Robotica Avansata Curs Stadiul Actual Al Roboticii

7/26/2019 Robotica Avansata Curs Stadiul Actual Al Roboticii

1/152

1

1. INTRODUCERE

1.1 Stadiul actual al roboticii

1921 Karel Capek Roboii industriali ai lui Rossum

1943 Isaac Asimo I am a Robot19!4 Kern"ard # $K %reet # &anipulator cu dou' brae

19!( George C. Devol USA Brevet Diso!itiv de tra"s#er auto$at

19!9 %ose& E"gelberger Cump'r' breetul de la )eol *i reali+ea+' ,n

anul 19(- robotul $nimate la irma $nimation Inc./ irm' ce a lucra ,n

proit de abia din anul 1903.

19( 3 roboi $nimate la linia de sudare a caroseriilor din ordsto"n

19( Ka"asaki ea" Industries a cump'rat licena $nimate

1901 5rimul robot 6apone+ la7issan &otors

1901 8iat # Italia :orino inia de sudat ,n puncte caroserii

1901 A;


2/152

2192 ovacs /r. Co0ocaru G#+a"iulatoare* Robo2i 3i alica2iile lor

i"dustriale4 ri$a carte de robotic5di" Ro$-"ia.

193 RI5 (/3 # Automatica %ucure*ti Implementat la Autobu+ul %ucure*ti

19! RIC # 2!/ RI; # (3 IC;I: :I:A7 %ucure*ti ,n cadrul 5ro>ramului

7aional de Roboi Industriali

19( Institutul 5olite?nic :raian =uia@ :imi*oara *i


3/152

3

1.) Te"di"2e de de!voltare ale roboticii

- cre*terea >radului de autonomie ale roboilor

- sc'derea >radului de structurare al mediului

aG RF%FHI I7)$;:RIAI 19(- #

- mediu structurat

- obiecte situate ,n puncte de preci+ie ale mediului

- sarcini predeinite prin pro>ram

- eDecutarea automat' de pro>rame eDplicite

bG RF%FHI de 5Rului pro>ram

- uncii de suprae>?ere a ,ntre>ii actiit'i

Robot staionar # &anipulare

=e?icul >?idat automat J=AG # )eplasare prin rulare

&a*ini p'*itoare # )eplasare prin p'*ire


4/152

4

+a"iulare

Robot I"dustrial Robot i"dustrial Robot rest5riserviciiava"sat

sta2io"ar

Se"!ori I"terac2iu"e Robo2i de

o$ $a3i"5 Servicii

Delasare e ro2i

6e&icule 6e&icule G&idate Robo2i de TelerobotG&idate

Auto$at Ava"sate Serviciu +obiliAuto$at

Re2ea

I"ter"et

Stabilitate Se"!ori

Delasare ri" 53ire

+eca"is$ +a3i"5 +a3i"5 Robot,53ire ,53ire

de 53ire 7u$a"oid$ultied bied

/ig. 1.1 De!voltarea Roboticii

1. RF%FHI I7)$;:RIAI

Robot Industrial J&anipulareG L ;en+ori M Asamblare automat'N

Roboi inteli>eni staionariN 5e iitor Roboi de de+asamblare

2. =en' artiicial' M Roboi &obili pentru

:ransportul &aterialelor pe o traiectorie >?idat' ,n mediu structuratN

cu ;en+ori J=ideo/ de 5roDimitateG ,*i ale> traiectoria ,ntrBun mediu nestructurat.

3. &AOI7I 5OI:FAR< multiBped *i biped


5/152

!

E8ECTRONIC9

+ECANIC9 CA8CU8ATOARE

+ECATRONIC9 3i ROBOTIC9

/ig. 1.) +ecatro"ica 3i Robotica


6/152

(

). NO:IUNI DE TEORIA SISTE+E8OR

).1 Clasi#icarea siste$elor

;istem ansamblu de elemente*i relaiile Jle>'turileG dintre ele.

&ediu ansamblul elementelor care nu ac parte din sistem.

e>'turi orientate Intr'ri JI75$:G sau Ie*iri JF$:5$:G

e>'turi neorientateperturbaii J+>omote@G.

;istem ,nc?is nu are le>'turi cu mediul s'u.

;istem desc?is are le>'turi orientate sau neorientate cu mediul s'u.

;istem simplu are puine elemente*i le>'turi ,ntre acestea.

;istem compleD are multe elemente*i le>'turi ,ntre ele.

;istem concret are elemente materiale.

;istem abstract nu are elemente materiale.

;istem natural eDist''r'interenia omului.

;istem artiicial este creat de om.

;istem determinist are le>'turi orientate.

;istem sto?astic are le>'turi neorientate.

+1 +2 +k &omoteG . . .

D1D2Intr'ri .

Input ..

Dm

;S< 1

: . 2 Ie*iri. Futput.

n

Fig. 2.1 Sistem deschis


7/152

0).) /u"c2ia de tra"s#er T

8uncia de transer asi>ur'transormaream'rimii de intrare = > = ;t< ,nm'rimi de

ie*ire ?>?;t T .= ;).1intrarea ,n bucla de reacie

? > ? ? ;). T ; = F F :R. ? < ;). R conine unul sau mai multe sisteme de ran> RB1 .

SR H 1 SR SR SR F 1;). R este un element al unui sistem de ran> RL1 .

Ierar?i+area sistemelor >cunoa*terea structurii unui sistem*i a le>'turilor dintre

subsistemele acestuia.

). Cularea a dou5 siste$e

)ou' sisteme sunt cuplate dac' cel puin o ie*ire a unuia este o intrare ,n cel'lalt.

;S1< ;S) sBa introdus ,n 19!!. eometric' a roboilor. Aanta6ul metodei const' ,n num'rul redus de

parametri necesari trecerii de la un sistem de reerin' la altul J( 4G.

Al>oritmul este urm'torul

1G ;e notea+' elementele pornind de la ba+a robotului Jelementul G *i terminnd

cu eectorul inal. 7um'rul cuplei cinematice este dat elementul cu cir' mai

mare din componena ei.

2G ADa !iH1este aDa cuplei cinematice Pi4/ care lea>' elementul PiH14de elementul Pi4.

3G ADa @iH1este perpendiculara comun' a aDelor !iH1*i !iH)*i este orientat' de la

OiH)laOiH1. Fri>inea sistemului de reerin'se ale>e ,n punctul de intersecie al

perpendicularei comune cu aDele cuplelor cinematice.


23/152

19

;ensul po+iti iind de la indicele mai mic la cel cu indice mai mare.

< ADele V sunt deinite de produsul ectorial V=UW.

< ;e construie*te un tabel cu parametri Qi/ di* ai*i

:recerea de la sistemul de reerin' OiH1la cel cu ori>inea ,n Oise ace prin 4 mi*c'ri

elementare

o rota2ie cu u"g&iul Qi" 0urul a@ei ! iH1/ de suprapunere a aDei@iH1

pedirecia aDei @i*sensul po+iti iind de la @iH1la @i.

o tra"sla2ie cu dideHa lu"gul a@ei ! iH1ce aduce ori>ineaOiH1,nOiH

1/sensul po+iti de la OiH1,n OiH1.

o tra"sla2ie cu aideHa lu"gul a@ei @i suprapunnd ori>inea OiH1cu

Oi/sensul po+iti de la OiH1la Oi.

o rota2ie cu u"g&iul i" 0urul a@ei @i/ de suprapunere a aDei!iH1

peaDa !i*po+iti ,n sensul tri>onometric.

&atricea de transormare de la elementul i@ la elementul iB1@ este de orma

iH1Ti> Rot ;!iH1* Qi Qi;teometrice directe const'

,n e>alarea elementelor matricelor din relaia 4.4

n D=11 oD=12 a D=13 pD=14

n =21 o=22 a =23 p=24 ;.Lonal desc?is

dispo+itiului de >?idare/ ata*nduBse cte un sistem de reerin' iec'rui laturi a

conturului *i elementelor ,n mi*care relati'. Conenia este urm'toarea

ADele !se ale> ca aDe ale cuplelor cinematice de rotaie sau de translaieN

Fseturile se ale> ca aDe @N

ADele @se ale> paralele ,ntre ele.-:

3=-:

1 1: 2:

2Z: 2ZZ:;.1 Rot ;!* Q1 B1.B)

. . . . . B" ;.1Menerali+ate este deinit de eDpresia

7:7Z={Pi}: i = ;.)L


36/152

7:7Z=(7:7Z)ct.+(7:7Z)ar.sau

{Pi}:={P i}ct.:+{Pi}:ar. i =1/(

&odelul cinematic de ordinul 1 al cuplei >enerali+ate are eDpresia

7 & (

7

7 &: (

7

:7Z= : 7Z)=( : 7Z)ar.= {Pi }ar. :7Z)ct.=-

t & t

&odelul cinematic de ordinul 2 al cuplei >enerali+ate are eDpresia

7

:

&&

7Z=

t2

2(7

:

7Z)=(7

:

&&

7Z)ar.={&P&i}

:

ar.

unde Pi ct.este partea constant' {Pi}ct.

=-

t

Pi ar.este partea ariabil' Pi ar.M Pi ar.JtG

7um'rul >radelor de libertate al cuplei >enerali+ate se calculea+' cu relaia

((P ar.)6

= 6=1 Par.

-

(P

ar. )6

3-

;.)M' elementul P$4de elementul P4s' se includ' ,n maDimum

dou' contururi ,nc?ise. Conturul I - # A1# %1# C1# C2# %2# A2# -

Conturul II - # A2# %2# C2# C3# %3# A3# -

Conturul III - # A1# %1# C1# C3# %3# A3# -


41/152

- - : - : - : =

;m= 7: 8 = 7: 8 = 7: 8

; m


42/152

?14?24

?34

1

;.(


43/152

34

respecti urm'toarele relaii ,ntre elementele matricelor

!1 JnG = ?11"

%2 JnG =

?21 "$3 JnG

=?31

1JoG =?12

2 JoG =?22

3JoG =?32

1 JaG = ?13

2 JaG = ?23

3JaG =?33

1JpG =?14

2JpG =?24;.'enerator de traiectorie de structura

R!T!T@

cos,1 - sin 1 a 2 cos1+d3 sin1

-:3sin - cos a ) sin

,

d ) cos,

= 1 1 1 2 1d2

3 1 - - ? - - - 1

!pD=a 2cos ,1+d3sin ,1"

%p=a 2sin 1 d3cos 1"

$p+=d25rima soluie este d2M p+.

5rimele dou' ecuaii ale sistemului 4.!- conduc la obinerea lui d3.

!p2 =(a 2 cos +, d 3 sin )2

" D 1 1

%p2 =(a sin ,-d cos )2" 2 3

$ 1 1


44/152

d32(cos2,1+sin 2,1)+a 22(cos2,1+sin 2,1)=p2D+p2

;.imile elemenB

telor *i ite+ele lor relatie *i se calculea+' ite+a re+ultant' a punctului caracteristic +.

In ca+ul re+ol'rii problemei cinematice inerse a ite+elor se cunosc lun>imile

elementelor *i ite+a re+ultant' a punctului caracteristic +J8i>. !.1G *i se calculea+'

ite+ele relatie ale cuplelor conduc'toare.

