden Druckstreben als Funktion des Verhaumlltnisses Huumlllrohrdurchmesser zu Stegdicke bestimmt werden
Dieser Bericht gibt im Detail die Ergebnisse einer Forschung wieder die auf das bessere Verstaumlndnis des Tragwerksverhaltens von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen abzielt Diese Forschung klaumlrt auch die Frage ob die aktuelle Schweizer Norm fuumlr Tragwerksbeton SIA 262 zu einer sicheren und ausreichend genauen Einschaumltzung des Widerstands solcher Traumlger fuumlhrt
Eine Versuchsserie wurde durchgefuumlhrt um gewisse Aspekte die von der betreffenden Literatur nicht behandelt werden zu untersuchen Der erste Teil konzentriert sich auf das Verhalten von Prismen unter Druckbelastung mit verschiedenen Typen von Spanngliedern (injizierte Stahl- und Kunststoff-Huumlllrohre sowie nichtinjizierte Stahlhuumlllrohre) Die Ergebnisse zeigen dass unter Benutzung der SIA 262 angemessene Ergebnisse fuumlr injizierte und nichtinjizierte Stahl-Huumlllrohre erzielt werden Fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre werden allerdings Werte auf der unsicheren Seite erzielt Ein angemessener Wert fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre passend zum Format der SIA 262 wird vorgeschlagen
Der zweite Teil der Versuchsserie untersucht das Verhalten von vorgespannten Traumlgern die aus einer bestehenden Bruumlcke ausgebaut worden waren Die Traumlger versagten auf Schub durch Stegdruckbruch entlang der Spannglieder Die Versuchsergebnisse werden benutzt um die einzelnen Tragmechanismen die sich im Traumlger entwickeln zu verstehen und um die Angemessenheit der Ansaumltze von Bemessungsnormen und der Spannungsfeldmethode zur Bestimmung der Schubtragfaumlhigkeit solcher Traumlger zu ermitteln Die SIA 162 liefert Ergebnisse auf der unsicheren Seite Auf der anderen Seite ergeben SIA 262 und die Spannungsfeldmethode ausreichend genaue und sichere Resultate
Demzufolge kann fuumlr die Bemessung von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen der Ansatz der aktuellen Norm SIA 262 verfolgt werden was zu ausreichend genauen und auf der sicheren Seite liegenden Ergebnissen fuumlhrt Andererseits erscheint bei der Uumlberpruumlfung bestehender Bauwerke ein inkrementeller Ansatz angemessener in Faumlllen wo unzureichender Widerstand nach SIA 262 gefunden wird In solchen Situationen wird es notwendig sein mehrere Spannungsfelder zu entwickeln und dabei progressiv die Genauigkeit der Schubtragfaumlhigkeitsabschaumltzung zu erhoumlhen
Summary Most concrete bridges in Switzerland covering medium spans are post-tensioned concrete girder bridges with open or box-shaped cross-sections The evolution in the use strength requirements technology and structural knowledge of these structures have recently raised the question whether some existing post-tensioned bridges may not satisfy the shear strength requirements of the current Swiss code SIA 262 (2003)
In particular the influence on the shear strength due to post-tensioning tendons in the web was neglected in the Swiss code until the introduction of the current SIA 262 According to SIA 262 (2003) a reduction in the compressive strength of the struts developing in the web has to be considered as a function of the duct size to web thickness ratio
The present report details the results of a research performed with the aim of better understanding the structural response of post-tensioned members with thin webs in the presence of post-tensioning tendons This research also aims at determining whether the Swiss Code for structural concrete SIA 262 leads to a safe and sufficiently accurate estimate of the strength of such members
An experimental campaign has been conducted to explore some aspects not covered by the current literature of the subject The first part focuses on the behaviour of panels loaded in compression with various types of tendons (injected steel and plastic ducts and non-injected steel ducts) The results show that adequate designs are obtained using SIA 262 for injected and non-injected steel ducts However unsafe results are obtained for plastic ducts A suitable value for plastic ducts according to SIA 262 format is proposed
The second part of the campaign investigates the behaviour of post-tensioned girders extracted from an existing bridge The girders failed in shear by crushing of the web along the post-tensioning tendons The test results are used to understand the various load-carrying mechanisms developed in the girder and to investigate the suitability of the approaches proposed by design codes and the stress field method to estimate the shear strength of such members All versions of SIA 162 which do not consider this effect provide unsafe results On the other hand SIA 262 and the stress field method give sufficiently accurate and conservative results
Consequently for the dimensioning of post-tensioned girders with thin webs the approach followed by the current SIA 262 can be followed leading to sufficiently accurate and conservative designs For the checking of existing structures on the other hand an incremental approach seems more appropriate in cases where an insufficient strength is found with the SIA 262 formulae In such situations it becomes necessary to develop various stress fields progressively improving their accuracy to estimate the shear strength of the member
Table des matiegraveres 1 Introduction et but de la recherche 1
Objectifs de la recherche 2 2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute 5
Composante verticale de la force de preacutecontrainte 5 Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton 6 Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes 7 Gaines non-injecteacutees 7 Gaines injecteacutees 7
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces 11 Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature 11 Programme expeacuterimental 13 Reacutesultats expeacuterimentaux 15
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince 19 Campagne expeacuterimentale 19 Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif 24
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes 29 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute 30 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute 31 Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus 33 Analyse par champs de contraintes continus 36 Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement 38
6 Conclusions 41 7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines 43
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique 43 Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees 44 Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees 47
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte 49 Conditions drsquoeacutequilibre 49 Compatibiliteacute des deacuteformations 51 Comportement des mateacuteriaux 52 Reacutesistance de lrsquoacircme 53 Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre 57
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262 61 10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262 63 11 Reacutefeacuterences 65 12 Symboles 67
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
17
ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
19
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
20
(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
21
Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
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24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
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Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
Reacutesumeacute La plupart des ponts suisses de moyenne porteacutee sont des ponts-poutres avec une section ouverte ou en caisson en beacuteton armeacute preacutecontraint Lrsquoeacutevolution dans leur utilisation les exigences concernant leur reacutesistance et lrsquoeacutetat des connaissances de ce type de structures ont souleveacute la question de savoir si certains des ponts existants reacutepondent aux exigences en matiegravere drsquoeffort tranchant de la norme actuelle SIA 262 (2003)
En particulier lrsquoinfluence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de la preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte dans les acircmes a eacuteteacute neacutegligeacutee dans les normes suisses jusqursquoagrave lrsquointroduction de la norme actuelle SIA 262 Selon cette norme de 2003 il est neacutecessaire de tenir compte drsquoune reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression des bielles qui se deacuteveloppent dans les acircmes ceci en fonction du rapport entre le diamegravetre des cacircbles preacutesents et la largeur de lrsquoacircme
Le preacutesent rapport deacutetaille les reacutesultats drsquoune recherche effectueacutee dans le but de mieux comprendre la reacuteponse structurale des eacuteleacutements agrave acircme mince avec cacircbles de preacutecontrainte Cette recherche vise aussi agrave deacuteterminer si la norme SIA 262 conduit agrave une estimation conservative et suffisamment preacutecise de la reacutesistance de ces eacuteleacutements
Une campagne drsquoessais a eacuteteacute effectueacutee pour eacutetudier certains aspects qui nrsquoeacutetaient pas encore couverts par la litteacuterature scientifique en ce domaine Sa premiegravere partie srsquointeacuteresse au comportement de panneaux munis de divers types de cacircbles (dans des gaines en acier ou en plastique avec injection ou dans des gaines en acier non injecteacutees) Les reacutesultats deacutemontrent que la SIA 262 (2003) conduit agrave des dimensionnement adeacutequats pour les cacircbles dans des gaines meacutetalliques injecteacutees ou non Par contre les solutions ne sont pas conservatrices pour les gaines en matiegravere plastique Une formulation tenant compte de ce type particulier de gaine est proposeacutee
La seconde partie de la campagne drsquoessais explore le comportement de poutres preacutecontraintes extraites drsquoun pont existant Leur mode de rupture a eacuteteacute par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme le long des cacircbles sous lrsquoeffet de lrsquoeffort tranchant Ces reacutesultats drsquoessais sont utiliseacutes pour comprendre les divers meacutecanismes de reprise des charges qui se deacuteveloppent dans les poutres et pour examiner lrsquoadeacutequation des approches proposeacutees par les normes de dimensionnement et la meacutethode des champs de contrainte pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de tels eacuteleacutements de structure Toutes les versions de la SIA 162 donnent des reacutesultats non conservateurs car cet effet nrsquoest pas consideacutereacute Par contre la SIA 262 et la meacutethode des champs de contrainte donnent des reacutesultats suffisamment preacutecis et conservateurs
En conseacutequence pour le dimensionnement de poutres preacutecontraintes agrave acircme mince lrsquoapproche suivie par la version actuelle de la SIA 262 peut ecirctre appliqueacutee ce qui conduit agrave des solutions suffisamment preacutecises et conservatrices Par contre pour la veacuterification de la capaciteacute de structures existantes il peut srsquoaveacuterer neacutecessaire si lrsquoapproche de la SIA 262 indique une reacutesistance insuffisante de deacutevelopper divers modegraveles de champs de contraintes avec une preacutecision grandissante pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoeacuteleacutement consideacutereacute
Zusammenfassung Die meisten Bruumlcken mittlerer Spannweite in der Schweiz sind vorgespannte Betonbalkenbruumlcken mit offenem oder Kastenquerschnitt Die Entwicklung der Nutzung Anforderungen an den Tragwiderstand und die Kenntnisse uumlber diese Tragwerke haben kuumlrzlich die Frage aufgeworfen ob manche bestehende Bruumlcken die Schubtragfaumlhigkeit nach aktueller Schweizer Norm SIA 262 (2003) auch tatsaumlchlich erreichen
Insbesondere der Einfluss der Groumlsse der Spannglieder im Steg auf die Schubtragfaumlhigkeit war bis zur Einfuumlhrung der aktuellen Norm SIA 262 vernachlaumlssigt worden Nach SIA 262 in 2003 muss der Druckwiderstand der im Steg entstehenden Druckstreben als Funktion des Verhaumlltnisses Huumlllrohrdurchmesser zu Stegdicke bestimmt werden
Dieser Bericht gibt im Detail die Ergebnisse einer Forschung wieder die auf das bessere Verstaumlndnis des Tragwerksverhaltens von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen abzielt Diese Forschung klaumlrt auch die Frage ob die aktuelle Schweizer Norm fuumlr Tragwerksbeton SIA 262 zu einer sicheren und ausreichend genauen Einschaumltzung des Widerstands solcher Traumlger fuumlhrt
Eine Versuchsserie wurde durchgefuumlhrt um gewisse Aspekte die von der betreffenden Literatur nicht behandelt werden zu untersuchen Der erste Teil konzentriert sich auf das Verhalten von Prismen unter Druckbelastung mit verschiedenen Typen von Spanngliedern (injizierte Stahl- und Kunststoff-Huumlllrohre sowie nichtinjizierte Stahlhuumlllrohre) Die Ergebnisse zeigen dass unter Benutzung der SIA 262 angemessene Ergebnisse fuumlr injizierte und nichtinjizierte Stahl-Huumlllrohre erzielt werden Fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre werden allerdings Werte auf der unsicheren Seite erzielt Ein angemessener Wert fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre passend zum Format der SIA 262 wird vorgeschlagen
Der zweite Teil der Versuchsserie untersucht das Verhalten von vorgespannten Traumlgern die aus einer bestehenden Bruumlcke ausgebaut worden waren Die Traumlger versagten auf Schub durch Stegdruckbruch entlang der Spannglieder Die Versuchsergebnisse werden benutzt um die einzelnen Tragmechanismen die sich im Traumlger entwickeln zu verstehen und um die Angemessenheit der Ansaumltze von Bemessungsnormen und der Spannungsfeldmethode zur Bestimmung der Schubtragfaumlhigkeit solcher Traumlger zu ermitteln Die SIA 162 liefert Ergebnisse auf der unsicheren Seite Auf der anderen Seite ergeben SIA 262 und die Spannungsfeldmethode ausreichend genaue und sichere Resultate
Demzufolge kann fuumlr die Bemessung von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen der Ansatz der aktuellen Norm SIA 262 verfolgt werden was zu ausreichend genauen und auf der sicheren Seite liegenden Ergebnissen fuumlhrt Andererseits erscheint bei der Uumlberpruumlfung bestehender Bauwerke ein inkrementeller Ansatz angemessener in Faumlllen wo unzureichender Widerstand nach SIA 262 gefunden wird In solchen Situationen wird es notwendig sein mehrere Spannungsfelder zu entwickeln und dabei progressiv die Genauigkeit der Schubtragfaumlhigkeitsabschaumltzung zu erhoumlhen
Summary Most concrete bridges in Switzerland covering medium spans are post-tensioned concrete girder bridges with open or box-shaped cross-sections The evolution in the use strength requirements technology and structural knowledge of these structures have recently raised the question whether some existing post-tensioned bridges may not satisfy the shear strength requirements of the current Swiss code SIA 262 (2003)
In particular the influence on the shear strength due to post-tensioning tendons in the web was neglected in the Swiss code until the introduction of the current SIA 262 According to SIA 262 (2003) a reduction in the compressive strength of the struts developing in the web has to be considered as a function of the duct size to web thickness ratio
The present report details the results of a research performed with the aim of better understanding the structural response of post-tensioned members with thin webs in the presence of post-tensioning tendons This research also aims at determining whether the Swiss Code for structural concrete SIA 262 leads to a safe and sufficiently accurate estimate of the strength of such members
An experimental campaign has been conducted to explore some aspects not covered by the current literature of the subject The first part focuses on the behaviour of panels loaded in compression with various types of tendons (injected steel and plastic ducts and non-injected steel ducts) The results show that adequate designs are obtained using SIA 262 for injected and non-injected steel ducts However unsafe results are obtained for plastic ducts A suitable value for plastic ducts according to SIA 262 format is proposed
The second part of the campaign investigates the behaviour of post-tensioned girders extracted from an existing bridge The girders failed in shear by crushing of the web along the post-tensioning tendons The test results are used to understand the various load-carrying mechanisms developed in the girder and to investigate the suitability of the approaches proposed by design codes and the stress field method to estimate the shear strength of such members All versions of SIA 162 which do not consider this effect provide unsafe results On the other hand SIA 262 and the stress field method give sufficiently accurate and conservative results
Consequently for the dimensioning of post-tensioned girders with thin webs the approach followed by the current SIA 262 can be followed leading to sufficiently accurate and conservative designs For the checking of existing structures on the other hand an incremental approach seems more appropriate in cases where an insufficient strength is found with the SIA 262 formulae In such situations it becomes necessary to develop various stress fields progressively improving their accuracy to estimate the shear strength of the member
Table des matiegraveres 1 Introduction et but de la recherche 1
Objectifs de la recherche 2 2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute 5
Composante verticale de la force de preacutecontrainte 5 Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton 6 Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes 7 Gaines non-injecteacutees 7 Gaines injecteacutees 7
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces 11 Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature 11 Programme expeacuterimental 13 Reacutesultats expeacuterimentaux 15
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince 19 Campagne expeacuterimentale 19 Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif 24
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes 29 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute 30 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute 31 Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus 33 Analyse par champs de contraintes continus 36 Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement 38
6 Conclusions 41 7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines 43
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique 43 Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees 44 Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees 47
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte 49 Conditions drsquoeacutequilibre 49 Compatibiliteacute des deacuteformations 51 Comportement des mateacuteriaux 52 Reacutesistance de lrsquoacircme 53 Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre 57
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262 61 10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262 63 11 Reacutefeacuterences 65 12 Symboles 67
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
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La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
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Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
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g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
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(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
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[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
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6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
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9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
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24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
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Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
Zusammenfassung Die meisten Bruumlcken mittlerer Spannweite in der Schweiz sind vorgespannte Betonbalkenbruumlcken mit offenem oder Kastenquerschnitt Die Entwicklung der Nutzung Anforderungen an den Tragwiderstand und die Kenntnisse uumlber diese Tragwerke haben kuumlrzlich die Frage aufgeworfen ob manche bestehende Bruumlcken die Schubtragfaumlhigkeit nach aktueller Schweizer Norm SIA 262 (2003) auch tatsaumlchlich erreichen
Insbesondere der Einfluss der Groumlsse der Spannglieder im Steg auf die Schubtragfaumlhigkeit war bis zur Einfuumlhrung der aktuellen Norm SIA 262 vernachlaumlssigt worden Nach SIA 262 in 2003 muss der Druckwiderstand der im Steg entstehenden Druckstreben als Funktion des Verhaumlltnisses Huumlllrohrdurchmesser zu Stegdicke bestimmt werden
Dieser Bericht gibt im Detail die Ergebnisse einer Forschung wieder die auf das bessere Verstaumlndnis des Tragwerksverhaltens von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen abzielt Diese Forschung klaumlrt auch die Frage ob die aktuelle Schweizer Norm fuumlr Tragwerksbeton SIA 262 zu einer sicheren und ausreichend genauen Einschaumltzung des Widerstands solcher Traumlger fuumlhrt
