RIGE

Revue Internationale de Génie Electrique. Volume

Diagnostic de la machine asynchrone paridentification paramétrique

Modélisation et détection des défauts stator et rotor

Smaïl Bachir*,** Slim Tnani* Jean-Claude Trigeassou*

Gérard Champenois* Jacques Saint-Michel**

* Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle, LAII de PoitiersEcole Supérieure d’Ingénieurs de Poitiers, ESIP de Poitiers40 avenue du Recteur Pineau, 86022 Poitiers(Pré[email protected])** Moteurs LEROY-SOMER, Direction scientifiqueDirection de recherche Scientifique, 16015 Angoulème cedex

RESUME. Les auteurs proposent une nouvelle méthode de diagnostic des défauts stator et rotordes machines asynchrones à cage. Cette technique est basée sur l’identification paramétriquedu modèle électrique de la machine. Exprimé dans le repère diphasé de Park, un modèleoriginal de la machine asynchrone en défaut de court-circuit de spires statoriques et derupture de barres rotoriques est présenté. La procédure de diagnostic, appliquée surl’ensemble des modèles de défaut proposés, a été validée expérimentalement.

ABSTRACT. The authors propose a new diagnosis method for simultaneous stator and rotorfaults in induction motors. This method is based on parameter estimation of the new Park’smodels, developed to take into account inter turn short-circuit of stator winding and brokenrotor bars. A diagnosis procedure has been validated on real faulty experiments.

MOTS-CLES : Diagnostic, identification paramétrique, modélisation., machine asynchrone.

KEY WORDS : Diagnosis, parameter estimation, modelling, induction motor.

2 Revue Internationale du Génie Electrique

1. Introduction

Utilisée dans la plupart des entraînements mécaniques, la machine asynchronetend à supplanter la machine à courant continu ainsi que la machine synchrone enraison de ses nombreuses qualités, et principalement de son faible coût et de sarobustesse.

Compte tenu d’enjeux économiques forts, une réflexion générale à été engagéeen matière de sûreté de fonctionnement orientée vers le diagnostic de la machineasynchrone avec pour but de la superviser [COI 97, MOR 99, SCH 99, KER 97] afinde détecter les prémices d’une défaillance. Ce travail s’inscrit donc, dans le cadred’une action incitative multidisciplinaire1 autour du projet « Diagnostic de lamachine asynchrone » réunissant plusieurs laboratoires de recherche en France.

L’intérêt grandissant des industriels pour la maintenance des entraînementsélectriques justifie l’accent mis par la recherche sur le diagnostic des machinesasynchrones, notamment en vitesse variable. Les signaux étant fortement nonstationnaires, les approches classiques fondées sur l’analyse de Fourier des courantsde lignes [ABE 99, INN 94, FIL 94], des tensions statoriques et du coupleélectromagnétique [MAK 97, MAL 99] s’avèrent mal adaptées.

Un effort considérable a été entrepris cette dernière décennie en identificationparamétrique des modèles continus [TRI 88, MOR 99]. Ainsi, la mise au pointd’algorithmes dédiés à l’estimation réaliste [MOR 99, TRI 99-1] des paramètresphysiques, en tenant compte de la connaissance a priori de la machine, a permis uneavancée prometteuse du diagnostic de la machine asynchrone par identificationparamétrique. L’approche paramétrique permet, en plus de l’estimation desparamètres électriques de la machine en ligne et hors ligne, la distinction entre unfonctionnement sain et un fonctionnement défectueux de la machine [SCH 99, TRI99-2].

Cette approche étant basée sur l’identification des paramètres d’un modèle de lamachine, l’un des objectifs les plus importants, dans le cadre du diagnostic,concerne donc la mise au point de modèles mathématiques réellement représentatifsd’un fonctionnement en défaut. En effet, on s’est rendu compte ces dernières annéesque les méthodes de surveillance qui reposent sur des modèles simplifiés, comme lemodèle de Park, ne sont pas satisfaisantes, car ces modèles sont incomplets du pointde vue pratique [MOR 99, SCH 99]. D’où l’intérêt de s’orienter vers unemodélisation comportementale de la machine asynchrone pour le diagnostic.

En situation de défaut, la machine asynchrone présente en plus d’uncomportement dynamique conventionnel classique, un comportement dû au défaut.Notre étude est donc motivée par l’élaboration de modèle permettant le découplagede deux modes. Un mode qu’on appellera « commun » qui n’est autre que le modèledynamique de la machine asynchrone. Ce mode, exprimé dans le repère triphasé oudans le repère de Park et paramétrisé par les composants électriques de la machine,est l’image du comportement de la machine saine. Pour tenir compte du défaut, ilfaut cependant introduire un mode « différentiel » qui traduit le dysfonctionnement.Les paramètres de ce mode doivent permettre la détection et la localisation dudéfaut. 1 Projet GDR-PRC Automatique 1995-2000.

Diagnostic de la machine asynchrone par identification paramétrique 3

Ainsi, la procédure de surveillance que nous proposons consiste à procéder àl’identification paramétrique du modèle global : les paramètres électriques du modecommun indiquent l’état dynamique de la machine (constante de temps rotorique,inductance magnétisante, etc.), tandis que la surveillance des paramètres de défautdu mode différentiel permet la détection et la localisation du déséquilibre dans lamachine.

C’est dans cette optique qu’un modèle original de la machine asynchrone endéfaut a été proposé dans [SCH 99]. Il traduit le dysfonctionnement de la machineen présence de court-circuit de spires au stator en introduisant dans le modèle dePark, un quadripôle de court-circuit qui modélise le courant circulant dans lebobinage court-circuité. Ce modèle, très simple de mise en œuvre, permet de tenircompte du court-circuit sur une phase grâce à deux paramètres de quantification etde localisation. Bien que ce modèle traduise un déséquilibre sur une phase, il estcependant inadapté dans le cas de court-circuits simultanés sur plusieurs phases austator. Dans cet article, on propose un modèle général de la machine asynchrone encourt-circuit tenant compte d’un défaut survenant sur plusieurs phases statoriques.

