Robot Seguidor de LÍnea mediante controladores PID

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Robot Seguidor de Lınea mediante controladoresPID

Facultad de Ingenierıa, Escuela de Electrica

Realizado Por: Paul Arevalo, Javier Benavides, Diego Canar, Carlos Orellana

Fecha: 23 de Julio de 2013

Docente: Ing. Remigio Guevara

Universidad de Cuenca, Av. 12 de Abril, Cuidadela Universitaria

Cuenca - Ecuador

Abstract—Automatic control is linked to virtually all theengineering (electrical, electronic, mechanical, industrial,chemical, etc.), this document was developed without pref-erence for any particular discipline, in order to enable thereader to implement the PID controller DIGITAL since it isvery important within the Industrial Control. The readerwill build a steering system for a truck line follower andalso with other PID SYNCHRONIZED for traction withelements easily obtained in the local market. Later, afterbecoming familiar with the operation of the system, find themathematical model of it by experimental methods. Withthe help of mikroC and Matlab, then proceed to find theroot locus of the system, which will give you important in-formation about the system dynamics.

A. Indice

- Introduccion.- Planteamiento del Problema.- Construccion del Prototipo.- Modelo Matematico.- Analisis del modelo matematico del sistema.- Diseno del Controlador.- Implementacıon del controlador.- Sistema en lazo cerrado con controlador proporcional.- Lista de Materiales.- Estabilidad y constantes de control.- Funcion de Transferencia- Calculos de los coeficientes.- Control PID digital.- Obtencion de las constantes KP, KI, KD.- Algoritmo Control PID digital.- Anexos

I. INTRODUCCION

HOY en dıa los sistemas de control cumplen un rol muyimportante en el desarrollo y avance de la tecnologıa y

por ende de la civilizacıon moderna, ya que practicamentecada aspecto de las actividades de nuestra vida estan afec-tados por algun sistema de control.Para continuar con el tema es necesario definir ciertosterminos.

A. Senal de salida

Es la variable que se desea controlar (posicion, veloci-dad, presion, temperatura, etc.). Tambien se denominavariable controlada.

B. Senal de referencia

Es el valor que se desea que alcance la senal de salida enuestro caso la senal es digital grabada en el microcontro-lador pic 16f887.

C. Error

Es la diferencia entre la senal de referencia y la senal desalida real.

D. Senal de control

Es la senal que produce el controlador para modificarla variable controlada de tal forma que se disminuya, oelimine, el error.

E. Senal Analogica

Es una senal continua en el tiempo.

F. Senal Digital

Es una senal que solo toma valores de 1 y 0. El PC soloenvıa y/o recibe senales digitales.

G. Conversor Anlogico Digital Es un dispositivo que con-vierte una senal analogica en una senal digital (1 y 0).

H. Conversor digital analoico

Es un dispositivo que convierte una senal digital en unasenal analogica (corriente o voltaje).

I. Planta

Es el elemento fısico que se desea controlar. Plantapuede ser: un motor, un horno, un sistema de disparo,un sistema de navegacio n, un tanque de combustible, etc.

J. Procesos

Operacion que conduce a un resultado determinado.

K. Perturbacion

Es una senal que tiende a afectar la salida del sistema,desviandola del valor deseado.

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L. Sensor

Es un dispositivo que convierte el valor de una magni-tud fısica (presion, flujo, temperatura, etc.) en una senalelectrica codificada ya sea en forma analogica o digital.Tambien es llamado transductor. Es aquel en el cual con-tinuamente se esta monitoreando la senal de salida paracompararla con la senal de referencia y calcular la senalde error, la cual a su vez es aplicada al controlador paragenerar la senal de control y tratar de llevar la senal desalida al valor deseado. Tambien es llamado control reali-mentado.

M. Sistema de control en lazo abierto:

En estos sistemas de control la senal de salida no esmonitoreada para generar una seal de control.