Eine Versuchsserie wurde durchgefuumlhrt um gewisse Aspekte die von der betreffenden Literatur nicht behandelt werden zu untersuchen Der erste Teil konzentriert sich auf das Verhalten von Prismen unter Druckbelastung mit verschiedenen Typen von Spanngliedern (injizierte Stahl- und Kunststoff-Huumlllrohre sowie nichtinjizierte Stahlhuumlllrohre) Die Ergebnisse zeigen dass unter Benutzung der SIA 262 angemessene Ergebnisse fuumlr injizierte und nichtinjizierte Stahl-Huumlllrohre erzielt werden Fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre werden allerdings Werte auf der unsicheren Seite erzielt Ein angemessener Wert fuumlr Kunststoff-Huumlllrohre passend zum Format der SIA 262 wird vorgeschlagen
Der zweite Teil der Versuchsserie untersucht das Verhalten von vorgespannten Traumlgern die aus einer bestehenden Bruumlcke ausgebaut worden waren Die Traumlger versagten auf Schub durch Stegdruckbruch entlang der Spannglieder Die Versuchsergebnisse werden benutzt um die einzelnen Tragmechanismen die sich im Traumlger entwickeln zu verstehen und um die Angemessenheit der Ansaumltze von Bemessungsnormen und der Spannungsfeldmethode zur Bestimmung der Schubtragfaumlhigkeit solcher Traumlger zu ermitteln Die SIA 162 liefert Ergebnisse auf der unsicheren Seite Auf der anderen Seite ergeben SIA 262 und die Spannungsfeldmethode ausreichend genaue und sichere Resultate
Demzufolge kann fuumlr die Bemessung von vorgespannten Traumlgern mit duumlnnen Stegen der Ansatz der aktuellen Norm SIA 262 verfolgt werden was zu ausreichend genauen und auf der sicheren Seite liegenden Ergebnissen fuumlhrt Andererseits erscheint bei der Uumlberpruumlfung bestehender Bauwerke ein inkrementeller Ansatz angemessener in Faumlllen wo unzureichender Widerstand nach SIA 262 gefunden wird In solchen Situationen wird es notwendig sein mehrere Spannungsfelder zu entwickeln und dabei progressiv die Genauigkeit der Schubtragfaumlhigkeitsabschaumltzung zu erhoumlhen
Summary Most concrete bridges in Switzerland covering medium spans are post-tensioned concrete girder bridges with open or box-shaped cross-sections The evolution in the use strength requirements technology and structural knowledge of these structures have recently raised the question whether some existing post-tensioned bridges may not satisfy the shear strength requirements of the current Swiss code SIA 262 (2003)
In particular the influence on the shear strength due to post-tensioning tendons in the web was neglected in the Swiss code until the introduction of the current SIA 262 According to SIA 262 (2003) a reduction in the compressive strength of the struts developing in the web has to be considered as a function of the duct size to web thickness ratio
The present report details the results of a research performed with the aim of better understanding the structural response of post-tensioned members with thin webs in the presence of post-tensioning tendons This research also aims at determining whether the Swiss Code for structural concrete SIA 262 leads to a safe and sufficiently accurate estimate of the strength of such members
An experimental campaign has been conducted to explore some aspects not covered by the current literature of the subject The first part focuses on the behaviour of panels loaded in compression with various types of tendons (injected steel and plastic ducts and non-injected steel ducts) The results show that adequate designs are obtained using SIA 262 for injected and non-injected steel ducts However unsafe results are obtained for plastic ducts A suitable value for plastic ducts according to SIA 262 format is proposed
The second part of the campaign investigates the behaviour of post-tensioned girders extracted from an existing bridge The girders failed in shear by crushing of the web along the post-tensioning tendons The test results are used to understand the various load-carrying mechanisms developed in the girder and to investigate the suitability of the approaches proposed by design codes and the stress field method to estimate the shear strength of such members All versions of SIA 162 which do not consider this effect provide unsafe results On the other hand SIA 262 and the stress field method give sufficiently accurate and conservative results
Consequently for the dimensioning of post-tensioned girders with thin webs the approach followed by the current SIA 262 can be followed leading to sufficiently accurate and conservative designs For the checking of existing structures on the other hand an incremental approach seems more appropriate in cases where an insufficient strength is found with the SIA 262 formulae In such situations it becomes necessary to develop various stress fields progressively improving their accuracy to estimate the shear strength of the member
Table des matiegraveres 1 Introduction et but de la recherche 1
Objectifs de la recherche 2 2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute 5
Composante verticale de la force de preacutecontrainte 5 Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton 6 Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes 7 Gaines non-injecteacutees 7 Gaines injecteacutees 7
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces 11 Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature 11 Programme expeacuterimental 13 Reacutesultats expeacuterimentaux 15
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince 19 Campagne expeacuterimentale 19 Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif 24
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes 29 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute 30 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute 31 Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus 33 Analyse par champs de contraintes continus 36 Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement 38
6 Conclusions 41 7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines 43
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique 43 Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees 44 Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees 47
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte 49 Conditions drsquoeacutequilibre 49 Compatibiliteacute des deacuteformations 51 Comportement des mateacuteriaux 52 Reacutesistance de lrsquoacircme 53 Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre 57
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262 61 10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262 63 11 Reacutefeacuterences 65 12 Symboles 67
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
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[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
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preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
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lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
43
7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
Summary Most concrete bridges in Switzerland covering medium spans are post-tensioned concrete girder bridges with open or box-shaped cross-sections The evolution in the use strength requirements technology and structural knowledge of these structures have recently raised the question whether some existing post-tensioned bridges may not satisfy the shear strength requirements of the current Swiss code SIA 262 (2003)
In particular the influence on the shear strength due to post-tensioning tendons in the web was neglected in the Swiss code until the introduction of the current SIA 262 According to SIA 262 (2003) a reduction in the compressive strength of the struts developing in the web has to be considered as a function of the duct size to web thickness ratio
The present report details the results of a research performed with the aim of better understanding the structural response of post-tensioned members with thin webs in the presence of post-tensioning tendons This research also aims at determining whether the Swiss Code for structural concrete SIA 262 leads to a safe and sufficiently accurate estimate of the strength of such members
An experimental campaign has been conducted to explore some aspects not covered by the current literature of the subject The first part focuses on the behaviour of panels loaded in compression with various types of tendons (injected steel and plastic ducts and non-injected steel ducts) The results show that adequate designs are obtained using SIA 262 for injected and non-injected steel ducts However unsafe results are obtained for plastic ducts A suitable value for plastic ducts according to SIA 262 format is proposed
The second part of the campaign investigates the behaviour of post-tensioned girders extracted from an existing bridge The girders failed in shear by crushing of the web along the post-tensioning tendons The test results are used to understand the various load-carrying mechanisms developed in the girder and to investigate the suitability of the approaches proposed by design codes and the stress field method to estimate the shear strength of such members All versions of SIA 162 which do not consider this effect provide unsafe results On the other hand SIA 262 and the stress field method give sufficiently accurate and conservative results
Consequently for the dimensioning of post-tensioned girders with thin webs the approach followed by the current SIA 262 can be followed leading to sufficiently accurate and conservative designs For the checking of existing structures on the other hand an incremental approach seems more appropriate in cases where an insufficient strength is found with the SIA 262 formulae In such situations it becomes necessary to develop various stress fields progressively improving their accuracy to estimate the shear strength of the member
Table des matiegraveres 1 Introduction et but de la recherche 1
Objectifs de la recherche 2 2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute 5
Composante verticale de la force de preacutecontrainte 5 Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton 6 Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes 7 Gaines non-injecteacutees 7 Gaines injecteacutees 7
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces 11 Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature 11 Programme expeacuterimental 13 Reacutesultats expeacuterimentaux 15
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince 19 Campagne expeacuterimentale 19 Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif 24
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes 29 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute 30 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute 31 Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus 33 Analyse par champs de contraintes continus 36 Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement 38
6 Conclusions 41 7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines 43
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique 43 Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees 44 Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees 47
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte 49 Conditions drsquoeacutequilibre 49 Compatibiliteacute des deacuteformations 51 Comportement des mateacuteriaux 52 Reacutesistance de lrsquoacircme 53 Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre 57
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262 61 10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262 63 11 Reacutefeacuterences 65 12 Symboles 67
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
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[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
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preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
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lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
43
7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
Table des matiegraveres 1 Introduction et but de la recherche 1
Objectifs de la recherche 2 2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute 5
Composante verticale de la force de preacutecontrainte 5 Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton 6 Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes 7 Gaines non-injecteacutees 7 Gaines injecteacutees 7
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces 11 Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature 11 Programme expeacuterimental 13 Reacutesultats expeacuterimentaux 15
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince 19 Campagne expeacuterimentale 19 Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif 24
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes 29 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute 30 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute 31 Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus 33 Analyse par champs de contraintes continus 36 Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement 38
6 Conclusions 41 7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines 43
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique 43 Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees 44 Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees 47
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte 49 Conditions drsquoeacutequilibre 49 Compatibiliteacute des deacuteformations 51 Comportement des mateacuteriaux 52 Reacutesistance de lrsquoacircme 53 Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre 57
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262 61 10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262 63 11 Reacutefeacuterences 65 12 Symboles 67
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
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preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
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lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
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6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
1
1 Introduction et but de la recherche
La plupart des ponts de moyenne ou longue porteacutee du reacuteseau autoroutier suisse est constitueacutee de ponts-poutre en beacuteton armeacute preacutecontraint avec une section en caisson ou ouverte Dans la quasi-totaliteacute des cas la preacutecontrainte est disposeacutee dans les acircmes et les gaines sont injecteacutees avec du coulis de ciment
La veacuterification des ponts existants construits en grande partie dans les anneacutees rsquo60-rsquo80 montre que souvent la reprise de lrsquoeffort tranchant par les acircmes est jugeacutee insuffisante selon les normes actuelles En effet la norme SIA 262 de 2003 est plus prudente que la SIA 162 de 1968 et 1989 pour la prise en compte de la preacutecontrainte En outre la nouvelle norme considegravere pour la premiegravere fois lrsquoaffaiblissement des acircmes par la preacutesence des gaines de preacutecontrainte Cet effet est illustreacute dans la fig 11 ougrave les gaines des cacircbles de preacutecontrainte traversent les bielles comprimeacutees qui reacutesultent de lrsquoeffort tranchant Ce problegraveme a deacutejagrave eacuteteacute eacutevoqueacute dans Matt [1990]
M V MV
(b)
(a) Reelle
bw bwnom
Equivalente
H
σα c
Figure 11 Ames drsquoune poutre preacutecontrainte (a) eacutepaisseur reacuteelle (bw) et effective (bwnom) (b) champ de contraintes non devieacute normalement admis pour deacuteterminer la contrainte dans les bielles (σc) et son angle drsquoinclinaison (α)
La reacuteduction de la reacutesistance du champ de compression deacutepend essentiellement de la largeur occupeacutee par les gaines par rapport agrave la largeur totale de lrsquoacircme (mesureacute avec le rapport δ = ΣOslashHbw) et le type de gaine ainsi que le drsquoinjection Pour ce dernier effet on distingue essentiellement trois cas
minus gaines meacutetalliques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines syntheacutetiques injecteacutees par coulis de ciment
minus gaines non injecteacutees (situation pendant la construction) ou injecteacutees avec une substance tregraves souple par rapport au beacuteton (graisse ou cire)
Lrsquoaffaiblissement est geacuteneacuteralement consideacutereacute en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de calcul de lrsquoacircme selon la relation suivante
H OslashΣsdotminus= kbb wnomw (1)
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
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En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
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6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
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9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
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Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
2
ougrave k est un facteur qui deacutepend du type de gaine et drsquoinjection (voir SIA 262 [2003] chiffre 43335) Une approche alternative eacutequivalente consiste agrave reacuteduire la reacutesistance effective du beacuteton des bielles inclineacutees par le facteur
δη sdotminus= kD 1 (2)
Selon la SIA 262 [2003] la valeur k vaut 05 pour les gaines injecteacutees et 12 pour les gaines non injecteacutees Aucune consideacuteration nrsquoest faite sur le type de gaine (meacutetallique ou syntheacutetique)
La reacutesistance du champ de compressions inclineacute est eacutegalement influenceacutee par lrsquoeacutetat de fissuration de lrsquoacircme Crsquoest pourquoi un second coefficient de reacuteduction de reacutesistance agrave la compression (appeleacute kc) tenant compte de ce pheacutenomegravene doit ecirctre introduit La valeur typique de ce coefficient est de 060 (SIA 262 [2003] chiffre 4217)
Lrsquointeraction entre ces deux pheacutenomegravenes (ηD et kc) est normalement consideacutereacutee en admettant une formulation multiplicative (par conseacutequent la reacutesistance agrave la compression de lrsquoacircme est finalement reacuteduite par un facteur eacutegal agrave ηD kc) Cette approche est simple et permet drsquoobtenir avec uniquement des conditions drsquoeacutequilibre la contrainte et lrsquoangle drsquoinclinaison des bielles de lrsquoacircme (voir fig 11b)
Lrsquoadeacutequation de ces deux coefficients ainsi que lrsquoapproche multiplicative (adopteacutee par la norme SIA 262 [2003]) pour lrsquoanalyse des structures preacutecontraintes agrave acircme mince seront eacutetudieacutees dans ce rapport
Objectifs de la recherche
Le preacutesent rapport deacutecrit les reacutesultats de cette recherche entreprise pour satisfaire les trois buts suivants
1 Comprendre le comportement des eacuteleacutements agrave acircme mince
2 Eacutetablir une meacutethode rationnelle pour lrsquoeacutevaluation de leur capaciteacute porteuse
3 Analyser les reacutesultats obtenus lors de lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] au dimensionnement et agrave la veacuterification des eacuteleacutements agrave acircme mince avec une discussion des hypothegraveses principales qursquoelle comporte
Pour atteindre ces trois buts une eacutetude theacuteorique et expeacuterimentale a eacuteteacute effectueacutee Deux seacuteries drsquoessais (sur des panneaux avec gaines et sur des poutres preacutecontraintes en vraie grandeur) ont eacuteteacute conccedilues et reacutealiseacutees afin de compleacuteter les reacutesultats reacutepertorieacutes dans la litteacuterature scientifique
Lrsquoeacutetude propose tout drsquoabord une introduction au problegraveme dans le chapitre 2 Dans ce chapitre les diffeacuterents paramegravetres physiques et meacutecaniques sont preacutesenteacutes ainsi que les relations qui les lient Un modegravele physique est eacutegalement preacutesenteacute pour analyser le comportement drsquoun panneau drsquoacircme preacutecontrainte ceci permettant de mettre en valeur le rocircle des diffeacuterents paramegravetres
Dans le chapitre 3 une eacutetude sur lrsquoaffaiblissement induit par une gaine de preacutecontrainte sur un panneau comprimeacute est preacutesenteacutee Dans cette eacutetude les reacutesultats des essais tireacutes de la litteacuterature scientifique ainsi que ceux drsquoune campagne expeacuterimentale effectueacutee dans le cadre de ce projet sont analyseacutes Plusieurs conclusions pratiques sur lrsquoapplication de la norme SIA 262 [2003] sont obtenues
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
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9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
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24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
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Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
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57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
3
Le comportement des poutres preacutecontraintes par post-tension est ensuite eacutetudieacute dans les chapitres 4 et 5 Les reacutesultats principaux drsquoune recherche expeacuterimentale deacuteveloppeacutee dans le cadre de cette eacutetude sont tout drsquoabord preacutesenteacutes Cinq poutres preacuteleveacutees du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo (Autoroute A2 Capolago TI) dont le tablier a eacuteteacute remplaceacute ont eacuteteacute testeacutees sous diffeacuterents chargements menant agrave la rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme Ces reacutesultats ont permis drsquoinvestiguer en deacutetail la probleacutematique de ces eacuteleacutements