En plus du court-circuit, un des défauts majeurs des machines asynchrones est larupture de barres rotoriques. Le rotor étant accouplé directement à la charge, lessollicitations à grande vitesse ainsi que les variations brutales de charge le rendent,de plus en plus, sujet à des pannes [THO 83]. Plusieurs modèles de rupture de barressont proposés dans la littérature. S’appuyant souvent sur la décomposition du rotoren plusieurs mailles élémentaires, deux méthodes de simulation de rupture de barressont alors possibles : l’annulation du courant circulant dans une barre en augmentantsa résistance [ABE 99] ou la diminution de leur nombre [MAK 97], simulant ainsileur décroissance lors d’une rupture de barres. Dans ce travail, on propose une étudedes effets d’un défaut rotor sur les paramètres électriques du modèle de Park. Uneécriture originale de la résistance rotorique permet de remonter au nombre de barrescassées au rotor. Le modèle ainsi proposé fait intervenir un paramètre de défaut lié àla variation de la résistance rotorique lors d’une rupture de barres. L’étude del’évolution de ce paramètre par une procédure d’identification paramétrique permetdonc de quantifier le nombre de barres cassées au rotor.

Une panne de type court-circuit au stator et rupture de barres au rotorsimultanément n’étant pas à exclure lors de grandes sollicitations de la machine, unmodèle global de la machine asynchrone en défaut stator/rotor est donc présenté.Ainsi, il permet la mise au point d’une procédure de surveillance globale paridentification paramétrique des défauts intervenant simultanément au stator et aurotor.

La technique de diagnostic de la machine asynchrone par identificationparamétrique appliquée sur les différents modèles de défauts a été validée à partird’essais expérimentaux réels. Une collaboration avec le milieu industriel2 a permisla mise au point d’un banc d’essai pouvant simuler des défauts réels sur la machine.Ainsi, une machine asynchrone de 1.1 Kw a été spécialement conçue pourreproduire un court-circuit de différentes importances à partir de bornes

2 Collaboration entre le LAII de Poitiers et Moteurs LEROY-SOMER.


intermédiaires et des ruptures de barres grâce à des rotors interchangeables sains etavec défaut.

2. Identification paramétrique

2.1. Position du problème

L’identification paramétrique est la procédure permettant la détermination de lareprésentation mathématique (modèle) d’un système réel à partir de résultatsexpérimentaux. Ainsi, l’identification repose sur la définition d’un modèle dusystème réel. On définit alors, le modèle mathématique décrivant la réponse )t(y aune excitation )t(u

))t(u,(f)t(y θ= [1]

f représente la structure du modèle, dépendant de N paramètres N21 ,,, θθθ L représentés par le vecteur θ tel que

[ ]TN21 θθθθ L= [2]

A partir d’un fichier de données expérimentales *kk y,u , où )t(y* est la

sortie mesurée du système, le problème de l’identification est alors d’estimer lemodèle, donc de déterminer la valeur des paramètres du vecteur θ .

Deux grandes classes de méthodes d’identification de modèles paramétriques àtemps continu sont connues :

• Les méthodes à erreur d’équation qui reposent sur la mise en forme linéairedu modèle par rapport au vecteur paramètres θ [TRI 88]. En raison de leursimplicité de mise en œuvre, ces techniques ont été appliquées dans notre laboratoireau cas de la machine à courant continu [COI 92] puis aux machines à induction[KER 97]. Cependant ces travaux ont montré qu’elles présentent des défauts majeurs[LJU 87, JEM 97] inacceptables dans le cas du diagnostic tel que le biais dû auxbruits de mesures et aux erreurs de modélisation.

• Les méthodes à erreur de sortie du type méthode du modèle [RIC 71, MOR99] ne font aucune hypothèse sur la linéarité du modèle et fournissent une estimationnon biaisée en boucle ouverte. Récemment, cette technique a été appliquée dans lecadre du diagnostic de la machine asynchrone à cage d’écureuil [MOR 99]. Dans cetravail, on s’intéressera aux méthodes à erreur de sortie.

2.2. Algorithme d’identification paramétrique à erreur de sortie

En règle générale, les méthodes d’identification à erreur de sortie reposent sur laminimisation d’un critère quadratique portant sur les résidus (figure 1).


On définit alors l’erreur de prédiction (résidu) notée )t(ε entre la sortie réelle

)t(y* et la sortie simulée )t(y

)),t(u(y)t(y)t( * θε −= [3]

avec : )t(b)t(y)t(y* += : mesure de la sortie exacte )t(y , perturbée par un bruit.

)t(b : bruit de sortie.

eT.kt = ( eT : période d'échantillonnage).La valeur optimale de θ est obtenue par minimisation du critère quadratique

suivant

∑ ∑= =

−==K

1k

K

1k

2kk

*k

2k ))ˆ,u(yy(J θε [4]

Figure 1. Principe des méthodes à erreur de sortie

2.3. Introduction de l’information a priori

Les méthodes à erreur de sortie reposent sur la définition d'un modèleparamétrique, fonction d'un certain nombre de paramètres auxquels on peut attribuerune signification plus ou moins physique, que l'on compare au processus.

Le modèle classique de Park [GRE 97] de la machine asynchrone exprimé sousforme continue dans un repère quelconque, permet de se référer à des paramètrespossédant une interprétation physique (résistance et inductance). De ce fait,l'utilisateur possède en général un ordre de grandeur du vecteur des paramètresaccessible par une expérimentation élémentaire (des essais électrotechniques), il estdonc judicieux d'introduire cette connaissance a priori pour mieux sensibiliserl'identification et obtenir ainsi une estimation réaliste des paramètres.

)t(u

)t(y

-

+ )t(ε

)t(y*

θ

Système

Modèle

Algorithmede P.N.L


Pour cela, il est nécessaire d'adjoindre cette information a priori de manièreexplicite dans le critère quadratique [MOR 99, TRI 99-2], en adaptant lespondérations entre information expérimentale et connaissance a priori.