.1 +odelul ci"e$atic direct al robotului

Di7

+-


48/152

30;e deine*te matricea ite+elor >enerali+ate

r :

& P2 P3 P4 P! ;.)


49/152

;oluia problemei const' ,n determinarea elementelor matricei

acobiene.


50/152

*i and ,n edere c' ,n iecare cupl' conduc'toare parametrii cinematici

sunt independeni ,ntre ei/ adic'

P2 = P3 = P4 = P! = P( =- 11

= 5D

P1 P1 P1 P1 P1 P1

3

;.'inea ,n F8/ prin ectorul W-.


51/152

39

D&

+8 F&

D- & 5+&

D 5

D8 F8 8

/ig. .) +odel de calcul e"tru vite!a u"ctului ,


52/152

se obine

r r r r

85 = 8(R ) R:) R)) &5=8(R ) R:)) 8R) &5=8B) 8R) &5)erind relaia !.1! se obine

-sin , -cos ,cos cos ,sin

R =

sin cos sin sin cos

- - -

:ranspusa matricei din relaia !.1! este

cos , sin , -R: = ,cos cos cos sin sin sin ,sin cos sin cos

?

iar produsul matriceal

- -1 -

R R

: =

&1 -

- = -

-

-Reenind la relaia !.14

8==8=-+8B)8R)&5

4-

;.1'?iular' relati' *i absolut' conorm relaiei !.1

ri 1 & =

Wi

i 1 r!=

% r&&

$'i

i 1

!

5 ?

? 5 ?r

" D "

? - ?i 1 & & ;.La


58/152

F8 F&

-

V8 V&

/ig. . Sc&e$a u"ei cule co"duc5toare de tra"sla2ie


59/152

44;e caracteri+ea+' prin lipsa mi*c'rii de rotaie =cons tan t &

=- decir'mne numai componenta speciic' translaiei 8==8= ;.Men'-: iB1

-r

-

-7D FD ADi1!-( !AD

i1r " " & " " & ;.'?iular' relati'&

*i absolut'&

M -/i= - i

al'turi de ite+a liniar' relati' *i absolut' se obine

ri 1 & =

Wi

i 1 r!=

% r&&

$'i

i 1!-(

" "r "

-"" "

i 1 & 1 &Wi= % & )di

-" "

"-"" "$

-'n

;.a?idare al unui robot industrial and la ba+' lanul cinematic

desc?is pre+entat ,n 8i>. (.1. 5entru determinarea reaciunilor dinamice ,n cuplele cinematice *i

a orelor momentelor de ec?ilibrare ,n cuplele cinematice conduc'toare se impune s'

cunoa*tem mi*carea mecanismului *i re+ultanta orelor momentelor eDterioare J>raitaionale/

r r

de recare *i te?nolo>iceG 8n*i &n ce acionea+' asupra elementului n@.

&A R A

&i nB1 n

AR ) & n

i 8i)

8n&)iB1

2

&

1

7

-

/ig. L.1 Sc&e$a de calcul ci"etostatic al diso!itivului de g&idare al robo2ilor

;e a determina torsorul reaciunilor dinamice RA*i &Adin cupla cinematic' de

rotaie A pentru a atin>e starea de mi*care dorit'.


62/152

4(

! =-"R A+8n J(.1G%r r"

$&A+&n=-Admind c'/ cupla cinematic' Deste o cupl' de translaie/ al c'rui torsor al orelor eDterioare

r rinclude orelemomentele 8i*i &i de ec?ilibrare ale cuplei cinematice anali+ate anterior/

atunci ecuaia de ec?ilibru este

! =-"R )+8i J(.2G% r r" -$&)+&i=

:orsorul orelor >enerali+ate din cupla cinematic' de rotaie Aeste

r

A

! r={R R R

}:!R

A AD A

"R A" unde "A+ 3D1

J(.3G= % & %r={& & & }:"&A" "

&A AD A A+

$ '(D1 $ 3D1

iar torsorul orelor >enerali+ate eDterioare

! r={8 8 8 }:r !8

"8n " unde "n nD n n+ 3D1 J(.4G=D % & %r

={& & & }:"&n" "&

n nD n n+

$ '(D1 $ 3D1

$tili+nd matricea acobian'

A

= J(.!G

!R

AD

11 12

13

14

1!

1(

!8nD

" RA " 21 22 23 24 2! 2( " 8 "

" " " n"

" " 32

33

34

3!

3(

" 8n+"

%R

A+ & = 31 ) % &

"&

AD "

41

42

43

44

4!

4( "&

nD "

"&A" !1

!2

!3

!4

!!

!( "&n

"

" " " "


63/152

(2

(3

(4

(!$

&A

+

'

(1

(( $&

n

+

'


64/152

40

;e determin' elementele matricei acobiene! =

R AD

"118nD"

? R A"21 = 8nD"? 31= R A+? 8? nD

&AD"

41 =8

"?

nD

&A"

"

!1

=

E8"

nD

=&A+" (1 8"$ nD

12=

R AD

13= R AD 14= R AD 1!= R AD 1(= R AD

8 8 & nD & n & n+n n+

22=R A 23

= R A 24= R A 2!=

R A 2(=

R A8 8 & nD & n & n+

n n+

32= R A+ 33= R A+ 34= R A+ 3!= R A+ 3(= R A+8 8 & & & n+ J(.0G

n n+ nD n

42=&AD 43=

&AD 44=&AD 4!=

&AD 4(=&AD

8 8 & nD & n & n+n n+

!2= &A !3= &A !4= &A !!= &A !(= &A8 8 & nD & n & n+

n n+

(2= &A+ (3= &A+ (4= &A+ (!= &A+ ((= &A+8 8 & nD & n & n+n n+

L.1 Ci"etostatica u"ei cule co"duc5toare de rota2ie

&A X &eA

nnB1 8n

&nR A

? A

i Fnk

+n

Dn 6 dn

n

/ig. L.) +odel de calcul al u"ei cule co"duc5toare de rota2ie


65/152

4raia Institutul 5olite?nic @:raian =uia@ :imi*oara/ 1992 # pa>. 11(.unde r B re+ultanta orelor eDterioareN

8nr

&nB momentul re+ultant al orelor eDterioareN rrd

n B perpendiculara din O"pe direcia ectorului 8nNr

RAB reaciunea din cupla cinematic' ANr

&AB momentul reacti din cupla cinematic' AN rr

?A B perpendiculara din O"pe direcia ectorului RA.

)in prima ecuaie a relaiei (. re+ult'

!R AD(

!8nD RAD= -8

" " " " nDR = -8 J(.1-G%R A

&= -%8n& A

"R " "8 "n

R = -8$ A+ ' $n+ ' A+ n+

Ceea ce permite/ ca din relaia (.0/ s' se determine elementele matricei acobiene

din primele trei linii

= RAD = 1 = = = = =-11 12 13 14 1! 1(

8nD

22= RA = 1 21=23=24=2!=2(=- J(.11G

8n


66/152

33=RA+ = 1 31=32=34=3!=3(=-8n+

7e>li6nd suma momentelor orelor de recare &AM - *i eect4nd od4sele6


67/152

49

r rr r i 6 k = (? ARA+?A+RA)i (? ADRA+?A+RAD)6 + J(.12G

?A

R

A=

?AD ?A ?A+ r R

A

+(? ADRA?ARAD)k

R

ADR

A+

i 6 k (d 8 r(d 8 rr r ? ? 8 )i d 8 )6 + J(.13Gdn8n

=dnD dn dn+

=n n+ n+ n nD n+ r n+ nD

?8 8 8 ? +(d nD8ndn8nD)k? nD n n+ ?

)in a doua ecuaie a relaiei (. re+ult'

!&

? !&

? ??

A RA+ ? A+ R ? ? d 8 d 8

" AD " " nD " " A " " n n+ n+ n "

? &A = ? &n %?A+RAD-?ADRA+& -%dn+8nD

dnD8n+? J(.14G

" " " " " " " "

$&

A+

'

$&

n+

'

$?

ADR

A

?

AR

AD ' $d

nD

8n

dn

8nD'

Ceea ce permite s' se determine elementele matricei acobiene din ultimele trei linii

&AD

=

&nD

?A

RA+

+

?A+

RA

dn

8n+

+

dn+

8n

= &nD

+?

A8

n+

d

n8

n+

?

A+8

n+

d

n+8

n =

&nD(? A+dn+)8n+(? Adn)8n+41= &AD =- 42=

&AD = (? A+dn+) 43=&AD

= +(? Adn)8nD 8n 8n+

44=&AD = 1 4!=

& AD =- 4(=

& AD =-

&nD &n &n+&

A=

&

n

?

A+R

AD+

?

ADR

A+

d

n+8

nD+

d

nD8

n+

J(.1!G

(G.1G

= &n

+?

A+8

nD

d

n+8

nD

?

AD8

n++

d

nD8

n+ J(.10G

= &n+(? A+dn+)8nD(? ADdnD)8n+!1= &A = +(? A+dn+) !2= &A =- !3= &A = (? ADdnD)

8nD 8n 8n+ J(.1G&A &A &A


68/152

!4

= =- !!

= = 1 !(= =-&nD &n &n+


69/152

!-&

A+=

&

n+

?

ADR

A+

?

AR

AD

d

nD8

n+

d

n8

nD= &

n+

?

A8

nD+

d

n8

nD+

?

AD8

n

d

nD8

n J(.19G

= &n+(? Adn)8nD+(? ADdnD)8n(1= &A+

= (? Adn)(2= &A+

= +(? ADdnD)

(3=

& A+ =-

8nD 8n 8n+ J(.2-G(4= &A+ =- (!= &A+ =- ((=&A+ = 1

&nD &n &n+


70/152

!1

L.) Ci"etostatica u"ei cule co"duc5toare de tra"sla2ie

d 8e)

&)

nB1 8nn

R )

? )&n

+ni Fn k

Dn 6 dn

n

/ig. L. +odel de calcul al u"ei cule co"duc5toare de tra"sla2ie

raia Institutul 5olite?nic @:raian =uia@ :imi*oara/ 1992 # pa>. 12(.

r B re+ultanta orelor eDterioareN8

nr

&nB momentul re+ultant al orelor eDterioareN rr

dn B perpendiculara din O"pe direcia ectorului 8nNr


71/152

R )B reaciunea din cupla cinematic'


72/152

r

&r)B momentul reacti din cupla cinematic'DN ?)B paralela cu direcia de mi*care.

)in prima ecuaie a relaiei (.24 re+ult'

!R )D(

!8nD R )D = -8

" " " " nDR = -8%R )

&= -%8n& )

"R " "8 "n

R = -8$ )+ ' $n+ '

)+ n+

!2

J(.2(G

Ceea ce permite/ ca din relaia (.0/ s' se determine elementele matricei acobiene din

primele trei linii

11=R

)D= 1 12=13=14=1!=1(=-8

nD

22=R

)= 1 21=23=24=2!=2(=- 8n

33=R

)+= 1 31=32=34=3!=3(=-8n+

7e>li6nd suma orelor de recare 8)=- *i eectund produsele

r r i 6 ? r r k

?)R )= - -?