N. Sensores CNY70:

El CNY70 es un sensor de infrarrojos de corto alcancebasado en un emisor de luz y un receptor, ambos apun-tando en la misma direccion, y cuyo funcionamiento sebasa en la capacidad de reflexion del objeto, y la detecciondel rayo reflectado por el receptor.

II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se requiere disenar y construir un controlador PIDdigital programado en mikroC para regular la posicion deun servomotor que es la direccion del robot seguidor delinea negra. La figura 1 muestra el diagrama de bloquesdel sistema controlado, en donde:

La senal de salida, y, corresponde a la salida del servo-motor en el caso de la direccion y del motor de corrientedirecta en el caso de la traccion, explicaremos con detalleuno de los dos sistemas PID ya que ambos se rigen en lasmismas leyes, la senal seria de manera digital que seriala senal de referencia la senal de datos del servomotor.Si este se alimenta con 5 voltios en sus terminales fijos(a y b), producira un voltaje en su terminal movil (c)equivalente a su posicion. Podemos decir entonces quecuando produce 0 voltios esta en la posicion equivalentea 0 grados, 1.25 voltios correspondera a 90 grados, 2.5voltios a 180 grados, etc.

La senal de referencia, r(t), corresponde a la posiciondeseada. Es decir, si queremos que el motor alcance laposicin 180 grados debemos colocar una referencia de 2.5voltios, si queremos 270 grados colocamos referencia de3.75 voltios, etc.

La senal de error, e, corresponde a la diferencia en-tre la senal de referencia y la senal de salida. Por ejemplo,si queremos que el motor alcance la posicion de 90grados colocamos una senal de referencia de 1.25 voltiosy esperamos donde se ubica exactamente. Si se posicionaen 67.5 grados el potenciometro entregara una senal desalida de 0.9375 voltios y la seal de error, e, sera de 0.3125

voltios (22.5 grados) en el caso de la direccion no es muyimportante el numero de grados que giremos, aquı loimportante es que la direccion gire en torno a la lıneanegra que se encuentra en frente gracias a la ayuda de 3sensores CNY70.

La senal de control, u(t), corresponde al voltaje pro-ducido por el controlador para disminuir o anular el error.Si la senal de error es positiva indica que la referencia esmayor que la salida real, entonces el controlador coloca unvoltaje positivo al motor para que continue girando hastaminimizar o anular el error. Si por el contrario la senalde error resulta negativa indica que la salida sobrepaso lareferencia entonces el controlador debe poner un voltajenegativo para que el motor gire en sentido contrario hastaminimizar o anular el error.

Descripcion La figura ilustra el esquema en diagramade bloques de manera muy general de nuestro sistema

Fig. 1. Diagrama de Bloques del sistema

III. Estudio del Prototipo

La figura No. 2 muestra el sistema de posicion al cual sele implementara el controlador y consta, basicamente, deun motor de corriente directa (cd) de iman permanente,el cual se le ha acoplado en el eje del robot seguidor delınea negra.

Este motor de corriente contınua es controlado me-diante un driver L293B desde el microprocesador 16f887

A. Elementos

- Un servomotor de 3,6 9 o 12 voltios que no consumamas de 1 amperio con el potenciometro acoplado. Losmotores de cd de iman permanente comerciales nor-malmente no giran a la misma velocidad en sentidodextrogiro que en sentido levogiro por lo que el con-trolador no tendra la misma respuesta en ambos sen-tidos

- Un motor de corriente contınua de imanes perma-nentes pequeno

- Estructura en forma de auto.- Fuente de energıa, en nuestro caso usamos pilas re-cargables en serie.

- Resistores, Diodos de proteccion, protoboard, placadiseada y construıda, 3 sensores CNY70, driverL293B.

ROBOT SEGUIDOR DE LINEA MEDIANTE CONTROLADORES PID 3

Fig. 2. Sistema de traccion.

B. Estudio de los elementos constitutivos

Antes de iniciar con el diseno de un controlador es nece-sario que el ingeniero conozca muy bien la dinamica delproceso a controlar. A continuacion haremos un estudiode los componentes del sistema.