2.3.1. Critère quadratique avec information a prioriIl s’agit donc de définir un nouveau critère prenant en compte une connaissance

initiale 0θ (pondérée par sa matrice de covariance 0M ) et le critère classique J(pondéré par la variance de la perturbation de sortie). Ainsi, on définit le critèrecomposite :

201

00 δ

θθθθθθ ˆ

))u,ˆ(fY())u,ˆ(fY()ˆ(M)ˆ(J*T*

Tc

−−+−−= − [5]

avec

θ : estimation du vecteur paramètres θ

)ˆ,u(fy θ= : modèle de la sortie simulée

0θ : estimation a priori de θ

0M : matrice de covariance de 0θ2δ : estimation de la variance du bruit )t(b

En notant MCθ le vecteur paramètre minimisant le critère classique J , levecteur cθ résultant de la minimisation du critère cJ représente alors la moyennedes estimations 0θ et MCθ pondérées par leurs variances respectives. Ainsi, enpratique, bien que MCθ puisse être éventuellement imprécis, cθ ne pourra pasdévier notablement de 0θ , donc de exactθ .

2.3.2. Algorithme d’optimisation non linéaireLa minimisation de ce critère s'effectue par une méthode de programmation non

linéaire (PNL). Ainsi la valeur optimale du vecteur paramètre noté optθ est obtenue

par un algorithme d'optimisation itératif. L'algorithme de Marquardt [MAR 63] offreun très bon compromis entre robustesse et rapidité de convergence. Les paramètres àestimer sont réactualisés de la manière suivante

[ ] i

ˆ1

i1i J.I.J ˆˆθθθθθ λθθ =

−+ ′+′′−= [6]

avec

λ : paramètre de réglage de la convergence.

i

k,k

yθ

σ θ ∂∂

= : fonction de sensibilité paramétrique de la sortie.


−−=′∑=−

2

K

1k,kk

01

0 ˆ

.

)ˆ(M.2Jδ

σε

θθθ

θ : gradient du critère.

+≈′′∑=−

2

K

1k

T,k,k

10 ˆ

.

M.2Jδ

σσ θθ

θθ : hessien du critère.

2.3.3. Fonctions de sensibilité Les fonctions de sensibilité θσ constituent le point névralgique de toute la

procédure d'identification. En effet, ce sont les indicateurs essentiels duconditionnement de l'identification. Pour un système dont le modèle d’état global estle suivant :

u).(Bx).(Ax θθ +=& [7]

u).(Dx).(Cy T θθ += [8]

avec

[ ]N21T θθθθ L= : vecteur des paramètres du modèle.

x : vecteur d’état du système.u et y étant respectivement l’entrée et la sortie de système.

Il convient de définir deux sortes de fonctions de sensibilité :

θσ θ ∂

∂=

y,y : vecteur des fonctions de sensibilité de la sortie.

θσ θ ∂

∂=

x,x : matrice des fonctions de sensibilité de l’état.

Pour chaque paramètre iθ , on détermine i,x θσ par intégration numérique du

système différentiel suivant, obtenu par dérivation partielle de l'équation [7]

u)(Bx.)(A).(Aii

,x,x ii θθ

θθ

σθσ θθ ∂∂

+

∂∂

+=& [9]

De même, la dérivation partielle de l’équation [8] fournit les fonctions desensibilité de la sortie


u)(Dx.)(C).(Ci

T

i,x

T,y ii θ

θθθ

σθσ θθ ∂∂

+

∂

∂+=& [10]

2.4. description du banc d’essai

2.4.1. Banc d’essaiDans le but de vérifier expérimentalement cette technique, nous avons mis au

point un banc d'essai comprenant une machine asynchrone LS 90 à cage d'écureuilLeroy Somer de 1.1 kW à deux paires de pôles, accouplée à un moteur courantcontinu fonctionnant en génératrice pour lui servir de charge (figure 2). Cettemachine a été spécialement conçue pour simuler des défauts de type court-circuit,réduction de spires sur une ou plusieurs phases et rupture de barres au rotor. Lecontrôle dynamique en vitesse est réalisé à l'aide d'un variateur à commandevectorielle (CEGELEC VFTV 4003 B).

Figure 2. Banc d’essais Leroy Somer-LAII.

Les modules de mesure des signaux électriques (tensions et courants de lignes)comprennent des filtres d’antirepliement analogiques, de fréquence de coupure de500 Hz, ainsi qu'un système d'acquisition (carte FASTLAB). La périoded’échantillonnage est fixée à 0.7 ms. La mesure de la vitesse est réalisée à l'aide d'uncodeur incrémental à 1024 points/tour.

Les algorithmes d'identification nécessitent, pour converger, une excitationpersistante qui est obtenue par l'addition d'une Séquence Binaire Pseudo Aléatoire(SBPA) à la consigne de vitesse, permettant d’exciter toutes les dynamiques de la

Consigne vitesseréférence + SBPA

VaVbVc

IaIbIc

Alimentationréseau

triphasé ~380v

VariateurCEGELEC

VFTV4003 B

Système demesure et de

conditionnementdes signaux

Capteurs

Filtre deButterworth

anti-repliement

MachineAsynchrone

LS90

Charge

Codeur incréme1024 point/tou

Carte d’acquisition FASTLAB12 bits

Posit

ion

Codeur incrémental1024 points/tr


machine. Ainsi, en fonctionnement industriel, la SBPA vient perturber le point defonctionnement électrique sans pour autant affecter le fonctionnement global del’installation. La vitesse de rotation étant choisie égale à 750 tours/mn et l'amplitudede la SBPA à 90 tours/mn.

2.4.2. Bobinages statoriques

La machine a été complètement rebobinée pour avoir accès à des prisesintermédiaires. Ces prises sont réparties sur les phases a et b, avec pour objectif depouvoir court-circuiter un nombre de spires en progression quasi-géométrique(Figure 3).

Figure 3. Schéma des bornes accessibles au stator

Ainsi, les bornes accessibles depuis l'extérieur correspondent à 18 spires (3.88%), 29 spires (6.25 %), 58 spires (12.5 %) et 116 spires (25 %).

3. Détection et localisation des spires en court-circuit sur la machineasynchrone

3.1. Introduction

Pour prendre en compte l'existence de spires en court-circuit au stator de lamachine asynchrone, Scheaffer [SCH 99] propose un modèle original qui comporte,en plus des deux bobinages d’axes α et β de Concordia, un troisième bobinage court-circuité à l'origine du champ stationnaire par rapport au stator, créé en situation dedéfaut (figure 4).