)+ = ?)+R )i +?)+R )D6 R

)

?

?R

)DR

)+ ?? i 6 k (d 8 d 8 r 8 d 8 rr r = )i (d )6 +d

n8

n=

d

nDd

nd

n+ n n+ n+ n nD n+ r n+ nD?8 8 8 +(d nD8ndn8nD)k? nD n n+

)in a doua ecuaie a relaiei (.24 re+ult'

!&

? !&

? !-?

R ? ?d

8 d 8 ?

" )D " " nD " " )+ ) " " n n+ n+ n "%&)&

= -%&n&

- %? )+R)D

& - %dn+8nD -dnD8n+&

? ? ? ? ? ? ? ?


73/152

J(.20G

J(.2G

J(.13G

J(.29GCeea ce permite s' se determine elementele matricei acobiene din ultimele trei linii


74/152

&)D

= &nD

+?

)+R

)

d

n8

n++

d

n+8

n

=&nD

?

)+8

n

d

n8

n++

d

n+8

n

=&nD(? )+dn+)8ndn8n+

41= &)D =- 42= &)D = (? )+dn+) 43=

&)D = dn

8nD8

n 8n+44= &)D = 1 4!= &)D =- 4(= &)D =-

&nD &n &n+

&)

= &n

?

)+R

)D

d

n+8

nD+

d

nD8

n+

=&n

+

?)+

8nD

dn+

8nD

+

dnD

8n+

=&n+(? )+dn+)8nD+dnD8n+

!1= &) = +(? )+dn+) !2= &) =- !3=&)

=dnD

8nD8

n8

n+

!4= &) =- !!= &) = 1 !( = &) =-

&nD &n &n+

&)+

=


75/152

!3

J(.3-G

J(.31G

J(.32G

J(.33G

(G.I/

(1=&)+ =dn (2=

&)+ = dnD

8nD8

n

(4

= &)+

=- (!

= &)+

=-

&nD

&n


76/152

!4

11 - - - - - -

22- - - -

- - 33 - - - J(.30Gtranslatie = -

42

43

44- -

-42 - !3 - !! - !3 - - -

43

((

8ora de ec?ilibrare 8eAdin cupla cinematic' de translaie D*ce acionea+' pe direcia

aDei + *i pune ,n mi*care elementul n@ ,n raport cu nB1@/ se obine din relaia

8e)M R)+ J(.3G

Anali+a cinetostatic' se eectuea+' pentru iecare cupl' conduc'toare ,n parte /

pornind de la eectorul inal. :orsorul orelor eDterioare Jora >raitaional'/ orele

te?nolo>ice *i momentul re+ultant al orelor eDterioareG ce ,ncarc' elementul P"4*i

cupla cinematic' "H1C"*permit determinarea reaciunilor dinamice *i a orei/

respecti momentului de ec?ilibrare cu a6utorul c'reia se poate ale>e motorul de

antrenare liniar/ respecti rotati.

8ora/ respecti momentul de ec?ilibrare astel determinat se a ,n>loba ,n torsorul

orelor eDterioare Jreaciunea *i momentul reacti ce ,ncarc' elementul P"H14G/ ceea

ce permite determinarea reaciunii *i orei/ respecti momentului de ec?ilibrare din

cupla conduc'toare "H)C"H1*.a.m.d.


77/152

!!

M. +ODE8U8 DINA+IC A8 DIS,OITI6U8UI DE G7IDARE A8

ROBO:I8OR

`n capitolele precedente am studiat modelul matematic al manipul'rii ,ntrBo celul' de

abricaie leDibil'/ modelele >eometrice ale situ'rii obiectului manipulat/ modelul

cinematic *i modelul cinetostatic al dispo+itiului de >?idare al roboilor/ dar nu am

considerat niciodat' ora ca o cau+' a mi*c'rii. `n acest capitol om considera

ecuaiile de mi*care ale roboilor pe ba+a orei/ respecti momentului de acionare al

motorului. )inamica roboilor a i studiat' pe structuri de roboiand la ba+'

lanuri cinematice desc?ise. )inamica roboilor comport'dou'probleme

prima problem' o repre+int' ca+ul cnd se impune un punct pe traiectorie/

P/P&/&P&*i dorim s' al'm momentul motor &m/ ca+ul conducerea robotuluiN

a doua problem' este cum s' calcul'm mi*carea mecanismului la aplicarea

unor ore/ respecti momente motoare ,n cuple conduc'toare. )eci se cunoa*te

momentul de acionare &m*i se calculea+' P/P&/&P&/ ca+ul simularea

mi*c'rii robotului.

M.1 +odelul 8agra"ge Euler

&odelul dinamic al unui robot utili+nd metoda a>ran>e # ran>e deinit' prin

M


78/152

!(

ran>ene sunt

d: E7 8

- =]i i =1/ n J0.2G7 8&Pi

dt

;

Pi enerali+at'/ iar ]i# ora >enerali+at'.


79/152

J0.!G

(J.G


80/152

!05'tratul ite+ei se eDprim' prin produsul scalar

(-r 2 - r- r&

=& &

J0.0Gr ) r

r

sau prin urma matricei produs Jla o matrice p'tratic' suma p'tratelor elementelorde pe dia>onala principal'G

(-r 2 =:R(-r-r

:)& & &

J0.Gr ) r

r

care conduce la?

dr

: i -: r 9i E-: r ::

r 2 i i 7 i i 87 8 =:R K & r K & r =P 6 P Pk 8 ;dt < 6=1 EP 6 7k=1 k

; < J0.9Gi i

-:

i r r : 9 -:i :: i i 7 8

=:R r (r ) & & EP 7EP 8P

6 Pk 6=1 k=1 6 k ; <

b. Calculul ener>iei cinetice

ia cinetic' a unei particule de mas' dm@locali+'t' ,n elementul i@prin

ectorul de po+iie restei r

1 r: 2 i i E - :i: - :

i::

dr ir ir 7 8 & & d


81/152

J0.11G

J0.12G


82/152

!

sau!D

Di2dm Diidm Di+idm Didm &i &i i

2dm&i &i

" i " iDidm i+idm idm

" " {D

i

J0.13G %i ? i +i 1}dm =&i &i &i 2 dm &i ?

&i "+

i " +iDidm +iidm L+i +idm?$1 '

&i &i &i &i

" "

Didm idm +idm dm

&i &i &i &i ?

Hinnd cont de momentele de inerie aDiale *i a centriu>ale/ ,n raport cu sistemul de

reerin' propriu elementului i@6

IiDD=(i2++i2)dmIiD=

Ii=&i

(+ i2+Di2)dmIi

D+=

Ii++=&i

(D i2+i2)dmIi+ =

&i

*i a momentelor statice mecanice

Didm =i

idm =i

D

&i &i&i &i


83/152

Diidm&i

Di+idmJ0.14G

&i

i+idm

&i

+idm =&i

i J0.1!G

+

&i

unde Di/ i/ +i sunt coordonatele centrului de >reutate al elementului i@/ ,n care este

concentrat' masa &i.

`ntruct

Di2dm =

1

( i2++i2)dm +1

(+i2+Di2)dm +1

(Di2+i2)dm =

&i 2&i2

&i2

&i

=1(IiDD+Ii+Ii++)2 J0.1( aG

i2dm =

1(+ i2+Di2)dm + 1 (D i2+i2)dm + 1 ( i2++i2)dm =

&i 2&i2

&i2

&i

=1

(IiDDIi+Ii++)2


84/152

!9

+i2dm = 1

(D i2+i2)dm +1

(i2++i2)dm +1

(+i2+Di2)dm

=&i 2&i

2&i

2&i J0.1( bG

1

(IiDD+IiIi++)= 2re+ult'

IiDD+Ii+Ii++ IiD IiD+ &iDi

2 IiDDIi +Ii++ Ii Ii & J0.10G2i= D + i i

IiDD+IiIi++ Ii+D Ii+ &i+i2

& Di & & i & i +i i i i

ceea ce permite reormularea relaiei

1 i i -:i?idare

( 1 ( i i -:i

={- - >i


87/152

(-

iar ectorul de po+iie al centrului de >reutate Cial elementului i@/,n care este

r :concentrat' masa &ia acestui element este ={Di J0.22Gi r i +i 1}

ci

ia potenial' total' a elementelor dispo+itiului de >?idare este

( ( r rran>e

M


88/152

E

EPp=(ii:R

2 -:i

i =p 6=1 k =1 EPEP 6 p

- :::i ) 7 i 8

7Pk

8

? ?

( r : & & P 6 Pp+&i > i =p

? - : r ? J0.2G) 7 i i r 87

Ppci 8

? ?


89/152

(1

And ,n edere c' ecuaiile dinamice sunt independente de ordinea de sumare se

eidenia+' urm'toarea orm'

i i i)i6 Pi+ )i6k P6 Pk + )i =]i i = 1/( J0.29G

&& & &

6=1 6=1 k=1

rr {P1 :unde && B acceleraia >enerali+at' && P 2 ...

Pi Pi = Pn}

&& && &&

r rr ={P1P :& B ite+a >enerali+at' & & 2 P1P3P 6 P 6Pk ... Pn1Pn}

& & & & & &

r2 2 2 2 :

& = ... } J0.3-GPk {P1 P2 Pn

& & &

) i6B este termenul inerial -:p

p)i 6= :R

(

p =maD i/ 6 EP 6

-:p

::

7 8 J0.31G7

Pi8

? ? ?

pentru i M 6 )iieste termenul inerialal cuplei conduc'toare i@N

pentru i 6 )i6este cuplarea eectului inerial,ntre cuplele conduc'toare i@*i 6@N

( ? 2 -:p:R

:ermenul cinetic )i6k=

p =maD i/ 6/k EP 6EPk

?


90/152

-:p

::

7 8 J0.32G

p 7Pi

8 ? ? ?

pentru 6 M k )i66este termenul orei centriu>aleal cuplei conduc'toare i@/

dependent de acceleraia cuplei 6@N

pentru 6 k ) i6keste termenulorei Corriolis al cuplei conduc'toarei@/ dependent

de acceleraia cuplelor 6@*i k@N

:ermenul >raitaional)ice ,ncarc' cupla conduc'toare i@

=

(

r:

)i&i> p =1

? -:p r ?

7 pr 8 i =1/( J0.33GP7 i ci 8

? ?


91/152

(2

&atricele )depind de dimensiunea elementelor/ de masele lor *i de masa

manipulat'/ de po+iie centrelor de >reutate/ momentul de inerie masic *i de po+iia

momentan'. Interdependena dintre parametri cinematici >enerali+ai duce la o

cuplare a mi*c'rilor. :ermeniiineriali *i >raitaionali sunt importani ,nconducerea

robotului/ deoarece aectea+'stabilitatea *i preci+ia de situare. :ermeniicentriu>al *i

Corriolis sunt importani dac'mi*carea are loc cu oite+' mare.

M.) +odelul Ne[to" Euler

;e a considera iecare element al dispo+itilui de >?idare ca un solid ri>id. )ac'

cunoa*tem centrul de mas' *i tensorul de inerie al elementului/ atunci distribuia masei

este complet caracteri+at'. 5entru a mi*ca elementul se impune accelerarea lui. 8ora de

inerie necesar' este ,n uncie de masa *i acceleraia dorit' a elementului.