Par la suite ces reacutesultats ont eacuteteacute utiliseacutes pour deacutevelopper une approche theacuteorique preacutesenteacutee dans le chapitre 5 qui modeacutelise les eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircme mince selon la meacutethode des champs de contraintes Une approche par eacutetapes est proposeacutee permettant drsquoameacuteliorer progressivement la preacutecision et la connaissance de la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements Finalement une comparaison entre les reacutesultats obtenus suivant lrsquoapplication des champs de contraintes des normes SIA 262 [2003] SIA 162 [19891993] et drsquoautres normes internationales est preacutesenteacutee De ce fait diverses conclusions sur lrsquoapplicabiliteacute de lrsquoapproche suivie par la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute obtenues
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
17
ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
19
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
20
(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
21
Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
43
7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
45
Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
4
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
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[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
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preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
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lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
43
7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
5
2 Influence de la preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres en beacuteton armeacute
Preacutealablement agrave la description quantitative de lrsquoinfluence de la dimension de la gaine sur la reacutesistance des bielles comprimeacutees du beacuteton il est utile de consideacuterer les autres effets que la preacutecontrainte peut avoir sur la reacutesistance drsquoune poutre en beacuteton armeacute agrave acircme mince
Composante verticale de la force de preacutecontrainte
Le traceacute geacuteomeacutetrique de la preacutecontrainte est normalement choisi de sorte qursquoune partie de lrsquoeffort tranchant soit reprise directement par lrsquoinclination des cacircbles Si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme une action externe un effet favorable correspond agrave lrsquoeffort tranchant deacutecoulant des forces de deacuteviation Par contre si la preacutecontrainte est consideacutereacutee comme un eacutetat drsquoautocontraintes cet effet correspond agrave la composante transversale de la force de preacutecontrainte par rapport agrave lrsquoaxe de la poutre Les deux approches megravenent bien entendu agrave des reacutesultats identiques Lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles vaut
βγ sin sdotsdot= dPdP PV (3)
ougrave Pγ est le facteur partiel de la preacutecontrainte (10 selon SIA 260 [2003]) et β est lrsquoangle entre le cacircble et lrsquoaxe de la poutre
Dans le cas de la preacutecontrainte avec adheacuterence la force dans le cacircble augmente sous lrsquoeffet des charges exteacuterieures de sorte que lrsquoeffort tranchant repris par les cacircbles augmente aussi Cet effet est souvent neacutegligeacute puisque son ordre de grandeur est normalement faible et qursquoune analyse deacutetailleacutee faisant appel agrave des champs de contraintes est alors neacutecessaire (fig 21) Le chapitre 5 de ce rapport est deacutedieacute agrave lrsquoapprofondissement de ce sujet
Effort tranchant repris par lacircme
V
infinP
Effort tranchant repris par le cacircble
Effet de laugmentation de P sous charges
184 MN
P sdot sininfin
infinP
Figure 21 Analyse drsquoune poutre simple et diagramme de lrsquoeffort tranchant
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
19
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
20
(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
43
7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
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24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
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Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
6
Influence de la force de preacutecontrainte sur lrsquoinclinaison des bielles et sur la reacutesistance effective du beacuteton
Dans lrsquoacircme des poutres le beacuteton est comprimeacute dans la direction des bielles Les eacutetriers et lrsquoarmature longitudinale solliciteacutees agrave la traction introduisent des deacuteformations transversales dans le beacuteton approximativement perpendiculaires aux bielles Ces deacuteformations concentreacutees au droit des fissures sont deacutefavorables pour le comportement du beacuteton et megravenent agrave une diminution de la reacutesistance agrave la compression des bielles La reacutesistance effective du beacuteton dans lrsquoacircme est donc exprimeacutee par la relation
ccce fkf sdot= (4)
ougrave kc est un facteur qui deacutecrit lrsquoinfluence de la deacuteformation transversale Selon Vecchio et Collins [ASCE 1998] le facteur kc peut ecirctre deacutetermineacute agrave partir de la relation suivante
8080051
1
1le
sdot+=
εck (5)
ougrave 1ε est la deacuteformation principale maximale Dans la norme SIA 262 [2003] le facteur kc est fixeacute agrave 060 La preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale ce qui est geacuteneacuteralement favorable par lrsquoinstauration drsquoune inclinaison plus faible des bielles (un nombre plus eacuteleveacute drsquoeacutetriers peut ecirctre activeacute) et par de la diminution de lrsquoouverture des fissures (deacuteformation transversale plus faible et par conseacutequent reacuteduction plus faible de la reacutesistance du beacuteton) Les relations entre les pheacutenomegravenes impliqueacutes sont complexes Les figs 22 et 23 montrent lrsquoinfluence de la deacuteformation longitudinale moyenne xε drsquoune poutre sur la reacutesistance relative agrave lrsquoeffort tranchant cfτ (ougrave τ = V(bwz)) et sur le facteur kc Le deacuteveloppement des relations ainsi que lrsquoeacutevaluation de lrsquoinfluence de la force de preacutecontrainte sur la deacuteformation longitudinale sont preacutesenteacutes dans lrsquoannexe B Le paramegravetre variable entre les courbes est le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω deacutefini par
sbfAf
wc
swyz sdotsdot
sdot=ω (6)
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
Figure 22 Relation entre la reacutesistance agrave leffort tranchant relative cfτ de lrsquoacircme et la deacuteformation longitudinale xε
Figure 23Relation entre la diminution de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton kc et la deacuteformation longitudinale xε
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
kc
[permil] [permil]
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
17
ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
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lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
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6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
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9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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SIA 260 ldquoBases pour lrsquoeacutelaboration des projets de structures porteusesrdquo Socieacuteteacute suisse des ingeacutenieurs et des architectes Zuumlrich 2003 44 p
SIA 260 ldquoActions sur les structures porteusesrdquo Socieacuteteacute suisse des ingeacutenieurs et des architectes Zuumlrich 2003 116 p
SIA 262 ldquoConstruction en beacutetonrdquo Socieacuteteacute suisse des ingeacutenieurs et des architectes Zuumlrich 2003 94 p
Zwicky D ldquoZur Tragfaumlhigkeit stark vorgespannter Betonbalkenrdquo Institut fuumlr Baustatik und Konstruktion ETH Zuumlrich 2002 228 p
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12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
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fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
7
La fig 22 montre qursquoen geacuteneacuteral la preacutecontrainte a un effet positif sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (εx reacuteduite par la preacutecontrainte) La fig 23 met en eacutevidence que la reacutesistance agrave la compression augmente aussi en preacutesence drsquoune preacutecontrainte
Reacuteduction de la section utile et perturbation du flux des contraintes
Dans les ponts en beacuteton armeacute preacutecontraint les acircmes des poutres maicirctresses sont souvent traverseacutees par les cacircbles de preacutecontrainte Principalement lorsque les poutres sont preacutefabriqueacutees et que les dimensions de la section sont reacuteduites pour limiter le poids des eacuteleacutements le diamegravetre de la gaine OslashH repreacutesente souvent une partie importante de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme wb et peut donc lrsquoaffaiblir lorsque lrsquoeffort tranchant est important fig 24a Le mecircme problegraveme peut ecirctre observeacute lorsque plusieurs cacircbles sont disposeacutes au mecircme niveau et que la somme des diamegravetres ΣOslashH devient importante par rapport agrave wb fig 24b
DOslash OslashD
wb bw
Figure 24 (a) poutre preacutefabriqueacutee agrave acircme mince avec un seul cacircble par niveau et (b) poutre agrave acircme plus eacutepaisse avec plusieurs cacircbles disposeacutes au mecircme niveau
Gaines non-injecteacutees
Lorsque les gaines ne sont pas injecteacutees lrsquoeffet de la preacutesence du cacircble est comparable agrave une reacuteduction de la section Lrsquoanalogie du treillis dans lequel lrsquoeffort tranchant est repris par des bielles inclineacutees comprimeacutees en eacutequilibre avec les eacutetriers solliciteacutes en traction montre que les gaines vides peuvent avoir un effet important sur le comportement agrave la rupture dans le cas ougrave la reacutesistance du beacuteton des bielles est deacuteterminante Dans ce cas le rapport
wbsum= HOslash
δ (7)
repreacutesente le paramegravetre le plus important puisqursquoil deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaines injecteacutees
Lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme est moins important lorsque les gaines sont injecteacutees avec un mateacuteriau dont les caracteacuteristiques meacutecaniques sont similaires agrave celle du beacuteton comme par exemple du coulis de ciment Neacuteanmoins les recherches expeacuterimentales conduites jusqursquoagrave preacutesent montrent que dans ce cas aussi la reacutesistance des bielles comprimeacutees peut ecirctre sensiblement reacuteduite Cette reacuteduction deacutecoule des effets suivants
OslashH OslashH (a) (b)
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Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
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g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
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[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
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cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
17
ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
18
utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
19
4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
20
(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
21
Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
22
exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
23
SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
24
Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
40
lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
41
6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
43
7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
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neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
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Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
8
Cacircble moins rigide que le beacuteton (a)
Le coulis drsquoinjection a habituellement un module drsquoeacutelasticiteacute plus petit que celui du beacuteton de sorte que le flux des efforts de compression dans les bielles est deacuterangeacute Lrsquoeacutetat de contrainte se situe donc entre lrsquoeacutetat sans cacircble et celui agrave proximiteacute drsquoune gaine non-injecteacutee Les contraintes transversales de traction qui reacutesultent de la deacuteviation locale des bielles peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25a Un effet similaire peut ecirctre produit par un retrait diffeacuterentiel entre le cacircble et le beacuteton adjacent
Cacircble plus rigide que le beacuteton (b)
Si le cacircble contient une grande quantiteacute drsquoarmature de preacutecontrainte il peut ecirctre plus rigide que le beacuteton adjacent Dans ce cas eacutegalement il en reacutesulte une perturbation de lrsquoeacutetat de contrainte avec des contraintes transversales de traction qui peuvent reacuteduire la reacutesistance du beacuteton fig 25b
Deacutefauts du beacuteton en dessous du cacircble (c)
Pour des raisons lieacutees agrave sa mise en place le beacuteton situeacute immeacutediatement en dessous des cacircbles est souvent particuliegraverement poreux et a une reacutesistance plus faible fig 25c En outre la rigiditeacute plus faible de cette zone conduit agrave une situation similaire agrave celle deacutecrite au point a)
Injection imparfaite (d)
Ce mecircme pheacutenomegravene avec des conseacutequences similaires au point (c) peut se produire si lrsquoinjection nrsquoest pas parfaite fig 25d
Glissement sur la surface du cacircble (e)
La surface de la gaine peut favoriser un glissement local de sorte que la reacutesistance locale des bielles est diminueacutee fig 25e Cet effet peut devenir important pour des gaines tregraves lisses (par exemple gaines en polyeacutethylegravene)
Variation de force dans le cacircble (f)
De maniegravere similaire au pheacutenomegravene de lrsquoadheacuterence entre une barre drsquoarmature et le beacuteton la variation de la force dans le cacircble engendre des efforts transversaux de traction susceptibles de diminuer la reacutesistance des bielles fig 25f
Deacuteviation du cacircble (g)
Lorsque la geacuteomeacutetrie drsquoun cacircble est courbe les forces de deacuteviation sont reprises par les bielles Lrsquointroduction locale de ces forces peut eacutegalement engendrer des tractions transversales et diminuer la reacutesistance agrave la compression fig 25g
Pour ce dernier mode de rupture qui se preacutesente aussi dans le cas de gaines non-injecteacutees les paramegravetres les plus importants sont le rayon de courbure du cacircble et la force de preacutecontrainte Par contre pour tous les autres pheacutenomegravenes le rapport δ est le paramegravetre le plus important
9
g)
e)c
ϕ
f)
d)c)b)a)
Figure 25 Influence de la gaine injecteacutee sur le flux des efforts a) coulis de ciment moins rigide que le beacuteton b) gaine contenant beaucoup de torons plus rigide que le beacuteton c) beacuteton poreux et peu reacutesistant sous la gaine d) injection imparfaite provoquant des vides drsquoair causant une reacutesistance reacuteduite e) glissement de la bielle pregraves du bord de la gaine f) variation de la force provoquant des contraintes transversales de traction g) courbure de la gaine provoquant des contraintes de traction
10
11
3 Effet du type de gaine sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes minces
Comme il a eacuteteacute mentionneacute dans le chapitre preacuteceacutedent la preacutesence de gaines dans les poutres en beacuteton diminue la reacutesistance agrave la compression des acircmes Cet effet est pris en compte dans les normes actuelles
A ce jour la majoriteacute des essais expeacuterimentaux concernent les gaines lisses ou onduleacutees en acier lesquelles sont remplaceacutees de plus en plus par des gaines en plastique (en polypropylegravene PP ou en polyeacutethylegravene de haute densiteacute HDPE) Dans cette optique ce chapitre preacutesente des informations sur le comportement des acircmes de poutres preacutecontraintes munies de gaines en acier ou en plastique Pour ces derniegraveres des gaines en HDPE ont eacuteteacute choisies Il sera montreacute dans la suite que le remplacement des gaines en acier par des gaines en plastique diminue la reacutesistance des acircmes minces
Ce chapitre eacutetudie eacutegalement lrsquoeffet combineacute de la fissuration des acircmes et de la preacutesence de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres eacutetude baseacutee sur des essais effectueacutes sur des eacutechantillons preacuteleveacutes sur une poutre de pont existant
Pour compleacuteter les reacutesultats disponibles dans la litteacuterature scientifique une seacuterie de 16 eacuteprouvettes de panneaux drsquoacircme de 600 x 600 x 125 mm3 a eacuteteacute testeacutee en compression afin de deacuteterminer lrsquoeffet induit par la preacutesence de divers types de gaines de preacutecontrainte sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes de poutre La plupart des eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites en laboratoire toutefois quelques panneaux ont eacuteteacute eacutegalement preacuteleveacutes sur lrsquoacircme drsquoun pont poutre existant pour eacutetudier lrsquoeffet de la fissuration sur la reacutesistance ultime
Reacutesumeacute des reacutesultats de la litteacuterature
Lrsquoeffet de la gaine sur la reacutesistance des panneaux est souvent exprimeacute par un coefficient appeleacute ηD Ce coefficient indique le rapport entre la reacutesistance drsquoun panneau muni drsquoune gaine et la reacutesistance du mecircme panneau sans gaine Physiquement le rapport ηD repreacutesente le facteur de reacuteduction de la reacutesistance qui doit ecirctre appliqueacute agrave la reacutesistance du beacuteton en combinaison avec drsquoautres facteurs (effet de la fissuration effet de taille et de lrsquoeacutelancement)
Dans lrsquoannexe A de ce document un reacutesumeacute des essais reacutealiseacutes par plusieurs chercheurs est preacutesenteacute Les reacutesultats de ηD obtenus pour diffeacuterentes valeurs de δ (ougrave δ = ΣOslashHbw) sont reacutesumeacutes dans la fig 31
Les normes actuelles (SIA 262 [2003] AASHTO LRFD [2004] BS 5400 [1990] CEB-FIP MC-90 [1993] et EC2 [2004]) sont eacutegalement repreacutesenteacute dans la fig 31 La formulation actuelle des normes prend la forme de lrsquoeacuteq (2) ougrave le coefficient k de correction du diamegravetre est indiqueacute dans le tableau 31 pour diffeacuterentes normes
Comme le montre la fig 31 une reacuteduction significative de la reacutesistance est observeacutee pour des grandes valeurs de δ Cette reacuteduction est encore plus importante pour les gaines nonndashinjecteacutees que pour celles qui le sont Dans la plupart des cas les reacuteductions speacutecifieacutees dans les normes actuelles sont en accord avec les reacutesultats expeacuterimentaux avec une exception notable pour la norme AASHTO qui sous-estime lrsquoeffet de la preacutesence des gaines
12
(a) (b)
00
02
04
06
08
10
00 01 02 03 04 05 06
LeonhardtClarke et alChitnuyanondhRezai-Jorabi et alGanz et alEss Labor δ [-]
η D [-]
1975
1969
19761979
1986
1992
2006
00 01 02 03 04 05 06
GaynorPann Pont
CEB MC90EC 2EC 2 PlasticAASHTOBS 5400-4
η D [-]
δ [-]
1965
Codes
2006
Figure 31 Coefficient ηD de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression pour panneaux
avec gaines de preacutecontrainte (δ =ΣOslashHbw) et propositions de diffeacuterentes normes (a) gaines non-injecteacutees et (b) gaines en acier injecteacutees
Tableau 31 Valeurs du coefficient k selon diffeacuterentes normes
k Norme Anneacutee
Non-injecteacutee Acier Plastique
AASHTO 2004 05 025
BS 5400-4 1990 10 067
CEB MC - 90 1993 12 05
CEB MC - 78 1978 05 05
EC2 2004 12 05 12
EC2 1992 - 05
SIA 162 1993 10 10
SIA 262 2003 12 05
La norme SIA 162 [1993] ne prenait pas en compte cet effet et admettait donc un ηD constant et eacutegal agrave 1 ce qui eacutetait tregraves clairement non conservateur Des autres normes tenaient compte seulement drsquoune reacuteduction drsquoun demi diamegravetre de gaine lorsque les gaines nonndashinjecteacutees nrsquoeacutetait pas mentionneacutes [EC2 1992] ou consideacutereacutees comme les gaines injecteacutees [MC-78 1978]
Seule la derniegravere version de la norme EC2 [2004] tient compte de la diminution de la reacutesistance reacutesultant de lrsquoutilisation de gaines en plastique avec une valeur conservatrice Ce paramegravetre devrait ecirctre pris en compte dans les futures versions des normes
Lrsquoannexe A de ce document preacutesente une eacutetude statistique sur 163 panneaux avec gaines non-injecteacutees et avec gaines en acier injecteacutees Cette eacutetude montre que lrsquoapproche et les valeurs proposeacutees actuellement dans la SIA 262 [2003] (eacutegales agrave celles de CEB MC-90
13
[1993] et EC2 [2004]) pour ces types de gaines donne une tregraves bonne estimation (leacutegegraverement conservatrice) de sa reacutesistance Lrsquoeffet de gaines en plastique est eacutetudieacute dans le programme expeacuterimental de ce chapitre
