Rješavanje jednadžbi 4

Rješavanje jednadžbi4

Jednadžbe sa zagradama

Da bismo uspješno rješavali jednadžbe sa zagradama, trebamo znati kako se riješiti zagrada (ako se izraz u zagradi ne može izračunati odnosno reducirati).

Prisjetimo se kako se rješavamo zagrada:

sve iz zagrade samo prepišemo.

Ako je ispred zagrade znak + , tada

svim pribrojnicima iz zagradeAko je ispred zagrade znak - , tada promijenimo predznake.

broj ispred zagrade množimoAko je ispred zagrade znak · , tada sa svakim pribrojnikom u zagradi.

Pri tom se znakovi + , - i · (koji se nalaze ispred zagrade), ne prepisuju, oni nam samo govore što radimo sa sadržajem zagrade.

Prisjetimo se toga i kroz zadatke...

Zadaci: Riješi se zagrada:

a) + (-9x + 4) =

Ispred zagrade je +, pa samo prepišemo sve iz zagrade...

-9x + 4

b) - ( -2y + 5 ) =

Ispred zagrade je znak -, pa mijenjamo predznake svim pribrojnicima u zagradi...

2y

c) -7 · ( -3a + 9 ) =

Ispred zagrade je znak ·, pa broj ispred zagrade tj. broj -7 množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi.

21a

Računamo -7 · (-3a) . To je...

Računamo -7 · 9 . To je...

- 63

- 5

Zadaci: Riješi se zagrada:

a) + (-9x + 4) =

Ispred zagrade je +, pa samo prepišemo sve iz zagrade...

-9x + 4

b) - ( -2y + 5 ) =

Ispred zagrade je znak -, pa mijenjamo predznake svim pribrojnicima u zagradi...

2y - 5

c) -7 · ( -3a + 9 ) = 21a - 63

d) 8 ( -6b + 9 ) =

Između broja 8 i zagrade ništa ne piše!Sjećaš li se što se u tom slučaju podrazumijeva između njih?

+ 72

Podrazumijeva se množenje, tj. simbol · !Stoga broj 8 množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi...

-48b

Ako si to zaboravio, ponovo pogledaj prezentaciju "Jednostavni algebarski izrazi - Uvod u rješavanje jednadžbi".

Jednadžbe sa zagradama

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

Imaš li ideju kako riješiti ovu jednadžbu?

Vjerujem da imaš. Prvo ćemo se riješiti zagrada, a nakon toga jednadžbu nastaviti rješavati po starom.

Pri rješavanju zagrada, ostalo ćemo redom prepisivati. Da bismo dobro uočili što se prepisuje, prije samog prepisivanja pažljivo uočimo koji se simbol nalazi ispred koje zagrade i sjetimo se što nam on govori! Krenimo redom...

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

Uočimo prvu zagradu! Koji je simbol ispred nje? Što nam on govori?Ispred prve zagrade je znak množenja, · .On nam govori da broj ispred zagrade pomnožimo sa svakim pribrojnikom u zagradi.

Sad pažljivo uoči koji broj treba pomnožiti sa svakim u toj zagradi!

-2

Stoga ćemo prepisati sve prije broja -2 , tj. samo broj 3 !(Dakle, minus koji se nalazi iza broja 3 ne prepisujemo!)

3

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

Sad -2 pomnožimo sa svakim pribrojnikom u zagradi...

+ 6x + 8 =3

Sad uočimo koji je simbol ispred druge zagrade? Što nam on govori?Ispred druge zagrade je znak - .On nam govori da svim pribrojnicima u zagradi promijenimo predznake.

Učinimo to...

2 - 5x

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

+ 6x + 8 =3

Što ćemo sa brojem -2 iza zagrade?

Naravno, prepisat ćemo ga...

- 22 - 5x

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

+ 6x + 8 =3

Što ćemo sad?

- 22 - 5x

Jednadžbu nastavljamo rješavati po starom.Prvo sve nepoznanice trebamo prebaciti na lijevu stranu. Podvucimo ih!6x je bio na lijevoj strani i ostaje tu, pa ga samo prepišemo...

6x

-5x je bio na desnoj strani a sad prelazi na lijevu, pa mu trebamo promijeniti predznak. Dakle, sad će biti +5x .

+ 5x

Nemamo više nepoznanica, pa sad napišemo znak jednakosti...

=

Sad poznanice (tj. nepodcrtane članove) prebacujemo na desnu stranu.

2 i -2 već jesu na desnoj strani (i na njoj ostaju), pa ih samo prepišemo...

2 - 2

3 i 8 su bili na lijevoj strani, a sad ih selimo na desnu, pa im mijenjamo predznake...

- 3 - 8

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

+ 6x + 8 =3

Što sad?

- 22 - 5x

6x + 5x = 2 - 2 - 3

Zbrojimo nepoznanice na lijevoj strani...

11x

- 8

=

Zbrojimo poznanice na desnoj strani...

- 11

Primjeri: Riješi jednadžbe:

a) 3 - 2 · ( -3x - 4 ) = - ( -2 + 5x ) - 2

+ 6x + 8 =3 - 22 - 5x

6x + 5x = 2 - 2 - 3

11x

- 8

/ :11

x = -1

= - 11

Kako bismo provjerili je li rješenje točno?