92/152

(3rCi

r&Ci

Ci

i

r

7i

/ig. M.) Ac2iu"ea u"ui $o$e"t " ce"trul de $as5r

`n /ig. M.)se arat' un element rotinduBse cu ite+a un>?iular' i *i acceleraia

r&i. `n aceast' situaie/ momentul 7icu care a ii acionat elementul/ a cau+a

aceast' mi*care conorm ecuaiei lui ?iulare/ respecti orele *i momentele

orelor eDterioare conorm ecuaiilor dinamice 7e"ton #


93/152

(4

elementele iB1 # i@*i i # iL1@/respecti orele >enerali+ate motoare din

cuplele cinematice conduc'toare ale robotului.

aG &etoda iteraiei de la ba+a robotului spre eectorul inal Ji M 1nG

`n ordine pentru calculul orei de inerie ce acionea+' asupra elementelor/ se

calculea+' ite+a de rotaie/ acceleraia liniar' *i un>?iular' a centrului de mas' al

iec'rui element. Iteraia porne*te cu elementul 1*i continu' element cu element

spre eectorul inal n@.

5ropa>area ite+ei un>?iulare de la element la element

ir i i 1 r & i ! 1 daca i =rotatie J0.3(G

+ ki unde i =1/ ni= Ri 1 i 1 iPi i = % daca i =translatie

$-

=ite+a liniar' a ori>inii iec'rui sistem al elementului i@i r i

R [i 1 r +

i1r

i1r ]+

& i k unde =!1 daca i =rotatie J0.30G

= = = Mi1 r i P i i i %i i 1 i1 i

daca i =translatie$-Acceleraia un>?iulare de la un element la altul

r i i 1 r i i 1 r i iki]i& & + & Pi ki+Pi J0.3Gi= Ri 1 i 1 i[ Ri 1 i 1

& &&

Acceleraia liniar' a ori>inii iec'rui sistem al elementului i@6r i1 r

i1r

i1r

i1r

i1r

i & i & i1 r

=i= Ri1

[

&

(i1 r)

i

]+

=i1

+ i1

ri

+ i1

Acceleraia centrului de mas'r r i

r i

r

i & i & ir ir ir

=Ci==i+ &

irCi+ i(irCi)

i[2 ri i

ki]J0.39Gi & ki+Pii Pi

& &&

(J./N

-r-r

)e notat c' pentru elementul -se obine&

=-. And calculate acceleraiile-= -

liniare *i un>?iulare ale centrului de mas' al iec'rui element se aplic' ecuaiile lui


94/152

(!

7e"ton # 'tur' *i r dintre elementele i # 1/ i@respecti orele *i momentele dei ni

rle>'tur' *i r dintre elementele i/ i L 1@

i+1n

i+1 +iL1

iL1

+i ii8i r

i+1ni+1

r

CiJ&i/iIiG i r iL1r

i +1

i r FiL1Ci

irr

Fii+1

i+1n i i

r Dii DiL1i

i7iiB1

/ig. M. Starea de ec&ilibru al ele$e"tului Pi4

i # ora eDercitat' de elementul @i@asupra elementului iB1@N

r

ni # momentul eDercitat de elementul @i@asupra elementului iB1@.


95/152

((

;umnd orele ce acionea+' asupra elementului @i@scriem de apt ecuaia

de ec?ilibru a elementului @i@

i8i=ii

ii+1=ii

iRi+1i+1i+1 J0.43G

;umnd momentele ce acionea+' ,n raport cu centrul de mas' se obine ecuaia de

ec?ilibru a momentelor

r r r r i r r )i =i7 =in i in i+1 ir i (ir+1ir i+1i Ci i Ci

r r r ir r i r +i r i r ==in in i+1 ir ir i+1 r i+1r

i

rCi i

ri+1 Ci

r J0.44Gr (ir )i r ==in in i+1 ir ii+1 r i i+1

i Ci i i+1

i+1r

i r i i+1r i r i r i r i=ni R

i+1 n

i+1+rCi 8i

r

i+1R

i+1

i+1

`n inal se pot rearan6a relaiile de ec?ilibru ale orei *i momentelor astel ca ele

s' dein' relaii iteratie/ de la elementul n la 1@.

i r i r i i +1

i +1i= 8i +Ri +1i +1

r J0.4!Gi r i

r i R

i +1

i +1r

ir i r i ri R

i

+1

ni= 7i+ ni +1 +rCi 8i+ri+1 i +1

8ora >enerali+at' motoare i]mdin cupla cinematic' conduc'toare este

r r J0.4(Gi]m= i

ini: iki+(1 i) ii: iki+i]

i=1 daca i =rotatiei

ir: i

i r

unde pentru ]m=ni ki+ ] J0.40Gi r i r: i r i r

i=- daca i =translatie ]m=i ki+ ]

i] B este ora >enerali+at'datorit'rec'rilor scoase/ and eDpresia

i] &

i J0.4G

=bi Pi ]c

biB coeicient de recare scoas'Nr

i]c B este ora >enerali+at' datorit' rec'rilor uscate JcoulombieneG/ and


96/152

eDpresia


97/152

ir d

i ir

ir

i) ci

ir i r

]c= i ci ki i & ki i &2 si>nJPiG +(1 si>nJPiGir d

i ir

i

r

kii

&

i=1 daca i =rotatie ]c=ci unde pentru 2 si>nJPiG

ir r r

i=- daca i =translatie =ci

i i &]c ki i si>nJPG

ciB coeicient de recare uscat'Ndi# diametrul usului din cupla de rotaie.

M. +odelul Ale

(0

J0.49G

J0.!-G

idG este deinit' printrBun ector de

dimensiunea 37

;' lu'm ,n considerare constrn>erile impuse sistemului

JD/ tG M - sau JDG M - J0.!1G numite constrn>eri

>eometricesau constrn>eri ?olonomice. )ac' un sistem este ,n mi*care *i este supus

numai la astel de constrn>eri atunci orbim de sisteme ?olonomice. )ac'

constrn>erile au o orm' neinte>rabil'

37 37AJD/ tG dD+A dt = - sau AJDG dD=- J0.!2G

r= :D JD1/ D2/ D3/ ./ D37G .


98/152

=1 =1


99/152

(

atunci acestea se numesc constrn>eri non # ?olonomice. )ac' ele sunt impuse unui

sistem atunci orbim de sisteme non # ?olonomice.

Constrn>erile la care timpul nu este eDprimat ,n mod eDplicit se c?eam' scleronome

sau constrn>eri statice.)ac' este eDplicitat' dependena de timp/ aceste constrn>eri

sunt reonomesau constrn>eri dinamice.Consider'm un sistem de particule ,n

mi*care supus la kconstrn>eri ?olonomice J>eometriceG

JD/ tG =- = 1/2/L/ k J0.!3G

Conorm principiului lui d\Alembert/ dinamica unui sistem ?olonomic sepoate descrie prin ecuaiile diereniale

8 m&r &+R = - J0.!4G

rl l l l

r

unde 8l B re+ultanta orelor actie ce acionea+' asupra particulelor mlNr

R lB re+ultanta orelor reactie pe care le impun constrn>erile.

7um'rul de ecuaii necesare pentru a re+ola dinamica unui asemenea sistem este

mai mare dect num'rul de >rade de liberatate ale sistemului. ;istemul are n M 37 L k

>rade de libertate/ iar aici aem neoie de 37Lkecuaii scalare J37ecuaii

diereniale de tipul J0.!4G/ pentru c' sunt r7ectori de po+iie cu cte 3 proiecii *i k

ecuaii de le>'tur' de tipul J0.!3G aerente iec'rei constrn>eri ,n parteG.

;e pune ,ntrebarea care este setul de ecuaii minimal pentru a descrie dinamica

sistemului. `n acest scop pentru a deria ecuaiile lui Apple se utili+ea+' metoda

deplas'rilor irtuale

r r r=- l =1/ 7 J0.!!G(8 m &r&+R l ) r

l l l l

unde rlB este deplasarea irtual' a particulei l@.


100/152

)ac' sum'm pentru toate particulele l = 1/ 77 r r r r

(8lml&r&l +Rl) rl=-l=1

=om lua ,n considerare numai constrn>erile >eometrice ideale pentru care

r r rrl / atunciRl rl=

-/ adic' R leste perpendicular pe

7 r r r

(8lml&r&l ) rl=-l=1

(9

J0.!(G

J0.!0G

Aceast' ecuaie une*te principiul lui d\Alembert *i principiul deplas'rilor irtuale allui a>ran>e. )e aceea de multe ori se c?eam' ecuaiile lui d\Alembert B a>ran>e.

Introducem proieciile carte+iene cu urm'toarele notaii6

r=(D 1/ D2

r=(D4 / D! / D()/L/ r7r1 / D3)/ r2

r r r

81 =(51/ 52/ 53)/ 82 =(54/ 5!/ 5()/ L/ 87

*i o renumerotare a maselor

= (D37 2

/ D37 1

/ D37 )

= (5372/ 5371/ 537)J0.!G

m1m1/ m2/ m3 m2m4/ m!/ m( L m7m372/ m371/ m37 J0.!9G

Cu aceste notaii ecuaia J0.!0G ia orma

37) D=- J0.(-G

(5 mD

&&

=1

;istemul de7particule supus la kconstrn>eri are n M 37 # k>rade de libertate/ iar

coordonatele D1/ D2/ / D37nu sunt independentedatorit' constrn>erilor. ;e deinesc n

parametri independeniP1/ P2/ / Pn/ care determin'po+iia sistemului*i care se

c?eam' coordonate >enerali+ate. )eci iecare coordonat' carte+ian' Dse poate

eDprima ,n uncie de aceste coordonate >enerali+ate *i timp


101/152

D=D(P 1 P2 L Pn t) Pi=Pi(t) i =1/ n J0.(1G


102/152

0-

5entru un sistem staionartimpul tnu este eDplicit eDprimat. )eplasarea irtual' D

se eDprim' prin relaia

n D n ai= D J0.(2G

D=

Pi=ai Pi i =1 Pii =1

Pi`nlocuind relaia J0.(2G ,n relaia J0.(-G

37 (5mDn =-

) ai Pi

&& =1 i =1

37 n 37 n J0.(3G5 ai Pi m D ai Pi=-

&&

=1 i =1 =1 i =1

n 37 D n 37 m ai Pi = 5 ai Pi&&

i =1 =1 i =1 =1

:ermenul din membrul drept repre+int' lucrul mecanic irtual al tuturor orelor

actie ce acionea+' asupra sistemului. Introducnd notaia

37

]i=5 ai i = 1/ n J0.(4G =1

ucrul mecanic irtual prime*te orma

n

dA =]i Pi J0.(!Gi =1

unde ]ieste ora >enerali+at' corespun+'toare coordonatelor >enerali+ate. 5entru a

transorma membrul stn> al ecuaiei J0.(3 # ultima linieG/ se deri' eDpresia J0.(1G& n D & D

n & a = DD=

Pi Pi+

t=ai Pi+ai

ti =1 i =1 J0.((G

a i

a i

a iD n n n n n Pi+ a

= a i Pi+ Pi P 6+ P 6+

&& &&

Pi& &

P 6&

t&

ti =1 i =1 6=1 6=1 i =1

)e unde se obser' c' ai se poate eDprima *i sub orma


103/152

D 01

ai

= && J0.(0G&&

Pi

Reenind la membrul stn> al relaiei J0.(3 # ultima linieG se obine

n 37 n 37 &&&& && D

Pi

&& m D ai Pi= m D

i =1 =1 i =1 =1Pi

Introducnd uncia ;

; = 1 37 &&2

2 m D

=1

numit' ener>ia de accelerare.


