Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras: Ejemplos.¡lisis y Síntesi… · 11+3 6+9 o 14 15 (16) 5 Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Angulo de oscilaci on del

Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:Ejemplos.

José Maŕıa Rico Mart́ınezDepartamento de Ingenieŕıa Mecánica

División de Ingenieŕıas, Campus Irapuato-Salamanca.Universidad de Guanajuato

CP 36730, Salamanca, Gto., MéxicoE-mail: [email protected].

Alejandro Tadeo Chávez.Instituto Tecnológico Superior de Irapuato.

Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.CP 36821, Irapuato, Gto., México

Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected]

1 Introducción.

En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones derotabilidad y del criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismosplanos de cuatro barras y sus, posibles, posiciones cŕıticas.

2 Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 2 cuyas longitudesson: a1 = 10; a2 = 2; a3 = 8; a4 = 6.Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff,esto es:

L+ s ≤ p+ q (1)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está

dada por a1 = 10 = L; a2 = 2 = s; a3 = 8 = p; a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendolas dimensiones correspondientes, se obtiene

1

mailto:[email protected]:[email protected]

10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (2)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2, se concluye

que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.

En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones derotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones cŕıticas de loseslabones de entrada y de salida.

10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (2)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2, se concluye

que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.

En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones derotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones cŕıticas de loseslabones de entrada y de salida.

Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (4)

El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (5)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|2− 10| ≥ |6− 8| ó 8 ≥ 2. (6)

El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

2

Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exteriora1 + a2 ≤ a3 + a4 (3)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (4)El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (5)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|2− 10| ≥ |6− 8| ó 8 ≥ 2. (6)El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.

2

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦.

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

10 + 6 � 2 + 8 ó 16 � 10 (8)

El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición ĺımite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtienecomo

cosα =a21 + a

24 − (a2 + a3)22a1a4

(9)

Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦.

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

10 + 6 � 2 + 8 ó 16 � 10 (8)

El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición ĺımite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtienecomo

cosα =a21 + a

24 − (a2 + a3)22a1a4

(9)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición ĺımite externa.

α = 72.5423◦

Entonces el ángulo θ4L1 está dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (10)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

3

Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición ĺımite externa.

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

α = 72.5423◦

Entonces el ángulo θ4L1 está dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦

3

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (10)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 10| � |8− 2| ó 4 � 6. (11)Entonces el eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, porlo tanto tiene una posición ĺımite interior, vea la Figura 2. El ángulocorrespondiente se obtiene como

|6− 10| � |8− 2| ó 4 � 6. (11)

Entonces el eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, porlo tanto tiene una posición ĺımite interior, vea la Figura 3. El ángulocorrespondiente se obtiene como

cosβ =a21 + a

24 − (a3 − a2)22a1a4

(12)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

β = 33.5573◦

Entonces el ángulo θ4L2 está dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦

El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente,determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 4, que está definido como

φ4 = α− β (13)Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene

φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦ (14)

Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior.

4

Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior.

cosβ =a21 + a

24 − (a3 − a2)22a1a4

(12)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

β = 33.5573◦

Entonces el ángulo θ4L2 está dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦

El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente,determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, que está definido como

φ4 = α− β (13)Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene

φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦ (14)

La figura 2 muestra una animación del movimiento del mecanismo.

4

Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo.

3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (15)

Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras.

Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios estádada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene

11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16)

5

Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del eslabón motriz.

(VideoMecanismoUno.wmv)

Figure 5: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras.

3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 3, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (15)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está

dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene

5

VideoMecanismoUno.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo.

3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (15)

Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras.

Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios estádada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene

11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16)

5

Figure 6: Mecanismo plano de cuatro barras

11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que y puesto que el

eslabón más pequeño es s = a1 = 3,el mecanismo es doble rotatorio.

En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (17)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

3 + 6 ≤ 11 + 9 ó 9 ≤ 20 (18)

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (19)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 3| ≥ |9− 11| ó 3 ≥ 2. (20)

Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, esteeslabón puede rotar 360◦.