Programme expeacuterimental
Dans le cadre de la preacutesente recherche deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute effectueacutees sur des eacutechantillons de panneaux (fig 32) Un rapport deacutetailleacute de ces essais se trouve dans [Muttoni et al 2006 Hars et Muttoni 2006]
Figure 32 Essai drsquoun panneau
Le but de cette recherche est double
1 Premiegraverement des essais sur des panneaux avec gaines en polyeacutethylegravene (pratiquement inexistants dans la litteacuterature scientifique) ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour eacutetudier lrsquoeffet de ce type de gaine Ces essais permettent de controcircler si la valeur admise dans la norme SIA 262 [2003] (actuellement k = 050) est adeacutequate ou si elle devrait ecirctre modifieacutee
2 Deuxiegravemement lrsquoeffet drsquoune preacutefissuration des eacutechantillons sur leur reacutesistance agrave la compression a eacuteteacute eacutetudieacute avec une deuxiegraveme seacuterie des panneaux
La premiegravere seacuterie est constitueacutee de 12 eacuteprouvettes produites en laboratoire La seconde seacuterie est constitueacutee de 4 panneaux drsquoacircme preacuteleveacutes sur les poutres drsquoun pont existant datant de 1967 et remplaceacute en 2003 (qui avaient eacuteteacute testeacutees preacuteceacutedemment) Les reacutesultats principaux figurent dans le tableau 32
La premiegravere seacuterie drsquoeacuteprouvettes contient des types de gaines diffeacuterentes (fig 33) gaines nonndashinjecteacutees (W7 et W8) gaines injecteacutees en acier (W5 et W6) gaines injecteacutees en plastique (W1 W2 W9 et W10) gaines (et cacircbles) preacuteleveacutees sur le pont susmentionneacute (gaines en acier de 1967) nettoyeacutees et beacutetonneacutees dans de nouvelles eacuteprouvettes (W11 et W12)
Deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterences sans gaine ont eacutegalement eacuteteacute testeacutees (W3 et W4) Chaque eacuteprouvette mesure 600 x 600 x 125 mm3 De lrsquoarmature passive a eacuteteacute inclue dans les eacuteprouvettes produites en laboratoire pour obtenir un taux drsquoarmature similaire agrave celui preacutesent dans les eacutechantillons preacuteleveacutes du pont existant afin de permettre une comparaison directe des reacutesultats Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute produites horizontalement dans le mecircme coffrage avec un beacuteton de reacutesistance normale (fcm = 36 MPa Ecm=31500 MPa) La taille maximum des agreacutegats utiliseacutes est de 16 mm et le rapport eau-ciment (ec) de 055 Toutes les eacuteprouvettes ont eacuteteacute testeacutees entre le 14egraveme et le 30egraveme jour apregraves la fabrication Sept
14
cacircbles de 7 torons Oslash152 mm ont eacuteteacute inseacutereacutes dans les gaines Trois jours apregraves le coulage les gaines ont eacuteteacute injecteacutees avec du coulis de ciment sans retrait exception faite des eacuteprouvettes W7 et W8 non ndash injecteacutees
Tableau 32 Essais sur des panneaux realiseacutes dans cette recheacuterche
Premier seacuterie panneaux exeacutecution en laboratoire
Deuxiegraveme seacuterie
Panneaux du Pont Echantillon W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 W12 W21 W22 W23 W24
Plastique Pas Acier Acier Plastique Acier 1967 Acier 1967 - Gaine
Injecteacutee - Injecteacutee Non-Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee Injecteacutee -
OslashD [mm] 63 63 0 0 62 62 62 62 63 63 60 60 60 60 0 0
δ [minus] 050 050 0 0 050 050 050 050 050 050 048 048 045 045 0 0 Injection Oui Oui - - Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Oui Oui Oui - - f c [Mpa] 364 376 362 373 35 355 369 353 375 366 344 367 539 472 48 472
t [jours] 22 30 21 28 16 18 25 17 29 23 14 24 36 an
36 an
36 an
36 an
β [deg] 0 0 - - 0 0 0 0 34 34 0 0 52 50 - -
NR [kN] 1718 1763 2700 2790 2228 2393 1103 1013 1733 1725 1838 2258 2066 1924 3200 3276
ηD [minus] 063 062 100 100 084 089 038 038 063 064 071 082 054 057 099 101
(a) (b) (c)
Figure 33 Gaines des panneaux testeacutes (a) acier 1967 (OslashD = 60 mm) (b) acier (OslashD = 62
mm) et (c) polyeacutethylegravene (OslashD = 63 mm)
Les eacutechantillons W11 et W12 avec les cacircbles et gaines du pont existant ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer lrsquoinfluence des anciens types de gaines sur la capaciteacute des acircmes minces agrave supporter les charges et comme reacutefeacuterence pour comparer les reacutesultats des panneaux directement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant
La seconde seacuterie (panneaux du pont existants) consiste en deux panneaux fissureacutes contenant deux cacircbles (gaines et cacircbles en acier de 1967) placeacutes lrsquoun au dessus de lrsquoautre avec un espacement entre les gaines de plus drsquoun diamegravetre de gaine (W21 et W22) et deux panneaux de reacutefeacuterence sans cacircbles et sans fissures apparentes (W23 et W24) eacutegalement preacuteleveacutes sur les poutres du pont existant Les panneaux munis de cacircbles ont eacuteteacute preacuteleveacutes sur les poutres du pont apregraves que celles-ci ont eacuteteacute testeacutees en laboratoire (voir chapitre 4) Les panneaux eacutetaient par conseacutequent consideacuterablement fissureacutes bien que la poutre ait atteint la ruine par effort tranchant agrave un autre endroit Lrsquoorientation des panneaux W21 et W22 a eacuteteacute choisie de sorte que les fissures drsquoeffort tranchant soient parallegraveles agrave la future direction de chargement (fig 34) Les panneaux de reacutefeacuterences non fissureacutes W23 et W24 ont eacuteteacute
15
preacuteleveacutes dans une orientation verticale par rapport agrave la poutre de maniegravere agrave ce que leur armature passive soit comparable avec celle des eacuteprouvettes de laboratoire
Figure 34 Echantillons preacuteleveacutes sur un pont prefissureacute (W21 et W22)
Reacutesultats expeacuterimentaux
La fig 35 indique le rapport ηD entre la charge ultime de chaque eacuteprouvette (apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) et la reacutesistance moyenne des deux eacuteprouvettes de reacutefeacuterence (eacutegalement apregraves deacuteduction de lrsquoarmature de renforcement) Aucune reacuteduction pour lrsquoarmature de renforcement nrsquoa eacuteteacute appliqueacutee aux eacutechantillons W21 et W22 preacuteleveacutes sur le pont existant car lrsquoarmature passive eacutetait inclineacutee et par conseacutequent sans contribution significative agrave la reprise des charges
La fig 36 montre les courbes contrainte-deacuteformation pour toutes les eacuteprouvettes testeacutees Ces reacutesultats sont baseacutes sur la moyenne des deacuteformations mesureacutees La partie initiale de la courbe effort-deacuteplacement est lineacuteaire pour toutes les eacuteprouvettes lineacuteariteacute suivie drsquoune perte de rigiditeacute jusquagrave lrsquoatteinte de la charge maximum Dans la plupart des cas la rupture est soudaine et suivie ou non drsquoune faible reacutesistance reacutesiduelle
η D [-]
00
02
04
06
08
10
None Steel EmptyHDPE
W3 W4 W5 W6 W1 W2 W9 W10 W7 W8
η D [-]
00
02
04
06
08
10
Bridge panels
W3 W4 W11 W12 W23 W24 W21 W22
Laboratory panels
None Steel 1967 Steel 1967 None
(a) Panneaux eacutexecuteacutes en laboratoire (b) Panneaux de pont
Figure 35 Valeurs du coeacutefficient ηD pour les diffeacuterentes essais
Aucune Acier HDPE Vide Aucune Acier 1967 Aucune Acier 1967
Panneaux avec gaines du pont (exeacutecuteacutes en
laboratoire)
Panneaux avec gaines du pont (preacuteleveacutes sur
pont)
16
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W3W4W6
W5
W8 W7
W10
W2
W1
W9
W12W11
-50
-40
-30
-20
-10
0-4-3-2-1 0
ε [permil]
Nbw middot c [MPa]
W24W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Courbes charges-deacuteformation pour les divers essais
Reacutesultats des eacuteprouvettes faccedilonneacutees au laboratoire
Les principales observations des reacutesultats expeacuterimentales sont
1 Les eacuteprouvettes W3 et W4 sans gaines ont atteint la plus grande capaciteacute de charge correspondant agrave 92 de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton Cette reacuteduction reacutesulte de lrsquoeacutelancement des eacuteprouvettes et indique que la reacutesistance des eacuteprouvettes nrsquoest pas augmenteacutee par un effet de confinement local (friction avec les plaques de chargement)
2 Les eacuteprouvettes W7 et W8 munies de gaines vides ont atteint la plus faible valeur de charge (37 de la reacutesistance moyenne des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence W3 et W4) La plus grande valeur de charge des eacuteprouvettes munies de gaines injecteacutees a eacuteteacute atteinte par les speacutecimens munies de gaines en acier (W5 et W6 approximativement 87) Au contraire les eacuteprouvettes munies de gaines en plastique ont atteint la reacutesistance la plus faible (W1 W2 W9 et W10 63)
3 Une influence significative de lrsquoangle drsquoinclinaison β des gaines sur la reacutesistance nrsquoa pas eacuteteacute constateacutee (64 contre 63) Par contre une influence significative de lrsquoinclinaison β a eacuteteacute constateacutee sur la ductiliteacute des eacutechantillons observeacutee dans la courbe contrainte-deacuteformation (W9 et W10)
4 Une des eacuteprouvettes munies des gaines reacutecupeacutereacutees du pont existant a atteint une valeur de chargement significativement plus petite que les eacuteprouvettes avec des gaines en acier (W11 71) probablement agrave cause agrave la preacute-fissuration du coulis drsquoinjection produite par les chargements preacuteceacutedents et par le processus drsquoextraction Par contre la seconde eacuteprouvette munie drsquoune gaine et drsquoun cacircble du pont existant a atteint une valeur de chargement consideacuterable (W12 82)
5 Les mesures du gonflement transversal au niveau des cacircbles donnent de preacutecieuses informations au sujet du deacuteroulement de la fissuration et ceci bien que la plus grande partie de la fissuration reste invisible agrave lrsquoœil nu jusqursquoagrave un niveau de chargement eacuteleveacute Comme le montre la fig 36 les eacuteprouvettes sans gaine affichent un gonflement lateacuteral limiteacute jusqursquoagrave un niveau de chargement tregraves important Le gonflement eacutetant principalement provoqueacute par le coefficient de Poisson Les eacuteprouvettes avec gaine ont pour leur part un comportement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence et ceci pour un faible niveau de chargement Un gonflement lateacuteral de 015 mm agrave 030 mm principalement agrave cause de la fissuration pour un chargement de 80 de la reacutesistance
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ultime a eacuteteacute observeacute Le comportement des eacuteprouvettes contenant des gaines en HPDE est clairement diffeacuterent de celui des gaines en acier avec un deacuteveloppement plus rapide de la fissuration interne Le comportement est eacutegalement diffeacuterent de celui des eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees
minus50
minus40
minus30
minus20
minus10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw acute c [MPa]
Sans gaine Acier Acier1967
HDPE
Non injecteacutee
-50
-40
-30
-20
-10
0 0 02 04 06 08 1
w [mm]
Nbw middot c [MPa]
Sans gaine
Acier 1967
W24
W23
W22
W21
(a) Panneaux de laboratoire (b) Panneaux du pont
Figure 36 Gonflement lateral mesureacute pour les divers essais
La fissuration sur les faces coupant le cacircble ne devient visible agrave lrsquoœil nu que peu avant lrsquoatteinte de la charge ultime A la rupture les eacutechantillons sont le plus souvent sectionneacutes en deux morceaux (fig 37) Sur la face lateacuterale aucune fissure nrsquoest observable avant la charge ultime exception faite pour les eacuteprouvettes munies de gaines non-injecteacutees pour lesquelles les fissures apparaissaient approximativement agrave 70 de la charge ultime
W3 W4 W5 W6 W11 W12 W1 W2 W9 W10 W7 W8
(a) Sans gaine (b) Acier (c) Acier 1967 (d) Plastique (e) Non-Injecteacutee
Figure 37 Etat apregraves rupture
Reacutesultats des panneaux du pont existant
Le comportement des panneaux du pont existant est comparable agrave celui des eacuteprouvettes produites en laboratoire Les deux eacutechantillons fissureacutes et munis de cacircbles ont atteint 56 de la reacutesistance mesureacutee sur les panneaux de reacutefeacuterence La reacutesistance des panneaux preacuteleveacutes sur le pont est plus faible que celle des eacutechantillons produits en laboratoire avec des gaines injecteacutees en acier
Cette reacuteduction est principalement provoqueacutee par les preacuteceacutedents chargements par effort tranchant qui ont causeacute des fissures parallegraveles au champ de compression (fig 34) En
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utilisant le facteur de reacuteduction kc proposeacute par lrsquoeacuteq (5) on peut estimer la reacuteduction de la reacutesistance provoqueacutee par les deacuteformations transversales provenant des chargements anteacuterieurs Ces deacuteformations ont eacuteteacute mesureacutees approximativement agrave 35permil Si on admet que la mecircme deacuteformation soit imposeacutee aux eacuteprouvettes W11 et W12 leur reacutesistance serait reacuteduite par un facteur 075 reacuteduisant la valeur de ηD agrave 053 et respectivement agrave 061 ce qui se compare bien avec la mesure moyenne du rapport ηD de 056 mesureacute sur les eacutechantillons fissureacutes W21 et W22
Les mesures du gonflement transversal des panneaux de reacutefeacuterence du pont existant W23 et W24 sont similaires agrave celles des eacuteprouvettes de reacutefeacuterence produites en laboratoire Les panneaux extraits du pont montrent toutefois un comportement plus doux conseacutequence de la preacute-fissuration imposeacutee par les chargements preacuteceacutedents (fig 34) La fissuration transversale typique apregraves les tests des eacuteprouvettes W21 et W22 est similaire agrave celle des eacuteprouvettes W11 et W12 Le fait que deux cacircbles soient preacutesents dans lrsquoeacuteprouvette nrsquoa pas eu un effet significatif
Propositions pour lrsquoameacutelioration de la norme
Les auteurs proposent suite agrave lrsquoobservation et agrave lrsquoanalyse du comportement des eacuteprouvettes que le chiffre 43335 de la norme SIA 262 [2003] soit compleacuteteacute pour les gaines en plastique par lrsquoeacutequation
H Oslash80 Σsdotminus= wnomw bb (8)
Cette reacuteduction est seulement valable pour les eacuteleacutements de beacuteton de reacutesistance ordinaire Les effets de la formulation drsquoexigences accrues qui deacutecoulent des reacutesultats de la preacutesente recherche sont atteacutenueacutes dans les cas pratiques par le fait que la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres preacutecontraintes nrsquoest pas neacutecessairement limiteacutee par la reacutesistance en compression des bielles mais souvent par la reacutesistance en traction des eacutetriers Dans les nouveaux ponts la disposition drsquoune armature transversale approprieacutee dans lrsquoacircme peut preacutevenir ce mode de rupture et ceci sans recours agrave drsquoautres changements de conception
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4 Essais agrave eacutechelle reacuteelle sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
Ce chapitre preacutesente les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de cette recherche lors drsquoessais sur des poutres preacutecontraintes agrave acircmes minces Les reacutesultats de ces essais permettent de comprendre la reacuteponse structurale de ces eacuteleacutements et drsquoeacutetudier lrsquointeraction entre les cacircbles et la poutre
Campagne expeacuterimentale
Six essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des poutres provenant du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo au Tessin Suisse Ce pont a eacuteteacute construit en 1967 (fig 41) en utilisant des moyens de construction limiteacutes et ceci agrave cause du positionnement du pont Crsquoest pourquoi le poids des poutres a ducirc ecirctre reacuteduit au maximum Les acircmes des poutres munies de deux cacircbles de preacutecontrainte placeacutees dans des gaines de Oslash60 mm avaient seulement une eacutepaisseur de 125 mm
(a) (b)
Figure 41 Poutres du viaduc de Cantine (a) Construction Capolago (TI) 1967 (b)
essais agrave lrsquoEPFL 2004
Pour reacuteduire le poids lors de la construction chaque poutre a eacuteteacute assembleacutee agrave partir de deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Chaque eacuteleacutement mesurait dix megravetres (ce qui correspond agrave la moitieacute de la porteacutee du pont) et a eacuteteacute preacutecontrainte par 12 fils rectilignes de Oslash7 mm situeacutes dans lrsquoaile infeacuterieure Une fois lrsquoeacuteleacutement preacutefabriqueacute mis en place la dalle de roulement et les entretoises ont eacuteteacute couleacutees sur place et deux cacircbles de preacutecontraint (constitueacutes chacun de 27 fils de Oslash7 mm) ont eacuteteacute mis en tension pour obtenir la continuiteacute entre les diffeacuterents eacuteleacutements Les cacircbles de preacutecontrainte eacutetaient par conseacutequent le seul renforcement continu agrave mi-traveacutee Le traceacute des cacircbles preacutesente une courbure plus grande agrave mi-traveacutee que sur les appuis Lrsquoobjectif de ce traceacute particulier eacutetait de reacuteduire les moments hyperstatiques dus agrave la preacutecontrainte (moments parasitaires selon la terminologie utiliseacutee agrave lrsquoeacutepoque)
Lors du remplacement du tablier en 2003 cinq poutres ont eacuteteacute extraites (fig 42a) puis testeacutees agrave la rupture Ces essais reacutealiseacutes au laboratoire de construction en beacuteton (IS-BETON) agrave lrsquoEcole Polytechnique Feacutedeacuterale de Lausanne ont eacuteteacute effectueacutes pour eacutetudier le comportement et la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres de ce pont sous divers chargements (fig 41b) Un scheacutema geacuteneacuteral des poutres testeacutees et des essais effectueacutes est preacutesenteacute agrave la fig 42 Des informations deacutetailleacutees sur les tests et les reacutesultats principaux de cette campagne expeacuterimentale sont disponibles dans [Hars et Muttoni 2006]
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(a)
(b)
(c)
Figure 42 Geacuteomeacutetrie disposition des armatures et de la preacutecontrainte (a) eacutelevation (dimensions en [m]) (b) coupe transversale et deacutetail de lrsquoarmature de la poutre dans la section B-B (dimensions en [mm] largueur de lrsquoaile supeacuterieure b = 745 mm pour tous les eacutechantillons sauf pour le SH4 ougrave b = 705 mm) et (c) disposition de la preacutecontrainte (axes en [m])
Mateacuteriaux
Les proprieacuteteacutes du beacuteton des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et de la dalle de roulement ont eacuteteacute testeacutees sur des preacutelegravevements en forme de cylindre ou prismes pour chaque poutre testeacutee Un reacutesumeacute des reacutesultats obtenus est preacutesenteacute dans le tableau 41
Plusieurs nuances drsquoacier ont eacuteteacute utiliseacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes dans la dalle de roulement et pour les cacircbles de preacutecontrainte Un reacutesumeacute des proprieacuteteacutes les plus importantes est preacutesenteacute dans le tableau 42 La fig 43 montre deux courbes repreacutesentatives contrainte-deacuteformation pour les aciers des eacuteleacutements preacutefabriqueacutes et pour les fils des cacircbles de preacutecontrainte
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Tableau 41 Proprieacuteteacutes moyennes mesureacutees pour le beacuteton des poutres testeacutees (en parenthegraveses le nombre drsquoessais)
Test SH1 SH2 SH3 SH4a SH4b SH5
Eleacutement preacutefabriqueacute Prismes hbwd [mm] = 240125120
fcm [MPa] () 534 (4) 523 (4) 558 (2) 495 (3) 600 (2) 472 (4)
Dalle de roulement Cylindres hOslashH [mm] = 200100
fcm [MPa] () 482 (3) 449 (3) 537 (3) 592 (2) 592 (2) 462 (3)
Ecmsec [MPa] () 33500 (1) 36000 (1) 35500 (1) 37000 (1) 37000 (1) 36200 (1)
Tableau 42 Proprieacuteteacutes mesureacutees de lrsquoacier drsquoarmature et de la preacutecontrainte
Type OslashH [mm] fsm02 [MPa] ftm [MPa] εu []
Ame et aile infeacuterieure
Tor (eacutetireacute agrave froid) 8 624 747 57 5
Tor (eacutetireacute agrave froid) 10 582 730 49 5
Dalle de roulement
Box (dureteacute naturelle) 12 392 544 152 3
Box (dureteacute naturelle) 20 374 521 115 1
Box (dureteacute naturelle) 26 371 560 155 1
Acier de preacutecontrainte
Cacircbles de preacutecontraint 7 1457 1738 45 3
Fils adheacuterents 7 1340 1707 46 5
(a) (b)
0
300
600
900
0 3 6 9
σ s [
MPa
]
εs []
0
600
1200
1800
0 2 4 6
σ s [
MPa
]
εs []
Figure 43 Lois contrainte-deacuteformation (a) acier Tor eacutetireacute agrave froid Oslash10 mm et (b) fils des cacircbles de preacutecontrainte
Essais
Lrsquoinstallation utiliseacutee lors des essais est scheacutematiseacutee agrave la fig 42a On peut noter qursquoune force exteacuterieure de preacutecontrainte (N) eacuteteacute appliqueacutee pour assurer une reacutesistance flexionnelle suffisante afin drsquoobtenir une rupture par effort tranchant dans lrsquoacircme Cette preacutecontrainte