104/152

J0.(G

J0.(9G

J0.0-G

J0.01G

J0.02G

)eci problema modelului dinamicse reduce la eDprimarea ener>iei de acceleraie ;,n

uncie de coordonatele >enerali+ate. Aplicnd ecuaiile lui Applela un robot/ re+ult' c'este suicient s' calcul'm ener>ia de acceleraiea unui element Jcorp ri>idG

*i s' sum'm toate elementele lanului cinematic pentru a determina uncia ;.


105/152

02)e eDemplu uncia ; este eDprimat' ,n uncie de coordonatele >enerali+ate P i/

utili+nd o eDpresie de recuren' a acceleraiei. 5ornind de la eDpresia care consider+

1 7 2

r:

2

corpul ri>id ca un sistem de particule ; = 7 d rl 82

2 ml 7 8

l=1

;dtur' aD' *i

ne>li6nd inluenele reciproce ale aDelor dispo+itiului de >?idare al robotului. 8iecare

aD'/ iecare modul/ iecare cupl' cinematic' conduc'toare se tratea+' separat ca *i un

sistem mecanic i+olat compus dintrBun motor/ o transmisie mecanic' *i un consumator.

&red

& :& C

&m/ig. M. Co$o"e"2a u"ei a@e a robotului

Calculele se eectuea+' pentru cupla cinematic' conduc'toare i/ iL1@.;e iau ,n

considerare ca elemente mobile/ elementele iL1..n@. anul cinematic iL1..n@/

coninnd *i eectorul inal cu obiectul manipulat/ se or considera ,n po+iia cea

mai de+aanta6oas'/ cnd momentul re+istent redus &redeste maDim. :oate

reducerile se ac la arborele motorului electric de acionare rotati/ sau la ti6a

pistonului motorului pneumatic ?idraulic liniar.

a< Cula ci"e$atic5 co"duc5toare de rota2ie Pi* iF14.

;e impune ca la arborele motorului electric rotati s' se de+olte o putere motoare capabil' s'

,nin>' puterea momentelor re+istente J>raitaionale/ de recare/ de inerie *i te?nolo>iceG.

5m

5

red m &mm &red m- &m&red J0.09G&

red=

&

red+

&

red+

&

red+

&

red> r te?n

in

unde &red >B momentul re+istent redus al orelor >raitaionaleN

&red rB momentul re+istent redus al orelor de recareN

&red inB momentul re+istent redus al orelor de inerieN

B momentul re+istent redus al orelor te?nolo>ice/ care se calculea+'

numai dac' robotul este purt'tor al unei scule sau al unui cap de or'.


108/152

04

&omentul re+istent redus al orelor >raitaionale al elementelor lanului cinematic

iL1 ..n@ se determin'din condiia ec?ilibr'rii puterilor consumate ,n sistem

deorele de >reutate

n5

red=

&

red> m= 6 =C6 cos6

> 6=i+1 J0.-G1 n&

red = 6 =C6 cos6>m 6=i+1

unde 6# ora de >reutate a elementului6N

=C6# ite+a centrului de >reutate al elementului

6N[6# un>?iul de presiune.

m6

6=

C6

C6

[6

C6

/ig. M. Sc&e$a de calcul al &red >

&omentul re+istent redus al orelor de recare se determin'din condiia

compens'riiputerilor disipate ,n sistem de orele de recare/ care acionea+' ,n

iecare cupl' cinematic' a lanului cinematic iL1..n@Jinclusi ,n cuplele

cinematice ale transmisiei mecanice *i ale motorului rotatiG.

5red r

=&

red r

&red r

m n

m =8r 6 =6+ &r k k6=i+1 k=m+1 J0.1G

1 9 m n ?= 7 8r 6 =6+ &r k 87 k 8

m1 ? 6=i+1 k=m+1 ?


109/152

0!

&omentul re+istent redus al orelor de inerie al lanului cinematiciL1..n@se

determin' din relaia

n

2 a+inat' de ,ntre>ul sistem s' ie ,nma>a+inat' *i de arborele motor

Jarborele de reducereG.

n

tacc tr t

:

/ig. M.L 6aria2ia vite!ei u"g&iulare


110/152

0(

Acceleraia un>?iular' fma arborelui motor pentru un proil trape+oidal al

ite+ei un>?iulare ma arborelui motor se eDprim' prin relaia

m= m J0.!G

k:unde k g 1 eDprim' ponderea tacc/ respecti tr/ ,n timpul total/ respecti

tacc=tr=k: J0.(G

: = 6

J0.0G

(1 2k) k re>

unde 6 # cursa un>?iular' a mi*c'rii relatie a elementului ,n mi*care de rotaie.

b< Cula ci"e$atic5 co"duc5toare de tra"sla2ie Pi* iF14.

;e impune la nielul ti6ei motorului liniar s' se de+olte o putere motoare capabil' s'

,nin>' puterea orelor re+istente J>raitaionale/ de recare/ de inerie *i te?nolo>iceG.

5m

5

red m 8mm 8red m- 8m8red J0.G

8red

=8

red >+

8

red r+

8

red in+

8

red te?n

unde 8red > B ora re+istent' redus' a orelor >raitaionaleN

8red r B ora re+istent' redus' a orelor de recareN

8red in B ora re+istent' redus' a orelor de inerieN

8red te?nB ora re+istent' redus' a orelor te?nolo>ice/ care se

calculea+' numai dac' robotul este purt'tor al unui cap de or'.8ora re+istent' redus' a orelor >raitaionale al elementelor lanului cinematiciL1..n@

sedetermin' din condiia ec?ilibr'rii puterilor consumate ,n sistem de orele de >reutate

5red >

=8

red >

8red >

n

=m= 6 =C66=i+1= 1 6 =C6

n

=m 6=i+1

cos6

J0.9G

cos6


111/152

00

unde 6# ora de >reutate a elementului6N

=C6# ite+a centrului de >reutate al elementului 6N

[6# un>?iul de presiune.

m6

6=

C6

C6

[6

C6

/ig. M.M Sc&e$a de calcul al 8red >

8ora re+istent' redus' a orelor de recare se determin'din condiia ,nin>erii

puterilor disipate ,n sistem de orele de recare/ care acionea+' ,n iecare cupl'

cinematic' a lanului cinematic iL1..n@Jinclusi ,n cuplele cinematice ale

transmisiei mecanice *i ale motorului liniarG.

m n5

redr =

8

redr =m=8r 6 =6+ &r k k

6=i+1 k=m+1 J0.9-G19 m n ?

8red r = 7 8r 6 =6 + &r k 87 k 8

=m1?6=i+1 k=m+1 ?

8ora re+istent' redus' a orelor de inerie al lanului cinematiciL1..n@

sedetermin' din relaia

n

2 ia cinetic' ,nma>a+inat'de ,ntre>ul sistem s' ie ,nma>a+inat' *i de ti6a motoare Jarborele de reducereG.


112/152

n

tacc tr t

:

/ig. M.( 6aria2ia vite!ei li"iare

Acceleraia liniar' ama ti6ei motoare pentru un proil trape+oidal al ite+ei liniare

=ma ti6ei motoare se eDprim' prin relaia

a m= =m J0.94Gk:

unde kg 1 eDprim' ponderea tacc/respecti tr/ ,n timpul total/ respecti

tacc=tr=k:

: =( ?)6

1 2k =6 re>


113/152

unde ? # cursa liniar' a mi*c'rii relatie a elementului ,n mi*care de translaie.


114/152

09

c< Deter$i"are $o$e"tului de #r-"are

m

t12 t2 t

/ig. M.' 6aria2ia vite!ei u"g&iulare la #r-"are

5entru o cupl' cinematic' conduc'toare i/ iL1@acionat' de un motor rotati/ se

pune condiia ca pe durata rn'rii ite+a un>?iular' s' scad' la +ero ,n momentul

t2. ia cinetic' ,n momentul ,nceperii rn'rii/ t12este


115/152

&r

=&

r red

8r =&r red=

r r


116/152

-

d< Deter$i"are #or2ei de #r-"are

=

=m

t12 t2 t

/ig. M.1 6aria2ia vite!ei li"iare la #r-"are

5entru o cupl' cinematic' conduc'toare i/ iL1@acionat' de un motor liniar/ se

impune aceea*i condiie ca pe durata rn'rii ite+a motorului s' scad' la +ero

,n momentul t2. ia cinetic' ,n momentul ,nceperii rn'rii/ t12este

< C = 1 m red = 2 J0.1-!G

2 m

t 2 t 2

sau +

8

red r+

8

red

te?n+8r

redds ==mdt J0.1-0G

t2 ds=

t2 = dt =

1= (t 2 t 12 ) = 1 = k : J0.1-G

m

2m

2m

t12

t12

2erea rnei se calculea+' momentul sau ora de rnare care trebuiede+oltat'. 5entru o cupl' cinematic' conduc'toare acionat' de un motor liniar

&r

=

8r red

=m 8r

=m J0.112G

=8r red=


117/152

r r


118/152

2

(. CO+ANDA ZI CONTRO8U8 ROBO:I8OR

(.1. Sarci"a 3i #u"c2iile siste$ului de co$a"d5

(.1.1. Structura robotului

Robotul se consider' ca un sistem de ran>ul R/compus din subsisteme de ran> RB1.

;tructura unui robot este pre+entat' ,n i>ura .1.

SISTE+ DE CO+AND9 SISTE+ DE SISTE+AC:IONARE +ECANIC &

;


119/152

3

Siste$ul de e"ergi!are a #luidului se utili+ea+'la roboi ,n ca+ul sistemelor de

acionare ?idraulice/ respecti pneumatice cu compresor propriu/ deci a celora care

olosesc ca purt'tor de ener>ie un luid.

Siste$ul de co$a"d5prelucrea+'inormaiile despre starea mediului JeDterno B

percepieG *i despre starea interioar' a robotului Jproprio B percepieG *i emite / ,n

conormitate cu aceste inormaii *i propriul pro>ram/ comen+i c'tre sistemul de

acionare. ;en+orii *i traductoarele sunt elemente de inteli>en' artiicial' ce cule>

inormaii Jsen+oricule> inormaii care nu sunt le>ate de deplas'ri # proenite din

mediu #/ iar traductoarelecule> inormaii le>ate de deplas'ri ale subsistemelor

robotului. ;istemul de conducere al robotului/ reune*te sistemul de comand'/

sistemul de acionare *i elementele de inteli>ent' artiicial'.

;arcina principal' a sistemului de comand' este de a transpune pro>ramele

de aplicaie ,n mi*c'ri relatie al elementelor cuplelor cinematice conduc'toare ale

dispo+itiului de >?idare.