C. Servo motor

Un Servo es un dispositivo pequeno que tiene un ejede rendimiento controlado. Este puede ser llevado a posi-ciones angulares especıficas al enviar una senal codificada.Con tal de que una senal codificada exista en la lınea deentrada, el servo mantendra la posicion angular del en-granaje. Cuando la senala codificada cambia, la posicionangular de los pinones cambia.

Fig. 3. Servo motor

Fig. 4. posicion del servomotor

D. Motor de corriente continua

El motor de corriente continua que va acoplado al ejedel robot seguidor de lınea, es controlado mediante un sis-

Fig. 5. Caracterısticas del motor

tema PID de la misma manera que en el servomotor de ladireccion, con la diferencia que a el motor de continua selo regula la velocidad mediante el driver L293B desde elpic, reduciendo o aumentando el ancho de pulso (PWM)que se encuentra entre el intervalo de 110 para la mınimavelocidad y 150 para la maxima velocidad. Ademas estemotor tiene la caracterıstica de linealidad, quiere decir quemientras aumentamos el voltaje, aumenta la velocidad delmismo, similar a la mostrada en la figura 6.

Fig. 6. Curva Caracterıstica lineal del motor dc

E. Acople con los sensores

Los 3 sensores CNY70 que estan colocados en la partefrontal del motor nos dan variaciones de 0 a 5 voltios de-pendiendo si la luz emitida por los mismos de reflecta satu-rando al fototransistor o no, tenemos una configuracion conresistencias para obtener la saturacion del mismo, la seal

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que proviene del mismo entra al ADC del pic discretizandodichos valores para que, segun la curva que se avecine sesature uno de los sensores y el valor del error del PID cam-bie el servomotor va a girar para una u otra direccion, asımismo controlando la traccion.

IV. MODELO MATEMATICO

Para obtener un buen modelo matematico empleandotecnicas de identificacion, se debe alimentar el sistemacon una senal de entrada de frecuencia variable que loexcite en todo su ancho de banda y, posteriormente,con la ayuda de herramientas computacionales (por ej.:System Identification Toolbox de MATLAB), se procesanlas senales entrada y salida hasta obtener el modelo querepresente en mejor forma la dinamica del sistema.

Sin embargo, no siempre el interesado dispone delas herramientas computacionales ni de tarjetas deadquisicion de datos indispensable para la toma de lasvariables de entrada y salida, por lo que recurriremos aformas manuales no muy precisas pero validas para lograrun modelo aceptable.

La funcion de transferencia de un sistema se definecomo la relacion entre la salida y la entrada del sistemaen el dominio de Laplace asumiendo condiciones inicialesnulas. Basandonos en la definicion de la funcion detransferencia, aplicaremos una senal escalon al sistema,graficaremos la salida, hallaremos las ecuaciones de cadavariable en el dominio del tiempo, las llevamos al dominiode Laplace, y la relacion salida-entrada sera el modelomatematico del mismo.

A. MODELACION FENOMENOLOGICA MOTOR DECC

Considerando el modelo circuital (lineal) del motor deC.C. (figura 7) es facil obtener las siguientes expresionesen el dominio de Laplace [1], que representan el compor-tamiento electrico del motor:

Va = (Ra + sLa)Ia +E (1.1)

E = G(If ∗W ) (1.2)

Dado que el motor excitacion independiente.If = cte. porlo que (1.2) se puede escribir como

E =K ∗w (1.3)

Despejando la corriente de armadura al combinar (1.3)y (1.1) resulta que:

Ia = (Va−K∗w)Ra+s∗La

(1.4)

En las condiciones de excitacion de la maquina de corrientecontınuo. El torque que genera el motor es

Te =G ∗ Ia ∗ If (1.5)

Fig. 7. Modelo circuital motor cc

Te =K ∗ If (1.6)