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exteacuterieure eacutetait rendue neacutecessaire parce que les eacutechantillons testeacutes eacutetaient des poutres simplement appuyeacutees tandis que les poutres du pont eacutetaient des poutres continues
La disposition des six essais est donneacutee dans la fig 44 On peut noter que la poutre SH4 a eacuteteacute testeacutee deux fois (le changement des charges et des conditions drsquoappuis a conduit agrave une rupture par effort tranchant de lrsquoacircme dans les deux eacuteleacutements preacutefabriqueacutes de la poutre) Les charges appliqueacutees lors de la ruine de chaque test sont reacutesumeacutees dans le tableau 43
Essai bN [m] aN [m] c [m] aS [m] bS [m]
SH1 303 444 156 444 303
SH2 183 444 396 444 183
SH3 303 444 156 444 303
SH4a 100 323 084 1073 070
SH4b 425 838 084 233 070
SH5 243 480 204 360 363
Figure 44 Disposition des charges lors des divers tests et zones de rupture (en gris dans le tableau)
Table 43 Charges appliqueacutees agrave la ruine
Essai V [MN] N [MN]
SH1 149 358
SH2 126 202
SH3 153 376
SH4a 112 0693
SH4b 167 245
SH5 166 298
Mode de rupture
Le mode de rupture de tous les eacutechantillons a eacuteteacute lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme avec eacuteclatement de lrsquoenrobage le long du cacircble La fig 45 montre la fissuration et la zone de rupture pour les diffeacuterentes poutres
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SH1
SH2
SH3
SH4a
SH4b
SH5
Figure 45 Fissuration et zone de rupture pour les differentes poutres
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Analyse deacutetailleacutee drsquoun eacutechantillon repreacutesentatif
Dans cette section les reacutesultats de lrsquoeacutechantillon SH3 sont preacutesenteacutes en deacutetail en tant que poutre repreacutesentative de la campagne Les reacutesultats de toutes les poutres sont preacutesenteacutes dans [Hars et Muttoni 2006]
La courbe qui deacutecrit lrsquohistoire de chargement et la courbe charge-flegraveche agrave mi-traveacutee sont repreacutesenteacutees agrave la fig 46 Au deacutebut seul un effort tranchant (V) a eacuteteacute appliqueacute Degraves V = 081 MN une force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) a eacuteteacute graduellement appliqueacutee afin drsquoeacuteviter une rupture par flexion
(a) (b)
0
1
2
0 1 2 3 4
V [
MN
]
N [MN]
0
1
2
0 20 40 60
V [
MN
]
w [mm]
Figure 46 Poutre SH3 (a) histoire de chargement V-N (avec un cycle de deacutecharge-reacutecharge) et (b) charge-flegraveche agrave mi-traveeacute
A la ruine des deacuteformations tregraves importantes ont eacuteteacute mesureacutees sur les deux ailes et sur lrsquoacircme Dans lrsquoaile supeacuterieure les deacuteformations de compression eacutetaient de plus de 2permil (fig 47a) Dans lrsquoaile infeacuterieure (fig 47b) une ouverture de fissure de 11 mm a eacuteteacute mesureacutee au niveau du joint entre les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Des deacuteformations de traction de plus de 2permil ont eacuteteacute constateacutees dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes Dans lrsquoacircme des deacuteformations verticales supeacuterieures agrave 5permil ont eacuteteacute mesureacutees ce qui indique une plastification intense des eacutetriers (fig 47c) Il faut remarquer que toute les deacuteformations on eacuteteacute mesureacutees par rapport au deacutebut de lrsquoessai Les deacuteformations dues agrave la preacutecontrainte en 1967 et tous les effets diffeacutereacutes depuis la construction nrsquoont pas pu ecirctre consideacutereacutes
La fig 48 montre les profils de deacuteformations longitudinales et verticales pour la poutre SH3 pour diffeacuterentes eacutetapes de chargement La planeacuteiteacute des sections (fig 48a) eacutetait raisonnable agrave lrsquoexception des zones proches des cacircbles ougrave des increacutements tregraves importants de deacuteformation longitudinale ont eacuteteacute observeacutes Les deacuteformations verticales (fig 48b) ne sont pas uniformes pour une section donneacutee des valeurs diffeacuterentes en dessus et en dessous du cacircble ont eacuteteacute constateacutees Ces reacutesultats (confirmeacutees par les autres poutres de la seacuterie) indiquent une localisation des deacuteformations au niveau du cacircble et lrsquoinfluence du cacircble sur la reacuteponse de lrsquoeacuteleacutement
Cette influence est eacutegalement visible agrave la fig 49 ougrave la direction de la deacuteformation principale de compression est repreacutesenteacutee pour deux niveaux de chargement La fig 49a preacutesente lrsquoeacutetat avant lrsquoapplication de la force de preacutecontrainte exteacuterieure Un changement significatif dans la direction des deacuteformations est alors observeacute au niveau du cacircble La fig 49b repreacutesente les mecircmes mesures mais juste avant la rupture alors qursquoun tregraves grande preacutecontrainte exteacuterieure eacutetait appliqueacutee Dans ce cas la deacuteviation relative au niveau du cacircble est plus faible Il est inteacuteressant de remarquer lrsquoinclinaison des deacuteformations dans lrsquoaile supeacuterieure qui indique qursquoune partie de la transmission de lrsquoeffort tranchant est effectueacutee dans cette membrure ainsi que lrsquoinclinaison des angles des bielles de lrsquoacircme (infeacuterieure agrave 20deg en dessus des cacircbles)
25
En plus des mesures effectueacutees dans le plan de lrsquoacircme une seacuterie de mesures du gonflement transversal ont eacuteteacute prises dans la zone de rupture Les figs 410ab montrent le positionnement de ces mesures Les mesures (fig 410c) montrent que le deacuteveloppement des deacuteformations transversales a eu un rythme similaire au deacuteveloppement des deacuteformations dans le plan de lrsquoacircme Ce reacutesultat est en accord avec le comportement observeacute lors des essais sur les panneaux discuteacutes dans le chapitre 3 du preacutesent rapport
(a)
-3
-2
-1
0
1-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x [m]
εxsup [permil] z = -1312 m
(b)
-2
0
2
4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
0
2
4
x [m]
εxinf [permil] z = -0050 m
(c)
0
2
4
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
2
4
6
x [m]
εz [permil] z = -0853 m
047 0081 005097 109122 236
V N [MNMN] = 147 333
Figure 47 Deacuteformations mesureacutees pour la poutre SH3 (agrave diffeacuterentes niveaux de charge indiqueacutes en [MNMN]) (a) εx dans lrsquoaile supeacuterieure (b) εx dans lrsquoaile infeacuterieure et (c) εz le long drsquoune ligne agrave 23 de lrsquohauteur de la poutre
Au niveau des cacircbles divers mesures ont eacuteteacute prises La contrainte moyenne avant les essais a eacuteteacute estimeacutee agrave partir de mesures agrave σpinfin asymp 530 MPa Compte tenu de la valeur initiale (σp0 asymp 1190 MPa) seulement 45 de la preacutecontrainte initiale eacutetait encore disponible apregraves les pertes Ces pertes significatives sont explicables par le haut degreacute de preacutecontrainte des poutres (preacutecontrainte par preacutetension et par post-tension) La contrainte drsquoadheacuterence des cacircbles a eacutegalement eacuteteacute eacutetudieacutee agrave lrsquoaide des mesures drsquoeacutelongation reacutealiseacutees dans les poutres voir fig 411
26
(a)
SH3 [permil]ε x 0 4
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0 1 2
SH3 [permil]ε z 0 4 8
Figure 48 Deacuteformations mesureacutees dans la poutre SH3 agrave diffeacuterentes niveaux de charge dimensions en [m] (a) εx et (b) εz
(a)
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
(b)
minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0
gt minus05 permillt minus05 permillt minus10 permillt minus15 permillt minus20 permillt minus25 permil
SH3 ε3
Figure 49 Direction de la deacuteformation principale de compression (ε3) dans la poutre SH3 pour divers niveaux de chargement [MNMN] dimensions en [m] (a) VVmax = 054 sans preacutecontrainte exteacuterieure et (b) VVmax = 098 N=368 MN
C L
C L
27
(a) (b) (c)
w
0
05
1
15
-10 -5 0 5 10
V [
MN
]
ε [permil]
ε3 wbw
Figure 410 Gonflement de lrsquoacircme (a) position du capteur (dimensions en [m]) (b) mesure du gonflement (w) et (c) eacutevolution du gonflement (wbw) et de la deacuteformation principale de compression dans le plan (ε3) pendant lrsquoessai
Les mesures des deacuteformations du cacircble de preacutecontrainte pendant lrsquoessai et les mesures des deacuteformations reacutesiduelles (apregraves avoir coupeacute les fils) permettent drsquoestimer la contrainte drsquoadheacuterence Les points mesureacutes (fig 411) se situent sur une droite passant par σp = 0 agrave lrsquoextreacutemiteacute de la poutre ougrave le cacircble avait eacuteteacute coupeacute Cela indique que la contrainte drsquoadheacuterence est approximativement constante La pente cette droite eacutequivaut agrave 4τbpOslashpid ougrave Oslashpid est le diamegravetre eacutequivalent de la preacutecontrainte (Oslashpid=(4Apπ)12) Avec cette hypothegravese la valeur obtenue pour la contrainte moyenne drsquoadheacuterence vaut τbp=015fcm
23 (ligne traitilleacutee dans la fig 411) Cette valeur est faible par rapport aux valeurs usuelles pour ce genre de cas (par exemple τbp=13fcm
23 est proposeacutee par [Zwicky 2002]) Cependant cette valeur est justifiable par le fait que des fils lises eacutetaient utiliseacutes
0
400
800
1200
1600
-8 -6 -4 -2 0
σ P [M
Pa]
x [m]
SH4aSH4b
Figure 411 Contraintes dans le cacircble obenues agrave partir des mesures reacutealiseacutees pour les
poutres SH4a et SH4b et approximation par une loi lineacuteaire (adheacuterence constante)
x = -50 -40
Capteur
28
29
5 Analyse des eacuteleacutements agrave acircme mince par des champs de contraintes
Les champs de contraintes constituent une solution drsquoeacutequilibre baseacutee sur le theacuteoregraveme de la limite infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute et sont adeacutequats pour le dimensionnement des eacuteleacutements en beacuteton armeacute et preacutecontraint [Muttoni et al 1997] Des bielles distribueacutees sont utiliseacutees dans les champs de contraintes ce qui permet drsquoobtenir directement les contraintes
Lrsquoapplication de cette meacutethode agrave lrsquoanalyse des poutres preacutecontraintes par post-tension est preacutesenteacutee dans ce chapitre La meacutethode des champs de contraintes est particuliegraverement avantageuse dans ce cas puisque le mode de rupture eacutetudieacute correspond agrave lrsquoeacutecrasement de lrsquoacircme et que les contraintes du beacuteton sont directement obtenues par les champs de contraintes De plus lrsquoapplication des champs de contraintes permet une bonne compreacutehension du comportement structural des poutres preacutecontraintes
Des champs de contraintes tregraves simples permettent souvent de dimensionner une poutre avec une preacutecision suffisante Une preacutecision accrue peut ecirctre atteinte avec des champs de contraintes plus deacutetailleacutes qui neacutecessitent neacuteanmoins un effort drsquoanalyse majeur (voir fig 51) Une deacutemarche avec preacutecision grandissante est suivie dans ce chapitre
Effort drsquoanalyse
II
I
III
I II III
Precision
Figure 51 Analyse des poutres preacutecontraintes avec champs de contraintes Approche par eacutetapes (I) champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (II) champ de contraintes discontinu deacutevieacute et (III) champ de contraintes continu
Dans une premiegravere phase deux champs de contraintes discontinus sont eacutetudieacutes un champ non deacutevieacute (I fig 51) et un champ deacutevieacute (II) Les champs discontinus sont baseacutes exclusivement sur des conditions drsquoeacutequilibre et peuvent ecirctre deacuteveloppeacutes agrave la main Une certaine expeacuterience est toutefois requise puisque des conditions sur la compatibiliteacute des deacuteformations ne sont pas explicitement introduites et que des deacuteviations par rapport au comportement reacuteel peuvent suivre
Lrsquoeacutetude est compleacuteteacutee par le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes continu (III) ougrave les conditions de compatibiliteacute sont respecteacutees Ce champ est deacuteveloppeacute agrave lrsquoaide de la meacutethode des eacuteleacutements finis et permet eacutegalement drsquoeacutetudier lrsquoadeacutequation des champs discontinus preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes
30
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute
Le comportement de la poutre SH3 (poutre repreacutesentative de la seacuterie voir chapitre 4) est analyseacute dans cette section agrave lrsquoaide drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute La force dans le cacircble consideacutereacutee est celle apregraves toutes les pertes (Pinfin fig 52)
C
T
V[m]minusx
P
N
V
C1
PT
(b)
(c)
V
N
V
P
606 207825
(a)P
P V
θz
Vst
V2C
P
P
Figure 52 Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes non deacutevieacute (a) force dans le cacircble (P) force de preacutecontraint apregraves pertes (Pinfin = 110 MN) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant reprise par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes reacutesultant et (c) eacutequilibre du sous-systegraveme
Lrsquoeacutequilibre de forces verticales de la fig 52c donne
infin+= Pst VVV (9)
La valeur de lrsquoangle des bielles α peut ecirctre calculeacutee en admettant que les eacutetriers sont plastifieacutes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdotsdot
=rarrsdotsdotsdotsdot=minus=infin
infin
arctan)cot(P
ydwwydwwPst VV
fzbfzbVVV
ρααρ (10)
Avec cette valeur la contrainte dans le beacuteton est donneacutee par
)cos()sin(
αασ
sdotsdot
minus= infin
zbVV
w
Pc (11)
expression proposeacute par plusieurs normes (voir chiffre 43345 de la norme SIA 262 [2003])
Lrsquoeacuteq(10) donne pour la poutre SH3 (avec un eacuteffort tranchant V = 154 MN et un bras de levier z = 1100 mm) un angle α = 20deg et une contrainte de compression dans le beacuteton de 312 MPa
α
31
Il faut noter qursquoun champ de contraintes non deacutevieacute ne permet pas drsquoaugmenter la force dans le cacircble force qui reste donc eacutegale agrave Pinfin Ainsi une inconsistance est trouveacutee par rapport agrave la reacutesistance agrave la flexion agrave mi-traveacutee ougrave la somme des moments dus agrave la force de preacutecontrainte exteacuterieure (N) et inteacuterieure (Pinfin) nrsquoest pas en eacutequilibre avec les moments dus aux charges exteacuterieures De plus pour que la compatibiliteacute des deacuteformations soit respecteacutee la deacuteformation et par conseacutequent la contrainte dans le cacircble devrait augmenter au fur et agrave mesure que la poutre se deacuteforme
Une solution plus consistante qui satisfait lrsquoeacutequilibre des forces et des moments peut ecirctre deacuteveloppeacutee en consideacuterant une augmentation de la contrainte au long du cacircble
Analyse de la poutre SH3 par un champ de contraintes deacutevieacute
Lrsquoaugmentation de la force des cacircbles peut ecirctre prise en compte lorsque drsquoautres champs de contraintes sont consideacutereacutes Par exemple la fig 53 montre deux possibiliteacutes preacutesenteacutees dans [Muttoni et al 1997] La premiegravere possibiliteacute (fig 53b) considegravere uniquement le cacircble et les eacutetriers Par contre la deuxiegraveme possibiliteacute (fig 53c) inclue eacutegalement lrsquoarmature longitudinale de lrsquoaile tendue dans le meacutecanisme reacutesistant Par conseacutequent lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble dans le deuxiegraveme cas reacutesulte de la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme
(a)
(c)
Tirant
Bielle(b)
Figure 53 Augmentation de la force du cacircble (a) poutre preacutecontrainte et eacuteleacutement drsquoacircme
eacutetudieacute et (bc) modeacuteles du treillis qui permettent une augmentation de la force du cable avec les etriers (b) et avec la deacuteviation des bielles de lrsquoacircme (c)
La fig 54 propose un champ de contraintes baseacute sur le deuxiegraveme meacutecanisme reacutesistant pour la poutre SH3 La valeur de la force dans le cacircble (fig 54a) est obtenue agrave mi-traveacutee de maniegravere agrave satisfaire lrsquoeacutequilibre des moments A partir de cette valeur la force dans le cacircble est deacutetermineacutee en tenant compte de sa contrainte drsquoadheacuterence (voir chapitre 4) Il faut noter que la contrainte drsquoadheacuterence est reacuteduite approximativement de moitieacute dans la zone ougrave lrsquoacier est plastifieacute [Marti et al 1998]
Lrsquoaugmentation de la force dans les cacircbles diminue lrsquoeffort tranchant agrave reprendre par lrsquoacircme Par conseacutequent cette augmentation peut ecirctre consideacutereacutee comme un effet beacuteneacutefique (des bielles moins inclineacutees sont obtenues avec des contraintes plus faibles) En revanche lrsquoaugmentation de la force dans le cacircble implique une diminution de lrsquoinclinaison des
32
bielles en dessus du cacircble (bielles plus plates) ce qui est deacutefavorable puisque la contrainte dans les bielles augmente Les deux pheacutenomegravenes ont tendance agrave se compenser et le bilan final deacutepend de la geacuteomeacutetrie de la poutre ainsi que des charges appliqueacutees
Le calcul complet du champ de contraintes (fig 54bd) est assez long Cependant la zone critique du champ de contraintes (ougrave α est minimale) peut ecirctre analyseacutee facilement La fig 54c montre lrsquoeacutequilibre de cette reacutegion avec les forces obtenues par lrsquoeacutequilibre des sous-systegravemes droite et gauche Avec ces valeurs lrsquoangle critique reacutesultant est de α = 19deg valeur leacutegegraverement plus faible que lrsquoangle obtenu avec le champ non deacutevieacute La contrainte dans lrsquoacircme augmente et vaut 344 MPa
C
T
T
C
C
T
V
[m]minusx
P
V
489606 207825 104
P V
V
N
V
V
N
V
(a)
(b)
(c)
(d)
P
P
CP
P
C
V
V
PP
C
C
V
V
PP
C
CP
PC
V
C
N
v2
1
2
v1
2st2
v2
3
3
h1
st1
4
st1
P
h2
y
1
st2
h2
h1
P
4
v1
Figure 54 Champ de contraintes deacutevieacute pour la poutre SH3 (a) force de preacutecontrainte (P) et composante verticale de lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VP) (b) champ de contraintes adopteacute (c) analyse de la zone critique et (d) modegravele de treillis eacutequivalent
33
Discussion sur lrsquoadeacutequation des champs des contraintes discontinus
Direction de la deacuteformation principale de compression
Lrsquoangle α des champs de contraintes preacuteceacutedemment deacuteveloppeacutes est compareacute dans la fig 55 aux mesures effectueacutees sur la poutre SH3 avant rupture (inclinaison de la deacuteformation principale) Une bonne concordance est constateacutee entre les deux La preacutesence des eacuteventails sous les plaques drsquointroduction des charges concentreacutees est confirmeacutee par les mesures drsquoangle de mecircme que la valeur dans la zone de rupture
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes non deacutevieacute
Champ de contraintes deacutevieacute
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
VV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
Infeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)z
= minus0853 m (Supeacuterieur)z
Figure 55 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute par les champs de contraintes Lignes du comparaison z = -0853 m et z = -0385 m
Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant
Dans la theacuteorie des champs de contraintes la reacutesistance effective de lrsquoacircme agrave la compression fce peut ecirctre estimeacutee comme
34
cDfccce kff sdotsdotsdot= ηη (12)
ougrave fc est la reacutesistance agrave la compression du beacuteton (56 MPa dans ce cas)
ηfc est un facteur de reacuteduction qui permet drsquoobtenir une reacutesistance plastique eacutequivalente Il peut ecirctre estimeacute [Muttoni et al 1997] par
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
cfc f
fη
(13)
ougrave fc0 est 30 MPa [SIA 262 2003] Pour la poutre SH3 on obtient ηfc = 081
kc est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la deacuteformation transversale (la valeur normalement admise dans cette situation est de 060 pour lrsquoacircme [SIA 262 2003])
ηD est un facteur de reacuteduction de la reacutesistance pour tenir compte de la preacutesence de la gaine Comme expliqueacute preacuteceacutedemment sa valeur peut ecirctre estimeacutee par lrsquoeacutequation suivante
760Oslash H =
Σsdotminus=
w
wD b
kbη (14)
ougrave k est admis eacutegale agrave 050 selon [SIA262 2003 et EC2 2004] (des valeurs similaires ont eacuteteacute obtenues pour des gaines en acier dans le chapitre 3 et lrsquoannexe A de ce rapport)
Avec ces valeurs la reacutesistance effective vaut fce = 207 MPa Cette valeur est plus petite que les contraintes obtenues preacutealablement On peut donc constater que les champs de contraintes donnent une solution conservatrice
Effets neacutegligeacutes
Les reacutesultats conservateurs des champs de contraintes discontinus sont justifieacutes car cette meacutethode est une borne infeacuterieure de la theacuteorie de la plasticiteacute Quelques meacutecanismes reacutesistants (ou effets physiques) ont eacuteteacute neacutegligeacutees
1 Inclinaison de la membrure comprimeacutee