Deux paramètres sont introduits pour définir le défaut :• L’angle électrique noté ccθ repérant le bobinage en court-circuit par rapport à

l’axe de symétrie la phase a. Ce paramètre permet la localisation du bobinage endéfaut et ne peut prendre que les trois valeurs 0, 3/2π ou 3/4π , correspondantrespectivement à un court-circuit sur la phase a, b ou c.

116 spires58 spires

29 spires

116 spires

18 spires

58 spires

Phase a

Phase b Phase c


• Le rapport de court-circuit noté ccη égal au rapport du nombre de spires encourt-circuit sur le nombre total de spires dans une phase statorique réelle sansdéfaut. Ce paramètre permet de quantifier le déséquilibre et d’obtenir le nombre despires en court-circuit.

Figure 4. Enroulements de la machine asynchrone avec court-circuit

3.2. Modélisation du bobinage en défaut dans le repère lié au stator

les équations de tension et de flux de la bobine ccB exprimées dans le repèrebiphasé d’axe α et β lié au stator sont les suivantes [SCH 99]:

++

+=

+=

)ii)](sin()cos([L.32i.LL

32.

dtd

iR0

ssccccrccccfr

2cccc

ccccscc

rs αβαβθθηηφ

φη

[11]

rL et fL : inductance magnétisante et inductance de fuite.

sainephase une sur spiresde Nombrecircuit-court en spiresde Nombre

cc =η [12]

θθ et cc : resp. angle du bobinage en court-circuit et angle mécanique.

sR : résistance propre d’une phase statorique.

Le courant cci dans le bobinage en défaut est à l’origine du champ magnétique

ccθ

θ

Bobinagestatorique en

court-circuit

βs

αs

βr

αr


stationnaire par rapport au stator, dirigé selon l’axe ccθ . Ce champ magnétique est àl’origine du flux ccφ . En projetant cccc eti φ sur les axes α et β, on leur associe lesvecteurs stationnaires :

cccc

cccc

cc

cc .)sin()cos(

eti.)sin()cos(

icccc

φθθ

φθθ

αβαβ

=

= [13]

Les relations de l’équation [11] deviennent des relations entre des vecteursstationnaires par rapport au stator. Ainsi, le modèle global de la machine asynchroneen défaut de court-circuit s’écrit :

Stator :

+++=

+=

)i.32ii.(Li.L

dt

di.RU

ccrsss

sss

ccrf

s

αβαβαβαβαβ

αβαβαβ

ηφ

φ

[14]

Rotor :

++=

−+==

)i.32ii.(L

).2/(P.dt

di.R0U

ccrsr

r

rrr

ccr

mr

αβαβαβαβ

αβαβ

αβαβ

ηφ

φπωφ

[15]

Et pour le bobinage en défaut :

+

++=

+=

ccfccccccrcccccc

scc

i.L..23i..

32ii.L).(Q..

32

dtdi.R0

rs

cccc


αβαβ

ηηθηφ

φη

[16]

sUαβ et

rUαβ : tensions statoriques et rotoriques sur les deux axes α et β.

rR est la résistance propre d’une phase rotorique et mω la pulsation mécanique.

= 2

cccccc

cccc2

cccc )sin()sin().cos(

)sin().cos()cos()(Qθθθ

θθθθ [17]

−=

)cos()sin()sin()cos(

)(Pθθθθ

θ : matrice de rotation.


Par analogie avec l’étude du schéma équivalent ramenée au primaire destransformateurs et en négligeant le terme en fL devant rL dans l’expression du

flux de court-circuit (Equation [16]), les équations de flux de la machine asynchroneen défaut statorique deviennent :

mcc

ccrsmr

ccrssmfs

).(Q. ~

)i~ii.(L

)i~ii.(Li.L

cccc

r

rf

αβαβ


αβαβαβαβαβαβαβ

φθηφ

φφ

φφφ

≈

++==

+++=+=

[18]

avec

cccci.

32i~ cc αβαβ η= et

cccc.

23~

αβαβφφ =

mαβφ et fαβφ : flux magnétisant et flux de fuite statorique.

Ainsi, l’équation de tension du bobinage en défaut ramenée au primaire s’écrit :

mcc dtd).(Q.

R.

32i~ cc

s

ccαβαβ φθ

η= [19]

D’après cette équation, la bobine en défaut se ramène à un simple quadripôlerésistif, non équilibré, mis en parallèle avec l’inductance magnétisante.

L’existence de la matrice )(Q ccθ fait que la représentation d’état dans le repèredu stator reste complexe. En négligeant les chutes de tension dues à sR et fL

devant les tensions d’entrée s

Uαβ , on peut approcher les tensions aux bornes du

quadripôle de court-circuit par les tensions statoriques. Les courants de ligne sontalors la somme des courants dus au court-circuit et des courants consommés par lemodèle classique de Park. Ainsi, il devient possible d’exprimer simplementl’équation du bobinage en défaut dans un repère quelconque :

scc dqrepccreps

ccdq U).(P).(Q).(P.

R.

32i~ θθθη

−= [20]

repθ étant l’angle de rotation du repère.

Le repère de Park d’axe d et q offre l’avantage de manipuler des grandeurs quasicontinues. Par la suite, le modèle de défaut stator sera donc exprimé sous le repèretournant de Park.


3.3. Nouveau modèle de défaut de la machine asynchrone dans le repère de Park

Très simple à implanter car exprimé dans le repère de Park (lié au rotor), lemodèle de défaut stator que nous venons de présenter offre l'avantage d'expliquer ledéfaut à travers un quadripôle résistif dédié au bobinage en défaut. Par contre, il estinadapté dans le cas d'un défaut simultané sur plusieurs phases. En effet, cettereprésentation n’est valide que dans le cas d’un défaut sur une seule phase, lequadripôle de court-circuit se chargeant alors d’expliquer le défaut à travers les deuxparamètres ccθ et ccη . En présence de courts-circuits sur plusieurs phases, cemodèle risque de traduire le défaut par des paramètres aberrants, vu qu’il ne tientcompte que d’un seul bobinage.