Comanda mi*c'rii este prima sarcina a sistemului de comand' *i const',n

aG coordonarea *i suprae>?erea JcontrolulG mi*c'rii eectorului inal prin

situ'rile pro>ramate/ sau a punctului caracteristic &pe traiectoriile

pro>ramateN

bG sincroni+area des'*ur'rii mi*c'rilor robotului ce eenimentele care au loc

la perieria robotului prin prelucrarea semnalelor eDterne preluate din

procesul de producie Jma*ini unelte/ dispo+itie de lucru etc.G


120/152

4

cG prelucrarea datelor de la sen+orii eDterni Jsisteme de prelucrarea

ima>inilorG *i transpunerea re+ultatelor prelucrate ,n reaciile dorite.

5ro>ramele de aplicaie arat' ,ntrBo orm' interpretabil' sarcinile pe care le are de

eDecutat robotul. Aceste pro>rame au ost concepute onBline@ de c'tre un

pro>ramator/ care de cele mai multe ori a olosit dispo+itiul de >?idare *i sistemul de

comand' al robotului/ ,n re>im de instalaie de teleoperare. )e aceea se impune a

doua sarcin' a sistemului de comand' *i anumepro>ramarea robotului. 5rin

pro>ramarea robotului se reali+ea+' ,n primul rnd dialo>ul cu operatorul uman/

c'ruia i se pun la dispo+iie comen+ile *i unciile pentru conceperea/ corectarea *i

testarea pro>ramului de mi*care/ precum *i dispo+itiele de introducere/ scoatere *i

ar?iare a pro>ramului.

;arcinile sistemului de comand' sunt reali+ate de cele dou' componente ale sale

aG subsistemul ?ard"are ba+at pe microprocesorN

bG subsistemul sot"are.

`n ca+ul sistemelor de comand' moderne are loc o conlucrare a celor dou'

componente permind

aG comanda manual' a robotuluiN

bG comanda automat' a robotuluiN

cG comanda adapti' a robotuluiN

dG iniiali+area robotului Jaducerea lui ,n po+iia de reerin'GN

eG pro>ramarea robotului/ testarea *i corectarea pro>ramelor.


121/152

!

(.). Co$a"da $i3c5rii robotului

5rincipala sarcin' a unui robot este aceea de eDecuie automat' a mi*c'rilor

pro>ramate. Comanda mi*c'rii robotului se reali+ea+' pe niele ierar?ice.

Traductoare Se"!or de te$eratur5,ROGRA+,o!i2ie 6ite!5 Se"!or audio

Se"!or video

Nivel 5laniicarea Interaa pentru Se"!or tactil"alt mi*c'rii sen+ori *i traductoare

Se"!or de #or25 \ $o$e"t

Nivel enerarea$ediu traiectoriei

Nivel ramului de

aplicaie *i ,n acord cu inormaia sen+orial' *i a traductoarelor. 5entru obinerea

inormaiilor din mediul de operare al robotului JeDterno # percepieG se olosesc

sen+ori tactili/ de or' moment/ i+uali Jcamere ideo # CC)G/ auditii

JmicrooaneG/ de temperatur' etc. 5rin sen+or se ,nele>e un dispo+iti care preia o

anumit' inormaie prin intermediul unui receptor/ ,l transorm' ,ntrBun semnal / de


122/152

(

obicei electric/ prin intermediul unui conertor *i ,l transmite mai departe sistemului

de comand'/ eentual ampliicat *i prelucrat.

5entru obinerea inormaiilor despre stare intern' a robotului Jproprio # percepieG se

olosesc traductoare care m'soar' po+iia *i ite+a >enerali+at'/ relati' a elementelor

cuplelor cinematice conduc'toare.

a nielul mediuare loc >enerarea traiectoriei/ adic' se determin' punctele de preci+ie

prin care trece traiectoria punctului caracteristic ,ntre punctul ;:AR: *i punctul

HI7:. ;e reali+ea+' de asemenea o coordonare a mi*c'rii aDelor robotului Jite+e *i

acceleraii >enerali+at'G astel c' aceste puncte s' poat' i atinse.

a nielul de ba+'/ eDecuia mi*c'rii/ se controlea+' mi*carea relati' a elementelor

iec'rei cuple cinematice conduc'toare. ADele ener>etice aerente acestuia sunt

controlate di>ital.

(.).1. Tra"s#or$5ri de coordo"ate

)escrierea unei mi*c'ri compleDe se poate reali+a direct ,n coordonate >enerali+ate

Jcoordonate speciice robotului # 6oint coordinateG/ adic'On 3aiaCilele c4lelo

P P U3 !

P P C2

4 P :(

+c b

: D a :

P %1 A F

W VaG bG cG

/ig. (. Siste$e de coordo"ate a< coordo"ate ge"erali!ate ;ROBOT


123/152

0

cinematice conduc'toare. Acest lucru este ,ns' diicil de sesi+at de c'tre operatorul

uman. )e aceea situarea eectorului inal ,n sistemul de coordonate operaionale

ata*at ba+ei robotului sau a eectorului inal este mai u*or de sesi+at de c'tre

operatorul uman/ deoarece ambele sisteme sunt carte+iene. `n sistemul de coordonate

ata*at eectorului inal/ mi*c'rile sunt relatie deoarece ori>inea : # tool point a

sistemului de coordonate se modiic'. Acest sistem este preerat ,n ca+ul operaiilor

de monta6. ;istemele de comand' aansate dau posibilitatea utili+atorului/ ca ,n a+a

de pro>ramare s' poat' ale>e ,ntre coordonatele >enerali+ate *i cele operaionale

Jand ori>inea la ba+a robotului sau la eectorul inalG. Acest lucru simpliic'

conducerea manual' a robotului/ operatorul putnd utili+a taste de direcionare sau

6ostick # ul. 5entru a eDprima acelea*i mi*c'ri ,n dierite sisteme de coordonate

sunt necesare transorm'ri de coordonate.

:ransormarea direct' de coordonate

Cnd punctele unei traiectorii sunt de6a speciicate ,n sistemul de coordonate

>enerali+at Jde eDp. la pro>ramarea prin instruireG/ atunci se poate determina ,n mod

unioc situarea eectorului inal al robotului ,n sistemul de coordonate >enerali+at

ata*at ba+ei robotului. Aceasta se reali+ea+' prin matricea de transormare omo>en'.

r P2 L P(): @( n o a p J.1G

P =(P1 R:inea la ba+a

oCot4l4iP la cel de coodonate genealiQate.


124/152


125/152

9

8uncia de comand' automat' a robotului este reali+at' de sistemul de comand'

automat' a robotului compus' din unitatea central' de comand' *i de procesare a

inormaiilor/ dispo+itiul de pro>ramare/ dispo+itiul de memorare a mi*c'rilor

aDelor/ dispo+itiul de intrare ie*ire. Comanda ,n re>im automat a mi*c'rii

robotului/ ,ntre punctele ;:AR: *i HI7: poate i

a< Co$a"da secve"2ial5 cnd mi*carea eectorului inal se compune din attea

secene cte cuple cinematice conduc'toare contribuie la reali+area ei. ;e

acionea+' succesi iecare cupl' cinematic' conduc'toare. :raiectoria punctului

caracteristic & este compus' din se>mentele &1&1\/ &1\&1\\/ &1\\ &2.

b< Co$a"da u"ct cu u"ct ,T, ,oi"t To ,oi"t* asincron'/ sincron' *i

multipunct.b1G comanda punct cu punct asincron'# 5:5 asincron'/ este cel mai

ec?i *i cel mai simplu mod de comand'.


126/152

9-

*i s' se termine ,n acela*i moment/ se impune *i condiia ca ,n interalul de timp

tiL1# tis'se parcur>'curseleDiL1# Di/ iL1# i*i +iL1# +i/ ,ntre punctele de

preci+ie&iJDi/ i/ +iG *i&iL1JDiL1/ iL1/ +iL1G. Aceste puncte de preci+ie sunt

memorateautomat/ ,n procesul de instruire/ la interale de timp iDe/ stabilite de

sistemul de comand'. Oi ,n acest ca+ traiectoria punctului caracteristic dintre

dou' puncte de preci+ie nu este deinit'. Aceast' comand' este olosit' pentru

roboi utili+ai la sudarea ,n puncte sau la opsire.

c< Co$a"da de traiectorie co"ti"u5 C, Co"ti"ous ,art&* reali!ea!5 delasarea

u"ctului caracteristic al e#ectorului #i"al e o traiectorie co"ti"u5 i$us5.

,e"tru aceasta toate a@ele trebuie co$a"date si$ulta". Se$"alele de co$a"d5

e"tru aceste a@e su"t calculate de i"terolatorul de $i3care* care este o

co$o"e"t5 so#[are a ge"eratorului de traiectorie. ,e"tru ge"erarea acestora

se arcurg ur$5toarele etae i"terolarea traiectoriei " siste$ul de

coordo"ate oera2io"al ata3at ba!ei robotului* sau al e#ectorului #i"al*

tra"s#or$area i"vers5 de coordo"ate* i"terolarea #i"5 la "ivelul a@ei de

$i3care 3i reglarea situ5rii ele$e"telor #iec5rei cule ci"e$atice co"duc5toare.

Co$a"da e traiectorie co"ti"u5 se i$u"e " ca!ul u"or alica2ii de sudare cu

arc electric* t5iere cu 0et de a5 sau de laser* oli!are 3i $o"ta0. 8a co$a"da

C, traiectoria u"ctului caracteristic "tre u"ctele START 3i :INT9* este

aro@i$at5 ri" i"ter$ediul u"or curbe de i"terolare ;seg$e"te de dreat5*

arce de cerc sau arce de arabol5


127/152

$JD/ /+G =-


128/152

91

ceea ce impune corelarea mi*c'rilor relatie ale cuplelor cinematice conduc'toare.

)ac' la momentul t6punctul caracteristic trebuie s' ie ,n po+iia &6JD6/ 6/

+6G/ deplas'rile relatie ale cuplelor cinematice conduc'toare or i

! D16 =D 6-D1"

16 = 6-1 J.4G%" +

16=+ 6-+1

$

5entru deplasarea D16a cuplei cinematice conduc'toare Are+ult'

!8JD 1 + D 16 / + /+ 1 + +16 G =-" 1 16

J.!G% + D / + /+ + + G =-"?JD 1 16 1 1 16$ 16

sistem din care se obin 16*i +16.

(.).. Co$a"da $a"ual5 a robo2ilor

;e reali+ea+' de c'tre operatorul uman/ rolul sistemului de comand' iind preluat de

c'tre acesta/ el iind sau nu asistat de sen+ori traductoare. )ac' operatorul uman se>'se*te la distan' de sistemul mecanic *i de cel de acionare al robotului/ comanda

manual' este de teleoperare telecomand'/ iar roboii se numesc instalaii de teleoperare.

Comanda manual' se poate reali+a ie directie prin metoda master # slae.

aG Comanda manual' direct'.

ramarea on line@ prin instruire a unui robot comandat

automat.