6

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (21)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

3 + 9 ≤ 6 + 11 ó 12 ≤ 17 (22)

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (23)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|9− 3| ≥ |11− 6| ó 6 ≥ 5. (24)

Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto eleslabón 4 puede rotar 360◦.

La figura 3 muestra una animación del movimiento del mecanismo.

(VideoMecanismoDos.wmv)

Figure 7: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras.

Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, noes necesario calcular ángulo de oscilación alguno.

4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la

clase I.

Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 4, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.

7

VideoMecanismoDos.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la

clase I.

Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 6, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.

Figure 6: Mecanismo plano de cuatro barras.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (25)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está

dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensionescorrespondientes, se obtiene

7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11 (26)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo

es doble oscilatorio.

En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (27)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

7 + 6 � 3 + 5 ó 13 � 8 (28)

7

Figure 8: Mecanismo plano de cuatro barras.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (25)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está

dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensionescorrespondientes, se obtiene

7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11 (26)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo

es doble oscilatorio.

En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (27)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

7 + 6 � 3 + 5 ó 13 � 8 (28)

El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 1,el ángulo θ2D1 está dado por:

8

El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 7,el ángulo θ2D1 está dado por:

cos θ2D1 =a21 + a

22 − (a3 + a4)22a1a2

(29)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D1 = 75.52◦ (30)

Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (31)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 7| � |5− 3| ó 1 � 2. (32)

El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto sepresenta una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 8, el ánguloθ2D2 está dado por:

cos θ2D2 =a21 + a

22 − (a4 − a3)22a1a2

(33)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D2 = 15.35◦ (34)

8

Figure 9: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

cos θ2D1 =a21 + a

22 − (a3 + a4)22a1a2

(29)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D1 = 75.52◦ (30)

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (31)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 7| � |5− 3| ó 1 � 2. (32)

El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto sepresenta una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 1, el ánguloθ2D2 está dado por:

Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras.

La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consisteen determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como:

φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35)

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)

Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo planode cuatro barras.

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

7 + 5 � 6 + 3 ó 12 � 9 (38)

9

Figure 10: Posición de puntos muertos interior en un mecanismo plano de cuatro barras.

9

cos θ2D2 =a21 + a

22 − (a4 − a3)22a1a2

(33)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D2 = 15.35◦ (34)

La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consisteen determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 1, que está definido como:

φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35)

Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras.

La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consisteen determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como:

φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35)

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)

Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo planode cuatro barras.

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

7 + 5 � 6 + 3 ó 12 � 9 (38)

9

Figure 11: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo planode cuatro barras.

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)

La Figura 1 muestra el rango de movimiento del eslabón 2.

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

7 + 5 � 6 + 3 ó 12 � 9 (38)

El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tantoel eslabón 4 tiene una posición ĺımite exterior, vea la Figura 2, el ángulocorrespondiente está dado por:

10

(VideoMecanismoTresI.wmv)

Figure 12: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 2.

El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 4 tiene una posición ĺımite exterior, vea la Figura 10, el ángulocorrespondiente está dado por:

cosα =a21 + a

24 − (a2 + a3)22a1a4

(39)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

α = 95.73◦ (40)

Entonces el ángulo θ4L1 está dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ (41)

Figure 10: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (42)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|5− 7| � |3− 6| ó 2 � 3. (43)

De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición ĺımite correspondiente, veala figura 11, el ángulo β está dado por:

cos β =a21 + a

24 − (a3 − a2)22a1a4

(44)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

β = 21.78◦ (45)

10

Figure 13: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

cosα =a21 + a

24 − (a2 + a3)22a1a4

(39)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

α = 95.73◦ (40)

Entonces el ángulo θ4L1 está dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ (41)

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (42)Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

11

VideoMecanismoTresI.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

|5− 7| � |3− 6| ó 2 � 3. (43)

De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición ĺımite correspondiente, veala figura 2, el ángulo β está dado por:

Figure 11: Posición ĺımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.

y el ángulo θ4L2 está dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)

La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso finalconsiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 estádado por

φ4 = α− β (47)Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)

Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismoplano de cuatro barras.

5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la

clase II.

Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyaslongitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.