Uvrstimo rješenje -1 u lijevu stranu jednadžbe:

3 - 2 · ( -3·(-1) - 4 ) =

= 3 - 2 · ( 3 - 4 ) =

= 3 - 2 · (-1) =

= 3 + 2 = 5

Sad uvrstimo rješenje -1 u desnu stranu jednadžbe:

- ( -2 + 5 ·(-1) ) - 2 =

= - ( -2

= - ( -7 ) - 2 =

= 7 - 2 = 5

Rezultati su isti, a to nam govori da smo jednadžbu točno riješili.

- 5 ) - 2 =

Primjeri: Riješi jednadžbe:

b) 4 - x + ( -2x + 3 ) = 4 - ( x + 5 )

Što ćemo ovdje prvo učiniti?

Naravno, opet ćemo se prvo riješiti zagrada.

Opet pažljivo uočimo koji se simbol nalazi ispred prve zagrade i što nam on govori!

Ispred prve zagrade je + . On nam govori da sve iz te zagrade samo prepišemo.Pri tom se taj + koji je ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori kako se rješavamo zagrade)!Dakle, prepišimo sve do tog plusa...

4 - x

Sad se riješimo prve zagrade. Kao što smo već rekli, sve iz nje samo prepišemo (a + koji je ispred nje ne prepisujemo)...

-2x + 3 =

Primjeri: Riješi jednadžbe:

b) 4 - x + ( -2x + 3 ) = 4 - ( x + 5 )

Sad pogledajmo što je ispred druge zagrade! Kako ćemo se nje riješiti?

4 - x

Ispred druge zagrade je - . On nam govori da svim pribrojnicima iz te zagrade promijenimo predznake.Pri tom se taj - koji je ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori kako se rješavamo zagrade)!Dakle, prepišimo sve do tog minusa...

4

Sad se riješimo i te zagrade. Kao što smo već rekli, svim pribrojnicima iz nje promijenimo predznake (a - koji je ispred nje ne prepisujemo)...

- x - 5-2x + 3 =

Primjeri: Riješi jednadžbe:

b) 4 - x + ( -2x + 3 ) = 4 - ( x + 5 )

Što sad?

4 - x 4 - x - 5-2x + 3 =

Podvucimo nepoznanice i prebacimo ih na lijevu stranu...

- x - 2x + x =

Sad poznanice prebacujemo na desnu stranu...

4 - 5 - 4 - 3

Primjeri: Riješi jednadžbe:

b) 4 - x + ( -2x + 3 ) = 4 - ( x + 5 )

4 - x 4 - x - 5-2x + 3 =

- x - 2x + x = 4 - 5 - 4 - 3

Što sad?

- 2x = -8

Primjeri: Riješi jednadžbe:

b) 4 - x + ( -2x + 3 ) = 4 - ( x + 5 )

4 - x 4 - x - 5-2x + 3 =

- x - 2x + x = 4 - 5 - 4 - 3

- 2x = -8 / :(-2)

x = 4

Primjeri: Riješi jednadžbe:

c) - ( -10 + m ) = -3 -4 ( -2m + 2 )

Naravno, opet se prvo rješavamo zagrada.

Što je ispred prve zagrade? Kako ćemo je se riješiti?

Ispred prve zagrade je - , pa svim pribrojnicima u zagradi mijenjamo predznake.

10 - m =

Kako ćemo se riješiti druge zagrade? Što na desnoj strani prepisujemo?Ispred druge zagrade se podrazumijeva · , pa broj -4 množimo sa svakim u zagradi. Sve prije broja -4 prepišimo...

-3 + 8m

- 8

Primjeri: Riješi jednadžbe:

c) - ( -10 + m ) = -3 -4 ( -2m + 2 )

10 - m = -3 + 8m

- 8

Podvucimo nepoznanice i prebacimo ih na lijevu stranu...

- m - 8m = - 10-3 - 8

... a poznanice na desnu...

Primjeri: Riješi jednadžbe:

c) - ( -10 + m ) = -3 -4 ( -2m + 2 )

10 - m = -3 + 8m

- 8

- m - 8m = - 10-3 - 8

Zbrojimo na lijevoj strani nepoznanice, a na desnoj poznanice...

- 9m = -21

Primjeri: Riješi jednadžbe:

c) - ( -10 + m ) = -3 -4 ( -2m + 2 )

10 - m = -3 + 8m

- 8

- m - 8m = - 10-3 - 8

- 9m = -21 / :(-9)

21

9__m =

3

9__2

1

3

__13

2

m

=

m

=

Time smo došli do kraja prezentacije. Naučili smo kako rješavati jednadžbe u kojima se pojavljuju zagrade.Ako ti nešto nije jasno, vrati se na primjere iz prezentacije i ponovo ih prouči. Ako si sve shvatio, uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih!

Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio.Sretno! 1.) Riješi jednadžbe:

a) 10 · (2y - 3) = 15yb) x - 3 · (-x - 2) = 2x c) 3 + (10 - 7a) = 2 + 3(a - 1)d) -2 (b - 1) = -(10 - b + 2b)e) 4 + 2 · (-c + 3) = -5f) 2 (d - 3) = - (-2 + 3d)g) 5 - 4 (-x - 3x) = 7 (2x - 1)h) -5 - 3 (6 - 3x) = + (-21 + 6x)

Rješenja:

a) y = 6b) x = -3

c) a =

d) b = 12

e) c =

f) d =

g) x = -6

h) x =

125

712

135

23

Autorica prezentacije:Autorica prezentacije:

Antonija Antonija HorvatekHorvatek

lipanj 2008.lipanj 2008.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija [email protected]://public.carnet.hr/~ahorvate