Por otro lado, al utilizar la segunda ley de Newton

Tn = J ∗ dwdt (1.6)

Donde Tn representa el torque mecanico neto en el ejedel motor y J corresponde al momento de inercia del ejedel motor y su carga. El torque mecanico neto se relacionacon el torque electrico de la siguiente manera:

Tn = Te− b ∗w (1.8)

De (1.7) y (1.8) se tiene que:

Te = Jdwdt+b∗w (1.9)

Al calcular la transferencia de Lapace de (1.9) e igualarlacon (1.6) se obtiene:

K∗(Va−K∗wRa+sLa

= (J ∗ s+ b) ∗w (1.10)

Reacomodando terminos:

(J ∗ s+ b)(Ra + sLa−K2)w =K ∗Va

De (1.11) la funcion de trasferencia H(S) = w(s)Va

es

H(S) = K(Ra+sLa)(J∗s+b+K2 (1.12)

B. MEDICION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMET-ROS DEL MOTOR

Primero se midieron las resistencias de armadura y decampo del motor. Estas presentaron variaciones dependi-endo del angulo del rotor (efecto de las escobillas y delgas),por lo que se realizaron varias mediciones de estas. En laTabla 1 se presentan las mediciones.

Fig. 8. Tabla 1. Mediciones de las resistencias del Motor

De la misma forma se midieron las inductancias decampo y de armadura. Las mediciones de inductancia se


presentan en la Tabla 2.

Fig. 9. Tabla 2. Mediciones de las inductancias del Motor

El siguiente paso fue determinar la constante G. Paraesto se midio experimentalmente la constante K, La cor-riente de campo se mantuvo constante If = 0.34[A]. Paradeterminar K utilizaremos el hecho de que en regimenpermanente

Va =Ra ∗ Ia +E (1.13)

o bien:

K = (Va−RaIa)/w (1.14)

En la Tabla 3 se presentan las mediciones realizadas paradeterminar K.

Fig. 10. Tabla 3. Mediciones para determinar las constantes K y Gdel Motor

Las constantes mecanicas no pueden ser medidasdirectamente. No obstante se estimaron de forma ex-perimental. Se estimo la constante de tiempo mecanica,τm = J/b como un tercio del tiempo que transcurrıa entredesconectar la alimentacion el motor y su detencion.El experimento se realizo 10 veces. La constante detiempo mecanica obtenida fue τm = 3[s]. Notar que elexperimento se realizo para 10 velocidades iniciales (antesde desconectar la energıa) distintas y que el resultadono cambio en mas de un 1%. Por ultimo se calculoel momento de inercia del rotor mediante integracionnumerica en MATLAB (despreciando la masa de losenrollados c/r al eje). Se determino que el momento deinercia es J = 7.7463 ∗ 10exp(−4)[Kgm].

Con esto el valor del coeficiente de friccion b esb = 2.5821 ∗ 10exp(−4)[N ∗m ∗ s] Con estos parametrosmedidos o estimados en forma experimental, y aplicandoun factor de escala, debido a lo simple que resulta trabajarcon las entradas y salidas del modelo en el rango de 0 a10 debido a la implementacion en Simulink y Opto22, lafuncion de transferencia (1.12) es:

H1(s) = 79.2s2+231.9s+86.6 (1.15)

En la Figura 11 se muestra el comportamiento del motory su prediccion a un paso con el modelo fenomenologicolineal.

C. ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MO-TOR BASADA EN INFORMACION DE ENTRADASALIDA

En esta seccion se describira el procedimiento utilizadopara estimar los parametros del modelo a partir deinformacion de entrada / salida del motor. Este enfoque,conocido en la literatura de identificacion de sistemascomo caja gris [2], permite mezclar el conocimientofenomenologico con la informacion disponible en medi-ciones experimentales.