Pour y remédier, nous proposons de généraliser ce modèle, en dédiant à chaquephase du stator un quadripôle de court-circuit qui prend en charge l'explicationd'éventuels bobinages en défaut. Ainsi, en présence de plusieurs courts-circuits,chaque quadripôle permet le diagnostic d’une phase en surveillant la valeur duparamètre ccη et le simple dépassement d’un seuil permet de détecter la présencedans la machine d’un déséquilibre au stator.

Figure 5. Modèle de court-circuit de la machine asynchrone à cage d’écureuil

La figure 5 donne le schéma électrique équivalent de la machine asynchrone enrégime transitoire, en tenant compte d’un éventuel défaut de court-circuit et avec lesfuites totalisées au stator.

3.4. Stratégie du diagnostic par estimation paramétrique

La détection et la localisation des spires en court-circuit seront effectuées paridentification paramétrique du modèle de défaut de la machine asynchrone à caged’écureuil. Le but de l'estimation est d'obtenir les paramètres électriques de lamachine asynchrone ainsi que les trois rapports de court-circuit

kccη .

Le principe de l’identification paramétrique exposé précédemment fait référenceà un modèle continu du processus sous représentation d’état (équations [7-8]). Danscette application, il correspond au modèle continu de la machine asynchrone obtenuà partir du vecteur d'état qui contient les courants statoriques et les flux rotoriques.

dqsm )2/(P φπω

dqri

Lf

dqsU

dqsi 'dqsi

Lr

im

Rs

Rr

icc1 icc3

3ccη

icc2

2ccη1ccη


Les tensions et les courants statoriques d’axe d et q correspondent respectivement àl'entrée et la sortie du système.

=+=+=

))t(u,(f)t(u.D)t(x.CY)t(u.B)t(x).(A)t(x m

θω&

[21]

avec

[ ]Tqrdrqsds iix φφ= : vecteur d’état.

=

qs

dsUU

u et

=

qs

dsii

Y : entrées et sorties de la machine.

−

−

−+

−−

+−

=

r

rr

r

rr

rf

r

f

m

f

rsm

f

m

rf

rm

f

rs

LR0R0

0LR

0R

L.LR

LLRR

LL.LR

LRR

A

ωω

ωω

,

T

f

f

00L10

000L1

B

=

=

00100001

C , ∑=

−=3

1kcc

s

cc )(P).(Q).(PR.3

.2D

kk θθθ

η

)(Qkccθ est la matrice situant l'angle du bobinage en court-circuit ( si le court-

circuit se produit sur la phase a (resp. b et c) alors l’angle kccθ est égal à 0 rad (resp.

3/2π et 3/4π ).Ce modèle permet, non seulement la détection et la quantification de spires en

court-circuit à partir du rapport kccn , mais il permet aussi de localiser le défaut à

travers l'angle kccθ . Ainsi, on définit le vecteur des paramètres à estimer :

[ ]Tcccccc 321LfLrRrRs ˆ ηηηθ = [22]

En premier, plusieurs acquisitions expérimentales sont nécessaires pour identifieruniquement les paramètres électriques du modèle classique de Park ( frrs L,L,R,R ).

Cette estimation constitue une étape préalable permettant d’obtenir les valeurs


nominales du vecteur θ ainsi que les différentes pondérations du critère cJ

( 20

ˆ,M δ ). Ces paramètres reflétant un fonctionnement sain de la machine, leurévolution sur plusieurs acquisitions, en situation de défaut, devrait être négligeable(les variations possibles sont dues principalement à la température et à l’étatmagnétique de la machine). Par contre, les paramètres de défaut

kccη devraient

indiquer le taux de court circuit présent sur chaque phase.

3.5. Validation expérimentale

3.5.1. Identification paramétrique

Une estimation au préalable des paramètres électriques de la machineasynchrone saine, sans introduire d’information a priori, permet d’obtenir lesdifférentes pondérations du critère en fonction des matrices de sensibilité dφ et qφ

sur les deux axes de Park [MOR 99] :

1q

Tqd

Tdqd

Tqd

1q

Tqd

Td

2b0 ))(()().(ˆM −− ++++= φφφφφφφφφφφφσ [23]

M0 représente la matrice de covariance des paramètres : on ne conserve en pratiqueque les termes diagonaux.

Le terme de covariance 2bδ pondérant le terme quadratique conventionnel du

critère (Equation [5]) représente la covariance du bruit de mesure : on l’obtient àpartir du critère à l’optimum, soit :

)NK.(2

Jˆ opt2b −

=δ [24]

optJ N, ,K : resp. nombre de réalisation, nombre de paramètres et la valeur du

critère à l’optimum.

Ainsi, pour tous les essais d’identification, on prend :

T2frrsref ]000H10.62.7LH436.0L83.3R81.9R[ −===== ΩΩθ

)0,0,0,10,10.17,10.65,10.5(diagM 752210 =−

La variance du bruit est égale à 22.0ˆ 2b =δ

D’après l’expression de la matrice inverse 10M − , on remarque que seuls les

paramètres électriques sont pondérés dans le critère alors qu’aucune pondérationn’est introduite sur les rapports de court-circuit. Ceci est justifiable dans la mesureoù l’on ne possède aucune connaissance sur l’état de défaut de la machine. Ainsi, la


matrice de covariance 0M comporte uniquement les variances des paramètresélectriques.

Valeurs estimées(moyenne de dix acquisitions)Essais expérimentaux

321 cccccc ,, ηηη (%)

1ccη2ccη

3ccη

a) 0,0,8793.3321 cccccc === ηηη % 3.8816 - 0.16 0.63

b) 0,5.12,0321 cccccc === ηηη % 0.585 11.82 1.125

c) 0,5.12,8793.3321 cccccc === ηηη % 3.15 11.51 0.563

d) 0,25.6,5.12321 cccccc === ηηη % 11.46 5.87 0.62

Tableau 1. Résultats d’estimation paramétrique

Le tableau 1 montre les résultats d'estimation paramétrique sur dixenregistrements expérimentaux pour différentes combinaisons de courts-circuitsentre les phases a et b.