11

Figure 14: Posición ĺımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.

cos β =a21 + a

24 − (a3 − a2)22a1a4

(44)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

β = 21.78◦ (45)

y el ángulo θ4L2 está dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)

La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso finalconsiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, el ángulo φ4 estádado por

φ4 = α− β (47)

Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)

La Figura 4 muestra el rango de movimiento del eslabón 4.

12

Figure 11: Posición ĺımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.

y el ángulo θ4L2 está dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)

La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso finalconsiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 estádado por

φ4 = α− β (47)Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)

Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismoplano de cuatro barras.

5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la

clase II.

Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyaslongitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.

11

Figure 15: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismoplano de cuatro barras.

(VideoMecanismoTresII.wmv)

Figure 16: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 4.

5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la

clase II.

Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (49)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está

dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene

13

VideoMecanismoTresII.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

Figure 13: Un Mecanismo plano de cuatro barras.

Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:

L+ s ≤ p+ q (49)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está

dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene

11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (50)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.

En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (51)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (52)

El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1está dado por:

cos θ2D1 =a21 + a

22 − (a3 + a4)22a1a2

(53)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D1 = 138.59◦ (54)

12

Figure 17: Un Mecanismo plano de cuatro barras.

11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (50)

Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.

En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabón 2.

• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (51)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (52)

El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1está dado por:

cos θ2D1 =a21 + a

22 − (a3 + a4)22a1a2

(53)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D1 = 138.59◦ (54)

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)

14

Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|11− 6| ≥ |7− 9| ó 5 ≥ 2. (56)

Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición derotabilidad.

Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras

El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2, vea la Figura 15,el cual está definido como:

φ2 = 2θ2D1 (57)

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 2(138.59◦) = 277.18◦ (58)

2. Eslabón 4.

13

Figure 18: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|11− 6| ≥ |7− 9| ó 5 ≥ 2. (56)

Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición derotabilidad.

El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2, vea la Figura 1, elcual está definido como:

φ2 = 2θ2D1 (57)

Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|11− 6| ≥ |7− 9| ó 5 ≥ 2. (56)

Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición derotabilidad.

Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras

El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2, vea la Figura 15,el cual está definido como:

φ2 = 2θ2D1 (57)

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 2(138.59◦) = 277.18◦ (58)

2. Eslabón 4.

13

Figure 19: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras.

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 2(138.59◦) = 277.18◦ (58)

La Figura 1 muestra el rango de movimiento del eslabón 2.

15

(VideoMecanismoCuatroI.wmv)

Figure 20: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 2.

2. Eslabón 4.

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (59)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

11 + 7 � 6 + 9 ó 18 � 15 (60)

El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 4 presenta una posición ĺımite exterior, vea la Figura 2, el ángulocorrespondiente α está dado por:

• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (59)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

11 + 7 � 6 + 9 ó 18 � 15 (60)

El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 4 presenta una posición ĺımite exterior, vea la Figura 16, el ángulocorrespondiente α está dado por:

cosα =a21 + a

24 − (a2 + a3)22a1a4

(61)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

α = 110.92◦ (62)

Entonces el ángulo θ4L1 está dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦ (63)

Figure 16: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (64)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|7− 11| ≥ |9− 6| ó 4 ≥ 3. (65)

Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición derotabilidad.

14

Figure 21: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

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VideoMecanismoCuatroI.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

cosα =a21 + a

24 − (a2 + a3)22a1a4

(61)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

α = 110.92◦ (62)

Entonces el ángulo θ4L1 está dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦ (63)

• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (64)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|7− 11| ≥ |9− 6| ó 4 ≥ 3. (65)

Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición derotabilidad.

La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El pasofinal consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4, vea la figura 2, el cual estádefinido como

φ4 = 2α (66)

Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 2(110.92◦) = 221.84◦ (67)

La Figura 2 muestra el rango de movimiento del eslabón 4.

17

La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El pasofinal consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4, vea la figura 17,el cual estádefinido como

φ4 = 2α (66)

Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 2(110.92◦) = 221.84◦ (67)

Figure 17: Ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatrobarras.

15

Figure 22: Ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatrobarras.

(VideoMecanismoCuatroII.wmv)

Figure 23: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 4.

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VideoMecanismoCuatroII.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

Introducción.Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I.Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II.