Para estos efectos se excito el motor con ruido blancouniforme en el rango de 0 a 10 [V] y de un periodo 10[s]. Para estimar los parametros se tomaron 4000 datos(2000 para identificaron y 2000 para validacion) con unperiodo de muestreo de 330 [ms], utilizando la estructuradel modelo fenomenologico (segundo orden). El modeloidentificado en esta forma resulto:1

Fig. 11. Prediccion a un paso modelo fenomenologico

H1(s) = 0.0282z2−1.587z+0.615 (1.16)

utilizando anti-transformada Z y considerando que losdatos fueron muestreados con un retenedor de orden cero,la version continua de (1.16) es :

H2(s) = 0.397s2−1.62s+0.395 (1.17)

1 Se utilizo mınimos cuadrados para estimar los parametros delmodelo [3]

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Fig. 12. Prediccion a 1 paso modelo caja gris

D. IDENTIFICACION DEL MOTOR

En la modelacion del motor se desprecio la dinamica desensores y actuadores. Si bien las constantes de tiempode estos son bastante pequenas, vale la pena incluir estosefectos en el modelo del motor. Dada la gran dificultad demodelar analıticamente la respuesta del sensor de veloci-dad y del puente H (chopper) que alimenta la armaduradel motor se opto por hacer un modelo caja negra delconjunto, es decir un modelo de entrada y salida en el cualse debe seleccionar la estructura y los parametros de este.

Para generar el modelo se utilizaron los mismos 4000datos que fueron utilizados en la estimacion de (1.16).A diferencia del caso anterior el problema ahora consisteen determinar no solo los parametros del modelo, sinoque tambien su estructura, es decir, que regresores yautoregresores son considerados en el modelo. Este tipode modelo recibe el nombre de modelo caja negra [4]. Paraesto se consideraron modelos del tipo ARX. Se generarontodos los modelos ARX con un denominador de ordenentre 1 y 8, numerador de orden entre 0 y 5 y retardopuro entre 0 a 5 periodos, y se calculan sus parametroscon los primeros 2000 datos (conjunto de entrenamiento).Posterior mente se evalua el error cuadratico medionormalizado NSSE de cada modelo en los ultimos 2000datos (conjunto de validacion) y se escoge aquel que tengael menor NSSE.

El resultado de este procedimiento fue el siguientemodelo:

H3(s) = (0.027Z3+0.063Z2−0.046Z−0.006)(Z3−1.13Z2−0.131Z+0.205) (1.18)

En la Figura 4 se aprecia el desempeno del modeloobtenido mediante este enfoque.

E. COMPARACIONES DE LOS MODELOSOBTENIDOS

Podemos ver que el desempeno de los modelos es sim-ilar. No obstante podemos ver que los modelos cuyosparametros fueron estimados resultaron mas certeros. Enla siguiente tabla se presenta el error NSSE de los modelos.

Fig. 13. Prediccion a 1 paso del mejor modelo ARX

Fig. 14. Prediccion a 1paso de los Modelos

V. Diseno del controlador

Un controlador PID dispone de un componente pro-porcional (Kp), un componente integrativo (Ti) y uncomponente derivativo (Td), de tal manera que produce


Fig. 15. Simulacion de la planta en MATLAB

una senal de control igual a

Donde la accion integrativa del controlador tiene sumayor efecto sobre la respuesta estacionaria del sistema(tratando de minimizar el valor de ess) y la accion deriva-tiva tiene su mayor efecto sobre la parte transitoria de larespuesta. De la informacion obtenida de la ubicacion delos polos y ceros del sistema y del Lugar de las Raıces delmismo podemos concluir:Por ser un sistema tipo 1, que equivale a decir que el mod-elo matematico del sistema incluye un integrador, el erroren estado estacionario ante una senal escalon sera nulo porlo que no necesitara la parte integrativa del controlador.Esta conclusion se tomara como un punto de partida enel diseno del controlador ya que se menciono que en lapractica este error no sera completamente nulo.