129/152

92

unde radio prin emi'toare receptoare radioN

biocureni preleai de la operatorul uman cu deiciene i+ice ,n ca+ul

prote+elor sau orte+elor.

bG Comanda manual' copiere.

Comanda manual' direct' este diicil'/ deoarece supune operatorul uman la controlul

simultan a*i coordonat a unui num'r mare de semnale *i inormaii. Comanda manual'

prin copiere const' ,n comandarea de c'tre operatorul uman a unui lan cinematic

identic structural *i proporional >eometric Jcoeicientul de proporionalitate iind

denumit coeicient de scla@G. anul cinematic comandat direct poart' denumirea delan master@/ iar robotul este un lan slae@. Instalaiile masterBslae se mai numesc

*i manipulatoare sincrone@ deoarece lanul master *i slae se mi*c' sincron.

cG Comanda miDt' a roboilor.

;e reali+ea+' prin conlucrarea operatorului uman cu sistemul de comand' automat al

robotului. )e re>ul' operatorul uman apelea+' manual secenele de pro>ram pe care

sistemul de comand' automat' al robotului o eDecut' automat.

(.. ,rogra$area robo2ilor

8leDibilitatea *i productiitatea unui robot industrial este le>at' de aptul c'

sistemul s'u de comand' poate i pro>ramat pentru reali+area optim' a unor sarcini

diersiicate. Reali+area pro>ramului de comand' a unui robot presupune

pro>ramarea mi*c'rilor *i pro>ramarea derul'rii comen+ilor.

5ro>ramarea mi*c'rilor se reer'la aDele ener>etice componente. `n cadrul ei

sedetermin' punctele traiectoriei de mi*care a punctului caracteristic/

orient'rile aerente eectorului inal *i respecti interalele de mi*care.


130/152

93

5ro>ramarea derul'rii comen+ilor se reer'la stabilirea le>'turii dintre interalele de

mi*care/ determinarea parametrilor de proces ca timpi/ ite+e *i acceleraii

>enerali+ate/ prelucrarea datelor de proces/ precum *i comunicaia cu perieria

sistemului robot. 5ro>ramarea robotului poate i on # line@Jpro>ramare apropiat' de

robotG *i o # line@Jpro>ramare ,ndep'rtat' de robotG.

5ro>ramarea on # line@ este cea mai r'spndit'. 5ro>ramarea mi*c'rii se ace prin

instruire/ pro>ramatorul reali+nd mi*c'rile prin conducerea manual'a robotului/ sau

aunui model ,n re>im de instalaie de teleoperare/ ,n timp ce sistemul de comand' al

robotului ,nre>istrea+' ,n memorie datele de mi*care. `n continuare operatorul uman

prin comen+i alanumerice sau taste uncionale pro>ramea+' derularea pro>ramului.

5ro>ramarea o # line@# pro>ramatorul prestabile*te alorile numerice ale

parametrilormi*c'rii pe un calculator alat la distan' a' de robot. &odul de

reali+are a pro>ram'rii mi*c'rii 5laback *i :eac?Bin.

5ro>ramarea 5laback# ramate/

iar ,nre>istrarea situ'rilor de pe traiectorie este independent' de pro>ramator/ iind reali+at'

de sistemul de comand' cu un tact prestabilit. Comanda ,n re>im automat a unui robot la

care sBa olosit pro>ramarea 5laback se ace ,n modul multipunct &5. )e+aanta6ul const'

,n capacitatea de memorie mare pentru a stoca inormaiile priind succesiunea de situ'ri.

5ro>ramarea :eac? # in# pro>ramatorul conduce eectorul inal spre situ'rile marcate ale

succesiunii de situ'ri pro>ramate/ care apoi este ,nre>istrat' ,n memoria calculatorului.

5arametrii de mi*care ca ite+a/ acceleraia/ preci+ia de atin>erea a unui punct *i tipul

interpol'rii ,ntre dou' situ'ri memorate/ sunt introdu*i de pro>ramator ,na+a de editare a


131/152

94

pro>ramului. )up'editare urmea+'a+a de compilare/ ,n care pro>ramul editat

estetransormat ,ntrBun cod binar/ perceput de sistemul de comand'. :ot ,n

aceast' a+' se corectea+' eentualele erori din a+a de editare.

`nre>istrarea situ'rilor succesie ale eectorului inal se poate ace prin

aG conducerea direct' a robotului/ cnd dup'decuplarea rnelor/ operatorul uman

acionea+' manual robotul cu a6utorul unui mner plasat pe eectorul inal.

Aplicaia este recent' la operaiile de opsire.

bG conducerea unui model cinematic/ cnd pro>ramatorul se olose*te de un lan

cinematic asem'n'tor din punct de edere cinematic cu dispo+itiul de >?idare al

robotului.

cG conducerea master B slae/ cnd se manipulea+'sarcini oarte mari/ iar

mi*carea robotului se reali+ea+' cu propriul sistem de acionare. 5entru aceasta se

utili+ea+' un lan cinematic de conducere a robotului. &i*c'rile robotului se

reali+ea+' sincron cu ale lanului cinematic/ manerat de operatorul uman/ and

o instalaie master # slae.

dG conducerea prin panou de ,n'are/ comanda mi*c'rii robotului*i ,nre>istrarea

,n memorie a situ'rilor succesie se ace cu panouri mobile cu taste de direcie *i

6ostickBuri. Acionarea unei taste de direcie comand' robotul s' se deplase+e ,n

concordan' cu semniicaia tastei *i a sistemului de coordonate ales. ;istemele

de comand' moderne permit transorm'ri de coordonate Jdirecte sau inerseG ,n

timp real/ permind ale>erea de c'tre operator a sistemului de coordonate.


132/152

9!

'. SINTEA /UNC:II8OR DE CONDUCERE A ROBO:I8OR

&i*carea eectorului inal se reali+ea+' ,n spaiul carte+ian 3). 5o+iiile punctului

caracteristic respecti orientarea dreptei caracteristice *i dreptei auDiliare se

deinesc ,n conormitate cu matricea de situare ,n raport cu sistemul de reerin' iD

ata*at ba+ei robotului. )einirea mi*c'rii relatie a elementelor cuplelor cinematice

conduc'toare se reali+ea+' prin calcul/ de c'tre sistemul de comand' al robotului.

e>ile de ariaie ,n uncie de timp al deplas'rilor *i ite+ele >enerali+ate

relatie ale elementelor cuplelor cinematice conduc'toare se numesc le>i de mi*care.

Cele mai des utili+ate le>i de mi*care sunt cele cu proil de ite+'@/ polinomiale@

*i polinomiale cu racord'ri@.

;istemul de comand' calculea+' la interale de timp prescrise/ ,n uncie de

situ'rile eectorului inal Jcoordonatele sale ,n spaiul carte+ianG/ *i le>ea de mi*care

adoptat'/ ,n uncie de po+iia *i ite+a relati' >enerali+at' ale elementelor cuplelor

cinematice conduc'toare Jcoordonatele sale ,n spaiul cuplelor cinematice

conduc'toareG/ operaia numinduBse transorm'ri de coordonate.

`n ca+ul comen+ii pe traiectorie continu'/ sistemul de comand'

calculea+' ite+ele >enerali+ate ale mi*c'rilor relatie ale elementelor cuplelor

cinematice conduc'toare ,n momentele aerente timpului de e*antionare prin

intermediul modelului cinematic iners al dispo+itiului de >?idare al robotului.

'.1. /u"c2ia de co"ducere

8uncia de conducere a aDelor de robot este o ,mbinare a unciei de comand'*i

uncia de acionare a aDelor robotului. Coninutulunciei de conducereeste


133/152

9(

recepionarea semnalelor emise de sistemul de comand'priind ariaia ,n timp a

parametrilor mi*c'rilor relatie ale elementelor cuplelor cinematice conduc'toare/

comanda uncion'rii motoarelor de acionarepentru reali+area parametrilor amintii/

controlul reali+'rii lor*icorelarea uncion'rii motoarelor.

'.). 8egi de $i3care ale culelor ci"e$atice co"duc5toare

'.).1. 8egi de $i3care arabolic5 ;cu ro#il de vite!5 trae!oidalii de mi*care polinomiale ce r'spunde la

condiiile iniiale impuse este t:3 t

:4 t:!

7 8 1!D12 7 8 7 8 J9.G8JtG = 1-D127 8 7 8 +(D12 ? 8;

t2 < ;

t2 < ;

t2 onometric'/ ea se poate aproDima cu se>mente de dreapt'. Cea mai bun'

aproDimare se obine dac'

Di= D 6= D DiZ=Di+ D D

Z6=D 6 D Di

Z Di=D6 DZ6= D

8Jt i G =C - +C ti +C 2 t 2 +L +Cn1 tn1 +Cn tn =D i J9.9aG

1 i i i

8Jt 6 G =C - +C t6 +C 2t 2 +L +Cn1 tn1 +Cn tn =D6

1 6 6 6

= = D6ZDiZ D6 ZD Z=D6 D i 2 D = = D6Di2 D

i6t 6ti

i i6t 6ti J9.9bG

2 D t36ti3 t n6tin= = +C +C Jt +t G +C + + Ct 6ti

n t 6tii6 1 2 6 i 3t 6ti

'.).. 8egi de $i3care oli"o$iale cu racord5ri

5entru a eDprima o traiectorie descris' ,n coordonate carte+iene sunt necesare &uncii

de aproDimare/ cte una pentru iecare >rad de mobilitate al robotului/ iar aceste uncii

se calculea+' pentru iecare punct de preci+ie impus pe traiectorie. Hinnd cont c'

iecare punct de preci+ie reclam' trei condiii iniiale Jpo+iie/ ite+' *i acceleraieG

>radul unciei polinomiale ce trece prin kpuncte de preci+ie este n M 3kB1.

&etoda o *i Cook utili+ea+' aproDimarea traiectoriei polinomiale prin

se>mente de curb'/ utili+nd uncii polinomiale de >radul 3 pentru se>mentele

intermediare *i de >radul 4 pentru se>mentele de ,nceput *i de sr*it. 5entru a trasa

o traiectorie prin npuncte sunt necesare nB1uncii polinomiale de aproDimare 2

unciide >radul 4/ pentru ,nceputul*i sr*itul traiectoriei*inB3 uncii de >radul 3

pentruse>mentele intermediare.


139/152


140/152

1-1

Re+olnd sistemul de ecuaii J9.14G se obine pe interalul de timp t [t k/ t k+1]

C2= 1 3(8k+18k) 28k 8k

+1t

k+1tk+1 J9.1!G

1 2(8k8k+1) C3= +8k + 8k

+1 2t

k+1tk+1

5entru alori particulare 2 k n 1 relaiile J9.13G *i J9.1!G se pot >rupa matriceal

!C

-

1 - - - - 1

"C " 3 3 2" 1 "

= % & 2 2 tk+1C 2" tk+1 tk+1" 2 2 1" "

$C3 ' t3k+1 t k

2+1

t3k+1

- !8k-

1

"8

" " k+1 "

J9.1(G) % 8Z &t k+1 " "1

k

"8Z " $ k+1 '

t k2+1

;e or selecta alorile lui tkL1pentru care punctul &kL1asi>ura o eroare de

traiectorie minim'

tk+1 & Pi/k+1 Pi/k 2 =min im J9.10G = i=1

Pi/kL1este coordonata >enerali+at'obinut'prin acionarea cuplei

cinematiceconduc'toare pentru a atin>e punctul &kL1.