Les ailes de la poutre et dans ce cas particuliegraverement lrsquoaile supeacuterieure ont une certaine capaciteacute agrave transmettre des efforts tranchants En effet dans la fig 49 une inclinaison dans la direction des deacuteformations principales de compression a eacuteteacute mesureacutee pour lrsquoaile supeacuterieure En tenant compte des forces dans la membrure comprimeacutee un pourcentage de lrsquoeffort tranchant total peut ecirctre transmis par ce meacutecanisme Cependant il est conseilleacute de neacutegliger cet effet lors du deacuteveloppement de champs de contraintes discontinus car il est difficilement estimable
2 Contribution de la reacutesistance agrave la traction du beacuteton
La meacutethode de champ des contraintes neacuteglige la contribution du beacuteton tendu dans la transmission de lrsquoeffort tranchant Cependant ce meacutecanisme reacutesistant est souvent consideacutereacutes dans drsquoautres approches par exemple dans la pratique nord-ameacutericaine (ACI 318-05 [ACI 318-05 2005]) Cette contribution (appeleacutee Vc) tient compte de lrsquoeffet drsquoengregravenement des agreacutegats de lrsquoeffet goujon de lrsquoarmature ainsi que de lrsquoinclinaison de la membrure comprimeacutee (discuteacutee preacuteceacutedemment) de maniegravere additionnelle Les reacutesultats de cette approche (VR = Vc+Vst) seront discuteacutes posteacuterieurement
3 Couplage entre les facteurs de reacuteduction de la reacutesistance
35
La formulation multiplicative de lrsquoeacuteq (12) qui considegravere un couplage entre les deux composantes de la reacuteduction de reacutesistance du beacuteton des bielles (kc et ηD) nrsquoest pas neacutecessairement exacte Pour tous les eacutechantillons testeacutes lors de la campagne expeacuterimentale sur des poutres (chap 4) lrsquoeacuteclatement de lrsquoenrobage a eu lieu lors de la rupture Cependant lors des essais sur panneaux (chap 5) aucun eacuteclatement drsquoenrobage nrsquoa eacuteteacute deacutetecteacute Dans les panneaux la rupture a eu lieu agrave la suite de la formation drsquoune fissure agrave mi-eacutepaisseur des panneaux dans de plan de la gaine
Ces observations indiquent lrsquoexistence de deux zones de rupture diffeacuterencieacutees La premiegravere ougrave lrsquoeacuteclatement se produit est principalement affecteacutee par les deacuteformations des eacutetriers (kc) La deuxiegraveme est par contre principalement affecteacutee par la preacutesence de la gaine (ηD) voir fig 56 Dans ce cas la multiplicativiteacute admise entre les deux pheacutenomegravenes (kcηD) semble conservatrice puisque les deux zones affecteacutees sont diffeacuterentes Cependant un certain degreacute de couplage est toujours preacutesent le flux de contraintes dans lrsquoacircme eacutetant affecteacute par la preacutesence de la gaine Cette affirmation est eacutegalement confirmeacutee par les essais reacutealiseacutes sur les panneaux du pont preacutesenteacutes dans le chapitre 3 De plus drsquoautres modes de rupture par eacutecrasement ougrave lrsquoeacuteclatement drsquoenrobage nrsquoest pas deacuteterminant ou reste limiteacute font que lrsquoapproche multiplicative reste conseilleacutee Lorsque le couplage entre les deux effets est deacuteterminant le placement drsquoune armature transversale autour de la gaine est une solution efficace pour ameacuteliorer le comportement de lrsquoacircme Dans ces cas une valeur ηD = 1 peut ecirctre adopteacutee le deuxiegraveme mode de rupture eacutetant maicirctriseacute
(Eclatement)Zone de rupture 1
Zone de rupture 2(Effet de la gaine)
Figure 56 Zones de rupture dans lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Les trois effets discuteacutes preacuteceacutedemment expliquent les diffeacuterences entre le comportement reacuteel et le comportement preacutedit par les champs de contraintes Dans tout les cas neacutegliger ces effets lors du deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes est prudent compte tenu de la difficulteacute agrave les estimer De plus la marge de seacutecuriteacute qui en reacutesulte est adeacutequate
36
Analyse par champs de contraintes continus
La capaciteacute drsquoun champ de contraintes de deacutecrire le comportement et la reacutesistance reacuteelles drsquoun eacuteleacutement est significativement influenceacute par la compatibiliteacute des deacuteformations [Muttoni et al 1997] Les champs de contraintes les plus compatibles sont les champs de contraintes agrave variation continue des contraintes entre bielles adjacentes appeleacutes champs de contraintes continus
Les hypothegraveses pour le deacuteveloppement des champs de contraintes continus peuvent ecirctre impleacutementeacutees de faccedilon tregraves efficace par la meacutethode des eacuteleacutements finis [Fernaacutendez Ruiz et Muttoni 2006] La reacutesistance agrave la compression du beacuteton est dans ce cas consideacutereacutee de la faccedilon suivante
cfccce kff sdotsdot= η (15)
ougrave ηfc est obtenu de lrsquoeacuteq(13) Le facteur kc peut ecirctre calculeacute et introduit localement sur la base de lois comme lrsquoeacuteq (5) traiteacutee dans le chapitre 2
Les auteurs proposent drsquoappliquer la meacutethode des eacuteleacutements finis aux poutres preacutecontraintes par post-tension en reacuteduisant lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme dans la zone ougrave les cacircbles sont placeacutes (pour tenir compte de lrsquoeffet drsquoaffaiblissement ducirc aux gaines ηD) Lrsquoeacutepaisseur apregraves reacuteduction (figs 57ab) pour la poutre SH3 est estimeacutee agrave
m 0950 =sdot= Dwnomw bb η (16)
Lrsquoanalyse de la poutre SH3 agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus donne une reacutesistance V = 161 MN Cette valeur est leacutegegraverement supeacuterieure agrave la reacutesistance mesureacutee dans lrsquoessai (V = 154 MN) mais reste assez proche Quelques constatations inteacuteressantes peuvent ecirctre tireacutees de cette analyse
1 La zone critique preacutesente une inclination des bielles de 196deg degreacutes Cette valeur est proche de celles eacutevalueacutees avec des champs de contraintes discontinus
2 Un facteur de reacuteduction de la reacutesistance reacutesultant de la deacuteformation transversale kc = 059 (fig 57c) est trouveacute dans la zone critique La valeur usuellement admise pour des eacuteleacutements soumises agrave lrsquoeffort tranchant (kc = 060) est donc confirmeacutee
3 La reacutegion critique est situeacutee en dehors des eacuteventails deacuteveloppeacutes par lrsquointroduction des charges et ceci en conseacutequence des diffeacuterentes valeurs de kc dans les deux reacutegions (fig 57c) Par conseacutequent la validiteacute de la zone typiquement admise comme critique pour les champs de contraintes discontinus est confirmeacutee
4 Lrsquoeffort tranchant transmis par les divers eacuteleacutements de la poutre (acircme ailes et cacircbles) peut ecirctre eacutetudieacute agrave lrsquoaide des reacutesultats des champs de contraintes continus La fig 57d montre les diffeacuterentes contributions et permet de constater lrsquoimportance de la contribution de lrsquoaile supeacuterieure
5 Une bonne correspondance est constateacutee entre les mesures et le calcul des angles des deacuteformations principales de compression (fig 58)
37
075 m
passiveV
V
N
095090085
0125 m
(a)
(b)
(c)
(d)
059
045 m Armature
0094 mCables
LC
Aileinf
Ame
inf
sup
Cables
AmeAile
precontrainte
0
02
04
06
08
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
V
Vto
t [-]
x [m]
Cables
sup
Aile
Aile
Figure 57 Reacutesultats du champ de contraintes continu (a) eacutepaisseur des eacuteleacutements (b) reacuteseau des eacuteleacutements finis (c) coefficient kc et (d) reacutepartition de lrsquoeffort tranchant entre les eacuteleacutements de la section transversale
38
0
15
30
45
60
75
90-8 -4 0 4 8
x [m]|α | [deg]
Essai SH3Champ de contraintes continu
0
15
30
45
60
75
90
-8 -4 0 4 8
x [m]
|α | [deg]
zVV
V V
NN
Zone de rupture
x
Supeacuterieur
= minus0385 m (Infeacuterieur)
Infeacuterieur
z
= minus0853 m (Supeacuterieur)
Figure 58 Angle de la deacuteformation principale de compression mesureacute et calculeacute avec le champs de contrainte continu Lignes du comparaison agrave z = -0853 m et agrave z = -0385 m
Comparaison des reacutesistances calculeacutees avec divers champs de contraintes et normes de dimensionnement
Le deacuteveloppement drsquoun champ de contraintes droit (fig 52) pour la poutre SH3 en respectant la reacutesistance de lrsquoacircme (fce) donne une valeur eacutegale agrave α = 248deg dans la zone critique La charge de rupture ainsi obtenue est de 125 MN et donc
231SF-S
test =VV
(17)
39
Un champ de contraintes discontinu meilleur est preacutesenteacute agrave la fig 59 Lrsquoangle dans la zone critique est eacutegalement de α = 248deg sans deacuteviation des bielles dans la reacutegion critique Une charge de rupture eacutegale agrave 133 MN est obtenue
151SFD
test =minusV
V
(18)
T
C
[m]minusx
V
N
V
P
825
(a)
(b)
V
P VP
P
Figure 59 Champ de contraintes deacutevieacute avec un angle constant dans la zone de rupture (a) force de preacutecontrainte (P) et effort tranchant repris par le cacircble (VP) et (b) champ de contraintes adopteacute
La diffeacuterence entre la reacutesistance des deux champs de contraintes est due agrave lrsquoaugmentation de la longueur ancreacutee du cacircble plus importante dans le deuxiegraveme cas qui permet drsquoaugmenter lrsquoeffort dans le cacircble et par conseacutequent la part drsquoeffort tranchant qursquoil reprend
Les charges de rupture calculeacutees pour les poutres testeacutees avec les deux champs de contraintes preacuteceacutedents les champs de contraintes continus et les propositions de diffeacuterentes normes suisses [SIA162 1993 SIA262 2003] et nord-ameacutericaines [AASHTO 2004 ACI 318-05 2005] dont les hypothegraveses principales sont preacutesenteacutees dans le tableau 51 sont indiqueacutees dans le tableau 52
Cette comparaison montre que
1 Les reacutesultats obtenus avec la norme SIA 162 [1993] sont du cocircteacute de lrsquoinseacutecuriteacute Ceci est justifieacute car la norme ne considegravere pas la reacuteduction de la reacutesistance due agrave la preacutesence drsquoune gaine de preacutecontrainte
2 La norme Ameacutericaine ACI 318-05 [2005] donne des reacutesultats tregraves conservateurs
3 Les normes suisse SIA 262 [2003] et nord-ameacutericaine AASHTO LRFD [2004] sont eacutelaboreacutees sur des theacuteories doteacutees drsquoune base physique solide (les champs de contraintes et le laquo modified compression field theory raquo respectivement) et donnent une bonne estimation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de ces eacuteleacutements
4 La preacutecision obtenue avec la formulation proposeacutee dans la norme SIA 262 [2003] baseacutee sur un champ de contraintes discontinu non deacutevieacute peut ecirctre ameacutelioreacutee agrave
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lrsquoaide drsquoune analyse par des champs de contraintes plus raffineacutes (cette possibiliteacute est autoriseacutee par la preacutesente norme)
Il faut noter que les calculs preacuteceacutedents ont eacuteteacute effectueacutes avec les reacutesistances moyennes effectives des mateacuteriaux et sans consideacuterer les facteurs partiels de reacutesistance Un calcul selon SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet les reacutesistances caracteacuteristiques et les facteurs partiels est preacutesenteacutee dans lrsquoannexe C de ce rapport
Tableau 51 Comparaison des hypothegraveses
Paramegravetre S-SF D-SF C-SF SIA 162
[1993]
SIA 262
[2003]
ACI 318-05
[2005]
AASHTO LRFD
[2004]
Theacuteorie DSF DSF CSF DSF DSF MTA MCFT
α vble vble vble vble vble 45deg vble
αlim - - - Eq(19) 25deg 45deg 218deg
kc 06 06 Eq(5) 062 06 - Eq(5)
k = (1-ηD)ΣOslashH 05 05 05 00 05 00 025
ηfc Eq(13) Eq(13) Eq(13) 10 Eq(13) 10 10
Notation S-SF champ de contraintes discontinu non deacutevieacute (fig 52) D-SF champ de contraintes discontinu deacutevieacute (fig 510) C-SF champ de contraintes continu DSF Champ de contraintes discontinu CSF champ de contraintes continu MTA analogie du treillis modifieacutee MCFT modified compression field theory
Equation de la SIA 162 [1993] pour lrsquoangle minimal des bielles
VN
VN ww
sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
+=22
1)tan(2
limα (19)
Tableau 52 Comparaison entre la reacutesistance reacuteelle et calculeacutee
Essai SF-S
testVV
SF-D
testVV
SF-C
testVV
162SIA
testV
V
SIA262
testV
V
05-318 ACI
testV
V
AASHTO
testV
V
SH1 121 107 095 094 121 162 116
SH2 106 100 105 081 106 137 106
SH3 123 108 096 094 123 165 118
SH4a 092 091 092 072 092 116 102
SH4b 129 128 096 096 132 165 129
SH5 140 122 102 109 140 185 133
MOYENNE 119 109 098 091 119 155 117
COV 014 013 005 014 015 016 010
Notation voir tableau 51 COV coefficient de variation
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6 Conclusions
Les essais reacutealiseacutes dans le cadre de cette recherche sur des panneaux munis de gaines de preacutecontrainte ainsi que des reacutesultats similaires obtenus de la litteacuterature scientifique ont montreacute que
1 La reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur reacuteelle agrave une eacutepaisseur efficace pour tenir compte des gaines selon la norme SIA 262 [2003] (chiffre 43335) montre un bon comportement pour des gaines non injecteacutees (k = 12) et pour les gaines en acier injecteacutees (k = 05)
2 Pour les gaines injecteacutees en polyeacutethylegravene (qui sont de plus en plus utiliseacutees) le coefficient proposeacute dans la norme SIA 262 [2003] nrsquoest pas conservateur Une valeur prudente (k = 08) est proposeacutee pour ce cas
Plusieurs conclusions pratiques ont eacutegalement eacuteteacute tireacutees de lrsquoeacutetude expeacuterimentale et theacuteorique deacuteveloppeacute sur des poutres preacutecontraintes agrave acircme mince
1 Lrsquoeacutetude de ces eacuteleacutements par des champs de contraintes admis selon la norme SIA 262 [2003] chiffre 4311 donne de bons reacutesultats leacutegegraverement conservateurs
2 Une approche multiplicative pour tenir compte du couplage entre les affaiblissements induits par la fissuration de lrsquoacircme et par la preacutesence de la gaine est raisonnable et donne des reacutesultats conservateurs pour une analyse par champs de contraintes Cette approche est adopteacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 43335
3 La meacutethode proposeacutee par la SIA 162 [1993] ougrave lrsquoaffaiblissement ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine eacutetant neacutegligeacute donne des reacutesultats clairement non conservateurs
4 La meacutethode proposeacutee par la SIA 262 [2003] chiffre 4333 pour estimer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des poutres preacutecontraintes correspond agrave un champ de contraintes non deacutevieacute et donne des reacutesultats satisfaisants leacutegegraverement conservateurs
5 La preacutecision du calcul proposeacute par la meacutethode deacutecrit dans la SIA 262 [2003] peut ecirctre ameacutelioreacutee si des champs de contraintes discontinus deacutevieacutes ou des champs de contraintes continus sont deacuteveloppeacutes Les champs de contraintes continus sont eacutegalement un excellent outil pour eacutetudier lrsquoeffort tranchant qui peut ecirctre transmis par les ailes effet non neacutegligeable selon les cas
6 La valeur du facteur de reacuteduction de la reacutesistance en compression du beacuteton ducirc agrave la fissuration de lrsquoacircme (kc) normalement admis eacutegal agrave 060 chiffre 4217 dans la SIA 262 [2003] est confirmeacutee par les analyses des champs de contraintes continus deacuteveloppeacutes De mecircme la zone de rupture indiqueacutee dans le chiffre 43334 de la norme SIA 262 [2003] en dehors des eacuteventails a eacuteteacute confirmeacutee par les essais et analyses faites agrave lrsquoaide de champs de contraintes continus
7 La limite infeacuterieure de 25deg pour lrsquoangle des bielles de compression admise dans la norme SIA 262 [2003] chiffre 43332 est prudente et assez reacutealiste Cependant des angles plus faibles ont eacuteteacute mesureacutes dans les essais La valeur de 218deg (cot(θ) = 25) admise par drsquoautres normes pourrait mecircme ecirctre adopteacutee Par contre lrsquoexpression proposeacutee par la SIA 162 [1993] pour cette limite donne des valeurs trop faibles lorsqursquoune force eacuteleveacutee de preacutecontrainte est appliqueacutee
8 Le dimensionnement des eacuteleacutements preacutecontraints agrave acircmes minces peut ecirctre deacuteveloppeacute sur la base drsquoun champ de contraintes non deacutevieacute ou agrave lrsquoaide des formules suggeacutereacutees par la SIA 262 [2003] Un dimensionnement raisonnable et conservateur en reacutesulte
42
9 La veacuterification des eacuteleacutements de ce type peut ecirctre effectueacutee avec une approche par eacutetapes Au premier abord une analyse par champ de contraintes non deacutevieacute (ou eacutegalement avec les formules de la norme SIA 262 [2003]) peut ecirctre reacutealiseacute Si la reacutesistance obtenue est insuffisante une analyse par champ de contraintes deacutevieacute peut suivre Finalement si la reacutesistance est toujours insuffisante mais proche de celle requise un champ de contraintes continu peut ecirctre deacuteveloppeacute Un tel deacuteveloppement neacutecessite un travail non neacutegligeable il est neacuteanmoins justifieacute en cas de ponts existants critiques
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7 Annexe A Essais sur des panneaux munis de gaines
Cette annexe preacutesente un reacutesumeacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus par plusieurs chercheurs sur des panneaux munis de gaines Ces essais ainsi que les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus dans le cadre de la preacutesente recherche sont utiliseacutes afin drsquoanalyser statistiquement la valeur du coefficient k de reacuteduction de lrsquoeacutepaisseur des acircmes lorsque une gaine est preacutesente eacuteq (2)
Reacutesumeacute des essais trouveacutes dans la litteacuterature scientifique
Plusieurs chercheurs ont eacutetudieacute lrsquoeffet de la preacutesence de gaines (injecteacutees ou non) dans les acircmes des poutres La majoriteacute des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur des eacuteprouvettes soumises agrave de la compression ces eacuteprouvettes repreacutesentant une section drsquoacircme soumise a lrsquoeffort tranchant cest-agrave-dire faisant partie drsquoune bielle de compression inclineacutee Les chercheurs ont constateacute lors de ces eacutetudes que le paramegravetre le plus important est geacuteneacuteralement le rapport δ (=ΣOslashHbw) qui deacutefinit directement le facteur de reacuteduction de la surface utile par laquelle lrsquoeffort des bielles doit ecirctre repris
Gaynor [1965] a testeacute 66 cylindres en beacuteton avec des rapports δ compris entre 01 et 02 contenant des sections drsquoacier pleines en lieu et places des gaines Lors de ces essais il a eacuteteacute constateacute une reacuteduction de la reacutesistance par rapport aux cylindres pleins
Leonhardt [1969] a testeacute 52 panneaux certains avec une excentriciteacute lateacuterale de la gaine et drsquoautres avec une gaine inclineacutee par rapport agrave la direction de chargement Ces essais ont montreacute que ces deux paramegravetres nrsquoont qursquoune faible influence sur la reacutesistance La preacutesence cocircte agrave cocircte de deux gaines dans le panneau conduit agrave une reacuteduction moindre de la reacutesistance par rapport agrave la preacutesence drsquoune gaine unique de diamegravetre double Cette consideacuteration nrsquoest valable que si lrsquoespacement entre les deux gaines est au minimum eacutegal agrave un diamegravetre Les mesures de la distribution des contraintes de compression agrave travers lrsquoeacutepaisseur du panneau au niveau de la gaine indiquent que les contraintes parallegraveles agrave la charge sont plus importantes agrave proximiteacute de la gaine que sur les faces lateacuterales et ceci que la gaine soit injecteacutee ou non
Leonhardt a eacutegalement testeacute des eacuteprouvettes avec des barres drsquoacier en lieu et place des gaines injecteacutees Les reacutesultats nrsquoont pas eacuteteacute significativement diffeacuterents ceci a demontreacute que la rigiditeacute de lrsquoinjection nrsquoest pas un paramegravetre principal pour la reacuteduction de la reacutesistance
Clarke et Taylor [1975] ont conduit une seacuterie drsquoessais pour veacuterifier les propositions de Leonhardt Les essais ont eacuteteacute effectueacutes sur 64 eacutechantillons ougrave le diamegravetre lrsquoinclinaison ainsi que la rigiditeacute des gaines ont eacuteteacute varieacutes Les reacutesultats ont confirmeacutes les constatations de Leonhardt
Chitnuyanondh [1976] Campbell et al [1979] et Campbell et Batchelor [1981] ont testeacute 52 eacuteprouvettes Chitnuyanondh [1976] report que la reacutesistance des eacuteprouvettes avec des caviteacutes injecteacutees ne preacutesentent pas de diffeacuterences significatives par rapport agrave celles avec des gaines en acier injecteacutees Les eacutechantillons testeacutes contenaient une ou deux gaines placeacutees lrsquoune au dessus de lrsquoautre renforceacutes par une spirale pour 16 eacutechantillons et sans spirale pour les autres Par contre aucun renforcement passif nrsquoa eacuteteacute introduit Les auteurs ont constateacute que lrsquoaugmentation de lrsquoespacement entre les deux gaines augmente la reacutesistance de lrsquoeacuteprouvette Toutefois lorsque lrsquoespacement deacutepasse une fois le diamegravetre de la gaine la reacuteduction de la reacutesistance compareacutee avec un eacutechantillon comportant une seule gaine est