El Lugar de las Raıces nos muestra que con solo un con-trolador proporcional nosotros podemos variar la rapidezde la respuesta del sistema, por lo cual la parte deriva-tiva tampoco sera indispensable. Podemos entonces decirque con un controlador proporcional sera suficiente paraobtener la respuesta deseada en el sistema controlado, porlo que procederemos inicialmente a la implementacion delmismo.

A. Implementacion del controlador

Iniciaremos con la implementacin de un controlador pro-porcional anlogo para lo cual nos guiaremos del diagramade bloques mostrado en la figura 16.

VI. CONTROL PID DISCRETO

El control PID aglutina las acciones de control pro-porcional, integral y derivativa, es por ello que ofrecemayor libertad de diseno del controlador. La funcion detransferencia del control proporcional-integral-derivativoes:

G(PID)(Z) =Kp +KiT2Z+1Z−1 +Kd

Z−1Tz

Fig. 16. Diagrama de bloques del sistema de posicion en lazo cerradocon PID

Operando sobre la ecuacion se obtiene la siguiente ex-presion:

G(PID)(Z) =

KiT2+2KpT+2Kd

2T

Z2+KiT

2−2KpT4KdKiT

2+2KpT+2KdZ+

2KdKiT

2+2KpT+2Kd

Z(Z−1) (1.18)

VII. SINTONIZACION DE CONTROLADORMEDIANTE ZIEGLER-NICHOLS

En lazo abierto, muchos procesos pueden definirse segunla siguiente funcion de transferencia:

G(s) = K0e∗exp(−sto)1+γos

(1.19)

Donde los coeficientes K0, τ0 y γ0 se obtienende la respuesta del sistema en lazo abierto a una en-trada escalon. Se parte del sistema estabilizado en y(t) =y0 para u(t) = u0. Se aplica una entrada escalon deu0 a u1 (el salto debe estar entre un 10% y un 20% del valornominal) y se registra la respuesta de la salida hasta que seestabilice en el nuevo punto de operacion. Los parametrosse pueden obtener de la respuesta mostrada en la Figura18:

τ0 = t1 − t0 (1.20)

γ0 = t2 − t1 (1.21)

K0 = y1−y0u1−u0

(1.22)

VIII. OBTENCION DE LOS COEFICIENTESDEL PID

Segun Ziegler-Nichols, la relacion de estos coeficientescon los parametros del controlador son:

Kp = 1.2 γ0k1τ0

(1.23)

Ti = 2τ0 (1.24)

Ti = 0.5τ0 (1.25)

IX. CONTROLADOR PID

La funcion de transferencia para el controlador PID dig-ital se convierte en

U(z) =Kp[1 + TTi1−zexp(−1) +Td

1−zexp(−1)T ] (1.26)

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Fig. 17. Respuesta de salida ante una entrada escalon.

La funcion de transferencia discreta (1.25), tambienpuede ser representada como:

U(Z)E(Z) = a+ b

1−zexp(−1) + c(1− zexp(−1) (1.27)

Donde:

a=Kp b=KpTTi

c=KpTd

T (1.28)

Existen distintas posibilidades de la realizacion practicade un controlador PID, una de las mas habituales es larealizacion en paralelo:

Fig. 18. Diseno paralelo de controlador PID..

Los parametros Kp, Ti y Td se calculan segun la Reglade Sintonizacion de Ziegler- Nichols basada en la respuestaal escalon

Kp = 1.2 γ0k1τ0

= 0.1195 (1.29)

Ti = 2τ0 = 2 (1.30)

Ti = 0.5τ0 = 0.5 (1.31)

Reemplazando los valores de Kp, Ti y Td en las ecua-ciones dadas , y estableciendo un periodo de muestreoT=0.1s segun criterio T < Tau0/4 , los parametros delcontrolador discreto son:

a=Kp = 0.1195 (1.33)

b=KpTTi

= 0.0062 (1.34)

c=KpTd

T = 0.6215 (1.35)

De los valores obtenidos. Aplicando la trasformada Ztenemos

G(PID)(s) = 0.1195+0.002s+0.6215s (1.36)