=ite+ele 8k*i 8k+1se determin' din condiiile de continuitate a le>ii de mi*care de

ordinul doi Ja acceleraiilorG ,n punctele de preci+ie. 5rin deriarea eDpresiei ite+ei

din relaia J9.11G se obine acceleraia la sr*itul primului se>ment ,n punctul de

preci+ie &kL1 8(t k+1)=2C2+(C3t k+1 J9.1G

5entru ,nceputul celui deBal doilea se>ment eDpresia acceleraiei deine

8(t k+2)=2C2+(C3t k+2J9.19G


141/152

5articulari+nd la tM- @ 8@J-G M 2C2 J9.2-G


142/152

1-2

Continuitatea le>ii de mi*care de >radul doi J,n acceleraie constant'G,n punctul &kL1

8 (t k+1)=8 (t k+2) J9.21G$tili+nd eDpresiile J9.1(G/ J9.1G *i J9.2-G ,n relaia J9.21G se obine

tk+2

8k +

2Jt

k+1+

tk+2

G8k

+1+

tk+1

8k

+2= 3 [t k

2

+1(8k+28k+1)+t k2+2(8k+18k)]J9.22G

tk+1

tk+2

5entru alori particulare 2kn1relaia J9.22G se poate >rupa matriceal

t 4

-

-

M

-

2Jt3+t 4G t3

- - L - - -

t! 2Jt 4+t!G

t4

- L - - -

- t( 2Jt!+t(G t! L - - - M M M M M

M

M

- - - - Ltn1 2Jt n2+t n1G

tn2

!!8Z "

"

"2

" "8Z" 3" ""

8Z " "

?

? = ?

" 4 " "" M " "" Z " " 3$

8n1' "

"$

tn2

tn1

3 [t 2 (8 -8 )+t 2 (8 8 )] "

t3t3 4 3 4 3 2

4

[t 42(8! 84)

+t!

2

(8483)]

"3 "

t 4t! "

[t 2 8 )] "

3 (8 -8 )+t 2 (8 &"

t!t! ( ! ( ! 4

( M "

[t n22(8n1"

8n24)+t n21(8n28n3)]"" J9.23G

'

Re+olnd sistemul matriceal J9.23G se obin alorile matricei ite+elor [8]*i,nlocuind ,n matricea J9.1(G re+ult' o soluie unic' a coeicienilor polinomiali pentru

iecare uncie polinomial' de ordinul trei. 5e m'sur' ce se obin soluiile unciilor

polinomiale B relaia J9.1-G B se impune eriicarea respect'rii condiiei de eroare

minim' a' de traiectoria pro>ramat'.

b< ,e"tru ri$ul 3i ulti$ul seg$e"t al traiectoriei se impune condiia iniial'de


143/152

uncionare 'r' *ocuri 81=81 = 8n=8n=- J9.24G


144/152

1-3

utili+nd uncia polinomial' de >radul patru8JtG =C - +C t +C t 2+C t3+C

t4J9.2!G

1 2 3 4

8@Jt2G 8@Jt-G &3

&2 82JtG

&1 81JtG

- t t 2 - t t k+1

t1 t2 t3

/ig. '. Aro@i$area ri$ului seg$e"t al traiectorieipe interalul de timp se

pentru se>mentul iniial &1&

2 t [t 1=-/ t 2]

impun urm'toarele condiii iniiale

8J-G =C-=81 =C1=- =C2 =- J9.2(G8 J-G 8 J-G

!8Jt

2 G =8 +C 3 t3+C 4t 4 =8

1 2 2 2

J9.20G%8Jt 2G =3C3t 22+4C4t32=82? G =(C t +12C t 2 =8

"8Jt 2 3 2 4

? 2 2

Re+olnd primele 2 ecuaii din sistemul de ecuaii J9.20G se obine

C3= 4 (82 81) 182

t32 t 22 J9.2G3 (8281)+ 1C4= 82

t32t 2

4

pe interalul de timp se pentru se>mentul inal &nB1&n t [t n1=-/ t n]

impun urm'toarele condiii iniiale

8J-G =C-=8n1 8 J-G =C1=8n 1 J9.29G


145/152

1-4

8@JtnB1G 8@JtnG

8nB1JtG &n

&nB1 8nJtG

&nB2

- t t n1 - t t ntnB2 tnB1 tn

/ig. '. Aro@i$area ulti$ului seg$e"t al traiectoriei

!8Jt nG =8n1+8n 1t n +C2t n

2

+C3t3

n +C4t n4

=8n +2C2t n +3C3t n

2+4C 4t

3n=- J9.3-G%8Jt nG =8n1

" G =2C +(C t +12C t 2=-"8Jt n 2 3 n 4$ n

Re+olnd sistemul de ecuaii J9.3-G se obine

C2= 1 (( 8n(8n138n 1t n)t n

2

C3= 1 (8n+8n1+38n 1t n) J9.31Gt3n

C4= 1 (38n38n18n 1t n)24

tn

5entru determinarea matricei ite+elor [8 ]se impune condiia de continuitate a

le>ii de mi*care de ordinul doi Ja acceleraiilorG ,n punctele de preci+ie &2pentruprimul se>ment al traiectoriei *i &nB1pentru ultimul al traiectoriei.

Acceleraia la sr*itul primului se>ment de curb'/ ,n punctul de preci+ie &2 se

eDprim' prin deriata a doua a unciei polinomiale de >radul patru B e+i relaia J9.2!G

8 (t 2)=(C3t 2+12C4t 22 J9.32G

care cu a6utorul relaiilo (9.I1 ia oma6


146/152

1-!

8 (t 2)=

12 (8281)+ ( 82 J9.33G

t22

t2a ,nceputul primului se>ment de curb' intermediar'/ deriata de ordinul doi a

unciei polinomiale de ordinul trei se obine cu a6utorul relaiei J9.12G

J9.34G

8 (t)=2C2+(C3t5articulari+nd la tM-/ corespun+'tor punctului de preci+ie &2de ,nceput al primului

se>ment de curba intermediar 8@J-G M 2C 2J9.3!G unde coeicientul C2este deinit

de relaia J9.1!G pentru T 26

2 ?3

(

8 3

8 2 )282

?

8@J-G = ? 83t3

t3

?

Continuitatea le>ii de mi*care de >radul doi J,n acceleraie

constant se eDprim' prin e>alarea relaiilor J9.33G *i J9.3(G

8 (t 2)=8 (t k=-)

? 2 3 ? 1 ( (82 81)+ 3 (83 82)7 + 8 + = 2 27 882 83

;t

3t2


147/152

J9.3(G

'G,n punctul &2/

J9.30G

J9.3G

`n mod similar acceleraia la sr*itul ultimului se>ment de curb' intermediar'/

,n punctul de preci+ie &nB1/este obinut' din relaiei J9.34G pentru t M tnB1

8 (t n1)=2C2+(C3t n1 J9.39G

unde coeicienii C2*i C3/ deinii de relaia J9.1!G/ pe interalul de timp t [t k+1/ t k+2]

au eDpresia


148/152

C2= 13(8k+2 8k+1 ) 28k +1

8k

+2

tk+2

tk+2

C3= 12(8k+18

k+2 ) +8k +1+8k

+2 2

tk+2tk+2

1-(

J9.1!aG

ce se particulari+ea+' pentru k M n # 1

C2= 1 3(8n1 8n2 ) 28n 28n

1 tn1

tn1

C3= 1 2(8n28

n1 ) +8n 2+8n

1 2

tn1tn1

Cu aceste preci+'ri relaia J9.3G deine

8 (t n1)=

( 8n2

( 8n1

+ 2 8n 2+ 4 8n

1

t n21 t n

21 t

n1tn1

J9.4-G

J9.41G

a ,nceputul se>mentului inal/ pentru tnM -/acceleraia este deinit' de deriata a

doua a unciei polinomiale de ordinul patru/ prin a treia ecuaie din relaia J9.3-G

J9.42G8 (-)=2C2

unde coeicientul C2este deinit de relaia J9.31G

8 (- )=t2

2(( 8n(8n138n 1t n)n

alnd relaiile J9.4-G cu J9.41G re+ult'

8 (t n1)=8 (t n=-)

se obine

1 ? 2 3 ? 3 (8n18n2)+ ( (8n8n1)2 7 + 8 1 = 2 28n + 7 88n


149/152

J9.43G

J9.44G

J9.4!G


150/152

1-0

Combinnd relaiile J9.3G cu J9.4!G cu relaia J9.23G/ prin completarea primei linii cu

relaia J9.3G *i a ultimei linii cu relaia J9.4!G se obine

?

2

t3

?????????

+ 3 1 - - - L -

t 2 t3t 4 2(t 3+t 4) t3 - - L-- t! 2(t 4+t!) t 4 - L-- - t( 2(t !+t() t! L-M M M M M M

- - - - - Ltn1

- - - - - L -

-

-

-

-

M

2(t n2+t n1)

1tn1

-

-

- -

M

tn2

2 + 3t

n1

tn

! 3 (8 -8 )+

((8 -8 ) " t2 "

3 2t 2

2 1" 3 2 "3 [t 2 )]! 8Z " (8 8 )+t 2 (8- "

t t" 2 " " 3 4 3 4 3 4 3 2 "" 8Z "" [t 42(8! 83)]

"3" 3 84)+t!2(84 "" 8Z"

t 4t" 4 " ! ) % 8Z & =

%3 2 2 &

!

" " " [t !(8( 8!)+t( (8! 84)] "M t !t(" Z " " M "" " " 3 ""

8n2" " 2 2 "

$8nZ1' "

tn-2

tn-1 [tn-2 (8n-1 -8n24 )+tn1 (8n2 -8n3 )]"

" 3 (8 8 ) + ( (8- ) "" "2" n1 n2 2 n n1 "tn1

tn$ '

J9.4(G

Re+olnd sistemul matriceal al relaiei J9.4(Gse obin toate alorile matricei ite+ei

[8]/ deinind astel toate unciile polinomiale de >radul trei *i patru utili+atepentru aproDimare traiectoriei prescrise ,n planul mi*c'rii.


151/152


152/152

1-=alorile eDtreme ale ite+elor se pot eDprima printrBun actor

maD ( 8

(t)) - Ut Uti+1

; =maD i i6 J9.40G 6 =

i6

unde =i6# ite+a de re>im a unei cuple cinematice conduc'toare6/pentru 6 =1/ & N

8\i6# ite+a pe se>mentul de curbai/ prin acionarea cuplei

cinematiceconduc'toare6.

=alorile eDtreme ale acceleraiilor se pot eDprima de asemenea printrBun actor

maD(8 (t) )

- t ti+1

;a=maD 6 i i6 J9.4Gai6

unde ai6# acceleraia de re>im a cuplei cinematice conduc'toare6/pentru 6 = N1/ &

8@i6# acceleraia pe se>mentul de curbai/ prin acionarea cuplei cinematice

Robotica Avansata Curs Stadiul Actual Al Roboticii

Documents