Figure 6. Identification des paramètres électriques pour un court-circuit de :88.3

1cc =η %, 5.122cc =η %, 0

3cc =η %

D’après les résultats obtenus, l'approche paramétrique conduit, en moyenne, àdes estimations satisfaisantes du nombre de spires en court-circuit. L’erreur

0 2 4 6 83.81

3.82

3.83

3.84

3.85

rR

0 2 4 6 80.43

0.432

0.434

0.436

rL

0 2 4 6 87.55

7.58

7.61

7.6410-2

fL

0 2 4 6 89.5

9.6

9.7

9.8

9.9

sR


d’estimation est négligeable et ne dépasse pas cinq spires dans les deux situations dedéfaut (défaut sur une seule phase illustré sur les essais a et b, et défaut sur plusieursphases sur les essais c et d).

Figure 7. Identification des paramètres de défaut pour un court-circuit de :88.3

1cc =η %, 5.122cc =η %, 0

3cc =η %

Le plus encourageant, comme le montrent les figures 6 et 7, est que seuls les tauxde court-circuit estimés expliquent le défaut. En effet, au cours de la procédured’identification (10 itérations), les paramètres électriques de la machine asynchronerestent quasiment figés (figure 6) sur l'optimum alors que les rapports de court-circuit (figure 7) évoluent pour approcher le défaut réel.

Une projection des estimations du rapport pour différentes séries de défauts surla phase b (figure 8), permet de visualiser la bonne correspondance entre lesestimations et les valeurs réelles.

Figure 8. Projection des estimations du rapport de court-circuit

0 2 4 6 80

1

2

3

4%

1ccη

0 2 4 6 80

4

8

12%

2ccη

0 2 4 6 8

-0.2

0

0.2

0.4

0.6%

3ccη

0

0.02

0.06

0.1

0.14

0.18

0 %

3.88 %6.25 %

12.5 %

o estimation+ défaut réel


3.5.2. Analyse spectrale des résidus d’identification

Les résidus d'identification (erreur d’estimation) du modèle de Park classiquetraduisent la gravité du défaut [MOR 99]. En effet, plus le défaut est grave, plus lavaleur du critère à l'optimum est élevée, mettant ainsi en évidence une augmentationde l'erreur d'estimation.

Figure 9. Densité spectrale de puissance des résidus

Ainsi, en présence de déséquilibre, une importante erreur de modélisation semanifeste, en raison des conditions restrictives d’utilisation du modèle de Park.Concrètement, une analyse de Fourier de ces résidus représentée à la figure 9.apermet de constater, en situation de défaut, des raies correspondant aux fréquencesF>50 Hz, ce qui constitue une « signature » d'un défaut stator.

Par contre, l'analyse des résidus d'identification du modèle de défaut de lamachine asynchrone en présence de court-circuit, ne fait apparaître aucune raie à lafréquence d'alimentation (figure 9.b). Ceci était prévisible car les quadripôles decourt-circuit absorbent le défaut qui se manifeste à ces fréquences. En effet,l’analyse de l’expression du courant (Equation [20]) fait apparaître une pulsationinstantanée égale à m2ω , signature d'un défaut au stator. Ainsi, le modèle de Park secharge d'expliquer le fonctionnement dynamique de la machine et l'information« court-circuit » se retrouve traduite dans les quadripôles.

REMARQUE. — Les résidus d’identification sont la différence entre la sortie réelle(courant mesuré) et son estimation (Equation [3]). Ainsi, le résidu sur l’axe d estobtenu comme suit

dsdsds ii −=ε [25]

Le résidu est donc l’erreur d’estimation due au bruit de mesure (perturbation ensortie) additionné des erreurs de modélisation quasi omniprésente (le modèle neprend pas en compte les phénomènes de saturation et de pertes fers)

Hz

-80

-60

-40

-20

0

20

0 50 100 150 200

b. Modèle de court-circuit

Hz0 50 100 150 200

-80

-60

-40

-20

0

20

40

a. Modèle classiquede Park


La densité spectrale de puissance est obtenue par une simple Transformée deFourier Rapide3 (FFT software).

4. Détection de rupture de barres dans la machine asynchrone

4.1. Introduction

Dans le cadre du diagnostic, la mise au point d'un modèle est surtout motivée parles possibilités de simuler des défauts. [ABE 99, MAK 97, VAS 94] proposent unemodélisation de la machine asynchrone à cage d’écureuil faisant intervenir lesparamètres électriques des barres et de l'anneau.

Ce modèle représenté sur la figure 10, offre la possibilité de simuler une rupturede barres en réduisant simplement leur nombre total ou en augmentant leurrésistance. Outre sa complexité, l'inconvénient de ce modèle est qu'il nécessite uneconnaissance approfondie des paramètres électriques de la machine. Dans le casd'une approche paramétrique, ce modèle est inaproprié en raison du nombre élevédes paramètres qui le régissent.

Dans ce travail, nous proposons une écriture originale de la résistance rotoriquedans le repère de Park, en fonction du nombre de barres au rotor. Ainsi, en cas dedéfaut, l'estimation de la résistance rotorique par identification paramétrique permetde remonter au nombre de barres cassées dans la machine.

Figure 10. Modélisation du rotor par mailles élémentaires

4.2. Modèle de simulation de rupture de barres

La plupart des modèles de simulation de barres cassées dans la machineasynchrone procède par décomposition du rotor. Ainsi, le rotor est décomposé en

3 Sur le logiciel MATLAB, la fonction PSD (Power Spectral Density) est spécialement dédiéeà l’analyse spectrale des signaux.

Jrk-1

Jrk

Jrk+1

Ibk-2

Ibk-1

Ibk

Ibk+1Ie

Jrk-1

Jrk

Jrk+1


plusieurs mailles élémentaires, chaque maille étant constituée de deux barres et desportions d'anneaux les reliant à chaque extrémité (figure 11).