Utilizando Matlab encontramos la funcion de trasferen-cia en tiempo discreto Funcion de Trasferencia de la planta

G(Z) = 0.017536(Z−0.9872)(Z2−1.885Z+0.8911))((Z2−2.001Z+1.001)(Z2+1.899Z+0.9121)) (1.37)

Funcion de Trasferencia del controlador PID

G(PID)(s) = 0.1195+0.002s+0.6215s (1.38)

Referencia 5 voltios

R(Z) = 5 (1.39)

Funcion de Trasferencia total

GT = GP ID∗G(Z)(1+R(Z)∗GP ID∗G(Z)) (1.40)

GT (Z) =0.013003(Z−0.9872)(Z−0.98186)(Z−0.851965)(Z2−1.885Z+08911))((Z−0.9988)(Z+0.0718)(Z+0.4667)(Z+1.4255)(Z2−2.002Z+1.002))

Reemplazando para aplicar la transformada bilineal.Z = (1 +w)/(1−w)

GT (w) =(0.013(w−1)(w+0.00644)(w+0.0091)(w+0.0799)(w2−0.05767w+0.0016))(w−5.70)(w+0.00058)(w+1.155)(w+2.75)(w2−0.0011w+7.65∗10(−7)))

MATLAB Obteniendo la funcion de Trasferencia totalcon el controlador PID

Fig. 19. Herramienta de Matlab para la obtencion de la funcion detransferencia total.

VALORESAmplitud 0.73Error=1-0.73 =0.27Tiempo de estabilizacin 14seg

VALORES


Fig. 20. Muestreo T=0.1 Sin compensador PID.

Fig. 21. Respuesta del sistema.

Fig. 22. Controlador PID.

Fig. 23. Controlador PID.

Fig. 24. Respuesta del sistema con el controlador PID.

Amplitud 1.2Error=1-1.2 =0.2Tiempo de estabilizacion 0.7seg

X. ESTABILIDAD DEL SISTEMA

De la funcion de transferencia ya calculada anterior-mente.

GT (w) =(0.013(w−1)(w+0.00644)(w+0.0091)(w+0.0799)(w2−0.05767w+0.0016))(w−5.70)(w+0.00058)(w+1.155)(w+2.75)(w2−0.0011w+7.65∗10(−7)))

Tomando el denominadorw6 − 1.796w5 − 19.0844 − 18.09w3 + 0.00879w2 −

0.000003w− 8.18 ∗ 10exp(−9)

Coeficientes =

[1−1.796−19.08−18.090.00879−0.000003−8.18∗10(−9)]

Analizando mediante el metodo de ROUTH HURWITZ

Fig. 25. Respuesta del sistema con el controlador PID.

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Fig. 26. Uso de la funcion sisotool en Matlab para mejorar la re-spuesta del sistema.

1− 19.080.00879− 8.18 ∗ 10( − 9)−1.796− 18.09− 0.000003−29.15− 19.08− 8.18 ∗ 10( − 9)−16.91− 0.000003−19.08− 8.18 ∗ 10( − 9)−0.000003−8.18 ∗ 10exp(−9)

Existe un cambio de signo en la columna izquierda delarreglo, de manera que hay un polo en el SPD.Se detecta que para esa sintonıa el PID pone un polo delazo abierto en 1, que al cerrar el lazo con cualquier ganan-cia positiva, sale fuera del circulo unitario inestabilizandoel sistema. La solucion es cambiar la sintonıa del con-trolador hay 5 polos dentro del cırculo unitario del planocomplejo y uno fuera .Una posibilidad es hacer que ese polo cancele aproximada-mente el cero en 0.62, haciendo que el sistema sea establepara un dado rango de ganancias. Para ello hay que modi-ficar el denominador del compensador, manteniendo el poloen z=1 (integrador en z) y el otro en-0.625. Posteriormentese coloca el compensador (el numerador no fue modificado)en cascada y se grafica el lugar de races:

XI. LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

XII. COMPARACION DE LOS SISTEMAS

Constantes para el sistema de direccion ControladorC = 0.000824w+5.7829/w +0.34408Kp=40Ki=10Kd=1

Constantes para el sistema de traccionKp=15Ki=10Kd=1

Fig. 27. Grafica del lugar geometrico.