44
neacutegligeable pour les gaines injecteacutees Le placement drsquoune spirale de renforcement augmente la reacutesistance avec un effet plus prononceacute pour les gaines non ndash injecteacutees Les eacutechantillons non renforceacutes avec une gaine non injecteacutee et un rapport δ gt 05 atteignent une reacutesistance de 30 infeacuterieure agrave la formule proposeacutee par Leonhardt [1969] Pendant le chargement la rupture srsquoest produite sur lrsquoentiegravereteacute de la largeur les deux parties atteignant la ruine par flambage Lrsquoauteur attribueacute cette diffeacuterence au rapport δ eacuteleveacute en dehors de ceux testeacutes par Leonhardt
Rezai-Jorabi et Regan [1986] ont testeacute 15 panneaux en variant le diamegravetre des gaines Les mesures faites sur la distribution des deacuteformations sont en accord agrave celles de Leonhardt [1969]
Ganz et al [1992] ont testeacute 14 eacuteprouvettes avec des gaines en acier ou en plastique (HDPE) Les auteurs ont observeacute que lrsquoutilisation des gaines en plastique reacuteduit de maniegravere plus importante la reacutesistance ultime par rapport aux gaines en acier mais seulement un peu de lrsquoordre de grandeur de la dispersion des essais Il faut noter que le rapport δ eacutetait seulement de 02 dans cette seacuterie
Quelques auteurs ont effectueacute des essais comparatifs de poutres munies de cacircbles (preacutecontraints ou non) en modifiant lrsquoinclinaison des cacircbles La preacutesence de cacircbles de preacutecontrainte inclineacutes produit une compression favorable de la section et diminue lrsquoeffort tranchant dans lrsquoacircme en reprenant une fraction de lrsquoeffort cet effet modifie de maniegravere significative le comportement observeacute et rend difficile la comparaison entre les structures avec et sans preacutecontrainte De plus les auteurs ont constateacute que la reacuteduction de la reacutesistance est plus faible pour les poutres que pour les eacuteprouvettes Il a eacutegalement eacuteteacute constateacute que quelques poutres munies de gaines injecteacutees ont atteint une plus grande reacutesistance que la poutre de reacutefeacuterence non preacutecontrainte
Reacutesultats pour les gaines en acier injecteacutees
Le tableau A1 preacutesente les reacutesultats des 100 essais sur prismes avec gaines en acier injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faites dans cette recherche) Les diffeacuterents paramegravetres geacuteomeacutetriques sont deacutefinis dans la fig A1
Figure A1 Paramegravetres geacuteometriques des panneaux
OslashH
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Tableau A1 Valeurs des essais pour gaines en acier Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Gaynor [1965] 12-1A 152 305 152 127 011 0 354 376 094
12-1B 152 305 152 127 011 0 342 381 09012-1C 152 305 152 127 011 0 355 393 09011-1A 152 305 152 254 021 0 346 378 09111-1B 152 305 152 254 021 0 331 371 08911-1C 152 305 152 254 021 0 338 384 08812-3A 152 305 152 127 011 0 360 09612-3B 152 305 152 127 011 0 348 09112-3C 152 305 152 127 011 0 361 09211-3A 152 305 152 127 011 0 353 09311-3B 152 305 152 127 011 0 362 09811-3C 152 305 152 127 011 0 371 097
Leonhardt [1969] (1) 150 680 300 50 033 0 268 073(2) 150 680 300 50 033 0 268 095(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 098(3) 150 680 300 50 033 0 268 086(1) 150 680 300 50 033 30 268 071(2) 150 680 300 50 033 30 268 094(3) 150 680 300 50 033 30 268 088(3) 150 680 300 50 033 30 268 097(3) 150 680 300 50 033 30 268 082(1) 150 680 300 50 033 0 268 086(2) 150 680 300 50 033 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 100(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 078(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 082(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 085(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(1) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 079(2) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 090(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 096(3) 250 680 300 2 times 50 040 0 268 087(1) 150 680 300 50 033 0 268 065(2) 150 680 300 50 033 0 268 090(3) 150 680 300 50 033 0 268 088(3) 150 680 300 50 033 0 268 087(3) 150 680 300 50 033 0 268 089(1) 150 680 300 50 033 30 268 061(2) 150 680 300 50 033 30 268 082(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 096(3) 150 680 300 50 033 30 268 095(2) 150 680 300 50 033 0 268 094(1) 150 680 300 50 033 0 268 080(2) 150 680 300 50 033 0 268 087
Clarke and Taylor [1975] 23 100 500 100 25 025 0 263 091
46
24 100 500 100 25 025 0 275 09525 100 500 100 25 025 15 287 09926 100 500 100 25 025 15 262 09027 100 500 100 25 025 30 277 09528 100 500 100 25 025 30 238 08229 100 500 100 25 025 45 253 087
210 100 500 100 25 025 45 260 09043 100 500 100 40 040 0 208 07144 100 500 100 40 040 0 216 07345 100 500 100 40 040 15 210 07146 100 500 100 40 040 15 272 09347 100 500 100 40 040 30 208 07148 100 500 100 40 040 30 227 07749 100 500 100 40 040 45 232 079
410 100 500 100 40 040 45 212 07263 100 500 100 45 045 0 243 07964 100 500 100 45 045 0 235 07665 100 500 100 45 045 15 248 08166 100 500 100 45 045 15 172 05667 100 500 100 45 045 30 208 06868 100 500 100 45 045 30 243 07969 100 500 100 45 045 45 221 072
610 100 500 100 45 045 45 223 07373 100 500 100 40 040 0 199 08174 100 500 100 40 040 0 196 08075 100 500 100 40 040 0 222 09076 100 500 100 40 040 0 222 090
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 625 041 0 079 152 406 152 640 042 0 073 152 406 152 891 059 0 070 102 305 102 254 025 0 086 102 305 102 508 050 0 064 102 305 102 566 056 0 067
B1 152 610 152 762 050 0 207 322 070B2 152 610 152 762 050 0 233 322 079B3 152 610 152 762 050 0 229 322 078D1 152 610 152 762 050 0 198 348 070F1 152 610 152 762 050 0 187 265 075
Rezai-Jorabi C5G 200 200 200 100 050 0 350 472 094and Regan [1986] D1G 200 600 200 100 050 0 264 485 074
D2G 200 600 200 75 038 0 296 416 097D3G 200 600 200 32 016 0 300 416 098
Ganz et al [1992] 14 249 500 251 50 020 0 411 431 11424 251 500 253 50 020 0 407 496 09815 252 500 250 50 020 0 389 431 10725 250 500 254 50 020 0 384 496 092
Essais de cette recherche W5 125 600 600 62 050 0 272 350 084W6 125 600 600 62 050 0 292 355 089
W11 125 600 600 60 048 0 223 344 071W12 125 600 600 60 048 0 277 367 082
Le tableau A2 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
47
Tableau A2 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines en acier k 03 04 05 06 07
MOYENNE 094 098 102 107 112 COV 011 010 010 010 011
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 04 et k = 05 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 05) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 05 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 040 est leacutegegraverement non conservatrice
Reacutesultats pour les gaines non-injecteacutees
Le tableau A3 preacutesente les reacutesultats des 63 essais sur prismes avec gaines non-injecteacutees (tireacutes des reacutefeacuterences preacuteceacutedentes ainsi que des essais faits dans cette recherche)
Tableau A3 Valeurs des essais pour gaines non-injecteacutees Reference Specimen bw h c OslashH δ β σc fc ηD
[mm] [mm] [mm] [mm] [-] [deg] [MPa] [MPa] [-] Leonhardt [1969] 150 680 300 50 033 0 133 270 062
150 680 300 50 033 0 164 270 077 150 680 300 50 033 0 172 270 081 150 680 300 50 033 0 153 270 072 150 680 300 50 033 30 133 270 062 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 164 270 077 150 680 300 50 033 30 155 270 073 250 680 300 2 times 50 040 0 139 270 060 250 680 300 2 times 50 040 0 127 270 055 250 680 300 2 times 50 040 0 134 270 058 250 680 300 2 times 50 040 0 150 270 065 250 680 300 2 times 50 040 0 148 270 064 250 680 300 2 times 50 040 0 143 270 062 150 680 300 50 033 0 120 270 056
Clarke et al [1975] 13 100 500 100 25 025 0 300 471 078 14 100 500 100 25 025 0 347 471 090 15 100 500 100 25 025 15 332 471 086 16 100 500 100 25 025 15 318 471 083 17 100 500 100 25 025 30 319 471 083 18 100 500 100 25 025 30 316 471 082 19 100 500 100 25 025 45 326 471 085 110 100 500 100 25 025 45 348 471 090 33 100 500 100 40 040 0 224 487 056 34 100 500 100 40 040 0 218 487 055 35 100 500 100 40 040 15 214 487 054 36 100 500 100 40 040 15 187 487 047 37 100 500 100 40 040 30 234 487 059 38 100 500 100 40 040 30 218 487 055 39 100 500 100 40 040 45 211 487 053 310 100 500 100 40 040 45 189 48 047 53 100 500 100 45 045 0 184 377 060 55 100 500 100 45 045 15 183 377 059 56 100 500 100 45 045 15 179 377 058
48
57 100 500 100 45 045 30 176 377 057 59 100 500 100 45 045 45 180 377 058 510 100 500 100 45 045 45 173 377 056
Chitnuyanondh [1976] 152 406 152 624 041 0 039 152 406 152 640 042 0 040 152 406 152 891 059 0 021 102 305 102 254 025 0 073 102 305 102 508 050 0 034 102 305 102 566 056 0 030 A1 152 305 152 762 050 0 78 300 025 A2 152 305 152 762 050 0 77 300 025 A3 152 305 152 762 050 0 88 300 028 C1 152 305 152 762 050 0 74 348 026 C2 152 305 152 762 050 0 72 348 026 E1 152 305 152 762 050 0 99 265 040 E2 152 305 152 762 050 0 98 265 039
Rezai-Jorabi et al [1986] C1 200 200 200 32 016 0 217 253 099 C2 200 200 200 75 038 0 155 253 071 C31 200 200 200 100 050 0 99 253 045 C32 200 200 200 100 050 0 92 253 042 C4 200 200 200 32 016 993 216 253 099 C5 200 200 200 100 050 0 160 472 043 D1 200 600 200 100 050 0 136 485 038 D2 200 600 200 75 038 0 186 416 061 D3 200 600 200 32 016 0 275 416 090
Ganz et al [1992] 12 254 500 251 50 020 0 334 431 092 22 251 500 253 50 020 0 337 496 081
Essais de cette recherche W7 125 600 600 62 050 0 131 369 038 W8 125 600 600 62 050 0 123 353 038
Le tableau A4 montre les reacutesultats drsquoune analyse statistique du rapport ηDessaiηDcalc (ougrave ηDcalc =1-kδ) pour les diffeacuterents essais
Tableau A4 Analyse statistique des valeurs du coefficient k pour gaines non-injecteacutees k 08 10 12 14
MOYENNE 083 094 107 128 COV 025 021 018 015
La valeur de k pour obtenir une moyenne eacutegale agrave 1 se situe entre k = 10 et k = 12 La valeur admise par la norme SIA 262 [2003] pour gaines injecteacutees (k = 12) semble donc pertinente et ceci compte tenu que k = 12 donne une estimation leacutegegraverement conservatrice tandis que 100 est leacutegegraverement non conservatrice
49
8 Annexe B Reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme drsquoune poutre preacutecontrainte
Cette annexe contient un modegravele drsquoanalyse permettant de calculer la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant drsquoune poutre en beacuteton armeacute preacutecontrainte par des cacircbles rectilignes parallegraveles agrave lrsquoaxe de la poutre et situeacutes dans les ailes Lrsquoeffet de lrsquoaffaiblissement de lrsquoacircme ducirc agrave la preacutesence des cacircbles nrsquoest donc pas consideacutereacute Ce modegravele est baseacute sur le principe drsquoeacutequilibre sur la compatibiliteacute des deacuteformations et sur une loi de mateacuteriau du beacuteton qui tient compte de la fissuration (trois variantes sont eacutevalueacutees) Le mode de rupture admis dans le modegravele est lrsquoeacutecrasement du beacuteton de lrsquoacircme La reacutesistance de lrsquoacircme est mise en relation avec la reacutesistance flexionnelle de la poutre agrave la fin de lrsquoannexe A titre drsquoexemple une combinaison de paramegravetres est calculeacutee
Conditions drsquoeacutequilibre
Les conditions drsquoeacutequilibre permettent de deacuteterminer les contraintes dans le beacuteton et dans les eacutetriers ainsi que dans lrsquoarmature longitudinale en fonction de lrsquoeffort de cisaillement et de lrsquoinclinaison des bielles comprimeacutees Les hypothegraveses qui permettent une approche simplifieacutee sont les suivantes
- lrsquoeffort tranchant est uniquement repris par lrsquoacircme (laquo dowel action raquo de lrsquoarmature longitudinale neacutegligeacute et force de compression dans la membrure supeacuterieure admise comme horizontale)
- inclinaison des bielles constante sur la hauteur de lrsquoacircme
- contrainte uniaxiale dans les bielles et direction principale parallegravele aux fissures
- contrainte dans les eacutetriers constante dans une coupe qui suit la direction des bielles
x
ez
P
V
z sdot cot
z
s
Ninf
Asz sz
x
supN
Figure B1 Equilibre drsquoun tronccedilon de poutre deacutecoupeacute parallegravelement aux fissures
z cotα
α
50
La fig B1 montre un eacuteleacutement de poutre en eacutequilibre avec les forces externes et internes selon les hypothegraveses faites La somme des forces verticales sur lrsquoeacuteleacutement de la poutre fournit lrsquoeacutequation (20)
szAV sz
szα
σcotsdotsdot
sdot= (20)
En admettant que les contraintes de cisaillement sont eacutegalement reparties la formule (21) est trouveacutee En eacutegalant (20) et (21) lrsquoeacutequation (22) peut ecirctre eacutetablie
τsdotsdot= zbV w (21)
αω
στα
στ
αστ
tan1tan
1
cot
sdotsdot=
sdotsdotsdot
sdot=
sdotsdotsdot=sdotsdot
zy
sz
c
wc
szsz
c
szszw
ff
sbfA
f
szAzb
(22)
sbfAf
wc
szyz sdotsdot
sdot=ω (23)
ougrave zω est le taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers Ensuite les contraintes dans le beacuteton doivent encore ecirctre deacutetermineacutees sans celles-ci le calcul des deacuteformations nrsquoest pas possible On effectue une coupe verticale sur la poutre et la seacuteparation drsquoun tronccedilon le long des bielles fig B2 Selon lrsquohypothegravese les fissures srsquoouvrent perpendiculairement agrave leur plan aucun glissement nrsquoa lieu En conseacutequence la direction principale des contraintes coiumlncide avec la direction des fissures
VN
M
inf
z sdot cos
N
-
z
c3
x
N
wF
sup
Fw
z sdot cot
Figure B2 Coupe verticale dans la poutre et seacuteparation dun tronccedilon diagonal
Lrsquoeacutequilibre des forces verticales agissant sur le tronccedilon rectangulaire donne
VFw =sdot αsin (24)
Lrsquoeacutequilibre dans une bielle permet drsquoobtenir (25) Lrsquoeacuteq (26) est obtenue en eacutegalant (24) et (25) qui megravene agrave (27) agrave lrsquoaide de (21)
ασ cos3 sdotsdotsdotminus= zbF wcw (25)
α
z cotα
α
z cosα
51
αασ
cossin3 sdotsdotsdotminus=
zbV
wc (26)
αατσ
cossin13 sdotminus=
cc
cff (27)
Compatibiliteacute des deacuteformations
Les fissures sont admises comme reparties (angl laquo smeared raquo) de sorte que lrsquoeacutetat de deacuteformations est homogegravene Le cercle de Mohr repreacutesenteacute agrave la fig B3 permet la transformation des deacuteformations Lrsquoangle de transformation entre les axes du systegraveme ( )zx et les axes principaux ( )31 est eacutegal agrave lrsquoangle de fissuration α (agrave ndashπ2 pregraves selon les hypothegraveses faites auparavant) qui peut ecirctre exprimeacute comme suite gracircce au cercle de Mohr
z
xεεεε
αminusminus
=3
32tan (28)
z3
1
x
x
z
3 1
Figure B3 Axes principaux et axes du systegraveme cercle de Mohr des deacuteformations de lrsquoacircme
La transformation du tenseur des axes principaux aux axes du systegraveme srsquoexprime par lrsquoeacutequation (29)
( ) ( )( ) ( ) αεαεπαεπαεε
αεαεπαεπαεε2
32
12
32
1
23
21
23
21
sincos2cos2sin
cossin2sin2cos
+=minus+minus=
+=minus+minus=
z
x (29) a) et b)
Lrsquoaddition de (29) a) et b) permet drsquoobtenir la deacuteformation principale 1ε perpendiculaire aux fissures
31 εεεε minus+= zx (30)
Si lrsquoacircme est consideacutereacutee sans tenir compte du reste de la poutre la deacuteformation εx dans lrsquoacircme doit ecirctre imposeacutee Sinon elle peut ecirctre deacuteduite de la geacuteomeacutetrie et de lrsquoeacutequilibre des ailes de la poutre Le mode de rupture consideacutereacute (rupture de lrsquoacircme par eacutecrasement du beacuteton) impose que la reacutesistance agrave la compression du beacuteton dans les bielles soit atteinte Selon la loi de comportement (ductile ou non) crsquoest soit la contrainte 3cσ qui est connue
α α
α α
52
soit la deacuteformation 3ε Lrsquoangle α sera deacutetermineacute pour chaque comportement du beacuteton admis Il reste agrave deacuteterminer zε et 1ε en fonction des valeurs connues agrave lrsquoaide des eacutequations (28) et (30)
αεε
εε 23
3tan
minus+= x
z (31)
αεε
εε 23
1tan
minus+= x
x (32)
Comportement des mateacuteriaux
On considegravere une loi de mateacuteriau eacutelastique ndash parfaitement plastique pour lrsquoacier des eacutetriers et de lrsquoarmature longitudinale selon la fig B4a et lrsquoeacutequation (33)
yysy
zszsszsz ffEE lesdot=sdot=sdot=
εεεεσ (33)
Pour le beacuteton on distingue trois cas de loi de mateacuteriau (fig B4) qui repreacutesentent b) une ductiliteacute illimiteacutee et c) une ductiliteacute limiteacutee les deux avec un facteur de reacuteduction kc constant (qui tient compte de la fissuration) et d) une ductiliteacute limiteacutee avec un facteur kc variable Pour les trois cas la partie ascendante de la loi εσ minus est de la forme (34) pour des kc diffeacuterents
03
2
0
3
0
33 2 εε
εε
εε
σ ge⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus= ccc fk (34)
La reacutesolution de lrsquoeacutequation (34) permet drsquoobtenir la deacuteformation pour les cas ougrave 03 εε gt
cc
cfk sdot
+minus== 3
0
3 11 σεε
ε (35)
Pour le cas de kc variable la forme suivante est adopteacutee
8080051
1
1le
sdot+=
εck (36)
En reacutealiteacute le facteur kc deacutepend aussi de la reacutesistance agrave la compression cf ([Muttoni 1990] et [Kaufmann 1998]) Cette influence est ici neacutegligeacutee
53
σ s
ε sε sy
f y
a)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
b)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
c)
σ c
ε cε 0
- η ε f c
d)
Figure B4 Lois des mateacuteriaux admises a) lacier drsquoarmature b) beacuteton avec une ductiliteacute illimiteacutee kc = constant c) ductiliteacute limiteacutee kc = constant d) ductiliteacute limiteacutee kc variable
Reacutesistance de lrsquoacircme
Ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4b)
On suppose que la rupture de lrsquoacircme a lieu par rupture agrave la compression du beacuteton des bielles La plastification du beacuteton assure que les eacutetriers peuvent atteindre la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement ysz f=σ alors que le beacuteton est solliciteacute par la contrainte minimale
cc fsdotminus= εησ 3 Par contre la deacuteformation principale du beacuteton 3ε peut ecirctre plus petite que 0ε due au plateau de plastification Il nrsquoest donc pas possible de deacuteterminer sans autre
lrsquoeacutetat de deacuteformation avec les formules deacuteveloppeacutees auparavant Ceci est sans conseacutequence car tan(α) et les autres inconnues peuvent ecirctre deacutetermineacutees sans connaicirctre les deacuteformations La valeur minimale de 3cσ est introduite dans (27)
-kc fc
-kc fc -kc fc
54
αατ
cossin sdotminus=sdotminus cc fk (37)
Lrsquoutilisation des theacuteoregravemes drsquoaddition permet de trouver (38)
αατ
2tan1tan
+sdot= c
ck
f (38)
Le taux meacutecanique drsquoarmature transversale est deacutefini par lrsquoeacutequation (23) Comme les eacutetriers se plastifient ysz f=σ et (22) devient avec (23)
αωτ
tan1
sdot= zcf
(39)
En eacutegalant (38) et (39) une expression indeacutependante de tan(α) peut ecirctre trouveacutee
2zzc
ck
fωω
τminussdot= (40)
Les eacutequations (39) et (40) permettent de deacuteterminer directement tan(α)
2tan
zzc
z
k ωω
ωαminussdot
= (41)
Il est inteacuteressant de savoir pour quel taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω le beacuteton et les eacutetriers atteignent leur reacutesistance au mecircme moment sans aucune redistribution plastique Pour ceci il faut poser 03 εε = et syz εε = ce qui permet de deacuteterminer tan(αlim) avec (28) Ensuite en eacutegalant (38) et (39) limzω devient
lim2lim
cot11
αω
+sdot= cz k (42)
Avec (39) ou (40) la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant pour limzω peut ecirctre calculeacutee Toutes les valeurs sont donc connues Les calculs sont repreacutesenteacutes dans les figs B5 et B6 pour une variation de zω et xε La variation de xε nrsquoa aucune influence sur la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant de lrsquoacircme Par contre le taux meacutecanique limite drsquoarmature drsquoeacutetriers limzω (points noirs dans le graphique) au-dessous duquel les eacutetriers se plastifient augmente avec un xε plus grand Si la poutre contient une armature transversale tregraves importante ( limzz ωω gt ) lrsquoangle α augmente rapidement si la condition de lrsquoeacutecoulement des eacutetriers doit ecirctre satisfaite Or la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ diminue si tan(α)gt1 selon lrsquoeacutequation (38)
55
000
005
010
015
020
025
030
035
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
000
050
100
150
200
250
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
Figure B5 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B6 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute illimiteacutee du beacuteton et kc = 06
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06 (fig B4c)
Dans ce cas la contrainte dans les eacutetriers est infeacuterieure ou eacutegale agrave la limite eacutelastique drsquoeacutecoulement (ceci est exprimeacute par la fonction laquo min raquo dans (43)) La deacuteformation principale du beacuteton 3ε par contre est eacutegale agrave 0ε (-20permil dans ce cas pas de plastification du beacuteton) On reprend (22) et lrsquoon y introduit (33) et (23) pour obtenir une expression pour cfτ en fonction de tan(α)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotsdot
sdotsdot=sdot
sdotsdotsdot
=
αεε
εεα
ωτ
εε
ααστ
23
3tan
11mintan
mincotcot
x
sy
z
c
sy
zyy
wc
sz
wc
szz
c
f
ffsbf
Asbf
Af
(43)
En eacutegalant ceci avec (38) tan(α) peut ecirctre deacutetermineacute La valeur pour cfτ est obtenue au moyen de (38) Le calcul de limzω se fait exactement comme dans le cas drsquoune ductiliteacute illimiteacutee Cette fois le changement du reacutegime des eacutetriers marque un changement clair de la pente de la courbe fig B7 Pour limzz ωω lt les eacutetriers se plastifient tandis que pour une valeur plus grande les eacutetriers nrsquoatteignent pas leur reacutesistance Les reacutesultats des calculs sont preacutesenteacutes dans les figs B7 et B8
Ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc en fonction de 1ε (fig B4d)
Les eacutequations et conditions agrave consideacuterer sont les mecircme que pour le cas kc = constant sauf que la formule pour kc devient (36) Il faut donc connaicirctre 1ε ce qui est possible agrave partir de (32) une fois tan(α) deacutetermineacute tan(α) et limzω peuvent ecirctre deacutetermineacutes comme pour le cas de kc = const Toutes les valeurs sont connues et repreacutesenteacutees dans les figs B9 et B10
tan(α)
56
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
Figure B7 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
Figure B8 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc = 06
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 010 020 030 040 050 060
ω z
τ f c
ε x = -15permilε x = -17permil
ε x = -19permil
ε x = -199permil
ε x = -10permilε x = 25permil
ε x = -05permil
000
020
040
060
080
100
120
000 010 020 030 040 050 060
ω z
tan θ
ε x = -15permil
ε x = -10permil
ε x = 25permil
ε x = -17permil
ε x = -19permil
Figure B9 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion du taux meacutecanique darmature
zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B10 Angle α des fissures en fonction du taux meacutecanique darmature zω et de la deacuteformation xε pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
La fig B11 montre la deacutependance entre la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant relative cfτ et la deacuteformation longitudinale En geacuteneacuteral une preacutecontrainte engendre une diminution de la deacuteformation longitudinale εx et conduite ainsi agrave une augmentation de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant Cependant agrave partir drsquoun certain niveau une augmentation suppleacutementaire de lrsquointensiteacute de la preacutecontrainte induit une reacuteduction de la reacutesistance La deacuteformation longitudinale εx est deacutetermineacutee agrave partir de (44) et (45)
tan(α)
tan(α)
57
000
005
010
015
020
025
030
035
040
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
τ f c
0235
0165
01300105
0055
00300020
ω z =
0080
0200
0270
0445
0010
000
005
010
015
020
025
030
035
040
000 020 040 060 080 100 120
tan θ
τ f c
0445
03050235
020016
0130
01050080
0055
00300020
ω z = 0010
Figure B11 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
Figure B12 Reacutesistance de lacircme cfτ en fonc-tion de lrsquoangle des fissures α et du taux meacutecanique darmature zω pour une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton et kc variable
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
000 010 020 030 040 050 060
ω z
η ε
ε x = -199permilε x = -05permil
ε x = 25permil
000
010
020
030
040
050
060
070
080
090
100
-300 -200 -100 000 100 200 300 400
ε x
ω z =
0235
01300105
00300020
0080
0200
0445
0010
0055
0165
η ε = f ce f c
Figure B13 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction du taux meacutecanique dar-mature zω et de la deacuteformation xε
Figure B14 Facteur drsquoaffaiblissement de la reacutesis-tance du beacuteton agrave la compression kc en fonction de la deacuteformation xε (permil) et du taux meacutecanique darmature zω
Reacutesistance de lrsquoacircme ndash reacutesistance drsquoune poutre
Jusqursquoagrave preacutesent la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε a eacuteteacute imposeacutee faute de pouvoir la calculer La prise en compte de la deacuteformation des ailes de la poutre permet de la
tan(α)
kc kc
58
deacuteterminer de maniegravere approximative sous lrsquohypothegravese que les deacuteformations sont reparties lineacuteairement
2infsup εε
ε+
asympx (44)
N = - P
M = V sdot x - P sdot e
dx rarr 0
B
V = V
A
z 2
z 2
inf
V sdot cot
Nz
x
N
V
sup
Figure B15 Equilibre dune poutre agrave acircme mince et deux ailes solliciteacutee par deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte P
Les deacuteformations des ailes se calculent agrave partir des sollicitations (deux charges ponctuelles V et une preacutecontrainte horizontale P agissant avec une excentriciteacute e ) fig B15 Lrsquoeacutequilibre des moments autour du point B permet de trouver lrsquoeacutequation (45) a) apregraves avoir diviseacute les forces par la rigiditeacute de lrsquoaile supeacuterieure on procegravede de mecircme pour lrsquoaile infeacuterieure (point A) Pour faciliter les calculs une eacutelasticiteacute lineacuteaire a eacuteteacute admise pour les ailes que cela soit en compression ( )idc AEAE sdot=sdot ou en traction ( )ss AEAE sdot=sdot
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+sdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minusminussdot
sdot=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛minussdotsdot
sdot=
zxV
zeP
AE
zxV
zeP
AE
21cot
211
21cot
211
infinfinf
supsupsup
αε
αε
(45) a) et b)
Les eacutequations (45) a) et b) permettent de drsquoeacutetablir la relation entre la deacuteformation longitudinale de lrsquoacircme xε et la preacutecontrainte horizontale P en admettant une rupture par eacutecrasement de lrsquoacircme avec une ductiliteacute limiteacutee du beacuteton de lrsquoacircme ( )03 εε = et un facteur kc variable selon fig B4 d) Donc sauf pour 3ε la geacuteomeacutetrie de la poutre (qui inclut le taux meacutecanique drsquoarmature transversale zω ) la preacutecontrainte P et la position x sur lrsquoaxe de la poutre ougrave lrsquoeacutequilibre est consideacutereacute il nrsquoy a pas de valeurs imposeacutees La solution du systegraveme drsquoeacutequation se fait en reacutesolvant les 9 eacutequations (21) (31) (32) (36) (38) (43) (44) (45) a) et b) pour les 9 inconnues tan(α) xε zε 1ε supε infε kc V τ En introduisant (45) dans (44) en mettant (21) dans (38) et (43) et en utilisant (32) dans (36) les quatre eacutequations suivantes peuvent ecirctre trouveacutees avec comme seules inconnues tan(α) xε kc et V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛minus=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotminus⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛sdot+sdotsdotsdot=
minusminus
minus+
minus+
minusminus
minusminus
minus+
supinf
1
supinf
1
1111
1111
21cot
21
21
EAEAEA
EAEAEA
EAEAzePEA
zxEAVx αε
(46)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdotsdotsdotsdotsdot=
αεε
εεα
ω2
33
tan11min
tanx
sy
zcw fzbV (47)
α V cot α
59
αα
2tan1tan
+sdotsdotsdotsdot= ccw kfzbV (48)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minus+sdot+=
minus1
23
tan8005180min
αεε
ε xxck (49)
Ce systegraveme drsquoeacutequations peut ecirctre reacutesolu en respectant les deux conditions de minimum contenues dans les eacutequations qui repreacutesentent lrsquoeacutecoulement des eacutetriers (47) et la limite du rapport entre la reacutesistance agrave la compression du beacuteton fissureacute et uniaxiale (49) Cela conduit agrave quatre cas diffeacuterents qui doivent tous ecirctre consideacutereacutes Il faut eacutegalement identifier les valeurs pour lesquelles lrsquoaile supeacuterieure atteint sa reacutesistance ndashkcailefc caile fsdotminus εη pour lesquelles lrsquoaile infeacuterieure est deacutecomprimeacutee et pour lesquelles lrsquoarmature infeacuterieure commence agrave plastifier Le calcul a eacuteteacute effectueacute pour la geacuteomeacutetrie de la poutre montreacutee agrave la fig B16
z = 150 m
b = 100 m
P
A = 4000 mmsinf
030 m
2
e = 020 m
= 020 mwb
b = 100 m
030 m
x = 50 m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2 25 3
ε x
Plastification des eacutetriersDeacutecom pression de laile infEcoulem ent de larm ature infRupture de laile supeacuterieure
P (
Ac
tot sdot
f c )
ω z = 0445
ω z = 0010
Figure B16 Geacuteomeacutetrie admise pour la solution des eacutequations
Figure B17 Relation ( ) xctotc fAP εminussdot (permil) pour les paramegravetres de poutre choisis
La fig B17 montre la relation ( ) xctotc fAP εminussdot en fonction drsquoun taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω variable pour les paramegravetres de la poutre de la fig B16 La rigiditeacute agrave la compression de la poutre exprimeacutee par la pente des courbes diminue drsquoun facteur quatre environ lors de la deacutecompression de lrsquoaile infeacuterieure pour encore diminuer de moitieacute quand lrsquoarmature infeacuterieure se plastifie La plastification des eacutetriers nrsquoa pas drsquoinfluence visible sur la rigiditeacute agrave la compression de la poutre Pour un grand taux meacutecanique drsquoarmature drsquoeacutetriers zω la rupture de lrsquoacircme est preacuteceacutedeacutee par la rupture en compression de lrsquoaile supeacuterieure quelle que soit la preacutecontrainte P (ligne eacutepaisse dans la fig B17) Le diagramme illustre le fait que lors drsquoun dimensionnement agrave la rupture par eacutecoulement de lrsquoarmature infeacuterieure et par eacutecrasement du beacuteton de lrsquoaile supeacuterieure le choix du taux drsquoarmature drsquoeacutetriers et de la preacutecontrainte influencent le comportement agrave la flexion de la poutre Au lieu de proceacuteder seacutepareacutement au dimensionnement agrave lrsquoeffort tranchant et agrave la flexion il est selon ce modegravele (baseacute sur les principes eacutevoqueacutes auparavant) plus justifieacute de faire un dimensionnement qui inclut la flexion et lrsquoeffort tranchant Le modegravele drsquoanalyse preacutesenteacute permet cette approche la meacutethode des champs de contraintes constitue un autre modegravele pour atteindre ce but
60
61
9 Annexe C Veacuterification des poutres du Viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la SIA 262
Cette annexe preacutesente une veacuterification de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant des acircmes des poutres du viaduc laquo Sopra le Cantine raquo selon la norme SIA 262 [2003] en consideacuterant les actions de projet calculeacutees selon la SIA 261 [2003] sur le systegraveme originale du pont et en tenant compte de la reacutesistance effective du beacuteton
La section critique agrave lrsquoeffort tranchant est montreacutee dans la fig C1 ougrave le taux drsquoeacutetriers est constant et eacutegal agrave ρw = 063
Figure C1 Section critique agrave lrsquoeffort tranchant
La valeur de la reacutesistance caracteacuteristique du beacuteton dans les eacuteleacutements preacutefabriqueacutes est estimeacutee agrave partir des reacutesultats des reacutesistances du tableau 41 comme fck = 45 MPa (= fcm ndash 15 sfc ougrave sfc est lrsquoeacutecart type des reacutesistances) Cette valeur correspond selon la norme SIA 262 [2003] agrave une qualiteacute de beacuteton C4555 La valeur de calcul de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton reacutesulte
MPa 22651
454530 31
=sdot⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=sdot=c
ckfccd
ff
γη (C1)
La reacutesistance de calcul pour les bielles de lrsquoacircme est obtenue agrave partir de la valeur preacuteceacutedente en tenant compte des reacuteductions dues agrave la fissuration (kc) et agrave la preacutesence des gaines (ηD)
MPa 911760600226 =sdotsdot=sdotsdot= Dccdwcd kff η (C2)
La valeur de lrsquoangle des bielles dans lrsquoacircme (α) est obtenue agrave partir de lrsquoeacutequilibre vertical des forces voir fig C2
bw
fyd
g+q(d) +
w
fcdw
bw
sin( )1
ρ
α
α
Figure C2 Equilibre des forces verticales par uniteacute de longueur
62
Il en reacutesulte
wydwdwwcd bfqgbf sdotsdot++=sdotsdot ρα )()(sin 2 (C3)
et en admettant fyd = 435 MPa on obtient
deg=sdot
+sdotsdot=
sdot
++sdotsdot= 730
1250911481250435006280arcsin
)(arcsin
wwcd
dwydw
bfqgbfρ
α (C4)
La valeur de la reacutesistance agrave lrsquoeffort tranchant (VRd) peut ecirctre calculeacutee comme
infin+ ++= )( PdqgdstRd VVVV (C5)
Ougrave lrsquoeffort tranchant repris par le cacircble (VPinfin) est eacutegal agrave 0125 MN La valeur de la charge (g+q)d sur la section critique est eacutegale agrave
MN 08900480)730cot(11)()cot()( =sdotsdot=+sdotsdot=+ ddqg qgzV α (C6)
et la contribution des eacutetriers vaut MN 63204351250006280)730cot(11)cot( =sdotsdotsdotsdot=sdotsdotsdotsdot= ydwwdst fbzV ρα (C7)
Finalement la valeur de VRd est
MN 8460125008906320 =++=RdV (C8)
Cette valeur de VRd est plus grande que la valeur de la sollicitation agrave lrsquoeffort tranchant (VSd) qui selon les calculs du projet vaut 075 MN
63
10 Annexe D Articles citeacutes de la norme SIA 262
Les chiffres suivants de la norme SIA 262 [2003] ont eacuteteacute citeacutes dans le preacutesent rapport
Chiffre 4217
Pour le dimensionnement des voiles et de lrsquoacircme des poutres on utilisera la reacutesistance reacuteduite du beacuteton agrave la compression kc fcd le coefficient de reacuteduction kc prend les valeurs suivantes
kc = 10 zone de nœuds et eacutetats de compression uniaxiale pure (bielles de compression par exemple)
kc = 08 champs de compression avec fissures parallegraveles au sens de compression et armature de traction perpendiculaire
kc = 06 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression (acircmes de poutres par exemple)
kc = 04 champs de compression avec armature en biais par rapport au sens de compression lorsqursquoil faut srsquoattendre agrave des deacuteformations plastiques de la membrure dans le segment de poutre consideacutereacute
Pour le beacuteton leacuteger les valeurs ci-dessus seront reacuteduites agrave lrsquoaide du facteur ηl conformeacutement agrave lrsquoeacutequation (9)
Chiffre 4311
Le dimensionnement sera geacuteneacuteralement entrepris sur la base de champs de contraintes
Chiffre 4333
Eacuteleacutements de construction avec armature drsquoeffort tranchant
Chiffre 43332
Lrsquoinclinaison du champ de compression sera choisie librement agrave lrsquointeacuterieur des limites suivantes
25deg le α le 45deg (34)
On pourra srsquoeacutecarter des valeurs ci-dessus lorsque le cas est justifieacute (par exemple en preacutesence drsquoun effort normal significatif dans lrsquoacircme) Lorsque la poutre porteuse est soumise agrave un effort de traction axial il est recommandeacute de choisir α = 45deg pour lrsquoinclinaison des champs de compression
Chiffre 43334
Lors du controcircle des dimensions de lrsquoacircme on veacuterifiera que la reacutesistance agrave la compression kc fcd selon le chiffre 4218 nrsquoest pas deacutepasseacutee On pourra appliquer le calcul de veacuterification aux champs de compression situeacutes immeacutediatement agrave cocircteacute des eacuteventails sur appuis et au voisinage des zones drsquointroduction de charges importantes Les bielles de compression et les nœuds feront lrsquoobjet de veacuterifications particuliegraveres
64
Chiffre 43335
Lorsque les uniteacutes de preacutecontrainte avec adheacuterence ont des gaines de diamegravetre OslashH gt bw 8 on calculera la reacutesistance ultime des champs de compression sur la base de la valeur nominale de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme
bwnom = bw ndash 05 sum ΣOslashH (35)
Pour les uniteacutes de preacutecontrainte sans adheacuterence cette valeur devient
bwnom = bw ndash 12 ΣOslashH (36)
On deacuteterminera ΣOslashH pour la position la plus deacutefavorable de lrsquouniteacute de preacutecontrainte
Chiffre 43345
On veacuterifiera les dimensions de lrsquoacircme pour lrsquoinclinaison choisie du champ de compression La reacutesistance des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant verticale est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd sin α cos α (39)
Celle des poutres pourvues drsquoune armature drsquoeffort tranchant inclineacutee est limiteacutee agrave
VRdc = bw z kc fcd (cos α + cot β sinα ) sinα (40)
Pour des poutres preacutecontraintes on effectuera les calculs avec lrsquoeacutepaisseur nominale de lrsquoacircme selon le chiffre 43335
65
11 Reacutefeacuterences
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67
12 Symboles
A aire Asz aire drsquoarmature transversale disposeacutee avec un espacement s Asw aire drsquoun eacutetrier disposeacute avec un espacement s Ecm module drsquoeacutelasticiteacute moyenne du beacuteton Es module drsquoeacutelasticiteacute de lrsquoacier
( )1minus
+EA somme des inverses de la rigiditeacute des ailes
( )1minus
minusEA diffeacuterence entre les inverses de la rigiditeacute de lrsquoaile infeacuterieure et de lrsquoaile supeacuterieure
Fw force reprise par les bielles de lrsquoacircme drsquoune poutre M moment de flexion N effort de compression Nw force reprise par lrsquoacircme drsquoune poutre Nsup force reprise par lrsquoaile supeacuterieure drsquoune poutre Ninf force reprise par lrsquoaile infeacuterieure drsquoune poutre P force de preacutecontrainte Pd force de preacutecontrainte de dimensionnement agrave lrsquoeacutetat le plus deacutefavorable (apregraves les
pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage si lrsquoeffet de la preacutecontrainte est favorable)
Py force de preacutecontrainte quand la limite drsquoeacutecoulement est atteinte Pu force de preacutecontrainte agrave la rupture Pinfin force de preacutecontrainte apregraves les pertes dues agrave la relaxation au retrait et au fluage V effort tranchant Vtest effort tranchant mesureacute lors drsquoun essai VS-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes non deacutevieacute VD-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes deacutevieacute VC-SF effort tranchant calculeacute avec un champ de contraintes continu Vc effort tranchant repris par le beacuteton Vst effort tranchant repris par les eacutetriers de lrsquoacircme VP effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute VPinfin effort tranchant repris par la composante verticale de la force de preacutecontrainte
drsquoun cacircble inclineacute apregraves pertes VPd effort tranchant de dimensionnement repris par la composante verticale de la
force de preacutecontrainte drsquoun cacircble inclineacute aN aS distance entre charges et appuis bN bS distance entre appuis et bords de poutre bwnom eacutepaisseur effectif de lrsquoacircme bw eacutepaisseur de lrsquoacircme b largeur des ailes c largeur du panneau distance entre charges e excentriciteacute fc reacutesistance du beacuteton agrave la compression sur cylindre fc0 reacutesistance de reacutefeacuterence du beacuteton agrave la compression sur cylindre
68
fcm reacutesistance moyenne du beacuteton agrave la compression fce reacutesistance effective du beacuteton agrave la compression fcy limite drsquoeacutecoulement de lrsquoacier drsquoarmature k coefficient de reacuteduction du eacutepaisseur drsquoune acircme ducirc agrave la preacutesence drsquoune gaine kc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave lrsquoeacutetat
des deacuteformations transversales s espacement entre eacutetriers sfc eacutecart type w gonflement de lrsquoacircme x coordonneacutee z coordonneacutee bras de levier OslashH diamegravetre de la gaine α angle des bielles comprimeacutees αlim angle maximale des bielles comprimeacutees β angle entre le cacircble de la preacutecontrainte et lrsquoaxe de la poutre γp facteur partiel de la preacutecontrainte δ rapport entre la somme des diamegravetres des gaines qui se situent agrave la mecircme hauteur
dans lrsquoacircme et lrsquoeacutepaisseur de lrsquoacircme ε deacuteformation εs deacuteformation de lrsquoacier εx deacuteformation longitudinal εz deacuteformation de lrsquoarmature transversale (eacutetriers) ε1 deacuteformation principale maximale ε3 deacuteformation du beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle εx deacuteformation longitudinale de la poutre ε0 deacuteformation neacutegative du beacuteton agrave laquelle la reacutesistance agrave la compression est
atteinte εsup deacuteformation longitudinale de lrsquoaile supeacuterieure εinf deacuteformation longitudinale de lrsquoaile infeacuterieure ηfc coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression du beacuteton ducirc agrave sa
fragiliteacute ηD coefficient de reacuteduction de la reacutesistance agrave la compression drsquoune acircme ducirc agrave la
preacutesence drsquoune gaine ρw taux drsquoarmature transversale (eacutetriers) σc contrainte dans le beacuteton σc3 contrainte dans beacuteton minimale principale parallegravele agrave la bielle σs contrainte dans lrsquoacier σsz contrainte dans lrsquoacier des eacutetriers σp contrainte dans lrsquoacier de preacutecontrainte σp0 contrainte avant pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte σpinfin contrainte apregraves pertes dans lrsquoacier de preacutecontrainte τbp contrainte drsquoadheacuterence τ contrainte de cisaillement ωz taux meacutecanique drsquoarmature transversale ωzlim taux meacutecanique drsquoarmature transversale qui correspond agrave limθ
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