Figure 11. Maille rotorique élémentaire

L'écriture matricielle des équations des mailles rotoriques est la suivante [ABE 99] :

dt

dJ.R0 r

rφ

+= [26]

Trrr ]JJ[J

1bN0 −= K : courants de mailles.

bb NNR ×ℜ∈ : matrice de résistance telle que :

±=−

=+

=onsin0

1jipourR

jipour)NR

R.(2

R bb

eb

ij

rφ étant le vecteur du flux induit dans les mailles tel que :

eb

eqsdssr

1N

kj0j

1rk1rkbrjrrrkbb

ebrk

iNL))ksin(i)kcos(i(M

23

)JJ(LJMJL2NL2L

b

−+−

∑ +−+

++=

−

≠=

+−

αα

φ

[27]

avec

bL et bR : inductance et résistance d’une barre rotorique.

bki

dtd rkφ

dtd 1rk +φdt

d 1rk −φ

1kR − kR

1bki

ei

eR

eR

rkJ


eL et eR : inductance et résistance de l’anneau.

rrM : mutuelle inductance entre deux mailles rotoriques.

bN étant le nombre de barres dans le rotor.

bN/2πα = est l’angle entre deux barres rotoriques.

Le rotor ainsi considéré est un système équilibré à bN phases. Donc,l'application de la transformation de Concordia généralisée permet une écriturediphasée du système dans le repère de Park lié au référentiel rotorique. Ainsi, ondéfinit la matrice de transformation

bN,2T telle que

rN,2dqr J.Tib

= [28]

avec

−−

=)).1Nsin(()ksin()0sin()).1Ncos(()kcos()0cos(

N2T

b

b

bN,2 b αα

ααLL

LL

Donc, l’équation [26] du rotor devient

dt

di).T.R.T(0 dqrdqr

1N2N2 bb

φ+= − [29]

En comparant avec le modèle classique de Park et en négligeant la résistance del'anneau devant celle des barres, on obtient l'expression de la résistance rotorique

))cos(1.(R.2R br α−≈ [30]

HYPOTHESE. — Un rotor équilibré à bN barres dont cN barres sont cassées est

équivalent à un rotor à cbb NNN −=′ barres [MAK 97].

L'équation [30] permet donc d’exprimer la résistance du rotor en défaut ′rR en

fonction de la résistance saine rR

)cos(1)cos(1RR rr α

α−

′−=′ [31]

′=′ bN/2πα : angle de la portion de rotor en défaut.

Etant donné le nombre élevé de barres dans une machine asynchrone demoyenne puissance, les angles α et α′ sont faibles. Ainsi, le développement limitédu cosinus à l’ordre deux au voisinage de zéro permet l'écriture suivante :

)1.(RR bcrr η+=′ [32]

2'b

2'b

2b

bcN

NN −=η : taux de barres cassées. [33]


Ainsi le schéma équivalent de la machine asynchrone à cage d’écureuil dans unesituation de défaut rotor est représenté à la figure 12. Ce modèle de défaut rotor faitintervenir un quadripôle entièrement résistif qui traduit la variation de la résistancerotorique lors de la rupture de barres.

Figure 12. Modèle de défaut rotor de la machine asynchrone

4.3. Stratégie de diagnostic des ruptures de barres

La stratégie de surveillance des défauts rotor consiste alors à procéder àl'identification des paramètres électriques de la machine asynchrone et du rapport debarres cassées bcη , à surveiller ses variations sur plusieurs acquisitions et enfin, àcalculer le nombre de barres cassées au rotor. On définit ainsi le vecteur paramètre àestimer :

[ ]Tbcfrrs LLRRˆ ηθ = [34]

4.4. Résultats expérimentaux

Différents rotors interchangeables sont disponibles sur le banc d'essai dulaboratoire, dont un rotor sain avec 28 encoches et deux rotors en défaut (une etdeux barres cassées). La technique d'identification ainsi que les pondérations ducritère sont les mêmes que celles présentées dans les deux sections précédentes.

Le tableau 2 présente les résultats de l’estimation paramétrique sur plusieursacquisitions pour un fonctionnement sain, puis avec rupture d’une barre et rupturede deux barres. On peut constater que le nombre de barres cassées estimé donne unebonne approximation du défaut réel de la machine pour un fonctionnement sain etavec une barre cassée. Par contre, ce résultat est moins flagrant pour une rupture dedeux barres, cela est sans doute dû aux hypothèses restrictives permettantd’exprimer la résistance rotorique en défaut. En effet, plus le nombre de barres estélevé, plus l’hypothèse du rotor équilibré résultant est non valide. Ce résultat est trèsbien illustré sur la figure 13.On remarque que la série d’estimations pour un fonctionnement sans défaut et d’unerupture de barre, représentée à la figure 13, retrace en moyenne le défaut présent au

dqri

rR

dqsi

mi

rL

sR

dqsU

dqsm )2/(P φπω fL

rbc R.η


rotor. Pour deux barres cassées, les estimations sont par contre plus disperséesautour du défaut réel comme on l’a montré précédemment.

Nombre de barrescassées

Valeurs estimées bcN(moyenne de dix acquisitions)

machine saine 2.10-2

une barre cassée 0.84

deux barres cassées 1.67

Tableau 2. Résultats d’estimation paramétrique sur des données expérimentales

Figure 13. Projection des estimations du nombre de barres cassées

5. Diagnostic des défauts simultanés stator/rotor

5.1. Modèle de la machine asynchrone en défaut stator/rotor

Nous avons présenté deux modèles originaux de la machine asynchrone à cage.Chaque modèle est dédié à un défaut particulier (court-circuit des spires au stator etrupture de barres au rotor). En milieu industriel, les défauts intervenant en cours defonctionnement sont rarement localisés dans une seule partie de la machine. Eneffet, la réaction en chaîne des incidents est fortement envisageable car le rotor,comme le stator, sont soumis au même environnement. Ainsi, il est préférable, dans

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 o estimation défaut réel


une optique de surveillance généralisée de machine, d'envisager un diagnostic dedéfauts stator/rotor simultanés.

En situation de défauts simultanés, la signature d’un défaut statorique estdifférente d’un défaut rotorique. En effet, un quelconque défaut statorique est àl’origine d’un champ stationnaire par rapport au stator dirigé selon l’axe de labobine en défaut, les grandeurs qui en découlent sont alors naturellement autour deshautes fréquences (fréquence du champ tournant). Par contre, un défaut rotorique està l’origine d’un champ stationnaire par rapport au rotor dirigé selon l’axe de la barreen défaut. Le rotor étant mobile, les grandeurs du défaut sont alors proches desbasses fréquences (fréquence de glissement). Ainsi, étant donné que les deuxprincipaux défauts de la machine asynchrone peuvent être découplés, on propose àla figure 14 un modèle global de défauts stator/rotor qui fait intervenir lefonctionnement sain de la machine (modèle de Park), les courts-circuits de spires austator (quadripôles de court-circuit) et la rupture de barres au rotor à travers leparamètre bcη .