Fig. 28. Comparacion de los sistemas antes y despues de implemen-tar el compensador.

XIII. ESTABILIDAD RELATIVA

La estabilidad relativa es una medida cuantitativa de larapidez con que la respuesta transitoria del sistema tiendea cero. Cuanto menor sea el tiempo en estabilizarse larespuesta, el sistema es relativamente mas estable.Se puede utilizar el criterio de Routh para comprobar sitodas las raıces estan a la izquierda de un valors = σ porlo tanto se hace un cambio de variable u= s+σ donde σ esla raız mas cercana al origen para trasladar el plano s delorigen hasta σy aplicar el criterio de Routh para la nuevavariable

Fig. 29. Estabilidad Relativa.

H3(s) = (0.58s3+7.43s2+46.72s+49.17)(s4+9.09s3+135.8s2+184.1s+49.02)

GP ID(s) = 0.1195 + 0.002/s+ 0.6215s

Remplazando s por σ− 0.1

σ5 + 6.59σ4 + 120.12σ3 + 992.69σ2 − 1037.36σ+ 255.052

Obteniendo los coeficientes

Coeficientes= [18.59132.261143.8− 183.746.80]

1 132.26 -183.74


8.59 1143.8 6.80-0.895 -84.53297.588 6.80

-84.55

XIV. IMPLEMENTACION DEL PID EN ELMICROCONTROLADOR

A. Funcionamiento

Nuestro sistema de PID se basa en la compensacion delerror que es la diferencia entre la senal de entrada que es lade control y la senal de salida que es la del sensor, la plantaconsta de 2 sistemas de controladores PID, el uno progra-mado para el servomotor de la direccion del robot y el otropara la traccion del mismo, en cual usamos interrupcionespara el TIMER0 en mikroc para activar los moduladoresde ancho de pulso (PWM1 y PWM2), en cada curva, elsistema de PID se sincroniza comparando la respuesta delprimer PWM si se pasa de cierto valor igualamos el se-gundo PWM para frenar el robot y de la misma manerapara acelerarlo en una lınea recta.

Fig. 30. SIMULACION DEL SISTEMA

Fig. 31. PID Y DEL SISTEMA

XV. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS

- Con la ayuda de Matlab pudimos observar la conver-gencia del sistema.

- Con el control PID logramos realizar una estabi-lizacion rapida, ya sea en el simulador y tambien enla practica.

- Sincronizamos dos PID para la traccion y direcciondel robot aumentando la respuesta del mismo.

- Obtuvimos la funcion de transferencia del sistema conlos parametros del datasheet del motor mas el PID yel resto de componentes del sistema.

Fig. 32. Diseno del PCB


- El control PID esta implementado en el microcontro-lador con senales de referencias digitales.

- El sistema tiene raices positivas lo cual nos indica quese trata de un sistema inestable.

- El tiempo de estabilizacion es proximo a cero es decirmuy bueno.

- El controlador PID mejor mucho la repuesta del sis-tema.

- El sistema es similar a los frenos ABS en los vehıculos.- El coeficiente Ki debe ser pequeno para evitar vibra-ciones del servo motor.

- Usamos sisotool para mejorar la respuesta al sistema.- Utilizamos un muestreo alto.- El sistema mejora notablemente el PID.

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References

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[7] Chen,Chi-Tsong (1993). Analog and Digital. Control System De-sign. Saunders College Publishing. Hartcourt Brace JovanovichCollege Publishers.

Fig. 35. Ubicacion de los componentes



Fig. 37. Ubicacion de los componentes

Fig. 38. Implementacion del prototipo



Robot Seguidor de LÍnea mediante controladores PID

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