La stratégie de surveillance globale de la machine asynchrone est la suivante• Estimation paramétrique du modèle sur plusieurs enregistrements

expérimentaux.• Calcul du nombre de spires en court-circuit sur chaque phase à partir des

paramètres de court-circuit kccη .

• Calcul du nombre de barres cassées à partir du rapport bcη .

Figure 14. Modèle global de la machine asynchrone en défaut stator/rotor

On définit ainsi le vecteur des paramètres à estimer :

[ ]Tbcccccccfrrs 321LLRRˆ ηηηηθ = [35]

5.2. Résultats expérimentaux

Il est intéressant d’analyser le comportement du modèle lors de défautssimultanés stator et rotor. Ainsi, on procède à une série d’essais avec courts-circuits

dqsm )2/(P φπω

dqriLf

dqsU

dqsi 'dqsi

Lr

im

Rs

Rricc1 icc3

3ccη

icc2

2ccη1ccη

rbcRη


sur plusieurs phases statoriques et rupture de barres au rotor. Le tableau 3 résume lasérie d’expériences effectuées sur le banc d’essais.

Valeurs estimées(moyenne de dix acquisitions)

Essais expérimentaux

321 cccccc ,, ηηη (%) , bcN

1ccη2ccη

3ccη bcNa) machine saine 1.05 - 0.04 0.33 0.05b) 0, 6.25, 0, 1 0.98 5.77 0.68 0.84c) 3.88, 12.5, 0, 1 4.02 10.55 0.07 0.81d) 12.5, 12.5, 0, 2 10.75 10.66 0.54 1.77

Tableau 3. Résultats d’estimation paramétrique sur des données expérimentales

Figure 15. Comparaison entre les courants estimés et les courants réels sur les deuxaxes statoriques d et q.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Courant réel Courant estimé

dsi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Courant réel Courant estimé

qsi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dsε

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

qsε


Les résultats obtenus montrent la concordance entre les paramètres estimés et lesparamètres réels du défaut (une erreur de 10 spires sur les essais c et d). Ainsi,l’algorithme d’identification paramétrique avec information a priori est robuste faceà des défauts simultanés stator/rotor. En pratique, de part leur nature résistive, lesquadripôles de court-circuit se chargent d’expliquer uniquement la composante ducourant évoluant au voisinage de la fréquence d’alimentation Hz50F > ,« signature » d’un défaut stator. Par contre, le quadripôle de défaut rotorique secharge d’expliquer la composante du courant évoluant en basses fréquences(pulsation de glissement), « signature » d’un défaut rotorique, ce qui permet dedécoupler un défaut stator d’un défaut rotor.

La figure 15 représente la comparaison entre les courants réels ( dsi , qsi ) et les

courants estimés. On remarque que l’erreur d’estimation ( dsε et qsε ) sur les deuxaxes d et q est négligeable, ce qui permet de conclure quant à l’aptitude de cemodèle à traduire les défauts stator/rotor simultanés.

6. Conclusion et perspectives

Dans ce travail, nous avons appliqué une procédure de diagnostic paridentification paramétrique sur différents modèles de la machine asynchrone à cagedédiés aux défauts stator et rotor.

En premier lieu, l’algorithme d’identification paramétrique à erreur de sortieavec information a priori a été présenté. Cet algorithme permet d’adjoindre laconnaissance des paramètres physiques de la machine de manière explicite dans lecritère afin d’enrichir la procédure d’estimation, ce qui permet une convergence plusrapide et plus robuste de l’algorithme d’identification.

Un modèle original de la machine asynchrone en défaut de court-circuit stator aété proposé. Ce modèle, simple de mise en œuvre car exprimé dans le repère dePark, permet de traduire un court-circuit sur plusieurs phases à travers troisparamètres de défaut. Au rotor, le modèle présenté tient compte des variations de larésistance rotorique en situation de défaut du type rupture de barres. L’introductiond’un paramètre supplémentaire dans le modèle de Park permet de quantifier lenombre de barres cassées.

La mise en série des deux modèles précédents a permis de définir un modèleglobal de la machine asynchrone en situation de défauts simultanés stator/rotor. Cemodèle permet donc une surveillance généralisée de la machine asynchrone à cage.

L’ensemble de ces modèles a été validé sur des données expérimentales. Laprocédure d’identification a ainsi permis d’une part, la localisation au stator despires en court-circuit sur plusieurs phases et la détermination de leur nombre à 3 %du nombre de spires en série sur une phase, et d’autre part, de quantifier le nombrede barres cassées au rotor.

Ainsi, dans des situations de défauts réels, la procédure de diagnostic parestimation paramétrique mise en place donne une image très réaliste du déséquilibreprésent dans la machine. Ceci est dû d’une part, à la puissance de l’algorithmed’identification avec information a priori et d’autre part, au macro-modèledéveloppé qui tient compte d’un fonctionnement déséquilibré de la machine.


Enfin, un effort supplémentaire devra être accompli afin de satisfaire auxexigences industrielles en matière de surveillance de la machine asynchrone. Ceci vase traduire par une modélisation plus fine prenant en compte le phénomène desaturation magnétique et des pertes fer en dynamique, accompagnée d’uneminimisation du nombre de capteurs nécessaires au diagnostic.

Remerciements

Les auteurs tiennent à exprimer leur reconnaissance à la Société MoteursLEROY- SOMER pour sa contribution matérielle dans ce travail. La réalisation d’unprototype de machine asynchrone à cage d’écureuil permettant une simulation réelledes défauts statoriques et rotoriques a permis la validation expérimentale de nostravaux.

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RIGE

Documents

machine sch

park et paramtris

modles simplifis

reposent sur

en effet

recherche en france

car ces modles sont

modle permettant